文档文本内容
第 11 讲 导数中的新定义问题（核心考点精讲精
练）
命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题结合新定义载体而定，难度一般或较大，分值为5分
【备考策略】1熟练掌握导数的定义及基本运算
2能结合实际题目理解导数新定义的概念及运算
3能结合导数知识进行综合求解
【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一，而导数新定义更加考查学生的
数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养，需综合复习
知识讲解
新定义问题的解决策略
第一步，读懂定义，如果有几何意义可以考虑图象，如果考虑不了就按照定义转化为代数式，并进行化简;
第二步，数形结合借助图象解决问题，如果不能借助图像就用代数的方法求解，可以考虑转化思想，将新
定义问题和自己所学的知识结合起来转化为自己熟悉的知识进而求解
考点一、 导数中的新定义问题
1．（2023·云南·校联考模拟预测）定义方程 的实数根 叫做函数 的“奋斗点”.若函数
， 的“奋斗点”分别为 ， ，则 ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·辽宁辽阳·统考二模）现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是
曲率，曲线的曲率定义如下：若 是 的导函数， 是 的导函数，则曲线 在点
处的曲率 .函数 的图象在 处的曲率为（ ）A． B． C． D．
3．（2022·湖北武汉·统考模拟预测）函数 ， 的定义域都是 ，直线 与 ，
的图象分别交于 ， 两点，若线段 的长度是不为 的常数，则称曲线 ， 为
“平行曲线”设 ，且 ， 为区间 的“平行曲线”其
中 ， 在区间 上的零点唯一，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1．（2022·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）（多选）我们把形如 的方程称为微分方程，符
合方程的函数 称为微分方程的解，下列函数为微分方程 的解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·浙江温州·统考模拟预测）（多选）若函数 的图象上存在两个不同的点P，Q，使得
在这两点处的切线重合，则称函数 为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的
是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）定义一个可导函数 在定义域内一点处 的弹性为
，请写出一个定义在正实数集上且任意一点处的弹性均为 的可导函数 ．
4．（2022·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）给出以下三个材料：①若函数 可导，我们通常把
导函数 的导数叫做 的二阶导数，记作 .类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作
，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地， 阶导数的导数叫做 阶导数，记作
.②若 ，定义 .③若函数 在包含 的
某个开区间 上具有 阶的导数，那么对于任一 有
，我们将 称为
函数 在点 处的 阶泰勒展开式.例如， 在点 处的 阶泰勒展开式为.根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求出 在点 处的 阶泰勒展开式 ，并直接写出 在点 处的 阶泰勒
展开式 ；
(2)比较（1）中 与 的大小.
(3)证明： .
8．（2022·河北石家庄·统考一模）已知函数 ， .
(1)当 时，过坐标原点 作曲线 的切线，求切线方程；
(2)设定义在 上的函数 在点 处的切线方程为 ，对任意 ，若
在 上恒成立，则称点 为函数 的“好点”，求函数 在 上
所有“好点”的横坐标（结果用 表示）.
【基础过关】
一、单选题
1．（2023春·辽宁大连·高三瓦房店市高级中学校考开学考试）在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的
信息描述其附近取值的公式.如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒
公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在一点的邻域中的值，常见的公式有：
； .
则利用泰勒公式估计 的近似值为（ ）（精确到 ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高三专题练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，
它可应用到有限维空间，并构成了一般不动点定理的基石.简单来说就是对于满足一定条件的连续函数
，存在一个点 ，使得 ，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的
是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2022秋·河北·高三校联考阶段练习）给出定义：若函数 在 上可导，即 存在，且导函数在 上也可导，则称 在 上存在二阶导函数，记 ，若 在 上恒成立，
则称 在 上为凸函数，以下四个函数在 上是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022秋·广东深圳·高三深圳中学校考阶段练习）已知定义在区间 上的函数 ， 是
的导函数，若存在 ，使得 ．则称 为函数 在 上的“中
值点”．下列函数，其中在区间 上至少有两个“中值点”的函数为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022秋·福建厦门·高三校联考阶段练习）已知函数 的导函数为 ，若存在 使得
，则称 是 的一个“新驻点”，下列函数中，具有“新驻点”的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习）记 、 分别为函数 、 的导函数，若存在 ，满足
且 ，则称 为函数 与 的一个“ 点”，则下列说法正确的为
（ ）
A．函数 与 存在唯一“ 点”
B．函数 与 存在两个“ 点”
C．函数 与 不存在“ 点”
D．若函数 与 存在“ 点”，则
7．（2023·全国·高三专题练习）定义 是 的导函数 的导函数，若方程 有
实数解 ，则称点 为函数 的“拐点”.可以证明，任意三次函数
都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论
判断下列命题，其中正确命题是（ ）
A．存在有两个及两个以上对称中心的三次函数
B．函数 的对称中心也是函数 的一个对称中心C．存在三次函数 ，方程 有实数解 ，且点 为函数 的对称中心
D．若函数 ，则
三、填空题
8．（2023·全国·高三专题练习）给出定义：设 是函数 的导函数， 是函数 的
导函数，若方程 有实数解 ，则称 为函数 的“拐点”，经研究发现所有的三
次函数 都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 的图像的对称中心，
若函数 ，则 .
