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微专题07 函数压轴小题
【秒杀总结】
一、对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的
新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.
二、对于双变量问题，首先变形后引入新变量把问题变为单变量，再引入新函数，利用导数求得函数
值的范围，然后再解相应的不等式可得所求参数范围．
三、函数零点的求解与判断方法：
（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必
须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有
几个不同的值，就有几个不同的零点.
四、已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的
图像，利用数形结合的方法求解.
【典型例题】
例1．（2024·广西南宁·高三南宁二中校考开学考试）已知定义在
上的函数
满足
，且
，则（ ）
A．
B．
为奇函数C．
有零点
D．
例2．（2024·四川雅安·高三雅安中学校联考开学考试）已知函数
，若存在
，使得
，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．
在
内有零点
D．若
在
内有零点，则
例3．（2024·北京·高三北京四中校考开学考试）设
是定义在
上的奇函数，且
，当
1
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时，
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．1
例4．（2024·全国·高三专题练习）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，且
为奇函数，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例5．（2024·湖北襄阳·高三枣阳一中校联考期末）已知函数
的定义域为
，且
为奇函数，
为偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
例6．（2024·湖南·高三校联考开学考试）已知函数
的定义域为
，若
是单调函
数，且
有零点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例7．（2024·福建漳州·统考模拟预测）已知
是定义域为
的函数
的导函数，曲线
关于
对称，且满足
，则
；
.
例8．（2024·广东梅州·高三广东梅县东山中学校考期末）已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
，当
时，
．若函数
恰有
个零点，则实数
的取值范围是 ．
例9．（2024·陕西西安·统考一模）
，若
有两个零点，则
的取值范
围是 .
例10．（2024·广东潮州·高三统考期末）设函数
，已知直线
与函数
的图象
交于
两点，且
的最小值为
（为自然对数的底），则
．
2
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例11．（2024·全国·高三专题练习）已知函数
，若
，则关于
的不等式
的解集为 ．
【过关测试】
一、单选题
1．（2024·贵州贵阳·统考一模）已知
是定义在
上的偶函数，且
也是偶函数，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·福建福州·统考模拟预测）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
．
若
的图象关于点
对称，且
，则下列结论一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·北京西城·高三北师大实验中学校考开学考试）函数
及其导数
的定义域均为
，记
，若
和
都是偶函数，则（ ）
A．
是奇函数
B．
是偶函数
C．
是奇函数
D．
是偶函数
4．（2024·陕西安康·高三统考开学考试）已知
是定义在
上的函数，对任意的
，且
，都
有
，且函数
的图象关于点
对称. 若对任意的
，不等式
成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·浙江金华·高三统考期末）已知公差为
的等差数列
，
为其前
项和，若
，则（ ）
A．
，
B．
，
3
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C．
，
D．
，
6．（2024·江苏镇江·高三扬中市第二高级中学开学考试）已知函数
的定义域为
，且
为奇
函数，
为偶函数．令函数
若存在唯一的整数
，使得不等式
成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·江苏苏州·高三统考期末）若
是函数
的一个零点，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
8．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学模拟预测）已知函数
，
的定义域均为
，且
，
，
，若
，且
，则
（ ）
A．305
B．302
C．300
D．400
9．（2024·广东广州·华南师大附中校考二模）已知
，
且满足
，则下列结论
一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2024·全国·模拟预测）定义在
上的函数
满足
，则
等于（ ）
A．
B．
C．50
D．100
二、多选题
11．（2024·河南郑州·高三校联考阶段练习）已知函数
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
的定义域为R
D．
的周期为4
12．（2024·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数
满足
，当
时，
.下列结论正确的是（ ）
4
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A．
B．
C．
是奇函数
D．
在R 上单调递增
13．（2024·江苏苏州·高三统考开学考试）已知函数
满足
， 且
，
则（ ）
A．
B．
C．函数
为奇函数
D．
14．（2024·全国·武钢三中校联考模拟预测）已知定义域为
的函数
，满足
，且
，
，则（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
D．
15．（2024·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数
恰有三个零点，设其由小
到大分别为
，则（ ）
A．实数
的取值范围是
B．
C．函数
可能有四个零点
D．
16．（2024·浙江宁波·高三统考期末）已知函数
满足：对
，都有
，且
，则以下选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2024·安徽黄山·统考一模）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
．若
满足
，
的图象关于直线
对称，且
，则（ ）
A．
是奇函数
B．
5
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C．
D．
18．（2024·江苏南通·高三海安高级中学校考开学考试）已知非零函数
及其导函数
的定义域均为
，
与
均为偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
19．（2024·河北·高三高碑店一中校联考期末）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，且
，
的图象关于点
对称，则（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
的图象关于点
对称
D．
20．（2024·重庆·高三西南大学附中校联考开学考试）已知定义在实数集R 上的函数
，其导函数为
，且满足
，
，则（ ）
A．
B．
的图像关于点
成中心对称
C．
D．
21．（2024·广东·高三校联考开学考试）已知函数
的定义域为
，且
，
，若
，则（ ）
A．
是周期为4 的周期函数
B．
的图像关于直线
对称
C．
是偶函数
D．
22．（2024·广东·高三校联考开学考试）已知定义在
上的函数
满足
，
当
，时，
.下列结论正确的是（ ）
6
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A．
B．
C．
是奇函数
D．
在
上单调递增
23．（2024·安徽·高三合肥一中校联考阶段练习）已知函数
的定义域均为
，
，
，
，且当
时．
，则
（ ）
A．
B．
C．函数
关于直线
对称
D．方程
有且只在2 个实根
24．（2024·湖北武汉·高三武钢三中校考开学考试）已知函数
，
的定义域为
，
为
的导函数，且
，
，若
为偶函数，则下列一定成立的有
（ ）
A．
B．
C．
D．
25．（2024·山东青岛·高三青岛二中校考期末）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，若
是奇函数，
，且对任意
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
26．（2024·河南周口·高三项城市第一高级中学校联考开学考试）已知定义在
上的函数
满足
，若函数
的最大值和最小值分别为
，
则
．
27．（2024·北京西城·高三北师大实验中学校考开学考试）设定义在
函数
当
时，
的值域为 ；若
的最大值为1，则实数
的所有取值组成的集合为 .
7
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28．（2024·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）设
是定义在
上的单调增函数，且满足
，若对于任意非零实数
都有
，则
.
29．（2024·北京西城·高三统考期末）设
，函数
给出下列四个结论：
①
在区间
上单调递减；
②当
时，
存在最大值；
③当
时，直线
与曲线
恰有3 个交点；
④存在正数
及点
和
，使
.
其中所有正确结论的序号是 .
30．（2024·上海宝山·高三上海交大附中校考期末）已知正项数列
的前
项和
满足
（
为正整数）.记
，若函数
的值域为
，则实数
的取值范围是 .
31．（2024·全国·校联考模拟预测）已知
不是常数函数，且满足：
.
①请写出函数
的一个解析式 ；②将你写出的解析式
得到
新的函数
，若
，则实数a 的值为 .
8
