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专题四 解析几何（解答题13 种考向）
1
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2
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考向一 基础题
【例1-1】（2025·山东淄博·一模）已知双曲线
，离心率
，点
在双曲
线上
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)点
分别是双曲线
的左右焦点，过点
的直线与双曲线的右支交于
两点，若
的周长为12，
求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意可得
，则
，即
，
3
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又因为点
在双曲线上，所以
，
解得：
，所以双曲线
的标准方程为：
.
（2）因为
的周长为12，所以
①，
由双曲线的定义可得：
，
所以
②，
所以由①②可得：
，
由（1）知，
，所以
，
因为直线的斜率不为
，所以设
，
则联立直线与双曲线
可得
，
当
，即
，直线与双曲线只有一个交点，不合题意，所以
，
，
所以
，
所以
，
解得：
（舍去）或
，所以
，
直线的方程为：
，即
.
4
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【例1-2】（2025·海南·三模）已知双曲线
的焦距为
，过点
的直线与
交
于
两点，且当
轴时，
．
(1)求
的方程；
(2)若点
都在
的左支上，且以
为直径的圆与
轴相切，求的斜率．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为当
轴时，
，所以点
在曲线C 上，
所以
，又
的焦距为
，所以
，
所以
，解得
（负根舍去），所以
，
所以
的方程为
；
（2）由题知，直线l 的斜率一定存在，
设直线的方程为
，
，
联立
，消
并整理得
，
5
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因为直线与
的左支交于
两点，所以
，
解得
，所以
，
且
，
因为以
为直径的圆与
轴相切，所以
，
所以
，所以
，结合
，所以
，
解得
，即的斜率为
.
【例1-3】（2025·贵州安顺·模拟预测）已知椭圆
过点
，离心率为
.
(1)求椭圆C 的方程.
(2)已知O 为坐标原点，直线
与
相交于M，N 两个不同点.
①求k 的取值范围；
②若
，求
的面积.
【答案】(1)
6
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(2)①
；②
或
.
【解析】（1）由已知得
.
因为
，所以
，
解得
，
，故椭圆
的方程为
.
（2）①将
代入
，得
，
则
，解得
或
，
故
的取值范围为
.
②设
，
，由（1）可知
，
.
因为
，所以
.
又
，
所以
，所以
或
.
易知直线
与
轴交于点
，
所以
.
当
时，
；当
时，
.
7
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故
的面积为
或
.
【例1-4】（2025·北京平谷·一模）已知椭圆
的离心率为
，短轴长为2，斜率为
的
直线与椭圆
交于
两点，与
轴交于点
，点
关于
轴的对称点为点
，直线
与
轴交于点
为
坐标原点.
(1)求椭圆
的方程；
(2)求
的值.
【答案】(1)
(2)1
【解析】（1）由题意可知：
，解得
，
所以椭圆
的标准方程为
.
（2）
设直线的方程为
，点
.
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由
得
所以题意
，即
.
.
直线与
轴交于点
，所以
.点
直线
的方程为
，
令
，得
，①
又因为
，
带入①式
所以
.
考向二 定点
【例2-1】（2025·山西吕梁·一模）已知椭圆
的焦距为
，点
在椭圆
上.
(1)求椭圆
的方程；
(2)若直线交椭圆
于
两点，且线段
的中点
的横坐标为
，过
作直线
.证明：直线
恒过
定点，并求出该定点的坐标.
【答案】(1)
；
(2)证明见解析，定点为
.
【解析】（1）由点
在椭圆
上，得
，由椭圆
的焦距为
，得
，
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解得
，所以椭圆
的方程为
.
（2）设
,
，代入椭圆方程得
，由题知
，
当
时，设
,
、
,
，显然
，
由
，得
，即
，
由
为线段
的中点，得
，直线的斜率
，
由
，得直线
的方程为
，即
，
因此直线
过定点
，当
时，直线
，此时
为
轴亦过点
，
所以直线
恒过定点
.
【例2-2】（2025·河北保定·模拟预测）已知双曲线
的一条渐近线与双曲线
的一条渐近线垂直，
分别为
的左、右顶点，且
到
的两条渐近线的距离之和为
.
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)设
为
上异于
的不同的两点，且直线
的斜率与直线
的斜率满足
，证明：直线
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恒过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）双曲线
的一条渐近线方程为
，
因为双曲线
的一条渐近线与双曲线
的一条渐近线垂直，
所以双曲线
的一条渐近线方程为
，即
，
则
，
，由对称性可知，
到
的一条渐近线
的距离为
，
所以
，解得
，
所以
，
故
的标准方程为
.
（2）证明：由（1）可知，
，
①当直线
的斜率存在时，设方程为
，
，
由
，整理得
，
则
，
得
，
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由
得，
，即
，
由
，则
，
所以
，
则
即
，
所以
，
整理得
，
所以
，
解得
或
，
若
时，直线
的方程为
，
即
，则直线
过定点
，不合题意，舍去；
若
时，直线
的方程为
，即
，则直线
过定点
.
当直线
过定点
，
②当斜率不存在时，
，
得
，故直线
，满足题意.
综上可知，直线
恒过定点
.
【例2-3】（2025·吉林长春·二模）如图，矩形
中，
分别是矩形四条边的中点，
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设
，其中
，直线
和
的交点
在椭圆
上．
(1)求椭圆
的方程；
(2)设
，过点
的动直线与椭圆
交于
两点，直线
分别交圆
于
两点，设直线
的斜率分别为
．
①求证：
为定值；
②直线
是否恒过定点，若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②是，
【解析】（1）由题可知
，
直线
的方程为：
，可化为
，
直线
的方程为：
，可化为
，
则两式联立得
，所以椭圆方程为
.
（2）①设直线
的方程为：
，
，
，
与椭圆
的方程：
联立消去
可得：
，
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则
，
，
所以
，
代入
，可得
.
②设直线
的方程为：
，
，
，
联立直线
与圆
的方程，
消去
可得
，
则
，
所以
，
代入
，可得
．
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综上，直线
恒过定点
．
【例2-4】（2025·福建）已知椭圆
的离心率是
，上、下顶点分别为
，
.圆
与
轴正半轴的交点为
，且
.
(1)求
的方程；
(2)直线与圆
相切且与
相交于
，
两点，证明：以
为直径的圆恒过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由已知得
，
，
.
则
，
，
，所以
.
因为
，又
，所以
，
.
故
的方程为
.
（2）当直线的斜率存在时，设的方程为
，即
.
因为直线与圆
相切，所以
，即
.
设
，
，则
，
.
由
化简，得
，
由韦达定理，得
所以
，
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所以
，
故
，即以
为直径的圆过原点
.
当直线的斜率不存在时，的方程为
或
.
这时
，
或
，
.
