文档文本内容
第 05 讲 利用导数研究不等式能成立（有解）问题
(分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（23-24高一下·湖北·开学考试）下列选项中是“ ， ”成立的一
个必要不充分条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】变形得到 ，根据函数单调性得到 ，故
，由于 是 的真子集，故A正确，其他选项不合要求.
【详解】 ， ，
即 ， ，
∴ ，其中 在 上单调递减，
在 上单调递增，
其中 时， ，当 时， ，
故 ，即 ，
由于 是 的真子集，故“ ”的必要不充分条件为“ ”，
其他选项均不合要求.
故选：A
2．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意得出 求解即可.
【详解】 ， ，所以， ，在 上单调递减，所以 ，
当 时， ，即 ，取 成立.
当 时， ，即 ，得 ，所以
当 时， ，即 ，得 ，所以 ，
综上： 的取值范围是 .
故选：A
3．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）在 上定义新运算 ，若存在实数
，使得 成立，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得存在实数 ，使得 ，则 ，求出函数
在区间 上的最大值，即可得出实数 的取值范围，即可得解.
【详解】由已知，存在实数 ，使得 ，则
，
因为二次函数 在区间 上单调递减，则 ，
所以， ，故实数 的最大值为 .
故选：A.
4．（22-23高一上·辽宁营口·期末）已知函数 ， ，若
， ，使得 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意得到 ，根据函数单调性得到 ，
，得到不等式，求出实数 的取值范围是 .
【详解】若 ， ，使得 ，故只需 ，
其中 在 上单调递减，故 ，
在 上单调递增，故 ，
所以 ，解得： ，
实数 的取值范围是 .
故选：C
5．（23-24高一上·浙江绍兴·期中）若存在 ，有 成立，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分离参数得 在 上有解，从而 ，利用对勾函
数的单调性求得最值即可求解.
【详解】因为存在 ，有 成立，
所以 在 上有解，所以 ，
记 ， ，令 ，则 ， ，
由对勾函数单调性知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
又当 时， 的函数值为 ，当 时， 的函数值为 ，且 ,
所以 ，即实数 的取值范围是 .
故选：B.
6．（23-24高一上·河北石家庄·期中）在 上定义运算： ．已知
时，存在 使不等式 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依题意可得当 时存在 使不等式 成立，令 ，
，根据二次函数的性质求出 的最大值，即可得到 ，解得即可.【详解】依题意不等式 ，即 ，
即 ，
则当 时存在 使不等式 成立，
即当 时存在 使不等式 成立，
令 ， ，
因为 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 、 、 ，所以 ，
所以 ，解得 ，即实数 的取值范围为 .
故选：A
7．（23-24高一上·重庆南岸·期中）已知函数 满足条件：
在R上是减函数，若 ，使
成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将问题转化为 能成立，再利用对勾函数的单调性即可得解.
【详解】因为 ，
所以 ， ，
所以 ，可化为 ，
因为 在R上是减函数，所以 ，
所以问题转化为 ，使 成立，即 ，则 ，
因为对勾函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 或 时， 取得最大值 ，
所以 ，即 .
故选：B.8．（23-24高三上·湖南衡阳·阶段练习）已知 ， ，
，使 成立.则a的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将问题化为 在 上成立，利用指对数的单调性求对应最
值，再求解不等式解集即可.
【详解】由题设 ，使 成立，
所以 在 上成立，
对于 ，有 ，
对于 ，有 ，
所以 ，即 ，可得 .
故选：B
二、多选题
9．（22-23高一上·山东临沂·期末）已知函数 （ ，
）， ，函数 的图像过点 ，且关于直线 对称，若对任意的
，存在 ，使得 ，则实数m的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】根据已知列方程可求出 的解析式，将问题转化为在给定区间
恒成立，求出函数 最小值，然后把问题转化成 ，进而
求解即可.
