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第 07 讲 利用导数研究双变量问题 (分层精练）
B能力提升C综合素养（新定义解答题）
B能力提升
1．（22-23高三上·山东·阶段练习）已知函数 ，对任意 ，存在
，使 ，则 的最小值为（ ）．
A．1 B．
C． D．
2．（22-23高三上·山东烟台·期中）若对任意正实数x，y都有
，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（22-23高三上·江苏苏州·阶段练习）已知函数 ，若
，则 可取（ ）
A． B． C．1 D．
4．（22-23高三下·安徽安庆·阶段练习）已知 ， 都是正整数，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）若实数 满足 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
6．（22-23高三·全国·专题练习）已知函数 ，若 ，且
，则 的最小值为
A． B．
C． D．7．（22-23湖南长沙·二模）已知函数 满足对于任意 ，存在
，使得 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．（22-23高三上·河北衡水·阶段练习）定义在 上的函数 满足
，当 时， ，函数 ，若
，不等式 成立，则实数 的取值范围
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（23-24高三上·河南商丘·阶段练习）已知函数 ， ，则
（ ）
A． 在 上单调递增 B． 在 上单调递减
C． ， ， D． ， ，
10．（22-23高二下·广东汕头·期中）已知函数 ， ，若
， ，则 的取值可能是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
11．（23-24高三上·山东德州·阶段练习）若对任意的 ，总存在唯一的 ，
使得 成立，则实数a的取值范围是 ．
12．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 当 时，若对于区间 上的任意两个不相等的实数 ，都有 成立，则实
数 的取值范围 .
四、解答题
13．（22-23高三上·山东泰安·期末）已知函数 ， .
(1)当 时，求函数 的曲线上点 处的切线方程；
(2)当 时，求 的单调区间；
(3)若 有两个极值点 其中 ，求 的最小值.
14．（22-23·陕西·模拟预测）已知 ，函数 .
（1）若曲线 与曲线 在它们的交点 处的切线互相垂直, 求 的值；
（2）设 ,若对任意的 ,且 ,都有
，求 的取值范围．
15．（22-23·辽宁·一模）已知函数 （ 为自然对数的底数）.
（1）求函数 的单调区间；
（2）设函数 ，存在实数 ， ，使得 成立，
求实数 的取值范围.16．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 ，其中参数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)设函数 ，存在实数 ，使得不等式
成立，求a的取值范围．
C综合素养
1．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）对于函数 、 、 ，如果存在实数
使得 ，那么称 为 、 的生成函数.
（1）下面给出两组函数， 是否分别为 、 的生成函数？并说明理由；
第一组： ， ， ；
第二组： ， ， ；
（2）设 ， ，取 ，生成函数 图象的最低点坐
标为 .若对于任意正实数 ，且 ，试问是否存在最大的常数 ，使
恒成立？如果存在，求出这个 的值；如果不存在，请说明理由.
