第 2 讲 转化思想在平面向量中的应用
转化思想是高中生必备的灵活性思维方式，也是解决数学问题的有效途径之一，其要点在于将陌生的
问题情形转化为熟悉的情形，将复杂、抽象的数学问题简单化、直观化，或从不同角度切入以分析问题，
逐步探索出解决问题的有效方法。
平面向量作为高中数学教学的重要内容之一，平面向量做为载体内容与三角函数、解三角形、平面解
析几何等都有重要联系，而平面向量中也常常遇到转化思想的相关应用，例如用基底表示平面向量、等和
线转化解决系数和问题、极化恒等式转化求解数量积问题等在平面向量中都有广泛的重要应用，而本文会
重点就转化思想在平面向量中的几类应用展开详细讲解。
【应用一】转化思想在用基底表示平面向量中的应用
我们在学习平面向量基本定理时，会学习到基底的概念，我们不妨先来复习一下平面向量基本定理，
如果e ，e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数λ ，
1 2 1
λ，使a＝λe＋λe.
2 1 1 2 2
其中，不共线的向量e，e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
1 2
（1）基底e，e 必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．
1 2
（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一．
我们在高考复习及高考题中也常常遇见给定基底来表示某一向量的题型，解题的关键在于把待表示的向量
转化到某个三角形或平行四边形中用向量的加法或减法先表示出来，再用转化思想与平行关系用基底来表
示即可。例如下面这道例题：
【例1.1】（2018·全国·高考真题）在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
A． B．
C． D．
本题没有图象，我们不妨先作图在研究，如图所示：
要表示 ,则需在在三角形 中找到一组基础关系，由于 为 的中点，所以，再结合 的关系可得到 ，即
，从而达到用基底 来表示
【答案】A
【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得 ，之后应用向
量的加法运算法则-------三角形法则，得到 ，之后将其合并，得到 ，下一步
应用相反向量，求得 ，从而求得结果.
【详解】根据向量的运算法则，可得
，
所以 ，故选A.
【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加
法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
【思维提升】
通过本题我们不难发现，对于已知基底来表示向量的问题，我们通常先找到一组基础的关系，再通过
转化思想转化为用基底来表示，通过学习本题达到学习一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的
方法来研究较复杂的基底问题
【变式1.1】（2022·全国·统考高考真题）在 中，点D在边AB上， ．记 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上， ，所以 ，即 ，
所以 ．
故选：B．
【变式1.2】（2020·山东·统考高考真题）已知平行四边形 ，点 ， 分别是 ， 的中点（如
图所示），设 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】连结 ，则 为 的中位线，
，
故选：A【变式1.3】（2020·海南·高考真题）在 中，D是AB边上的中点，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.
【应用二】转化思想在等和线解决平面向量系数和中的应用
我们在学习平面向量时，经常会遇到形如“ ，则 的取值范围是？，
，则 的取值范围是？”等题型，这里都在求系数和的值或范围，有时还会遇到
“ ”等复杂类型。我们也不妨先学习下平面向量的等和线。
如图， 为 所在平面上一点，过 作直线 ，由平面向量基本定理知：
存在 ，使得下面根据点 的位置分几种情况来考虑系数和 的值
①若 时，则射线 与 无交点，由 知，存在实数 ，使得
而 ，所以 ，于是
②若 时，
（i）如图1，当 在 右侧时，过 作 ，交射线 于 两点，则
，不妨设 与 的相似比为
由 三点共线可知：存在 使得：
所以
（ii）当 在 左侧时，射线 的反向延长线与 有交点，如图1作 关于 的对称点 ，由（i）
的分析知：存在存在 使得：
所以
于是
综合上面的讨论可知：图中 用 线性表示时，其系数和 只与两三角形的相似比有关。
我们在解此类题型时，关键在于转化为上述讲解的几何问题求解，利用几何关系得到系数和的相关范
围，例如下面这道例题：
【例2】（全国·高考真题）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= + ，则 + 的最大值为
A．3 B．2 C． D．2
本题我们可以先结合题意作图，如图所示：
由几何关系可知 + 的范围为圆上与BD平行的切线处取得，即图中过F点与圆相切时取得最大值，
最大值为
【答案】A
【法一：系数和】
分析：如图 ，
由平面向量基底等和线定理可知，当等和线 与圆相切时， 最大，此时
故选 .