显然，以
为直径的圆也过原点
.综上，以
为直径的圆恒过原点
.
考向三 定值
【例3-1】（2025·广西·一模）已知直线
与椭圆
交于
、
两点，
为坐标原点．
(1)证明：
；
(2)已知
，证明：点
到直线的距离为定值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【解析】（1）由
消去
，得
，由直线与椭圆
交于两点，
得
，
所以
.
（2）设
，由（1）知，
，
，由
，得
，
整理得
，因此点
到直线的距离为定值
，
所以点
到直线的距离为定值．
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【例3-2】（2025·新疆·二模）已知椭圆
的长轴长是短轴长的
倍，右焦点为
，
点
在
上，点
与点
关于
轴对称．
(1)求
的方程；
(2)设点
为
上异于
的任意一点，直线
与
轴分别交于点
，判断
是否为定值，若是，
求出定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)是，2
【解析】（1）已知椭圆
的长轴长是短轴长的
倍且右焦点为
，
所以
，解得
，所以
的方程为
．
（2）因为
为椭圆
上异于
的任意一点，所以直线
的斜率存在，
设
，则
，
直线
方程为
，
令
，得
，则
，
同理可得
，
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所以
，
因为
，
所以
，
故
．
【例3-3】（2025·山东菏泽·一模）已知双曲线
（
，
）的渐近线方程为
，点
在双曲线C 上.
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)如图，过双曲线C 右支上一点P 作圆
的切线交双曲线C 左支于Q，右支于R，直线
与圆O
切于点M.
①求证：Q、R 两点关于原点O 对称；
②判断
是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)①证明见详解；②是定值，
.
【解析】（1）由双曲线C 的渐近线方程
，可知
，即
.
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把点
带入双曲线C 的方程得
，由
，解得
，
所以双曲线C 的标准方程为
.
（2）①由题意知切线
的斜率存在，故设切线
的方程为
，
由圆O 的圆心到直线
的距离
，所以
① ，
把
代入
消y 得
，
由题意知
.设
，
，
，
则由韦达定理可知
，
，
则
，
所以
，
所以
，所以
，
同理可得
，所以Q，O，R 三点共线，
又由双曲线C 关于原点O 对称，所以Q，R 两点关于原点对称.
②
是定值
，证明如下：
连接
，
，
，由①知：
，
，所以
，
所以
，所以
为定值.
考向四 定直线
【例4-1】（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为
，离心率为
．
(1)求C 的方程；
(2)记C 的左、右顶点分别为
，
，过点
的直线与C 的左支交于M，N 两点，M 在第二象限，直线
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与
交于点P．证明:点
在定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【解析】（1）设双曲线方程为
，由焦点坐标可知
，
则由
可得
，
，
双曲线方程为
.
（2）由(1)可得
，设
，
显然直线的斜率不为0，所以设直线
的方程为
，且
，
与
联立可得
，且
，
则
，
直线
的方程为
，直线
的方程为
，
联立直线
与直线
的方程可得：
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，
由
可得
，即
，
据此可得点
在定直线
上运动.
【例4-2】（2025·四川成都·二模）已知双曲线
过点
，渐近线方程为
.
(1)求
的方程；
(2)已知点
，过点
作动直线与双曲线右支交于不同的两点
，在线段
上取异于点
的点
.
（i）当
为
中点时，
的面积为7，求直线的斜率；
（ii）直线
分别与
轴交于点
，若
为
中点，证明：点
恒在一条定直线上.
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）证明见解析
【解析】（1）由题意，得
，则
①，
将点
代入双曲线方程，得
②，
联立①②解得
故
的方程为
.
（2）若直线的斜率不存在，则直线与双曲线右支只有一个交点，不符合题意，故直线的斜率存在.
设直线的方程为
，与
联立得
.
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设
，由题意，得
解得
.
（i）解：因为
为
中点，所以
.
由
，得
.
又
，解得
，所以直线的斜率为
.
（ii）证明：设直线
的方程为
，令
，得
.
同理可得，
.
因为
为
中点，所以
，即
.
又因为点
都在直线上，
所以
，
整理，得
，
代入韦达定理，得
，所以
.
因为
，所以点
恒在定直线
上.
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【例4-3】（2025·贵州黔东南·模拟预测）已知双曲线
的左，右顶点分别为
的右焦点
到渐近线的距离为
，过点
的直线与
的右支交于
两点（点
在第一象
限），直线
与
交于点
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)证明：点
在定直线上；
(3)记
的面积分别为
，若
，求直线的方程.
【答案】(1)
；
(2)证明见解析；
(3)
.
【解析】（1）双曲线
的渐近线为
，设
，则
，
而
，所以双曲线
的方程为
.
（2）由（1）知，
，直线不垂直于
轴，设方程为
，
由
消去
得
，设
，
23
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，
，则
，
，
直线
：
，直线
：
，
联立得
，解得
，
所以直线
与
交于点
在定直线
上.
（3）由（2）知，
，
则
，即
，
于是
，解得
，即
，
所以直线的方程为
，即
.
考向五 最值
【例5-1】（2025·山东青岛·一模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，离心率为
.
点
在
的右支上，当
轴时，
.
(1)求
的方程;
24
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(2)若直线
与
的另一个交点为
，求
面积的最小值.
【答案】(1)
(2)12
【解析】（1）由题知
，
又
轴时，
有
代入方程
解得
，
，
则双曲线
的方程为：
；
（2）设直线
方程为
，
，消去
得
，
则
，
所以
，
，
因为
，
令
，则
，
得
设
，则该函数在
上单调递减，则
，
故
，，即
面积的最小值为12.
25
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【例5-2】（2025·江苏宿迁·一模）已知抛物线C 的顶点为
，焦点为
(1)求抛物线C 的方程；
(2)过点F 作直线交抛物线C 于A、B 两点，若直线AO，BO 分别交直线l：
于M、N 两点，求
的最
小值.
【答案】(1)
；
(2)
【解析】（1）根据题意可设C 的方程为
，
那么
，所以
，
所以C：
；
（2）如图，
设
，
，根据题意可设直线AB 的方程为
，
联立直线AB 方程和方程C 可得
，化简得
，
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根据韦达定理可得
，
，
因此有
，所以AO 的方程：
，
根据
，
可得
，
同理，AO 的方程：
，
联立AO 方程和直线
，
，可得
，
因此
，
设
，
，所以
，
因此
，
当
时，
，
，
当
时，
，则
，当
取等号．
27
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而
，所以当
，即
时，
的最小值是
【例5-3】（2025·山东烟台·一模）已知椭圆
的焦距为
，离心率为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)设
为坐标原点，
为
上两个动点，且
，作
，垂足为
.
