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等差数列 （笔记） 主讲教师：田鹏 授课时间：2025.06.15 粉笔公考·官方微信 1 等差数列（笔记） 【答案汇总】 1-5：BCCBB；6-8：ACC 等差数列 什么是等差数列：任意相邻两项的差值相等 例：1、3、5、7、9…… 公差：d= 第10 项：a10= 第n 项：an= 公式： ①通项公式：an=a1+（n-1）*d ②级差公式：an=am+（n-m）*d 【注意】 1.国考连续多年考查了等差数列（2023 年、2024 年都考查了等差数列），涉 及各个省份的省考，平均下来每年1～2 题，省考是从大题库中抽题，可能你所 在的省份今年抽到了，也可能没抽到，故这个题型的考频没有那么高，但每年可 能会有，学有余力的情况下，建议将这个知识点学会。等差数列是中学的基础， 只要将公式掌握熟练、知道如何考虑基本的解题思维就不难 2.识别：题目一般会直接或间接说明任意相邻两项之间的差值相等，如任意 相邻两项之间的差值均为10 等。 3.如1、3、5、7、9、11、13、15、17、19，是最简单的奇数列，也是等差 数列，公差d 就是任意相邻两项之间的差值、是固定值、公共的差值，如引例， 公差d=2；要求推第10 项，为19，对于这种数量比较少、数值比较小的等差数 列，做题相对比较简单，就算做不出来也能数出来，但若要求第200 项，不可能 直接数，数完考试时间就结束了，对于相对比较大的、无法数的需要知道公式如 何推导，第n 项记作an，第1 项记作a1，第10 项记作a10，这是等差数列的常规 表述，第二项和第一项相差1 个d、第三项和第一项相差2 个d、第四项和第一 2 项相差3 个d，以此类推，差的都是公差d，故只需要在第1 项的基础上将差下 来的公差加上即可，故an=a1+（n-1）*d。 4.公式： （1）通项公式（用得比较多）：an=a1+（n-1）*d。 （2）级差公式（可记可不记，如果基础比较好，多记一点也不会绕，可以 记下来；如果基础相对偏弱，记住通项公式也够，只不过遇到级差公式适用的题， 做起来更快，如果不会，就需要反推通项公式，再做题）：an=am+（n-m）*d。 （3）通项公式是通过第1 项推第n 项，绝大多数题会告知首项是多少，但 有一些题不会告知首项，而是给出中间某一项am，假设a3=5，要求推第n 项，此 时需要用级差公式，也可以先通过a3推出a1，再用通项公式。假设a3=5、d=2， 则a5=a3+（5-3）*d=5+2*2=9。 （4）级差公式考得较少，选择性记忆即可。 【例1】（2024 浙江）有一组算式1+1、2+3、3+5、4+7、1+9、2+11、3+13、 4+15、1+17、2+19、3+21、4+23、1+25、2+27、……和为2021 的是第几个算式？ A.507 B.1010 C.1012 D.1014 【解析】1.单独考查通项公式的题目比较少，近几年只考了这1 道题。本题 要求找数字的规律，“+”前、后的数字都需要找规律，“+”前：1、2、3、4、1、 2、3、4、1、2、3、4……，是1、2、3、4 的周期循环数列；“+”后：1、3、5、 7、9、11……，是公差为2 的等差数列，根据题意列式：1～4 中选一个数+an=2021。 方法一：解方程，套“an=a1+（n-1）*d”，取个范围，n 的结果就出来了， 相对而言比较麻烦，需要考虑最大是多少、最小是多少。 方法二：无论是加号前的周期循环数列还是加号后的等差数列，重点是知道 第几项，前面是1～4 循环，除以4 就知道前面的数是几了，后面的数直接套等 差数列的公式，看哪个选项是2021 即可。选项就是项数，直接代入选项验证， 看哪个是正确答案。1～4 是比较小的数，故比较大的数由an提供，故先不考虑 周期循环，找an接近2021 年。 A 项：n=507，1+（507-1）*2=1000 +，前面只有1～4，加起来绝对不可能到 3 2021，排除。 B 项：n=1010，1+（1010-1）*2=2019，如果是第1010 项，4 个数一循环， 1010/4 余2（联想1008 能被4 整除），余2 相当于是第2 项，第2 项正好为2， 2+2019=2021，满足题意，当选。【选B】 【注意】 1.