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专题 02 数列通项与数列求和
题型1 由Sn与an关系求通项
1、关系： ，要注意验证 与 两种情况能否统一．
2、已知 与 的关系式，记为 ，求它的通项公式 ，一般有两种思路：
（1）消 ：容易直接求 的情况，可利用阶差公式： ，消去 ，转化等差或等
比数列直接求出 ；
（2）消 ：难以直接求 的情况，可利用阶差公式： ，消去 ，得出 与
的递推关系式，先求出 ，后，即可转化力“第1种情形”，从而间接求出 ．
在求解具体的题目时，应根据条件灵活恰当地选择两种方法，确定变形方向.通常情况下，先求 ，要
比直接求 麻烦；但也有时先直接求 ，会比先求 麻烦得多．
1．（24-25高三上·福建漳州·月考）已知数列 的前 项和为 ，则 .
【答案】
【解析】因为数列 的前 项和为 ，所以 ，当 ， 时， ，
又 ，故 满足关系 ，
所以 ，
2．（25-26高三上·云南昆明·月考）记 为数列 的前 项和，若 ， ，则
【答案】243
【解析】 ，当 时，有 .
当 时，有 .
故 ，即 ， .
又因为 ，则数列 是公比为 ，首项为 的等比数列.
因此 .
当 时， .
3．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意， ，
在等比数列 中， ，
设公比为q，
，解得 ，∴ ，
当 时， ，解得： ，
∴ 是以2为首项，3为公比的等比数列，
∴ .故选：A.
4．（2025·湖南长沙·模拟预测）设数列 的前 项和为 ，已知 ，则
（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当 时， ，
则 ，即 ，
所以数列 是公差为4的等差数列．
又 ，则 ．
所以 ．故选：A.
题型2 累加法求通项公式
累加法适用于邻项差结构 ．
利用 ，将问题转化为基本数列求和，从而
得到所求数列的通项．
5．（25-26高三上·四川广安·开学考试）数列 满足： ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，可得 ，
利用累加法可得
,
化简得 ，则 .故选：C.
6．（25-26高三上·四川成都·开学考试）已知数列 满足 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】因为数列 满足 ， ，
所以 ，
所以 ，
则 ，
所以 ，故选：A.
7．（2025·河北张家口·一模）已知数列 满足 ， 且 ，则 .
【答案】
【解析】由题得
，
当 时， 符合题意，
所以 ，
8．（24-25高三上·福建三明·月考）若数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，则
.
【答案】
【解析】由 ，则 ,
当 时，上式相加得 ，又 ，
所以 ，又 符合上式，
可知 ，所以 ，
所以 .题型3 累乘法求通项公式
累乘法适用于邻项商结构
利用 ，将问题转化为基本数列求和，从而得到所求数列的通项．
9．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知 为数列 的前 项和，若 ， ，则 的值
为（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
【答案】B
【解析】当 时， ，
由 ，
由 ，得 ，
两式相减得， ，
所以 ，故选：B
10．（24-25高三上·广东梅县·期中）若数列 满足 ，则
（ ）
A．2 B．6 C．12 D．20
【答案】D
【解析】由 得 ，
，
.故选：D
11．（24-25高三上·天津·月考）在数列 中，若 ，则 （ ）
A．1012 B．1013 C．2023 D．2024
【答案】B【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
所以 是常数列，所以 ，
又 ，所以 ．故选：B
12．（24-25高三上·河南驻马店·月考）若数列 满足 ， ，则
．
【答案】
【解析】因为 ①，
所以 ②，
② ①得， ，
所以有 ，
所以 ．
题型4 构造法求通项公式
（1）形如 ，引入参数 ，构造新的等比数列 ；
（2）形如 ，引入参数 ，构造新的等比数列 ；
（3）形如 ，两边同除以 ，构造新的数列 ．
13．（2025·天津河北·二模）设 数列 的前n项和，若 ，则 （ ）
A．3059 B．2056 C．1033 D．520
【答案】C
【解析】由题设 ，则 ，
所以 ，则又 ，则 ，
所以 是首项、公比均为 的等比数列，则 ，
所以 ，则 .故选：C
14．（2025·河南·模拟预测）设 为数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A．520 B．521 C．1033 D．1034
【答案】C
【解析】数列 中， ，当 时， ，
两式相减得 ，即 ，则 ，
而 ，解得 ，
因此数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，
则 ，即 ，
于是 ，所以 ．故选：C
15．（2025高三·全国·专题练习）已知在数列 中， ， ，则通项 ．
【答案】
【解析】利用待定系数法构造新数列，
，
又 ，则 ，
所以 ．
令 ， 是以 为首项，公比 的等比数列．
．即 ， ．
当 时成立，所以 ．
16．已知数列 的首项 ，且 ，则 的通项公式为 ．
【答案】【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
所以数列 是首项为1，公比为 的等比数列，
所以 ，即 ．
题型5 分组（并项）法求和
1、分组求和法：若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组
求和法，分别求和后再相加减．
2、并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如
类型，可采用两项合并求解．
17．（25-26高三上·北京顺义·开学考试）已知 是等差数列 的前 项和， ，数列 是公
比大于1的等比数列，且 ， .
