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第 06 讲 利用导数研究函数的零点（方程的根）(分层精
练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
1．（17-18高二·黑龙江牡丹江·课时练习）若 ，则方程 在 上根的
个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2024·四川凉山·二模）若 ， ，则函数 的零点个
数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2023·陕西西安·模拟预测）方程 有两个不等的实数解，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·河南郑州·阶段练习）已知函数 ，若关于x的方程
有且只有一个实根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高三上·江苏南京·阶段练习）已知函数 若方程
有三个不同的解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·云南·模拟预测）已知函数 ，若 在 有实数
解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）函数 ，若函数
有3个零点，则 的取值范围为（ ）A． B． C． D．
8．（2024·广西·模拟预测）若函数 在 上有两个不同的零点，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（22-23高二下·甘肃定西·阶段练习）若函数 有三个零点，则实
数a的可能取值是（ ）
A．－10 B．－9 C．2 D．3
10．（2024高二下·全国·专题练习）已知函数 ，则下列选项正确的是
（ ）
A． 在 上单调递增
B． 恰有一个极大值
C．当 时， 无实数解
D．当 时， 有三个实数解
三、填空题
11．（2023·四川遂宁·模拟预测）已知 且 ，方程 有且仅有两个不
等根，则 的取值范围为
12．（2024高三·全国·专题练习）函数 在 上的零点个数为
四、解答题
13．（23-24高三上·河南·期末）已知函数 ．
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ，研究函数 在 上的单调性和零点个数．
14．（22-23高二下·浙江杭州·期中）已知函数 .(1)求曲线 在 处的切线方程；
(2)方程 恰有两个不同的实根，求 的取值范围.
B能力提升
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 有三个零点 ，其中 ，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知函数 关于 的方程 有
且仅有4个不同的实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）已知函数 .若 ，且
，则 的取值范围是 .
4．（23-24高三下·上海·开学考试）已知定义在 上的函数 ，且
，则函数 的零点个数为 ．
5．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知函数 ，
，若关于 的方程 有6个解，则 的取值范围为
.C综合素养
1．（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）设函数 的定义域为开区间 ，若存在
，使得 在 处的切线 与 的图像只有唯一的公共点，则称
为“ 函数”，切线 为一条“ 切线”．
(1)判断 是否是函数 的一条“ 切线”，并说明理由；
(2)设 ，求证： 存在无穷多条“ 切线”；
(3)设 ，求证：对任意实数 和正数 都是“ 函数”
