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第2 讲 基本初等函数、函数与方程（新高考专用）
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】...............................................................................................................................12
【考点一】基本初等函数的图象与性质.........................................................................................12
【考点二】函数的零点..................................................................................................................16
【考点三】函数模型及其应用.......................................................................................................22
【专题精练】...............................................................................................................................26
考情分析：
目录
1
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1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型.
2.函数零点的个数判断及参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现.
3.函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型．
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
2．（2023·全国·高考真题）设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·全国·高考真题）设函数
，
，当
时，曲线
与
恰有一个交点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
4．（2022·全国·高考真题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·全国·高考真题）已知函数
．记
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2022·全国·高考真题）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·全国·高考真题）设函数
，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
真题自测
2
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二、多选题
8．（2023·全国·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级
，其中常数
是听觉下限阈值，
是实际声压．下表为不同声源的声压级：
声源
与声源的距离
声压级
燃油汽车
10
混合动力汽
车
10
电动汽车
10
40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车
处测得实际声压分别为
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
三、填空题
9．（2024·全国·高考真题）已知
且
，则
．
10．（2022·全国·高考真题）若
是奇函数，则
，
．
11．（2024·全国·高考真题）曲线
与
在
上有两个不同的交点，则
的取值
范围为 ．
12．（2023·全国·高考真题）设
，若函数
在
上单调递增，则a 的取值范
围是 .
参考答案：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
D
D
A
A
C
C
ACD
1．D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
3
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【详解】因为
为偶函数，则
，
又因为
不恒为0，可得
，即
，
则
，即
，解得
.
故选：D.
2．D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数
在R 上单调递增，而函数
在区间
上单调递减，
则有函数
在区间
上单调递减，因此
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故选：D
3．D
【分析】解法一：令
，分析可知曲线
与
恰有一个交点，结合
偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得
，并代入检验即可；解法二：令
，可知h(x)为偶函数，根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0，即可得
，并代入检验即可.
【详解】解法一：令
，即
，可得
，
令
，
原题意等价于当
时，曲线
与
恰有一个交点，
注意到
均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，
可得
，即
，解得
，
4
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若
，令
，可得
因为x∈(−1,1)，则
，当且仅当
时，等号成立，
可得
，当且仅当
时，等号成立，
则方程
有且仅有一个实根0，即曲线
与
恰有一个交点，
所以
符合题意；
综上所述：
.
解法二：令
，
原题意等价于h(x)有且仅有一个零点，
因为
，
则h(x)为偶函数，
根据偶函数的对称性可知h(x)的零点只能为0，
即
，解得
，
若
，则
，
又因为
当且仅当
时，等号成立，
可得
，当且仅当
时，等号成立，
即h(x)有且仅有一个零点0，所以
符合题意；
故选：D.
4．A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知
，再利用基本不等式，换底公式
可得
，
，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
5
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由
可得
，而
，所以
，
即
，所以
.
又
，所以
，即
，
所以
.综上，
.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由
，可得
．
根据
的形式构造函数
，则
，
令
，解得
，由
知
.
在
上单调递增，所以
，即
，
又因为
，所以
.
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用
的形式构造函数
，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该
题的最优解．
5．A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令
，则
开口向下，对称轴为
，
因为
，而
，
6
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所以
，即
由二次函数性质知
，
因为
，而
，
即
，所以
，
综上，
，
又
为增函数，故
，即
.
故选：A.
6．C
【分析】构造函数
， 导数判断其单调性，由此确定
的大小.
【详解】方法一：构造法
设
，因为
，
当
时，
，当
时
，
所以函数
在
单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
，故
，即
，
所以
，所以
，故
，所以
，
故
，
设
，则
,
令
，
，
7
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当
时，
，函数
单调递减，
当
时，
，函数
单调递增，
又
，
所以当
时，
，
所以当
时，
，函数
单调递增，
所以
，即
，所以
故选：C.
方法二：比较法
解：
，
，
，
①
，
令
则
，
故
在
上单调递减，
可得
，即
，所以
；
②
，
令
则
，
令
，所以
，
所以
在
上单调递增，可得
，即
，
所以
在
上单调递增，可得
，即
，所以
故
7．C
【分析】解法一：由题意可知：
的定义域为
，分类讨论
与
的大小关系，结合符号
分析判断，即可得
，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析
的符号，进而可得
8
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的符号，即可得
，代入可得最值.
