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第八章直线和圆、圆 锥曲线
§8.2 两条直线的位置关系
【考情分析·探规律】
考点 考情分析（2021-2024） 命题趋势
能根据斜率判定两条直线
2024·北京、2024·天津 平行或垂直；能用解方程组的
两条直线的位 2023·北京、2023·天津 方法求两条直线的交点坐标；
置关系 2023·全国新Ⅱ卷、2023·全国乙卷、 掌握平面上两点间的距离公
2023·新课标Ⅰ卷、2022·全国乙卷
式、点到直线的距离公式，会
求两条平行直线间的距离。
【知识梳理】
1.两条直线的位置关系
直线l ：y＝k x＋b ，l ：y＝k x＋b ，l ：A x＋B y＋C ＝0，l ：A x＋B y＋C ＝0(其中l
1 1 1 2 2 2 3 1 1 1 4 2 2 2 1
与l 是同一直线，l 与l 是同一直线，l 的法向量v ＝(A ，B )，l 的法向量v ＝(A ，
3 2 4 3 1 1 1 4 2 2
B )的位置关系如下表：
2
位置关系 法向量满足的条件 l ，l 满足的条件 l ，l 满足的条件
1 2 3 4
A B － A B ＝ 0 且 A C －
1 2 2 1 1 2
平行 v ∥v k ＝ k 且 b ≠ b
1 2 1 2 1 2
A C ≠ 0
2 1
垂直 v ⊥v k · k ＝－ 1 A A ＋ B B ＝ 0
1 2 1 2 1 2 1 2
相交 v 与v 不共线 k ≠ k A B － A B ≠ 0
1 2 1 2 1 2 2 1
2.直线的交点与方程组解的关系
(1)两直线的交点
点P的坐标既满足直线l 的方程A x＋B y＋C ＝0，也满足直线l 的方程A x＋B y＋C
1 1 1 1 2 2 2 2
＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标.
(2)两直线的位置关系与方程组解的关系
方程组的解 一组 无数组 无解
直线l 与l 的公共点的个数 一个 无数个 零个
1 2
直线l 与l 的位置关系 相交 重合 平行
1 2
3.距离公式
(1)两点间的距离公式平面上任意两点P (x ，y )，P (x ，y )间的距离公式为|P P |＝.
1 1 1 2 2 2 1 2
特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离公式
平面上任意一点P (x ，y )到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
0 0 0
(3)两条平行线间的距离公式
一般地，两条平行直线l ：Ax＋By＋C ＝0，l ：Ax＋By＋C ＝0(C ≠C )间的距离d＝.
1 1 2 2 1 2
4.对称问题
(1)点P(x ，y )关于点A(a，b)的对称点为P′ (2 a － x ， 2 b － y ).
0 0 0 0
(2)设点P(x ，y )关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，
0 0
则有可求出x′，y′.
【名师点拨】
1.五种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y).
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y).
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x).
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y).
(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y).
2.应用点到直线的距离公式与两平行直线间的距离公式中的直线的方程必须是一般式.
特别地，在两平行线的距离公式中，两直线方程的一般式中x，y的系数必须对应相等.
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)当直线l 和l 的斜率都存在时，一定有k ＝k l ∥l .( )
1 2 1 2 1 2
(2)如果两条直线l 与l 垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( )
1 2 ⇒
(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.( )
(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( )
2.若直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，则m等于( )
A.4 B.－4
C.1 D.－1
3.两平行直线l ：x－2y－❑√10＝0，l ：4y－2x－3❑√10＝0之间的距离为( )
1 25❑√2
A. B.3
2
C.❑√5 D.2❑√2
4.已知直线 2x＋3y＋1＝0 和 x－3y＋4＝0 相交，则这两条直线的交点坐标为
，过交点并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为 .
【名师点拨】
1.三种常见的直线系
(1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C ＝0(C≠C )；
1 1
(2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C ＝0；
1
(3)过直线A x＋B y＋C ＝0与直线A x＋B y＋C ＝0交点的直线系方程为A x＋B y＋C
1 1 1 2 2 2 1 1 1
＋λ(A x＋B y＋C )＝0(不包括直线A x＋B y＋C ＝0).
2 2 2 2 2 2
2.谨防四个易误点
(1)两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况.
(2)两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况.
(3)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.
(4)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.
【必练核心题型】
题型一 两条直线的平行与垂直
【典例】1.(多选)已知直线l ：A x＋B y＋C ＝0和直线l ：A x＋B y＋C ＝0，则下列
1 1 1 1 2 2 2 2
说法正确的是( )
A.若A ＝0，则l 表示与x轴平行或重合的直线
2 2
B.直线l 可以表示任意一条直线
1
C.若A B －A B ＝0，则l ∥l
1 2 2 1 1 2
D.若A A ＋B B ＝0，则l ⊥l
1 2 1 2 1 2
【典例】2.数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：
三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.
已知△ABC的顶点分别为A(0，2)，B(－1，0)，C(4，0)，则△ABC的欧拉线方程为
( )
A.4x－3y－6＝0 B.3x＋4y＋3＝0C.4x＋3y－6＝0 D.3x＋4y－3＝0
【变式训练】
变式1.(多选)△ABC的三个顶点坐标为A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列说法中正
确的是( )
A.边BC与直线3x－2y＋1＝0平行
B.边BC上的高所在的直线方程为3x＋2y－12＝0
C.过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为x＋y－13＝0
D.过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D(3，5)
变式 2.已知直线 l ：ax－y－1＝0，l ：ax－(a－2)y－1＝0，若 l ∥l ，则 a＝
1 2 1 2
.
