专题04 灵活运用周期性、单调性、奇偶性、对称
性解决函数性质问题
【目录】
..............................................................................................................................................1
...............................................................................................................................................2
..............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................6
............................................................................................................................................11
考点一：函数单调性的综合应用...........................................................................................................................11
考点二：函数的奇偶性的综合应用.......................................................................................................................13
考点三：已知f(x)=奇函数+M...............................................................................................................................17
考点四：利用轴对称解决函数问题.......................................................................................................................20
考点五：利用中心对称解决函数问题...................................................................................................................22
考点六：利用周期性和对称性解决函数问题........................................................................................................25
考点七：类周期函数..............................................................................................................................................29
考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性.....................................................................................32
考点九：函数性质的综合......................................................................................................................................36
从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内
容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充
分运用转化思想和数形结合思想．
考点要求
考题统计
考情分析
函数的性质
2023 年新高考II 卷第4 题，5 分
2023 年新高考I 卷第4 题，5 分
2022 年乙卷第12 题，5 分
2022 年新高考II 卷第8 题，5 分
2021 年甲卷第12 题，5 分
2021 年新高考II 卷第8 题，5 分
【命题预测】
预测2024 年高考，多以小题
形式出现，也有可能会将其
渗透在解答题的表达之中，
相对独立．具体估计为：
（1）以选择题或填空题形式
出现，考查学生的综合推理
能力．
（2）热点是单调性、奇偶
性、对称性结合在一起．
1、单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设
，
是
定义域内一个区间上的任意两个量，且
；
②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调
区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若
是增函数，则
为减函数；若
是减函数，则
为增函数；
②若
和
均为增（或减）函数，则在
和
的公共定义域上
为增（或减）函
数；
③若
且
为增函数，则函数
为增函数，
为减函数；
④若
且
为减函数，则函数
为减函数，
为增函数．
2、奇偶性技巧
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．
（2）奇偶函数的图象特征．
函数
是偶函数
函数
的图象关于
轴对称；
函数
是奇函数
函数
的图象关于原点中心对称．
（3）若奇函数
在
处有意义，则有
；
偶函数
必满足
．
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对
称的两个区间上单调性相同．
（5）若函数
的定义域关于原点对称，则函数
能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．
记
，
，则
．
（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所
得的函数，如
．
对于运算函数有如下结论：奇
奇=奇；偶
偶=偶；奇
偶=非奇非偶；
奇
奇=偶；奇
偶=奇；偶
偶=偶．
（7）复合函数
的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