【详解】解法一：由题意可知：
的定义域为
，
令
解得
；令
解得
；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
若
，当
时，可知
，此时
；
当
时，可知
，此时
；
可知若
，符合题意；
若
，当
时，可知
，
此时
，不合题意；
综上所述：
，即
，
则
，当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
；
解法二：由题意可知：
的定义域为
，
令
解得
；令
解得
；
则当
时，
，故
，所以
；
时，
，故
，所以
；
故
， 则
，
当且仅当
时，等号成立，
9
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所以
的最小值为
.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：分别求
、
的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，
结合符号性分析判断.
8．ACD
【分析】根据题意可知
，结合对数运算逐项分析判断.
【详解】由题意可知：
，
对于选项A：可得
，
因为
，则
，即
，
所以
且
，可得
，故A 正确；
对于选项B：可得
，
因为
，则
，即
，
所以
且
，可得
，
当且仅当
时，等号成立，故B 错误；
对于选项C：因为
，即
，
可得
，即
，故C 正确；
对于选项D：由选项A 可知：
，
10
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且
，则
，
即
，可得
，且
，所以
，故D 正确；
故选：ACD.
9．64
【分析】将
利用换底公式转化成
来表示即可求解.
【详解】由题
，整理得
，
或
，又
，
所以
，故
故答案为：64.
10．
；
．
【分析】根据奇函数的定义即可求出．
【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若
，则
的定义域为
，不关于原点对称
若奇函数的
有意义，则
且
且
，
函数
为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得
，
由
得，
，
，
故答案为：
；
．
11
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[方法二]：函数的奇偶性求参
函数
为奇函数
[方法三]：
因为函数
为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由
可得，
，所以
，解得：
，即函数的定义域为
，再由
可得，
．即
，在定义域
内满足
，符合题意．
故答案为：
；
．
11．
【分析】将函数转化为方程，令
，分离参数
，构造新函数
结合
导数求得
单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.
12
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【详解】令
，即
，令
则
，令
得
，
当x∈(0,1)时，
，
单调递减，
当x∈(1,+∞)时，
，
单调递增，
，
因为曲线
与
在(0,+∞)上有两个不同的交点，
所以等价于
与
有两个交点，所以
.
故答案为：
12．
【分析】原问题等价于
恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可
得
，由右侧函数的单调性可得实数
的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数
的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得
在区间
上恒成立，
则
，即
在区间
上恒成立，
13
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故
，而
，故
，
故
即
，故
，
结合题意可得实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
【考点一】基本初等函数的图象与性质
核心梳理：
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x 对称，它们
的图象和性质分0<a<1，a>1 两种情况，着重关注两种函数图象的异同．
一、单选题
1．（2024·山东·一模）函数
，则y = f (x)的部分图象大致形状是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·江西南昌·三模）若
，
，
，则正数
大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2024·福建厦门·模拟预测）已知函数
的定义域为
，
，且
，则
考点突破
14
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（ ）
A．
B．
C．
为奇函数
D．
在
上具有单调性
4．（2023·湖南·模拟预测）已知函数
，则（ ）
A．
的最小值为1
B．
，
C．
D．
三、填空题
5．（2024 高三·全国·专题练习）已知
.若幂函数
为奇函数，且在
上递减，则
.
6．（2023·河南·二模）已知
，
，则
．
参考答案：
题号
1
2
3
4
答案
A
B
AC
ACD
1．A
【分析】根据函数奇偶性以及
时函数值的正负，通过排除法得答案.
【详解】函数
的定义域为
，
，
即函数
为偶函数，排除BD；
当
时，
，排除C.
15
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故选：A.
2．B
【分析】将问题转化为函数与函数的交点的横坐标，再数形结合即可判断.
【详解】由
，则
为
与
交点的横坐标，
由
，则
为
与
交点的横坐标，
由
，即
，则为
与
交点的横坐标，
作出
，
，
，
的图象如下所示，
由图可知，
.
故选：B
3．AC
【分析】根据题意，令
即可判断A，令
，
，即可判断B，令
结合函数奇偶性的
定义即可判断C，令
即可判断D
【详解】对A：令
，则有
，即
，故A 正确；
对B：
，
，则有
，即
，
由
，
，故
，即
，故B 错误；
对C：令
，则有
，即
，
16
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即
，又函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
，
故函数
为奇函数，故C 正确；
对D：令
，则有
，即
，
即有
，则当
时，有
，即
，
故
在
上不具有单调性，故D 错误.