题型二 两直线的交点与距离问题
【典例】1.过两条直线l ：x＋2y－4＝0，l ：2x－y－3＝0的交点，且与直线x＋3y
1 2
＋1＝0垂直的直线的方程为( )
A.3x－y－5＝0 B.6x－2y－3＝0
C.x－3y＋3＝0 D.3x＋y－7＝0
【典例】2.当点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ∈R)的距离最
大时，其最大值以及此时的直线方程分别为( )
A.❑√13；3x＋2y－5＝0
B.❑√11；3x＋2y－5＝0
C.❑√13；2x－3y＋1＝0
D.❑√11；2x－3y＋1＝0
【变式训练】已知两条平行直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，并且各自绕点
A，B旋转，两平行线之间的距离的最大值为 ，此时两平行直线方程分别为
.
题型三 对称问题
【典例】1.已知直线l：x＋2y－2＝0，试求：(1)点P(－2，－1)关于直线l的对称点坐标；
(2)直线l ：y＝x－2关于直线l对称的直线l 的方程；
1 2
(3)直线l关于点M(1，1)对称的直线l'的方程.
【变式训练】已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求：
(1)点A关于直线l的对称点A'的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l对称的直线m'的方程；
(3)直线l关于点A的对称直线l'的方程.
【限时训练】 （限时：60分钟）
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.已知直线l ：x＋(a－1)y－3＝0与直线l ：x＋2y＋3＝0相互垂直，则a的值为( )
1 2
1
A. B.1
2
1
C.3 D.－
22.“m＝－3”是“直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.与直线2x＋3y＋1＝0平行且过点(0，1)的直线方程是( )
A.2x＋3y－3＝0 B.3x＋2y－2＝0
C.2x－3y＋3＝0 D.3x－2y＋2＝0
4.已知从点(5，2)发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好过点(1，2)，则入射
光线所在的直线方程为( )
A.x－y－3＝0 B.x＋y－7＝0
C.x－y＋3＝0 D.x＋y－3＝0
(π (π))
5.若曲线y＝f(x)＝2sin x＋2 025在点 ，f 处的切线与直线y＝ax＋2 025垂直，
3 3
则实数a等于( )
A.1 B.－1
C.2 D.－2
6.已知直线l：x＋my－2m－1＝0，则点P(2，－1)到直线l距离的最大值为( )
A.❑√5 B.❑√10
C.5 D.10
7.(2025·大同模拟)已知实数a，b，c，d满足3a－4b＋3＝0，3c－4d－7＝0，则(a－c)2
＋(b－d)2的最小值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
8.过定点A的动直线x＋ky＝0和过定点B的动直线kx－y－2k＋1＝0交于点M，则|MA|
＋|MB|的最大值是( )
A.2❑√2 B.3C.❑√10 D.❑√15
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.已知直线l：❑√3x－y＋1＝0，则下列结论正确的是( )
A.直线l过第一、三、四象限
B.过点(❑√3，1)与直线l平行的直线的方程是❑√3x－y－2＝0
1
C.直线❑√3x－y＋2＝0到直线l的距离为
2
D.若直线m：x－❑√3y＋1＝0，则l⊥m
10.对于直线l ：ax＋2y＋3a＝0，l ：3x＋(a－1)y＋3－a＝0，则( )
1 2
A.l ∥l 的充要条件是a＝3或a＝－2
1 2
2
B.当a＝ 时，l ⊥l
5 1 2
C.直线l 经过第二象限内的某定点
2
D.点P(1，3)到直线l 的距离的最大值为3❑√2
1
11.(2025·眉山模拟)已知直线l：2x－y＋3＝0，点R(0，2)，P(1，1)，Q(1－m，m)，
m∈R，下列说法正确的是( )
4❑√5
A.点P到直线l的距离为
5
5
B.若点P与点Q位于直线l的两侧，则m>
3
C.点P与点Q之间距离的最小值为❑√2
D.|QR|＋|QP|的最小值为2
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.经过点P(1，0)和两直线l ：x＋2y－2＝0，l ：3x－2y＋2＝0交点的直线方程为
1 2
.
13.若l ：2x＋ay－2＝0与l ：x－y＋a＝0平行，则两直线之间的距离为 .
1 2
14.请运用数形结合的思想，得出函数y＝❑√x2−4x＋53－❑√x2−8x＋25的最大值为
.【尖子拔高训练】每小题6分，共12分
15.(多选)若直线m被两平行直线l ：x－❑√3y＋❑√3＝0与l ：x－❑√3y＋3❑√3＝0所截得的
1 2
线段长为❑√6，则直线m的倾斜角可以是( )
A.30° B.75°
C.135° D.165°
16.(多选)(2025·广东九师联盟模拟)在平面直角坐标系Oxy中，点M(x ，y )，N(x ，y )
1 1 2 2
间的折线距离d(M，N)＝|x －x |＋|y －y |，已知A(a，b)，B(1，1)，记s＝a2＋b2＋2a＋
1 2 1 2
4b，则( )
A.若d(A，B)＝1，则s有最小值8
B.若d(A，B)＝1，则点A的轨迹是一个正方形
C.若d(A，B)≤1，则s有最大值15
D.若d(A，B)≤1，则点A的轨迹所构成区域的面积为π