（8）常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数
或函数
．
②函数
．
③函数
或函数
④函数
或函数
．
注意：关于①式，可以写成函数
或函数
．
偶函数：①函数
．
②函数
．
③函数
类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧
4、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数
有两条对称轴
，
，则函数
是周期函数，且
；
（2）若函数
的图象有两个对称中心
，则函数
是周期函数，且
；
（3）若函数
有一条对称轴
和一个对称中心
，则函数
是周期函数，
且
．
5、对称性技巧
（1）若函数
关于直线
对称，则
．
（2）若函数
关于点
对称，则
．
（3）函数
与
关于
轴对称，函数
与
关于原
点对称．
1．（2023•新高考Ⅱ）若
为偶函数，则
A．
B．0
C．
D．1
【答案】
【解析】由
，得
或
，
由
是偶函数，
，
得
，
即
，
即
，
则
，
，得
，
得
．
故选：
．
2．（2023•新高考Ⅰ）设函数
在区间
单调递减，则
的取值范围是
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】
【解析】设
，对称轴为
，抛物线开口向上，
是的增函数，
要使
在区间
单调递减，
则
在区间
单调递减，
即
，即
，
故实数
的取值范围是
，
．
故选：
．
3．（2023•乙卷）已知
是偶函数，则
A．
B．
C．1
D．2
【答案】
【解析】
的定义域为
，又
为偶函数，
，
，
，
，
．
故选：
．
4．（2022•乙卷）已知函数
，
的定义域均为
，且
，
．若
的图像关于直线
对称，
（2）
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】
的图像关于直线
对称，则
，
，
，
，故
为偶函数，
（2）
，
（2）
，得
．由
，得
，代入
，得
，故
关于点
中心对称，
（1）
，由
，
，得
，
，故
，
周期为4，
由
（2）
，得
（2）
，又
（3）
（1）
，
所以
（1）
（2）
（3）
（4）
，
故选：
．
5．（2022•新高考Ⅱ）已知函数
的定义域为
，且
，
（1）
，则
A．
B．
C．0
D．1
【答案】
【解析】令
，则
，即
，
，
，
，则
，
的周期为6，
令
，
得
（1）
（1）
（1）
，解得
，
又
，
（2）
（1）
，
（3）
（2）
（1）
，
（4）
（3）
（2）
，
（5）
（4）
（3）
，
（6）
（5）
（4）
，
，
（1）
（2）
（3）
（4）
．
故选：
．
6．（2021•甲卷）设函数
的定义域为
，
为奇函数，
为偶函数，当
，
时，
．若
（3）
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】
为奇函数，
（1）
，且
，
偶函数，
，
，即
，
．
令
，则
，
，
．
当
，
时，
．
（2）
，
（3）
（1）
，
又
（3）
，
，解得
，
（1）
，
，
当
，
时，
，
．
故选：
．
7．（2021•新高考Ⅱ）已知函数
的定义域为
不恒为
，
为偶函数，
为奇函
数，则
A．
B．
C．
（2）
D．
（4）
【答案】
【解析】
函数
为偶函数，
，
为奇函数，
，
用
替换上式中
，得
，
，
，即
，
故函数
是以4 为周期的周期函数，
为奇函数，
，即
，
用
替换上式中
，可得，
，
关于
对称，
又
（1）
，
（1）
．
故选：
．
8．（2020•新课标Ⅱ）若
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】方法一：由
，可得
，
令
，则
在
上单调递增，且
，
所以
，即
，由于
，
故
．
方法二：取
，
，满足
，
此时
，
，可排除
．
故选：
．
9．（2023•甲卷）若
为偶函数，则
．
【答案】2．
【解析】根据题意，设
，
其定义域为
，
若
为偶函数，则
，
变形可得
，必有
．
故答案为：2．
10．（2023•全国）
为
上奇函数，
，
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
，
．
【答案】6．
【解析】
，
则函数
的周期为4，
为
上奇函数，
（4）
，
令
，
则
（2）
（2），解得
（2）
，
令
，
则
（1）
（3），
（1）
（5）
，
所以
（1 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
（5 ）
（3 ）
（2 ）
（3 ）
（4 ）
．
故答案为：6．
11．（2021•新高考Ⅰ）已知函数
是偶函数，则
．
【答案】1．
【解析】函数
是偶函数，
为
上的奇函数，
故
也为
上的奇函数，
所以
，
所以
．
法二：因为函数
是偶函数，
所以
，
即
，
即
，
即
，
所以
．
故答案为：1．
考点一：函数单调性的综合应用
例1．（2023·河南新乡·统考一模）已知定义在
上的函数
满足
，
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令
，得
.
令
，得
，解得
，
则不等式
转化为
，
因为
是增函数，且
，
所以不等式
的解集为
.
故选：A
例2．（2023·贵州黔东南·高三校联考阶段练习）已知函数
，若
，都有
成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为对于
，都有
成立，所以函数
是增函数，
则函数
和
均为增函数，且有
，
即
，解得
.
故选：C.
例3．（2023·甘肃天水·高三校联考阶段练习）已知
是偶函数，
，且当
时，
单
调递增，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意
是偶函数，
可知
关于
对称，且
，
又
时，
单调递增，所以
时，
单调递减，
则
在区间
上时，函数值为正，在区间
上，函数值为负，
又易知
，
所以
的解集为
.
故选：A
例4．（2023·江苏镇江·高三统考期中）已知
，
，
，
.则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，∴
，
，
令
，
，
，
∴
在
单调递减，所以
，∴
，∴
.
，
令
，
，
，
在
单调递减，
，∴
，
∴
，∴
，
故选：A.
例5．（2023·安徽蚌埠·高三固镇县第二中学校考阶段练习）若
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，得
，
令
，显然函数
在
上单调递增，且
，
因此
，即
，则
，于是
，A 正确，B 错误；
由
，显然当
时，
，CD 错误.