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)设 ，求 的前 项和 .
【答案】(1) ， ；(2) .
【解析】（1）在等差数列 中， ，解得 ，而 ，
因此数列 的公差 ， ；
设等比数列 的公比为 ，由 ，得 ，解得 ，
又 ，则 ，解得 ，而 ，因此 ， ，
所以数列 和 的通项公式分别为 ， .
（2）由（1）得 ，
所以 .18．（25-26高三上·福建·开学考试）已知等差数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，若 ，求 的值.
【答案】(1) ；(2)100或97
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，
则 ，解得 ，
所以 的通项公式为 ；
（2） ，
，
若 为偶数，则 ，
若 为奇数，则 ，
，若 为偶数，则 ，解得 ，
若 为奇数，则 ，解得 ，
综上， 或97
19．（25-26高三上·浙江·开学考试）记 为正项数列 的前 项和，已知
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 ，求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1） ，当 时， ,
当 时 ，
两式相减得 ，得 ，
因为 ，所以 ，
，为等差数列， ；
（2）
20．（2025·广东梅州·一模）在公差不为0的等差数列 中，已知 ， ， 成等比数列，
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，求数列 的前2n项和 ．
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）设等差数列 的公差为 ，
因为 ，所以 ，即 ，即
又因为 成等比数列，所以 ，即 ，即 ，
联立方程组 ，解得 ， ，
所以数列 的通项公式是 .
（2）由（1）知， ，
所以
，
因为 ，即 ，
可得 ，
，
所以 ，所以数列 的前2n项的和为 ．题型6 逆序相加法求和
如果一个数列 的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数
列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的．求和时可以将正着写
与倒着写的两个式子相加，就得到一个常数列的和．
21．（24-25高三下·四川容县·月考）已知函数 ，数列 满足
，则数列 的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数 对任意 都有 ，
数列 满足 ①
又 ②
① ②得： ，
得 .故选：B.
22．（24-25高三下·湖南长沙·月考）已知 ， ，则
数列 的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，
则两式相加得
所以 ，所以 .故选：A.
23．（24-25高三上·广东·开学考试）若 ，数列 的前 项和为 ，
且 ， ，则 （ ）
A．76 B．38 C．19 D．0
【答案】A
【解析】因为 ，
所以
所以 的图象关于点 对称，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
又 ， ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，
所以 .故选:A.
24．（24-25高三上·山东济宁·月考）已知函数 是 上奇函数，若数列 的项满足：
（ ）.则数列 的通项公式为：
.【答案】
【解析】因为函数 是 上奇函数，所以
，
所以 ，
，
两式相加得：
即 .
题型7 裂项相消法求和
裂项相消的原则及规律
（1）裂项原则：一般时前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
（2）消项规律：消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项．
25．（25-26高三上·贵州遵义·月考）已知首项为1的正项数列 满足 ．
(1)求 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前n项和 ．
【答案】(1) ；(2) .
【解析】（1）因为 ，
所以当 时，
，
是首项为1的正项数列，则 ，
又 满足上式，所以 .（2）由（1）可得， ，
所以 .
26．（24-25高三下·云南·月考）设正项数列 的前 项和为 ，满足 .
(1)求 ；
(2)求证：数列 为等差数列；
(3)求数列 的前100项的和 .
【答案】(1) ；(2)证明见解析；(3)10
【解析】（1）当 时， ，整理得 ，
又 ，所以 .
当 时， 即 ，解得 ，
又 ，所以 .
（2） ，
，
上述两式相减，得 ，
，
，
，
数列 为等差数列，首项为2，公差为4.（3））由（2）得： ，
，
，
，由求根公式得 ，
，
，
.
