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第 07 讲 利用导数研究双变量问题
目录
第一部分：基础知识...............................................................................................1
第二部分：高考真题回顾........................................................................................2
第三部分：高频考点一遍过....................................................................................2
高频考点一:分离双参，构造函数......................................................................2
高频考点二：糅合双参（比值糅合）...............................................................4
高频考点三：糅合双参（差值糅合）...............................................................6
高频考点四：变更主元法..................................................................................7
高频考点五：利用对数平均不等式解决双变量问题........................................8
第四部分：新定义题.............................................................................................10
第一部分：基础知识
1、导数中求解双变量问题的一般步骤：
（1）先根据已知条件确定出变量 满足的条件；
（2）将待求的问题转化为关于 的函数问题，同时注意将双变量转化为单变量，具体有两种可行的方
法：①通过将所有涉及 的式子转化为关于 的式子，将问题转化为关于自变量 （ 亦可）的函数
问题；②通过 的乘积关系，用 表示 （用 表示 亦可），将双变量问题替换为 （或 ）的单变
量问题；
（3）构造关于 或 的新函数，同时根据已知条件确定出 或 的范围即为新函数定义域，借助新函数
的单调性和值域完成问题的分析求解.
2、破解双参数不等式的方法：一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等
式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果
第二部分：高考真题回顾
1．（2022·浙江·高考真题）设函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)已知 ，曲线 上不同的三点 处的切线都经过点 ．证
明：
（ⅰ）若 ，则 ；
（ⅱ）若 ，则 ．
（注： 是自然对数的底数）
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一:分离双参，构造函数
典型例题
例题1．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数 ， ．
(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程；(2)若函数 有两个零点 ， ，求实数 的取值范围；
(3)在（2）的条件下，证明： ．
例题2．（22-23高二下·福建龙岩·期中）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有两个零点 ， ，证明： .
练透核心考点
1．（22-23高二下·河北邢台·期末）已知函数 .
(1)若 为增函数，求 ；
(2)若 ， 有两个零点 ， ，且 ，证明： .
2．（2023·海南海口·模拟预测）已知函数 .
(1)求 的最小值；
(2)设 .
（ⅰ）证明： 存在两个零点 ， ；
（ⅱ）证明： 的两个零点 ， 满足 .高频考点二：糅合双参（比值糅合）
典型例题
例题1．（23-24高三上·河北沧州·阶段练习）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若存在不相等的实数 ，使得 ，证明： ．
例题2．（23-24高三下·甘肃·开学考试）已知函数 .
(1)若 在 上单调递增，求 的取值范围；
(2)若 有2个极值点 ，求证： .
例题3．（2024·四川·一模）已知函数 ．
(1)若 ，求 的最小值；
(2)若 有2个零点 ，证明： ．练透核心考点
1．（2022·全国·模拟预测）设函数 .
(1)若 ，求函数 的最值；
(2)若函数 有两个不同的极值点，记作 ，且 ，求证： .
2．（2024高三上·全国·专题练习）已知函数 ，其中 .
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 ， 时，证明： .
3．（22-23高三下·湖北咸宁·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时， ，求实数的取值范围;
(2)若 ，使得 ，求证： ．高频考点三：糅合双参（差值糅合）
典型例题
例题1．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知函数 .
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 ， ，且 有两个极值点，分别为 和 ，求 的最小值.
例题2．（23-24高二上·江苏盐城·期末）设函数 ,
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 ， 是函数 的两个零点，且 ，求 的最小值.
练透核心考点
1．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数 .
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若 有两个极值点，分别为 和 ，求 的最小值.2．（22-23高二下·浙江·阶段练习）已知函数 .
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)记函数 ，且 的最小值为 .
（i）求实数 的值；
（ii）若存在实数 满足 ，求 的最小值.
高频考点四：变更主元法
典型例题
例题1．（23-24高一上·云南·期末）若不等式 对任意 恒成立，则 的取值
范围为 ．
例题2．（20-21高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知 ，若对任意的 ，总有
，则 的范围是 ．
例题3．（2024高三·全国·专题练习）已知二次函数 （ ， 为实数）
(1)若函数图象过点 ，对 ， 恒成立，求实数 的取值范围；(2)若函数图象过点 ，对 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
练透核心考点
1．（23-24高一上·四川成都·开学考试）已知 ，不等式 恒成立，则x的取
值范围 ．
2．（2024高三·全国·专题练习）设函数 是定义在 上的增函数．若不等式
对于任意 恒成立，求实数x的取值范围.
高频考点五：利用对数平均不等式解决双变量问题
典型例题
例题1．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 .若 有两个零点 ，证明：
.
例题2．（2023·广东广州·模拟预测）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性：
(2)若 是方程 的两不等实根，求证： ；练透核心考点
1．（2023·北京通州·三模）已知函数
(1)已知f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 ，求实数a的值；
(2)已知f（x）在定义域上是增函数，求实数a的取值范围.
(3)已知 有两个零点 ， ，求实数a的取值范围并证明 .
2．（2023·湖北武汉·模拟预测）已知 ．
(1)当 时，讨论函数 的极值点个数；
(2)若存在 ， ，使 ，求证： ．第四部分：新定义题
1．（2023·湖北·二模）设 是定义在区间 上的函数，其导函数为 ．如果存在实数a和函数
，其中 对任意的 都有 ，使得 ，则称函数 具有性质
．
(1)设函数 ，其中b为实数．
（i）求证：函数 具有性质 ；
（ii）求函数 的单调区间．
(2)已知函数 具有性质 .给定 ， ，设m为实数，
，，且，，若，求m的取值范围．
