文档文本内容
几何与行程的爱恨情仇
（笔记）
主讲教师：杨亚辉
授课时间：2025.08.03
粉笔公考·官方微信
1
几何与行程的爱恨情仇（笔记）
【答案汇总】
1-5：DBDBC；6-8：CAB
【注意】说在课前：
1.几何与行程的爱恨情仇：几何问题与行程问题相关。
2.老师小红书/新浪微博：粉笔杨亚辉-叨叨羊。
行程问题
1.普通行程（基本公式、匀变速运动、火车过桥、等距离平均速度）
2.进阶行程（直线相遇追及、环形相遇追及、流水行船、比例思维）
3.特殊行程（结合几何基本公式、结合几何三角形结论、最短路径）
【注意】行程问题：
1.第一节课：普通行程（基本公式、匀变速运动、火车过桥、等距离平均速
度）。
2.第二节课：进阶行程（直线相遇追及、环形相遇追及、流水行船、比例思
维）。
3.第三节课：特殊行程（结合几何基本公式、结合几何三角形结论、最短路
径）。
特殊行程
1.结合几何公式
2.结合几何结论
3.最短路径问题
2
【注意】周长相关公式：特别简单的公式一带而过，重点讲解比较麻烦、用
得比较少、比较重要的公式。
1.正方形周长：C 正方形=4a。
2.长方形周长：C 长方形=2*（a+b）。
3.圆形周长：C 圆=2πr，其中“r”为圆的半径。
4.弧长（需要记忆、考过，且相对没有那么熟悉）：C 弧=n°/360°*2πr，
即“C 圆*比例”。如图所示，求弧长AB；假设对应的圆心角为n°、整个圆心角
为360°，则“n°/360°”为弧长在圆周长中所占的比例。
3
【注意】面积相关公式：
1.S 正方形=a²=边长²。
2.S 长方形=ab=长*宽。
3.S 平行四边形=ah=底*高。
4.S 圆=πr²。
5.S 三角形=1/2*ah=1/2*底*高。
6.S 梯形=1/2*（a+b）*h。
7.S 菱形=对角线乘积/2，需要记忆、考查较少。
8.S 扇=n°/360°*πr²，需要记忆，逻辑关系与弧长一模一样。如图所示，
求S 扇形OAB；扇形OAB 在整个圆中占一定的比例，通过圆心角计算比例→扇形在圆
中所占的比例为n°/360°、整个圆的面积为πr²。
4
【注意】表面积相关公式：
1.S 正方体=6a²，这6 个面一模一样（都是正方形）。
2.S 长方体=2ab+2bc+2ac，这6 个面可以分成3 组（前后一组、上下一组、左
右一组）。
3.S 球=4πr²，重点，相对而言比较冷门、考查不多，能记则记；结合“S 圆
=πr²”，则球体相当于将4 个圆围起来。
4.S 圆柱=2πr²+2πrh，重点，课后建议记忆一下，以往的真题中考查较多（原
因：没有那么简单，比较受出题人的青睐）。如图所示，圆柱体可以分成两个大
部分；第一部分为上下2 个一模一样的圆，结合“S 圆=πr²”，则2 个圆的面积
为2πr²；另外一个部分是侧面积，展开之后是矩形，其中一条边为整个圆柱体
的高（h）、另外一条边为圆的周长（2πr），则侧面积为2πrh。
5
【注意】体积相关公式：
1.V 正方体=a³=边长³（或棱长³）。
2.V 长方体=abc=长*宽*高。
3.V 柱=Sh，重点，适用于圆柱、棱柱。
4.V 球=4/3*πr³，重点、比较冷门，建议记住，可以结合“S 球=4πr²”记忆。
5.V 锥=1/3*Sh，重点，适用于圆锥、棱锥。
（1）思考：V 柱与V 锥之间存在“1/3”的关系。
（2）假设圆柱与圆锥底面圆的半径一样、高度一样，则体积为3 倍关系。
