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第 01 讲 导数的概念及运算(分层精练）
A夯实基础B能力提升C新定义题
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24高二下·江苏·阶段练习）若某质点的运动方程是 （单位： ），
则在 时的瞬时速度为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高二下·重庆黔江·阶段练习）设函数 在 处存在导数为2，则
（ ）
A．1 B．2 C． D．3
3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）下列函数求导正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二上·山西·期末）若函数 ，则 （ ）
A．0 B． C． D．
5．（2024 高二下 ·全国·专题练习）函数 的导函数 ，满足关系式
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二下·湖南岳阳·开学考试）设函数 的图象与 轴相交于点 ，则该
曲线在点 处的切线方程为（ ）
A． B．C． D．
7．（21-22高二下·北京房山·期中）函数 的图象如图所示，则 与 的大
小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知函数 ，
则 的图象在 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（23-24高二下·湖北·阶段练习）下列命题正确的有（ ）
A．已知函数 在 上可导，若 ，则
B．
C．已知函数 ，若 ，则D．设函数 的导函数为 ，且 ，则
10．（2024高二下·全国·专题练习）各地房产部门为尽快稳定房价，提出多种房产供应方
案，其中之一就是在规定的时间T内完成房产供应量任务 ．已知房产供应量Q与时间t
的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，在时间 内供应效率（单位时间
的供应量）不逐步提高的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
11．（23-24高三下·天津·开学考试）函数 的图象在 处切线的斜
率为 .
12．（23-24高三下·广西南宁·开学考试）已知 ，则曲线 在点 处
的切线方程为 .
四、解答题
13．（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知曲线 ，设 点坐标为 ，
(1)求曲线在点 处的切线方程；
(2)求曲线过点 的切线方程．
(3)若曲线在点 处的切线与曲线 相切，求 点的坐标14．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）已知点 和点 是曲线 上的两点，且点
的横坐标是 ，点 的纵坐标是 ，求：
(1)割线 的斜率；
(2)在点 处的切线方程.
15．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）已知函数 与函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求曲线 与曲线 在公共点处的公切线方程．
B能力提升
1．（2024·河北·一模）函数 的导数 仍是x的函数，通常把导函数
的导数叫做函数的二阶导数，记作 ，类似地，二阶导数的导数叫做三
阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数……．一般地， 阶导数的导数叫做n阶导数，函数 的n阶导数记为 ，例如 的n阶导数 ．若
，则 （ ）
A． B．50 C．49 D．
2．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知函数 在点 处的切线与曲线
只有一个公共点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·山东聊城·期末）最优化原理是指要求目前存在的多种可能的方案中，选
出最合理的，达到事先规定的最优目标的方案，这类问题称之为最优化问题.为了解决实际
生活中的最优化问题，我们常常需要在数学模型中求最大值或者最小值.下面是一个有关曲
线与直线上点的距离的最值问题，请你利用所学知识来解答：若点 是曲线
上任意一点，则 到直线 的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·广东·一模）设点 在曲线 上，点 在直线 上，则 的最小值为
（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高三上·河北·阶段练习）已知 ， ，若直线 与曲线相切，则 的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
C新定义题
1．（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法
则中有结论：若函数 ， 的导函数分别为 ， ，且 ，
则
.
②设 ，k是大于1的正整数，若函数 满足：对任意 ，均有 成
立，且 ，则称函数 为区间 上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断 是否为区间 上的2阶无穷递降函数；
(2)计算： ；
(3)证明： ， .
