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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
思维拓展 14 新高考压轴题中导数的新定义问题
（精讲+精练）（精讲+精练）
①定义新性质
②定义新概念
③定义新运算
一、必备知识整合
一、新定义问题
“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决
问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本
质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是
制胜法宝.
二、新定义问题的方法和技巧
1.可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
2.可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
3.发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
4.如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书
上的概念.
二、考点分类精讲
【典例1】（23-24高二下·上海闵行·期末）若函数 的图像上有两个不同点 处的切线重合，
则称该切线 为函数 的图像的“自公切线”.
(1)试判断函数 与 的图像是否存在“自公切线”（不需要说明理由）；(2)若 ，求函数 的图像的“自公切线”方程；
(3)设 ，求证：函数 的图像不存在“自公切线”
【典例2】（2024·上海·三模）设函数 的定义域为D，对于区间 ，当且仅当函数
满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间 是 的一个“美好区间”．
性质①：对于任意 ，都有 ；性质②：对于任意 ，都有 ．
(1)已知 ， ．分别判断区间 和区间 是否为函数 的“美好区间”，并
说明理由；
(2)已知 且 ，若区间 是函数 的一个“美好区间”，求实数
的取值范围；
(3)已知函数 的定义域为 ，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意 ，都有
．求证：函数 存在“美好区间”，且存在 ，使得 不属于函数
的任意一个“美好区间”．
【典例3】（2024·河北邢台·二模）在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式 型或 型极限
的一种重要方法，其含义为：若函数 和 满足下列条件：
① 且 （或 ， ）；
②在点 的附近区域内两者都可导，且 ；
③ （ 可为实数，也可为 ），则 ．
(1)用洛必达法则求 ；
(2)函数 （ ， ），判断并说明 的零点个数；
(3)已知 ， ， ，求 的解析式．
参考公式： ， ．【题型训练-刷模拟】
1 . 定义新性质
一、解答题
1．（2024·河南·三模）设函数 的导函数为 的导函数为 的导函数为 .若
，且 ，则 为曲线 的拐点.
(1)判断曲线 是否有拐点，并说明理由；
(2)已知函数 ，若 为曲线 的一个拐点，求 的单调区间与极值.
2．（23-24高三上·辽宁·期中）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，
曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 是 的导函
数， 是 的导函数，则曲线 在点 处的曲率 ．
(1)求曲线 在 处的曲率 的平方；
(2)求余弦曲线 曲率 的最大值；
3．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）记 ， 分别为函数 ， 的导函
数．若存在 ，满足 且 ，则称 为函数 与 的一个“好
点”．
(1)判断函数 与 是否存在“好点”，若存在，求出“好点”；若不存在，请说明珵
由；
(2)若函数 与 存在“好点”，求实数 的值；
(3)已知函数 ， ，若存在实数 ，使函数 与 在区间 内存在“好点”，求实数 的取值范围．
4．（2024·上海奉贤·三模）若定义在 上的函数 和 分别存在导函数 和 ．且对任
意 均有 ，则称函数 是函数 的“导控函数”．我们将满足方程 的
称为“导控点”．
(1)试问函数 是否为函数 的“导控函数”？
(2)若函数 是函数 的“导控函数”，且函数 是函数
的“导控函数”，求出所有的“导控点”；
(3)若 ，函数 为偶函数，函数 是函数 的“导控函数”，求证：“
”的充要条件是“存在常数 使得 恒成立”．
5．（23-24高三下·重庆·期中）若函数 在定义域内存在两个不同的数 ，同时满足 ，
