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专题02常用逻辑用语
知 考纲要求
识
考点预测
梳
理 常用结论
方法技巧
题型一：充分、必要条件的判定
题 题型二：由充分条件、必要条件求参数的范围
型
题型三：充要条件的探求与证明
归
类 题型四：全称量词与存在量词
题型五：命题中参数的取值范围
训练一：
培 训练二：
优
训练三：
训
练 训练四：
训练五：
训练六：
强 单选题：共8题
化
多选题：共4题
测
试 填空题：共4题
解答题：共6题
一、【知识梳理】
【考纲要求】
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义.
2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系.
3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确对两种命题进行否定.
【考点预测】
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
⇒
p是q的必要不充分条件 p q且q p
⇒ ⇒
p是q的充要条件 p q
⇒ ⇒
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
⇔
⇒ ⇒2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符
号“∀”表示.
(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符
号“∃”表示.
3.全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 x∈M，非p(x) x∈M，非 p(x)
∀ ∃
【常用结论】
∃ ∀
1.区别A是B的充分不必要条件(A B且B A)，与A的充分不必要条件是B(B A且A B)两
者的不同.
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
2.充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
(1)若A B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.
(2)若A是B的真子集，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.
⊆
(3)若A＝B，则p是q的充要条件.
3.p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件.
4.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.
5.对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定.
6.命题p和非p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真
假.
【方法技巧】
1.充分条件、必要条件的两种判定方法：
(1)定义法：根据p q，q p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的
⇒ ⇒
推断问题.
2.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出
关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.
3.量词的否定注意事项(1)含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论.
(2)判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)
成立；要判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个 x，使p(x)
成立即可.
(3)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是
利用等价命题，即p与非p的关系，转化成非p的真假求参数的范围.
二、【题型归类】
【题型一】充分、必要条件的判定
【典例1】已知p：x<1，q：log x<0，则p是q的( )
2
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【典例2】等比数列{a }的公比为q，前n项和为S .设甲：q>0，乙：{S }是递增数列，则(
n n n
)
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【典例3】在△ABC中，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【题型二】由充分条件、必要条件求参数的范围
【典例1】已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈A是x∈B
的必要条件，求m的取值范围．【典例2】已知p：x≥a，q：|x＋2a|<3，且p是q的必要不充分条件，则实数 a的取值范围是(
)
A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)
C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)
【典例 3】若不等式(x－a)2<1 成立的充分不必要条件是 1<x<2，则实数 a 的取值范围是
________．
【题型三】充要条件的探求与证明
【典例 1】数列{a }的前 n 项和 S ＝An2＋Bn(A，B 是常数)是数列{a }是等差数列的什么条
n n n
件？
【典例2】已知m∈Z，关于x的一元二次方程
x2－4x＋4m＝0， ①
x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，②
求方程①②的根都是整数的充要条件．【典例3】求方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．
【题型四】全称量词与存在量词
【典例1】下列四个命题中真命题是( )
A．∀n∈R，n2≥n
B．∃n∈R，∀m∈R，m·n＝m
C．∀n∈R，∃m∈R，m2<n
D．∀n∈R，n2<n
【典例2】下列命题中的假命题是( )
A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N
＋
，(x－1)2>0
C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，tan x＝2
【典例3】已知命题p：∀x ，x ∈R，[f(x )－f(x )](x －x )≥0，则¬p是( )
1 2 2 1 2 1
A．∃x ，x ∈R，[f(x )－f(x )](x －x )≤0
1 2 2 1 2 1
B．∀x ，x ∈R，[f(x )－f(x )](x －x )≤0
1 2 2 1 2 1
C．∃x ，x ∈R，[f(x )－f(x )](x －x )<0
1 2 2 1 2 1
D．∀x ，x ∈R，[f(x )－f(x )](x －x )<0
1 2 2 1 2 1
【题型五】命题中参数的取值范围
【典例1】已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对∀x ∈[0,3]，∃x ∈[1,2]，使得f(x )≥g(x )，
1 2 1 2
则实数m的取值范围是________________．
【典例 2】已知命题“∀x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，则实数 a 的取值范围是
______________．【典例3】若命题“∀x∈[1,4]，x2－4x－m≠0”是假命题，则m的取值范围是( )
A．－4≤m≤－3 B．m<－4
C．m≥－4 D．－4≤m≤0
三、【培优训练】
【训练一】已知函数f(x)＝(x≥2)，g(x)＝ax(a＞1).
