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微专题04 数列的性质、蛛网图、最值问题、恒成立问题、插
项问题、公共项问题、规律问题、奇偶问题
【秒杀总结】
1、数列的周期性，此类问题的解法是由定义求出数列的前几项，然后归纳出周期性.
2、函数与数列的综合问题，解决该问题应该注意的事项：
(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；
(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视
的问题；
(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转
化.
3、证明数列
单调性的方法：根据
与的关系判断出数列的单调性（当
恒为正或者负
时，可以考虑利用
与的大小关系判断数列单调性）.
4、当出现与年份有关的数列选择题，题目本身难度比较大的时候，比如，出现2019、2020、2021 类
似这样的数字，我们完全可以通过逐个分析选项，通过选项找规律后判断是否符合题意，来决定哪个选项
正确.比如求
，可以令
，将选项中的所有数字用
来表示，然后通过
来验证哪个选项
正确.如果题目问的是
之类的偶数年份，最好是通过
这样的偶数项来验证.
【典型例题】
例1．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考期中）已知数列
满足
（
，
为自然对数的底数），且对任意的
都存在
，使得
成立，则数列
的首项
须满
足（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
，令
，得到
.
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
故
，即
（当且仅当时
取等号）.
故
（当且仅当时
取等号）.
即
.要使对任意的
都存在
，使得
成立，
显然
时，
，一定能满足题意；
1
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当
时，
，如图此时不满足题意；
当
时，
，如图此时满足题意；
综上，
.
故选：C
例2．（2024·全国·模拟预测）定义：满足
为常数，
）的数列
称为二阶等比
数列，
为二阶公比.已知二阶等比数列
的二阶公比为
，则使得
成立的最
小正整数
为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
【答案】B
【解析】由题意知二阶等比数列
的二阶公比为
，则
，
故
，
将以上各式累乘得：
，
故
，令
，由于
，
故
，即
，
又
的值随n 的增大而增大，且
，
当
时，
，
当
时，
，
故n 的最小值为8，
2
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故选：B
例3．（2024·湖北武汉·统考模拟预测）法布里-贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次
透过
层薄膜，记光波的初始功率为
，记
为光波经过第
层薄膜后的功率，假设在经过第
层薄膜时
光波的透过率
，其中
，2，3…
，为使得
，则
的最大值为（ ）
A．31
B．32
C．63
D．64
【答案】C
【解析】由题意
，所以
，
所以
，即
，
显然
关于
单调递增，其中
，
又
，所以
的最大值为63.
故选：C.
例4．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640 年提出了
以下猜想：
是质数．直到1732 年才被善于计算的大数学家欧拉算出
，不是质数．现设
，数列
的前
项和为
，则使不等式
成立的正整数
的最大值为（ ）
A．11
B．10
C．9
D．8
【答案】B
【解析】依题意，
，
，
则
，
则
，即
，而
，解得
，
所以满足条件的正整数
的最大值为
.
故选：B
例5．（2024·全国·模拟预测）已知
，
，
，数列
与数列
的公共项按
从大到小的顺序排列组成一个新数列
，则数列
的前99 项和为（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为数列
是正奇数数列，对于数列
，当
为奇数时，设
，则
，为奇数；当
为偶数时，设
，则
，为
偶数，所以
，
，
所以
，
故选：D．
例6．（2024·广东广州·华南师大附中校考一模）在数列
中的相邻两项
与
之间插入一个
首项为
，公差为
的等差数列的前
项，记构成的新数列为
，若
，则
前65 项的
和为（ ）
A．
B．-13
C．
D．-14
【答案】A
【解析】数列
为：
，
，
设
及其后面
项的和为
，则
，
所以数列
是以1 为首项，公差为
的等差数列.
所以
前65 项的和为
，
故选：A.