6
1.（2023 山东）一辆车从甲地行驶到乙地共20 千米，用时20 分钟，已知
该车在匀加速到最大速度后开始匀减速，到乙地时速度恰好为0，问该车行驶的
最大速度是多少千米/小时？
A.100
B.108
C.116
D.120
【解析】1.结合第一节课，涉及匀加速、匀减速，属于匀变速运动，公式→
平均速度=（V 初+V 末）/2。本题也可以画“V-t”图，在本节课中进行讲解；V 代
表速度（纵轴）、t 代表时间（横轴），S=V*t→三角形的面积代表“S”。解释：
一开始V 和t 都在0（圆点）的位置，匀加速到最大速度（设为V）、匀减速到乙
地时速度恰好为0，故画出的图像为三角形、其面积对应“S”。本题属于行程问
题结合“S 三角形”进行考查，其中S 三角形=1/2*ah；统一单位→20 分钟=1/3 小时，
则20=1/2*（1/3）*V→1/6*V=20，解得V=120 千米/小时，对应D 项。【选D】
2.（2024 联考）某地人工湖景区开辟了沿湖福道和环湖乐道两条圆形观景
道供市民休闲健身（如下图所示）。小李和他的妈妈分别沿乐道和福道从A、B
两地同时同向而行（A、B 两点间距离为50 米），小李骑自行车的速度是妈妈步
行速度的6 倍，已知妈妈步行速度为每小时5 千米，妈妈沿福道步行一周的时间
是小李骑行乐道时间的4 倍，那么这个湖面的面积约多少万平方米？（圆周率取
3）
7
A.2
B.3
C.4
D.6
【解析】2.本题比较复杂（考场上没时间做这类题），且题目比较新（2024
联考）。某地人工湖景区开辟了沿湖福道和环湖乐道两条圆形观景道供市民休闲
健身，即大小2 个圆；已知“小李和他的妈妈分别沿乐道和福道从A、B 两地同
时同向而行（A、B 两点间距离为50 米）”，假设二人都顺时针走，AB=50 米；已
知“小李骑自行车的速度是妈妈步行速度的6 倍，已知妈妈步行速度为每小时5
千米”，V 妈妈=5 千米/小时、V 小李=30 千米/小时。问“这个湖面的面积”，湖面就
是一个小圆；S 圆=πr²，已知“圆周率（π）取3”，则求出小圆的半径即可。
假设湖面的圆心为O 点、OB=r，行程问题与几何公式相结合；“妈妈沿福道
步行一周的时间是小李骑行乐道时间的4 倍”→等量关系，t=S/V；对于“S”，
一个人（妈妈）走小圆的周长、另外一个人（小李）走大圆的周长，结合“C 圆
=2πr”，则周长与各自的半径有联系；如图所示，OA=OB+AB=r+50，根据题意列
式：2πr/5=2π*（r+50）/30*4，能约分的先约分→r/5=（r+50）/30*4，两边
同时乘以30→6*r=4*（r+50）→6*r=4*r+200→2*r=200，解得r=100。综上，所
求=3*100²=3*10000=30000=3 万平方米，对应B 项。【选B】
8
【注意】考场思维——“几何如图”：题干给出“如下图所示”，一般给出标
准图（除非说明是示意图），说明可以看图（你的眼睛就是尺）；问“湖面的面积”，
即求小圆的面积；S 圆=πr²，已知“圆周率（π）取3”，则求出小圆的半径即可；
假设湖面的圆心为O 点、OB=r，已知“A、B 两点间距离为50 米”，肉眼观察，
OB 大概为AB 的2 倍→AB=100 米，即r=100 米；所求=3*100²=3*10000=30000=3
万平方米，对应B 项。