故选：A
考点二：函数的奇偶性的综合应用
例6．（2023·广东惠州·高三校考阶段练习）已知函数
满足：对任意的
，
，
，且
是
上的偶函数，若
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据题意，
是
上的偶函数，则函数
的图象关于直线
对称，
又由函数
满足对任意的
，
，
，
则函数
在
上是增函数，
又函数
的图象关于直线
对称，则函数
在
上是减函数，
若
，则有
，即
，解得：
或
，
所以
的取值范围是
．
故选：D．
例7．（2023·江西萍乡·高三统考期中）定义在
上的偶函数
满足：对任意
，有
，且
，则不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】不妨设
，由
，所以该函
数是
上的增函数，
，或
，
，
，或
，
因此有
，
或
，或
，
综上所述：不等式
的解集是
，
故选：B
例8．（2023·江苏连云港·高三统考阶段练习）已知函数
，若对任意
，
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】对函数
求导得
，
对函数
继续求导得
，
由基本不等式得
，
所以
在
上单调递增，
又注意到
，
所以
、
随
的变化情况如下表：
由上表可知
在
上单调递减，在
上单调递增，
又函数
的定义域为
，关于原点对称，
且
，
所以函数
是偶函数，
结合函数
的单调性可知，
成立当且仅当
，
而
成立当且仅当
，
所以原问题转化成了对任意
，不等式组
恒成立，
将不等式组变形为
，
所以对任意
，只需
，
因为函数
在
上单调递减，
在
上单调递增，
所以
，
，
综上所述：满足题意的实数
的取值范围是
.
故选：C.
例9．（2023·安徽铜陵·高三统考阶段练习）已知函数
，若实数
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】一方面由题意有
，
另一方面若有
成立，
结合以上两方面有
，
且注意到
，
所以由复合函数单调性可得
在
上严格单调递增，
若
，则只能
，
因此
当且仅当
；
又已知
，
所以
，即
，
由基本不等式得
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最大值为
.
故选：C.
例10．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考一模）已知函数
,则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由函数
，
所以
，令
，
可得
令
且
，
可得
在
上恒成立，所以
，
所以
在
上单调递增，
又由
，
所以函数
为偶函数，则在
上单调递减，
又由
，即
，即
，
整理得
，解得
或
，
即不等式
的解集为
.
故选：B.
考点三：已知f(x)=奇函数+M
例11．（2023·山西大同·高三统考阶段练习）函数
的最大值为M，最小值为N，则
（ ）
A．3
B．4
C．6
D．与m 值有关
【答案】C
【解析】由题意可知，
，
设
，则
的定义域为
，
所以
，
所以
为奇函数，
所以
，
所以
,
故选：C.
例12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
在
上的最大值为
，最小值为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】由
令
，
因为
，所以
；
那么
转化为
，
，
令
，
，
则
，
所以
是奇函数
可得
的最大值与最小值之和为0，
那么
的最大值与最小值之和为2．
故选：B．
例13．（2023 春·福建厦门·高三厦门一中校考阶段练习）已知
，若
，则
等于（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】A
【解析】
，
，
，
，
故选：A.
例14．（2023·广西桂林·统考一模）
是定义在R 上的函数，
为奇函数，则
（ ）
A．－1
B．
C．
D．1
【答案】A
【解析】
是定义在R 上的函数，
为奇函数，则
.
∴
.
故选：A
例15．（2023 春·河南洛阳·高一孟津县第一高级中学校考阶段练习）已知关于
的函数
在
上的最大值为M，最小值N，且
，则实数t 的
值是（ ）
A．674
B．1011
C．2022
D．4044
【答案】B
【解析】
，
，
∴令
，
，则
，
定义域关于原点对称，且
，
所以
为奇函数，
∴
（奇函数的性质），
∴
，
∴
，即
.
故选：B
考点四：利用轴对称解决函数问题
例16．（2023·江苏徐州·高三邳州市新城中学校考阶段练习）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
，
，
所以不等式
可转化为
，
又
在R 上单调递增，
在R 上单调递增，
进而
在R 上单调递增，所以函数
在R 上单调递增，
，解得
，
所以原不等式的解集为
.