27．（24-25高三上·福建漳州·月考）已知数列 中， 为 的前 项和， 是首项为1，公差为1
的等差数列．
(1)求数列 的通项公式．
(2)若 ，记数列 的前 项和为 ，证明： ．
【答案】(1) ；(2)证明见解析
【解析】（1）由已知有 ，所以 ，解得 ，
当 时， ，
又 满足上式，所以 ．
（2） ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
由于 单调递减，所以 单调递增，
所以当 时， 最小，为 ，故 ．
28．（24-25高三下·山西晋中·月考）已知数列 的前n项和为 ， ， .(1)证明：数列 为等比数列；
(2)设 ，求数列 的前n项和 .
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）由题意， ，
又 ，解得 ，
，①
，②
②减①得 ，
所以 ，即 ，
所以数列 为以 为首项，以3为公比的等比数列.
（2）由（1）知， ，
所以 ，
当 时， ，
所以 ，即 ，
经检验，当 时， 满足上式，
所以 ，
因为 ，
所以 .
题型8 错位相减法求和
1、如果数列 是等差数列， 是等比数列，求数列 的前 项和时，常采用错位相减法．
2、写错位相减法求和时，应注意：在写出“ ”与“ ”的表达式时应将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“ ”的表达式．
3、万能公式：形如 的数列的前 项和为 ，其中
， ， ．
29．（25-26高三上·山东淄博·开学考试）数列 的前n项和为 ，已知 ，数列 满足递推关系：
．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)求 的前n项和．
【答案】(1) ； ；(2)
【解析】（1）已知 ，当 时， ；
当 时， ；
验证 时， ，符合上式，
故数列 通项公式为 .
因为 ，
所以 ，等式两边同时加 可得 ，
即 ，所以 ，
所以数列 是以 为首项，2为公比的等比数列，
数列 通项公式为 ，所以 .
故数列 的通项公式为 .
（2）由（1）可知 ，则 ，
所以 ，
记数列 的前 项和为 ，
，①
上式乘以公比2可得； ，②
由① ②可得： ，
即 ，，
化简可得 ，
即 .
30．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）设 为数列 的前 项和，已知 ．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）当 时， ，解得 ，
当 时， ， ，
两式相减可得： ，即 ①
则 ②，
② ①可得 ，
由于 ，所以数列 是首项为2，公差为4的等差数列，
则
（2）设 ，
所以 ③
④，
③ ④可得 ,
化简可得：
31．（24-25高三上·四川德阳·月考）已知数列 ．令 ，
(1)证明数列 是等差数列，并求出通项公式；(2)求数列 的前 项和 ．
【答案】(1)证明见解析， ；(2)
【解析】（1） ，两端除以 ，得 ，即 ，
由 ，得 ，所以数列 是以4为首项，3为公差的等差数列，
．
（2） ，
，①
，②
由①-②，得 ，
．
32．（24-25高三下·河南信阳·月考）已知数列 的前n项和为 ， ， .
(1)求证：数列 是等差数列.
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，求 .
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）证明：因为 ，可得 ，所以 ，
两边同除以 ，可得 ，即 ，
又因为 ，可得 ，所以数列 是首项为 ，公差为1的等差数列.
（2）由（1）可得 ，所以 ，可得 ，
所以 ，
则 .两式相减，可得
，
所以 .
题型9 斐波那契数列
1、定义：一个数列，前两项都为1，从第三项起，每一项都是前两项之和，那么这个数列称为斐波那契
数列，又称黄金分割数列；表达式 ， ， ．
①逐项罗列：，1，2，3、5，8，13，21，34，55，……；
②递推公式： ， ；
③通项公式： （又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范
例）．
2、求和问题
①前 项和： ；
②奇数项和： ；
③偶数项和： ．
3、平方和问题：
4、余数列周期性
①被2除的余数列周期为3：1，1，0，……
②被3的余数列周期为8：1，1，2，0，2，2，1，0，……
③被4的余数列周期为6：1，1，2，3，1，0，……
5、裂项问题：33．（24-25高三上·山东聊城·月考）意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，
2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2024项中有（
）个奇数
A．1012 B．1348 C．1350 D．1352
【答案】C
【解析】对数列中的数归纳发现，每3个数中前2个都是奇数，后一个是偶数，
又 ，故该数列前2024项有 个奇数.故选：C
34．（2024·海南·模拟预测）斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多・斐波那契以兔子繁
殖为例子而引入，故又称“兔子数列”，其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，在数学上，这
一数列以如下递推的方法定义： ， ，记此数列为 ，则
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得， ， ， ，
则 .故选：C.