（i）线段
的长度是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（ii）设点
的轨迹为
，过点
作
的切线交
于点
（异于
），求
面积的最小值.
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）
【解析】（1）由椭圆
的焦距为
，则
，
由椭圆的离心率为
，则
，解得
，
易知
，则可得椭圆
.
（2）（i）
当直线
的斜率不存在时，可设方程为
，代入椭圆
，
可得
，易知
，解得
；
当直线
的斜率存在时，可设方程为
，
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联立
，消去
可得
，
由
，设
，
则
，
可得
，
由直线
的斜率
，直线
的斜率
，且
，
则
，整理可得
，
化简可得
，解得
，
由
.
（ii）
由圆的对称性，则
，
由（i）可知：
当直线
的斜率不存在时，
，
当直线
的斜率存在时，
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，当且仅当
时，等号成立，则
，
综上可得
，故
的最小值为
.
【例5-4】（24-25 高三下·辽宁·开学考试）已知椭圆
的离心率为
，且过点
.
(1)求C 的方程；
(2)若斜率为1 的直线与C 相交于E，F 两点，且
，求l 的方程；
(3)椭圆C 与x 轴相交于A，B 两点，P 为椭圆C 上一动点，直线PA，PB 与直线
交于M，N 两点，设
与
的外接圆的半径分别为
，
，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）由题意得
，将
代入椭圆方程得
，
又
，解得
，
故椭圆
的方程为
（2）设l 的方程为
，则
.
联立方程组
，整理得
，
30
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则
，即
，
所以
，
则
，
解得
，满足题设，
所以l 的方程为
.
（3）设直线PA 的方程为
，则直线PB 的方程为
.
令
，得
，同理得
，则
.
在
中，由正弦定理知
，
同理可得
.
因为
，所以
，
从而
，
当且仅当
时等号成立，故
的最小值为
【例5-5】（2025·辽宁·二模）一般地，若两个椭圆焦点都在x 轴或y 轴上，长轴相等，其中一个椭圆的短半轴
31
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长与另一个椭圆的焦距长相等，则称两个椭圆为相关椭圆.已知椭圆
，抛物线
与
有一个相同的焦点F.过点F 作互相垂直的两条直线l 与
，直线l 与
交于点G、B，直线
与
交于点
C、D.
(1)求该椭圆的相关椭圆
方程及抛物线
的方程
(2)四边形GCBD 的面积是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
(3)过椭圆
左顶点A 且斜率为
的直线
与椭圆
交于点M，与
轴交于点
，设点
为
MA 的中点.若
轴上存在点
，对于任意的
，都有
（
为原点），若
，求
的值.
【答案】(1)椭圆
方程为
，抛物线
的方程为
(2)四边形GCBD 的面积存在最小值，最小值为8；
(3)
【解析】（1）椭圆
的焦点在
轴上，
，
设椭圆
方程为
，
，
若椭圆
的短半轴长与
的焦距长相等，
即
，此时不合要求，
若椭圆
的短半轴长与椭圆
的焦距长相等，
即
，解得
，满足要求，
32
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故椭圆
方程为
；
椭圆
的焦点为
，故
，解得
，
故
；
（2）显然当直线
的斜率为0 时，直线
与抛物线只有1 个交点，不合要求，
故直线
的斜率不为0，当直线
的斜率不存在时，
直线
的方程为
，此时直线为
，
中，令
得
，故
，
此时
，
，
设四边形GCBD 的面积为，
，
当直线
的斜率存在，设直线
的方程为
，
与
联立得
，
设
，则
，
故
，
故
，
直线
，与椭圆
联立得
，
恒成立，
33
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设
，则
，
由弦长公式得
，
设四边形GCBD 的面积为，
，
令
，则
，
由对勾函数性质可知
在
上单调递增，
故
，
故四边形GCBD 的面积存在最小值，最小值为8.
（3）由题意得
，故直线
，联立
得
，设
，则
，
故
，
，
故
，
，
中，令
得
，故
，
，
又
，设
，故
，解得
，
34
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所以
，
由
得
，
即
，
，
即
，
其中
，
，
故
，解得
，
故
的值为
考向六 共线、共圆
【例6-1】（2025·山西临汾·一模）已知点
在椭圆
上，直线与
交于
，
两点，直线
，
的斜率之和为0，点
关于
轴的对称点为
，线段
的中点为
.
(1)证明：
，
，
三点共线；
(2)求
面积的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【解析】（1）点
代入椭圆方程得
，解得
，
35
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所以椭圆
的标准方程为
设
，
，
当直线
斜率不存在时，可设其方程为
，则
，
，
由
，得
，舍去，
当直线
斜率存在时，可设其方程为
，
联立
整理得
，
由
，得
，
由韦达定理得，
，
由
，得
，
整理得
，
，
韦达定理代入，得
，
化简得
，
当
时，直线过点
，舍去；
所以
，即
，
此时，直线
的方程为
，
，所以
，
，
所以
36
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又因为
，
，
所以
，所以
，
，
三点共线.
（2）由（1）可得，
，
，
点
到直线
的距离
，
，
所以
，
令
，则由（1）可得
，
设
，
，
由二次函数的性质知，当
时，
，
所以
面积的最大值为2.
【例6-2】（2025·安徽·一模）已知动点
满足关系式
.
(1)求动点
的轨迹方程；
(2)设动点
的轨迹为曲线
，抛物线
的焦点为
，过
上一点
作
的两条切线，切点分别为
，弦
的中点为
，平行于
的直线与
相切于点
.
①证明：
三点共线；
37
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②当直线与
有两个交点时，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
的取值范围为
.
【解析】（1）设
，
则
即
，
所以由双曲线定义可知动点
的轨迹是以
为焦点的双曲线的下支，且
所以动点
的轨迹方程为
.
（2）①证明：由（1）曲线
:
,
，设
，
对函数
求导得
，
所以两切线方程为：
，即
，
又切线过点P，所以
，
即
满足
，即满足方程
，
所以
，
设
， 则由
，
38
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所以
，即
三点在直线
上，即
三点共线；
②由上得
，所以直线的方程为
即
，
联立
，
因为直线与
有两个交点，则由题意可知方程有两个不等负根，
所以
，
所以
.
所以
的取值范围为
.
【例6-3】（2025·广东茂名·一模）在平面直角坐标系
中，椭圆
的长轴长为4，离心
39
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率为
，直线交
于
两点.
(1)求
的方程；
(2)若直线过
的右焦点，当
面积最大时，求
；
(3)若直线不过原点，
为线段
的中点，直线
与
交于
两点，已知
四点共圆，证明：
.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）依题意可得
，解得
，
所以
，故椭圆的方程为
.
