文档文本内容
第 21 讲三角函数的性质与应用 1
1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx
图象
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1] R
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
在[2kπ－π,2kπ](k∈Z)上是
在(k∈Z)上是递增函数,在
单调性 递增函数,在[2kπ,2kπ＋π] 在(k∈Z)上是递增函数
(k∈Z)上是递减函数
(k∈Z)上是递减函数
周期是2kπ(k∈Z且k≠0),最 周期是2kπ(k∈Z且k≠0), 周期是kπ(k∈Z且k≠0),最小正
周期性
小正周期是2π 最小正周期是2π 周期是π
对称轴是x＝＋kπ(k∈Z),对 对称轴是x＝kπ(k∈Z),对
对称性 对称中心是(k∈Z)
称中心是(kπ,0)(k∈Z) 称中心是(k∈Z)
2.常用结论
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之
间的距离是 个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
π
(3)若f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0),则f(x)为偶函数的充要条件是φ= +kπ(k∈Z);
2
(4)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).
考点一 代入检验法判断三角函数的对称轴和对称中心
考点二 整体代入法求三角函数的单调区间对称轴和对称中心
考点三 图像法求三角函数最值或值域
考点四 换元法求三角函数最值或值域考点一：代入检验法判断三角函数的对称轴和对称中心
例1．已知函数 图象恰好关于 轴对称，则下列说法正确的是
（ ）
A． 的最小正周期为
B． 关于点 对称
C． 在 上单调递增
D．若 在区间 上存在最大值，则实数 的取值范围为
例2．（2023·广东深圳·深圳中学统考模拟预测）（多选）若函数 ，
则下列结论正确的是（ ）
A．函数 的最小正周期为 B．函数 在区间 上单调递增
C．函数 图象关于 对称 D．函数 的图象关于点 对称
考点二：整体代入法求三角函数的单调区间对称轴和对称中心
例3．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．例4．已知函数 ，若 是函数 图象的一条对称轴，则其图象的一个
对称中心为（ ）
A． B． C． D．
考点三：图像法求三角函数最值或值域
例5．函数 的单调区间是（ ）
A． B．
C． D．
例6．函数 的最大值为2，且对任意的 ， 恒成立，
在区间 上单调递增，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
考点四：换元法求三角函数最值或值域
例7．函数 的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
例8．设函数 ， ，则函数 的最小值是（ ）
A． B．0 C． D．一、单选题
1．下列函数中，最小正周期为 ，且图象关于直线 对称的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数 ，下列结论中错误的是（ ）
A． 的最小正周期为 B． 的图像关于直线 对称
C． 在 上单调递增 D． 的值域为 [-1，1]
3．已知函数 的图像与直线 的相邻两个交点的距离为 ，则 的图像的
一个对称中心是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数 ，且 恒成立，则下列说法中错误的是（ ）
A．
B． 是奇函数
C． 在区间 上单调递增
D． 的图象关于点 对称5．函数 图象的对称轴方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数 和 都是增函数的区间是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数 ，则（ ）
A． 的图象关于点 对称 B． 的图象关于直线 对称
C． 为奇函数 D． 为偶函数
8．函数 图象的对称中心可能是( )
A． B． C． D．
9．（2023·北京西城·统考一模）函数 是（ ）
A．奇函数，且最小值为 B．奇函数，且最大值为
C．偶函数，且最小值为 D．偶函数，且最大值为
10．若函数 在 上存在两个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．C． D．
11．若函数 在 上的最小值和最大值分别为 和4，则实数b的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 ，则（ ）
A． 的最大值为3，最小值为1
B． 的最大值为3，最小值为-1
C． 的最大值为 ，最小值为
D． 的最大值为 ，最小值为
13．函数 ， 的值域为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
14．函数 的图象的对称轴方程是______（ ）．
15．函数 ， ，则严格单调递减区间是__.
16．若函数 在 上是增函数，则实数 的取值范围是__．
17．已知函数 ，则 的值域是______.18．函数 的值域是______．
19．函数 的最大值为__________.
20．函数 的最大值为______.
