解锁 “高考数学八大基本思想”专题系列——二数与形结合思想
在解题中的应用
数学思想方法是数学知识内容的精髓、灵魂与本质所在.其对人类精神生活的影响最为突出,比任何科
学都更加凸显.学思想方法是研究数学发现，发明，创新和其他创造性活动的规律和方法的一门数学学科.
而数形结合思想主旨:以形助数、以数定形激发人的思维灵感，唤醒大脑的休眠状态，提升解题能力.
解锁一：解数学问题的原则
1.精准的阅读与理解；2.多维的联想与提取；3.科学的理念与方法；4.完善的逻辑与整合；5.严谨的
知识与体系；6.快速的推算与书写；7.长宽的耐力与心态.
解锁二：数形结合思想的本质属性
1.数形结合思想：就是根据所研究数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭
示其几何意义，巧妙、和谐地建立起数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化（以形助数，以数
解形）来解决数学问题的一种重要思想方法.
2.解读定义
数形结合的方法具有双向性：借助“形”的生动性和直观性认识“数”，即以“形”为手段，
“数”为目的；“数形结合”是一种重要的数学思想，也是一种智慧的数学方法。我们在研究抽象的
“数”的时候，往往要借助于直观地“形”，在探索“形”的性质时，又往往离不开“数”通过“数”
与“形”的结合，我们对事物、规律的把握就能既容易又细致、深刻.
3.运用数形结合的思想分析解决问题的三个原则
(1)等价性原则：
在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图
形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也
是抽象而严格证明的事实．
(2)双向性原则：
在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数
问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的．
例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地
挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化．
(3)简单性原则：
就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取
决于哪种方法更为简单，而不是去刻意追求代数问题运用几何方法，几何问题运用代数方法．
4.数形结合思想的本质属性
形结合思想的本质是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来进行思考，
使“数”与“形”各展其长，优势互补实现抽象思维与形象思维的结合，从而使复杂问题简化，抽象问
题具体化起到优化解题途径的目的.
解锁三：数形结合思想的有关性质
几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图形的性质;
运用数形结合数学不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程;
在解选择题、填空题中更显其优势，要注意培养这种思想意思，要争取胸中有图见数想图，以开拓
自己的思维视野.
解锁四：数形结合思想的原则
先解读后操作；
图转数是常理；
数转图客观题(用图求解)，主观题用图析（除画图外，用作参照物）;
说明:运用数形结合思想解题的关键是
1.要善于挖掘数与图的隐含关系
探点1. 函数 的图象总在 的图象的上方，则实数 的取值范围是 .
探究:图形语言转化代数关系.题意的代数表示为 ，即 对任意实数 都
成立，所以 ，解得 ，故实数 的取值范围是 .
悟惑:模型一:已知图象位置关系求参数取值范围.
探点2.已知数列 为等差数列，首项与公差均为非负整数，且满足 ，则
的最小值为 .
探究:不等式即为区域问题，又等差数列，因此是线性问题，又首项与公差均为非负整数，
所以问题即为线性规划的整点问题.可求得 的最小值为 .
悟惑:模型二:二维关系
探点3.设函数 满足 ，当 时，试用 表示 的取
值范围为 .
探究:变数关系用图象.设 ，则直线 必与线段 和线段
相交，因此当 时， 图象在直线 与直线 之间，包括边界，所以所求 的取值范
围为 .
悟惑:模型三:已知有明确的几何特征.
2.要善于营造数与形的转化
如果条件中的结构特征符合数学中的某种几何意义，那么构建相应的图形或利用相关的代数性质，
使数形结合更加逼真.
探点1.设函数 是周期为 的偶函数，且当 时， ，则当 时，
.
探究 1:将未知转移到已知.(周期转移):当 时， ，所以
， 因 为 当 时 ， ， 所 以，又 是周期为 的偶函数，所以 ，所以
.
