文档文本内容
第 01 讲 集合
目录
第一部分：基础知识..................................................1
第二部分：高考真题回顾..............................................3
第三部分：高频考点一遍过............................................3
高频考点一：集合的基本概念.......................................3
高频考点二：元素与集合的关系.....................................4
高频考点三：集合中元素的特性.....................................5
高频考点四：集合的表示方法.......................................5
高频考点五：集合的基本关系.......................................6
高频考点六：集合的运算...........................................7
高频考点七： 图的应用.........................................8
高频考点八：集合新定义问题.......................................9
第四部分：典型易错题型.............................................11
第五部分：新定义题（解答题）.......................................11
第一部分：基础知识
1、元素与集合
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为： 和 .
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（ 图）.
（4）常见数集和数学符号
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号
或
说明：①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这
个集合中就确定了.给定集合 ，可知 ,在该集合中， ,不在该集合中；
②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.
集合 应满足 .
③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合 和 是同一个集合.
④列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫做列举法.
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，
在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
2、集合间的基本关系
（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合 、 ，如果集合 中任意一个元素都是集合 中的元
素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 为集合 的子集 ，记作 （或 ），读作“
包含于 ”（或“ 包含 ”）.
（2）真子集（proper subset）：如果集合 ，但存在元素 ，且 ，我们称集合 是集合
的真子集，记作 （或 ）.读作“ 真包含于 ”或“ 真包含 ”.
（3）相等：如果集合 是集合 的子集（ ，且集合 是集合 的子集（ ），此时，集合
与集合 中的元素是一样的，因此，集合 与集合 相等，记作 .
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作 ； 是任何集合的子集，是任何非空
集合的真子集.
3、集合的基本运算
（1）交集：一般地，由属于集合 且属于集合 的所有元素组成的集合，称为 与 的交集，记作
，即 ．
（2）并集：一般地，由所有属于集合 或属于集合 的元素组成的集合，称为 与 的并集，记作
，即 ．
（3）补集：对于一个集合 ，由全集 中不属于集合 的所有元素组成的集合称为集合 相对于全集
的补集，简称为集合 的补集，记作 ，即 ．
4、集合的运算性质
（1） ， ， ．
（2） ， ， ．
（3） ， ， ．5、高频考点结论
（1）若有限集 中有 个元素，则 的子集有 个，真子集有 个，非空子集有 个，非空真
子集有 个．
（2）空集是任何集合 的子集，是任何非空集合 的真子集．
（3） ．
（4） , ．
第二部分：高考真题回顾
1．（2023·全国·（乙卷文））设全集 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国（甲卷理））设全集 ,集合 ，
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·（新课标Ⅰ））设集合 ， ，若 ，则 （ ）．
A．2 B．1 C． D．
4．（2023·全国（新课标Ⅱ））已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．2
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：集合的基本概念
典型例题
例题1．（多选）（2024上·河南安阳·高一安阳一中校联考期末）下列说法中不正确的是（ ）
A．0与 表示同一个集合；
B．集合 与 是两个相同的集合；
C．方程 的所有解组成的集合可表示为 ；D．集合 可以用列举法表示．
例题2．（多选）（2024·全国·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
A． ；
B．某中学新高一全体学生可以构成一个集合；
C．集合 有两个元素；
D．小于10的自然数按从大到小的顺序排列和按从小到大的顺序排列分别得到不同的两个集合.
练透核心考点
1．（2023上·江苏·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．0与 的意义相同
B．某市文明市民可以组成一个集合
C．集合 是无限集
D．方程 的解集有二个元素
2．（多选）（2024上·全国·高一专题练习）(多选题)下列各组对象能组成集合的是（ ）
A．大于6的所有整数
B．高中数学的所有难题
C．被3除余2的所有整数
D．函数 图象上所有的点
高频考点二：元素与集合的关系
典型例题
例题1．（2024上·河南省直辖县级单位·高一统考期末）下列各式中：① ；② ；③ ；④
；⑤ ；⑥ ．正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例题2．（2024上·四川德阳·高一统考期末）若 ，则 ．
例题3．（2024·全国·高一专题练习）已知集合 ，其中 .
(1)若集合 中有且仅有一个元素，求实数 组成的集合 .
(2)若集合 中至多有一个元素，求实数 的取值范围.练透核心考点
1．（2024上·江西萍乡·高一统考期末）已知集合 ，若 ，则a的值可能为
（ ）
A． ，3 B． C． ，3，8 D． ，8
2．（2024上·江苏南通·高三统考期末）集合 ，若A中元素至多有1个，则
a的取值范围是 ．
3．（2024上·云南大理·高一统考期末）已知集合 .
