文档文本内容
第 01 讲 导数的概念及运算(分层精练）
A夯实基础B能力提升C新定义题
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24高二下·江苏·阶段练习）若某质点的运动方程是 （单位： ），
则在 时的瞬时速度为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用物理上“质点在 时的瞬时速度即质点的位移 的导函数在 时
的函数值”即可求得.
【详解】由 求导得 ，则在 时的瞬时速
度为 .
故选：B.
2．（23-24高二下·重庆黔江·阶段练习）设函数 在 处存在导数为2，则
（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】
利用导数的定义即可得解.
【详解】由依题意，知 ，则 .
故选：C.
3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）下列函数求导正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据基本初等函数的导数公式判断即可.
【详解】对于A： ，故A错误；
对于B： ，故B错误；
对于C： ，故C错误；
对于D： ，故D正确.
故选：D
4．（23-24高二上·山西·期末）若函数 ，则 （ ）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【分析】
求导，再令 即可得解.
【详解】 ，
所以 .
故选：A.
5．（2024 高二下 ·全国·专题练习）函数 的导函数 ，满足关系式，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求导后，代入 ，求出答案.
【详解】
由 进行求导得： ，
当 时，可得： ，解得： .
故选：A.
6．（23-24高二下·湖南岳阳·开学考试）设函数 的图象与 轴相交于点 ，则该
曲线在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
求出点 的坐标，再利用导数的几何意义求出切线方程.
【详解】函数 ，由 ，得 ，则点 ，
由 ，求导得 ，则 ，于是 ，
所以该曲线在点 处的切线方程为 .
故选：B
7．（21-22高二下·北京房山·期中）函数 的图象如图所示，则 与 的大
小关系是（ ）A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
由导数的几何意义和函数的图象可得答案.
【详解】
与 分别表示 在 和 处切线的斜率，
由图象得 ， 且 在 处切线的斜率比 处切线斜率小，
所以 ；
故选：A
8．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知函数 ，
则 的图象在 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出导函数 后计算出切线斜率，然后写出切线方程．
【详解】
由题意知 ，
所以 ，又 ，
所以 的图象在 处的切线方程为 ，即 .
故选：A.
二、多选题
9．（23-24高二下·湖北·阶段练习）下列命题正确的有（ ）
A．已知函数 在 上可导，若 ，则
B．
C．已知函数 ，若 ，则
D．设函数 的导函数为 ，且 ，则
【答案】CD
【分析】
根据导数的定义可判断A的正误，根据导数的四则运算可判断BD的正误，根据复合函数的
导数的运算规则可判断C的正误.
【详解】对于A， ，故A错误.
对于B， ，故B错误.
对于C， ，若 ，则 即 ，故C正确.
对于D， ，故 ，故 ，故D正确.故选：CD.
10．（2024高二下·全国·专题练习）各地房产部门为尽快稳定房价，提出多种房产供应方
案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务 ．已知房产供应量Q与时间t
的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，在时间 内供应效率（单位时间
的供应量）不逐步提高的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据变化率的知识，结合曲线在某点处的导数的几何意义可得结果.
【详解】当单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜
率随着自变量的增加会越来越大，
故曲线是上升的，且越来越陡峭，
所以函数的图象应一直是下凹的，则选项B满足条件，
所以在时间 内供应效率（单位时间的供应量）不逐步提高的有ACD选项．
故选：ACD．
三、填空题
11．（23-24高三下·天津·开学考试）函数 的图象在 处切线的斜
率为 .
【答案】 /
【分析】
首先求函数的导数，再根据导数的几何意义，即可求解.【详解】由题意可知， ， ，
根据导数的几何意义可知，函数的图象在 处切线的斜率为 .
故答案为：
12．（23-24高三下·广西南宁·开学考试）已知 ，则曲线 在点 处
的切线方程为 .
【答案】
【分析】根据导数的运算性质，结合导数的几何意义进行求解即可.
【详解】 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
故答案为：
四、解答题
13．（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知曲线 ，设 点坐标为 ，
(1)求曲线在点 处的切线方程；
(2)求曲线过点 的切线方程．
(3)若曲线在点 处的切线与曲线 相切，求 点的坐标
【答案】(1)
(2) 或
(3) 或 .
【分析】
（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式计算可得；
（2）设切点为 ，利用导数的几何意义求出切线方程，再将点 代入切线方
程中，求出 ，即可求出切线方程；（3）设 ，表示出曲线在点 处的切线，联立直线与 ，根据 求出 ，
即可求出 点的坐标.
【详解】（1）由 ，可得 ，
所以 ，
则曲线在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2）设切点为 ，则 ，
所以切线方程为 ，即 ，
又切线过点 ，所以 ，即 ，
即 ，即 ，
即 ，即 ，解得 或 ，
则切线方程为 或 ，
所以过点 的切线方程为 或 .