计算出a1010=2019 时，本身就是等差数列，C 项比B 项多2 项，需要多2 个公差，1 个公差为2，2 个公差为4，2019+4=2023＞2021，D 项的项数更大， 更超过2021，故只能选B 项，余数根本不用算。 2.本题难度不高，实际上就是找数字规律，类似于数字推理，前面是1～4 循环，后面是公差为2 的等差数列，只要知道项数就知道前后两部分的值，选项 是项数，直接代入验证，比解方程要快得多。 3.本题比较麻烦，重点是记住等差数列的通项公式。 等差数列 公式： ③求和公式1：Sn=（首项+末项）/2*项数=（a1+an）/2*n。 考试思维：已知首项和末项，求和 【注意】 1.求和公式1：Sn=（首项+末项）/2*项数=（a1+an）/2*n，如1、2、3、4、5、 6 求和，列式：1+2+3+4+5+6=1+6+2+5+3+4=7+7+7=21，还可以列式：（1+6） /2*6=7*3=21，这样做明显快得多。 2.当题干直接给首项和末项，求整体加和时，就可以用求和公式1。 【例2】（2023 联考）19 个不同的正整数从小到大排序，总和为191，则最 大的数只能取： A.18 B.19 C.20 D.21 【解析】2.本题题干较短，一共19 个不同的正整数从小到大排序，选项就 4 是题目给的最大数，若最大的数是18，连续的19 个数为0～18，最极限状态的 0 不满足正整数的前提，排除A 项。剩余B、C、D 项，均在19 附近，可以先计 算从1 连续加到19 的结果，列式：（1+19）/2*19=10*19=190，要求总和为191， 191 比190 多1，1～19 加和为190，多出来的1 不能给1、不能给2，也不能给 18（均会重复，不符合“不同”的要求），则只能给最大的19+1，前面是1 到18， 是等差数列，最后一个数是20，加在一起正好191，C 项当选。【选C】 【注意】题干很短且是比较新的题，最大的数是19 附近的数，先将1 到19 加起来，看距离191 还差多少，只差1 就分析将1 给谁，只能给最大的数。 【例3】（2020 山东）公司2017 年每个月的销售额都比上个月高x 万元。其 9 月的销售额是1 月的2 倍，11 月的销售额为900 万元。问该公司2017 年全年 的销售额是多少万元？ A.7200 B.7650 C.8100 D.8550 【解析】3.已知每个月都比上一个月高一个具体值、固定值，故为等差数列， x 本质上就是公差d，已知9 月的销售额是1 月的2 倍，根据题意列式：a9=a1+ （9-1）*d=2a1→a1=8d，已知11 月的销售额是900 万，根据题意列式：a11=a1+（11-1） *d=a1+10d=900→8d+10d=900→d=900/18=50=x、a1=8*50=400。要求2017 年全年 的销售额，一年有12 个月，a12=a1+d=900+50，列式：S12=（a1+a12）/2*12=（400+900+50） /2*12=1350*6=8100，对应C 项。【选C】 【注意】 1.数量不是1 分钟做1 题的科目，根据省份的不同，数量考10 题或15 题， 平均下来2 分钟做1 题，因为数量不是一个全对的科目，10 道题只有10 分钟的 时间，大概率只能做4、5 道题，剩下的题再蒙一蒙，还能多对1、2 题，这样整 体准确率在60%左右，数量在考试中能达到60%的正确率就基本上是No.1 了。 2.等比数列考得非常少，目前只考过1～2 次，基本碰不到，有兴趣的同学 可以找公式背一下。 5 3.本题大概用时1 分半，读题20 秒左右，套三次公式就能得出答案。 【例4】（2022 四川）商场6 月6 日开始销售某种电器，从6 月7 日起，每 天这种电器的销量都比前一天多1 台。已知6 月16 日卖了22 台这种电器，问其 6 月共卖了多少台这种电器？ A.555 B.600 C.645 D.690 【解析】4.由题干可知本题考查的是等差数列，且公差d=1，假设商场6 月 6 日卖了10 台电器，从6 月7 日起，每天这种电器的销量都比前一天多1 台， 则6 月7 日卖11 台、6 月8 日卖12 台、6 月9 日卖13 台，以此类推，则6 月6 日可以作为等差数列的首项。若从6 月1 日开始卖，则6 月16 日为a16，但本题 是从6 月6 日开始卖，则6 月16 日应为a11=22，可以直接数手指头，也可以分 析，6 月的1 至5 日什么都没有卖，6 月6 日开始卖，只需要将前面没卖的减去 即可。