【拓展1】（2023 四川）边长为10 厘米的正方形ABCD 如下图所示，E 为正
方形中的某一点，已知AE 长8 厘米，BE 长6 厘米，问三角形ADE 的面积为多少
平方厘米？
A.24
B.32
C.44
D.48
【解析】拓展1.问三角形ADE 的面积，S△=1/2*底*高；假设以AD 为底、这
是正方形的边长（10 厘米），但没有高；过E 点、作AD 的垂线、交点为F 点，
但EF 未知。
9
换个思路，几何问题+如图所示，充分结合选项和图，连接正方形的对角线
→整个正方形被分成一模一样的4 个小三角形；假设两条对角线的交点为O 点，
则S△AOD=1/4*10*10=25 平方厘米。如图所示，S△ADE比S△AOD略大一些，所求＞25
平方厘米，排除A 项；C、D 项接近正方形面积的一半（50 平方厘米），但所求比
25 平方厘米多一点点，对应B 项。【选B】
【拓展2】（2024 江苏）如图所示，ABCDEF 是一个边长为2 的正六边形，圆
O 是△ACE 内切圆，则圆O 的面积是（
）。
A.π
B.2π
C.5π/4
D.3π/2
【解析】拓展2.已知“ABCDEF 是一个边长为2 的正六边形”，正六边形的每
条边都相等→每条边均为2。问圆O 的面积，S 圆=πr²，四个选项都有“π”，则
不用管“π”，求出半径（r）即可。考虑找r 与正六边形边长的关系，已知圆O
10
是△ACE 内切圆，连接BDF→圆O 是△BDF 内切圆；要想求半径（r），可以先求
直径（d），二者存在2 倍关系；如图所示，直径（d）=AF=CD，斜着看→直径（d）
=AB=DE=EF=BC，说明直径（d）=2→r=1。综上，S 圆=π*1²=π，对应A 项。【选A】
【注意】很多几何问题，若按部就班做则比较慢；题干给出“如图所示”，
可以通过看图确定答案。
特殊行程
1.结合几何公式
2.结合几何结论
3.最短路径问题
【注意】特殊行程：
1.结合几何公式。
2.结合几何结论：主要集中在三角形。
3.最短路径问题。
三角形相关
（1）基础知识：三角形中，任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三
边
（2）直角三角形涉及勾股定理：a²+b²=c²
常见勾股数：3、4、5 及其变形，5、12、13，7、24、25，8、15、17
（3）特殊三角形三边关系：
11
【注意】三角形相关：
1.基础知识：三角形中，任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边。
2.直角三角形涉及勾股定理：a²+b²=c²，即两条直角边的平方和等于斜边的
平方。记忆常见勾股数：勾三股四弦五→（3、4、5）及其变形，比如（3、4、5）
*2→（6、8、10）、（3、4、5）*3→（9、12、15），这一组是最基本的；（5、12、
13），数字不是很大，且与（3、4、5）无关、不是特别简单，已经考了至少有
10 年、很多出题人都喜欢考这一组；近两年开始考（7、24、25）、（8、15、17）。
3.公考中考查的特殊三角形三边关系：
（1）45°的等腰直角三角形，三边之比为1：1：2。
（2）30°、60°、90°的直角三角形，三边之比为1：3：2。
（3）顶角为120°的等腰三角形，三角形的内角和为180°，则另外两个角
均为30°，三边之比为1：1：3。
