解锁 “高考数学学科素养”专题系列——
4 用基本不等式解题的关键在于求“变”
解锁一：“变1”基本不等式的起源思想
1.重要的不等式“
”的变形不等
式：
(1)两换:
①若
，则
时取“
”.特征：平方和与积的不等关系；
②若
，则
时取“
”. 特征：和与积的不等关系.
(2)两加:
①若
，则
时取“
”；
拓展：
❶
时取“
”.
❷
时取“
”.
❸
时取“
”.
特征：平方和与和的不等关系.
②若
，则
时取“
”.
(3)两除:
①当
时，
时取“
”.特征：倒写之和可以消去参数.
②当
时，
时取“
”.特征：不等式的裂项运算、分式消分母化为整式的
不等变形.依据
.
如：若
，且
，则
与
的关系为 .
探究:因为
，所以
，两式相加得
，
,a b
R
2
2
2
a
b
ab
a
b
,a b
R
2
a
b
ab
a
b
,a b
R
2
2
2
2(
)
(
) ( ,
)
a
b
a
b
a b
R
a
b
2
2
2
2(
)
(
) ( ,
)
a
b
a
b
a b
R
a
b
2
2
2
2(
)
(
)
a
b
a
b
a
b
2
2
2
2
2
1
2
3
1
2
3
1
2
3
(
)
(
) (
)
n
n
i
n
n a
a
a
a
a
a
a
a
a
R
a
a
a
a
,a b
R
2
(
)
4
a
b
ab
a
b
0
ab
2
a
b
a
b
b
a
0
b
2
2
a
a
b
a
b
b
2
2
2
+
2
a
a
a
b
b
a
b
b
,a b
R
2
2
a
b
a
b
b
a
a
b
,a b
R
2
2
2 ,
2
a
b
b
a
a
b
b
a
2
2
(
)
(
)
2
2
a
b
b
a
a
b
b
a
即
，当且仅当
，且
时取等号.因为
，所以当且仅当
时取等
号.又
，所以
为所求.
2.基本不等式的起源思想就是对已有的不等式利用不等式的性质变形所得;
3.间接利用基本不等式的关键是一个“变”字.
解锁二：“变2”基本不等式的 等价变形
1.等价变形:若
，则
或
;
2.注意不等式的使用条件：“正数”，但在实际做题时，常会遇到
，注意先转化成正数后
再使用均值不等式.
探点.若
，则函数
的最大值为 .
探
究
:
存
在
“
倒
写
之
和
”
，
故
用
均
值
不
等
式
.
,当且仅当
即
时
取最大值
.
悟惑:利用均值求最值的三个条件：一正、二定、三相等；它符合其它重要不等式求最值的条件：一
造、二定、三等.
3 推广：若
，则
当且仅当
时取等号.
如:某人从甲地到乙地往返的时速分别为
和
，其全程的平均时速为
，则
探究:由题意知
，由调和平均数与几何平均数的大小关系知选择
.
悟惑：
(1)利用基本不等式求最值的依据：若
，则
①如果积“
(定值)”，那么当且仅当
时，
有最小值
(简记：积定和最小);
2
2
a
b
a
b
b
a
2
a
b
b
2
b
a
a
,a b
R
a
b
2
2
a
b
a
b
b
a
a
b
0,
0
a
b
2
a
b
ab
2
(
)
2
a
b
ab
,a b
R
3
2
x
8
2
3
y
x
x
1
16
3
1
16
[(3
2 )
]
2
(3
2 )
2
3
2
2
2
3
2
y
x
x
x
x
3
3
5
4
2
2
2
2
3
2 2
x
3
2 2
2
x
y
5
2
ia
R
1
2
1
2
1
2
1
1
1
n
n
n
n
a
a
a
n
a a
a
n
a
a
a
1
2
a
a
na
a
(
)
b a
b
v
.
.
.
.
2
2
a
b
a
b
A a
v
ab
B v
ab
C
ab
v
D v
2
s
s
s
a
b
v
A
0,
0
x
y
xy
p
x
y
x
y
2
p
②如果和“
(定值)”，那么当且仅当
时，
有最大值
(简记：和定积最大).
(2)和为定值有两类：其一，已知和的等式；其二，存在相反意义之积.
积为定值有两类：其一，已知积的等式；其二，存在倒写之和.
解锁三：“变3” 重要的不等式变形的常用技巧：
1.拆—拆项
对象：分式、积式.
探点.(1)若
，则函数
的最小值为 .
探究:
当且仅当
，即
，易即
时取等号. 所以当
时，函数
有最小值为
.
(2)已知
，则
的最小值为 .
探点:由
知
，当且仅当
即
时取等号，所以当
时.，
有最小值为
.
悟惑:拆项分为直接拆与间接拆项，即先变形后拆项.
(3)已知
，且
，则
的最小值为
.
探
究
1:
因
为
，
且
，
所
以
，
所
以
，
，因为
，所以当
时，
最小值为
.