（2）由（1）可知
，由题可设直线的方程为
，
，
联立
，消去
可得
，
则
恒成立，
则
，
所以
40
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，
当且仅当
时等号成立，所以直线垂直于
轴时，
的面积取最大值，
此时，
.
（3）
若直线的斜率为
，
为上下顶点，且
，
若
四点共圆，则
不成立，
所以由题可设直线的方程为
，
，
则
，联立
，可得
，
当
，
即
时，
，
所以中点
的坐标为
，所以
，
故直线
，
由
四点共圆，则
，
由
，
41
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联立
，可得
，即
，
所以
，
所以
，可得
，
所以
，
又直线不过原点，所以
，所以
，
，
即
.
【例6-4】（2025·陕西西安·二模）已知
为椭圆
的右焦点，过点
作与
轴平行的直线，该直线与椭圆
交于
两点（点
在第一象限），当
时，
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若直线
与
轴交于点
，证明：
四点共圆.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）依题，
，即
①，把
代入
中，解得
，
因点
在第一象限，则
，由
可得
，
42
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代入点的坐标可得：
，即得
，
整理得：
②，
将① 代入②可得：
，解得
（负值舍去），则
，
故椭圆
的标准方程为：
.
（2）依题意，点
关于
轴对称，故
的外接圆圆心
在
轴上，设
，
将
代入
，解得
，依题意，
，
则
的外接圆半径为
，
于是
的外接圆的方程为：
，
因点
在该圆上，代入解得
，
故
的外接圆的方程可化简为：
（*）.
又直线
的方程为：
，令
，可得
，
将其代入（*），可得：
，
即点
在该圆上，故
四点共圆.
考向七 长度比值
【例7-1】（2025·重庆·一模）已知抛物线
，过点
的直线与抛物线交于
、
两点，
在
轴
43
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上方，
，
均垂直于
的准线，垂足分别为
，
．
(1)当
时，求直线的方程；
(2)已知
为坐标原点，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）
由题意，
为抛物线
的焦点．设
．
设直线的方程为：
，代入
，得：
．
则
①，
②．
因为
，所以
，即
③．
由①③得：
．又由②，解得
．
因为
，所以
．直线的方程为
．
（2）由题意，
．
因为
，所以
在线段
上．
同理，
在线段
上．
因为
，所以
与
相似，
从而
，即
．
44
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【例7-2】（2025·河北·模拟预测）已知椭圆
的一个顶点为
，右焦点为
，直线
与椭圆交于另一点
，且
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)已知点
在椭圆
上，过
向直线
引垂线交于点
，若
，求直线
的方程.
【答案】(1)
(2)
或
.
【解析】（1）设
，
，
.
，
设
，则
，解得：
，
，
代入椭圆
的方程，得
，整理得
，又
，
，
，
故椭圆
的方程为
.
（2）
由（1）知
，易知直线
的斜率存在，
设直线
的方程为
，
，
45
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代入椭圆方程中，整理得
，
，
.
，且
，
即
，
又
，
易知：
，
，
，
解得
，
直线
的方程为
或
.
【例7-3】（2025·广东江门·一模）已知椭圆
的焦距为
，以椭圆
短轴一个端点和两
个焦点为顶点的三角形是直角三角形，过点
的直线
分别交椭圆
于点
，点
始终在第
一象限且与点
关于
轴对称，直线
分别交
轴于点
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)求点
的坐标；
(3)证明：
．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)证明见解析.
【解析】（1）由椭圆
短轴一个端点和两个焦点为顶点的三角形是直角三角形，得
，则
，
46
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所以椭圆
的方程为
.
（2）设直线
方程为
，
，
，
由点
在第一象限且与点
关于
轴对称，得直线
关于
轴对称，
，
由
消去
得
，
则
，
，
直线
方程为
，令
，得
，
所以点
.
（3）由（2）知，
，
，
由
，得
，
因此
，
所以
.
【例7-4】（2025·云南·校联考三模）如图，已知椭圆
的上、下顶点为
，
47
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右顶点为
，离心率为
，直线
和
相交于点
，过
作直线交
轴的正半轴于
点，交椭圆于
点，
连接
交
于点
.
(1)求
的方程；
(2)求证：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）依题意可得
，
，又
，解得
，所以
的方程为
.
（2）在椭圆
中
，
，所以
，
，
设直线
（
），直线
（
），
因为直线
与直线
相交于点
，由
，解得
，所以
，
又点
在椭圆上，所以
，整理得
，
因为直线
交
轴正半轴于
点，令
得
，即
，
48
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又因为
，所以
，
，所以
，
因为直线
交
于点
，令
得
，故
，
又
，所以
，
，
所以
，又
，所以
，
所以
，所以
考向八 角度转化
【例8-1】（2025·陕西西安·二模）已知平面上动点
到
的距离比
到直线
的距离小1，
记动点
的轨迹为曲线
．
(1)求曲线
的方程；
(2)设点
的坐标为
，过点
作曲线
的切线，切点为
（
在第一象限），若过点
的直线
与曲线
交于M，N 两点，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明过程见解析
【解析】（1）由题意得
，
当
时，
，平方化简得
，
当
时，
，平方化简得
，
由
可知
，不合题意，舍去，
综上，曲线
的方程为
；
（2）设
，因为
，所以
，
49
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故过点
的切线斜率为
，又直线
的斜率为
，
故
，解得
，故
，
又
，所以
轴，要使
，只需
，
当直线
斜率不存在时，与抛物线只有1 个交点，不合要求，
设直线
的方程为
，联立
得
，
，解得
或
，
设
，则
，
则
，
故
，此时直线
的斜率取值范围是
.
【例8-2】（2025·河北保定·模拟预测）已知椭圆
的左焦点为
，过点
的直线
交
于
，
两点，分别过点
作的垂线，交
分别于
两点（异于
两点）.当的斜率不存在时，
四边形
的面积为6.
(1)求
的标准方程；
(2)证明：
.
【答案】(1)
；
50
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(2)证明见解析.
【解析】（1）由题意，得
①，
当垂直于
轴时，
，
由题意，得
②，
联立①②解得
，
故
的标准方程为
.
（2）设
，
，
其中
，
由题意，要证
，即证
，即证
，
设直线
和
的斜率为
，联立
，
得
，
即
，
故
，故
，
51
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同理得
，当的斜率不存在时，显然满足题意；
当的斜率存在时，则
，则
，要证
，
即证
，
即证
，
显然左右两式均等于
，故
.
【例8-3】（2025·山东济宁·一模）已知椭圆
的离心率为
分别为
的左．右顶点，
为
的上顶点，且
．
(1)求
的方程；
(2)过
的右焦点
作斜率不为0 的直线交
于
两点，设直线
与
交于点
．
①证明：点
在定直线上；
②求
的最大值．
【答案】(1)
(2)①证明见详解；②
.