3.（2022 北京）一个圆形水库的半径为1 千米。一艘船从水库边的A 点出
发，直线行驶1 千米后到达水库边的B 点，又从B 点出发直线行驶2 千米后到达
水库边的C 点。则C 点与A 点的直线距离最短可能为多少千米？
A.不到1 千米
B.1～1.3 千米之间
C.1.3～1.6 千米之间
D.超过1.6 千米
【解析】3.根据题意画图分析，已知“一艘船从水库边的A 点出发，直线行
驶1 千米后到达水库边的B 点”，从A 到B 可以随便画；已知“一个圆形水库的
半径为1 千米”、“又从B 点出发直线行驶2 千米后到达水库边的C 点”，说明圆
的直径为2 千米，直径需要经过圆心。问“C 点与A 点的直线距离最短可能为多
12
少千米”，求AC 的距离。直径所对的圆周角是直角，BC 为直径，说明∠BAC 为
直角、△BAC 为直角三角形；已知AB=1 千米、BC=2 千米，直角边与斜边为1：2
的关系，说明△BAC 为30°、60°、90°的直角三角形，三边之比为1：3：2，
故AC= 3千米≈1.732 千米，对应D 项。【选D】
【注意】
1.直径所对的圆周角是直角。
2.30°、60°、90°直角三角形边长之比：1：3：2。
3.积累：2≈1.414、3≈1.732。
4.本题的背景为行程问题，本质为几何问题。
5.本题没有给出图，若严格按照标准作图，可以用尺子量，但没必要。
4.（2022 联考）兔子和乌龟举行一场跑步比赛，终点位于起点正北方500
米处。兔子和乌龟同时出发，均保持匀速奔跑，且兔子的速度是乌龟的5 倍。兔
子先向正东方跑了一会后发现自己跑错了方向，马上直奔终点，速度不变，结果
兔子和乌龟同时到达终点。那么兔子发现跑错方向时已经跑了多少米？
A.600
B.1200
C.2400
D.3000
【解析】4.方位是上北下南、左西右东，根据题意画图分析，终点位于起点
13
正北方（向上看）500 米处，乌龟从起点竖直跑向终点即可；兔子先向正东方（往
右）跑了一会后发现自己跑错了方向，马上直奔终点（斜向上往终点跑）；如图
所示，假设A 点为起点、B 点为终点，乌龟是从A→B、兔子是从A→C→B；问“兔
子发现跑错方向时已经跑了多少米”，所求=AC。行程问题结合几何问题，乌龟和
兔子同时出发、同时达到，说明时间（T）一定，则路程（S）与速度（V）成正
比；已知“兔子的速度是乌龟的5 倍”，V 兔子/V 乌龟=S 兔子/S 乌龟=5/1；已知S 乌龟=AB=500
米，1 份对应500 米→5 份对应2500 米，则S 兔子=2500 米=AC+BC；假设AC 为x，
则BC 为（2500-x）；结合“正北”、“正东”，则∠A=90°、△ABC 为直角三角形；
利用勾股定理“a²+b²=c²”可以求AC，但没必要。已知AB=500 米、AC+BC=2500
米，结合勾股数（5、12、13），则AC=1200 米、BC=1300 米，且1200+1300=2500
米。综上，对应B 项。【选B】
【注意】
1.行程中的比例思维：时间（T）一定时，路程（S）与速度（V）成正比。
2.常考勾股数：5、12、13。
5.（2021 浙江）小王开车以80 千米/小时的速度向北行驶，发现一辆在直
线轨道上匀速行驶的火车车头始终位于自己的正西方，且逐渐变远。已知该火车
的速度为160 千米/小时，问小王行驶1 分钟后，火车车头与自己的距离将增加
多少千米？
A. 2
B. 3
14
C.
