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第四章 三角函数与解三角形
§4.7 三角函数中有关ω的范围问题
【考情分析·探规律】
考点 三年考情（2021-2024） 命题趋势
在近几年高考中，ω的求
2024·天津卷
2023·天津卷 解确实是三角函数部分的一个
三角函数中有关ω的
2022·天津卷 热点问题，通常涉及到三角函
范围问题
2021·天津卷
数的周期性、单调性、图像变
2021·全国新Ⅰ卷
换等知识点。
【名师点拨】
在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其求
法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点.
【必练核心题型】
题型一 三角函数的单调性与ω的关系
( π) ( π)
【典例】1.已知函数f(x)＝2sin ωx− (ω>0)在 0， 上存在最值，且在
6 3
(2π )
，π 上单调，则ω的取值范围是( )
3
( 2] [ 5]
A. 0， B. 1，
3 3
[5 8] [11 17]
C. ， D. ，
2 3 4 3
【答案】C
π π π ωπ π
【解析】当0<x< 时，因为ω>0，则－ <ωx－ < － ，
3 6 6 3 6
( π) ωπ π π
因为函数f(x)在 0， 上存在最值，则 － > ，解得ω>2，
3 3 6 2
2π 2πω π π π
当 <x<π时， － <ωx－ <πω－ ，
3 3 6 6 6(2π )
因为函数f(x)在 ，π 上单调，
3
(2πω π π) ( π π)
则 − ，πω− ⊆ kπ− ，kπ＋ (k∈Z)，
3 6 6 2 2
2πω π π
{ − ≥kπ− ，
3 6 2 3 1 2
所以 其中k∈Z，解得 k－ ≤ω≤k＋ (k∈Z)，
π π 2 2 3
πω− ≤kπ＋ ，
6 2
3 1 2 7
所以 k－ ≤k＋ (k∈Z)，解得k≤ 且k∈Z，
2 2 3 3
又因为ω>0，则k∈{0，1，2}.
2
当k＝0时，0<ω≤ ；
3
5
当k＝1时，1≤ω≤ ；
3
5 8
当k＝2时， ≤ω≤ .
2 3
[5 8]
又因为ω>2，因此ω的取值范围是 ， .
2 3
【解题技巧】
确定函数的单调区间，根据区间之间的包含关系建立不等式，即可求ω的取值范围.
【变式训练】
( π) ( π π)
变式1.已知函数y＝sin ωx＋ (ω>0)在区间 − ， 上单调递增，则ω的取值
3 6 3
范围是 .
( 1]
【答案】 0，
2
( π) ( π π)
【解析】函数y＝sin ωx＋ (ω>0)在区间 − ， 上单调递增，
3 6 3
π π πω π π πω π π π π
当－ <x< 时，－ ＋ <ωx＋ < ＋ ，而当x＝0时，ωx＋ ＝ ，则 ∈
6 3 6 3 3 3 3 3 3 3
[ π π]
− ， ，
2 2πω π π
{− ＋ ≥− ，
6 3 2
因此
πω π π
＋ ≤ ，
3 3 2
1
而ω>0，解得0<ω≤ ，
2
( 1]
所以ω的取值范围是 0， .
2
题型二 三角函数的对称性与ω的关系
( π) ( π)
【典例】2.(2025·杭州模拟)已知ω≠0，函数f(x)＝sin ωx＋ 在 0， 上有三条
3 2
对称轴和两个极小值，则( )
13 19 7 13
A. <ω≤ B. <ω≤
3 3 3 3
23 17 17 11
C.－ ≤ω<－ D.－ ≤ω<－
3 3 3 3
【答案】C
( π)
【解析】∵x∈ 0， ，
2
π (π πω π)
①当ω>0时，ωx＋ ∈ ， ＋ ，
3 3 2 3
( π)
若f(x)在 0， 上有两个极小值，则f(x)至少有4条对称轴，不满足题意；
2
π (πω π π)
②当ω<0时，ωx＋ ∈ ＋ ， ，
3 2 3 3
( π) ( π)
又函数f(x)＝sin ωx＋ 在 0， 上有三条对称轴和两个极小值，
3 2
7π πω π 5π 23 17
∴－ ≤ ＋ <－ ，解得－ ≤ω<－ ，
2 2 3 2 3 3
23 17
综上，－ ≤ω<－ .
