文档文本内容
第 05 讲 利用导数研究不等式能成立（有解）问题
目录
第一部分：基础知识...............................................................................................1
第二部分：高考真题回顾........................................................................................2
第三部分：高频考点一遍过....................................................................................3
高频考点一：分离变量法..................................................................................3
高频考点二：分类讨论法..................................................................................4
高频考点三：等价转化法..................................................................................6
高频考点四：最值定位法解决双参不等式问题................................................8
高频考点五：值域法解决双参等式问题.........................................................10
第四部分：新定义题.............................................................................................12
第一部分：基础知识
1、分离参数法
用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，
另一端是变量表达式的不等式；
步骤：
①分类参数（注意分类参数时自变量 的取值范围是否影响不等式的方向）
②转化： ，使得 能成立 ；
，使得 能成立 ．
③求最值.
2、分类讨论法如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以
考虑二次项系数与判别式的方法( ， 或 ， )求解．
3、等价转化法
当遇到 型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数
或者“右减左”的函数 ，进而只需满足 ，或者
，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题.
4、最值定位法解决双参不等式问题
（1） , ,使得 成立
（2） , ,使得 成立
（3） , ,使得 成立
（4） , ,使得 成立
5、值域法解决双参等式问题
, ,使得 成立
① ，求出 的值域，记为
② 求出 的值域，记为
③则 ,求出参数取值范围.
第二部分：高考真题回顾
1．（2021·天津·高考真题）已知 ，函数 ．
（I）求曲线 在点 处的切线方程：
（II）证明 存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得 对任意 成立，求实数b的取值范围．第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：分离变量法
典型例题
例题1．（2024·四川宜宾·二模）已知不等式 有解，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例题2．（23-24高二下·江西景德镇·阶段练习）已知函数 ，若 ，不等式
在 上存在实数解，则实数 的取值范围 ．
例题3．（2024·福建泉州·模拟预测）（1）已知 ，求 的最大值与最小值；
（2）若关于x的不等式 存在唯一的整数解，求实数a的取值范围.
例题4．（23-24高三上·青海西宁·期末）已知函数 .
(1)证明： .
(2)若关于 的不等式 有解，求 的取值范围.
练透核心考点
1．（2024·吉林延边·一模）若对任意 ，存在实数 ，使得关于x的不等式 成
立，则实数 的最小值为 ．2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，若存在 ，使得 ，则实数 的取
值范围 ．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ， ，若 使不等式
成立，求 的取值范围.
4．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 .
(1)求函数 的极值；
(2)若存在 ，使得 成立，求实数m的最小值.
高频考点二：分类讨论法
典型例题
例题1．（23-24高二上·福建福州·期末）已知关于 的不等式 解集中恰有3个不同的正整
数解，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 .
(1)求函数 的极值；
(2)若对任意 有解，求 的取值范围.
例题3．（23-24高二下·重庆綦江·期中）已知函数 （ ）， （
）．
(1)若函数 在 处的切线方程为 ，求实数 与 的值；
(2)当 时，若对任意的 ，存在 ，使得 ，求实数 的取值范围．
例题4．（2024·四川泸州·二模）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 ， ，求实数a的取值范围．
练透核心考点
1．（23-24高二下·江苏泰州·期中）若 ，不等式 恒成立，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 ，若在 上存在一点 ，
使得 成立，求 的取值范围.3．（23-24·吉林长春·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求 的单调区间与极值；
(2)若 在 上有解，求实数a的取值范围.
4．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知函数 .
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若存在 ，使得 ，求 的取值范围.高频考点三：等价转化法
典型例题
例题1．（2024·浙江·模拟预测）已知函数 ， ，若关于 的不等式
有解，则 的最小值是 .
例题2．（2024·江苏·一模）已知函数 ，函数 .
(1)若过点 的直线 与曲线 相切于点 ，与曲线 相切于点 .
①求 的值；
②当 两点不重合时，求线段 的长；
(2)若 ，使得不等式 成立，求 的最小值.例题3．（23-24高二下·海南省直辖县级单位·期中）已知 .
(1)求函数 的最小值；
(2)若存在 ，使 成立，求实数a的取值范围；
练透核心考点
1．（23-24高二下·北京·期中）已知函数 ， .
(1)求 的单调区间；
(2)若存在 （ 是常数， ）使不等式 成立，求实数a的取值范围.
2．（2023·河北承德·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
3．（23-24高二下·山东聊城·阶段练习）已知函数 ，
(1)若 ，且对于任意 ， 恒成立，求实数k的取值范围；
(2)令 ，若至少存在一个实数 ，使 成立，求实数k的取值范围．高频考点四：最值定位法解决双参不等式问题
典型例题
例题1．（23-24高三上·福建莆田·期中）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的最小值；
(2)若 ，且对 ，都 ，使得 成立，求实数 的取值范
围．
例题2．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 ，其中参数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)设函数 ，存在实数 ，使得不等式 成立，
求a的取值范围．例题3．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)设 ．当 时，若对 ， ，使 ，求实数 的取值范
围．
练透核心考点
1．（23-24高二下·四川绵阳·期中）已知函数 ．
(1)若函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围；
(2)若函数 ，对 ， ，使得 成立，求实数 的取值范围．
2．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 ，其中参数 ．设函数
，存在实数 ，使得不等式 成立，求a的取值
范围．3．（23-24高二下·甘肃张掖·阶段练习）已知函数 为 的导数.
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2) ，若对任意 ，均存在 ，使得 ，求实数 的取值
范围.
高频考点五：值域法解决双参等式问题
典型例题
例题1．（23-24高一下·河南·阶段练习）已知函数 和函数
.
(1)当 时，满足不等式 成立，求实数 的取值范围；
(2)若函数 在 上单调递增，且对于任意 ，总存在 ，使得 成立，
求实数 的取值范围.
例题2．（23-24高一上·辽宁辽阳·期末）已知函数 ．
(1)求 的解析式；
(2)若函数 ， ， ， ，求 的取值范围．例题3．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）己知函数
(1)当 时，解不等式 ；
(2)已知 ，当 时，若对任意的 ，总存在 ，使 成立，求
实数m的取值范围．
练透核心考点
1．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知函数 .
(1)求不等式 的解集.
(2)记 ，对 ，总 使得 成立，求实数 的取值范围.
2．（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）已知函数 ， ，
(1)若不等式 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围；
(2)若对任意的 ，存在 ，使得 ，求实数 的取值范围．
3．（23-24高一上·北京·期中）“函数 的图象关于点 对称”的充要条件是“对于函数 定义
域内的任意 ，都有 ，若函数 的图象关于点 对称，且当 时，
(1)求 的值；(2)设函数
①证明函数 的图象关于点 称；
②若对任意 ，总存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.
第四部分：新定义题
.1．（23-24高一下·湖南长沙·开学考试）若函数 对定义域内的每一个值 ，在其定义域内都存在
唯一的 ，使 成立，则称该函数为“依赖函数”.
(1)判断函数 是否为“依赖函数”，并说明理由；
(2)已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.