【解析】（1）由题意知，
，
所以
，即
．
又
，所以
，
所以
．
所以
的方程为
．
52
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（2）①由于直线
过点
且斜率不为0，所以可设直线
的方程为
．
由
得
，
设
，则
，
所以
．
因为椭圆
的左，右顶点分别为
，
所以直线
的方程为
，
直线
的方程为
，
联立直线
与
的方程得
,
解得
，所以点
在定直线
上．
②设直线
的倾斜角分别为
，则
，
由①知
，所以
，
所以
当且仅当
时取等号，所以
的最大值为
．
53
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【例8-4】（2025·山东泰安·一模）已知椭圆
的离心率为
分别为椭圆
的左､
右焦点，
分别为椭圆
的上下顶点，且
､
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)已知过
的直线与椭圆
交于
两点，且直线不过椭圆四个顶点.
（i）设
的面积分别为
，若
，求
的最大值；
（ii）若
在
轴上方，
为
的角平分线，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）
【解析】（1）由题意知
，
，
椭圆方程为
，
（2）（i）设
，
54
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则
，
，
，
，
，
又
在椭圆上，
，
，
，即
，
，
，
，
；
（ii）设
，直线
的倾斜角为
，直线
的倾斜角为
，
，
直线
的倾斜角为
，
，
，
又
，
，
由题意的斜率不为0，设直线的方程为：
，
由
，得
，
设
，
55
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则
，又
，
，
即
，
整理得
，
，
，
的方程为
.
【例8-5】（2025·北京延庆·一模）已知椭圆
的左，右顶点分别为A，B，且
，离
心率为
.
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)设直线
与x 轴交于点Q，点P 是直线
上不同于点Q 的一点，直线BP 与椭圆E 交于点M，直线AM
与直线
交于点N，判断是否存在点P，使得
？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明
理由.
【答案】(1)
(2)存在，点
的坐标为
或
【解析】（1）由题意得
，解得
，
所以
，
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所以椭圆E 的标准方程为
；
（2）假设存在点P，使得
，则
‖
，
所以
，
设
，则
，
所以
，直线
的方程为
，
因为点
在直线
上，所以
，
所以
，
因为点P 是直线
上不同于点Q 的一点，所以
，
所以
，解得
，
因为点
在椭圆上，所以
，解得
或
，
当
时，
，得
，
当
时，
，得
，
所以存在点P，使得
，点
的坐标为
或
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【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的定点问题，第
（2）问解题的关键是将问题转化为
，再结合直线
的方程和椭圆方程可求得结果，考查数学转化思
想和计算能力，属于中档题.
考向九 轨迹
【例9-1】（2024 湖南长沙）已知椭圆C：
，直线l 与椭圆C 交于A，B 两点．
(1)点
为椭圆C 上的动点（与点A，B 不重合），若直线PA，直线PB 的斜率存在且斜率之积为
，试
探究直线l 是否过定点，并说明理由；
(2)若
．过点O 作
，垂足为点Q，求点Q 的轨迹方程．
【答案】(1)直线l 过定点
；
(2)
【解析】（1）直线
过定点
，下面证明：
设
，
，
，
又
，
，∴
，
∴直线
过原点满足
．
又当PA 两点固定时
为定值，有且仅有一个斜率值与之相乘之积为
，
则直线
重合，则
重合，
∴直线l 过定点
．
（2）设
，
，
，不妨设
，
58
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∴
，
，又点A，B 在椭圆上，
∴
，
，
∴
，
，两式相加得
，
由
，
得
，
∴点Q 的轨迹是以点O 为圆心以
为半径的圆，
∴点Q 的轨迹方程为
．
【例9-2】（2025·广东湛江·一模）已知抛物线
的焦点为F，A，B 分别为C 上的点（点A 在
点B 上方）．过点A，B 分别作C 的切线，
，交于点P．点O 为坐标原点，当
为正三角形时，其面积
为
．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若直线
经过点F，求动点P 的轨迹以及点P 到直线
的距离的最小值．
【答案】(1)
(2)轨迹为直线
，最小值为2．
【解析】（1）
59
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因为
为正三角形时，其面积为
，可得
的边长
．
根据正三角形以及抛物线的对称性，可知此时点A，B 关于x 轴对称，
所以点A 的坐标为
．
将点A 代入抛物线的方程可得
，解得
，
所以抛物线C 的方程为
．
（2）
易得
．设直线
的方程为
，
联立直线
与抛物线C 的方程可得
．
，
设点A，B 的坐标分别为
，
，
根据韦达定理可得
，
．
设直线的方程为
．
60
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因为是抛物线C 的切线，所以与C 仅有一个交点．
联立两个方程可得
，
，所以
，
所以直线的方程为
．
同理可得直线
的方程为
．
计算与
的交点可得
，即可得
，
所以动点P 的轨迹为直线
．
将点P 的横坐标代入直线及
，可得其纵坐标为
以及
，
两者相加可得
，代入上述韦达定理可得
，
所以点P 的坐标为
，
所以点P 到直线
的距离
，
当且仅当
时等号成立，
所以点P 到直线
的距离的最小值为2．
【例9-3】（2025·山东聊城·一模）已知圆
，圆
，动圆
与
、
都外
切.
(1)求圆心
的轨迹方程；
(2)设
，
、
是圆心
轨迹上的不同两点，过点
作
，垂足为
，若直线
与
的斜
率之积等于
，求动点
轨迹的长度.
【答案】(1)
(2)
61
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【解析】（1）设圆
的半径为，圆
的圆心为
，半径为
，圆
的圆心为
，半径为
，
因为圆
与圆
、圆
都外切，则
，
，
所以，
，
所以，点
的轨迹是以点
、
为焦点的双曲线的右支，
设双曲线的标准方程为
，则
，可得
，
，则
，
所以，
，
所以，圆心
的轨迹方程为
.
（2）若直线
与
轴垂直，则直线
与曲线
只有一个公共点，不合乎题意，
设直线
的方程为
，设点
、
，
联立
可得
①，
则
且
，可得
且
，
由韦达定理可得
，
，
，
62
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整理可得
，
即
，
整理可得
，
若
，此时，方程①为
，由于
，解得
，
此时直线
与点
的轨迹只有一个公共点，不合乎题意，
所以，
，所以，直线
的方程为
，故直线
过定点
，
因为
，取线段
的中点
，则
，
所以点
在以点
为圆心，半径为的圆上运动，
由题意可得
，可得
，
易知直线
的方程为
，
联立
可得
，
直线
交
轴于点
，交圆
于
、
两点，
63
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，则
，所以，
，
易知点
的轨迹为劣弧
（不包括端点），其长度为
.
