解析几何：特殊三角形存在性问题、特殊四边形存在性问题专项训练
考点目录
等腰三角形存在性问题
直角三角形存在性问题
平行四边形存在性问题
特殊平行四边形存在性问题
1．（2025·甘肃金昌·模拟预测）在以O 为坐标原点的平面直角坐标系中，
2,0
F
为椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
Z
a
b
a
b
+
=
>
>
的
右焦点，过点F 的直线l （斜率存在）与Z 交于
,
A B 两点，线段AB 的中点为M （不与O 重合），直线OM 与l 的斜
率之积为
1
2
-
．
(1)证明：
2
2
2
a
b
=
；
(2)设直线OM 与直线
4
x =
交于点N ，若AFN
V
为等腰三角形，求l 的一般式方程.
2．（24-25 高二上·天津和平·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
1
2
7 ,
,
7
F F 分别是椭圆的左右焦
点，过点
1F 的直线交椭圆于
,
M N 两点，且
2
MNF
V
的周长为4 7 .
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点
0,2
P
作斜率为
0
k k ¹
的直线l 与椭圆C 交于两点
,
A B ，判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB
V
是以
AB 为底边的等腰三角形？若存在，求点D 横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.
考点一
等腰三角形存在性问题
3．（24-25 高三上·广东广州·阶段练习）已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点
0,1 ，且离心率为
3 ,
2
Q 为椭圆C 的左顶
点．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)已知过点
6 ,0
5
æ
ö
-
ç
÷
è
ø 的直线l 与椭圆C 交于
,
A B 两点．若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB
V
为等腰三
角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由．
4．（24-25 高三下·云南昭通·阶段练习）已知
2,0
F
为椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的右焦点，O 为坐标原点，过
点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，直线OM 与l 的斜率之积为
1
2
-
．
(1)求C 的方程；
(2)设直线OM 与直线
4
x =
交于点N ．
（i）证明：直线FN 垂直于l ；
（ii）若AFN
V
为等腰三角形，求l 的方程．
5．（24-25 高三上·北京昌平·阶段练习）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
过点
2,0 ，且离心率是
2
2 .
(1)求椭圆C 的方程和短轴长；
(2)已知点
1,0
P
，直线l 过点
0,3 且与椭圆C 有两个不同的交点
,
A B ，问：是否存在直线l ，使得PAB
V
是以点P
为顶点的等腰三角形，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.
6．（2025·天津蓟州·模拟预测）已知椭圆C 的中心在原点，离心率等于
1
2 ，它的一个短轴端点恰好是抛物线
2
3
24
y
x
=
的焦点．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知
2,3
P
、
2, 3
Q
-
是椭圆上的两点，A ，B 是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．
①若直线AB 的斜率为
1
2 ，求四边形APBQ 面积的最大值；
②当A ，B 运动时，满足直线PA 、PB 与x 轴始终围成一个以底边在x 轴的等腰三角形，试问直线AB 的斜率是否
为定值，请说明理由．
7．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知双曲线
2
2
2
Γ :
1,(
0),
y
x
b
b
-
=
>
左右顶点分别为
1
2
,
A A ，过点
2,0
M -
的直线l 交
Γ 于,
P Q 两点.
(1)若离心率
3
e =
时，求Γ 的渐近线方程；
(2)若
2
5
8
b =
，点P 在第一象限且
2
MA P
△
为等腰三角形，求点P 的坐标；
(3)连接OQ 并延长，交双曲线Γ 于点R ，若
1
2
1
A R A P
×
=
uuur uuuur
，求b 的取值范围．
8．（2025·福建厦门·三模）已知椭圆E ：
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
的右焦点为
10
F
,
，离心率为
3
3
．
(1)求E 的方程；
(2)过点
3,0
T
且不垂直于y 轴的直线与E 交于A，B 两点，直线AF 与E 交于点C（异于A）．
（i）证明：FBC
V
为等腰三角形；
（ii）若点M 是
ABC
V
的外心，求AMC
V
面积的最大值．
1．（24-25 高三上·广东广州·阶段练习）已知抛物线C：
2
4
y
x
=
的焦点为F，点M 是准线上一动点．
(1)若过点M 作抛物线的切线，切点分别为A，B，求∠AMB；
(2)过点F 的直线l 交抛物线于D，E 两点（D 点在第一象限），若DE 中点为
3, 2
H
-
，试判断C 上是否存在一点
G，使
DEG
△
是以D 为直角顶点的直角三角形？若存在，求直线DG 的方程；若不存在，请说明理由．
2．（24-25 高二下·上海·期末）已知点
2,0
A -
，
2,0
B
，动点
,
M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为
1
2
-
．记
M 的轨迹为曲线C ．
(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；
(2)写出曲线C 的两条性质；
(3)过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE
x
^
轴，垂足为E ，连接QE 并延长交C 于点
G ．证明：PQG
V
是直角三角形．
考点二
直角三角形存在性问题
3．（24-25 高二下·四川成都·阶段练习）已知
1F ，
2F 分别是椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的左右焦点，直线:l mx
y
-
2
0
+ =
与y 轴相交于点P ，与椭圆C 相交于不同的A ，B 两点，
1
2
PF F
V
的面积为2 2 ，且椭圆C 的短轴长与焦距相
等.