故选：AC
4．ACD
【分析】根据对数函数的单调性即可求解AB，由二次函数的性质，结合对数的运算，即可求解CD.
【详解】
，当且仅当
时，
取得最小值1，A 正确．
因为当且仅当
时，
取得最小值，且最小值为1，所以
，所以
，B 错误．
因为
，所以
，又
，且
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
，C 正确．
因为
，所以
，所以，D 正确．
故选：ACD
5．
【分析】由幂函数
在
上递减得
，又由幂函数
为奇函数，验证即可求解.
【详解】因为幂函数
在
上递减，所以
，
又幂函数
为奇函数，所以
.
故答案为：
17
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6．
/0.1
【分析】根据指对数互化可得
，结合
求参数值即可.
【详解】由题设
，则
且
，
所以
，即
，故
.
故答案为：
规律方法：
(1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a 的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问题时，首先要
看底数a 的取值范围．
(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．
【考点二】函数的零点
核心梳理：
判断函数零点个数的方法
(1)利用函数零点存在定理判断．
(2)代数法：求方程f(x)＝0 的实数根．
(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两
个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．
一、单选题
1．（2024·广东·模拟预测）函数
在开区间
的零点个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三下·北京·阶段练习）函数
的一个零点所在的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2024·山东潍坊·一模）函数
（
）的图象如图所示，则
（ ）
18
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A．
的最小正周期为
B．
是奇函数
C．
的图象关于直线
对称
D．若
（
）在
上有且仅有两个零点，则
4．（2024·安徽·三模）已知函数
其中
，且
，则
（ ）
A．
B．函数
有2 个零点
C．
D．
三、填空题
5．（23-24 高三上·河南·阶段练习）已知函数
在区间
上不单调，
则m 的取值范围是 ．
6．（2023·天津滨海新·三模）已知函数
，若函数
在
上恰有三
个不同的零点，则
的取值范围是 ．
参考答案：
题号
1
2
3
4
答案
D
B
ACD
ACD
19
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1．D
【分析】法一：由
，令
求解；法二：由
，令
求解.
【详解】解：法一：
，
，
令
，则
或
，
即：
或
或
，
如图所示：
由图像可知，
函数
共8 个零点.
法二：因为
，
20
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由
，得
，或
，
所以
，或
，即
，或
，
，
因为
，
所以
，或
共个零点.
故选：D
2．B
【分析】先判断
的单调性，结合零点存在性定理分析判断.
【详解】因为
的定义域为
，且
在
内单调递增，
可知
在
内单调递增，
且
，
所以函数
的唯一一个零点所在的区间是
.
故选：B.
3．ACD
【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数
，结合给定图象求出
，再逐项判断即可.
【详解】依题意，
，
由
，得
，解得
，而
，
解得
，
，
的最小正周期为
，A 正确；
是偶函数，B 错误；
，令
，
则
，
21
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的图象关于直线
对称，C 正确；
，
，当
时，
，
依题意，
，解得
，D 正确.
故选：ACD
4．ACD
【分析】先作出函数图象，结合图象逐一判定即可.
【详解】解：
，故A 正确；
作出函数
的图象如图所示，
观察可知，
，而
，
故y = f (x)，
有3 个交点，
即函数
有3 个零点，故B 错误；
由对称性，
，而
，
故
，故C 正确；
b，c 是方程
的根，故
，
令
，则
，
22
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故
，而
，
均为正数且在(0,4)上单调递增，
故
，故D 正确，
故选：ACD.
5．
【分析】即导函数在在区间
内有零点.
【详解】由题意知
，
因为
在区间
上不单调，
即
在区间
有零点，
又
，即为
的零点
在区间
内，
所以
解得
，即m 的取值范围是
．
故答案为：
6．
【分析】根据函数与方程之间的关系转化两个函数图象交点个数问题，利用分段函数的表达式，结合题意
将其转化为二次函数根的分布问题，利用数形结合进行求解即可．
【详解】当
时，
，
因为
恰有三个不同的零点，
函数
在
上恰有三个不同的零点，即
有三个解，
而
无解，故
.