【例9-4】（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知过右焦点
的直线交双曲线
于
两点，曲线
的左右顶点分别为
，虚轴长与实轴长的比值为
．
(1)求曲线
的方程；
(2)如图，点
关于原点
的对称点为点
，直线
与直线
交于点，直线
与直线
交于点
，求
的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意得
，又
，则
，曲线
的方程为
；
（2）设直线
的斜率分别为
，直线
为
，
由
，得
，
，
64
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，
则
，
，
由于点
关于原点
的对称点为点
，
，
则直线
为
，直线
为
，显然
，
由
，得
，
即
，
则直线
的方程为
，
65
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由
得
，即
，
当
时，由对称性可知在
轴上，
此时直线
平行于直线
，不符合题意，
故
的轨迹方程为
．
考向十 存在性
【例10-1】（2025·广东深圳·一模）已知抛物线
，斜率为
的直线交抛物线于
两点，且
．
(1)求抛物线
的方程；
(2)试探究：抛物线
上是否存在点
，使得
？若存在，求出
点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
和
【解析】（1）由
在抛物线上，则
，解得
，
因此可得抛物线
的方程为
.
（2）
存在点
在抛物线
上，
设点
，
由直线的斜率为
，且过
，
66
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则直线的方程为：
，即
，
联立
，可得
，解得
，或
，
即可得
点的纵坐标为，代入
，得
，即
，
若
，则
，即
，
又
，
则可得
，
整理得，
，解得
，或
，或
，或
，
当
时，
与
重合，舍去，
当
时，
与
重合，舍去，
当
时，
，
当
时，
，
综上知，抛物线
上存在点
，为
和
时，
.
【例10-2】（2025·福建莆田·二模）已知椭圆
的离心率为
，点
在
上．
(1)求
的方程；
(2)设椭圆
．若过
的直线交
于另一点
交
于
两点，且
在
轴上方．
（ⅰ）证明：
；
（ⅱ）
为坐标原点．
为
右顶点．设
在第一象限内，
，是否存在实数
使得
的面积与
67
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的面积相等？若存在，求
的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ）存在，
【解析】（1）由已知，可得
，
因为
，
，
解得
，
所以椭圆方程为
（2）如图，
（ⅰ）证明：
要证
，只需证明弦
的中点与弦
的中点重合.
当垂直于
轴时，弦
的中点都是坐标原点
，故它们的中点重合，
此时
当不垂直于
轴时，设直线的方程为
，
由
，得
，
则
，
所以弦
中点的横坐标为
，
同理可得
，
所以弦
中点的横坐标为
68
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所以弦
的中点与弦
的中点重合，此时
.
综上所述，
(ii)因为
，所以
，
又因为点
在第一象限内，
，
由(i)知，
，所以
,
又
，所以
，
化简得
①
设
到的距离为
，C 到的距离为
，
假设
的面积与
的面积相等，则
，
因为
，所以
，所以
,
又
，
因为
，所以
，
所以
②
由①②解得
，经检验符合题意，
所以
【例10-3】（2025·江西赣州·一模）已知椭圆E：
，其左顶点为P，上顶点为Q，直线PQ
69
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交直线
于R，且
（其中O 为坐标原点）.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)点N 在x 轴上，过点N 作直线l 与E 交于A，B 两点，问：是否存在定点N，使得
为定值，若存
在，求出所有点N 的坐标并且求出定值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
或
【解析】（1）
由题意可知
，
，
，
所以
，
，
整理联立有：
，
又因为
，
，解得
，
，
所以椭圆方程为
.
（2）根据已知条件设
，设
，
，
当直线
斜率不为
时，设直线
，
联立
，整理得
，
70
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需
，
即
，
由韦达定理有：
，
，
故
因为
为定值，所以
，
整理得
，解得
，此时
；
当直线斜率为
时，不妨设
，
，
，
此时
符合题设，
同理可证当
的坐标为
时也符合题设，
又
恒成立，
所以存在点
或
使得
的值为
（定值）.
考向十一 三角形的四心与形状
【例11-1】（2025·云南昆明·一模）椭圆
的右焦点为
，过
且斜率为
的直线
71
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与
交于
，
两点，
为坐标原点，
，设直线
的斜率为
，且
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)若
为椭圆
上一点，且
为
的重心，求
.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设
，
，则
，又
，
在椭圆
上，
∴
，两式作差
，整理得：
，
∴
，又
，
∴
，
，故椭圆
的方程为
.
（2）设直线的方程为
，
与椭圆
联立并整理得：
，
，
∴
，则
，
又
恰为△
的重心，故
坐标为
，即
因为
在椭圆
上，即
，
故
，即
，解得
，
∴
，
而
，
，
72
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故
；
∴
.
【例11-2】（2025·广东·一模）已知抛物线
，过点
作两条直线
分别交抛物线于
和
（其中
在
轴上方）．
(1)当垂直于
轴，且四边形
的面积为
，求直线
的方程；
(2)当
倾斜角互补时，直线
与直线
交于点
，求
的内切圆的圆心横坐标的取值范围．
【答案】(1)
或
．
(2)
【解析】（1）
法一： 当
轴，令
，则
，
设直线
，由于
，
则
，
由于
，则
，则
，
，
73
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则
，则
，
所以直线
的方程为
或
．
法二： 设
，倾斜角为
，由对称性知
有两条，且关于对称，
不妨设
，那么
，
则
，则
，
由于
，则
，
则
，
，
则
由对称性，另一条直线：
，
所以直线
的方程为
或
．
（2）法一：设点
，
因为
，同理：
，
所以
，化简可得：
，
同理可得：
，
，
，
又因为
，直线
和直线
交于点
，
所以
，且
，即
，
74
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，且
，化简得：
，于是
，
则
，解得
，所以点
，
由于
，则
，所以
，则
轴平分
，
设
的内切圆圆心
，则
到
的距离
，
点
到
的距离
，
所以
，
化简可得：
，
由于
，当且仅当
取等号（舍），
则
，
则
．
或由
化简得到：
75
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，
令
，当且仅当
取等号（舍），
则
，设
，
，
则
在
单调递减，
．】
法二：点
证明同解法1；
设
的内切圆圆心
，
设定点
，由于
，设半径为，
设
，于是
，
，那么
，
（或：在
中，由角平分线定理：
．则
．）
设
，
76
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由于
，当且仅当
取等号（舍），则
，
则
，则
．
【点睛】关键点点睛：第二问：则
到
的距离
，点
到
的距离
，
得到
.
【例11-3】（2025·广东佛山·一模）已知
的顶点
在
轴上，
，
，且边
的中点
在
轴上，设
的轨迹为曲线
．
(1)求
的方程；
(2)若正三角形
的三个顶点都在
上，且直线
的倾斜角为
，求
．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）设
，
，
因为
是
的中点且
在
轴上，根据中点坐标公式，
若
为
，则
，所以
，即
，
已知
，且
，
77
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根据两点间距离公式，
，
，
因为
，所以
，
两边平方可得
，
展开式子：
，
化简得
，所以曲线
的方程为
.
