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小题限时卷08（A 组+B 组+C 组）
（模式：8+3+3 满分：73 分 限时：50 分钟）
一、单选题
1．（2025·辽宁·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分别求出集合
，再根据并集的定义即可得解.
【详解】由题意得
，
，
所以
．
故选：D．
2．（2025·新疆·一模）已知复数
满足
，其中是虚数单位，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出复数
，利用复数的模长公式可求得
的值.
【详解】因为
，则
，故
.
故选：B.
3．（24-25 高三上·河南安阳·期中）设非零向量
的夹角为
，若
，则“
为钝角”是“
”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据数量积和模长关系分析可知
等价于
，进而结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为
，
则
，解得
，
即
等价于
，
若
为钝角，则
，即充分性成立；
1
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若
，则
为钝角或平角，即必要性不成立；
综上所述：“
为钝角”是“
”的充分不必要条件.
故选：C.
4．（2025·山东日照·一模）已知
是第一象限角，且
，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先应用同角三角函数关系计算，最后应用诱导公式计算即可.
【详解】因为
，
所以
，所以
，左右两侧平方得
，
所以
，又因为
是第一象限角，所以
，
则
.
故选：D.
5．（2025·山西·一模）定义：各位数字之和为5 的四位数叫“吉祥数”，例如“1022，3110”，则所有
“吉祥数”的个数是（ ）
A．35
B．32
C．29
D．20
【答案】A
【分析】根据“吉祥数”的定义，按首位数字分别计算，再由分类加法计数原理可得结果.
【详解】各位数字之和为5 的四位数叫“吉祥数”，按首位数字分别计算，
当首位数字为5 时，则剩余三位数分别是0，0，0，共有1 个“吉祥数”；
当首位数字为4 时，则剩余三位数分别是1，0，0，共有3 个“吉祥数”；
当首位数字为3 时，则剩余三位数分别是1，1，0 或2，0，0，共有
个“吉祥数”；
当首位数字为2 时，剩余三位数分别是2，1，0 或3，0，0 或1，1，1，共有
个“吉祥数”；
当首位数字为1 时，则剩余三位数分别是3，1，0 或4，0，0 或1，1，2 或2，2，0，共有
个“吉祥数”，
则共有
个“吉祥数”．
故选：A．
6．（24-25 高三上·江苏苏州·期末）设等比数列
的前
项和为
，且
，则
（ ）
A．
B．2
C．2025
D．
2
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【答案】B
【分析】分
和
两种情况求解即可.
【详解】因为
，则
，
，
设等比数列
的公比为
，
当
时，
，整理得
，
即
，解得
（舍）或
，
若
，
，所以
；
当
时，
，解得
，所以
，
综上，
.
故选：B.
7．（2025·陕西榆林·二模）育德中学在3D 打印社团实践活动中，要将一个正方体放置在一个母线长为
2，底面半径为1 的圆锥内（忽略锥面厚度），使其能自由（任意方向）旋转，则该正方体棱长的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【分析】根据圆锥的内切球即为正方体的外接球计算求解即可.
【详解】如图1 所示，要使得正方体能在圆锥内自由旋转且该正方体的边长得到最大，
则该正方体的外接球为圆锥的内切球，设内切球的半径为
，圆锥的轴截面如图2 所示，
为正三角形且
，此时内切球的截面圆与
内切，
，设正方体边长为
，由图3 得，
，得
.
故选：C.
3
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8．（2025·四川德阳·二模）已知在平面直角坐标系
中，
，动点
满足
，点
为抛物线
上一动点，且点
在直线
上的投影为
，则
的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题干的条件即可求得
满足的轨迹方程为圆，再利用距离最小即
四
点共线时，即可求得最小值.