(1)当 时，求集合 ；
(2)若集合 只有2个子集，求实数 的值.
高频考点三：集合中元素的特性
典型例题
例题1．（2024上·全国·高一专题练习）若集合中的三个元素分别为 ,则元素 应满足的条件是
．
例题2．（2024·全国·高一专题练习）已知集合 若 ，则
.
例题3．（2024上·全国·高一专题练习）已知集合 ， ，若 ， ，则
.
练透核心考点
1．（多选）（2024·全国·高一专题练习）设集合 ，且 ，则x的值可以为（ ）
A．3 B． C．5 D．
2．（2024·全国·高一专题练习）集合 ，若 ，则
3．（2024上·全国·高一专题练习）已知集合 }中各元素之和等于3，求实
数 的值，并用列举法表示集合 .高频考点四：集合的表示方法
典型例题
例题1．（2024·全国·高三专题练习）已知集合 ，则集合 的元素个数为
（ ）
A．3 B．2 C．4 D．5
例题2．（2023上·云南昆明·高一官渡五中校考期中）已知集合 ， ，集合
满足 ，则所有满足条件的集合 的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
例题3．（2024下·上海·高一开学考试）用列举法表示集合 为： .
练透核心考点
1．（2024上·四川雅安·高一校考期末）集合 用列举法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·全国·高一专题练习）集合 的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2024上·上海嘉定·高三校考期中）已知集合 ，则集合
用列举法表示为 .
高频考点五：集合的基本关系
典型例题
例题1．（2023·福建宁德·福建省宁德第一中学校考二模）已知全集 ，集合 ，
， ．
（1）求 ；
（2）若 ，求实数 的取值范围．例题2．（2024上·云南昆明·高一统考期末）已知全集 ，集合
．
(1)当 时，求 ；
(2)若 ，求实数 的取值范围．
例题3．（2024上·山东聊城·高一统考期末）函数 的值域为 ，
的定义域为 ．
(1)求 ；
(2)若 ，求实数 的取值范围．
练透核心考点
1．（2024下·浙江温州·高一浙江省乐清中学校联考开学考试）已知集合 ，
．
(1)求 ；
(2)记关于 的不等式 的解集为 ，若 ，求实数 的取值范围．
2．（2024上·湖南长沙·高一统考期末）已知集合 或 ．
(1)当 时，求 ；
(2)若 ，求实数 的取值范围．3．（2024上·贵州毕节·高一统考期末）设集合 ．
(1)求集合 ；
(2)记 或 ，若“ ”是“ ”的必要不充分条件，求实数 的取值范
围．
高频考点六：集合的运算
典型例题
例题1．（2024上·陕西西安·高一西安市西光中学校联考期末）已知集合 ，
，若集合A，B中至少有一个非空集合，实数a的取值范围 .
例题2．（2024上·山东菏泽·高一菏泽一中校考阶段练习）已知集合 ， ，
若满足 ，则实数a的值为 ．
例题3．（2024上·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期末）已知集合 ，
， ，其中
(1)若 ；
(2)若 ，求 的取值范围．
练透核心考点
1．（2024·全国·高三专题练习）设集合 ， ，则 ，则
实数a的取值范围为 .
2．（2024·全国·校联考模拟预测）若集合 ， ， ，则
的最小值为 .
3．（2024上·河南洛阳·高一统考期末）已知全集为 ， ， ．(1)求 ；
(2)若 ，且 ，求实数 的取值范围．
高频考点七： 图的应用
典型例题
例题1．（2024·全国·高三专题练习）某小学对小学生的课外活动进行了调查.调查结果显示：参加舞蹈课
外活动的有63人，参加唱歌课外活动的有89人，参加体育课外活动的有47人，三种课外活动都参加的有
24人，只选择两种课外活动参加的有46人，不参加其中任何一种课外活动的有15人.问接受调查的小学生
共有多少人？（ ）
A．120 B．144 C．177 D．192
例题2．（2024上·上海·高一上海市行知中学校考期末）定义集合运算 且 称为集合A
与集合B的差集；定义集合运算 称为集合A与集合B的对称差，有以下4个等式：
① ；② ；③ ；④
，则4个等式中恒成立的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
例题3．（2024上·山东滨州·高一校考期末）某班举行数学、物理、化学三科竞赛，每人至少参加一科，
已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中同时只参加数学、
物理两科的有10人，同时只参加物理、化学两科的有7人，同时只参加数学、化学两科的有11人，而参
加数学、物理、化学三科的有4人，则全班共有 人．
练透核心考点
1．（2024上·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）已知全集为U，集合M，N满足 ，则下列
运算结果为U的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2024·全国·高一专题练习）某社区老年大学秋季班开课，开设课程有舞蹈，太极、声乐.已知秋季班课
程共有90人报名，其中有45人报名舞蹈，有26人报名太极，有33人报名声乐，同时报名舞蹈和报名声
乐的有8人，同时报名声乐和报名太极的有5人，没有人同时报名三门课程，现有下列四个结论：
①同时报名舞蹈和报名太极的有3人；
②只报名舞蹈的有36人；
③只报名声乐的有20人；
④报名两门课程的有14人.
