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2026年高考数学百日冲刺考点全通关（上海专用）
专题 02 不等式
考点01：不等式的性质
1. （2025进才中学高三模拟）下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则D. 若 ，则
【答案】D
【详解】举例说明判断ABC，利用不等式性质推理判断D.
【分析】对于A，由 ，得 ，取 ，显然 ，A错误；
对于B，由 ，取 ，显然 ，B错误；
对于C，由 ，取 ，显然 ，C错误；
对于D，由 ，得 ，则 ，而 ，
因此 ，所以 ，D正确.
故选：D
2.若 ， ，则一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
3. （2025华东师大三附中高三三模）已知 ，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【分析】对选项逐一判断，不正确的举反例，正确的加以说明即可．
【详解】对于A选项：举反例 可知不成立；
对于B选项： 举反例 可知不成立；
对于C选项： ，因为 ，所以 ，而 且不同时为0，
故 ，即 ，正确；
对于D选项： 举反例 可知不成立；
故选：C．
4.（2025上海市崇明区高三三模） 已知 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】选项A，利用不等式的传递性分析即可；选项BCD均可通过取特殊值进行否定.
【详解】选项A，由已知 ，则 ， ，即 ，所以A正确；
选项B，当 时， ，则 ，所以B错误；
选项C，当 时， ，则 ，所以C错误；
选项D，当 时， ，则 ，所以D错误.
故选：A.
5.（2026届嘉定区高三一模）如果 ,那么下列不等式中成立的是（）.
A. B. C. B.
【答案】B
【解析】对于 由 得 ,错误;
对于 由 ，则有 ，即 ，正确；
对于 由 得 ，则根据不等式的性质有 ，即 ，由 可得 ，错误；
对于 :由 得 ，则 ，即 ，错误.
故选:B.
考点02：不等式与集合、充分必要条件
6. （2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）已知集合 ， ，则
______．
【答案】
【分析】先解不等式 求得A，再根据交集运算规则运算即可.
【详解】解 ， ，
所以 ，又 ，
所以 .
故答案为： .
7.（2025上海外国语大学附属大境中学高三三模） “ 且 ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分、必要条件结合不等式性质理解判断.
【详解】若 且 ，例如 满足条件，但不满足
若 ，则 ，且∴“ 且 ”是“ ”的必要不充分条件
故选：B.
8.（2026虹口区高三一模）已知 为实数，则“ ”是“ ”的（ ）条件.
A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.非充分又非必要
【答案】B
9. 已知 为大于1的正数，则“ ”是“ ”的（ ）条件.
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要
【答案】C
【分析】利用指数函数的单调性求解.
【详解】 ，
在 上是单调增函数，
， ，充分性成立；
， ，必要性成立.
“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C.
10.（2026届高三宝山区一模）若 ,则 是 的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】当
当
所以 是 的必要非充分条件，故选：B.
考点03：一元二次不等式的求解
11.（25-26复旦大学附属中学高三（上）阶段练习）不等式 的解集为___________．
【答案】【分析】根据二次不等式的解法直接求解即可．
【详解】 ，
即 ，
所以 .
故答案为： ．
12． 的解集为
【答案】
【解析】因为 ，
对于 ，即 ，解得 ；
对于 ，即 ，解得 或 ；
可得 或 ，所以不等式的解集为 .
13. （2025复旦大学附属中学高三6月检测） 的解集为 ，则 的
解集为 ______．
【答案】
【分析】由不等式 的解集为 ，可得到 且 ,代入一元二次不等式求解即可.
【详解】由题干知，不等式 的解集为 ，
可得到 ，代入一元二次不等式得
，
由于 ，所以 ，即 .
故答案为：14．已知 ，若关于x的不等式 的解集为 ，则m的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为不等式 的解集为 ，
根据二次函数的图像和性质可得， ，解得 .
15．（上海市格致中学2023届高三三模）关于x的不等式 的解集是 ，则实数a
的取值范围为 ．
（答案）
（详解）因为关于x的不等式 的解集是 ，所以 在 上恒成
立，
令 ，易知 为偶函数，所以 在 上恒成立，即
在 上恒成立，
所以，当 时，由 ，得到 ，
当 时，由 ，得到 ，又因为 ，当且仅当 时取等号，所
以 ，
综上，实数 的取值范围为 .