23
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当
时，函数
在
上恰有三个不同的零点，
即
，即
与
的图象有三个交点，如下图，
当
时，
与
必有1 个交点，
所以当
时，
有2 个交点，
即
，即令
在
内有两个实数解，
，
当
时，函数
在
上恰有三个不同的零点，
即
，即
与
的图象有三个交点，如下图，
24
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当
时，
必有1 个交点，
当
时，
与
有2 个交点，
所以
，即
在
上有
根，
令
故
，解得：
.
综上所述：
的取值范围是
.
故答案为：
.
【点睛】关键点睛：本题主要考查函数方程的应用，结合分段函数的表达式转化为两个函数交点个数问题，
数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
规律方法：
利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法
【考点三】函数模型及其应用
核心梳理：
解函数应用题的步骤
(1)审题：缜密审题，准确理解题意，分清条件和结论，理清数量关系．
(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．
(4)反馈：将得到的数学结论还原为实际问题的意义．
一、单选题
1．（2024·湖北·一模）某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润（单位：
25
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百万元）与新设备运行的时间（单位：年，
）满足
，当新设备生产的产品
可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2021·四川·二模）单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通
服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数
满足关系
，其
中
为安全距离，为车速
.当安全距离
取
时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为
（ ）
A．135
B．149
C．165
D．195
二、多选题
3．（23-24 高三上·贵州贵阳·期中）声强级
（单位：
）由公式
给出，其中
为声强（单
位：
），不同声的声强级如下，则（ ）
（
）
正常人能忍受最高声
强
正常人能忍受最低声强
正常人平时谈话声强
某人谈话
声强
（
）
120
0
80
A．
B．
C．
D．
4．（2024·湖南长沙·模拟预测）氚，亦称超重氢，是氢的同位素之一，它的原子核由一个质子和两个中子
组成，并带有放射性，会发生
衰变，其半衰期是12.43 年.样本中氚的质量
随时间(单位:年)的衰变规
律满足
，其中
表示氚原有的质量，则（ ）(参考数据:
)
A．
26
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B．经过
年后，样本中的氚元素会全部消失
C．经过
年后，样本中的氚元素变为原来的
D．若
年后，样本中氚元素的含量为
，则
三、填空题
5．（2024·北京海淀·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点
的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为
，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，
表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数，
表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习
率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18 时，学习率衰减为0.4，则学习率衰
减到0.2 以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为 ．（参考数据：（
）
6．（2024·上海长宁·二模）甲、乙、丙三辆出租车2023 年运营的相关数据如下表：
甲
乙
丙
接单量t（单）
7831
8225
8338
油费s（元）
107150
110264
110376
平均每单里程k（公里）
15
15
15
平均每公里油费a（元）
0.7
0.7
0.7
出租车空驶率
；依据以上数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型
，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为
，则
（精确到0.01）
参考答案：
题号
1
2
3
4
答案
B
B
BC
CD
1．B
【分析】由已知可得
，当
和
时分别求得最大值，即可求解.
27
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【详解】由题意，新设备生产的产品可获得的年平均利润
，
当
时，
，当且仅当
时，等号成立，
则
，
所以当
时，
取得最大值，且最大值为
，
当
时，
，
所以函数在
上单调递减，
所以当
时，
取得最大值，且最大值为
，
故当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间
.
故选：
.
2．B
【分析】把给定函数变形，利用基本不等式即可得解.
【详解】由题意得，
，当且仅当
，即
时取“=”，
所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.
故选：B
3．BC
【分析】根据表格的前2 个数据求函数的解析式，再根据解析式，判断选项.
【详解】由表格可知，当
时，
，得
，
当
时，
，得
，
所以
，故A 错误；
，则
，故B 正确；
28
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当
时，
，故C 正确；
当
时，即
，得
，则
，故D 错误.
故选：BC
4．CD
【分析】利用给定式子进行化简判断A，代入求值判断B，C，解方程求出
，再判断D 即可.
【详解】由题意得
，故有
，
左右同时取对数得
，故得
，故A 错误，
当
时，
，故B 错误，
而当
时，
，
得到经过
年后，样本中的氚元素变为原来的
，故C 正确，
由题意得
，化简得
，
，
将
代入其中，可得
，故D 正确.
故选：CD
5．74
【分析】根据已知条件列方程，可得
，再由
，结合指对数关系和对数函数的性质求解
即可．
【详解】由于
，所以
，
依题意
，则
，
29
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则
，
由
，
所以，即
，
所以所需的训练迭代轮数至少为74 次．
故答案为：74.