（3）设 ，则 ， ，
所以曲线在点 处的切线为 ，
又曲线在点 处的切线与曲线 相切，
由 ，可得 ，
则 ，解得 或 ，
则 或 ，所以 或 .
14．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知点 和点 是曲线 上的两点，且点
的横坐标是 ，点 的纵坐标是 ，求：
(1)割线 的斜率；
(2)在点 处的切线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出点 、 的坐标，利用斜率公式可求得割线 的斜率；
（2）求出切线的斜率，再利用点斜式可得出所求切线的方程.
【详解】（1）解：当 时， ，即点 ，
令 ，可得 ，解得 ，即点 ，
因此，割线 的斜率为 .
（2）解：对函数 求导得 ，
所以，曲线 在点 处切线的斜率为 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
15．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）已知函数 与函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求曲线 与曲线 在公共点处的公切线方程．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）求导，然后根据导数的几何意义结合条件即得；
（2）设曲线 与曲线 的公切点为 ，然后根据导数的几何意义可得
切点，进而即得.
【详解】（1） ， ， .
在 点处的切线方程为： ；
（2）设曲线 与曲线 的公切点为 ，
， ，
令 ，即 ，
或 （舍），
，
∴所求公切线方程： ，即 .
B能力提升
1．（2024·河北·一模）函数 的导数 仍是x的函数，通常把导函数
的导数叫做函数的二阶导数，记作 ，类似地，二阶导数的导数叫做三
阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数……．一般地， 阶导数的导数叫做n阶导数，
函数 的n阶导数记为 ，例如 的n阶导数 ．若
，则 （ ）
A． B．50 C．49 D．
【答案】A
【分析】根据条件，列举 的前几项，根据规律，写出 ，代入 ，即可求解.
【详解】由 ， ，
， ，
依此类推， ，
所以 .
故选：A
2．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知函数 在点 处的切线与曲线
只有一个公共点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出切线方程，再对 分 和 讨论即可.
【详解】由 得 ，
所以切线方程是 ，
①若 ，则曲线为 ，显然切线与该曲线只有一个公共点，
②若 ，则 ，
即 ，
由 ，即 ，
得 或 ，
综上: 或 或 .
故选：B.
3．（23-24高三上·山东聊城·期末）最优化原理是指要求目前存在的多种可能的方案中，选
出最合理的，达到事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际
生活中的最优化问题，我们常常需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲线与直线上点的距离的最值问题，请你利用所学知识来解答：若点 是曲线
上任意一点，则 到直线 的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用导数求得平行于直线 与曲线 相切的切点坐标，
再利用点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】由函数 ，可得 ，令 ，可得
，
因为 ，可得 ，则 ，
即平行于直线 且与曲线 相切的切点坐标为 ，
由点到直线的距离公式，可得点 到直线 的距离为 .
故选：B
4．（2024·广东·一模）设点 在曲线 上，点 在直线 上，则 的最小值为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
利用导数的几何意义及点到直线的距离公式即可求解.
【详解】令 ，得 ，代入曲线 ，所以 的最小值即为点 到直线 的距离 .
故选：B.
5．（23-24高三上·河北·阶段练习）已知 ， ，若直线 与曲线
相切，则 的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【分析】设出切点坐标 ，利用导数求得切线方程的斜率，即为直线方程得 ，
再利用基本不等式即可.
【详解】设切点为 ，由题得 ，
所以切线的斜率 ，且
所以切线方程为 ，
即 ，与直线 相同，
所以 ，整理得 ，
所以 ，
当且仅当 ， 时， 取得最小值9．
故选：C
C新定义题
1．（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法
则中有结论：若函数 ， 的导函数分别为 ， ，且 ，则
.
②设 ，k是大于1的正整数，若函数 满足：对任意 ，均有 成
立，且 ，则称函数 为区间 上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断 是否为区间 上的2阶无穷递降函数；
(2)计算： ；
(3)证明： ， .
【答案】(1) 不是区间 上的2阶无穷递降函数；
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据函数 为区间 上的k阶无穷递降函数的定义即可判断；
（2）通过构造 ，再结合 即可得到结果；
（3）通过换元令令 ，则原不等式等价于 ，再通过构造函数
，根据题干中函数 为区间 上的k阶无穷递降函数的定
义证出 ，即可证明结论.【详解】（1）设 ，
由于 ，
所以 不成立，
故 不是区间 上的2阶无穷递降函数.
（2）设 ，则 ，
设 ，
则 ，
所以 ，得 .
（3）令 ，则原不等式等价于 ，
即证 ，
记 ，则 ，
所以 ，
即有对任意 ，均有 ，
所以 ，因为 ，
所以
，
所以 ，证毕!
【点睛】方法点睛：利用函数方法证明不等式成立问题时，应准确构造相应的函数，注意
题干条件中相关限制条件的转化.