故答案为： .
考点04：分式不等式的求解
16. 不等式 的解集是________.【答案】
【分析】将分式不等式等价变形为 ，解此不等式即可.
【详解】不等式 等价于 ，解得 ，
因此，不等式 的解集是 .
故答案为 .
【点睛】本题考查分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.
17. （2025上海市金山中学高三三模）不等式 的解集为______________．
【答案】
【分析】将原不等式等价转化为 ，然后解该二次不等式可得出结果.
【详解】不等式 等价于 ，解得 ，
因此，不等式 的解集为 ，故答案为 .
【点睛】本题考查分式不等式的解法，解题的关键就是将分式不等式化为标准形式，转化为整式不等式求
解，考查运算求解能力，属于基础题.
18.（2025复旦大学附属中学高三6月检测）不等式 的解集为 ____________ ．
【答案】 或 .
【分析】将分式不等式化成一元二次不等式，求解即得.
【详解】 等价于 ，即 ，
解得 或 ，即原不等式的解集为： 或 .故答案为： 或 .
19. （2025上海市格致中学高三三模）不等式 的解集为________．
【答案】
【分析】应用分式不等式的解法得 ，解一元二次不等式求解集.
【详解】由题设 ，而 ，
所以 ，则 ，即解集为 .
故答案为：
20. （2025行知中学高三6月模拟）不等式： 的解集是_________.
【答案】
【分析】移项通分，利用因式分解法求解不等式.
【详解】不等式 ，
而 恒成立，解得 ，且 ，
所以原不等式的解集为 .
故答案为：
21．已知 ， 为实数，关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为 ．
【答案】
【解析】关于 的不等式 的解集为 ，所以 ，
则不等式 .不等式 的解集为 .
考点05：含绝对值不等式的求解
22.（2026届高三长宁区一模）不等式 的解集为_____.
【解析】
所以 的解集为
23.（2026届高三奉贤区一模）不等式 的解集是_____.
【答案】
【解析】
所以不等式 的解集是
24. （2025上海外国语大学附属大境中学高三三模）不等式 的解集为 __________________．
【答案】
【分析】去绝对值直接求解即可.
【详解】由 ，
可得： ，
解得： ，
所以原不等式的解集为： ，
故答案为：
25. （2025上海市徐汇中学高三三模）不等式 的解集是__________．
【答案】
【分析】零点分段法求解绝对值不等式.
【详解】当 时， ，解得 ，此时解集为空集，当 时， ，即 ，符合要求，此时解集为 ，
当 时， ，解得 ，此时解集为空集，
综上：不等式的解集为 .
故答案为：
考点06：平均值不等式及其应用
26. （2025上海市崇明中学高三三模）若实数 、 满足 ，下列不等式中恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】利用作差法可判断各选项中不等式的正误.
【详解】因为 ，则 ，故 ，A对B错；
，即 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，CD都错.
故选：A.
27. （2025年华东师范大学第一附属中学高三三模） ，且下列式子有意义，则下列代数式中最小值为
的是（ ）
.
A B.
C. D.
【答案】B
【分析】利用基本不等，对各个选项逐一分析判断，即可求解.
【详解】对于选项A，当 时， ，所以选项A错误，对于选项B，易知 ，因 ，
为
当且仅当 ，即 时取等号，所以选项B正确，
对于选项C，易知 ，所以 ，则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，所以选项C错误，
对于选项D，易知 ，又 ，
当且仅当 取等号，但 无解，
所以 ，故选项D错误，
故选：B.
28. （2025上海市金山中学高三三模）若正数 满足 ，则 的最大值为_________.
【答案】 .
【分析】利用基本不等式即可求得.
【详解】 为正数， ，即 ，
则 ，当且仅当 ，即 时取等号.
故答案为： .
29. （2025华东师大三附中高三三模）若 ， ，且 ，则 的最小值为______．
【答案】2
【分析】由基本不等式计算即可求解.【详解】因为 ， ，且 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
故 的最小值为2.