35．（24-25高三上·黑龙江绥化·月考）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一
列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组
成的数列称为“斐波那契数列”，已知数列 为“斐波那契数列”，则
（ ）
A．2023 B．2024 C．1 D．2
【答案】C
【解析】 “斐波那契数列”从第三项起，每个数等于它前面两个数的和， ,
.
由题意得： ， 即 ，
，
，
，，
即
即 .故选：C.
36．（24-25高三上·安徽·月考）数列 ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……称为斐波那契数列，该
数列是由意大利数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为
“兔子数列”， 满足 ， （ ， ），则 是斐波
那契数列的第 项.
【答案】2025
【解析】由题意知， （ ， ），
所以 （ ， ），
所以 ， ，……， ，
由累加法可得 ，
则 ，
所以 是斐波那契数列的第2025项.
题型10 数列与不等式综合问题
数列与不等式的综合问题是高考考查的热点内容，考查方式主要有三种：
（1）判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小，或者是借助数列对应函数的
单调性比较大小；
（2）以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，此类问题可转化为函数的最值问题；
（3）考查与数列有关的不等式证明问题，此类问题大多要借助函数取证明，或者直接利用放缩法证
明．
37．（24-25高三下·湖北襄阳·月考）已知数列 满足 ，且 ，则使不等式成立的 的最大值为（ ）
A．98 B．99 C．100 D．101
【答案】B
【解析】由 ， 可得 ，
易知 ，两侧同时除 ，可得 ，整理得 ，
所以 是以 为首项， 为公比的等比数列，
则 ，
故 ，
故 ，
易知 单调递增，
，所以 .故选：B
38．（24-25高三下·上海·月考）已知数列 的前n项和为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 满足 ，问是否存在正整数m，使得 成立，并说明理由.
【答案】(1) ；(2)不存在，理由见解析.
【解析】（1）当 时， ，
当 时， .
又注意到 ，符合上式，则 ；（2）即判断 是否成立，由（1）可得， ，
则
，则当 时， ； 时， .
则 在 时，取最大值，则 ，因 ，
则不存在正整数m，使得 成立.
39．（24-25高三上·湖南长沙·月考）在数列 中， ， .
(1)求证：数列 是等差数列；
(2)设数列 的前 项和为 ，若 恒成立，求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）由 ，可得 ，
即 ，所以 ，
又 ，所以 是以2为首项，2为公差的等差数列，
则 .
（2） ，
，
因为 ，所以 ，所以 ，
又 恒成立，即 恒成立， ，即 .
所以 的取值范围为 .
40．（25-26高三上·江苏南京·月考）已知数列 满足 ，且对任意正整数 有
，数列 满足(1)证明：数列 是等比数列；
(2)设 ，数列 的前 项和 ；
①求 ；
②若不等式 对任意的正整数 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；(2)① ；②
【解析】（1）证明：因为 ，
所以 ．
因为 ，所以 ．
又 ，所以 ，即证得 是首项为1，公比为2的等比数列．
（2）①由（1）可得 ，则 ，
，
，
两式相减得： ，
即 ，
所以 ，则 ．
②因为不等式 对任意的正整数 恒成立，
即 对任意的正整数 恒成立，
当 为偶数时，因为 在 为增函数，所以 ；
当 为奇数时， 对任意的正整数 恒成立，所以 ，解得 ．
综上，实数 的取值范围为 ．题型11 公共项与增减项问题
1、对于公共项问题，要注意两个等差数列的公共项是等差数列，且公差时两等差数列公差的最小公倍
数，两个等比数列的公共项是等比数列，公比时两个等比数列公比的最小公倍数．
2、对于数列的中间插项或减项构成新数列问题，我们要把握两点：先判断数列之间共插入（减少）了
多少项（运用等差等比求和或者项数公式去看），再对于题目给出的条件确定它包含了哪些项．
41．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，数列 为
公比大于0的等比数列，且 ．
(1)求 ；
(2)若在 与 之间插入 个1，由此构成一个新的数列 ，记 的前 项和 ，求 的值．
【答案】(1) ， ；(2)55
【解析】（1）由题意，得 ，
又 时， ，符合题意，所以 .
设数列 的公比为 ，又 ， ，
即 ，解得 ，所以 .
