文档文本内容
学科网（北京）股份有限公司
三年专题15 概率与统计（解答题）
（理科专用）
1．【2022 年全国甲卷】甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10 分，负方
得0 分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概
率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X 表示乙学校的总得分，求X 的分布列与期望．
2．【2022 年新高考1 卷】一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分
为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100 例（称为病例组），同时在未患
该疾病的人群中随机调查了100 人（称为对照组），得到如下数据：
不够良
好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该
疾病”．P(B| A)
P(B| A)与P(B| A)
P(B| A)的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指
标为R．
（ⅰ）证明：R = P( A |B)
P( A |B) ⋅P( A |B)
P( A |B)；
（ⅱ）利用该调查数据，给出P( A |B), P( A |B)的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计值．
附K
2=
n(ad −bc)
2
(a+b)(c +d)(a+c)(b+d)，
P(K
2≥k 0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
3．【2022 年新高考2 卷】在某地区进行流行病学调查，随机调查了100 位某种疾病患者的年龄，得到如
下的样本数据的频率分布直方图：
学科网（北京）股份有限公司
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[ 40,50)的人口占该地区总人口的16 %.从该
地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[ 40,50)，求此人患这种疾病的概率．（以样本数据中患者的年
龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.
4．【2021 年新高考1 卷】某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B 两类问题，每位参加比赛的同学先
在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另
一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A 类问题中的每个问题回答正
确得20 分，否则得0 分；B 类问题中的每个问题回答正确得80 分，否则得0 分，已知小明能正确回答A 类
问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A 类问题，记
为小明的累计得分，求
的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.
5．【2021 年新高考2 卷】一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0 代，
经过一次繁殖后为第1 代，再经过一次繁殖后为第2 代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有
相同的分布列，设X 表示1 个微生物个体繁殖下一代的个数，
．
（1）已知
，求
；
（2）设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于x 的方程：
的一个最小正实根，求证：当
时，
，当
时，
；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
6．【2020 年新课标1 卷理科】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘
学科网（北京）股份有限公司
汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一
场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终
获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为
，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
7．【2020 年新课标2 卷理科】某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为
调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200 个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法
抽取20 个作为样区，调查得到样本数据(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi 和yi 分别表示第i 个样区的植物
覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得
，
，
，
，
.
（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平
均数乘以地块数）；
（2）求样本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；
（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动
物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.
附：相关系数r=
，
≈1.414.
8．【2020 年新课标3 卷理科】某学生兴趣小组随机调查了某市100 天中每天的空气质量等级和当天到某
公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次
空气质量等级
[0，200]
(200，400]
(400，600]
1（优）
2
16
25
2（良）
5
10
12
学科网（北京）股份有限公司
3（轻度污染）
6
7
8
4（中度污染）
7
2
0
（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4 的概率；
（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）若某天的空气质量等级为1 或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3 或4，则称
这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2 列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握
认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次≤400
人次>400
空气质量好
空气质量不好
附：
，
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
9．【2020 年新高考1 卷（山东卷）】为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进
行调研，随机抽查了
天空气中的
和
浓度（单位：
），得下表：
（1）估计事件“该市一天空气中
浓度不超过
，且
浓度不超过
”的概率；
学科网（北京）股份有限公司
（2）根据所给数据，完成下面的
列联表：
（3）根据（2）中的列联表，判断是否有
的把握认为该市一天空气中
浓度与
浓度有关？
附：
，
学科网（北京）股份有限公司