故答案为：2
30.（2025建平中高三下学期三模） 若 ， ，且 ，则 的最小值为__________.
【答案】
【分析】利用基本不等式，可得答案.
【详解】由 ，则 ，当且仅当 ，即 ，等号成立.
所以 的最小值为 .
故答案为： .
31. （2025杨浦区高三5月质量检测）已知 ，则 的范围是________．
【答案】
【分析】利用重要不等式即可求解.
【详解】由 ，可得 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 ，
所以 的范围是 .
故答案为： .
32. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）若正实数 、 满足 ，则 的最小值为
________．【答案】
【分析】根据对数的运算公式，求出实数 、 满足的等量关系，再利用基本不等式求出最小值.
【详解】由题意得 ，可得 ，
由对数性质可知 ，根据基本不等式可知 ，当且仅当 ，即
时，等号成立，所以 的最小值为4.
故答案为：4.
33. （2025七宝中学高三三模）若正数 ， 满足 ，则 的最大值为_______.
【答案】2
【分析】根据 得出 ，得出 ， ，根据 的范围求出 的范围
即可.
【详解】 ， ， ，所以 ，即 ，
，
根据二次函数的性质可知 时，上式取得最大值2.
故答案为：2.
34. （2025-26复旦大学附属中学高三（上）阶段练习）若正数 满足 ，则 的最小值为
______.
【答案】 ##
【分析】根据基本不等式求解．
【详解】由已知 ，当且仅当 ，即时等号成立，故所求最小值是 ．
故答案为： ．
35.（2026届高三宝山区一模）已知第一象限的点 和 经过直线 ，若直线 的倾斜角为 ，则
的最小值为_____.
【答案】
【解析】直线 的倾斜角为 ，
所以 .
因为
所以
当且仅当 时取等
36．（上海市金山中学2023届高三核心素养检测）若关于x的不等式 的解集为 ，
则 的最小值为 ．
（答案）8
（详解）因为不等式 的解集为 ，则 ，
因为 ，所以 ，
∴ ．当且仅当 ，即 时，取到等号．
故答案为：8
考点07：三角不等式
37. （2025杨浦区高三5月质量检测）设 ， ，则 满足______________条件
【答案】
【分析】将不等式两边平方即可求解.
【详解】由 ，得 ，
所以 ，即 ，
所以 .
故答案为: .
38. （2025上海市育才中学高三三模）若关于x的不等式 对任意实数x恒成立，则实数a
的最大值是___________．
【答案】3
【分析】根据恒成立问题结合绝对值的三角不等式分析求解.
【详解】因为 ，当且仅当 时，等号成立，
若关于x的不等式 对任意实数x恒成立，则 ，
所以实数a的最大值是3.
故答案为：3.
39.（2025复旦大学附属中学高三6月检测） 恒成立，求 范围__________
【答案】
【分析】由绝对值不等式可求出绝对值之和函数的最小值，代入，得到关于 的一元二次不等式，解之可得
到答案.
【详解】由绝对值不等式可得到： ，当 时取“=”；
所以 ,不等式 对所有 恒成立，
等价于 ，
即： ，解此不等式： .
故答案为：
40. （2025杨浦区高三5月质量检测）不等式 对一切实数 恒成立，则实数 的取值范围
为__________.
【答案】
【分析】由绝对值的几何意义和结合三角不等式分析即可.
【详解】 表示 到 的距离， 表示 到 的距离，它们的和为 到 和 到 的距离
之和，
根据三角不等式，当 位于 和 之间时，距离和取得最小值，即两点之间的距离为 ，
所以不等式 对一切实数 恒成立等价于若最小值 ，则原式对所有 恒成立，
所以 或 ，解得 或 .
故答案为： .
41. 不等式 对一切 恒成立,则实数 的取值范围是________.
【答案】
42. （2025年华东师范大学第一附属中学高三三模）不等式 的解集为______．
【答案】
【分析】根据绝对值三角不等式 及题干可得 ，等式成立需要
同号，列不等式求解即可得解.