例7．（2024·河南·河南省内乡县高级中学校考模拟预测）“角谷猜想”首先流传于美国，不久便传到欧洲，
后来一位名叫角谷静夫的日本人又把它带到亚洲，因而人们就顺势把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是
指一个正整数，如果是奇数就乘以3 再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次运算，最终回到1.对任
意正整数
，按照上述规则实施第
次运算的结果为
，若
，且
均不为1，则
（ ）
4
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A．5 或16
B．5 或32
C．5 或16 或4
D．5 或32 或4
【答案】B
【解析】由题知
，因为
，则有：
若
为奇数，则
，得
，不合题意，所以
为偶数，则
；
若
为奇数，则
，得
，不合题意，所以
为偶数，
；
若
为奇数，则
，得
，不合题意，所以
为偶数，且
；
若
为奇数，则
，得
，不合题意，所以
为偶数，且
；
若
为奇数，则
，可得
；若
为偶数，则
.
综上所述：
或32.
故选：B
例8．（2024·陕西安康·陕西省安康中学统考模拟预测）已知数列
的首项为，
，则数列
的前2023 项和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】当
为奇数时，
，
，
，
，
当
为偶数时，
，
，
，
，
∴
，
，
当
，
时，
，
，
∴
，
，即
为奇数时，数列
是常数列，
，
∴当
为奇数时，
；
又∵当
为偶数时，
为奇数，
，∴
，
5
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综上所述，数列
的通项公式为
.
∴数列
的通项公式为
，其前
项和
为，
，①
①
，得
，②
①
②，得
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
.
故选：A.
例9．（2024·江西·金溪一中校联考模拟预测）如图，有一列曲线
，
，
，…已知
所围成的图形是
面积为1 的等边三角形，
是对
进行如下操作得到：将
的每条边三等分，以每边中间部分的线段为
边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（
，1，2，…）。记
为曲线
所围成图形的面
积。则数列
的通项公式
【答案】
【解析】设
图形的边长为
，由题意可知，
，边数是3；
根据图形规律，
图形边长为
，边数为
每一条边都扩大4 倍，即
；
图形边长为
，边数为
；
以此类推，
图形边长为
，边数为
；
6
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图形边长为
，边数为
；
而根据图形规律可知曲线
所围成图形的面积
等于曲线
所围成的面积加上每一条边增加的小等边三
角形的面积，
每一个边增加的小等边三角形面积为
，
则
，整理后得
，
又
图形的面积
，
由累加法可知，
，
，……，
，
得
，
故答案为：
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·全国·校联考模拟预测）已知等差数列
满足
，记数列
的前
项和为
，则当
有最大值（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设等差数列
的公差为
，由
，得
，解得
，
则
，
，数列
是首项为正数的递减数列，
由
，即
，解得
，
即
，
，于是
，而
，
因此
，且
，
，
则
，
，
，
，
又
，
7
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所以
中
最大，即当
时，
取得最大值.
故选：A
2．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）等差数列
中的
，
是函数
的极值
点，则
（ ）
A．
B．
C．3
D．
【答案】A
【解析】由
求导得：
，
有
，即
有两个不等实根
，
显然
是
的变号零点，即函数
的两个极值点，
依题意，
，在等差数列
中，
，
所以
.
故选：A
3．（2024·广东深圳·统考一模）已知数列
满足
，
，若
为数
列
的前
项和，则
（ ）
A．624
B．625
C．626
D．650
【答案】C
【解析】数列
中，
，
，
当
时，
，即数列
的奇数项构成等差数列，其首项为1，公差为2，
则
，
当
时，
，即数列
的偶数项构成等比数列，其首项为1，公比为
，
则
，
所以
.
故选：C
4．（2024·湖南岳阳·统考一模）已知两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200，将这两个等差数
列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列
，则数列
的各项之和为（ ）
8
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A．1666
B．1654
C．1472
D．1460
【答案】A
【解析】有两个等差数列2，6，10，…及2，8，14，…，200，
由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列：
2，14，26，38，50，…，182，194，共有
项，是公差为12 的等差数列，
故新数列前17 项的和为
，
即数列
的各项之和为1666.
故选：A.
5．（2024·海南·校联考模拟预测）“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主
要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，是中华传统文化中的一大瑰宝.已知“大衍数列”的前10 项
分别为
，据此可以推测，该数列的第15 项与第60 项的和为（ ）
A．1012
B．1016
C．1912
D．1916
【答案】C
【解析】观察此数列，偶数项为
，可得此时满足
，
奇数项为
，可得
，
所以
，
，则
，
所以
.