【法二：坐标法】
【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.设 ,
易得圆的半径 ，即圆C的方程是 ，
，若满足 ，
则 ， ，所以 ，
设 ，即 ，点 在圆 上，
所以圆心 到直线 的距离 ，即 ，解得 ，
所以 的最大值是3，即 的最大值是3，故选A.
【思维提升】
通过本题我们不难发现，对于求系数和问题，我们常常可以利用平面向量系数和的几何关系来快速求
解，通过学习本题达到学习一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的方法来研究系数和中较复杂
的其他形式的最值问题
【变式2.1】
已知 是 内一点,且 ,点 在 内(不含边界),若 ,则
的取值范围是
A.B.
C.
D.
【答案】B
【解析】因为 是 内一点,且
，
所以 为 的重心
在 内(不含边界),且当 与 重合时, 最小,
此时
所以 ,即
当 与 重合时, 最大,此时
所以 ,即
因为 在 内且不含边界
所以取开区间,即 .
【变式2.2】
如图,已知 为锐角三角形 的外心, ,且 ,求 的取值范围？解:
作圆 的直径 ,则点 在劣弧 上运动.于是 .其中 .
考虑到问题涉及的代数式为 ,为了利用向量分解的系数和的几何意义,
将条件转化为 .
此时可知连接向量 的终点 与向量 的终点 的直线 即等系数和线,于是 .
依次作出其余等系数和线,可得 的取值范围是 .
【变式2.3】（2023·浙江·高三专题练习）如图，在直角梯形 中， ， ∥ ， ，
，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为 ，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若
，其中 ，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立直角坐标系，将 由 点坐标转化后数形结合求解
【详解】以 点为坐标原点， 方向为x,y轴正方向建立直角坐标系，则
，
，设 ，则 ，解得 ，
故 ，即 ，
数形结合可得当 时， 取最小值2，
当直线与圆 相切时， ， 取得最大值 .
故选：B
【应用三】转化思想在极化恒等式解决平面向量中的应用
我们在学习平面向量时，经常会遇到向量的数量积求值或求范围问题，有时我们也可以建立平面直角
坐标系来求解，但有时建系计算繁琐，有没有简洁快速的其他解题思路呢？这就是我们即将要学习的极化恒等式，它可以把向量的数量积运算几何化，从而用几何关系来求解。我们不妨先学习极化恒等式。
恒等式右边有很直观的几何意义:
，
向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的
，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系
如图在平行四边形 中,
则
在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说:
我们具体来用极化恒等式解题，例如下面这两道例题：
【例3】（2023·全国·统考高考真题）正方形 的边长是2， 是 的中点，则 （ ）
A． B．3 C． D．5
本题我们可以先结合题干作图，如图所示：设CD中点为O点，转化为极化恒等式求解可得：
【答案】B
【详解】方法一：以 为基底向量，可知 ，
则 ，
所以 ；
方法二：如图，以 为坐标原点建立平面直角坐标系，
则 ，可得 ，
所以 ；
方法三：由题意可得： ，
在 中，由余弦定理可得 ，
所以 .方法四：极化恒等式
设CD中点为O点，由极化恒等式可得：
故选：B.
【思维提升】
通过本题我们不难发现，对于数量积的相关运算时，我们可以用极化恒等式转化为对应的几何关系求
解，通过学习本题达到学习一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的方法来研究较复杂的其他数
量积的转化问题
【变式3.1】（2022·北京·统考高考真题）在 中， ．P为 所在平面内的
动点，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
方法一
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设 ，表示出 ， ，根据数量积的坐标表示、辅助
角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则 ， ， ，因为 ，所以 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
设 ， ，
所以 ， ，
所以
，其中 ， ，
因为 ，所以 ，即 ；
方法二：极化恒等式
记AB的中点为M，连接CM，则
由极化恒等式可得：即
故选：D
【变式3.2】（全国·高考真题）已知 是边长为2的等边三角形， 为平面 内一点，则
的最小值是
A． B． C． D．
【答案】B
方法一
【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．
【详解】建立如图所示的坐标系，以 中点为坐标原点，
则 ， ， ，
设 ，则 ， ， ，
则
当 ， 时，取得最小值 ，
方法二：极化恒等式解：取 的中点 ,连接 ,取 的中点 ,连接 ,
由 是边长为2的等边三角形, 为中线 的中点 ,
则：
所以 .