故选：A.
例17．（2023·安徽淮南·高三校考阶段练习）函数
满足：对
，都有
，则a+b 为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【解析】因为函数
满足：对
，都有
，
所以
，即
，解得
，
经检验满足题意，所以
，
故选：C.
例18．（2023·全国·高三竞赛）函数
的图像与函数
的图像关于直线
对称，其
中
（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设点
在函数
的图像上，则点
关于直线
的对称点
，则
，则
，则
，即
与
关于直线
对称，
则
，得
.
故选：D
例19．（2023·全国·高三专题练习）设函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．(0，2]
B．
C．[2，＋∞)
D．
∪[2，＋∞)
【答案】B
【解析】由题意，函数
的定义域为
，
且
，
所以函数
为
的偶函数，且在
上为单调递减函数，
令
，可得
，
则不等式
可化为
，
即
，即
，
又因为
，且
在
上单调递减，在
为偶函数，
所以
，即
，解得
，
所以不等式的解集为
.
故选：B.
例20．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一中学校校考期中）已知函数
，
则
的大小关系（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】首先设函数
判断函数是偶函数，利用导数判断函数的单调性，根
据平移关系，可判断函数
的对称性和单调性，再将
，
，以及
转化在同一个单调
区间，根据单调性比较大小.令
，所以
是偶函数；
当
时，
，
在
上是增函数，
将
图像向右平移一个单位得到
图像，
所以
关于直线
对称，且在
单调递增.
∵
，
，
，
∴
，
∴
，
又∵
关于直线
对称，∴
，
∴
.
故选：A
考点五：利用中心对称解决函数问题
例21．（2023·陕西汉中·高三校联考期中）已知函数
满足
，若函数
与
的图象的交点为
，
，…，
，则
等于（ ）
A．0
B．m
C．
D．
【答案】B
【解析】由
得，函数
的图象关于点
中心对称，
显然
也是函数
的对称中心，
所以当
为偶数时，
；当
为奇数时，
；
综上
.
故选：B.
例22．（2023·陕西汉中·高三西乡县第一中学校联考期中）已知函数
满足
为奇函数，
若函数
与
的图象的交点为
，
，…，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
为奇函数，所以
，
所以
关于
对称，
因为
，
所以
的对称中心为
，
，
所以
也关于
对称，
所以
与
两个图象的交点也关于
对称，
所以对于每组对称点
和
均满足
，
，
所以
.
故选：B.
例23．（2023·北京通州·高一统考期中）我们知道函数
的图象关于坐标原点成中心对称图形的充
要条件是函数
为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数
的图像关于点
成中心
对称图形的充要条件是函数
为奇函数，则函数
的对称中心是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，
为奇函数，
定义域为
关于原点对称，故
，
，
，即
，
即
，故
，
故
，即对称中心为
.
故选：A.
例24．（2023·福建福州·高三福建省福州第一中学校考期中）设函数
的定义域为D，
，
，当
时，恒有
，则称点
为函数
图象的对称中心．利用对称中
心的上述定义，研究函数
，可得到
（ ）
A．0
B．2023
C．4046
D．4047
【答案】D
【解析】
的定义域为R.
因为
，
所以
的图象关于点
对称.
所以
.
故选：D
例25．（2023·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知函数
，则
满足
的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由已知可得，
，
所以，
.
所以，
，
即
，所以
.
则由不等式
可得，
.
又
恒成立，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以，
在R 上单调递增.
则由
可得，
，解得
.
所以，满足
的
的取值范围是
.
故选：D.
考点六：利用周期性和对称性解决函数问题
例26．（2023·内蒙古赤峰·高三校考期中）已知函数
的定义域为
为奇函数，
为偶
函数，当
时，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
为奇函数，得
，
故
①，函数
的图象关于点
对称；
由
为偶函数，得
②，
则函数
的图象关于直线
对称；
由①②得
，
则
，
故
的周期为
，所以
，
由
，令
得
，即
③，
已知
，
由函数
的图象关于直线
对称，得
，
又函数
的图象关于点
对称，得
所以
，即
，
所以
④，联立③④解得
故
时，
，
由
关于
对称，可得
.