3 3
【解题技巧】T
三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为 ，相邻的对称
2
T
轴和对称中心之间的“水平间隔”为 ，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来
4
研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，
进而可以研究ω的取值范围.
【变式训练】
( π) (2π ) ( π)
变式2.已知函数f(x)＝2sin ωx＋ (ω>0)满足f −x ＝f x− ，则ω的最小
3 3 6
值为( )
2 1
A. B. C.1 D.2
3 2
【答案】A
( π) (2π ) ( π)
【解析】由已知可得函数f(x)＝2sin ωx＋ (ω>0)满足f −x ＝f x− ，
3 3 6
(π ) (π )
即f −x ＝f ＋x ，
4 4
π
所以f(x)的图象关于直线x＝ 对称，
4
πω π π
所以 ＋ ＝ ＋kπ(k∈Z)，
4 3 2
2
所以ω＝4k＋ (k∈Z)，
3
2
又ω>0，所以当k＝0时，ω取得最小值为 .
3
题型三 三角函数的最值与ω的关系
[ π π]
【典例】3.已知函数f(x)＝2sin ωx在区间 − ， 上的最小值为－2，则实数ω的
3 4
取值范围是 .
[3 )
【答案】(－∞，－2]∪ ，＋∞
2
【解析】显然ω≠0.[ π π] π π
若ω>0，当x∈ − ， 时，－ ω≤ωx≤ ω，
3 4 3 4
[ π π] π π
因为函数f(x)＝2sin ωx在区间 − ， 上的最小值为－2，所以－ ω≤－ ，解得
3 4 3 2
3
ω≥ ；
2
[ π π] π π
若ω<0，当x∈ − ， 时， ω≤ωx≤－ ω，
3 4 4 3
[ π π] π π
因为函数f(x)＝2sin ωx在区间 − ， 上的最小值为－2，所以 ω≤－ ，解得
3 4 4 2
ω≤－2.
[3 )
综上所述，符合条件的实数ω的取值范围是(－∞，－2]∪ ，＋∞ .
2
【解题技巧】
利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求
出ω的值或取值范围.
【变式训练】
( π) (π) (π) (π π)
变式3.已知函数f(x)＝sin ωx＋ (ω>0)，若f ＝f ，且f(x)在区间 ，
3 6 2 6 2
内有最大值，无最小值，则ω＝ .
1
【答案】
2
π
【解析】由题意知当x＝ 时，f(x)取得最大值，
3
π π π
即 ω＋ ＝2kπ＋ (k∈Z)，
3 3 2
1
解得ω＝6k＋ (k∈Z)，
2
π π π 2π π
又 － ＝ <T，即 > ，所以ω<6，
2 6 3 ω 3
1
又ω>0，所以ω＝ .
2
题型四 三角函数的零点与ω的关系( π)
【典例】4.(2025·福州模拟)已知函数f(x)＝sin ωx＋ (ω>0)在[0，2]内有且仅有5
4
个零点，则f(x)在[0，2]内的极值点个数为( )
A.4 B.4或5
C.5 D.5或6
【答案】D
【解析】因为ω>0，当x∈[0，2]时，
π π π
≤ωx＋ ≤2ω＋ ，
4 4 4
π
由函数f(x)在[0，2]内有且仅有5个零点，得5π≤2ω＋ <6π，
4
π 11 11 π
当5π≤2ω＋ < π时，函数f(x)在[0，2]内有5个极值点，当 π≤2ω＋ <6π时，函
4 2 2 4
数f(x)在[0，2]内有6个极值点，
所以f(x)在[0，2]内的极值点个数为5或6.
【解题技巧】
T
三角函数两个零点之间的“水平间隔”为 ，根据三角函数的零点个数，可以研究ω
2
的取值.
【变式训练】
变式4.(2023·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝cos ωx－1(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有
3个零点，则ω的取值范围是 .
【答案】[2，3)
【解析】因为0≤x≤2π，
所以0≤ωx≤2ωπ，
令f(x)＝cos ωx－1＝0，
则cos ωx＝1有3个根，
令t＝ωx，则cos t＝1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]，
结合余弦函数y＝cos t的图象性质可得
4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3.