【详解】∵ 的图像关于直线 对称，∴ ，即 ，
由于 ，故 ，
又∵函数 的图像过点 ，
∴ ，解得 ．
于是 ；
又“对任意 ，存在 ，使得 ”等价于“
”，
当 时， ，
即 ，即 ．
于是 ，即 ，
又 ，
∴ ，
即 .
的取值范围是 ．
故选：CD
10．（23-24高三上·广东惠州·阶段练习）已知命题“ ， ”为假命
题，则实数 的可能取值是（ ）
A．1 B．3 C． D．4
【答案】BD
【分析】根据题意，由条件可得“ ， ”为真命题，然后分离参
数，即可得到结果.
【详解】因为命题“ ， ”为假命题，
则命题“ ， ”为真命题，
所以 ， ，令 ，因为 为增函数， 为增函数，
所以 在 单调递增，当 时，有最小值，即 ，
所以 .
故选：BD
三、填空题
11．（23-24高一上·重庆·期末）已知函数 ，若存在 ，使得不等式
成立，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据存在性的性质，结合二次函数的单调性进行求解即可.
【详解】因为函数 的对称轴为 ，
所以当 时，该二次函数单调递增，所以 ，
因为存在 ，使得不等式 成立，
所以有 ，或 ，
因此实数 的取值范围为 ，
故答案为：
12．（21-22高三下·浙江·阶段练习）已知函数 ， ，若存在
，任意 ，使得 ，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】将问题转化为在对应区间上 ，结合对勾函数、对数函数的性质求
、 的区间最值，即可求 的范围.
【详解】若 在 上的最大值 ， 在 上的最大值 ，
由题设，只需 即可.
在 上， 当且仅当 时等号成立，
由对勾函数的性质： 在 上递增，故 .
在 上， 单调递增，则 ，
所以 ，可得 .故答案为： .
四、解答题
13．（23-24高一上·广西玉林·期中）已知函数 （ ，且 ）的部分图象
如图示．
(1)求 的解析式；
(2)若关于x的不等式 在 上有解，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2) ．
【分析】（1）结合图象，利用待定系数法即可得解；
（2）将问题转化为 在 有解，结合函数的单调性即可得解.
【详解】（1）由图象可知函数 经过点 和 ，
所以 ，解得 ，
所以函数 的解析式是 ．
（2）由（1）知 ， ，
根据题意知 ，即 在 有解，
设 ，则 ，
因为 和 在 上都是单调递增函数，
所以 在 上是单调递增函数，故 ，
所以 ，实数m的取值范围是 ．
14．（22-23高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数 .(1)求 在 上的值域；
(2)当 时，已知 ，若 ，使得 ，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将 化为关于 的类二次函数，结合换元法和二次函数性质可求
在 上的值域；
（2）若 ，使得 ，则问题转化为：
分别求出最值解不等式即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）当 ，
令 ，
则 ，
由于函数 在 上单调递增，
故当 时， 取得最小值 ；
当 时， 取得最大值 ，
所以 的值域为 ；
（2）若 ，使得 ，
则问题转化为：
因为 的值域为 ，
；
在 上单调递增，
当 时， ；
所以
即 ，所以 的取值范围为： .
B能力提升
1．（2023·四川绵阳·三模）设函数 为 与 中较大的数，若存在 使
得 成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据绝对值函数的图像和二次函数讨论对称轴判定函数的图像即可求解.
【详解】因为 ，
所以 代表 与 两个函数中的较大者，
不妨假设
的函数图像如下图所示：
是二次函数，开口向上，对称轴为直线 ，
①当 时，
在 上是增函数，
需要 即 ，
则存在 使得 成立，
故 ；
②当 时，在 上是先减后增函数，
需要 ，
即 ，
解得 或 ，
又 ，
故 时无解；
③当 时，
在 上是减函数，
需要 即 ，
则存在 使得 成立，
故 .
综上所述， 的取值范围为 .
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是理解f(x)的定义，数形结合对参数a分
三种情况进行分别讨论.