故选：A.
例27．（2023·全国·模拟预测）已知定义在
上的函数
满足对任意实数
有
，
若
的图象关于直线
对称，
，则
（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
，
从而可得
，所以
，所以函数
的一个周期为6．
因为
的图象关于直线
对称，
所以
， 即函数
的图象关于直线
对称．
又
，
，
所以
，所以
，
所以
．由于23 除以6 余5，
所以
．
故选：C．
例28．（2023·四川成都·高三校联考阶段练习）已知函数
是定义域为
的非常数函数，
为偶
函数，
，则（ ）
A．函数
为偶函数
B．
关于点
中心对称
C．
D．
的最小正周期为4
【答案】A
【解析】因为
为偶函数，
所以
，即
，
又因
，
所以
，即
，
所以
，所以函数
是以
为周期的一个周期函数，故D 错误；
因为
，所以函数
图象关于
对称，
所以函数
图象关于
对称，即函数
为偶函数，故A 正确；
对于B，若
关于点
中心对称，则
关于点
中心对称，
即函数
为奇函数，则
，
因为
为偶函数，所以
，
所以
，所以
，
所以
，
这与函数
是定义域为
的非常数函数矛盾，故假设不成立，故B 错误；
对于C，由
，可得
，
又因为
不关于点
中心对称，
所以无法判断
是否相等，故C 错误.
故选：A.
例29．（2023·四川·高三校联考阶段练习）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，且
为
奇函数，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
，令
，得
，所以
，
由
为奇函数，得
，所以
，
故
①．
又
②，
由①和②得
，即
，
所以
，③
令
，得
，得
，
令
，得
，得
，
又
④，
由③-④得
，即
，
所以函数
是以8 为周期的周期函数，
故
，
所以
，
所以
，
故选：B．
例30．（2023·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）已知函数
及其导函数
定义域均为
，
为奇函数，
，
，则正确的有（ ）
①
；②
；③
；④
.
A．①④
B．①②
C．②③
D．③④
【答案】C
【解析】因为
为奇函数，则
，
因为
，
，
故可得
，
所以，函数
的图象关于点
对称，
在等式
中，令
可得
，则
，
因为函数
为奇函数，即
，可设
，为常数，
则
，故
，即
，
所以，函数
为偶函数，
由
可得
，
从而可得
，则
，即
，
所以，函数
为周期为的周期函数，
故
，
在等式
两边同时求导可得
，
即
，
在等式
中，令
可得
，
因为函数
是周期为的周期函数，则
，
等式
两边求导可得
，
所以，函数
是周期为的周期函数，
所以，
.
而
、
的值根据已知条件无法推导其值，则②③对，①④错.
故选：C.
考点七：类周期函数
例31．（2023·四川·高三阶段练习）定义域为
的函数
满足
，当
时，
，若当
时，函数
恒成立，则实数的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当x∈[0,1)时，f(x)=x2−x∈[−
,0]当x∈[1,2)时，f(x)=−(0.5)|x−1.5|∈[−1,−
]，
∴当x∈[0,2)时，f(x)的最小值为−1，
又∵函数f(x)满足f(x+2)=2f(x)，
当x∈[−2,0)时，f(x)的最小值为
，
当x∈[−4,−2)时，f(x)的最小值为
，
若x∈[−4,−2]时，
恒成立，
∴
恒成立．
即t2−4t+3⩽0，
即(t−3)(t−1)⩽0，
即1⩽t⩽3，
即t∈[1,3]，
本题选择D 选项.
例32．（2023·河北唐山·高三开滦第二中学校考期末）定义域为
的函数
满足
，
当
时，
.若
时，
恒成立，则实数的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】当x∈(2,3),则x−2∈(0,1)，
则f(x)=2f(x−2)−1=2(x−2)2−2(x−2)−1，
即为f(x)=2x2−10x+11，
当x∈[3，4]，则x−2∈[1，2]，
则f(x)=2f(x−2)−1=
.
当x∈(0,1)时,当x=
时,f(x)取得最小值,且为−
；
当x∈[1,2]时,当x=2 时,f(x)取得最小值,且为
；
当x∈(2,3)时,当x=
时,f(x)取得最小值,且为−
；
当x∈[3,4]时,当x=4 时,f(x)取得最小值，且为0.