(1)若∃x∈[2，＋∞)，使f(x)＝m成立，则实数m的取值范围为________；
(2)若∀x ∈[2，＋∞)，∃x ∈[2，＋∞)，使得f(x )＝g(x )，则实数a的取值范围为________.
1 2 1 2
【训练二】(多选)下列说法正确的是( )
A.“ac＝bc”是“a＝b”的充分不必要条件
B.“＞”是“a＜b”的既不充分也不必要条件
C.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A B
D.“a＞b＞0”是“an＞bn(n∈N，n≥2)”的充要条件
⊆
【训练三】f(x)＝－x2－6x－3，记max{p，q}表示p，q二者中较大的一个，函数 g(x)＝max，
若 m<－2，且∀x ∈[m，－2]，∃x ∈[0，＋∞)，使 f(x )＝g(x )成立，则 m 的最小值为
1 2 1 2
________．
【训练四】已知p：实数m满足3a<m<4a(a>0)，q：方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若
p是q的充分条件，则a的取值范围是________________．
【训练五】设函数f(x)＝lg(x2－x－2)的定义域为集合A，函数g(x)＝的定义域为集合B.已知
α：x∈A∩B，β：x满足2x＋p≤0.且α是β的充分条件，求实数p的取值范围．
【训练六】(多选)已知a∈R，则使命题“∀x∈，x2－sin x－a≥0”为真命题的一个充分不必要
条件是( )
A．a<1 B．a≤2
C．a< D．a≤
四、【强化测试】
【单选题】
1. 设U为全集，A，B是集合，则“存在集合 C使得A C，B ∁U C” 是“A∩B＝∅”的(
⊆ ⊆)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2. 命题p：存在常数列不是等比数列，则命题﹁p为( )
A．任意常数列不是等比数列
B．存在常数列是等比数列
C．任意常数列都是等比数列
D．不存在常数列是等比数列
3. 设平面向量a，b，c均为非零向量，则“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4. 已知f(x)＝sin x－x，命题p：∃x∈，f(x)<0，则( )
A．p是假命题，﹁p：∀x∈，f(x)≥0
B．p是假命题，﹁p：∃x∈，f(x)≥0
C．p是真命题，﹁p：∀x∈，f(x)≥0
D．p是真命题，﹁p：∃x∈，f(x)≥0
5. 已知命题“∃x ∈R，使2x＋(a－1)x ＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是( )
0 0
A．(－∞，－1) B．(－1，3)
C．(－3，＋∞) D．(－3，1)
6. 王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句
中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7. “ln(x＋1)<0”是“x2＋2x<0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8. “a<1”是“∀x>0，≥a”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【多选题】
9. 已知a，b，c是实数，则下列结论中正确的是( )
A．“a2>b2”是“a>b”的充分条件
B．“a2>b2”是“a>b”的必要条件
C．“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件
D．“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件
10. 下列说法正确的是( )
A．“x＝”是“tan x＝1”的充分不必要条件
B．定义在[a，b]上的偶函数f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b的最大值为30
C．命题“∃x ∈R，x ＋≥2”的否定是“∀x∈R，x＋>2”
0 0
D．函数y＝sin x＋cos x－无零点
11. 下列命题的否定是全称命题且为真命题的有( )
A．∃x∈R，x2－x＋<0
B．所有的正方形都是矩形
C．∃x∈R，x2＋2x＋2＝0
D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0
12. 已知两条直线l，m及三个平面α，β，γ，则α⊥β的充分条件是( )
A．l α，l⊥β B．l⊥α，m⊥β，l⊥m
C．α⊥γ，β∥γ D．l α，m β，l⊥m
⊂
【填空题】
⊂ ⊂
13. 若命题p的否定是“∀x∈(0，＋∞)，>x＋1”，则命题p可写为_______________．
14. 在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的________条件．
15. 条件p：x>a，条件q：x≥2.
(1)若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是___________________________；
(2)若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是____________________________．
16. 若∃x ∈，使得2x－λx ＋1＜0成立是假命题，则实数λ的取值范围是________．
0 0
【解答题】
17. 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的取值范围；
(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，若存在，求出m的取值范围．18. 已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若非p是非q的必要不充分条件，求实数m的
取值范围．
19. 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，
求m的取值范围．
20. 已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数 m的取值范
围．21. 已知x，y∈R，求证：＝＋成立的充要条件是xy≥0.
22. 条件p：x>a，条件q：x≥2.
(1)若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围；
(2)若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．