a11=22、d=1，a11=a1+（11-1）*1→a1=22-10=12。要求6 月一共卖了多少台 基期，6 月一共有30 天，最后1 天是6 月30 日，30-6+1=25 天或者用30 天-没 工作的5 天=25 天，a25=12+（25-1）*1=12+24=36，S25=（12+36）/2*25=24*25=600， 对应B 项。【选B】 【注意】 1.同一月份，n 号开始，m 号结束，总计（m-n+1）天。 2.涉及日期的问题，一定要注意从哪一天开始，若6 月6 日开始，则6 月 16 天不是第16 项，应为第16-6+1=11 项。 3.本题使用了等差数列的通项公式与求和公式，只要等差数列的公式用得好、 小细节注意到位，做起来就会比较好、比较快。 4.时间没有第0 天的表述，从你出生那一天开始就是第1 天，即只要参与进 来就是第1 天。 等差数列 求和公式1：Sn=（首项+末项）/2*项数 6 求和公式2：Sn=平均数（中位数）*项数 ①若等差数列为奇数项，中位数就是最中间的数 ②若等差数列为偶数项，中位数就是最中间两个数的平均数 【注意】等差数列： 1.求和公式1：Sn=（首项+末项）/2*项数。 2.求和公式 2：Sn=平均数（中位数）*项数，近几年最爱考这个公式，因为 比较灵活。 （1）如何理解平均数就是中位数：画图分析，按照一个固定的数值增加或 减少，反映在坐标轴上一定是向上的斜线或向下的斜线，取决于公差是正的还是 负的，平均数一定在直线的最中间，也就是等差数列的中位数。因此，在等差数 列问题中，告诉平均数就相当于告诉中位数，告诉中位数就相当于告诉平均数。 （2）结论： ①若等差数列为奇数项，中位数就是最中间的数。如1、3、5、7、9，共5 项，中位数=最中间的数=5，S5=5*5=25。 ②若等差数列为偶数项，中位数就是最中间两个数的平均数。如1、3、5、 7、9、11，共6 项，中位数=最中间两个数的平均数=（5+7）/2=6，S6=6*6=36。 【例5】（2025 事业单位联考）已知某超市开业后，每天的销售额按固定金 额递增，第7 天与第8 天的销售额之和为1.5 万元，那么该超市开业两周的销售 额合计是（ ）。 A.9 万元 B.10.5 万元 C.12 万元 D.13.5 万元 【解析】5.“每天的销售额按固定金额递增”→每天的销售额是等差数列。 问开业两周的销售额合计，两周是14 天，S14=中位数*14，等差数列为偶数项， 7 中位数就是最中间两个数的平均数，也就是第7 项和第8 项的平均数，“第7 天 与第8 天的销售额之和为1.5 万元”→中位数=1.5/2，则S14=1.5/2*14=10.5， 对应B 项。【选B】 【例6】（2022 联考）某市对下辖9 个文艺表演团体去年新创节目的数量进 行统计分析，发现9 个团体新创节目的数量恰好成等差数列，其中前5 个团体的 新创节目总数是60，前7 个团体的新创节目总数是70。那么这9 个文艺表演团 体去年新创节目的总数是： A.72 B.76 C.78 D.80 【解析】6.等差数列求和公式：Sn=（a1+an）/2*n=中位数*项数，未知数越 少越好算，优先用第二个公式。 方法一：已知“其中前5 个团体的新创节目总数是60，前7 个团体的新创 节目总数是70”，前五项的中位数是第三项，则S5=a3*5=60→a3=60/5=12；前七 项的中位数是第四项，则S7=a4*7=70→a4=70/7=10，故d=a4-a3=10-12=-2。问这9 个文艺表演团体去年新创节目的总数，第一反应会想到“S9=（a1+a9）/2*9”，虽 然a1和a9都可以推出来，但是不够快，这九项的中位数是第五项，a5=10-2=8， 则S9=a5*9=8*9=72，对应A 项。 方法二：问这9 个文艺表演团体去年新创节目的总数，这九项的中位数是第 五项，S9=a5*9，a5（节目数量）一定是整数，则S9一定是9 的倍数，只有A 项符 合。【选A】 【注意】思维点拨：等差数列同时给出总数和项数，往往都要用到中位数（总 数/项数）。 回看【例4】（2022 四川）商场6 月6 日开始销售某种电器，从6 月7 日起， 每天这种电器的销量都比前一天多1 台。