第二章函数
§2.6 指数运算与对数运算
【考情分析·探规律】
三年考情
考点 命题趋势
（2021-2024）
2024·全国甲卷
理解有理数指数幂的含义，
2023·北京卷 了解实数指数幂的意义，掌握指数幂
指数运算与对数运 2022·天津卷 的运算性质。理解对数的概念和运算
算及指对互化 2022·浙江卷 性质，知道用换底公式能将一般对数
2022·全国乙卷 转化成自然对数或常用对数，都是高
2021·天津卷 考命题的方向。
【知识梳理】
1.根式的概念及性质
(1)概念：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质：①负数没有偶次方根.
②0的任何次方根都是0，记作＝0.
③()n＝a(n∈N*，且n>1).
④＝a(n为大于1的奇数).
⑤＝|a|＝(n为大于1的偶数).
2.分数指数幂
规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分
数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0
的负分数指数幂没有意义.
3.有理指数幂的运算性质
aras＝ a r ＋ s；(ar)s＝ a r s；(ab)r＝ a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q.
4.对数的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log N，
a
其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
5.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质
①alogaN＝N；②log ab＝b(a>0，且a≠1).
a
(2)对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①log (MN)＝log M ＋ log N；
a a a
②log＝log M － log N；
a a a
③log Mn＝ n log M(n∈R).
a a
(3)换底公式：log b＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
a
【名师点拨】换底公式的两个重要结论
(1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1).
(2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0).
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)＝－4.( )
(2)分数指数幂a可以理解为个a相乘.( )
(3)log x2＝2log x.( )
2 2
(4)若MN＞0，则log (MN)＝log M＋log N.( )
a a a
2.(多选)下列运算正确的有( )
A.lg 2＋lg 3＝lg 5
B.log 100＝10log 10
3 3
C.4log
4
5＝5
D.log 4·log 3＝1
3 4
2 4 2
3.若a5＝ (a>0且a≠1),则log 等于( )
25
a525 1
A. B.2 C. D.5
4 5
2
4. 273＋4log
4
3 －lg 5－lg 2＝ .
【名师点拨】
1.灵活应用化简指数幂常用的技巧
(b) −p (a) p
(1) ＝ (ab>0)；
a b
1 n 1
(2)a＝( am)m ,am＝( am)n(式子有意义)；
1 1
(3)1的代换,如1＝a－1a(a>0),1＝
a
− 2a2(a>0)等；
1 1 1 1
(4)乘法公式的常见变形,如( a2＋b2)( a2－b2)＝a－b(a,b>0),
1 1 1 1
(
a2
±
b2
)2＝a±2 a2b2＋b(a,b>0),
1 1 2 1 1 2
( a3＋b3 )( a3∓ a3b3＋b3 )＝a±b(a,b>0).
2.谨防两个失误点
(1)凡涉及对数,其真数与底数的取值范围一定不能忽略.
(2)在使用运算公式时,注意指数和对数中的和积之间的转化.
【必练核心题型】
题型一 指数运算
例1.(多选)下列各式正确的是(式中字母均是正数)( )
4
A. a6＝√3 a2
B.√4 a4＝a
C.(6❑√2) ❑√2＝36
2
D.
a
−
3
＝－√3 a2
例2.(多选)下列运算正确的是(式中字母均是正数)( )1
A.0.2 52＋(√5 π) 0－2－1＝0
B.
(27)−
3
2
－
(49) 0.5
＋(0.008)
−
3
2
×
1
＋(π－1)0＝
1
8 9 25 9
C.(2√3 a2·❑√b)(－6❑√a·√3 b)÷(－3√6 a·√6 b5)＝1
1 1 x＋x−1 1
D.若
x2＋x
−
2＝❑√6,
则
x2 ＋x−2−2
＝
3
【变式训练】
变式1.计算下列各式(式中字母均是正数)：
(1)− 1
❑√(4ab−1
)
3
(1) 2· ；
1
4
(0.1) −1·(a3·b−3 )2
(2)0.125
−
3
1
－
(9) 0
＋[(−2) 2 ]
1
2＋(❑√2×√33) 6.
8
题型二 对数运算
例1.(多选)下列运算中正确的是( )
log 7
A. 3 ＝log 5
log 5 7
3
( 8 )− 1 3
B. 3＝
27 2
C.x＝ln ex
(1) −log 2 6
D. ＋ln(ln e)＝6
2
例2.(多选)(2025·焦作模拟)下列等式成立的是( )
lg2＋lg5−lg8
A. ＝1
lg50−lg40
lg4＋lg5−1
B. ＝2
2lg0.5＋lg8
7
C.lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18＝0
3
D.(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5＝2【变式训练】
变式1.(多选)设a,b,c均为不等于1的正实数,则下列等式中不成立的是( )
A.log b·log a＝log b
a c c
B.log b·log b＝log a
a c c
C.log (b＋c)＝log b＝log c
a a a
D.log (bc)＝log b·log c
a a a
变式2.(2025·八省联考)已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1),若f(ln 2)f(ln 4)=8,则a=
.
题型三 指对运算的应用
例1.(2024·重庆模拟)在经济学中,常用Logistic回归模型来分析还款信度评价
e−0.97＋0.127x
问题.某银行统计得到如下Logistic模型：P(x)＝ ,其中x是客户
1＋e−0.97＋0.127x
年收入(单位：万元),P(x)是按时还款概率的预测值,如果某人年收入是10万元,
那么他按时还款概率的预测值大约为(参考数据：ln 1.35≈0.3)( )
A.0.35 B.0.46 C.0.57 D.0.68
例2.(2024·贵阳模拟)电动汽车逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向.1898年
Peukert提出铅酸电池的容量C(单位：Ah)、放电时间t(单位：h)和放电电流
I(单位：A)之间关系的经验公式：C＝Iλt,其中λ为与蓄电池结构有关的常数
(称为Peukert常数),在电池容量不变的条件下,当放电电流为7.5 A时,放电时间
为60 h；当放电电流为25 A时,放电时间为15 h,则该蓄电池的Peukert常数λ
约为(参考数据：lg 2≈0.301,lg 3≈0.477)( )
A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.15
【变式训练】
变式1.苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中,为了简化其中的大数之间
的计算而发明了对数.利用对数运算可以求大数的位数.已知lg 5≈0.699,则231
是( )A.9位数 B.10位数
C.11位数 D.12位数
变式2.区块链作为一种革新技术,已经应用于许多领域,在区块链技术中,若密
码的长度设定为256比特,则密码一共有2256种可能,因此为了破解密码,最坏情
况需要进行2256次运算.现在有一台机器,每秒能进行2.5×1011次运算,假设机
器一直正常运转,那么在最坏情况下这台机器破译密码所需的时间大约为(参
考数据：lg 2≈0.301,100.658≈4.5)( )
A.4.5×1065秒 B.4.5×1083秒
C.4.5×1017秒 D.4.5×107秒
