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第 22 讲 三角函数的性质与应用 2
1.正弦函数的“五点(画图)法”
(π ) (3π )
(1)在正弦函数y=sin x(x∈[0,2π])的图象中,五个关键点是:(0,0), ,1 ,(π,0), ,-1 ,(2π,0).
2 2
(π ) (3π )
(2)在余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1), ,0 ,(π,-1), ,0 ,(2π,1).
2 2
2.由函数y=sin x的图象变换到函数y=Asin(ωx+φ)的图象
3.常用结论
函数 y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)
定义域 R
值域 [-A+b,A+b]
π
y =A+b,取得最大值的x可由ωx+φ=2kπ+ (k∈Z)解得;
max 2
最值
π
y =-A+b,取得最小值的x可由ωx+φ=2kπ- (k∈Z)解得
min 2
2π
周期性 最小正周期T=
ω
π
奇偶性 当φ=kπ(k∈Z),且b=0时,函数为奇函数;当φ=kπ+ (k∈Z)时,函数为偶函数
2
π π π
单调递增区间可由2kπ- ≤ωx+φ≤2kπ+ (k∈Z)解得;单调递减区间可由2kπ+
2 2 2
单调性
3π
≤ωx+φ≤2kπ+ (k∈Z)解得
2
π
图象的 对称轴可由ωx+φ=kπ+ (k∈Z)解得;
2
对称性
对称中心的纵坐标为b,横坐标可由ωx+φ=kπ(k∈Z)解得考点一 利用三角函数的性质求参数值
考点二 五点法求三角函数解析式
考点三 利用图像平移求函数解析式或参数值
考点一：利用三角函数的性质求参数值
例1．（2023·江苏·统考一模）已知函数 的图象关于直线 对称，则 的
值为（ ）
A． B． C． D．
例2．已知函数 的最小正周期为T，若 ，且 的图象关于
对称，则 （ ）
A． B．1 C．3 D．
考点二：五点法求三角函数解析式
例3．已知函数 的部分图象如下图所示，则 （ ）
A． B． C． D．
例4．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学统考二模）已知函数 ，当 时，取得最小值，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
考点三：利用图像平移求函数解析式或参数值
例5．为了得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个虫位长度
C．向上平移 个单位长度 D．向下平移 个单位长度
例6．将函数 的图象向右平移 个周期后，所得图象对应的函数为（ ）
A． B．
C． D．
一、单选题
1．已知函数 ， ，若当 时，总有
，则正实数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知函数 ，
则“函数 是偶函数”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．（2023·新疆阿克苏·校考一模）若函数 的图象的相邻两条对称轴之间的距离
为 ，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．3
4．已知函数 的最小正周期为 ，则函数 的图象（ ）
A．关于直线 对称 B．关于直线 对称
C．关于点 对称 D．关于点 对称
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数 的部分图像如图所示，
且 的图像关于点 中心对称，则 （ ）．
A．4 B．3 C．2 D．0
6．函数 在一个周期内的图像如图，则此函数的解析式为（ ）A． B． C． D．
7．函数 的部分图象如图所示，则 （ ）
A． B． C． D．
8．将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，且函数
的图象关于y轴对称，则 （ ）
A． B． C． D．
9．为得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）
①向左平移 个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的 ；
②向右平移 个单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的 ；
③每个点的横坐标缩短为原来的 ，再向右平移 个单位长度；
④每个点的横坐标缩短为原来的 ，再向左平移 个单位长度．A．①④ B．①③ C．②④ D．②③
10．已知曲线 ： ， ： ，则下面结论正确的是（ ）
A．把 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到
曲线
B．把 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到
曲线
C．把 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到曲
线
D．把 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，得到曲
线
11．将函数 图象上的所有点向左平移m(m>0)个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，
则m的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
12．（2023·青海·校联考模拟预测）将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数
的图象，则 的单调递增区间为（ ）
A． B．C． D．
二、填空题
13．如图是函数 ， 的部分图象，则函数 的一个解析式为
______.
14．（2023·北京海淀·统考一模）已知函数 ．若 在区间 上单调递减，
则 的一个取值可以为_________．
15．写出一个满足下列条件的正弦型函数， ____________．
①最小正周期为 ； ② 在 上单调递增； ③ 成立．
16．（2023·贵州铜仁·统考二模）若函数 在区间 上仅有一条对称轴及
一个对称中心，则 的取值范围为________．
17．已知函数 的部分图像如图所示，点A的坐标为 ，则 的值为
______.
18．函数 的图象如下，求它的解析式__________.19．函数 图象上的所有点向右平移 个单位长度，再把图象上所得点的横坐标缩短为原来
的 ，所得图象的函数解析式为_____．
20．（2023·福建厦门·统考二模）将函数 的图象向左平移 个单位长度．得
到函数g(x)的图象，若g(x)是奇函数，则φ＝_______．