【详解】
因为
，动点
满足
，
设
，则
，两边同时平方整理得：
，
即点P 的轨迹是以
为圆心，以
为半径的圆；
因为点
在直线
上的投影为
，又抛物线上的点到焦点
的距离与到准线
的距离相等，
故
,
故
当且仅当
四点共线时，
取得最小值，
最小值为
,
故
，
故选：C
二、多选题
9．（23-24 高三下·西藏拉萨·期末）已知函数
（
，
，
）的部分图象
4
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如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．函数
的最小正周期是
，
，
B．函数
的对称中心为
C．函数
的图像可由函数
的图像向右平移
个单位长度得到
D．函数
的图像可由函数
的图像向右平移
个单位长度得到
【答案】BC
【分析】根据图象的最值、特殊点坐标、周期待定系数可求出解析式为
，故A 正确；B
项利用整体角求解对称中心可得；CD 项，根据平移分别求解函数解析式与
比较可得.
【详解】根据图象可得
，周期
，
又
，则
，所以
，
，
，则
，
解得
，因为
，则
，
所以函数的解析式为
，
A 项，函数
的最小正周期是
，
，
都正确，故A 正确；
B 项，由
，解得
，
.
得函数
的对称中心为
，
，故B 错误；
C 项，由函数
的图像向右平移
个单位长度得到
，
5
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即
，并非函数
，故C 错误；
D 项，由函数
的图像向右平移
个单位长度得到
，
即
，故D 正确.
故选：BC.
10．（24-25 高三上·山东济南·期末）已知函数
的定义域为
，且满足
，
则（ ）
A．
B．
C．
既是奇函数又是偶函数
D．
【答案】ABC
【分析】根据赋值法可求解AB，根据赋值法可得
，进而根据函数奇偶性的定义可判断C，由
，即可判断D.
【详解】令
，得
；令
，则
，得
，A 正确；
令
，则
，得
B 正确；
由于
，
令
，则
，令
，得
，令
，则
，所以
既是奇函数又是偶函数，且
，则
C 正确D 错误，
故选：ABC.
11．（2025·山西·一模）已知
，其中
，且
，
，若
恒成立，则（ ）
A．
B．
是
的极小值点
C．
在
上单调递减
D．
在
上单调递增
【答案】ABD
【分析】由
可得出
，变形得出
，令
，其中
，利用导数分析函数
的单调性与极值，可判断A 选项；利用导数分析函数
的单调性，可判断CD 选项；利用函数极
6
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值点与导数的关系可判断B 选项.
【详解】对于A 选项，由题
，
，
，
记
，其中
，
，
当
时，
；当
时，
，
故
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
又
，故
，故A 正确；
对于BCD 选项，
，则
，
记
，
，
当
时，
，即函数
在
上单调递减，
当
时，
，即函数
在
上单调递增，
又
，
，
当
或
时，
，
；
当
时，
，
，
故
在
、
上单调递增，在
上单调递减，
所以，
为函数
的极小值点，且函数
在
上不单调，故BD 正确C 错误.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：利用导数求函数极值的步骤如下：
（1）求函数
的定义域；
（2）求导；
（3）解方程
，当
；
（4）列表，分析函数的单调性，求极值：
①如果在
附近的左侧
，右侧
，那么
是极小值；
②如果在
附近的左侧
，右侧
，那么
是极大值.
三、填空题
12．（2025·四川内江·一模）若函数
为奇函数，则实数m 的值为 ．
【答案】2
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【分析】根据函数是定义在R 上的奇函数，应用
计算求参.
【详解】函数
为定义在R 上的奇函数,
所以
，所以
.
故答案为：2.
13．（24-25 高三上·浙江绍兴·期中）已知实数
，则
的最小值是
.
【答案】
【分析】表示
，再利用的代换解出最小值即可.
【详解】由题意可得
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，
则
的最小值是
.
故答案为：
14．（2025·辽宁·模拟预测）已知椭圆
的右焦点为
为
上两个不同的点，
（
为坐标原点），
，则
的离心率为 ．
【答案】
【分析】设
为
的左焦点，连接
，由
，可知四边形
为平行四边形，根据
已知条件结合平面向量数量积和三角形面积公式化简求得
，所以
，在
中，由余弦定理结合
求解即可.