4
3
3
D.2（3-1）
【解析】5.已知“车头始终位于自己的正西方”，“向北行驶”→向正上方行
驶；假设小车和火车在同一起点，火车不能直接往左走，若小车往正北走、火车
往正西走，此时不满足“车头始终位于自己的正西方”，故火车应该往斜向上的
方向走（如图所示），且车头与小车的距离逐渐变远。
问“火车车头与自己的距离将增加多少千米”，假设一开始小车和火车在同
一起点，则一开始的距离为0；连接车头与小车，红色虚线（BC）即为增加的距
离。结合“正北”、“正西”，则∠ABC 为直角、△ABC 为直角三角形。同时出发、
1 分钟后……，时间（T）一定，路程（S）与速度（V）成正比；V 火车/V 小车=S 火车
/S 小车=160/80=2/1=SAC/SAB，说明AB 对应1 份、AC 对应2 份；在直角三角形中，
斜边和直角边是2/1 的关系，说明△ABC 为30°、60°、90°的直角三角形，三
边之比为1：3：2，故BC 对应3份；先算1 份，统一单位→1 分钟=1/60 小时，
则SAB=80*（1/60）=4/3 千米。所求对应3份→所求=
4
3
3，对应C 项。【选C】
15
【注意】
1.行程中的比例思维：时间（T）一定时，路程（S）与速度（V）成正比。
2.30°、60°、90°直角三角形边长之比：1：3：2。
3.若不在同一起点，也是利用该方法。如图所示，火车和小车不在同一起点、
小车往正北走、火车往斜向上的方向走；一开始火车在小车的正西方向，1 分钟
后火车也在小车的正西方向。问“火车车头与自己的距离将增加多少千米”，原
本两个起点的距离=蓝色虚线、两个终点的距离=红色虚线+蓝色虚线，蓝色虚线
抵消，所求=红色虚线，与解析的道理一样。
6.（2020 国考）部队前哨站的雷达监测范围为100 千米。某日前哨站侦测
到正东偏北30°100 千米处，一架可疑无人机正匀速向正西方向飞行。前哨站通
知正南方向150 千米处的部队立即向正北方向发射无人机拦截，匀速飞行一段时
间后，正好在某点与可疑无人机相遇。则我方无人机速度是可疑无人机的多少
倍？
A. 3+1
B.3（3-1）
C.
4
3
3
D.
2
3
5
【解析】6.问“我方无人机速度是可疑无人机的多少倍”，求速度之比，结
合“V=S/t”，但本题没有“t”。根据题意画图分析，已知“部队前哨站的雷达监
测范围为100 千米”，雷达监测范围是圆，则圆的半径为100 千米；方位→上北
下南、左西右东，“某日前哨站侦测到正东偏北30°100 千米处”→可疑无人机
在圆上的一点（A 点），“一架可疑无人机正匀速向正西方向飞行”→往左飞行，
“前哨站通知正南方向150 千米处的部队立即向正北方向发射无人机拦截”→
16
OB=150 千米，“正好在某点与可疑无人机相遇”→在交点C 点相遇。利用行程中
的比例思维：可疑无人机与我方无人机同时开始、同时达到，时间（T）一定时，
路程（S）与速度（V）成正比，则V 我方/V 敌方=S 我方/S 敌方=（BO+OC）/AC=（150+OC）
/AC；结合“正北”、“正西”，则∠ACO=90°、∠AOC=60°、∠CAO=30°；30°、
60°、90°直角三角形边长之比为1：3：2，则OC 对应1 份、AC 对应3份、
OA 对应2 份；已知OA=100 千米、对应2 份，则1 份对应50 千米、3份对应50 3
千米。综上，所求=200/50 3=4/ 3=
4
3
3，对应C 项。【选C】
【注意】
1.行程中的比例思维：时间（T）一定时，路程（S）与速度（V）成正比。
2.30°、60°、90°直角三角形边长之比：1：3：2。
特殊行程
1.结合几何公式
2.结合几何结论
3.最短路径问题
【注意】特殊行程：
17
1.结合几何公式。
2.结合几何结论。
3.最短路径问题：路程最短。
平面最短路径：找对称，再连线
如图，打算公路（直线）边修一个公交站，使其到A、B 村的距离之和最短，
请问修在哪里？
【注意】平面最短路径（将军饮马问题）：