探究2(对称转移): 因为函数 是以 为周期的周期函数，所以 ，又 是
偶 函 数 ， 所 以 ， 当 时 ， ， 所 以
.
探究3(图象法):由图象可知当 时， .
悟惑: 模型一:分段函数问题一般要借助图象.
探 点 2. 在 平 行 四 边 形 中 ， , 连 接 相 交 于 点 ， 若
,则实数
探究 1:求 与 的值(利用共线定理表示法的唯一性): 因为三点 ；
分别共线，所以存在实数 使得： ，从而
，由平面向量基本定
理表示法的唯一性知 且 ，解得 ，即 所以 ，故
选 .
探究 2(利用几何性质求 与 的值):延长 、 交于 点，因为 ,又
，所以 ,因为 所以 ,而 ,所以 ，
所以 ,所以 所以 ，故选 .
悟惑: 模型二:已知几何语言或几何图形.
探点3.函数 的最大值为 ；最小值为 .
y
探究 1(代数换元图形法):设 ，则
O x，且 .所以 .
探究2(三角换元代数法):设 ，则 ， ,可设
, 因为 ，所以
.所以 .
探究 3（导数图象法）:由 得 ，当 时 ，令
， 则 ， 所 以 函 数 在 ， 当
时， ，所以函数 在 ，所以函数
在 时取到最大值，最小值在 或 处取到，所
以 .
变式:仅求最值，可用柯西不等式.
悟惑: 模型三:二元换元要首选几何意义.
3.灵活、准确地运用基本几何量的意义、几何特征和恰当的代数变形
基本几何量的意义包括：代数意义和几何意义；几何特征主要指：奇偶性、对称性、周期性，恰当
变形是指化成最简式或具有更逼真的几何意义.
探点1.设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 的最小值为
探究:函数 的图象是由 的图象向上平移一个单位所得，因此 的图象关于
对称，而 ，所以曲线 在的切线与对称轴 垂直，双曲线
右下支顶点为 ，则 为所求的最小值.
悟惑: 模型一:基本函数问题常借用函数图象分析求解.1
y ex
探点2.设点P在曲线 2 上，点 Q 在曲线 y ln(2x) 上，则 PQ 最小值为
1 1
y ex y ex
2 y ln(2x) y x 2
探究:函数 与函数 互为反函数，图象关于 对称函数 上的点
1
ex x
1 2
P(x, ex) d
2 y x 2
到直线 的距离为 ，设函数 ，则 ，所以
y x PQ 2d 2(1ln2)
，所以 ，由图象关于 对称得 最小值为 min ，
故选A
.
悟惑: 模型二：两条曲线上两点间距离的最值问题均需借助对称性，将问题转化为相关问题，关于直
线对称转化为垂线问题；关于点对称转化为圆心问题.
解锁五：数形结合思想解题的常见类型与解题策略
1.数学概念的数量特征及其故有的几何意义之间的相互转化
(1)实数与数轴上的点的对应关系
探点 1.若
a,b∈R
，
h∈R+
，则
|a−1|<h,|b−1|<h
是
|a−b|<2h
的
条件（充分不必要）.
a b
探究1：不等式法（讨论繁琐）
ab 1-h 1 1+h
探究2.数轴法，如右图.
y=|x−1|+|x−2|+⋯+|x−n|
探点 2.求函数 取得
x x
最小值时x的值.
1 x 1 2 3 x
探究：数形结合.让 从 的左边往右运动，分析绝
x x
对值的几何意义，由 可知：若 为奇数，则当
1 2 x 1 2 3 4 x
时 最 小 ， 且 最 小 值 为
；若 为偶数，则当 时 最小，且最小值为 ，综上，当 为奇数时，
；当 为偶数时，
(2)集合的运算关系与韦恩图
使用数轴表示不等式的解集，用 2处理并、交、补等复杂集合关系，尤其适用于含参数的结合
问题、分伙与分类问题
(3)两个函数图象的位置关系
探点1.函数 的取值范围为 ；单调区间为 .