（2）根据题意，在 与 之间插入 个1，
即在1和2之间插入 个1；
在2和3之间插入 个1；
在3和4之间插入 个1；
在4和5之间插入 个1，
此时刚好有45项，则 .
所以 的值为55.
42．（2025·山东青岛·三模）在平面直角坐标系中，已知直线 经过原点， 是 的方向向量．数列满足：点 均在 上， ．
(1)求 的通项公式；
(2)已知 是以4为首项，2为公差的等差数列，若 与 的公共项为 ， 的值由小到大构成数列
，求 的前 项和 ．
【答案】(1) ；(2)
【解析】（1）由直线过原点且方向向量为 可知 的方程为
因此对任意正整数 ， 即
因为 ，所以 ，
所以 ， 是首项为2，公比为3的等比数列，
所以
（2）因为数列 是以4为首项，2为公差的等差数列，
所以
因为 ，所以 ，即
因为 ,所以 ,则 的值为
所以 ，可得
43．（24-25高三上·山东枣庄·月考）已知数列 满足 ，公差不为0
的等差数列 满足 成等比数列，
(1)证明：数列 是等比数列．
(2)求 和 的通项公式．
(3)在 与 之间从 的第一项起依次插入 中的 项，构成新数列 ，
求 中前60项的和 ．
【答案】(1)证明见解析；(2) ， ；(3)【解析】（1）数列 中， ，
则 ，而 ，
所以数列 是等比数列，其首项为 ，公比为 ；
（2）由（1）知， ， ，
所以数列 的通项公式为 .
设等差数列 的公差为 ，
由 成等比数列，得 ，
即 ，则有 ，
又 ，即 ，于是 ，
所以数列 的通项公式为 ；
（3）依题意，数列 中， 前有数列 中的前 项，
有数列 中的前 项，
因此数列 中， 前共有 项，
当 时， ，
当 时， ，
因此数列 的前 项中有数列 中的前 项，有数列 中的前 项，
所以
.
44．（2025·湖南·三模）已知数列 满足 ，数列 满足 ，且 .
(1)求 的通项公式；
(2)求 的通项公式；
(3)将 中的项按从小到大的顺序插入 中，且在任意的 之间插入 项，从而构成一个新
数列 ，设 的前 项和为 ，求 .【答案】(1) ；(2) ；(3)12182
【解析】（1）由 可得 ，又 ，
所以 是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以 ，即 .
（2）方法一：由已知得 ，所以 ，
所以 ，又 ，
等式两边同时相乘，可得 ，
得 ，该式对 也成立.
故 .
方法二：由 可知 是常数列，
所以 ，
即 .
（3）设在 的前100项中，来自 的有 项.
若第100项来自 ，则应有 ，
整理可得 ，该方程没有正整数解，不满足题意.
若第100项来自 ，则应有 ，整理可得 .
易知 在 时单调递增，
当 时， ，不满足题意，
当 时， ，满足题意，
故 ，所以 的前100项中有10项来自 ，有90项来自 ，
所以
.
题型12 数列的新定义问题1、数列新定义问题的特点：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新的模
型来创设全新的问题情境，在阅读、理解题目含义的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和
方法，实现信息的迁移，或达到灵活解题的目的．
2、数列新定义问题的解题思路：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性
质，按要求逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．
45．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知 是 项正整数数列，令
，其中 .若对任意的 中均无相同的项，则称
数列 为“和差单值”数列.
(1)判断8，4，2，1，2，4，8是否为“和差单值”数列.
(2)已知 ，其中 为两两不同的正整数，问： 是否为“和差单值”数列？请
说明理由．
(3)证明：若 的最大值不超过 ，则 一定不是“和差单值数列”.
【答案】(1)是“和差单值”数列；(2) 是“和差单值”数列，理由见解析；(3)证明见解析
【解析】（1）对于 ：8，4，2，1，2，4，8，
若 不是“和差单值”数列，
则存在 以及 ，使得 ，
则 ．
1为该数列中唯一奇数．
若 ，则 ，为奇数，矛盾
若 ，则只能是 或 或 ，
这里的 ，枚举可得均不成立，
故 是“和差单值”数列.
（2）由（1）可得，若 不是“和差单值”数列，则存在 以及 ，
使得 ，即 ，
设 中最小值为 ，则 ，
只能是 ，由于 为偶数，而 ,
故 为奇数，不可能为0，故矛盾，假设不成立，
是“和差单值”数列.