【详解】因为 ，又 ，所以 ，则 .
故答案为： .
43.（2025七宝中学高三三模） 对于实数 ，若 ，则 的最大值为
__________.
【答案】3
【分析】解绝对值不等式得出 ， ，再利用不等式的性质求出 即可求
出最值.
【
详解】由题意可得， ， ，
则 ， ，则 ，得 ，
故 ，则 的最大值为 .
故答案为： .
考点08：不等式的综合应用
44．（上海市金山中学2023届高三核心素养检测）若关于x的不等式 的解集为 ，
则 的最小值为 ．
（答案）8
（详解）因为不等式 的解集为 ，则 ，
因为 ，所以 ，
∴ ．
当且仅当 ，即 时，取到等号．
故答案为：845．（上海市七宝中学2023届高三5月第一次模拟）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，
， 的平分线交 于 ，若 ，则 的最小值为 .
（答案） /
（详解）因为 ， 的平分线交 于 ，且 ，
由 ，即 ，
整理可得 ，所以， ，
因此， ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
因此， 的最小值为 .
故答案为： .
46．（上海市黄浦区2023届高三二模）已知实数a，b，c满足： 与 ，则abc的取
值范围为 ．
（答案）
（详解）由题意得 ，
由 得 ,得 ,所以 ,
令 ，
，当 时， ，此时 在 和 上单调递增，
当 时， 此时 在 单调递减，
所以 的极大值为 ， 的极小值为 ，
又因为 ，
则 的取值范围为 .
故答案为： .
47已知实数 ，满足 ，若不等式 对任意的正实数 恒成立，那么实
数m的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【分析】由 根据函数的单调性求 ，再由基本不等式求 的最小值，由此可求实
数m的最大值.
【详解】设 ，则 ，
当 时， ，
所以函数 在 上为增函数，
∵
∴ ，即 ，又 ，
∴ ，
∴
当且仅当 时等号成立，∵不等式 对任意的正实数 恒成立，
∴ ，
故选：D.
1. （2025上海秋季高考）不等式 的解集为_________．
【答案】
【分析】转化为一元二次不等式 ，解出即可.
【详解】原不等式转化为 ，解得 ，
则其解集为 .
故答案 为： .
2．（2025·上海春考）设 ，则 的最小值为 ．
【答案】4
【分析】灵活利用“1”将 展开利用基本不等式计算即可.
【详解】易知 ，
当且仅当 ，即 时取得最小值.
故答案为：4
3．（2025·北京·高考真题）已知 ，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】由基本不等式结合特例即可判断.
【详解】对于A,当 时， ，故A错误；
对于BD，取 ，此时 ，
，故BD错误；
对于C，由基本不等式可得 ，故C正确.
故选：C.
4．（2024·上海·高考真题）已知 则不等式 的解集为 ．
【答案】
【分析】求出方程 的解后可求不等式的解集.
【详解】方程 的解为 或 ，
故不等式 的解集为 ，
故答案为： .
5．（2024上海春考）已知ab＝1，4a2+9b2的最小值为 ．
【分析】由已知结合基本不等式即可求解．
【解答】解：由 ab＝1，4a2+9b2≥2•2a•3b＝12，当且仅当 2a＝3b，即 或
时取最小值12，
所以4a2+9b2的最小值为12．
故答案为：12．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
6．（2023年上海卷01）不等式|x﹣2|＜1的解集为 ．（答案）（1，3）．
（解答）解：由|x﹣2|＜1可得，﹣1＜x﹣2＜1，
解得1＜x＜3，
即不等式的解集为（1，3）．
故答案为：（1，3）．
7．（2023上海春考）若不等式|x﹣1|≤2，则实数 x 的取值范围为_______
8．（2023上海春考）已知正实数 a、b 满足 a+4b ＝1，则 ab 的最大值为________ .
9．（2022年上海卷14）若实数a、b满足a＞b＞0，下列不等式中恒成立的是（ ）
A．a+b＞2 B．a+b＜2 C． 2b＞2 D． 2b＜2
【答案】A
【解答】因为a＞b＞0，所以a+b≥2 ，当且仅当a＝b时取等号，
又a＞b＞0，所以a+b ，故A正确，B错误，
2 ，当且仅当 ，即a＝4b时取等号，故CD错误，
故选：A．
10．（2022·上海·高考真题） ， ，则 的最小值是 .
