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微专题04 数列的性质、蛛网图、最值问题、恒成立问题、插
项问题、公共项问题、规律问题、奇偶问题
【秒杀总结】
1、数列的周期性，此类问题的解法是由定义求出数列的前几项，然后归纳出周期性.
2、函数与数列的综合问题，解决该问题应该注意的事项：
(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；
(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视
的问题；
(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转
化.
3、证明数列
单调性的方法：根据
与的关系判断出数列的单调性（当
恒为正或者负
时，可以考虑利用
与的大小关系判断数列单调性）.
4、当出现与年份有关的数列选择题，题目本身难度比较大的时候，比如，出现2019、2020、2021 类
似这样的数字，我们完全可以通过逐个分析选项，通过选项找规律后判断是否符合题意，来决定哪个选项
正确.比如求
，可以令
，将选项中的所有数字用
来表示，然后通过
来验证哪个选项
正确.如果题目问的是
之类的偶数年份，最好是通过
这样的偶数项来验证.
【典型例题】
例1．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考期中）已知数列
满足
（
，
为自然对数的底数），且对任意的
都存在
，使得
成立，则数列
的首项
须满
足（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．（2024·全国·模拟预测）定义：满足
为常数，
）的数列
称为二阶等比
数列，
为二阶公比.已知二阶等比数列
的二阶公比为
，则使得
成立的最
小正整数
为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
例3．（2024·湖北武汉·统考模拟预测）法布里-贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次
透过
层薄膜，记光波的初始功率为
，记
为光波经过第
层薄膜后的功率，假设在经过第
层薄膜时
光波的透过率
，其中
，2，3…
，为使得
，则
的最大值为（ ）
A．31
B．32
C．63
D．64
1
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例4．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640 年提出了
以下猜想：
是质数．直到1732 年才被善于计算的大数学家欧拉算出
，不是质数．现设
，数列
的前
项和为
，则使不等式
成立的正整数
的最大值为（ ）
A．11
B．10
C．9
D．8
例5．（2024·全国·模拟预测）已知
，
，
，数列
与数列
的公共项按
从大到小的顺序排列组成一个新数列
，则数列
的前99 项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
例6．（2024·广东广州·华南师大附中校考一模）在数列
中的相邻两项
与
之间插入一个
首项为
，公差为
的等差数列的前
项，记构成的新数列为
，若
，则
前65 项的
和为（ ）
A．
B．-13
C．
D．-14
例7．（2024·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，
后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是
指一个正整数，如果是奇数就乘以3 再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1.对任
意正整数
，按照上述规则实施第
次运算的结果为
，若
，且
均不为1，则
（ ）
A．5 或16
B．5 或32
C．5 或16 或4
D．5 或32 或4
例8．（2024·陕西安康·陕西省安康中学统考模拟预测）已知数列
的首项为，
，则数列
的前2023 项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
例9．（2024·江西·金溪一中校联考模拟预测）如图，有一列曲线
，
，
，…已知
所围成的图形是
面积为1 的等边三角形，
是对
进行如下操作得到：将
的每条边三等分，以每边中间部分的线段为
边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（
，1，2，…）。记
为曲线
所围成图形的面
2
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积。则数列
的通项公式
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·全国·校联考模拟预测）已知等差数列
满足
，记数列
的前
项和为
，则当
有最大值（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）等差数列
中的
，
是函数
的极值
点，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．
3．（2024·广东深圳·统考一模）已知数列
满足
，
，若
为数
列
的前
项和，则
（ ）
A．624
B．625
C．626
D．650
4．（2024·湖南岳阳·统考一模）已知两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200，将这两个等差数
列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列
，则数列
的各项之和为（ ）
A．1666
B．1654
C．1472
D．1460
5．（2024·海南·校联考模拟预测）“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主
要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中的一大瑰宝.已知“大衍数列”的前10 项
分别为
，据此可以推测，该数列的第15 项与第60 项的和为（ ）
A．1012
B．1016
C．1912
D．1916
6．（2024·江西宜春·校联考模拟预测）图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由
如图
所示的一连串直角三角形演化而成的，其中
，如果把图
中的直角三
角形继续作下去，记
，
，
，
的长度构成的数列为
，则
（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
7．（2024·浙江温州·温州中学模拟预测）已知数列
满足
，
，给出下列三个
结论：①不存在a，使得数列
单调递减；②对任意的a，不等式
对所有的
恒成立；
③当
时，存在常数C，使得
对所有的
都成立．其中正确的是（ ）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
8．（2024·浙江绍兴·浙江省新昌中学校考模拟预测）设等差数列
的前n 项和为
，首项
，公差
，若对任意的
，总存在
，使
．则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2024·浙江·统考二模）已知
为非常数数列且
，
，
，下列命题正确的是（ ）
A．对任意的
，
，数列
为单调递增数列
B．对任意的正数
，存在
，
，
，当
时，
C．存在
，
，使得数列
的周期为2
D．存在
，
，使得
10．（2024·浙江绍兴·高三校考阶段练习）已知数列
，
，下列说法正确
的是（ ）
A．对任意的
，存在
，使数列
是递增数列；
B．对任意的
，存在
，使数列
不单调；
C．对任意的
，存在
，使数列
具有周期性；
D．对任意的
，当
时，存在
.