探究1: 可通过数轴上距离之差直
观
知
讨
函
论
数
可 -2 o-1 x -2 o-1 x -2 o-1 x
y
3
的取得所求取值范围为 ，单调区间
-2 O x
-1
为 ，
探究 -3 2：通过去绝对值化为分段函数.
，从图象可得函数
的取值范围为 ；单调区间为 ，
探究3：利用绝对值不等式求解.因为 ，所以
，所以 ，故函数 的取值范围为 ；在用运动与极限的观点可知函数
的单调区间为 ，
探点2.解不等式
探究1(解不等式法)：已知不等式同解于 或 ，解得 ，故已知不等式
的解集为 .
探究2(归一法)： 可变为 ，设 ，则有 ，解得，故已知不等式的解集为 .
探究3(两个函数图象位置关系):设 ，它们的图象如图
所示，已知不等式在图象的意义是图象上下方对应的横坐标，所以 ，故
已知不等式的解集为 .
悟惑：一般地，形如 的不等式皆可用数
形结合求解，更一般的只要不等式两边可作出其函数的图象或方程的曲线均可以用数形结合法求解.如：
不等式 ，的解为 .设 ，则用图象可得 或
为所求.
(4)函数与方程
①通过函数图象判定方程根或函数零点的个数、单调性、最值.
探点.函数 的单调递增区间为 .
探究：讨论去绝对值利用基本函数的图象直接回答问题.
，由图象可知函数的单调递增区间为
②利用图象交点求解方程组或超越方程
y
探点.方程 实根个数为 .
O x
探究：设 ，则由图象可知，两个函数
图象交点个数为 ，即方程 实根个数为2.
③利用图象估计方程根的大致取值
探点.若 ，则 （）
探究： ，设 ，画出图象,可看出两个图象交点 的横坐标 ，令
，由图象可看出 ，故选 .
(5)数列的通项、前n项和公式与其几何特征的对应关系
{a } {b } a =b ,a =b
探点.正数等差数列 n ，等比数列 n 满足： 1 1 2n+1 2n+1，则 与 的大小关系为
探究1(代数法):设 ，则
,所以当公比为 时 ，当公比大于 ，且不
为 时 .
探究2(几何法):如图可知当公比为 时 ，当公比大于 ，且不为 O
时 .
(6)以几何元素或几何条件为背景建立起的概念
如：三角与三角形或单位圆、向量与坐标、三角形与正余弦定理、区域与几何概型、圆锥曲线定义
与平面几何、复数与点与向量等.
探点1.如图，已知点 是圆 上的一个动点，点 是直
线 上的一个动点， 为坐标原点，则向量 在向量 上的投影的
最大值是
探究: 圆心 到直线 的距离为 ，所以 与 外离，所以 ,所以向量
在向量 上的投影为 ，所以过 与直线 垂直，且与圆相时向量 在向量
上的投影的最大值=或最小，故选 .
π
3
探点 2.已知向量 ，若 与 的夹角为 ，则直线1
+ =0
2
与圆 的位置关系是
A 相切 B相交且过圆心 C相交 D相离
探究:由题意知 ，圆心到直线的距离为
，所以相切，故选 .
探点 3.已知平面区域 ，直线 和曲线 有两
个不同的交点，直线 与曲线 围成的平面区域为 ，向区域 上随机投一点 ，点 落在区域 内
的概率为 则实数 的取值范围是 .
探究:几何概型问题.试验区域是半圆，构成事件 的区域为弓形.边界值
法，已知直线 ,由几何意义知实数 的取值范围是
.
变式一: ,则圆心角为 ，实数 的取值范围是 ;
变式二: 变为 ；曲线 变为
，其它不变.则试验区域面积为 ，构
成 事 件 的 区 域 面 积 为
，所以实数 的取值范围是 .
(7)方程与曲线的对应关系探点已知 ，且 ，则 .