其中，所有正确结论的序号是 .3．（2024·全国·高三专题练习）2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，
学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建
党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党
伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4
人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，
三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为 .
高频考点八：集合新定义问题
典型例题
例题1．（2024上·北京丰台·高一统考期末）记 为非空集合A中的元素个数，定义
.若 ， ，且 ，设实数a
的所有可能取值组成的集合是S，则 等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例题2．（2024·全国·模拟预测）大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现
象，而笛卡尔积会产生大量的数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需
要了解笛卡尔积．两个集合 和 ，用 中元素为第一元素， 中元素为第二元素构成有序对，所有这样
的有序对组成的集合叫作 与 的笛卡儿积，又称直积，记为 ．即 且 ．关
于任意非空集合 ，下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（2024·广东·惠州一中校联考模拟预测）已知集合 中含有三个元素 ，同时满足① ；
② ；③ 为偶数，那么称集合 具有性质 .已知集合 ，对
于集合 的非空子集 ，若 中存在三个互不相同的元素 ，使得 均属于 ，则称集合
是集合 的“期待子集”.
(1)试判断集合 是否具有性质 ，并说明理由；
(2)若集合 具有性质 ，证明：集合 是集合 的“期待子集”；
(3)证明：集合 具有性质 的充要条件是集合 是集合 的“期待子集”.练透核心考点
1．（2024·全国·高一专题练习）设集合 为实数集 的非空子集，若对任意 ， ，都有
， ， ，则称集合S为“完美集合”，给出下列命题：
①若 为“完美集合”，则一定有 ；
②“完美集合”一定是无限集；
③集合 为“完美集合”；
④ 若 为“完美集合”，则满足 的任意集合 也是“完美集合”.
其中真命题是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
2．（2024·全国·高一专题练习）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集
合有公共元素且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合 ，
，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024上·北京通州·高一统考期末）已知有 个连续正整数元素的有限集合 （
， ），记有序数对 ，若对任意 ， ， ， 且
，A同时满足下列条件，则称 为 元完备数对.
条件①： ；
条件②： .
(1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由；
(2)试证明不存在8元完备数对.
第四部分：典型易错题型
1．（2024上·全国·高一专题练习）已知集合 ，若集合A中至多有一个元素，
则实数a应满足（ ）
A． B． C． 或 D．不确定2．（2023·吉林延边·统考二模）已知集合 的元素只有一个，则实数a的值为（ ）
A． B．0 C． 或0 D．无解
第五部分：新定义题（解答题）
1．（2024·广东·惠州一中校联考模拟预测）已知集合 中含有三个元素 ，同时满足① ；②
；③ 为偶数，那么称集合 具有性质 .已知集合 ，对于
集合 的非空子集 ，若 中存在三个互不相同的元素 ，使得 均属于 ，则称集合
是集合 的“期待子集”.
(1)试判断集合 是否具有性质 ，并说明理由；
(2)若集合 具有性质 ，证明：集合 是集合 的“期待子集”；
(3)证明：集合 具有性质 的充要条件是集合 是集合 的“期待子集”.
2．（2024·全国·高三专题练习）定义1：通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族（collection）.
定义2：集合 上的一个拓扑（topology）乃是 的子集为元素的一个族 ，它满足以下条件：（1） 和
在 中；（2） 的任意子集的元素的并在 中；（3） 的任意有限子集的元素的交在 中.
(1)族 ，族 ，判断族 与族 是否为集合 的拓扑；
(2)设有限集 为全集
（i）证明： ；
（ii）族为集合上的一个拓扑，证明：由族所有元素的补集构成的族为集合上的一个拓扑.
