文档文本内容
专题六 不等式、函数与导数
第6 讲 函数零点问题
【探究真题.明确方向】
1.(2025·天津，T7)函数f(x)=0.3x-√x的零点所在区间是( )
A.(0，0.3)
B.(0.3，0.5)
C.(0.5，1)
D.(1，2)
2.(2023·全国乙卷文，T8)函数f(x)=x3+ax+2 存在3 个零点，则a 的取值范围是( )
A.(-∞，-2)
B.(-∞，-3)
C.(-4，-1)
D.(-3，0)
3.(2024·全国甲卷文，T16)曲线y=x3-3x 与y=-(x-1)2+a 在(0，+∞)上有两个不同的交点，则a 的取值范围为
.
4.(2022·全国乙卷理，T21)已知函数f(x)=ln(1+x)+axe-x.
(1)当a=1 时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)若f(x)在区间(-1，0)，(0，+∞)各恰有一个零点，求a 的取值范围.
【命题预测】本讲是历年高考命题常考的内容，高中低档题目都有考查，三种题型都有所考查，分值约为
5~15 分.
【考向预测】利用函数的图象与性质或导数研究函数的零点与方程的根，主要考查一是判断函数零点所在
的区间；二是判断函数零点的个数；三是已知函数零点的个数或区间求参数范围(值).
考点一 利用函数的图象与性质研究函数的零点
考向1 函数零点个数的判断
【典例】1 函数f(x)= x
3
x -x+1 的零点个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
考向2 求参数的值或范围
【典例】2 设函数g(x)={
|ln x|+b，x>0，
e
x( x +1)+b，x ≤0，若函数g(x)有三个零点，则实数b 的取值范围是
.
考向3 嵌套函数的零点
1
【典例】3 (2025·临沂模拟)已知函数f(x)={
ln x，x>0，
−x
2+2ax，x ≤0，若函数y=f(f(x))有8 个零点，则实数a
的取值范围为( )
A.a>1
B.a<0
C.-1<a<0
D.a<-1
【变式训练】1 (1)已知函数f(x)=x5+4x+a 在(-1，1)内有零点，则实数a 的取值范围是( )
A.(-5，5)
B.(-∞，-5)∪(5，+∞)
C.[-5，5]
D.(-∞，-5]∪[5，+∞)
(2)(2025·成都模拟)函数f(x)=|2x-3|-8sin πx(x∈R)的所有零点之和为( )
A.9
B.10
C.11
D.12
考点二 利用导数研究函数的零点
【典例】4 (2025·秦皇岛模拟)已知函数f(x)=2x-asin x+sin 2x.若a>0 且函数f(x)在(0，π)上没有零点，求
实数a 的取值范围.
【考法归纳】已知零点求参数的取值范围
(1)结合图象与单调性，分析函数的极值点；
(2)依据零点确定极值的范围；
(3)对于参数选择恰当的分类标准进行讨论.
【变式训练】2 已知函数f(x)=eax-x(a∈R).
(1)若a=2，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)讨论f(x)的零点个数.
2
【限时训练】（限时：60 分钟）
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.(2025·昆明模拟)已知函数f(x)=2√x-1
x ，在下列区间中，一定包含f(x)零点的区间是( )
A.(
1
4 ，1
2)
B.(
1
2 ，1)
C.(1，2)
D.(2，4)
2.(2025·安康模拟)函数f(x)=cos 2x+3cos x-1 在[-3π，3π]上的零点个数为( )
A.4
B.5
C.6
D.8
3.函数f(x)=2x-2
x -a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( )
A.(1，3)
B.(1，2)
C.(0，3)
D.(0，2)
4.(2024·新课标Ⅱ卷)设函数f(x)=a(x+1)2-1，g(x)=cos x+2ax.当x∈(-1，1)时，曲线y=f(x)和y=g(x)恰有一个
交点，则a 等于( )
A.-1
B.1
2
C.1
D.2
5.(2025·毕节模拟)已知函数f(x)={
−x
2−2 x +3，x ≤0，
|ln x|，x>0，
则函数y=[f(x)]2-5f(x)+6 的零点个数为( )
A.5
B.6
C.7
D.8
6.(2025·青岛模拟)若函数f(x)=x(1-ex)+ln x+a 有两个零点，则实数a 的取值范围是( )
A.(-∞，0)
B.(-∞，1]
C.[0，+∞)
D.(1，+∞)
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.(2025·昭通阶段练习)已知定义在R 上的函数f(x)满足f(-1)f(0)>0，f(0)f(1)<0，且y=f(x)的图象是一条连续
不断的曲线，则( )
A.f(x)在区间(-1，0)上可能存在零点
B.f(x)在区间(-1，0)上可能存在极值点
C.f(x)在区间(0，1)上一定存在零点
3
D.f(x)在区间(0，1)上一定存在极值点
8.(2025·合肥模拟)设函数f(x)=x3-3x2-9x-a 有三个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，则( )
A.-27<a<5
B.函数y=f(x)+a 图象的对称中心为(1，-11)
C.过(x1，f(x1))引曲线y=f(x)的切线，有且仅有1 条
D.若x1，x2，x3成等差数列，则a=-11
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.(2025·上饶模拟)函数f(x)=x√x
2−2 x−3的零点为 .
10.(2025·德州模拟)若函数f(x)=xb与g(x)=ex的图象在第一象限内有公共点，则实数b 的取值范围为
.
四、解答题(共28 分)
11.(13 分)(2025·白银模拟)已知函数f(x)=ex-1-ax.
(1)若函数f(x)在(-∞，3)上单调递减，求实数a 的取值范围；(6 分)
(2)若a∈(1，e]，证明：函数f(x)有两个零点.(7 分)
12.(15 分)(2025·北京海淀区模拟)已知函数f(x)=aln√x-sin x，曲线y=f(x)在点(
π
2 ，f(
π
2))处的切线斜率为
1
π .
(1)求实数a 的值；(3 分)
(2)求f(x)在(0，2π]上的零点个数；(6 分)
(3)证明：f'(x)在(0，π
2)上存在两个零点x1，x2，且|x2-x1|>1
4 .(6 分)
4
【拓展训练】(每小题5 分，共10 分)
13.(2025·吉林模拟)函数f(x)=2x+4x+6x+…+2 024x-2 025x的零点个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.3
14.(2025·淄博模拟)若关于x 的方程x2-2ycos(sin x)+y2=0 有唯一解，则上述关于y 的方程的非零实数解为(
)
A.1
2
B.1
C.2
D.4
5
