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第 04 讲 利用导数研究不等式恒成立问题 (分层精练）
A夯实基础B能力提升C综合素养（新定义解答题）
A夯实基础
一、单选题
1．（22-23高二下·宁夏银川·阶段练习）若不等式 对任意实数x都成立，则
实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（21-22高二下·广东广州·期中）函数 ，若恒有 ，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高三上·河南驻马店·期中）已知函数 ，在区间 内任取
两个实数 ， ，且 ，若不等式 恒成立，则实数a的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23高二下·广东揭阳·阶段练习）已知函数 ，若关于
的不等式 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三·全国·专题练习）若 ， 恒成立，则实数 的取值集合是
（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高三·全国·专题练习）若 ， 恒成立，则实数 的最大值是（ ）
A． B．1
C． D．
7．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知函数 ，若对
，都有 ，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
8．（2024·辽宁·一模）已知函数 ，若 时，恒有 ，则 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023·全国·模拟预测）设函数 ，若 恒成
立，则满足条件的正整数 可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2024·江西·一模）已知函数 ，若不等式
对任意的 恒成立，则实数a的取值可能是（ ）
A． B． C．1 D．2
三、填空题
11．（2024高三·全国·专题练习）若不等式xex－ex ln x＞mx－ex恒成立，则正整数m的
最大值为 ．
12．（22-23高二下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如果存在函数 （ 为常
数），使得对函数 定义域内任意的 都有 成立，那么 为函数 的
一个“线性覆盖函数”．已知 ， ，若 为函数 在
区间 上的一个“线性覆盖函数”，则实数 的取值范围 ．
四、解答题
13．（23-24高二下·湖北十堰·阶段练习）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)求证：对 ， 恒成立．
14．（23-24高二上·陕西榆林·开学考试）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性；(2)当 时，证明：当 时， .
15．（2024·湖南邵阳·二模）设函数 .
(1)求 的极值；
(2)若对任意 ，有 恒成立，求 的最大值.
B能力提升
1．（2022·全国·模拟预测） ，对 ，不等式 恒成立，则正整
数 的最大值与最小值之和为（ ）
A．8 B．6 C．5 D．2
2．（23-24 高二下·湖南永州·开学考试）若对任意的 ，且 ，都有
成立，则 的最大值为（ ）
A． B．1 C．e D．
3．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知函数 若不等式
对任意实数x恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二上·山西运城·期末）若对任意的 ，且 ，都有
成立，则m的取值范围为 ．
5．（23-24高二下·云南·开学考试）已知函数 ，对任意 且
，恒有 成立，则实数 的取值范围是 .C综合素养（新定义解答题）
1．（2023·上海普陀·一模）若函数 同时满足下列两个条件，则称
在 上具有性质 ．
① 在 上的导数 存在；
② 在 上的导数 存在，且 （其中 ）恒成立．
(1)判断函数 在区间 上是否具有性质 ？并说明理由．
(2)设 、 均为实常数，若奇函数 在 处取得极值，是否存在实数
，使得 在区间 上具有性质 ？若存在，求出 的取值范围；若不存在，请
说明理由．
(3)设 且 ，对于任意的 ，不等式 成立，求 的最大
值．