故选：C.
6．（2024·江西宜春·校联考模拟预测）图是第七届国际数学教育大会的会徽图案，会徽的主体图案是由
如图
所示的一连串直角三角形演化而成的，其中
，如果把图
中的直角三
角形继续作下去，记
，
，
，
的长度构成的数列为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意知，
，
，
，
，
，
都是直角三角形，
9
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，且
，故
，
数列
是以为首项，为公差的等差数列，
．
又
，
，
数列
的通项公式为
，
，
故选：C．
7．（2024·浙江温州·温州中学模拟预测）已知数列
满足
，
，给出下列三个
结论：①不存在a，使得数列
单调递减；②对任意的a，不等式
对所有的
恒成立；
③当
时，存在常数C，使得
对所有的
都成立．其中正确的是（ ）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
【答案】A
【解析】由
，
可得
，则
，
，
则
，都有数列
单调递增，故①正确；
由
可得
，又数列
单调递增，则
，
则
，即
，②正确；
由
可得
，则
，
，
，
，将以上等式相加得
，
又
，
单调递增，则
，又由
可得
，
又
，则
，即
，则
，设
，
，易得
，当
时，
，
10
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则
，
，故不存在常数C，使得
对所有的
都成立，故③错误.
故选：A.
8．（2024·浙江绍兴·浙江省新昌中学校考模拟预测）设等差数列
的前n 项和为
，首项
，公差
，若对任意的
，总存在
，使
．则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得
则得
，即
，
令
得
，即
①，即得
.
因为首项
，公差
，则得
，即
.
又因为
，所以
，代入①得
.
当
时，由
得
即
，所以
即
因此当
或11 时，
的最小值为
.
故选：C
9．（2024·浙江·统考二模）已知
为非常数数列且
，
，
，下列命题正确的是（ ）
A．对任意的
，
，数列
为单调递增数列
B．对任意的正数
，存在
，
，
，当
时，
C．存在
，
，使得数列
的周期为2
D．存在
，
，使得
【答案】B
【解析】当
时：
恒成立.此时数列
为单调递减数列.A 错误.
令
，记
，
，则
，
.
11
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，令
，取
则
在
上单调递增.
令
或
.
如图所示：在区间
内总能找到一个
，使得
的极限为1.B 正确.
假设存在
，
，使得数列
的周期为2，即
.
则
②-①：
，又
.
化简得：
.
记
,
恒成立.
故
在
上单调递增.
要使
，
则需
.与
为非常数数列矛盾.C 错误.
因为
所以
则
.
不存在
，
，使得
.D 错误.
10．（2024·浙江绍兴·高三校考阶段练习）已知数列
，
，下列说法正确
的是（ ）
A．对任意的
，存在
，使数列
是递增数列；
B．对任意的
，存在
，使数列
不单调；
12
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C．对任意的
，存在
，使数列
具有周期性；
D．对任意的
，当
时，存在
.
【答案】C
【解析】A 选项，要想保证数列
是递增数列，则必有
，其中
，因为
，所以当
或2 时，
取得最大值，
此时为
，故
，解得：
，而
，不合题意，故A 错误；因为
，
，所以
，
数列
是递增数列，故B 错误；
令
，令
，解得：
，
，即
，
为其不动点，因为
，所以
，
，令
得：
，
，且
，从蛛网模型可以看出，
当
时，随着
的增大，
趋向于不动点
或不动点
或变为周期数列，且此时数列的值均在A 点的左边，故对任意的
，当
时，均有
，C 选项正确，D 选项错误.
故选：C
13
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11．（2024·浙江·高三专题练习）已知函数
，且对任意的实数x，
恒成立.若存在实数
，
，…，
（
），使得
成立，则n
的最大值为（ ）
A．25
B．26
C．28
D．31
【答案】B
【解析】由题意得
，
，所以
解得
所以
.
令
，若
，则
.
令
，
，故
，即当
时，
.存在
，
，…，
（
）使得
成立，即存在
，
，…，
（
），使得
，由
时，
的最小值为2，最大值为51，得
，得
，又
，所以可得n 的最大值为26.