探究:由 知，直线 与单位圆交于不同两
点 ，所以 ，所以
(8)二元不等式与区域的对应关系
二元一次不等式是线性规划问题，二元二次不等式是二次曲线内外侧点的问题.
探点 1.设函数 f (x)=ax+b ），满足 −2≤f(1)≤0,−1≤f(2)¿2，当 x>2 时，试用x表示
f (x) [1−x,4x−8]
的取值范围.（ ）；
x2 +y2 ≤4 x2 +y2 ≤2x
探点2.条件： 是条件： 的 条件
x2 +y2 ≤4
探究：(集合法) 表示以原点为圆心，半径为 的圆域；
y
x2 +y2 ≤2x
表示以 为圆心，半径为 的圆域，两圆内切，所以条件
O x
x2 +y2 ≤4 x2 +y2 ≤2x
是条件： 的必要不充分.
2.数学中的基本几何量
(1)点坐标
① ；；② ;③ .
(2)两点间距离问题
① ；
探点. 的最小值为 .
探究: 表示 与 两点间距离的平方.而点 的轨迹是以原点为圆心， 为半径的上半圆，点 的轨迹是反比例 函数的图象，所以最小值为 .
② ；
③ .
探点.设
a,b,c,x,y∈R+
，
x+y=c
，则
√x 2 +a 2 + √ y 2 +b 2
的最小值是 .
探究:所求最小值为由已知得 表示点 与两点 的距离
之和，所以最小值为 .
b−d
(3)两点的斜率：
a−c
2−cosθ
探点. ❶若
0<θ<π
，则
sinθ
的最小值为 .
a,b b≤a,b≥2a−2,b+a≥1
❷实数 满足 ，则 的取值范围为 .
探究:
❶ 表示点 与点 连线的斜率，因为
0<θ<π
，所以 ，所以当 与圆切于 轴右侧时斜率最小，
2−cosθ
sinθ
最小值为 ，故 的最小值为 .b≤a,b≥2a−2,b+a≥1
❷满足不等式 的点 表示的平面区域为
区域，其中 而 表示点 与 连线的斜率，
由图可知 的取值范围为 .
(4)截距： ；
见(6)的探点(略).
|ax+by+c|
(5)点到直线的距离问题： ；
1
u= √ (x−1) 2 +(y−4) 2 + |4x−3 y−2|
5
探点. 的最小值为 .
探究: 表示点 与点 间的距离， 表示点 到直
线 的距离,所以 的最小值为 .
(6) 不等式与平面区域
探点.若实数 满足 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为
探:1(几何法直线)：由实数 满足 ，不等式 恒成立知，点 在
直 线 的 右 侧 ， 且 在 圆 上 ， 实 质 相 当 于 圆 在 直 线
的右侧，且与直线相离或相切，所以 ,解得 ，故选 .
探究2(代数法)：由 可设 ，所以
的最小值为 .因为 等价于 ，所以不等式恒成立，即为 ，即 ，亦即 ，故选 .
探究3(几何法截距) 等价于 ，设 ，利用直线与圆有公共点，所以
，可求得 ，所以不等式 恒成立，即为 ，即
，亦即 ，故选 .
(7)面积:若 ，则 表示分别以点 的横坐标、纵坐标为边
的矩形面积.
探点.动点 在以 为顶点的三角形区域，则
的最大值为
探究:由图形特征可知，当 点位于线段 上时 才可能取得最大值.此时 点坐标满足
，从而 ，因为 ，所以当 时，
.
(8)图象性质
如： 图象的对称轴方程为 、 一
个周期为 .
探点.函数 是定义在 上的且满足下列三个条件：
①对 ，都有 ；
②对 ；
③ 的图象关于 对称，则 的大小
关系为 .
探究：由①知 的周期为 ；由②知 在 上单调递增；由③知 是偶函数，所以 图象关于直线 ，由此画出 图象在 上的示
意图，可比较出 .