6．
【分析】根据题意得到出租车空驶率的模型，检验甲、乙两辆出租车的空驶率，满足题意，从而利用该模
型求得丙的空驶率，从而得解.
【详解】依题意，因为出租车行驶的总里程为
，出租车有载客时行驶的里程为
，
所以出租车空驶率
，
对于甲，
，满足题意；
对于乙，
，满足题意；
所以上述模型满足要求，
则丙的空驶率为
，即
.
故答案为：
.
规律方法：
构建函数模型解决实际问题的失分点
(1)不能选择相应变量得到函数模型．
(2)构建的函数模型有误．
(3)忽视函数模型中变量的实际意义．
一、单选题
专题精练
30
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1．（2024·江西景德镇·三模）已知函数
是奇函数，则
时，
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023·湖南长沙·模拟预测）要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放
射性
．动植物死亡后，停止了新陈代谢，
不再产生，且原来的
会自动衰变．经过5730 年，它的
残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中
含量占原来的
，推算该古物约是
年前的
遗物（参考数据：
），则实数
的值为（ ）
A．12302
B．13304
C．23004
D．24034
3．（2023·山东菏泽·三模）已知函数
在
上为奇函数，则不等式
的解集满足（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高三上·北京·期中）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展
的风口.Peukert 于1898 年提出蓄电池的容量
（单位：
），放电时间（单位：
）与放电电流
（单
位：
）之间关系的经验公式：
，其中
为Peukert 常数.为测算某蓄电池的Peukert 常数
，在电
池容量不变的条件下，当放电电流
时，放电时间
；当放电电流
时，放电时间
.
若计算时取
，则该蓄电池的Peukert 常数
大约为（ ）
A．1.25
B．1.5
C．1.67
D．2
5．（2024·河北沧州·模拟预测）某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的
污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为
，首次改良工艺后排放
31
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的废水中含有的污染物数量为
，第n 次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量
满足函数模
型
（
，
），其中
为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，
为首
次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量，n 为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超
过
时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（ ）
（参考数据：
，
）
A．12
B．13
C．14
D．15
6．（2023·浙江宁波·一模）已知函数
的零点分别为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·四川达州·二模）定义在
上的奇函数
，满足
，当
时，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知函数
方程
有两个
不同的根，分别是
则
（ ）
A．
B．3
C．6
D．9
二、多选题
9．（23-24 高一上·重庆·期末）已知函数
，若存在四个不同的值
，使得
32
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，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2024·云南曲靖·二模）已知集合
，定义
，则下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
与
的全部元素之和等于3874
B．若
表示实数集，
表示正实数集，则
C．若
表示实数集，则
D．若
表示正实数集，函数
，则2049 属于函数
的值域
11．（2024·江苏·一模）已知
，且
，
，则( )
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．（2024·吉林长春·模拟预测）已知
为幂函数，则曲线
在点
处的切线的方程为
．
13．（2023·北京·模拟预测）农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8 块面积相
等的区域（除了种植密度，其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：
根据上表所提供信息，第 号区域的总产量最大．
33
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14．（2024·上海·模拟预测）已知正实数
满足
，
，则
.
参考答案：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
C
B
D
D
C
B
ABD
BD
题号
11
答案
ACD
1．C
【分析】设
，利用
时，
和
可求得
的解析式.
【详解】设
，则
，
所以
，
又函数
是奇函数，所以
，即
，
.
即
.
故选：C
2．B
【分析】设
每年的衰变率为
，古物中原
的含量为
，然后根据半衰期，建立方程，将已知条件带
入取对数，利用对数性质运算即可.
【详解】设
每年的衰变率为
，古物中原
的含量为
，
由半衰期，得
．
所以
，即
．
由题意，知
，即
．
于是
．
所以
．
故选：B．
34
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3．C
【分析】根据函数的奇偶性求出参数
、
、的值，从而得到函数解析式与定义域，再判断函数的单调性，
结合单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】因为函数
在
上为奇函数,
所以
，解得
，又
，
即
，
所以
，解得
，解得
，
所以
，
，
由
与
在定义域
上单调递增，所以
在定义域
上单调递增，
则不等式
，即
，等价于
，
所以
，解得
，即不等式的解集为
.
故选：C
4．B
【分析】由已知可得出
，可得出
，利用指数与对数的互化、换底公式以及对数的运
算法则计算可得
的近似值.