故选：B.
12．（2024·浙江舟山·舟山中学校考模拟预测）设数列
满足
对任意的
恒成立，
则下列说法正确的是（ ）
A．
B．数列
单调递增
C．存在正整数M，当
时，
恒成立
D．存在正整数M，当
时，
恒成立
【答案】D
【解析】
令
，则
，
对A：反例：
，
，
满足
此时
，
，
，故A 错误；
14
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对B：反例：
，
，
满足
，
此时，
，
，
，数列
不是单调递增数列.
对C：反例：
，
满足条件.
但对任意的
有
，
因此不存在正整数M，当
时，
恒成立.
对D：当
时，
因此
，
即
因此存在正整数
，
当
时，
恒成立，故D 正确.
故选：D
13．（2024·浙江·高二平湖市当湖高级中学校联考期中）已知数列
满足
，若不等式
对任意的
都成立，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由数列
满足
，
可得
，易知
，
15
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因为
，
所以
，
所以
，
因为
，
所以
是首项为2，公差为1 的等差数列，
所以
，
所以
且
，
因为不等式
恒成立，
所以整理得
恒成立，
因为
，当且仅当
时取等号，
舍去.
当
时，
；当
时，
，
所以
，
即实数
的取值范围是
，
故选：A.
14．（2024·浙江绍兴·校考模拟预测）已知正项数列
满足
，
，则
（ ）
A．对任意的
，都有
B．对任意的
，都有
C．存在
，使得
D．对任意的
，都有
16
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【答案】D
【解析】因为
，
，不妨令
，则
，即
，故AB 错误；
，构造
，则
，当
，
，
单增，当
时，
，
单减，故
，即
，所
以
，即
，因为
，所以
，累乘法可得
，即
，也即
.故C 错误，D 正确.
故选：D
15．（2024·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五
十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，
曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．已知数列
满足：
，记
，
，则数列
的前
项和是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
，
，
数列
是以为周期的周期数列，
又
，
，
，
的前
项和为
.
故选：C.
16．（2024·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知数列
满足：
.则
的前60 项的和为（ ）
17
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A．1240
B．1830
C．2520
D．2760
【答案】D
【解析】由
，
故
，
，
，
，….
故
，
，
，….
从第一项开始，依次取2 个相邻奇数项的和都等于3；
，
，
，….
从第二项开始，依次取2 个相邻偶数项的和构成以13 为首项，以24 为公差的等差数列.
故
.
故选：D.
17．（2024·河南驻马店·高三校联考阶段练习）数列
满足
，则数列
的前60 项
和等于（ ）
A．1830
B．1820
C．1810
D．1800
【答案】D
【解析】当
为正奇数时，由题意可得
，
，
两式相加得
；
当
为正偶数时，由题意可得
，
，
两式相减得
.
因此，数列
的前
项和为
.
故选：D.
18．（2024·安徽六安·高三安徽省金寨第一中学期末）已知数列
满足
为正整数，
，则下列选项正确的是（）
A．若
，则
B．若
，则
所有可能取值的集合为
C．若
，则
D．若
，
为正整数，则
的前
项和为
【答案】C
18
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【解析】A 选项，若
，则
，
，
，
，
，
，
，
，故A 不正确；
B 选项，若
，则
，
或
当
时，
，
，
，或
，
，
；
当
时，
，
，
，
或
，
，
，或
，
，
，
或
，
，
，
故
所有可能取值的集合为
，故B 不正确；
C 选项，若
，则
，
，
，
，
，
，
，
，
，
所以
从第项开始为周期数列，且周期为，
则
，
，故
，C 正确；
D 选项，若
，则
，
，
，
，
，
所以
的前
项和为
，故D 不正确．
故选：C
19．（2024·重庆·高二重庆八中校考期末）已知数列
满足
，且
，记数
列
的前
项和为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【解析】
，当
时，
，
，
两式相减得，
，
所以
的奇数项是以
为首项，4 为公差的等差数列，
，
当
时，
，
，两式相减得，
，
所以
的偶数项是以5 为首项，
为公差的等差数列，
；
所以
，
，
19
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设
，则
，
所以
，则
.