(1)求椭圆C 的方程和实数m 的取值范围；
(2)若线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点M ，且MAB
V
为直角三角形，求点M 的坐标和直线l 的方程.
4．（24-25 高三上·浙江温州·阶段练习）已知抛物线
2
:
2
0
C x
py p
=
>
，斜率为1 的直线l 交C 于不同于原点的
S ，T 两点，点
2,3
M
为线段ST 的中点.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)直线
1
y
kx
=
+ 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，设切线1l ，2l 的交点为P
①求证：PAB
V
为直角三角形.
②记PAB
V
的面积为S ，求S 的最小值，并指出S 最小时对应的点P 的坐标.
5．（24-25 高三上·上海普陀·期中）设椭圆
2
2
2
2
1
0
+
=
>
>
x
y
a
b
a
b
的上顶点
0,2
K
，左焦点
1
2,0
F -
，右焦点
2 2,0
F
，左、右顶点分别为
1A 、
2
A .
(1)求椭圆方程；
(2)已知点P 是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线
2
A P 交y 轴于点Q，若
1A PQ
△
的面积是
2
2
A F P
△
面积的
2
2
+
倍，求直线
2
A P 的方程；
(3)如图过椭圆的上顶点K 作动圆
1F 的切线分别交椭圆于M、N 两点，是否存在圆
1F 使得
KMN
△
为直角三角形?若
存在，求出圆
1F 的半径r ；若不存在，请说明理由.
6．（2024·辽宁·三模）设抛物线C 的方程为
2
4
y
x
=
，M 为直线:
(
0)
l x
m m
= -
>
上任意一点；过点M 作抛物线C 的
两条切线MA，MB，切点分别为A，B（A 点在第一象限）．
(1)当M 的坐标为
3
1, 2
æ
ö
-
ç
÷
è
ø时，求过M，A，B 三点的圆的方程；
(2)求证：直线AB 恒过定点；
(3)当m 变化时，试探究直线l 上是否存在点M，使
MAB
△
为直角三角形，若存在，有几个这样的点，说明理由；
若不存在，也请说明理由．
7．（24-25 高二上·浙江·期中）已知椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
的长轴长为2 2 ，过坐标原点的直线交椭圆于,
P Q 两
点，点P 在第一象限，PE
x
^
轴，垂足为E ，连结QE 并延长交椭圆于点
1
,
2
GP
GQ
G k
k
×
= -
(1)求椭圆的标准方程；
(2)证明：PQG
V
是直角三角形；
(3)求PQG
V
面积的最大值.
8．（2024·辽宁·一模）已知双曲线C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
-
= （
0
a >
，
0
b >
）的右顶点
1,0
E
，斜率为1 的直线交C 于M 、
N 两点，且MN 中点
1,3
Q
.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)证明：MEN
V
为直角三角形；
(3)若过曲线C 上一点P 作直线与两条渐近线相交，交点为A ，B ，且分别在第一象限和第四象限，若AP
PB
l
=
uuur
uuur
，
1 ,2
3
l
é
ù
Îê
ú
ë
û ，求
AOB
V
面积的取值范围.