2．（22-23高一上·山东潍坊·期末）已知函数 的定义域为 ，若 ，满
足 ，则称函数 具有性质 ．已知定义在 上的函数
具有性质 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数新定义可推得 ， 恒成立，即
， 的值域M，满足 ，求出M，列出不等式，即可
求得答案.
【详解】由题意得定义在 上的函数 具有性质 ，
即 ，满足 ，即 ， 恒成立；
记函数 ， 的值域为M， ，
则由题意得 ,
当 ，即 时， 在 单调递减，
则 ，即 ,此时不满足 ，舍去；
当 ，即 时， 在 时取得最大值，
即 ，即 ,
要满足 ，需 ，解得 或 ，
而 ，故 ，即m的取值范围为 ，
故选：D
【点睛】方法点睛：根据函数新定义，要能推出 ，
恒成立，继而将问题转化为集合之间的包含问题，因此要求出函数 的值
域，根据集合的包含关系列不等式求解即可.
3．（2022高三·全国·专题练习）已知关于 的不等式 有且仅有两个正整数解
（其中 为自然对数的底数），则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】问题转化为 （ ）有且仅有两个正整数解，讨论 、 并
构造 、 ，利用导数研究单调性，进而数形结合列出不等式组求参
数范围.
【详解】当 时，由 ，可得 （ ），
显然当 时，不等式 在 恒成立，不合题意；
当 时，令 ，则 在 上单调递增，
令 ，则 ，故 上 ， 上 ，∴ 在 上递增，在 上递减，
又 且 趋向正无穷时 趋向0，故 ，
综上， 图象如下：
由图知：要使 有两个正整数解，则 ，即 ，解得
．
故选：D
【点睛】关键点点睛：问题转化为 （ ）有且仅有两个正整数解，根据不
等式两边的单调性及正整数解个数列不等式组求范围.
4．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知 为实数，用 表示不大于 的最大整数．对于函
数 ，若存在 且 ，使得 ，则称 是“ 函数”．若
函数 是“ 函数”，则正实数 的取值范围是
【答案】 且
【分析】由函数定义得 且 ， ，且 ，
，进而有 能成立，就 的不同取值范围分类讨论后可求参数的取值范围.【详解】由题设， 且 ， ，且 ，
，
所以 能成立，即 能成立，则 ，
所以 ，
若 ，则 ， ，舍；
若 ，则 ， ，舍；
若 ，则 ， ，此时 ；
若 ，则 ， ，此时 ；
若 ，则 ，与题设矛盾，
若 ，则 ， ，此时 ，
若 ，则 ， ，此时 ，
若 ， ，舍；
故正实数 的取值范围是 且 .
故答案为： 且
【点睛】关键点点睛：由新定义得到 能成立，得 ，讨论 的
取值范围后可确定参数的取值范围.
C综合素养
1．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）给定 ，若存在实数 使得 成立，
则定义 为 的 点．已知函数 ．
(1)当 ， 时，求 的 点；
(2)对于任意的 ，总存在 ，使得函数 存在两个相异的 点，求实数
的取值范围．
【答案】(1)1和3
(2) 或
【分析】（1）根据给定的定义，解一元二次方程作答.
（2）根据给定的定义，利用一元二次方程恒有两个不等实根列式，再结合恒成立的条件及
一元二次不等式在区间上有解求解作答.【详解】（1）当 时， ，依题意令 ，
即 ，解得 或 ，
所以当 时， 的 点为 和 ．
（2）因函数 总存在两个相异的 点，
则方程 ，即 恒有两个不等实根，
依题意，对任意的 ，总存在 使 成立，
即对任意的 ，总存在 使 成立，而 恒成立，
于是存在 ，不等式 成立，
而 ，
从而得不等式 在 上有解，又二次函数 开口向
上，
因此 或 ，解 得 或 ，
解 得 或 ，则有 或 ，
所以实数 的取值范围是 或 ．
【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出
几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信
息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应
耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐
条分析、验证、运算，使问题得以解决.