（2）设
，
，直线
的方程为
，
由
消去
得
，即
，
由韦达定理得
，
，
，
则
，
，
根据弦长公式
（这里
），
所以
，
因为
是正三角形，设
中点为
，则
，即
，
直线
与直线
垂直，直线
斜率为，则直线
斜率为
，
点
在曲线
上，设
，则
，
又因为
，
根据两点间距离公式，
，
78
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由
，
可得
，
由
可得
，即
，
，则
，
，
，
，
由
，
，
，
两式相减得
，
，解得
或
，
当
时，
，
当
时，
(舍去)，
所以
.
79
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【例11-4】（24-25 高三上·重庆·开学考试）已知椭圆：
的右焦点
与抛物线
的焦
点重合．
(1)求抛物线
的方程；
(2)已知
为抛物线
上一个动点，直线
，
，求点
到直线
的距离之和的最小值；
(3)若点
是抛物线
上一点（不同于坐标原点
），
是
的内心，求
面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【解析】（1）由题可知，椭圆右焦点坐标为
，抛物线焦点坐标为
所以
,
所以抛物线方程为
,
（2）
由题可知，为抛物线准线，所以点
到的距离等于点
到焦点
的距离
；
联立
，
显然无实数根，故直线
与抛物线相离，记点
到
的距离为
,
80
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所以
的最小值为焦点
到直线
的距离为
.
（3）
设点
，已知点
所以
的面积
,
设
的内切圆半径为,
则有
,
所以
,
所以
,
因为点
是抛物线
上一点（不同于坐标原点
）,
所以
，
,
所以
,
经整理得：
,
构造函数
,
得
,
81
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显然
单调增,
令
，解得
,
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
所以
,
所以
.
【例11-5 】（2025·江西九江·一模）已知椭圆
的左右焦点为
，
是椭圆
上
不同的三点，四边形
是边长为
的正方形．
(1)求椭圆
的标准方程：
(2)在
轴上是否存在一点
，使得
为等边三角形？若存在，求
的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【解析】（1）
四边形
是边长为
的正方形，
，
82
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由对称性可知，
为短轴端点．
椭圆
的标准方程为
（2）假设在
轴上存在一点
，满足条件．
由对称性，不妨设
，设直线
的方程为
代入椭圆方程
中，整理得
设线段
中点为
，则
．
线段
的中垂线方程为
为等边三角形，
在线段
的中垂线上，
令
，得
，即
，
,
又
，
，解得
．
在
轴上存在一点
，使得
为等边三角形，且
考向十二 多个专题综合
【例12-1】（2025·辽宁·模拟预测）抛物线
的焦点为
，
为
上一点，
的纵坐标为
，
点
在
轴上，
轴，线段
的中点为
，且
轴．
83
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(1)求
的方程；
(2)已知
为
上三个不同的点，点
在第一象限．
（ⅰ）若点
在原点，
，
，点
的横坐标
满足
，求
．
（ⅱ）在
中，内角
所对的边分别为
，且满足
，
，
的重心
在
轴上，求点
的坐标．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）
；（ⅱ）
【解析】（1）将
代入
的方程，得
，所以
，
所以
，解得
，
故
的方程为
；
（2）（ⅰ）设
，
，则
，
因为
，所以
，
即
，①
又
的中点为
，所以
，
，
由
，得
，与①联立可得
．
又
，则
，
84
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令
，则
，
设方程
的两根分别为
，
得
，
，
所以
在区间
内单调递减，在区间
内单调递增，
又
，
，即
，
所以
；
（ⅱ）由
，得
，
即
，即
，
即
，所以
，
又
，所以
，所以
，
所以
，
即
，所以
，
所以
为等腰三角形，
设重心
，
，
，
，
的中点为
，
则由
，得
，
，
直线
的斜率
，
由
，即
，可知
，
所以
，即
，即
，
85
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所以
，
则
，
所以直线
的方程为
，即
，
联立
，整理得
，
则
，
，
所以
，
由
，得
，解得
，
所以
，
故点
的坐标为
．
【例12-2】（2025·陕西咸阳·一模）已知圆
，圆
．若动圆M 与圆
外切，
与圆
内切，动圆圆心M 的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C 的方程；
(2)若P 为直线
与x 轴的交点，Q 为直线
上的另外一点，直线l 过
且与曲线C 交于A，B 两点，求证：
86
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①
；
②直线
，
，
的斜率成等差数列．
【答案】(1)
；
(2)①证明见解析；②证明见解析.
【解析】（1）对于
，圆心
，半径
，
对于
，圆心
，半径
，
显然
，即两圆外离，如下图示，
由动圆M 与圆
外切，与圆
内切，令圆M 的半径为，则
，
，
所以
，故动圆圆心M 的轨迹为
.
（2）①由题设
且
，
令
，设
，
联立
，消
得
，
由
，知
，又
，
87
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所以
，
，
则
，且有
，
故
，
所以
，得证.
②由①知
，
，
，
所以
，
所以
，即直线
，
，
的斜率成等差数列．
88
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【例12-3】（2025·云南大理·模拟预测）已知点
在抛物线
上，过点
作斜率为
的
直线交
于另一个点
，设
与
关于
轴对称，再过
作斜率为
的直线交
与另一个点
，设
与
关
于
轴对称，以此类推一直做下去，设
.
(1)求的值；
(2)求数列
的通项公式，并求数列
的前
项和
的取值范围；
(3)求
的面积.
【答案】(1)
(2)
，
(3)16
【解析】（1）因为点
在抛物线
上，则
，解得
.
（2）由
可知
，
，
因为点
在抛物线
上，则
，且
，
过
，
，且斜率为
的直线
，
89
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联立方程
，消去
可得
，
解得
或
，
因
，故
，即
，
故数列
是以首项为2，公差为4 的等差数列，所以
，
又
，所以
，
所以
所以
，又
是关于
的递增函数，故
，
的取值范围是
.
（3）由（2）可知：
，
，
，
直线
的方程为
，
即
，
点
到直线
的距离为
，
，
90
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所以
的面积为
.
【例12-4】（2025·吉林·二模）已知
在抛物线
上，其中
关于y 轴
的对称点为
，记直线
的斜率为
且
.
(1)证明数列
是等比数列，并求出数列
的通项公式；
(2)求
的面积
；
(3)记
为数列
的前n 项和，是否存在正整数
，使
成立？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
(3)存在，
或
【解析】（1）
点
在抛物线
上，
，
即抛物线方程为
.
.
即
.
.
.
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，即
.