1．（24-25 高二上·河北衡水·期末）已知椭圆
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
的短轴长与焦距相等，且椭圆过点
2
1, 2
Pæ
ö
-
ç
÷
è
ø
，
斜率为k 的直线l 过椭圆的右焦点，且与椭圆交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，射线OM 与椭圆于点C ．
(1)求椭圆方程；
(2)是否存在正数k ，使四边形OACB 是平行四边形？若存在，求出直线AB 的方程，若不存在，请说明理由
2．（24-25 高三上·山东青岛·期末）已知椭圆C ：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
+
=
>
>
过( 0, 1) 点，且离心率
2
2
e =
．
(1)椭圆C 的方程；
(2)过右焦点F 的直线l 交椭圆C 于两点A ，B ，AB 的中点为M ．设原点为O ，射线OM 交椭圆C 于点D ，已知四
边形AOBD 为平行四边形，求直线l 的方程．
考点三
平行四边形存在性问题
3．（2025·浙江温州·三模）抛物线
2
1
1
:
2
C
x
p y
=
与
2
2
2
:
2
C
y
p x
=
的焦点分别为
1
2
,
F F ，
4,
0
A
m
m >
为
1
2
,
C C 的一
个交点，且
2
5
AF =
．
(1)求
1
2
,
,
p p m的值；
(2) ,
P Q 是
1
C 上的两点，若四边形
1
2
F PF Q （按逆时针排列）为平行四边形，求此四边形的面积．
4．（2025·海南·模拟预测）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
，且该椭圆的离心率为
2
2 ，直线l 不过原点O 且不平
行于坐标轴，l 与椭圆C 交于A
B
、两点，线段AB 的中点为M ．
(1)证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值；
(2)若直线l 的方程为2
2
3 3
0
x
y
-
+
=
，延长线段OM 与椭圆C 交于点P ，四边形OAPB 为平行四边形，求椭圆C
的方程．
5．（2025·重庆九龙坡·三模）已知
1
2
F
F
，
分别为双曲线
2
2
2
2
:
1
0
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
，
的左、右焦点，
1F 关于双
曲线 C 的一条渐近线
:
b
l y
x
a
= -
的对称点 E 在 C 上.
(1)求双曲线 C 的离心率；
(2)若
1
a = ，双曲线 C 的左、右顶点分别为
1
2
A
A
，
，过左顶点
1A 作实轴的垂线交渐近线 l 于点 T ，过
T 作直线分别交双曲线 C 的左、右两支于 P
Q
，
两点，直线
2
2
A P
A Q
，
分别交 l 于 M
N
，
两点. 证明: 四
边形
1
2
A MA N 为平行四边形.
6．（2025·浙江·三模）已知椭圆
2
2
1
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
1
2 ，且
2 3
=
ab
.
(1)求椭圆
1
C 的方程；
(2)已知B，A 是椭圆C 的左、右顶点，不与x 轴平行或重合的直线l 交椭圆C 于M，N 两点，记直线BM 的斜率为
1k ，直线AN 的斜率为
2k ，且
2
1
2
k
k
=
，证明：直线l 过定点；
(3)如图，点P 为椭圆
1
C 上不同于A，B 的任一点，在抛物线
2
2 :
2
0
C
y
px p
=
>
上存在两点R，Q，使得四边形
PQAR 为平行四边形，求p 的最小值.
7．（2025·河北秦皇岛·三模）已知抛物线
2
1 :
(
0)
C
y
px
p
=
¹
与
2
2 :
2
C
y
x
x
q
=
+
+
相交于
1A ，
1B 两点，其交点的横坐
标分别为
1
3
a =
，
1
1
b = - .在抛物线
1
C 上另取( n
)
1
-
个点
2
A ，
3A ，…，
n
A ，在抛物线
2
C 上另取( n
)
1
-
个点
2
B ，
3
B ，…，
n
B ，使
1
1
//
1,2,
,
1
i
i
i
i
A A
B B
i
n
+
+
=
-
L
.记
iA ，
(
2,3,
, )
iB i
n
=
L
的横坐标分别为
ia ，
(
2,3,
, )
ib i
n
=
L
.
(1)求p ，q 及
2
2
2a
b
-
的值.
(2)证明：
*
*
7,
2
1,
N ,
2
5,
2 ,
N .
n
n
n
k
k
a
b
n
k k
ì
=
-
Î
-
= í -
=
Î
î
(3)是否存在点
n
A ，
n
B ，使四边形
1
1
n
n
A B A B 为平行四边形？若存在，求出
n
A ，
n
B 的坐标及n 的取值集合；若不存
在，请说明理由.