11．（2024·浙江·高三专题练习）已知函数
，且对任意的实数x，
4
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恒成立.若存在实数
，
，…，
（
），使得
成立，则n
的最大值为（ ）
A．25
B．26
C．28
D．31
12．（2024·浙江舟山·舟山中学校考模拟预测）设数列
满足
对任意的
恒成立，
则下列说法正确的是（ ）
A．
B．数列
单调递增
C．存在正整数M，当
时，
恒成立
D．存在正整数M，当
时，
恒成立
13．（2024·浙江·高二平湖市当湖高级中学校联考期中）已知数列
满足
，若不等式
对任意的
都成立，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（2024·浙江绍兴·校考模拟预测）已知正项数列
满足
，
，则
（ ）
A．对任意的
，都有
B．对任意的
，都有
C．存在
，使得
D．对任意的
，都有
15．（2024·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五
十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，
曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．已知数列
满足：
，记
，
，则数列
的前
项和是（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2024·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知数列
满足：
.则
5
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的前60 项的和为（ ）
A．1240
B．1830
C．2520
D．2760
17．（2024·河南驻马店·高三校联考阶段练习）数列
满足
，则数列
的前60 项
和等于（ ）
A．1830
B．1820
C．1810
D．1800
18．（2024·安徽六安·高三安徽省金寨第一中学期末）已知数列
满足
为正整数，
，则下列选项正确的是（）
A．若
，则
B．若
，则
所有可能取值的集合为
C．若
，则
D．若
，
为正整数，则
的前
项和为
19．（2024·重庆·高二重庆八中校考期末）已知数列
满足
，且
，记数
列
的前
项和为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
20．（2024·山西临汾·统考一模）已知数列
满足：
，设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
21．（2024·重庆·高三统考阶段练习）已知数列
满足
，
，记
，则有
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
22．（2024·浙江金华·高三期末）已知
为非常数数列且
，
，
，则（ ）
A．对任意的
，数列
为单调递增数列
6
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B．对任意的正数
，存在
，当
时，
C．不存在
，使得数列
的周期为
D．不存在
，使得
23．（2024·云南保山·高三统考期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3 再加上1；若是偶数，就
将该数除以2，反复进行上述两种计算，经过有限步后，必进入循环
.这就是数学史上著名的
“冰雹猜想”.事实上“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列
满足：
（
为正整数），
，若
，则
的值可以是（ ）
A．12
B．13
C．40
D．80
24．（2024·江苏无锡·高二无锡市第一中学校考期末）斐波那契数列由意大利数学家斐波那契发现，因以
兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列在很多方面都与大自然神奇地契合，小到
向日葵、松果、海螺的生长过程，大到海浪、飓风、宇宙系演变，皆有斐波那契数列的身影，充分展示了
“数学之美”．斐波那契数列用递推的方式可定义如下：数列
满足：
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
是奇数
25．（2024·全国·高三专题练习）意大利人斐波那契于1202 年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：
1，1，2，3，5，8，13，….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这一列数
称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列
说法正确的是（ ）
A．
B．
是奇数
C．
D．
26．（2024·河南·统考模拟预测）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，
主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过
的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，….记大衍数列
7
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的前
项和为
，其通项公式
.则（ ）
参考公式：
A．
是数列
中的项
B．
C．
D．
27．（2024·湖南长沙·高三长郡中学校考期末）欧拉函数
的函数值等于所有不超过正整数
，
且与
互质的正整数的个数（公约数只有1 的两个正整数称为互质整数），例如：
，
，则
（ ）
A．
B．当n 为奇数时，
C．数列
为等比数列
D．数列
的前
项和小于
28．（2024·重庆·统考模拟预测）已知数列
满足
，
，
，记数列
的前
项和为
，若存在正整数
，
，使得
，则
的值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
三、填空题
29．（2024·全国·模拟预测）已知等比数列
的前
项和为
，且
，
，若关于
的不等式
对
恒成立，则实数的最大值为 ．
30．（2024·全国·模拟预测）已知数列
满足
，若
对
恒成立，则
的取值
范围为 .
31．（2024·全国·模拟预测）已知等比数列
的前
项和为
，若对任意的
，
，
恒成立，则实数
的取值范围为 ．
32．（2024·全国·模拟预测）已知数列
的通项公式为
.若对于任意
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围为 .
33．（2024·全国·模拟预测）已知数列
的前n 项和
满足
，
，且
，若数列
的通项公式为
，将数列
与
的公共项按从小到大的顺序排列得到数列
，则
的
8
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前n 项和为 ．
34．（2024·全国·模拟预测）已知
，数列
为
，规律
是在
和
中间插入
项，所有插入的项构成以3 为首项，2 为公差的等差数列
，则数列
的前30
项和为 ．
35．（2024·重庆·校联考一模）数学家康托（
）在线段上构造了一个不可数点集——康托三分集.将
闭区间
均分为三段，去掉中间的区间段
，余下的区间段长度为
；再将余下的两个区间
，
分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，余下的区间段长度为
.以此类推，不断地将余下各个
区间均分为三段，并各自去掉中间的区间段.重复这一过程，余下的区间集合即为康托三分集，记数列
表示第
次操作后余下的区间段长度.
（1）
；
（2）若
，都有
恒成立，则实数
的取值范围是 .
36．（2024·上海金山·统考一模）设
是由正整数组成且项数为
的增数列，已知
，
，数
列
任意相邻两项的差的绝对值不超过1，若对于
中任意序数不同的两项
和
，在剩下的项中总
存在序数不同的两项
和
，使得
，则
的最小值为 .
37．（2024·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）已知数列
满足
，且
，
为数列
的前
项和，则
，
.
9