【详解】如图，
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设
为
的左焦点，连接
，
由
，可知四边形
为平行四边形，
由
，得
，
整理得
，所以
，
．
设
，
，
，
在
中，由余弦定理得
，即
①，
又
②，所以由①②得
，
因为
，所以
，即
，
所以
，所以
．
故答案为：
.
（模式：4+2+1 满分：37 分 限时：25 分钟）
一、单选题
1．（2024·北京海淀·三模）已知直线
和圆
，则“
”是“存
在唯一k 使得直线l 与
相切”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先由
，点到直线距离公式列出方程，求出此时
，充分性成立；求出
所过定点，再由存在唯一k 使得直线l 与
相切”，得到
或定点在圆上，得到方
程，求出相应的答案，必要性不成立.
【详解】
时，
到
的距离为
，
故
，解得
，
满足存在唯一k 使得直线l 与
相切”，充分性成立，
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经过定点
，
若
，
，若
，此时直线
，
直线
与
相切，另一条切线斜率不存在，
故满足存在唯一k 使得直线l 与
相切”，
当
在
上，满足存在唯一k 使得直线l 与
相切，
故
，
又
，解得
，必要性不成立，
故“
”是“存在唯一k 使得直线l 与
相切”的充分不必要条件.
故选：A
2．（23-24 高三下·湖南·阶段练习）已知
，
，
，则
的最小
值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由两角和的余弦展开式化简可得
的值，再由两角和的正切展开式、基本不等式可得答
案.
【详解】由
，
得
，
因为
，
，所以
，且
，
，
当且仅当
取等号.
故选：C.
3．（2025·辽宁·模拟预测）如图，正方形
的边长为1，取正方形各边的四等分点
，得
到第2 个正方形
，再取正方形
各边的四等分点
，得到第3 个正方形
，依此方法一直进行下去，若从第
个正方形开始它的面积小于第1 个正方形面积的
，则
（ ）（参考数据：
）
10
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A．8
B．9
C．10
D．I1
【答案】C
【分析】易知正方形的边长成等比数列，其公比为
，设第
个正方形的面积为
，得到
，求得
，再由
求解.
【详解】由已知得正方形的边长成等比数列，第二个正方形的边长为
，
所以其公比为
．
设第
个正方形的面积为
，则
，
当
时，
，所以
，
由
，得
，
所以
，
即
，
所以
，所以
．
故选：C．
4．（2025·四川德阳·二模）在三棱锥
中，平面
平面
为等腰三角形，且
，
，则三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】取
的中点
，
的中点
，连接
，设三棱锥
的外接球的球心为
，过
作
交
延长线于点
，然后根据已知数据在
中可求出三棱锥
的外接球的半径，
从而可求出外接球的表面积.
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【详解】如图取
的中点
，
的中点
，连接
，则
，
因为
为等腰三角形，所以
,
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
因为
为直角三角形，且
，所以
为
的外心，
设三棱锥
的外接球的球心为
，则
平面
，
所以
‖
，
在等腰
中，
，
，
则
，
的外心在
外，
所以
，
在
中，
，则
，
所以
设三棱锥
的外接球的半径为
，则
，
过
作
交
延长线于点
，则
，
在
中，
，则
，解得
，
所以三棱锥
的外接球的表面积为
.
故选：A.
二、多选题
5．（24-25 高三上·安徽·阶段练习）样本数据
的平均数是
，方差是
，极差为
，则下
列判断正确的是（ ）
A．若
，则
的平均数为
B．若
，则
的方差为0
C．若
的极差是
，则
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D．若
，则这组数据的第75 百分位数是
【答案】AB
【分析】由平均数以及方差的性质即可判断AB，结合极差的定义，举出反例，即可判断C，由百分位数
的计算公式，即可判断D.
【详解】对于A，由原数据
的平均数
，
可得新数据
的平均数为
，
故A 正确；
对于B，由原数据
的方差是
，
可得新数据
的方差为
，
故B 正确；
对于C，若样本数据为
，则其极差为
，
此时数据
为
，则其极差
，
即
，故C 错误；
对于D，由
，所以数据的第75 百分位数是
，故D 错误；
故选：AB
6．（24-25 高三上·山东济南·期末）已知函数
与其导函数
的定义域均为R，且
为奇函数，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】A.由
为奇函数判断；BC.由
求导判断；D.由
还原
原函数判断.