9．（2023·广东惠州·统考模拟预测）用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，
曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 是 的导函数，
是 的导函数，则曲线y＝f（x）在点（x，f（x））处的曲率 ，则曲线
在（1，1）处的曲率为 ；正弦曲线 （x∈R）曲率的平方 的最大值为 .
四、双空题
10．（2022秋·云南曲靖·高三校联考阶段练习）对于三次函数 ，给出定义：
设 是函数 的导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为
函数 的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中
心，且“拐点”就是对称中心.设函数 ，则 的拐点为 ，
.
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）设函数 是 的导数，经过探究发现，任意一个三次函数
的图象都有对称中心 ，其中 满足 ，已知函数
，则 （ ）
A．2021 B． C．2022 D．2．（2022秋·山东青岛·高三校考阶段练习）设函数 在区间 上的导函数为 ， 在区间
上的导函数为 .若在区间 上， 恒成立，则称函数 在区间 上为“凸函数”.已知实数
是常数， .若对满足 的任何一个实数 ，函数 在区间 上都为“凸函
数”，则 的最大为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
二、多选题
3．（2022·全国·高三专题练习）拉格朗日中值定理是“中值定理”的核心内容，定理如下：如果函数
在闭区间 上连续，在开区间 内可导，则在区间 内至少存在一个点 ，使得
， 称为函数 在闭区间 上的中值点，若关于函数
在区间 上“中值点”的个数为 ，函数 在区间 上“中值点”个数
为 ，则有（ ）
（参考数据： ， ， ， .）
A． B． C． D．
4．（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）定义：如果函数 在 上存在 ， （
），满足 ，则称 ， 为 上的“对望数”.已知函数
为 上的“对望函数”.下列结论正确的是（ ）
A．函数 在任意区间 上都不可能是“对望函数”
B．函数 是 上的“对望函数”
C．函数 是 上的“对望函数”
D．若函数 为 上的“对望函数”，则 在 上单调
5．（2022秋·湖南长沙·高三统考阶段练习）若 存在，则称
为二元函数 在点 处对x的偏导数，记为 ；若
存在，则称 为二元函数 在点 处
对y的偏导数，记为 .
若二元函数 ，则下列结论正确的是（ ）A．
B．
C． 的最小值为
D． 的最小值为
6．（2023·安徽淮北·高三校考开学考试）经研究发现：任意一个三次多项式函数
的图象都只有一个对称中心点 ，其中 是 的根， 是
的导数， 是 的导数.若函数 图象的对称点为 ，且不等式
对任意 恒成立，则（ ）
A． B． C． 的值可能是 D． 的值可能是
7．（2022·全国·高三专题练习）定义：在区间 上，若函数 是减函数，且 是增函数，则
称 在区间 上是“弱减函数”.根据定义可得（ ）
A． 在 上是“弱减函数”
B． 在 上是“弱减函数”
C．若 在 上是“弱减函数”，则
D．若 在 上是“弱减函数”，则
三、填空题
8．（2023·全国·高三专题练习）丹麦数学家琴生是 世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数
的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.定义：函数 在 上的导函数为 ， 在
上的导函数为 ，若在 上 恒成立，则称函数 是 上的“严格凸函数”，
称区间 为函数 的“严格凸区间”.则下列正确命题的序号为 .
①函数 在 上为“严格凸函数”；
②函数 的“严格凸区间”为 ；
③函数 在 为“严格凸函数”，则 的取值范围为 .
四、解答题9．（2022·湖南·模拟预测）设 为 的导函数，若 是定义域为D的增函数，则称 为D上
的“凹函数”，已知函数 为R上的凹函数．
(1)求a的取值范围；
(2)设函数 ，证明：当 时， ，当 时， ．
(3)证明： ．
10．（2022·全国·高三专题练习）给出以下三个材料：①若函数 可导，我们通常把导函数 的导
数叫做 的二阶导数，记作 ．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，记作 ，三阶导数的
导数叫做四阶导数……一般地， 阶导数的导数叫做 阶导数，记作 ．②若
，定义 ．③若函数 在包含 的某个开区间 上具有 阶的
导数，那么对于任一 有
，我们将 称为
函数 在点 处的 阶泰勒展开式．例如， 在点 处的 阶泰勒展开式为
．
根据以上三段材料，完成下面的题目：
（1）求出 在点 处的 阶泰勒展开式 ，并直接写出 在点 处的 阶泰
勒展开式 ；
（2）比较（1）中 与 的大小．
（3）已知 不小于其在点 处的 阶泰勒展开式，证明： ．