【限时训练】 （限时：60分钟）
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
( π) 3π
1.已知函数f(x)＝Asin ωx＋ (A>0，ω>0)的图象向左平移 个单位长度后与原图象
3 4
重合，则实数ω的最小值是( )
4 8 16
A. B. C. D.8
3 3 3
【答案】B
3π
【解析】由题可知， 是该函数周期的整数倍，
4
3π 2π 8k
即 ＝ ×k，k∈Z，解得ω＝ ，k∈Z，
4 ω 3
8
又ω>0，故其最小值为 .
3
( π)
2.(2025·呼和浩特模拟)已知函数f(x)＝sin ωx− (ω>0)在区间[0，π]上有且仅有两条
3
对称轴，则ω的取值范围是( )
[11 17) (17 23]
A. ， B. ，
6 6 6 6
(11 17] [17 23)
C. ， D. ，
6 6 6 6
【答案】A
【解析】x∈[0，π]，ω>0，
π [ π π]
则ωx－ ∈ − ，ωπ− ，
3 3 3
( π)
函数f(x)＝sin ωx− (ω>0)在区间[0，π]上有且仅有两条对称轴，
3
3π π 5π [11 17)
则 ≤ωπ－ < ，故ω的取值范围是 ， .
2 3 2 6 63.为了使函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为(
)
197π 199π
A.98π B. C. D.100π
2 2
【答案】B
1
【解析】由题意，在[0，1]上至少出现50次最大值即在[0，1]上至少有49 个周期，
4
197 197 197 2π
即 个周期，所以 T＝ · ≤1，
4 4 4 ω
197π 197π
所以ω≥ ，ω的最小值为 .
2 2
( π) [ π π ]
4.(2025·内江模拟)设函数f(x)＝2sin ωx＋ (ω>0)，若存在x ，x ∈ − ， ，且
6 1 2 3 3ω
x ≠x ，使得f(x )＝f(x )＝1，则ω的取值范围是( )
1 2 1 2
A.[4，＋∞) B.(4，6]
C.[6，＋∞) D.(6，10]
【答案】A
( π)
【解析】∵f(x)＝2sin ωx＋ (ω>0)，
6
[ π π ] π [ πω π π]
∴当x∈ − ， 时，ωx＋ ∈ − ＋ ， ，
3 3ω 6 3 6 2
[ π π ]
易知0∈ − ， ，f(0)＝1，
3 3ω
( 7π) [ π π ]
又2sin − ＝1，∴若存在x ，x ∈ − ， ，
6 1 2 3 3ω
且x ≠x ，使得f(x )＝f(x )＝1，
1 2 1 2
πω π 7π
则－ ＋ ≤－ ，解得ω≥4.
3 6 6
( π)
5.设函数f(x)＝sin ωx− (ω>0)，已知方程|f(x)|＝1在[0，2π]上有且仅有2个不相等
4
的实数根，则ω的取值范围是( )
( 3] [5 3)
A. 0， B. ，
4 8 4[7 11) [7 11]
C. ， D. ，
8 8 8 8
【答案】C
( π)
【解析】∵f(x)＝sin ωx− (ω>0)，
4
π [ π π]
∴当x∈[0，2π]时，ωx－ ∈ − ，2πω− ，
4 4 4
∵方程|f(x)|＝1在[0，2π]上有且仅有2个不相等的实数根，
3π π 5π 7 11
∴ ≤2πω－ < ，解得 ≤ω< .
2 4 2 8 8
( π) π
6.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ) A，ω>0，|φ|≤ ，若x＝ 为f(x)的零点，直线x
2 3
π ( π 7π)
＝－ 是f(x)图象的对称轴，且f(x)在区间 ， 上单调，则当实数ω取得最大值
6 66 66
时，φ等于( )
π π π π
A. B.－ C. D.－
6 6 3 3
【答案】B
2π ( π 7π)
【解析】因为f(x)的最小正周期T＝ ，且f(x)在区间 ， 上单调，所以
ω 66 66
T π 7π π π
＝ ≥ － ＝ ，
2 ω 66 66 11
又ω>0，故0<ω≤11， ①
π π
又因为x＝ 为f(x)的零点，直线x＝－ 是f(x)图象的对称轴，
3 6
π ( π) T T 2k＋1 2π π
所以 － − ＝ ＋k· ＝ · ＝ (k∈Z)，整理得ω＝2k＋1(k∈Z). ②
3 6 4 2 4 ω 2
由①②得0<ω≤11且ω为奇数，
π
当ω＝11时，将x＝－ 代入ωx＋φ，
6
( π)
令11× − ＋φ＝k'π(k'∈Z)，
6
11π
得φ＝k'π＋ (k'∈Z)，
6π π
又|φ|≤ ，故取k'＝－2，得φ＝－ ，
2 6
( π)
此时f(x)＝Acos 11x− (A>0).