已知6 月16 日卖了22 台这种电器，问 其6 月共卖了多少台这种电器？ A.555 B.600 8 C.645 D.690 【解析】4.根据前面的分析可知，6 月总共卖了25 天，S25=中位数*项数=中 位数*25，则S25一定是25 的倍数，只有B 项符合。【选B】 【注意】这25 项的中位数是第13 项，a13可以求出来，已知a11=22、d=1， 则a13=22+1+1=24，故S25=a13*25=24*25=600。 【例7】（2024 山东）若干职员参加某次强国知识竞赛，每人的得分均不相 同且为整数，分数排名相邻的2 人分差均为5 分。已知有3 人成绩低于70 分， 且超过70 分的职员平均分为82 分。问所有职员中竞赛成绩超过70 分的人数占 比在下列哪个范围内？ A.低于50% B.50%～60%之间 C.60%～70%之间 D.高于70% 【解析】7.“分数排名相邻的2 人分差均为5 分”→分数是公差为5 的等差 数列；“已知有3 人成绩低于70 分，且超过70 分的职员平均分为82 分”→出现 平均分，就是中位数，但不是整个数列的中位数，只是超过70 分这一部分的中 位数，先将82 写在中间，左边写一个82+5=87，右边就要写一个82-5=77；左边 再写一个87+5=92，右边就要写一个77-5=72；如果继续写下去，右边就会出现 70 分以下，问题只和人数相关，题干已经说了有3 人成绩低于70 分，所以不用 往下推，此时已知70 分以上的有5 人、70 分以下的有3 人，则成绩超过70 分 的人数占比=5/（5+3）=5/8=62.5%，在C 项范围内。【选C】 【注意】考试思维：等差数列出现平均数（中位数），往往都是奇数项，几 9 乎不考偶数项。如果本题有偶数项，82 就是最中间两个数的平均数，并不在原 数列中，设最中间两个数分别为x、x+5，则（x+x+5）/2=82→2x+5=164→2x=159 →x=159/2，x 是小数，不满足“每人的得分均不相同且为整数”，说明这种情况 不成立。 【例8】（2024 国考）甲乙两条生产线同一天开始生产某种产品，甲每天比 前一天多生产m 件，乙每天比前一天少生产2m 件，第5 天两条生产线的当日产 量相同，且前5 天乙的累计产量是甲的2 倍。问第一天乙的产量是甲的多少倍？ A.6 B.7 C.4 D.5 【解析】8.“甲每天比前一天多生产m 件，乙每天比前一天少生产2m 件” →甲每天的产量是一个递增的等差数列，乙每天的产量是一个递减的等差数列。 “前5 天乙的累计产量是甲的2 倍”→存在明显的等量关系，S 乙5 天=2*S 甲5 天，没 有具体数值，未知数很多，不太好做，正经套公式会非常浪费时间。考虑Sn=n* 中位数，S 乙5 天=5*乙的中位数、S 甲5 天=5*甲的中位数，则5*乙的中位数=2*5*甲 的中位数→乙的中位数=2*甲的中位数，即项数相同，总和之间有2 倍关系，中 位数之间也有2 倍关系，前五项的中位数就是第三项。“第5 天两条生产线的当 日产量相同”→设第5 天两条生产线的当日产量均为x 件，倒着往回推，甲正着 推是“+m”，倒着推就是“-m”，则第四天、第三天、第二天、第一天的产量分别 为x-m、x-2m、x-3m、x-4m，乙正着推是“-2m”，倒着推就是“+2m”，则第四天、 第三天、第二天、第一天的产量分别为x+2m、x+4m、x+6m、x+8m，根据“乙的 中位数=2*甲的中位数”列式：x+4m=2*（x-2m）→x+4m=2x-4m→x=8m。问第一天 乙的产量是甲的多少倍，甲第1 天的产量为x-4m=8m-4m=4m，乙第1 天的产量为 x+8m=8m+8m=16m，所求=16m/4m=4 倍，对应C 项。【选C】 10 【注意】思维点拨：两个等差数列项数相同，总和的倍数关系即为中位数的 倍数关系。 【注意】等差数列： 1.题型特征： （1）直观：出现“等差数列”。 （2）隐晦：每天/月/层……都……高/低。 （3）特殊：连续的自然数/门牌号/名次等连续的数字。 2.解题方法：套公式计算。 （1）通项公式：an=a1+（n-1）*d。 （2）级差公式：an=am+（n-m）*d。 （3）求和公式：Sn=（a1+an）/2*n=中位数（平均数）*项数。 3.课后有任何问题都可以去小红书私信老师（@粉笔田鹏）。 11 遇见不一样的自己 Be your better self