【详解】由题意可得
，所以
，所以
，
所以
.
故选：B.
5．D
35
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【分析】由题意，根据指数幂和对数运算的性质可得
，由
，解不等式即可求
解.
【详解】由题意知
，
，
当
时，
，故
，解得
，
所以
．
由
，得
，即
，
得
，又
，
所以
，
故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要15 次．
故选：D
6．D
【分析】根据指数函数、对数函数的性质可判断
小于1，
大于1，再由数形结合判断
即可.
【详解】令
，可得
，所以
，即
；
令
，可得
，即
，所以
，
即
；
令
，可得
，由此可得
，所以
，
即
，
作
的图象，如图，
36
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由图象可知，
，所以
.
故选：D
7．C
【分析】由定义在
上奇函数的性质求得
，进而求得
，再结合函数的奇偶性及对称性得出周期，进
而求得
，结合
列出方程求解即可．
【详解】因为
是定义在
上的奇函数，当
时，
，
所以
，解得
，
所以
，
由
及
得，
，
所以
，即
周期为4，
所以
，
，
因为
，
所以
，解得
，
所以
，
故选：C．
8．B
【分析】方程
有两个不同的根等价于函数
与
的图象有两个交点，作
出函数
与
的图象，根据数形结合计算即可得出结果.
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【详解】由题意得：
为R 上的增函数，且
当
时，
，
，
当
时，g(x)>0，
，
方程
有两个不同的根等价于函数
与
的图象有两个交点，
作出函数
与
的图象如下图所示：
由图可知
与
图象关于
对称，
则
两点关于
对称，中点
在
图象上，
由
，解得：
.
所以
.
故选：B
9．ABD
【分析】由
的图象，求出特殊点，结合条件逐一比较分析判断.
【详解】当
时，
，当
时，
，当
时，f (1)=0，
由图像可知，
，此时
，解得
，故A 对；
因为
关于
对称，所以
，又
，
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，故B 对；
由
，得
，由
，得
，
由
，得
，故C 错；
，故D 对.
故选：ABD
10．BD
【分析】对于A：根据题意可得
，
，即可得结果；对于B：根据题意结合指数
函数的值域分析判断；对于C：根据题意结合幂函数值域分析判断；对于D：根据题意取特值检验即可.
【详解】对于选项A：因为
，
根据所给定义可得
，
，
则
与
的全部元素之和等于3872，故选项A 错误；
对于选项B：
，故选项B 正确；
对于选项C：
，表示幂函数
的值域，
可知幂函数
的值域为
，即
，故选项C 错误；
对于选项D：因为
，
当
时，则
，
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可得
，故选项D 正确.
故选：BD.
11．ACD
【分析】用对数表示x，y，利用对数函数的性质、对数的计算、基本不等式等即可逐项计算得到答案．
【详解】∵
，∴
，同理
，
∵
在x>0时递增，故
，故A 正确；
∵
，∴B 错误；
∵
，
，∴
，当且仅当
时等号成立，而
，故
，∴C 正确；
∴
，即
，∴D 正确．
故选：ACD．
12．
【分析】首先利用待定系数法求出幂函数的解析式，再结合导函数的几何意义求切线方程即可.
【详解】设
，将
代入得
，
所以
，
所以切线方程为
，即
．
故答案为：
.
13．5
【分析】分别求出种植密度函数和单株产量函数的解析式，再求总产量的函数解析式，由此确定其最大值
及取最大值的条件即可.
【详解】设区域代号为
，种植密度为
，单株产量为
，则
，
40
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由图象可得种植密度
是区域代号
的一次函数，
故设
，
，
由已知函数
的图象经过点
,
，
所以
，解得
，
所以
，
由图象可得单株产量
是区域代号
的一次函数，
故可设
，
，
观察图象可得当
时，
，当
时，
，
所以
，解得
，
所以
，
所以总产量
当
时，函数
有最大值，即号区域总产量最大，最大值为
.
故答案为：5.
14．
/
【分析】令
，则由
可得
，从而可求出的值，再结合
求出
，
即可得解.
【详解】令
，则
，
由
，得
，
41
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所以
，解得
或
，
所以
或
，
所以
或
，
当
时，则
，
由
，得
，所以
，
由
，又a>0，解得
，
所以
；
当
时，由
，得
，所以
，
由
，又a>0，解得
，
所以
，
综上所述，
.
故答案为：
.
42
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43