故选：A
20．（2024·山西临汾·统考一模）已知数列
满足：
，设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为数列
满足：
，且
，
对任意的
，
为偶数，则
，
所以，
，所以，
.
故选：A.
21．（2024·重庆·高三统考阶段练习）已知数列
满足
，
，记
，则有
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A 项，由已知可得
，故A 项错误；
对于B 项，由已知可得，
，
，故B 错误；
对于C 项，由已知可得，
，
，
即
，所以
.故C 项错误；
对于D 项，因为
，
，
所以，
是以3 为首项，4 为公差的等差数列，
所以，
.故D 正确.
故选：D.
20
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二、多选题
22．（2024·浙江金华·高三期末）已知
为非常数数列且
，
，
，则（ ）
A．对任意的
，数列
为单调递增数列
B．对任意的正数
，存在
，当
时，
C．不存在
，使得数列
的周期为
D．不存在
，使得
【答案】BCD
【解析】对于A，当
时，
，此时
为单调递减数列，A 错误；
对于B，令
，令
，
，则
；
，令
，则
，可取
，
当
时，
，
在
上单调递增；
令
，解得：
或
，
如图所示，在区间
内，总能找到一个
，使得
的极限为，B 正确；
对于C，假设存在
，使得数列
的周期为
，则
；
，
，
，即
；
令
，则
，
在
上单调递增，
则由
得：
，即
为常数列，与已知矛盾，
21
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假设错误，即不存在
，使得数列
的周期为
，C 正确；
对于D，
，
，
不存在
，使得
，D 正确.
故选：BCD.
23．（2024·云南保山·高三统考期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3 再加上1；若是偶数，就
将该数除以2，反复进行上述两种计算，经过有限步后，必进入循环
.这就是数学史上著名的
“冰雹猜想”.事实上“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列
满足：
（
为正整数），
，若
，则
的值可以是（ ）
A．12
B．13
C．40
D．80
【答案】ABD
【解析】由题意知：因为
，若
为偶数，则
，解得
，（满足），
若
为奇数，则
，解得
，（舍去）；
由
，若
为偶数，则
，解得
，（满足），
若
为奇数，则
，解得
，（满足）；
由
，若
为偶数，则
，解得
，（满足），
若
为奇数，则
，解得
，（舍去）；
由
，若
为偶数，则
，解得
，（满足），
若
为奇数，则
，解得
，（舍去）；
由
，若
为偶数，则
，解得
，（满足），故D 正确；
若
为奇数，则
，解得
，（满足）；故B 正确；
由
，若
为偶数，则
，解得
，（满足），故A 正确；
若
为奇数，则
，解得
，（舍去）；
22
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故选：ABD.
24．（2024·江苏无锡·高二无锡市第一中学校考期末）斐波那契数列由意大利数学家斐波那契发现，因以
兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”．斐波那契数列在很多方面都与大自然神奇地契合，小到
向日葵、松果、海螺的生长过程，大到海浪、飓风、宇宙系演变，皆有斐波那契数列的身影，充分展示了
“数学之美”．斐波那契数列用递推的方式可定义如下：数列
满足：
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
是奇数
【答案】ACD
【解析】对A：由
，可得
，
即有
，故A 正确；
对于B：由题意
，
，
，
，
以上式子累加得：
，故B 不正确；
对于C：因为
，则
，
则
，故C 正确；
对于D：根据通项公式可得斐波那契数列为
，
3 的倍数项为偶数，其他项为奇数，下面用数学归纳法证明：
①当
，2，3 时，
，
，满足规律，
②假设当
，
，
时满足
为偶数，
，
为奇数，
③当
，
，
时，
，因为
，
为奇数，所以
为偶数，
，因为
为奇数，
为偶数，所以
为奇数，
，因为
为奇数，
为偶数，所以
为奇数，
故3 的倍数项为偶数，其他项为奇数得证，
2024 项是非3 的倍数项，故D 正确；
故选：ACD
25．（2024·全国·高三专题练习）意大利人斐波那契于1202 年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：
1，1，2，3，5，8，13，….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和．后人为了纪念他，就把这一列数
23
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称为斐波那契数列．下面关于斐波那契数列
说法正确的是（ ）
A．
B．
是奇数
C．
D．
【答案】AD
【解析】由已知得数列
满足递推关系
.