符合上式，
数列
91
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的通项公式是
.
（2）（法一）
.
直线
的斜率为
.
直线
的方程为：
，即
.
到直线
的距离为
，
.
.
（法二）证明：在
中，
，
则
的面积
.
证明如下：
，
.
下面求
的面积
.
，
.
.
92
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（3）
.
.
.
.
，
或
或
.
解得
或
或
（舍）.
或
.
【例12-5】（2025·四川资阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆
的左、右焦点分
别为
，
，经过点
且倾斜角为
的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点其中点A 在x 轴上方
连接
，
将平面xOy 沿x 轴向上折叠，使二面角
为直二面角，折叠后A，B 在新图形中对应点记
为
，
.
(1)当
时，
①求三棱锥
的外接球的表面积；
93
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②求三棱锥
的体积；
(2)是否存在
，使得折叠后
的周长为
？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)①
；②
；
(2)存在，
【解析】（1）①由题可知，
，则
.
直线的倾斜角
，则斜率
.
所以直线的方程为
.
联立直线与椭圆方程
得
或
.
又因为点A 在x 轴上方，所以
.
所以
为边长是
的正三角形，且
.
折叠后，
.
又因为
，所以
；
外接圆半径
；
外接圆半径
.
三棱锥
外接球半径为
94
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.
三棱锥
的外接球的表面积为
.
②因为二面角
为直二面角
所以
到
轴距离即为三棱锥
的高，
.
底面
的面积
所以
.
即三棱锥
的体积为
.
（2）设翻折前
，
翻折后
.
设直线的方程为
，将直线与椭圆方程联立得，
，则
.
翻折前
，
翻折后
，
由
,
，所以
.
分母有理化
所以
.
95
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则
.
又因为
，
所以
，
将
代入上式，
整理得
，
整理得
因为
，所以
.
考向十三 新定义
【例13-1】（2025·江西萍乡·一模）如图所示，由椭圆
（
）和抛物线
（
）组合成曲线
，若
与
存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲线
为“七星瓢虫曲线”.特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭圆”.
(1)求“等差椭圆”的离心率；
(2)在“七星瓢虫曲线”
中，若
是“等差椭圆”，且
.
（ⅰ）求与
和
都相切的直线的方程；
（ⅱ）直线
（
），且l 与
相交所得弦的中点为M，与
相交所得弦的中点为N，证明：直
线OM，ON（O 为原点）的斜率之积
为定值.
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【答案】(1)
；
(2)（i）
或
；（ii）证明见解析.
【解析】（1）设椭圆
的半焦距为c，
因为长半轴、短半轴、半焦距成等差数列，所以
，
又
，所以
，则
，
两边同时除以
，得
，解得
（
舍去）.
所以“等差椭圆”的离心率为
.
（2）（ⅰ）解：若
是“等差椭圆”，且
，
则由
，得
，则
，
，解得
.
故
，
.
易知与
和
都相切的直线斜率存在且不为0，设方程为：
.
联立
消去y 得
，
则
，得
；①
联立
消去
得
，
则
，得
，②
联立①②，解得
或
故
和
都相切的直线方程为
或
.
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（ⅱ）证明：设l 与
相交于
，
，
线段CD 的中点
，则
，
，
两式相减，得
，
所以
，即
，
由已知
，
，所以
，
即
，则
联立
得
，
又
，则
，
故
，
所以中点
的坐标为
，可得
，
所以
，为N 定值.
【例13-2】（2025·黑龙江·一模）在平面直角坐标系
中，若圆
与抛物线
有公共点
，且圆
与抛物线
在点
处有相同的切线，则称
为抛物线
的和谐数，
圆
为
的和谐圆.
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(1)试判断3 是否为抛物线
的和谐数.若是，求出3 的和谐圆；否则，请说明理由.
(2)设
，
，…，
均为抛物线
的和谐数，且
，记
，
，…，
的和谐圆分别为圆
，
，…，
，设圆
，
，…，
与抛物线
的公共点分别为
，
，…，
，已知
，且
，圆
与
外切.
（ⅰ）求数列
的通项公式；
（ⅱ）设点
，记
的面积为
，证明：
.
【答案】(1)是，
(2)（ⅰ）
；（ⅱ）证明见解析
【解析】（1）假设3 是抛物线
的和谐数，则3 的和谐圆为
，
由对称性，不妨设圆
与抛物线
有公共点
，
显然抛物线
在点
处的切线，即曲线
在点
处的切线，
易知该切线的斜率为
，
∵圆
与抛物线
在点
处有相同的切线，
∴
，解得
，
∴圆
与抛物线
有公共点
，
∴和谐圆的半径为
3
∴是抛物线
的和谐数，且3 的和谐圆为
.
（2）由对称性，只需考虑
，
，…，
均在
轴上方的情形，不妨设
，
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（ⅰ）∵
为抛物线
的和谐数，
∴
的和谐圆为
，
∴由（1）可知，
，解得
，
∴
，
∵
在圆
上，∴
，
∵
，圆
与
外切，且
，
∴
，即
，
∴
，
∴数列
是等差数列，其公差为2，首项为
，
∴
，即
，
∴数列
的通项公式为
.
（ⅱ）证明：显然点
为抛物线
的焦点，∴
，
易知
，且
，∴
为等腰三角形，
易知
的面积
，
当
时，
，
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∴
，
∴
，
∴
，
∴不等式
得证.
【例13-3】（2025·陕西榆林·二模）已知双曲线
的实轴长为2，顶点到渐近线的距离
为
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)若直线与
的右支及渐近线的交点自上而下依次为
，
，
，
，证明：
；
(3)在数学中，可利用“循环构造法”求方程的整数解.例如：求二元二次方程
的正整数解，由
可先找到该方程的初始解
，记此解对应的点为
，进一步可得点
，
，
，
，
.设由“循环构造法”得到方程
的正整数解对应的点列为：
，
，
，
，
，
，
，记
，试判断
是否为定值？
若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)是，1.
【解析】（1）因为
，所以
，
因为双曲线
的一个顶点为
，
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一条渐近线的方程为：
，
所以
，解得：
，
故双曲线
的方程为：
；
（2）设
，
，
，
，
因为直线的斜率不为0，设的方程为：
，
联立
可得：
，则
.
联立
可得：
，则
，
故线段
，
的中点重合，
所以
（3）解法1：因为
，
所以
，
，
因为二项式
与
的展开式中不含
的项相等，含
的项互为相反数，
所以
，解得：
，
令
，
，则
.
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直线
的方程为：
，
，
，故
定值1.
解法2：因为
，
所以
，
，
因为二项式
与
的展开式中不含
的项相等，含
的项互为相反数，
所以
，
则
，
直线
的方程为：
，
，
，
故
为定值1.
103
