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第 02 讲 导数与函数的单调性 (分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
1、单选题
1．（2022高三·全国·专题练习）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·吉林长春·模拟预测）下列函数中，既是偶函数，又在区间 上单调递增的
是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知 是函数 的导数，且 ，
， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）若函数 存在单调递减区间，则
实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二下·重庆·阶段练习）若函数 在 上单调递增，则实
数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·云南贵州·二模）已知 ，则 的大关系为
（ ）
A． B．
C． D．
7．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数
在 上连续，且在 上可导，则必有 ，使得
.已知函数 ，那
么实数 的最大值为（ ）A．1 B． C． D．0
8．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数 ，若对任意的 ，
当 时，都有 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·安徽合肥·一模）函数 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·重庆·三模）德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，
引进微积分概念．在研究切线时认识到，求曲线的切线的斜率依赖于纵坐标的差值和横坐
标的差值，以及当此差值变成无限小时它们的比值，这也正是导数的几何意义．设
是函数 的导函数，若 ，对 ， ，且 ，总有
，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
11．（2024高三·全国·专题练习）若函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x在区间(1，＋∞)上单调
递减，则实数a的取值范围是 ．12．（22-23高二下·河南焦作·期末）已知函数 ， 若不等式
成立， 则实数 的取值范围为
四、解答题
13．（23-24高三上·北京丰台·期末）已知函数 ．
(1)若曲线 在点 处的切线平行于 轴，求实数 的值；
(2)求函数 的单调区间．
14．（2023高二·全国·专题练习）已知函数 ， .讨论函数
的单调性.
B能力提升
1．（2024·湖南邵阳·二模）已知函数 的定义域为 为 的导函数.若
，且 在 上恒成立，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高二下·福建宁德·阶段练习）已知 是定义在 上的函数 的导函
数，且 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．（多选）（23-24高二下·湖北·阶段练习）已知 ，其图像上
能找到A、B两个不同点关于原点对称，则称A、B为函数 的一对“友好点”，下
列说法正确的是（ ）A． 可能有三对“友好点”
B．若 ，则 有两对“友好点”
C．若 仅有一对“友好点”，则
D．当 时，对任意的 ，总是存在 使得
4．（2024·四川南充·二模）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
5．（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知函数 ．
(1)当 时，求 的单调增区间；
(2)求 的单调区间；
(3)若 在区间 上为减函数，求 的取值范围.
C综合素养（新定义解答题）
1．（23-24高三上·浙江宁波·期末）我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函
数，其一般形式为 ，幂指函数在求导时可以将函数“指数
化"再求导.例如，对于幂指函数 ， .
(1)已知 ，求曲线 在 处的切线方程；(2)若 且 ， .研究 的单调性；
(3)已知均大于0，且，讨论和大小关系.