【答案】 /
【分析】分析可得 ，利用不等式的基本性质可求得 的最小值.
【详解】设 ，则 ，解得 ，
所以， ，
因此， 的最小值是 .
故答案为： .
11．（2022年上海卷06）x﹣y≤0，x+y﹣1≥0，求z＝x+2y的最小值 ．（答案）
（解答）解：如图所示：
由x﹣y≤0，x+y﹣1≥0，可知行域为直线x﹣y＝0的左上方和x+y﹣1＝0的右上方的公共部分，
联立 ，可得 ，即图中点A（ ， ），
当目标函数z＝x+2y沿着与正方向向量 （1，2）的相反向量平移时，离开区间时取最小值，
即目标函数z＝x+2y过点A（ ， ）时，取最小值： 2 ．
故答案为： ．
12．（2022·上海春考）不等式 的解集为
【答案】
【解析】：由题意得 等价于x(x-1)<0，解得0<x<1，故所求解集为 .
故答案为： .13.（2021·上海·高考真题）已知函数 的最小值为 ，则 .
【答案】
【解析】 ，当且仅当 时等号满足，
14．（2021年上海卷16）已知两两不相等的x，y，x，y，x，y，同时满足①x＜y，x＜y，x＜y；
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3
②x+y＝x+y＝x+y；③xy+xy＝2xy，以下哪个选项恒成立（ ）
1 1 2 2 3 3 1 1 3 3 2 2
A．2x＜x+x B．2x＞x+x C．x2＜xx D．x2＞xx
2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3
（答案）A
（解答）解：设x+y＝x+y＝x+y＝2m，
1 1 2 2 3 3
， ， ，
根据题意，应该有 ，
且m2﹣a2+m2﹣c2＝2（m2﹣b2）＞0，
则有 ，
则x+x﹣2x＝（m﹣a）+（m﹣c）﹣2（m﹣b）＝2b﹣（a+c），
1 3 2
因为（2b）2﹣（a+c）2＝2（a2+c2）﹣（a+c）2＞0，
所以x+x﹣2x＝2b﹣（a+c）＞0，
1 3 2
所以A项正确，B错误．
xx﹣x2＝（m﹣a）（m﹣c）﹣（m﹣b）2＝（2b﹣a﹣c）m+ac﹣b2＝（2b﹣a﹣c）m ，而上面
1 3 2
已证（2b﹣a﹣c）＞0，
因为不知道m的正负，
所以该式子的正负无法恒定．
故选：A．
15．（2021·全国乙卷·高考真题）下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【分析】根据二次函数的性质可判断 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出
不符合题意， 符合题意．
【详解】对于A， ，当且仅当 时取等号，所以其最小值为 ，A不符合
题意；
对于B，因为 ， ，当且仅当 时取等号，等号取不到，所以其
最小值不为 ，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为 ，而 ， ，当且仅当 ，即 时取
等号，所以其最小值为 ，C符合题意；
对于D， ，函数定义域为 ，而 且 ，如当 ， ，D不符
合题意．
故选：C．
【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性
质即可解出．
16．（2021·上海·高考真题）已知函数 的最小值为 ，则 .
【答案】
【分析】配方得 ，结合基本不等式即可求解
【详解】 ，当且仅当 时等号满足，
故答案为：9
17．（2020年上海卷13）下列等式恒成立的是（ ）
A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2abC．a+b≥2 D．a2+b2≤﹣2ab
（答案）解：A．显然当a＜0，b＞0时，不等式a2+b2≤2ab不成立，故A错误；
B．∵（a+b）2≥0，∴a2+b2+2ab≥0，∴a2+b2≥﹣2ab，故B正确；
C．显然当a＜0，b＜0时，不等式a+b≥2 不成立，故C错误；
D．显然当a＞0，b＞0时，不等式a2+b2≤﹣2ab不成立，故D错误．
故选：B．
