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专题 02 平面向量
（新课标全国Ⅰ卷）1．已知向量 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为 ，所以 ， ，
由 可得， ，
即 ，整理得： ．
故选：D．
（新课标全国Ⅱ卷）2．已知向量 ， 满足 ， ，则 ______．
【答案】
【详解】法一：因为 ，即 ，
则 ，整理得 ，
又因为 ，即 ，
则 ，所以 .
法二：设 ，则 ，
由题意可得： ，则 ，
整理得： ，即 .
故答案为： .
（全国乙卷数学（文））3．正方形 的边长是2， 是 的中点，则 （ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】B
【详解】方法一：以 为基底向量，可知 ，
则 ，所以 ；
方法二：如图，以 为坐标原点建立平面直角坐标系，
则 ，可得 ，
所以 ；
方法三：由题意可得： ，
在 中，由余弦定理可得 ，
所以 .
故选：B.
（全国乙卷数学（理））4．已知 的半径为1，直线PA与 相切于点A，直线PB与 交于B，C两
点，D为BC的中点，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】如图所示， ，则由题意可知: ，
由勾股定理可得当点 位于直线 异侧时，设 ，
则：
，则
当 时， 有最大值 .
当点 位于直线 同侧时，设 ，
则：，则
当 时， 有最大值 .
综上可得， 的最大值为 .
故选：A.
（全国甲卷数学（文））5．已知向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，所以 ，
则 ， ，
所以 .
故选：B.
（全国甲卷数学（理））6．向量 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为 ,所以 ,
即 ,即 ,所以 .
如图,设 ,
由题知, 是等腰直角三角形,AB边上的高 ,
所以 ,
,
.
故选:D.
（新高考天津卷）7．在 中， ， ，点 为 的中点，点 为 的中点，若设
，则 可用 表示为_________；若 ，则 的最大值为_________．
【答案】
【详解】空1：因为 为 的中点，则 ，可得 ，
两式相加，可得到 ，
即 ，则 ；
空2：因为 ，则 ，可得 ，
得到 ，
即 ，即 .
于是 .
记 ，
则 ，
在 中，根据余弦定理： ，
于是 ，
由 和基本不等式， ，故 ，当且仅当 取得等号，
则 时， 有最大值 .
故答案为： ； .
1．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知向量 ， 满足 ，且 ， ，则
（ ）
A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【详解】 ，所以
，
故选：D
2．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）如图，在 中，点 在 的延长线上，
，如果 ，那么（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【详解】∵ ，
∴ ，
故选：B．
3．（2023·山东潍坊·三模）已知平面向量 与 的夹角是 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由 可得 ，
因为平面向量 与 的夹角是 ，且
所以
故选：C
4．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ，
则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为 .又 ，所以 .
所以 ，
因为 ，所以 与 的夹角为 .
故选：C
5．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知向量 ， ，若 ，
则向量 在 上的投影向量的模长为___________.
【答案】
【详解】因为向量 ， ， ， ，
若 ，则 ，
即 ，即 ，解得: ,
向量 在 上的投影向量的模长为:.
故答案为： .
6．（2023·重庆·校联考三模）已知点 ， ，若圆 上存在点P满足
，则实数a的取值的范围是____________．
【答案】
【详解】设点 ，则 ，而 ，
则 ，整理得 ，即点 的轨迹是原点为圆心，2为半径的圆，
因为点 在圆 ，即圆 与圆 有公共点，
而圆 的圆心为 ，半径为1，
因此 ，即 ，解得 或 ，
所以实数a的取值的范围是 .
故答案为：
7．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量 ， 满足 ， ， ，则 ， 夹角的余弦
值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】依题意， ，解得 ，故 ，
故 ，
故选：A．
8．（2023·云南保山·统考二模）已知向量 ， 满足 ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由己知条件得： ，
又 在 方向上的投影向量为 .
故选：D.
9．（2023·广东佛山·校考模拟预测）梯形 中， ，已知 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】在梯形 中， ，所以 ，
所以 .
故选：C
10．（2023·广东·校联考模拟预测）将向量 绕坐标原点 顺时针旋转 得到 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，所以 ，
因为向量 绕坐标原点 顺时针旋转 得到 ，所以向量 与向量 的夹角为 ，且 ，
所以
.
故选：B
11．（2023·广西·校联考模拟预测）已知 和 是两个正交单位向量， ， 且 ，
则 （ ）
A．2或3 B．2或4 C．3或5 D．3或4
【答案】B
【详解】因为 和 是正交单位向量， ， ，
可得 ，所以 ，解得 或 .
故选：B．
12．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知平面向量 ， ， 的夹角为 ，
，则实数 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【详解】因为 ，所以 ，
即 ，解得 .
故选：A.
13．（2023·北京·统考模拟预测）若向量 ， ，则 与 的夹角等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ，
又因为 ，所以 ，即 与 的夹角等于 .
故选：D
14．（2023·山西阳泉·阳泉市第一中学校校考模拟预测）已知向量 ， ， ，且
，则实数 （ ）A．-1 B．0 C．1 D．任意实数
【答案】B
【详解】因为 ， ，所以 ，
又 ，且 ，所以 ，解得 .
故选：B.
15．（2023·浙江·统考模拟预测）已知 ，若 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故选：A.
（多选）16．（2023·山东聊城·统考三模）已知向量 ， 满足 ， ，则 与 的夹角
可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】因为 ，则 ，且 ，则 ，
所以 ，即 ，则 ，又因为 ，
即 ，设 与 的夹角为 ，则 ，即 ，
且 ，则 ，所以 ，则 与 的夹角可以为 ， .
故选：AB
17．（2023·河南开封·统考三模）已知向量 ， ，若 ，则 ______.
【答案】13
【详解】∵ ， ， ，又∵ ，
∴ ，解得 .
故答案为：13
18．（2022·陕西西安·统考模拟预测）若向量 ， 不共线，且 ，则
________.
【答案】
【详解】因为向量 ， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 或 ，
又向量 ， 不共线，
所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
故答案为： .
19．（2023·河南驻马店·统考三模）已知平面向量 满足 ,且 ，则
=_________________ ．
【答案】
【详解】由 ,得 ,
所以 .
故答案为：
20．（2023·河南·校联考模拟预测）向量 的夹角为 ，定义运算“ ”： ，若
，则 的值为___________.
【答案】
【详解】因为 ，所以 ，
则 ，所以 .
故答案为： .