且 在点 处的切线斜率相同，则称 为“切合函数”
(1)证明： 为“切合函数”；
(2)若 为“切合函数”，并设满足条件的两个数为 ．
（ⅰ）求证： ；
（ⅱ）求证： ．
6．（2023·上海奉贤·一模）若函数 满足：对任意的实数 ， ，有 恒
成立，则称函数 为 “ 增函数” ．
(1)求证：函数 不是“ 增函数”；
(2)若函数 是“ 增函数”，求实数 的取值范围；
(3)设 ，若曲线 在 处的切线方程为 ，求 的值，并证明函数
是“ 增函数”．
2 . 定义新概念
一、解答题
1．（2023·上海奉贤·二模）设函数 的定义域是R，它的导数是 ．若存在常数 ，使得 对一切 恒成立，那么称函数 具有性质 ．
(1)求证：函数 不具有性质 ；
(2)判别函数 是否具有性质 ．若具有求出 的取值集合；若不具有请说明理由．
2．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）对于三次函数 ．定义：① 的导
数为 ， 的导数为 ，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的
“拐点”；②设 为常数，若定义在 上的函数 对于定义域内的一切实数 ，都有
恒成立，则函数 的图象关于点 对称．
(1)已知 ，求函数 的“拐点” 的坐标；
(2)检验（1）中的函数 的图象是否关于“拐点” 对称；
(3)对于任意的三次函数 写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）．
3．（2023·上海普陀·一模）若函数 同时满足下列两个条件，则称 在 上具有性
质 ．
① 在 上的导数 存在；
② 在 上的导数 存在，且 （其中 ）恒成立．
(1)判断函数 在区间 上是否具有性质 ？并说明理由．
(2)设 、 均为实常数，若奇函数 在 处取得极值，是否存在实数 ，使得
在区间 上具有性质 ？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由．
(3)设 且 ，对于任意的 ，不等式 成立，求 的最大值．
3 . 定义新运算
一、解答题
1．（2024·贵州遵义·三模）英国数学家泰勒（B．Taylor，1685—1731）发现了：当函数 在定义域内n
阶可导，则有如下公式：以上公式称为函数 的泰勒展开式，简称为泰勒公式．其中， ， 表示 的
n阶导数，即 连续求n次导数．根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：
(1)写出 的泰勒展开式（至少有5项）；
(2)设 ，若 是 的极小值点，求实数a的取值范围；
(3)若 ，k为正整数，求k的值．
2．（23-24高二下·浙江·阶段练习）一般地，设函数 在区间 上连续，用分点
将区间 分成 个小区间，每个小区间长度为 ，在
每个小区间 上任取一点 ，作和式 ．如果 无限
接近于0（亦即 ）时，上述和式 无限趋近于常数 ，那么称该常数 为函数 在区间 上
的定积分，记为 ．当 时，定积分 的几何意义表示由曲线 ，两直线
与 轴所围成的曲边梯形的面积．如果 是区间 上的连续函数，并且 ，那
么 ．
(1)求 ；
(2)设函数 ．
①若 恒成立，求实数 的取值范围；
②数列 满足 ，利用定积分几何意义，证明： ．
3．（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若
函数 ， 的导函数分别为 ， ，且 ，则
.
②设 ，k是大于1的正整数，若函数 满足：对任意 ，均有 成立，且
，则称函数 为区间 上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：(1)试判断 是否为区间 上的2阶无穷递降函数；
(2)计算： ；
(3)证明： ， .
4．（2024·山西·三模）微分中值定理是微积分学中的重要定理，它是研究区间上函数值变化规律的有效工
具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的内容如下:
如果函数 在闭区间 上连续，在开区间 可导，导数为 ，那么在开区间 内至少存在
一点 ，使得 ，其中 叫做 在 上的“拉格朗日中值点”.已知函数
.
(1)若 ，求函数 在 上的“拉格朗日中值点” ；
(2)若 ，求证:函数 在区间 图象上任意两点 ， 连线的斜率不大于 ；
(3)若 ，且 ，求证: .
5．（2024·福建厦门·三模）帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法，
在计算机数学中有着广泛的应用.已知函数 在 处的 阶帕德近似定义为：
，且满足： ， ， ，…，
.其中 ， ，…， .已知
在 处的 阶帕德近似为 .
(1)求实数a，b的值；
(2)设 ，证明： ；
(3)已知 是方程 的三个不等实根，求实数 的取值范围，并证明： .
