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微专题17 圆锥曲线压轴小题
【秒杀总结】
1、求的离心率(或离心率的取值范围)，常见有以下方法：
①求出a，c，代入公式
；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c 的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c 的齐次式，然后等式
(不等式)两边分别除以a 或a2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围)．
③几何法：寻找几何关系，将问题转化
④坐标法：一般套路将坐标代入曲线求解
2、解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路：
①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值；
②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值.
【典型例题】
例1．（2024·辽宁·一模）已知双曲线
的下焦点和上焦点分别为
，直线
与C 交
于A，B 两点，若
面积是
面积的4 倍，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．
例2．（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）焦点为
的抛物线
的对称轴与准线交于点
，
点
在抛物线
上且在第一象限，在
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例3．（2024·江苏盐城·模拟预测）在平面直角坐标系xoy 中，已知
，动点
满足
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．动点
的轨迹是一个圆
B．动点
的轨迹所围成的面积为6
C．动点
的轨迹跟坐标轴不相交
D．动点
离原点最短距离为1
例4．（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）已知抛物线
的方程为
，
为其焦点，点
坐标为
，过点
作直线交抛物线
于
、
两点，
是
轴上一点，且满足
，则直线
的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
例5．（2024·黑龙江·二模）双曲线
的左、右顶点分别为
，
，左、右焦点分别为
，
，
1
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过
作直线与双曲线
的左、右两支分别交于
，
两点．若
，且
，则直线
与
的斜率之积为（ ）
A．
B．
C．
D．
例6．（2024·安徽合肥·一模）已知直线
与
交于
两点，设弦
的中点为
为坐标原点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
例7．（多选题）（2024·新疆乌鲁木齐·二模）已知点
，直线
相交于点
，且它
们的斜率之和是2．设动点
的轨迹为曲线
，则（ ）
A．曲线
关于原点对称
B．
的范围是
的范围是
C．曲线
与直线
无限接近，但永不相交
D．曲线
上两动点
，其中
，则
例8．（多选题）（2024·高二·河南驻马店·期末）法国著名数学家蒙日首先发现椭圆两条互相垂直的切线
的交点轨迹是以椭圆的中心为圆心的圆，后来这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆
，其蒙日圆为
圆
，过直线
上一点
作圆
的两条切线，切点分别为
，
，则下列选项正确的是
（ ）
A．圆
的方程为
B．四边形
面积的最小值为4
C．
的最小值为
D．当点
为
时，直线
的方程为
例9．（多选题）（2024·云南昆明·模拟预测）设O 为坐标原点，直线l 过抛物线C：
的焦
点F 且与C 交于A，B 两点（点A 在第一象限），
，l 为C 的准线，
，垂足为M，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的最小值为
C．若
，则
D．x 轴上存在一点N，使
为定值
2
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例10．（多选题）（2024·河北·一模）已知
，
是双曲线C：
的左、右焦点，
，
为C 右支上一点，
，
的内切圆的圆心为
，半径为r，直线
PE 与x 轴交于点
，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．若
的内切圆与y 轴相切，则双曲线C 的离心率为
例11．（多选题）（2024·高三·河南濮阳·开学考试）费马原理是几何光学中的一条重要定理，由此定理可
以推导出圆锥曲线的一些性质，例如，若点
是双曲线
（
为
的两个焦点）上的一点，则
在点
处的切线平分
.已知双曲线
的左､右焦点分别为
，直线为
在其上一点
处的切线，则下列结论中正确的是（ ）
A．
的一条渐近线与直线
相互垂直
B．若点
在直线上，且
，则
（
为坐标原点）
C．直线的方程为
D．延长
交
于点
，则
的内切圆圆心在直线
上
【过关测试】
1．（2024·辽宁·一模）已知
为椭圆
的右焦点，过原点的直线与
相交于
两点，
且
轴，若
，则
的长轴长为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·辽宁·一模）过圆
上的
两点分别作圆
的切线，若两切线的交点
恰好在
直线
上，则
的最小值为（ ）
A．
B．3
C．
D．
3．（2024·高三·河南·期末）已知抛物线
的焦点为
，过点
的直线与拋物线
交于A，B 两
点，点
在
轴上方，且
的横坐标为5，则