综上可得,f(x)在(0,4]的最小值为−
.
若x∈(0,4]时,
恒成立，
则有
.
解得
.
当x∈(0,2)时,f(x)的最大值为1,
当x∈(2,3)时,f(x)∈[−
,−1)，
当x∈[3,4]时,f(x)∈[0,1]，
即有在(0,4]上f(x)的最大值为1.
由
，即为
，解得
，
综上，即有实数t 的取值范围是
.
故选：C.
例33．（2023·全国·高三专题练习）定义域为
的函数
满足
，当
时，
，若当
时，不等式
恒成立，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为当
时，不等式
恒成立，所以
，
当
时，
当
时，
，当
时，
，因此当
时，
，选B.
例34．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R 的函数
满足
，当
时，
，设
在
上的最大值为
则数列
的前n 项和
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
时，
，最大值为
，
时，
，易知
时，
递增，
时，
递减，因此最大值为
，
综上，
，
，即
，
又
，即
，
当
时，
，∴
，
∴
是等比数列，公比为
，
∴
．
故选：D．
考点八：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
例35．（多选题）（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期中）已知函数
对
都有
，且函数
的图像关于点
对称，当
时，
，则下列结论正
确的是（ ）
A．
B．
在区间
上单调递减
C．
是
上的偶函数
D．函数
有6 个零点
【答案】AD
【解析】对
都有
，则
，
所以函数
是周期函数，周期为4，
函数
的图像向左平移1 个单位得函数
的图象，
又函数
的图像关于点
对称，
因此函数
的图象关于点
对称，即函数
是
上的奇函数，
当
时，
，即函数
在
上递增，在
上单调递增，
而
，因此
在
上递增，
由
得
，则
的图象关于直线
对称，
则函数
在
上递减，
对于A，
，故A 正确；
对于B，因函数
在
上递增，函数
的周期为4，
则
在
上递增，故B 错误；
对于C，因
，即有
，
则函数
不是R 上的偶函数，故C 错误；
对于D，函数
的零点，即函数
与
图象交点的横坐标，
在同一坐标系内作出函数
与
的大致图象，如图，
因函数
的最大值为1，而当
时，
，
因此函数
与
图象的交点在
内，
观察图象知，函数
与
图象在
内只有6 个交点，
所以函数
有6 个零点，故D 正确.
故选：AD.
例36．（多选题）（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，
且
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
为偶函数
B．
的图象关于直线
对称
C．
D．
【答案】ABD
【解析】因为
，所以
，
所以函数
为偶函数，故A 正确；
因为
，两边求导得
.令
，得
.
因为
，所以
，
所以
，
，
所以
，即
，
所以
的图象关于直线
对称，故B 正确；
因为
，又
，所以
，
所以
，
所以
是周期为4 的周期函数，所以
，故C 错误；
因为
，所以
，
所以
，所以
，
又
，
所以
，故D 正确.
故选：ABD.
例37．（多选题）（2023·江西·高三校联考阶段练习）已知函数
的定义域为
，
为奇函数，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】由
为奇函数得
，
令
，则
，即
，
所以
的图象关于点
对称，所以
，
因为
，所以
关于直线
对称，所以
，
由
和
知，
，
所以
，所以
的周期为8，
由
知，当
时，
，A 正确；
因为
关于直线
对称，所以
，
由
的周期为8 知，
，C 正确；
因为
的周期为8，所以
，题干所给条件不足，所以BD 错.
故选：AC
例38．（多选题）（2023·黑龙江牡丹江·高三校联考阶段练习）已知函数
及其导函数
的定义域
均为
，且
为非常数函数，
，
为奇函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】因为
为奇函数，所以
，即
，即
，
所以
的图象关于点
中心对称，且
，故A 正确；
由
，两边求导，得
，即
.
由
的图象关于点
中心对称，得
，因此
，故B 正确；
因为
为函数
的导函数，且
，即
，
所以
，即
，
所以
的图象关于直线
对称，
所以
.又
，
所以
，所以
的图象关于点
中心对称，
，
，
所以
是周期函数，4 为它的一个周期，所以
，故
错误；
由
，得
.又
，
所以
3，所以
，
所以
，故D 正确.