1.方法：找对称，再连线。
2.引例：如图，打算公路（直线）边修一个公交站，使其到A、B 村的距离
之和最短，请问修在哪里？
答：假设公交站为C 点，要求“AC+BC”最短，问C 点修在哪里。
若A 村在另外一侧，两点之间线段最短，连接AB，最短距离=AB。
18
就本题而言，A、B 村在同一侧，方法→找对称、再连线；找A 村（或B 村）
的对称点A’村，连接A’B；发现AO=A’O、CO 是公共边、各自两条边的夹角均
为直角，结合“边角边”，则△AOC≌△A’OC，故AC=A’C→AC+CB=A’C+CB=A’B，
所求=A’B；两点之间线段最短，则A’B 一定是最短路径。如何求A’B：考虑
构建直角三角形，A’B 比较长，将其当成直角三角形的斜边，通过勾股定理、
常见的勾股数求解；延长A’A、过B 点作A’A 延长线的垂线、交点为D 点，则
△A’DB 为直角三角形。
7.（2019 浙江）A、B 点和墙的位置如下图所示。现从A 点出发以5 米/秒的
速度跑向墙，接触到墙后再跑到B 点。则最少要多少秒到达B 点？
19
A.30
B.34
C.38
D.42
【解析】7.最短路径问题，相当于和上述的引例一样；问“最少要多少秒到
达B 点”，行程问题，t=S/V，要想t 最少，由于V 恒定，则S 最短；方法：找对
称，再连线。如图所示，找A 点相对于墙的对称点A’点，连接A’B，即为最短
路径。考虑构建直角三角形，延长A’A、过B 点作A’A 延长线的垂线、交点为
C 点，发现△A’CD 为直角三角形；本题没必要利用勾股定理，直接用勾股数即
可；已知BC=90 米、A’C=45+45+30=120 米，结合勾股数（3、4、5）的变形（9、
12、15），则斜边A’B=150 米。所求=150/5=30 秒，对应A 项。【选A】
【注意】
1.常见勾股数：（9、12、15）是（3、4、5）的变形。
2.公考中，一般考查最基础的将军饮马问题。
20
8.（2023 联考）A、B 两村在一条笔直公路的同侧，到公路的垂直距离分别
是3 公里和7 公里，两村相距8.5 公里，现需在公路边建一个物资集散中心，为
节约物资配送成本，集散中心到两个村的直线路程之和应尽可能小，若货车的速
度约为60 公里/小时，那么货车从集散中心出发，到两村送货后返回中心，路途
所花费的最少时间为：
A.18 分钟
B.21 分钟
C.24 分钟
D.27 分钟
【解析】8.已知“两村相距8.5 公里”，AB=8.5 公里；现需在公路边建一个
物资集散中心，设为C 点；要求“集散中心到两个村的直线路程之和应尽可能小”，
即“AC+BC”尽可能小，最短路径问题。问“路途所花费的最少时间”，t 要最少、
V 恒定，t=S/V，则S 要最少；要想S 最少，已知“货车从集散中心出发，到两
村送货后返回中心”，不要走回头路，即C→B→A→C；AB 是固定的，“AC+BC”距
离之和最短即可，属于最短路径问题，方法→找对称、再连线。
21
如图所示，找A 的对称点A’，连接A’B（最短路径）；延长A’A、过B 点
作垂线，构建直角三角形，通过勾股定理或勾股数求A’B，发现AC+BC=A’B。
在Rt△AEB 中，AE=7-3=4 公里、AB=8.5 公里，不需要利用勾股定理求BE，结合
勾股数（8、15、17）的变形，发现4*2=8、8.5*2=17，则BE=15/2=7.5 公里；
在Rt△A’EB 中，A’E=7+3=10 公里、BE=7.5 公里，结合7.5/10=3/4（最简整
数比），可以想到勾股数（3、4、5）的变形，则A’B=5*2.5=12.5 公里。综上，
S=12.5+8.5=21 公里，60 公里/小时→1 公里/分钟，所求=21/1=21 分钟，对应B
项。【选B】
【注意】
1.常见勾股数：8、15、17。
2.三角形中，任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边。