(9)几何性质
如： 为直角三角形的三边长. 等等！
3.由数构造图形
对已给的运算式或不等关系转化为它的几何意义或划归为相应的图形求解.常见的题型有：
(1)一元问题要想到运用函数图象或数轴研究；
f (x) x,2x−1,4−x f (x)
探点.若 为 三者的最小者，则函数 的最大值是 .
2
1
探究:分别画出 的图象，取三个图象中在下方的函
1 2
f (x)
数即为函数 的图象，所以函数 的最大值是 .
(2)二元代数式要想到函数图象或基本曲线或基本曲线的局部；
x y
+ =1(0≤x≤5)
5 4
探点1.已知 ，若 在线段 上，则有
|PA|+|PB|≤10 |PA|+|PB|<10 |PA|+|PB|≥10 |PA|+|PB|>10
. . . .
探究:利用椭圆的定义知，选 .
x2 y2
+ =1
25 16 F
探点2.点 是椭圆 上一点，它到其中一个焦点 1的距离为 ， 为 的中点，
为坐标原点，则 = .
探究:利用三角形的中位线和椭圆的定义知 .
(3)三角形问题；
探点1：若 ，且 ，则 可视为三角形的三边长；
探 点 2 ： 若 出 现 ， 则 可 联 想 到 三 角 形 中 的 余 弦 定 理 ：
.
(4)连乘积问题转化为多项式函数a>b,c>d a,b,c,d
探点.已知 且 则 的大
小关系为 .
探究:设 ，则 ，利用函数图象可得
d<b<c<a
.
（5）二次根式或二元等式联想函数问题、二元不等式与圆锥曲线或其局部、区域的沟通；
xoy
悟惑.平面直角坐标系 中，点集 ，
Q={(x,y)|x=x +x ,y=y +y ,(x ,y )∈A,(x ,y )∈B}
求点集 1 2 1 2 1 1 2 2 所表示的区域面积______ .
(6)一个角为定值，可联想圆周角;
(7)已知坐标等式可考虑是否运用向量理论求解；
如： ;
.
x2 y2
+ =1
4 3 2x +x =−3,2 y +y =0
探点.椭圆 上两点 , 且 1 2 1 2 ，则直线方程为
;
探究1(解交点)：因为 点在椭圆上，所以 ，将 代入解得
√5
y=± (x+1)
2
，从而所求直线方程为 ）.
2(x ,y )+(x ,y )=(−3,0)⇒F(−1,0)分⃗NM
探 究 2( 向 量 法 ): 由 已 知 得 1 1 2 2 的 比 为 ， 即
ep ep 2
| ⃗FM |=2| ⃗FN | ⇒ =2 ⇒cosθ= ⇒
，
1−ecosθ 1+ecosθ 3
所求直线方程为
√5
y=± (x+1)
2
.
(8)三个量的问题可考虑构造长方体解题，常见的有：① ;
② ；
③ ，且 定值；
] ④一个三棱锥对棱长度相等.
探点.若四点 均在半径为 的球面上，且 ，则三棱锥
的体积为 .
探究:补成长方体，可求棱长为 ，所以所求体积为 .
4．由形观数、数得图
1
y ax (a0,a1)
a
探点1.函数 的图象可能是
探 究 : 选 .
探 点 2. 已 知 函 数
对于曲线 上横坐标成等差数列的三个点 给出以下判断：
① 一定是钝角三角形； ② 可能是直角三角形；
③ 可能是等腰三角形； ④ 不可能是等腰三角形．
其中正确的判断是
.①③ .①④ .②③ .②④
探究:
5.通过坐标系“形题数解”
(1)平面几何与向量 D D
探点. 中， ,点 在线段 ，
Q C
C
P
P
A B A B
则 的最小值为 . y
C
P
探究1坐标 ；
A B x探究2（化一元）： .
(2)立体几何与向量.