（3）数列 共有 项，且 恒成立，
取 ，
由 ，可知 ，
又 ，则 至多有 个不同的值，
故 中必有两个值相等，故 一定不是“和差单值”数列.
46．（24-25高三下·河北沧州·月考）设 是整数数列，m是某个取定的正整数，若 是 除以m
的余数，则称数列 是 关于m的模数列，记作 ．斐波那契数列 是常见的整数数列，
满足 ．
(1)写出数列 的第3项、第4项和第5项；
(2)斐波那契数列 有许多非常好用的性质，比如： ，请利用这个性质解决以下问题：
（i）证明数列 是周期为8的周期数列；
（ii）求 的个位数字．
参考数据： ．
【答案】(1) ；(2)（i）证明见解析；（ii）4
【解析】（1）由递推关系得 ，
所以 ．
（2）（i）由题中给的性质，可得 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以数列 是周期为8的周期数列．
（ii）因为要计算个位数字，所以考虑数列 的周期，由参考数据，猜想数列 的周期为60，证明如下：
因为 ，又由参考数据易得 ，
所以 ，
所以数列 是周期为60的周期数列．
因为 ，
所以 ，
所以
，
又因为该数列的个位数字是以60为周期，所以 ，
，
所以 ，
所以 的个位数字为4．
47．（24-25高三下·云南·月考）设数列 的前n项和为 ，由 ， ，…， 组成的数列记为
，把新数列 称为原数列 的一阶和数列，设数列 的前n项和为 ，把数列 称为数
列 的二阶和数列，依此类推，可得数列 的p阶和数列 ，其中 ．
(1)若 ，求数列 的二阶和数列 的通项公式；
(2)若 ．
①求数列 的三阶和数列 的通项公式；
②写出数列 的p阶和数列 的通项公式（不用证明）．
【答案】(1) ；(2)① ；② （ ）
【解析】（1）因为 ，根据定义知：
，
所以数列 的一阶和数列 的通项公式为 ．
同理数列 的二阶和数列 的通项公式为：
．（2）①因为 ，所以 ．
设 ， ，
．
而 ，所以 ，
又因为 ，而 ，…， ，
所以 ．
，又因为 ，
所以 ，…， ，
所以数列 的三阶和数列 的通项公式为：
．
②观察数列 的一阶和数列的通项公式 ，
二阶和数列的通项公式 ，
三阶和数列的通项公式 ，
猜想数列 的 阶和数列 的通项公式为 （ ）
48．（24-25高三下·浙江湖州·月考）1679年，德国数理哲学大师莱布尼茨发明了二进制，即在数学和数字
电路中以2为基数的记数系统，这一系统中，通常用两个不同的符号0和1来表示．现代的计算机和依赖
计算机的设备里都使用二进制．设正整数 ， ，其中 ，
，那么，十进制数 可以用二进制表示为 ，记作 ，此时，令
，数列 满足 ．
(1)二进制思想在中国古代也有所体现，如《周易》中的阴阳思想．若记阳爻“-”为1，阴爻“--”为0，如
震卦“ ”对应的二进制数为100．请写出巽卦“ ”和兑卦“ ”对应的十进制数．
(2)证明： ， ．
(3)是否存在正偶数 ，使得对任意 ，满足 ．若存在，请写出符合
要求的 ；若不存在，请说明理由．【答案】(1)巽卦“ ”对应的十进制为 ，兑卦“ ”对应的十进制为 ；(2)证明见解析
(3)不存在正偶数 ，使得对任意 ，满足 ．理由见解析
【解析】（1）
巽卦“ ”的二进制为 ，故对应的十进制为 ，
兑卦“ ” 的二进制为 ，故对应的十进制为 ；
（2）由 ，可得 ，
故 ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ，
所以 ， .
（3）不存在正偶数 ，使得对任意 ，满足 ．
反证法，假设存在正偶数 ，使得对任意 ，满足 ．
当 时， ①，当 时， ②，
当 时， ③，
由（2）可知 ， ，因此 ④，
所以由⑤可得，对于正偶数 ， ， ，
而 ， ，所以 ，
由①②③可知： ，
令正偶数， ，
则
则根据④可得： ，
若 为偶数，由⑤得 ，矛盾，
若 为奇数，则 为偶数，由⑤可知： ，
综上所述，不存在正偶数 ，使得对任意 ，满足 ．