3.考场思维（观察选项和图）：转化速度，60 公里/小时→1 公里/分钟；不
要走回头路，整个路程即C→B→A→C，则S=AB+A’C+CB。结合选项计算范围，
已知AB=8.5 公里，这是固定值；计算下限，斜边＞直角边→A’C＞A’D=3 公里，
△CFB 是直角三角形，斜边＞直角边→CB＞BF=7 公里，下限=8.5+3
++7
+=18.5
+公
里→所求=18.5
+/1=18.5
+分钟，排除A 项；计算上限，A’C+CB=A’B，在△A’AB
中，已知A’A=3+3=6 公里、A’B=8.5 公里，根据结论“三角形中，任意两边之
和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，则A’B＜6+8.5=14.5 公里，上限
=8.5+14.5
-=23
-公里→所求=23
-/1=23
-分钟，排除C、D 项，选择B 项。
22
【拓展1】（2020 上海）如图，圆锥高6 3厘米，底面半径为6 厘米，一只
蚂蚁从A 点沿圆锥侧面爬行到B 点，则最短的距离为（
）厘米。
A.12
B.12 2
C.6π
D.24
【解析】拓展1.讲解考场思维，问最短的距离。要求“一只蚂蚁从A 点沿
圆锥侧面爬行到B 点”，若没有说明，两点之间线段最短，则从底面爬→最短距
离=AB（直径），底面半径为6 厘米→直径=12 厘米。由于从侧面爬行，则一定超
过底面直径→所求＞12 厘米，排除A 项。若走底面半个周长，也属于从侧面爬
行，即2πr*（1/2）=2*π*6*（1/2）=6π，这么简单不可能是最短距离→所求
＜6π，排除C 项；同时，6π≈6*3.14＜24=6*4，排除D 项，选择B 项。【选B】
23
【注意】本题若直接做，结合“两点之间线段最短”，需要将侧面（扇形）
展开，则比较麻烦。
【拓展2】（2022 上海）有一个花坛的形状是一个直角扇形，由三个半径分
别为1、2、3 米的圆弧构成现用两条线段将此扇形圆心角平均分割成三部分。（如
图）设计者在阴影部分和空白部分分别种上不同的花卉，那么阴影部分花卉的种
植面积为多少平方米？
A.π/3
B.π/2
C.π
D.2π
【解析】拓展2.“直角扇形”→∠AOB 为直角，由三个半径分别为1、2、3
米的圆弧构成现用两条线段将此扇形圆心角平均分割成三部分，说明将90°平
均分成3 个30°；这三部分都相等，每个部分占1/3、每一层都满足这一关系（将
每一层都切割成一模一样的3 个部分）。问阴影部分花卉的种植面积，求4 个阴
影部分的加和。若老老实实计算，分别计算每一层的面积、各自乘以1/3、再加
和，但是没必要。根据题意，S 扇形=1/4*S 圆=1/4*π*3*3=9/4*π；若第二层去掉
1 块阴影部分、计算剩余3 块阴影部分的面积，各自占每一层的1/3，则加和为
S 扇形的1/3，计算下限→所求＞9/4*π*（1/3）=3/4*π，排除A、B 项；若每一
层都有2 块阴影部分，则加和为S 扇形的2/3，计算上限→所求＜9/4*π*（2/3）
=3/2*π。综上，答案介于3/4*π～3/2*π之间，对应C 项。【选C】
24
【拓展3】（2023 联考）下图所示是一种帐篷屋顶的示意图，底面是一个长
4 米宽3 米的长方形，屋顶高1 米，上棱长2 米且平行于底面，那么该帐篷屋顶
的体积是：
A.5 立方米
B.11 立方米
C.12 立方米
D.24 立方米
【解析】拓展3.给出示意图，不是标准图；常规方法，将其切割开，则分
别计算，但考场上没有时间。考虑看图和选项，不是常见的立体几何，将其补齐
为长方体（长4 米、宽3 米、高1 米），V 长方体=长*宽*高=4*3*1=12 立方米。所求
＜12 立方米，排除C、D 项。如图所示，将长方体的左边、右边、前边、后边均
往里挤一挤，才能得到所求，则答案不可能只比V 长方体小1 立方米，答案＜V 长方体
*（1/2）=6 立方米，对应A 项。【选A】
25
遇见不一样的自己
Be your better self