（ ）
3
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A．
B．
．
C．
D．
4．（2024·广东·模拟预测）抛物线
的焦点为
，过
的直线交抛物线于A，B 两点．则
的最小值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
5．（2024·山东烟台·一模）在平面直角坐标系
中，点
，向量
，且
.若
为椭圆
上一点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·北京·模拟预测）已知直线
，圆
，若直线上存在两点
，
圆
上存在点
，使得
，且
，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·天津·一模）过双曲线
的左焦点
作圆
的切线，切点为
，
直线
交直线
于点
．若
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·天津南开·一模）已知O 为坐标原点，双曲线C：
的左、右焦点分别是
，离心率为
，点P 是C 的右支上异于顶点的一点，过
作
的平分线的垂线，垂足是M，
，则点P 到C 的两条渐近线距离之积为（ ）
A．
B．
C．2
D．4
9．（2024·青海·一模）已知过抛物线C：
焦点F 的直线l 与C 交于A，B 两点，以线段AB 为直径的
圆与y 轴交于D，E 两点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（多选题）（2024·江苏·一模）已知抛物线E：
的焦点为F，过F 的直线交E 于点
，
，E 在B 处的切线为
，过A 作与
平行的直线
，交E 于另一点
，记
与y 轴的交点为
4
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D，则（ ）
A．
B．
C．
D．
面积的最小值为16
11．（多选题）（2024·云南·一模）已知
是直线
上的动点，
为坐标原点，过
作圆
的两条切线，切点分别为
，则（ ）
A．当点
为直线与
轴的交点时，直线
经过点
B．当
为等边三角形时，点
的坐标为
C．
的取值范围是
D．
的最小值为
12．（多选题）（2024·山东菏泽·一模）如图，过点
的直线
交抛物线
于
A，B 两点，连接
、
，并延长，分别交直线
于M，N 两点，则下列结论中一定成立的有
（ ）
A．
B．以
为直径的圆与直线
相切
C．
D．
13．（2024·广东湛江·一模）已知
，
分别为椭圆C：
的左、右焦点，
过点
的直线l 交椭圆C 于A，B 两点，若
，
，则椭圆C 的离心率为 ．
14．（2024·高三·河南·阶段练习）已知
为抛物线
上两点，
为焦点，
为坐标原点，
在第一象限，且点
的纵坐标大于点
的纵坐标，若
，则点
的坐标为 .
15．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知
，若直线
与
有
个交点
，则
.
5
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16．（2024·高三·安徽·阶段练习）过双曲线
的右焦点
的直线分别在第一､第二
象限交
的两条渐近线于
两点，且
.若
，则双曲线
的离心率为
.
17．（2024·高二·山东青岛·期末）古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到
圆锥曲线的方法，如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已知两个圆锥的
底面直径均为2，侧面积均为
，记过两个圆锥轴的截面为平面
，平面
与两个圆锥侧面的交线为
．已知平面
平行于平面
，平面
与两个圆锥侧面的交线为双曲线
的一部分，且
的两条渐
近线分别平行于
，则该双曲线
的离心率为 ．
18．（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）1675 年，卡西尼在矿究土星及其卫星的运行规律时发现了卡西尼卵
形线，卡西尼卵形线是平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹．已知点
，动点
满足
，则
面积的最大值为 ．
19．（2024·河北唐山·一模）已知椭圆E：
的左、右焦点分别为
，
，过
的直线
交E 于A，B 两点，
是线段
的中点，且
，则E 的方程为 ．
20．（2024·广东湛江·一模）已知点P 为直线
上的动点，过P 作圆
的两条切线，
切点分别为A，B，若点M 为圆
上的动点，则点M 到直线AB 的距离的最大值为
．
21．（2024·高二·全国·课后作业）已知圆系
，圆
过
轴上的定点
，
线段
是圆
在
轴上截得的弦，设
，
．对于下列命题：
①不论取何实数，圆心
始终落在曲线
上；
②不论取何实数，弦
的长为定值1；
③不论取何实数，圆系
的所有圆都与直线
相切；
6
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④式子
的取值范围是
．
其中真命题的序号是 （把所有真命题的序号都填上）
22．（2024·辽宁·一模）已知双曲线
的左､右焦点分别为
，过点
作斜率为
的直线与
的右支交于点
，且点
满足
，且
，则
的离心率是
.
23．（2024·安徽合肥·一模）已知点
，定义
为
的“镜像
距离”.若点
在曲线
上，且
的最小值为2，则实数
的值为 .
24．（2024·福建·模拟预测）已知双曲线
的左焦点为F，过F 的直线l 交圆
于A，B 两点，交C 的右支于点P.若
，
，则C 的离心率为 .
25．（2024·辽宁·一模）已知双曲线
的左、右焦点分别为
记以
为直径
的圆与C 的渐近线在第一象限交于点P ，点Q 为线段
与C 的交点，O 为坐标原点，且
，则C 的离心率为 .
7
