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第2 讲 基本初等函数、函数与方程（新高考专用）
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................3
【考点一】基本初等函数的图象与性质...........................................................................................3
【考点二】函数的零点...................................................................................................................4
【考点三】函数模型及其应用.........................................................................................................6
【专题精练】.................................................................................................................................8
考情分析：
目录
1
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1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型.
2.函数零点的个数判断及参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现.
3.函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型．
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
2．（2023·全国·高考真题）设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·全国·高考真题）设函数
，
，当
时，曲线
与
恰有一个交点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
4．（2022·全国·高考真题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·全国·高考真题）已知函数
．记
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2022·全国·高考真题）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·全国·高考真题）设函数
，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
真题自测
2
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二、多选题
8．（2023·全国·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级
，其中常数
是听觉下限阈值，
是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽
车
10
电动汽车
10
40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车
处测得实际声压分别为
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
三、填空题
9．（2024·全国·高考真题）已知
且
，则
．
10．（2022·全国·高考真题）若
是奇函数，则
，
．
11．（2024·全国·高考真题）曲线
与
在
上有两个不同的交点，则
的取值
范围为 ．
12．（2023·全国·高考真题）设
，若函数
在
上单调递增，则a 的取值范
围是 .
【考点一】基本初等函数的图象与性质
核心梳理：
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x 对称，它们
的图象和性质分0<a<1，a>1 两种情况，着重关注两种函数图象的异同．
考点突破
3
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一、单选题
1．（2024·山东·一模）函数
，则y = f (x)的部分图象大致形状是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·江西南昌·三模）若
，
，
，则正数
大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2024·福建厦门·模拟预测）已知函数
的定义域为
，
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
为奇函数
D．
在
上具有单调性
4．（2023·湖南·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．
的最小值为1
B．
，
C．
D．
三、填空题
5．（2024 高三·全国·专题练习）已知
.若幂函数
为奇函数，且在
上递减，则
.
4
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6．（2023·河南·二模）已知
，
，则
．
规律方法：
(1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a 的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问题时，首先要
看底数a 的取值范围．
(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．
【考点二】函数的零点
核心梳理：
判断函数零点个数的方法
(1)利用函数零点存在定理判断．
(2)代数法：求方程f(x)＝0 的实数根．
(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两
个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．
一、单选题
1．（2024·广东·模拟预测）函数
在开区间
的零点个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三下·北京·阶段练习）函数
的一个零点所在的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2024·山东潍坊·一模）函数
（
）的图象如图所示，则
（ ）
A．
的最小正周期为
B．
是奇函数
5
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C．
的图象关于直线
对称
D．若
（
）在
上有且仅有两个零点，则
4．（2024·安徽·三模）已知函数
其中
，且
，则
（ ）
A．
B．函数
有2 个零点
C．
D．
三、填空题
5．（23-24 高三上·河南·阶段练习）已知函数
在区间
上不单调，
则m 的取值范围是 ．
6．（2023·天津滨海新·三模）已知函数
，若函数
在
上恰有三
个不同的零点，则
的取值范围是 ．
规律方法：
利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法
【考点三】函数模型及其应用
核心梳理：
解函数应用题的步骤
(1)审题：缜密审题，准确理解题意，分清条件和结论，理清数量关系．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．
(4)反馈：将得到的数学结论还原为实际问题的意义．
6
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一、单选题
1．（2024·湖北·一模）某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：
百万元）与新设备运行的时间（单位：年，
）满足
，当新设备生产的产品
可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·四川·二模）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通
服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数
满足关系
，其
中
为安全距离，为车速
.当安全距离
取
时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为
（ ）
A．135
B．149
C．165
D．195
二、多选题
3．（23-24 高三上·贵州贵阳·期中）声强级
（单位：
）由公式
给出，其中
为声强（单
位：
），不同声的声强级如下，则（ ）
（
）
正常人能忍受最高声
强
正常人能忍受最低声强
正常人平时谈话声强
某人谈话
声强
（
）
120
0
80
A．
B．
C．
D．
4．（2024·湖南长沙·模拟预测）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子
组成，并带有放射性，会发生
衰变，其半衰期是12.43 年.样本中氚的质量
随时间(单位:年)的衰变规
律满足
，其中
表示氚原有的质量，则（ ）(参考数据:
)
7
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A．
B．经过
年后，样本中的氚元素会全部消失
C．经过
年后，样本中的氚元素变为原来的
D．若
年后，样本中氚元素的含量为
，则
三、填空题
5．（2024·北京海淀·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点
的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为
，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，
表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，
表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习
率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18 时，学习率衰减为0.4，则学习率衰
减到0.2 以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为 ．（参考数据：（
）
6．（2024·上海长宁·二模）甲、乙、丙三辆出租车2023 年运营的相关数据如下表：
甲
乙
丙
接单量t（单）
7831
8225
8338
油费s（元）
107150
110264
110376
平均每单里程k（公里）
15
15
15
平均每公里油费a（元）
0.7
0.7
0.7
出租车空驶率
；依据以上数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型
，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为
，则
（精确到0.01）
规律方法：
构建函数模型解决实际问题的失分点
(1)不能选择相应变量得到函数模型．
(2)构建的函数模型有误．
(3)忽视函数模型中变量的实际意义．
8
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一、单选题
1．（2024·江西景德镇·三模）已知函数
是奇函数，则
时，
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·湖南长沙·模拟预测）要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放
射性
．动植物死亡后，停止了新陈代谢，
不再产生，且原来的
会自动衰变．经过5730 年，它的
残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中
含量占原来的
，推算该古物约是
年前的
遗物（参考数据：
），则实数
的值为（ ）
A．12302
B．13304
C．23004
D．24034
3．（2023·山东菏泽·三模）已知函数
在
上为奇函数，则不等式
的解集满足（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高三上·北京·期中）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展
的风口.Peukert 于1898 年提出蓄电池的容量
（单位：
），放电时间（单位：
）与放电电流
（单
位：
）之间关系的经验公式：
，其中
为Peukert 常数.为测算某蓄电池的Peukert 常数
，在电
池容量不变的条件下，当放电电流
时，放电时间
；当放电电流
时，放电时间
.
若计算时取
，则该蓄电池的Peukert 常数
大约为（ ）
A．1.25
B．1.5
C．1.67
D．2
5．（2024·河北沧州·模拟预测）某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的
专题精练
9
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污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为
，首次改良工艺后排放
的废水中含有的污染物数量为
，第n 次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量
满足函数模
型
（
，
），其中
为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，
为首
次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n 为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超
过
时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）
（参考数据：
，
）
A．12
B．13
C．14
D．15
6．（2023·浙江宁波·一模）已知函数
的零点分别为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·四川达州·二模）定义在
上的奇函数
，满足
，当
时，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数
方程
有两个
不同的根，分别是
则
（ ）
A．
B．3
C．6
D．9
二、多选题
10
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9．（23-24 高一上·重庆·期末）已知函数
，若存在四个不同的值
，使得
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2024·云南曲靖·二模）已知集合
，定义
，则下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
与
的全部元素之和等于3874
B．若
表示实数集，
表示正实数集，则
C．若
表示实数集，则
D．若
表示正实数集，函数
，则2049 属于函数
的值域
11．（2024·江苏·一模）已知
，且
，
，则( )
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．（2024·吉林长春·模拟预测）已知
为幂函数，则曲线
在点
处的切线的方程为
．
13．（2023·北京·模拟预测）农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8 块面积相
等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：
11
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根据上表所提供信息，第 号区域的总产量最大．
14．（2024·上海·模拟预测）已知正实数满足，，则 .
12