故选： ．
【变式3.3】 已知 的斜边 ,设 是以 为圆心,1为半径的圆上任意一点,则 的取
值范围是
（ ）
A. B. C. D.
解：如图所示,
在Rt 上,不妨取 的中点 ,则 .
设圆的半径为 ,而
,则 ,,则 ,
因此 的取值范围是 .
故选：C
巩固练习
1．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）在平行四边形 中， ．若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量对应线段的数量及位置关系，用 表示出 ，求出参数，进而得结果.
【详解】 ，
所以 ，则 .
故选：D
2．（2023·湖南娄底·娄底市第三中学校联考三模）2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨
斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割点，指的是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，黄金分割比为 .如图，在矩形 中， 与 相交于点 ，
，且点 为线段 的黄金分割点，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意得 ，结合矩形的特征可用 表示出 ，再利用向量加减法法则及数乘向
量运算法则即可作答.
【详解】由题意得 ，显然 ， ，
同理有 ， ，
所以 ，故 ，
因为
，
所以 .
故选：D
3．（2022秋·湖北武汉·高三阶段练习）如图所示，在正六边形 中，点 是 内（包括边界）的一个动点，设 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以直线FB为x轴，线段FB的中垂线为y建立平面直角坐标系，结合已知求出点P的坐标，再由
点P所在区域求解作答.
【详解】在正六边形 中，以直线FB为x轴，线段FB中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图，
令 ，则点 ，
因此 ，因 ，则 ，
于是得点 ，又点 是 内（包括边界）的一个动点，
显然点P在直线 及上方，点P纵坐标最大不超过3，即有 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，四边形 是边长为1的正方形，点D在 的延长线上，且
，点P是 (含边界)的动点，设 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据平面向量基本定理及向量共线定理即可求解.
【详解】当点P位于B点时，过点B作 ，交 的延长线于G，H，
则 ，且 ，
， ，
所以 .
故答案为： .
5．（2023·全国·高一专题练习）如图,在扇形OAB中, ,C为弧AB上的一个动点.若
，则 的取值范围是 ．【答案】
【分析】由 ，两边同时平方可得到关于x,y的关系式，求得y关于x的函数关系，将x+3y
表示为x的函数，进而考察函数的单调性，根据x的范围求得结论.
【详解】如图，过C分别作OB,OA的平行线，交OA,OB与M,N，不妨设圆半径为1.
则 ， ，
∵
，由图可知 .
将 两边平方得
1
所以 ,显然
得: ,（负值舍去),故 .
不妨令
显然在 上单调递减, ,得 .
故答案为：[1,3].
【点睛】本题考查平面向量的基本定理，平面向量的数量积，利用函数思想求最值.由已知得到x,y的关系
式后，将所求式子 表示为x的函数，利用函数的单调性是关键.
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直角梯形 中， ，动
点 在以点 为圆心，且与直线 相切的圆上或圆内移动，设 ，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由直角梯形可知依直角建立坐标系，则 ，直线
， 圆 的半径
设 ，由 可得：在圆 内
设 ，则
，其中
由 可知
，且
所以 .
7．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）在 中， ， ，点 是线段 上靠近点
的三等分点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先用 ， 两个向量表示 ，然后根据数量积的运算即可得到.
【详解】
，
，
因 ，所以 ，
又 ，所以 ，
故选：B
8．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在边长为2的菱形 中，
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】以 为基底，求 ，利用函数性质求最小值.
【详解】边长为2的菱形 中， ，如图所示，
则 ， ，
， ，
，
由于 ，所以当 时， 有最小值 .
故选：B
9．（2023·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）以边长为2的等边三角形ABC每个顶点为圆心，以边长为
半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成曲边三角形，已知P为弧AC上的一点，且 ，
则 的值为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】如图所示，以B为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示计算即可.
【详解】如图所示，以B为坐标原点，直线BC为x轴，过点B且垂直于BC的直线为y轴，
建立平面直角坐标系，则 ， ，
由 ，得 ，
所以 ， ，
所以 ．
10．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）如图，已知 是半径为2，圆心角为 的扇形，点
分别在 上，且 ，点 是圆弧 上的动点（包括端点），则 的最小
值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以 为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，设 ，则 ，
利用平面向量的坐标运算得 ，结合基本不等式即可求得最值.
【详解】如图，以 为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系
则 ，设 ，则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，又 ，则 ，所以 ，当
且仅当 时，等号成立
则 的最大值为 ，所以 的最大值为 ，即 的最小值为 .
故选：A.