8．（24-25 高二下·山西大同·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
的离心率为
2
2 ，
1F ，
2F 分别为椭圆的左右焦
点，点A 是椭圆C 上一动点，且
1
2
AF
AF
×
的最大值为6．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知直线
3
x
my
=
+ 与椭圆C 交于P，Q 两点．
①若P，Q 中点的横坐标为3
2 ，求m 的值：
②已知点
2,1
D
，直线DP ，DQ 与直线
3
x =
分别交于点M，N，平面内是否存在一点H，使得四边形DMHN 为
平行四边形．若存在，求出点H 的坐标，若不存在，请说明理由．
1．（24-25 高二下·重庆·期中）已知点A ，B 在抛物线
2y
x
=
上.
(1)若
3
AB =
，记线段AB 的中点为M，求点M 到y 轴的最短距离；
(2)若点C ，D 在直线
4
y
x
=
+
上，且满足四边形ABCD 为正方形，求此正方形的面积.
2．（24-25 高三上·北京西城·期末）已知椭圆
2
2
2
2
:
1 (
0)
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的左右顶点分别为
1
2
,
A A ，离心率为
2
2 ，点
(0,1)
T
，
1
2
TA A
△
的面积为2.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)过点T 且斜率为k 的直线交椭圆E 于点
,
C D ，线段CD 的垂直平分线交y 轴于点Q ，点Q 关于直线CD 的对称点
为P .若四边形PCQD 为正方形，求k 的值.
考点四
特殊平行四边形存在性问题
3．（24-25 高二上·江苏南京·期中）已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的右顶点为A ，上顶点为,|
|
3
B AB =
，离心
率为
2
2 .
(1)求E 的方程；
(2)直线l 平行于直线AB，且与E 交于M，N 两点，
①P，Q 是直线AB 上的两点，满足四边形MNPQ 为矩形，且该矩形的面积等于
2
1 |
|
3 MN
，求l 的方程；
②当直线AM，BN 斜率存在时，分别将其记为
1
2
,
k k ，证明：
1
2
k
k
×
为定值.
4．（24-25 高三上·江苏南京·期末）已知点
1F ，
2F 分别为双曲线E：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
的左、右焦点，点
1F 到
双曲线E 的渐近线的距离为2 2 ，点A 为双曲线E 的右顶点，且
1
2
2
AF
AF
=
．
(1)求双曲线E 的标准方程；
(2)若四边形ABCD 为矩形，其中点B，D 在双曲线E 上，求证：直线BD 过定点．
5．（2025·青海海东·三模）已知椭圆
2
2
1 :
1
7
4
y
x
C
+
= ，椭圆
2
C 以椭圆
1
C 的短轴为长轴，且与椭圆
1
C 有相同的焦
距．椭圆
2
C 的左、右焦点分别为
1F ，
2F ，直线l 与椭圆
2
C 交于M ，N 两点．
(1)求椭圆
2
C 的标准方程；
(2)若直线l 的方程为
1
2
y
x
=
-
，求|
|
MN ；
(3)若直线l 过坐标原点O ，且四边形
1
2
MF NF 是矩形，求四边形
1
2
MF NF 的面积．
6．（24-25 高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为
1
2
2,0
F
F
N -
、，
为椭圆的一个顶点，且右焦点
2F
到直线
0
x
y
-
=
的距离为
2 .
2
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设直线
0
l
y
kx
m k
=
+
¹
：
与椭圆C 交于A、B 两点.
①若直线l 过椭圆右焦点
2F ，且
1
AF B
△
的面积为8 3
5 ，求实数k 的值；
②若直线l 过定点
0,2
P
，且
0
k >
， 在x 轴上是否存在点
,0
T t
使得以TA
TB
、
为邻边的平行四边形为菱形?
若存在，则求出实数t 的取值范围； 若不存在，请说明理由.
7．（2025·北京门头沟·一模）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
+
=
>
>
的一个顶点为
0,1
A
，离心率为
3
2
.
(1)求椭圆E 的方程；
(2)过点
2,1
P
作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，点P
关于x 轴的对称点为Q ，求证：四边形PMQN 为菱形.
8．（24-25 高二下·湖南·期中）已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
+
=
>
>
过点
2,1
A -
，离心率为
3
2
.
(1)求椭圆C 的标准方程.
(2)若椭圆上存在一点B （点B 在第一象限），点B 关于y 轴的对称点为D ，与直线OD 平行的直线l 与椭圆C 相交于
M ，N 两点，直线DM ，DN 分别与y 轴交于P ，Q 两点.若四边形BPDQ 为菱形，求满足条件的B 点坐标.