6
π 7π π
验证当 <x< 时，0<11x－ <π，
66 66 6
( π 7π)
满足f(x)在区间 ， 上单调递减，
66 66
π
故实数ω的最大值为11，此时φ＝－ .
6
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
[ π 2π]
7.已知函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在 − ， 上单调递增，那么常数ω的一个取值可以
4 3
为( )
1 1 3
A. B. C. D.1
4 2 4
【答案】ABC
[ π 2π] 2π π ( π)
【解析】f(x)＝sin ωx(ω>0)在 − ， 上单调递增，则ω· ≤ ，ω· − ≥－
4 3 3 2 4
π
，
2
3
∴0<ω≤ ，∴选项ABC符合题意.
4
( π) ( π)
8.(2025·江门模拟)已知函数f(x)＝sin 2ωx＋ ＋sin 2ωx− ＋2❑√3cos2ωx－❑√3
3 3
(ω>0)，则下列结论正确的是( )
π
A.若f(x)相邻两条对称轴的距离为 ，则ω＝2
2
[ π]
B.当ω＝1，x∈ 0， 时，f(x)的值域为[－❑√3，2]
2
π
C.当ω＝1时，f(x)的图象向左平移 个单位长度得到图象的函数解析式为y＝2cos
6
( π)
2x＋
6[ π]
D.若f(x)在区间 0， 内有且仅有两个零点，则5≤ω<8
6
【答案】BCD
1 ❑√3 1 ❑√3
【解析】f(x)＝ sin 2ωx＋ cos 2ωx＋ sin 2ωx－ cos 2ωx＋❑√3cos 2ωx
2 2 2 2
( π)
＝sin 2ωx＋❑√3cos 2ωx＝2sin 2ωx＋ ，
3
π 2π
A项，若f(x)相邻两条对称轴的距离为 ，则T＝π＝ ，∴ω＝1，A项错误；
2 2ω
( π) [ π] π [π 4π]
B项，f(x)＝2sin 2x＋ ，当x∈ 0， 时，2x＋ ∈ ， ，则值域为[－
3 2 3 3 3
❑√3，2]，B项正确；
π
C项，当ω＝1时，f(x)的图象向左平移 个单位长度得到图象的函数解析式为y＝2sin
6
[ ( π) π] ( 2π) ( π)
2 x＋ ＋ ＝2sin 2x＋ ＝2cos 2x＋ ，C项正确；
6 3 3 6
( π) [ π] π
D项，f(x)＝2sin 2ωx＋ ，当x∈ 0， 时，ω>0，则2ωx＋ ∈
3 6 3
[π ωπ π]
， ＋ ，
3 3 3
[ π] ωπ π
若f(x)在区间 0， 内有且仅有两个零点，则2π≤ ＋ <3π，∴5≤ω<8，D项正
6 3 3
确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
( π)
9.已知函数f(x)＝2sin ωx＋ －1(ω>0)在(0，π)内恰有两个零点，则实数ω的取值范
6
围为 .
( 8]
【答案】 2，
3
( π) 1
【解析】令f(x)＝0，∴sin ωx＋ ＝ ，
6 2
π (π π)
∵x∈(0，π)，ω>0，∴ωx＋ ∈ ，ωπ＋ ，
6 6 6
∵f(x)在(0，π)内恰有两个零点，13π π 17π 8
故 <ωπ＋ ≤ ，∴2<ω≤ ，
6 6 6 3
( 8]
即实数ω的取值范围为 2， .
3
[ π]
10.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)是偶函数，且在 0， 上单调递减，则
2
φ＝ ，ω的最大值是 .
π
【答案】 2
2
π
【解析】由题意知φ＝ ＋kπ，k∈Z，
2
π
又0≤φ≤π，所以φ＝ ，
2
故函数f(x)＝cos ωx(ω>0).
令2mπ≤ωx≤π＋2mπ，m∈Z，
2mπ π 2mπ
得 ≤x≤ ＋ ，m∈Z，
ω ω ω
π
令m＝0，得0≤x≤ ，
ω
π π
所以 ≥ ，解得0<ω≤2，
ω 2
所以ω的最大值是2.