【详解】解：因为
为奇函数，所以
所以
A 正确；
由A 可知，求导数
所以
关于直线
对称，
又
所以
即
故B 错误，C 正确
因为
所以
所以
D 错误.
故选：AC
三、填空题
13
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7．（24-25 高三上·广西·期中）已知函数
，过点
可作2 条与曲线
相切的直线，
则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】求出切线方程为
，代入点
的坐标化简可得
，设
，依题意，直线
与
的图象有两个交点，利用导数研究函数
的性质，
进而作出草图，结合图象即可得解．
【详解】
，设切点为
，
则切线方程为
，
将点
代入切线方程得，
，化简得
，
设
，则
，
令
，解得
，令
，解得
或
，
在
，
上单调递减，在
上单调递增，且
，
作出函数
的大致图象如下图所示，
由图象可知，要使直线
与
的图象有两个交点，则
，
故答案为：
．
【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义，分别写出两曲线的切线方程，让两切线方程的系数相等，得到
方程组，消去一个变量后，问题转化为方程的根的个数问题，构造函数，利用导数研究其性质，作出图象，
数形结合求解即可．
（模式：1+1+1 满分：16 分 限时：15 分钟）
一、单选题
1．（2025·辽宁·模拟预测）已知
为双曲线
的右顶点，
为
上一点，
关于
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轴的对称点为
，
，
，
的面积为
，则
的焦距为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先设
，再根据平行得出斜率，进而应用面积计算得
，最后点在双曲线上得出
，
计算得出
即可.
【详解】因为
，所以点
在
的右支上，由对称性设
在第一象限，
设
，
，
，则
，由
，
，
得
解得
所以
，所以
，即
，
因为
在
的右支上，所以
，
所以
，
设
的半焦距为
，则
，即
，所以焦距为
．
故选:D．
二、多选题
2．（2025·四川内江·一模）函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
在
上是增函数
B．当
时，
在
处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
C．
在
上为减函数，则
D．当
时，
有且只有一个零点，则
15
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【答案】BD
【分析】根据导数正负得出单调区间判断A，应用单调性应用导数判断求参判断C，根据切线计算判断
B，根据零点个数转化为函数交点个数结合导数计算求参判断D.
【详解】函数
，则
，
对于A：当
时，
，
单调递增，
,所以
在
单调递减，A 选项错误；
对于B：
，所以
在
处的切线为
，
令
当
时，
，
切线与坐标轴围成的三角形的面积为
，B 选项正确；
对于C：
在
上为减函数，则
恒成立，则
恒成立，
令
，
当
单调递减，当
单调递增，
所以
，所以
，所以
，C 选项错误；
对于D：当
时，因为
有且只有一个零点，所以
有且只有一个零点，
所以
，
所以
只有一个零点，所以
只有一个根，
令
，
令
，所以
单调递增，
所以
单调递减；
单调递增；所以
，所以
，
当
时，
，所以
只有一个根，所以
，
16
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因为
所以
，所以
，D 选项正确.
故选：BD.
【点睛】方法点睛：函数的零点可以转化为两个函数的交点，进而根据导函数得出函数的单调性结合零点
存在定理判断即可.
三、填空题
3．（2025·四川德阳·二模）若关于
的方程
在区间
上有且仅有一个实
数解，则实数
．
【答案】
【分析】应用二倍角正余弦公式整理化简得
在区间
上有且仅有一个实数解，
再应用对勾函数性质求参数值.
【详解】由
，
所以
，
整理得
，
所以
，而
，则
，
故
，结合对勾函数的性质，
在
上
单调递增且值域为
，
在
上
单调递减且值域为
，
要使
在区间
上有且仅有一个实数解，
只需
时，此时
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：应用三角恒等变换将方程转化为
是关键.
17
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