选项A：
，A 正确；
选项B：观察数列可知，数列每三项都是奇、奇、偶重复循环，2022＝674×3，恰好能被3 整除，且
为偶
数，所以
也为偶数，故B 错误；
选项C：若选项C 正确，又
，则
，
同理
，依次类推，可得
，显然错误，故C 错误；
选项D：
，
所以
，故D 正确．
故选：AD．
26．（2024·河南·统考模拟预测）大衍数列，来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，
主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，大衍数列中的每一项都代表太极衍生过程中，曾经经历过
的两仪数量的总和.大衍数列从第一项起依次为0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，….记大衍数列
的前
项和为
，其通项公式
.则（ ）
参考公式：
A．
是数列
中的项
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】对A：当
为偶数时，
，解得
，不符题意；
当
为奇数时，
，解得
，符合题意，故A 正确；
24
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对B：
，故B 正确；
对C：由题意知
，
所以
，故C 错误；
对D：
故D 正确；
故选：ABD.
27．（2024·湖南长沙·高三长郡中学校考期末）欧拉函数
的函数值等于所有不超过正整数
，
且与
互质的正整数的个数（公约数只有1 的两个正整数称为互质整数），例如：
，
，则
（ ）
A．
B．当n 为奇数时，
C．数列
为等比数列
D．数列
的前
项和小于
【答案】ACD
【解析】对于A，因为
，
，
，所以
，故A 正确；
对于B，由于
，故B 错误；
对于C，因为小于
的所有正奇数与
均互质，且小于
的所有正奇数有
个，
所以
，因此数列
为等比数列，故C 正确；
对于D，同理小于
的所有3 的倍数与
均不互质，共有
个，
因此小于
的所有与
互质的数共有
个，即
，
所以
，令
，
25
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则
，故D 正确，
故选：ACD.
28．（2024·重庆·统考模拟预测）已知数列
满足
，
，
，记数列
的前
项和为
，若存在正整数
，
，使得
，则
的值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】AB
【解析】由题意数列
满足
，
，
，
可得数列的奇数项构成以1 为首项，2 为公差的等差数列，
偶数项构成以2 为首项，3 为公比的等比数列，
故
，
所以
，
故
，
，
故
，
由
可知
都大于3，
所以
只能是
其中之一，
若
，即
，即
，无解；
若
，即
，
26
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若
，即
，
故选：AB
三、填空题
29．（2024·全国·模拟预测）已知等比数列
的前
项和为
，且
，
，若关于
的不等式
对
恒成立，则实数的最大值为 ．
【答案】
【解析】设等比数列
的公比为
，显然
，
则
，
，
解得
，
，
，
，
关于
的不等式
对任意的
恒成立，
即
对任意的
恒成立，
即
对任意的
恒成立，
.
（解法一）设
，
，
则
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
，
，
；
（解法二）
，
当且仅当
，即
时等号成立，
又
，
当
或
时，
取得最小值24，
故
，
.
故答案为：
.
30．（2024·全国·模拟预测）已知数列
满足
，若
对
恒成立，则
的取值
27
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范围为 .
【答案】
【解析】法一：
由
，得
，两式相减得
，
则数列
，
都是以2 为公差的单调递增数列.
要使
对
恒成立，只需
，
而
，
，则
，解得
.
法二：
由
，得
，两式相减得
，
又
，则
，
，
要使
对
恒成立，即
，
即
，解得
.
故答案为：
.
31．（2024·全国·模拟预测）已知等比数列
的前
项和为
，若对任意的
，
，
恒成立，则实数
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】设等比数列
的公比为
，
①当
时，
，
，
，因此不等式
即
，所以
，
因为
，当且仅当
时取等号，所以
，解得
或
．
②当
时，
，
，
，
因此不等式
即
，
28
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所以
，
由于
，所以
，因此
，
解得
或
．综上，实数
的取值范围是
．
故答案为：
32．（2024·全国·模拟预测）已知数列
的通项公式为
.若对于任意
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【解析】由
，得
，
所以
.