故选：ABD.
例39．（多选题）（2023·黑龙江齐齐哈尔·高三统考期中）设函数
的定义域为
，且满足
，
，当
时，
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
C．
的值域是
D．方程
在区间
内恰有1518 个实数解
【答案】ACD
【解析】函数
的定义域为
，关于原点对称，因为
，所以
，
又因为
，所以
，所以
是奇函数，A 正确；
由
，得
，所以
以4 为周期，
因为
，所以
，故B 错误；
因为当
时，
，所以
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，又
，所以
．
因为
为奇函数，所以当
时，
，
因为
的图象关于直线
对称，所以当
时，
，
因为
的周期为4，所以当
时，
，故C 正确；
方程
的解的个数，即
的图象与
的图象交点个数．
因为
的周期为4，且当
时，
与
有3 个交点，
所以当
时，
与
有
个交点，故D 正确．
故选：ACD.
考点九：函数性质的综合
例40．（2023·河北张家口·高三校联考阶段练习）已知函数
是R 上的奇函数，且
，
，若
，则不等式
的解集是 .
【答案】
【解析】函数
是
上的奇函数，在区间
单调递增，
所以函数
在
上单调递增，且
，
因为
，即
.所以当
时，
，当
时，
，
当
时，
，当
时，
，
那么
，即
或
，
所以得
或
.
故答案为：
.
例41．（2023·湖北·高三鄂南高中校联考期中）已知函数
，若
，则实数
的解集为 .
【答案】
【解析】由题意可知
，
所以
，
所以
，
令
，则
，即
为奇函数，
不等式
等价于
，即
，
令
，则
，
所以
是奇函数，
又因为
在
单调递增，
所以根据指数函数的性质可知
在
上单调递增，
又由对数函数的性质可知
在
上单调递减，
所以
在
上单调递增，
所以
，解得
，
故答案为：
例42．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）已知函数
的定义域为
，且
，若
为奇函数，
，则
．
【答案】
【解析】由
为奇函数，得
，即
，
由
，得
，又
，
于是
，即
，从而
，
即
，因此
，函数
的周期为8 的周期函数，
显然
，又
，
所以
.
故答案为：
例43．（2023·四川泸州·高三校考阶段练习）给出下列命题：对于定义在
上的函数
，下述结论正确
的是 ．
①若
，则
的图象关于直线
对称；
②若
是奇函数，则
的图象关于点
对称；
③若函数
满足
，则
；
④若关于
的方程
有解，则实数
的取值范围是
．
【答案】②③
【解析】对于①，若
，则
，所以函数
是以2 为周期的周期函数，无
法得出其对称轴，故①错误；
对于②，若
是奇函数，则函数关于原点对称，
而函数
的图象是由函数
的图象向右平移1 个单位得到的，
所以
的图象关于点
对称，故②正确；
对于③，若函数
满足
，令
，则
，所以
，
即
，故③正确；
对于④，关于
的方程
有解，即函数
的图象有交点，
作出函数
的图象如图所示，
由图可知
，故④错误.
故答案为：②③.
例44．（2023·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）设定义在
上的函数
与
的导
函数分别为
和
， 若
，
， 且
为奇函数， 则下列说法中
一定正确的是 .
（1）函数
的图象关于
对称；
（2）
；
（3）
；
（4）
【答案】（1）（3）
【解析】因为
, 则
,
因为
，所以
,
用
去替x，所以有
，所以有
,
取
代入得到
则
，
故
，用
换x，可得
，函数
的图象关于
对称,故（1）正确；
在
上为奇函数, 则
过
, 图像向右移动两个单位得到
过
，故
图像关于
对称，
;
，而
，所以有
，则
的周期
;
又因为
图像关于
对称，
;函数
的图象关于
对称,，故
,
,故（3）正确；
, 是由
的图像移动变化而来, 故
周期也为 4 ,
因为
,
所以
，
,
所以
，故（2）错误；
，
周期为 4 ,
，
,
,
故
，
由于
的值未知，
不一定为0，所以无法判断
的值为-4046，
故（4）错误;
故答案为：（1）（3）