设
，
则
.
设
，则
，
令
，解得
，即
在
上单调递增，
令
，解得
，即
在
上单调递减，
又
，
，
，
所以当
时，
，即
，
所以
.
当
时，
，即
，所以
.
综上，
，所以
，即
，
所以
的取值范围为
.
29
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故答案为：
33．（2024·全国·模拟预测）已知数列
的前n 项和
满足
，
，且
，若数列
的通项公式为
，将数列
与
的公共项按从小到大的顺序排列得到数列
，则
的
前n 项和为 ．
【答案】
【解析】
中，令
得
，即
，
又
，故令
时，
，即
，
所以
，解得
，
由
，得
，
，
两式相减得
，
，
两边同时除以
，得
，
，
即
，
故
，
，
经检验，
也符合上式，故
．
数列
是以1 为首项，以4 为公差的等差数列，
数列
是以1 为首项，以3 为公差的等差数列，
这两个数列的公共项构成的新数列
是以1 为首项，以12 为公差的等差数列，
故
的前n 项和为
．
故答案为：
34．（2024·全国·模拟预测）已知
，数列
为
，规律
是在
和
中间插入
项，所有插入的项构成以3 为首项，2 为公差的等差数列
，则数列
的前30
项和为 ．
【答案】829
【解析】因为
，所以
为等比数列，所有插入的项构成以3 为首项，2 为公差的等差数列，
由于
，
，
，
，
因此数列
的前30 项中含有
的前7 项，含有
的前23 项，
30
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所以所求和为
．
故答案为：829.
35．（2024·重庆·校联考一模）数学家康托（
）在线段上构造了一个不可数点集——康托三分集.将
闭区间
均分为三段，去掉中间的区间段
，余下的区间段长度为
；再将余下的两个区间
，
分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，余下的区间段长度为
.以此类推，不断地将余下各个
区间均分为三段，并各自去掉中间的区间段.重复这一过程，余下的区间集合即为康托三分集，记数列
表示第
次操作后余下的区间段长度.
（1）
；
（2）若
，都有
恒成立，则实数
的取值范围是 .
【答案】
；
.
【解析】由题意可知：
，
，
，
.
所以
.
所以数列
为首项
，公比
的等比数列，所以
.
因为
，都有
恒成立，且
，所以
恒成立，只需
记
，显然，
.
所以
.
令
，即
，即
，解得：
.
因为
，所以
，可以取包含以后的所有正整数，即
以后
递
减.
31
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而
，
所以
.
综上所述：当
时，
最大.
所以
，所以实数
的取值范围是
.
故答案为：
；
.
36．（2024·上海金山·统考一模）设
是由正整数组成且项数为
的增数列，已知
，
，数
列
任意相邻两项的差的绝对值不超过1，若对于
中任意序数不同的两项
和
，在剩下的项中总
存在序数不同的两项
和
，使得
，则
的最小值为 .
【答案】
【解析】因为数列
任意相邻两项的差的绝对值不超过1，
，所以
，
又
是由正整数组成且项数为
的增数列，所以
或
，
当
时，
，此时
，
这与在剩下的项中总存在序数不同的两项
和
，使得
矛盾，
所以
，类似地，必有
，
，
，
，
由
得前6 项任意两项之和小于等于3 时，均符合，
要最小，则每项尽可能小，且
值要尽量小，
则
，
，
同理，
，
，…，
，当
中间各项为公差为1 的等差数列时，可使得
值最小，且满
足已知条件.
由对称性得最后6 项为
，
，
则
的最小值
.
37．（2024·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）已知数列
满足
，且
32
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，
为数列
的前
项和，则
，
.
【答案】
【解析】因为数列
满足
，
所以
，即
，
，
所以
，解得
，同理可得:
，
，
则
.
由
，
当
时，可得
，
可化为:
，即
，以此类推得：
，
所以
，可化为:
，
所以数列
是等比数列，公比为
，首项为
，
所以
，可变形为
，
又
，
，所以
时也成立.
所以数列
是等比数列，公比为
，首项为
，
，可得
，
所以
，
所以
.
33
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；
.
34