探究2(拼凑取得的条件
)：因为
，且
，所以
，当且仅当
时
，又
，所以
当且仅当
，即
时
x
y
p
x
y
xy
2
4
p
1
x
2
2
3
1
x
x
y
x
2
2
2
2 2
t
y
t
t
t
2
=
t
t
2
t
2
1
x
2
1
x
2
2
3
1
x
x
y
x
2 2
,
1
x
y xy
2
2
x
y
x
y
,
1
x
y xy
2
2
2
2 2
x
y
x
y
x
y
x
y
2
=
x
y
x
y
2
x
y
2
x
y
2
2
x
y
x
y
2 2
,x y
R
1
x
y
1
1
(
)(
)
x
y
x
y
,x y
R
1
x
y
1
0
4
xy
1
1
(
)(
)
x
y
x
y
1
x
y
xy
xy
y
x
xy
2
2
xy
1
0
4
xy
1
4
xy
1
1
1
(
)(
)
x
y
y
x
y
y
25
4
1
2
x
y
,x y
R
1
x
y
1
0
4
xy
1
2
x
y
1
= 4
xy
1
1
3
=
4
4
x
x
x
x
x
1
1
2
=1
4
4
x
x
x
x
1
= 4
x
x
1
2
x
取等号.当
时
，所以当
时，
有最小值
，同理当
时，
最小值
，故当
时，
最小值为
.
悟惑:探究1 好！积式一般都需要拆项.
(4)若
，则
的最小值为 .
探究1(拆项)：
当且仅当
，即
时取等号，所以
1
1
(
)(
)
a
b
c
a
b
c
的最小值
为
.
探究2(两个均值之积)：
，当且仅当
时取等号，所以当
时，
的最小值为
.
探究3(柯西不等式):
,当且仅当
,即
时取等号，所以当
时，
的最小值为
.
悟惑:法一好！积式拆项时要灵活恰当，常常需要分组、拼凑.
(5)已知
，且
，则
的最小值为 .
探究:
.
(6)已知
，则
的最小值为 .
探究：已知变为
，所以
.
悟惑：
①一个变量造倒写之和，多个变量造已知等式或已知等式的变形或代入所求.；
1
2
x
1
3
4
4
x
x
x
，
1
2
x
1
x
x
5
2
1
2
y
1
y
y
5
2
1
2
x
y
1
1
1
(
)(
)
x
y
y
x
y
y
25
4
, ,
a b c
R
1
1
(
)(
)
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
1
1
(
)(
)
a
b
c
a
b
c
4
2
1
1
(
)
4
a
b
c
a
b
c
1
1
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
(a
b
1
1
)(
)
c a
b
c
4
, ,
x y z
R
(
)
1
xyz x
y
z
(
)(
)
x
y
y
z
(
)(
)
(
)
(
)
x
y
y
z
xy
xz
y y
z
y x
y
z
zx
, ,
, (
)
4
2 3
a b c
R
a a
b
c
bc
2a
b
c
(
)(
)
4
2 3
a
b a
c
2
(
)
(
)
a
b
c
a
b
a
c
2 (
)(
)
a
b a
c
2( 3
1)
②无论所求是和式还是积式，利用基本不等式常需构造已知等式，构造是常需依据式子的结果特征
进行有目的地拆、补项.
2.分—分项
次数不同的倒写之和或相反意义之积.一般需要利用三个数的算术平均数与几何平均数的不等关系.
如：若
，则
的最小值为 .
探究:因为
，所以
,所以
的最小值为
.
3.补—补项
对象：相对残缺的项，手段：乘除一个数或加减一项.
探点1.已知关于
的不等式
在
上恒成立，则实数
的最小值为_____．
探究:因为
，所以
，所以
，
故
的最小值为
.
探点2.三个正数
满足
，则
的取值范围是 .
探究1（消
）：由
知
，所以
，又
，所以
，
当且仅当
时取等号，所以
的取值范围是
.
探究2（补
）因为
是正数，所以将
两边同除以
得，
.设
则
，且
，而
，所以区域上点的斜率
，
故
的取值范围是
.
4.解—解不等式
对象：
三者出现两者的等式.
探点.已知
，且
，则
取值范围为 .
探究1(解出所求):由
及基本不等式得
,又
,所以
，
解得
,故
取值范围为
.
0
x
3
2
1
x
y
x
0
x
3
3
2
2
1
1
3 2
2
2
2
x
x
x
y
x
x
3
2
1
x
y
x
3
3 2
2
x
2
2
7
x
x
a
( ,
)
x
a
a
x
a
2
2
2
2
2(
)
2
2 2(
)
2
x
x
a
a
x
a
a
x
a
x
a
x
a
3
2
a
a
3
2
2
2,
,
a
b
a
b ab
探究2(消元换元):
探究3(三角换元):因为
,所以
两边同除以
得
,故可设
，,
,所以
,故
取值范围为
.
探究4(代入已知等式，构造倒写之和定值等式):由
，且
得，
，所以
.
探究5(代或乘常数):
.
悟惑:
①当然常数可以不是,如上题
变为
，则
.所以
，当然也可进行三角换元.
②已知等式的运用有四种渠道：❶正用；❷逆用；❸变用；❹联用.
5.造——构造
构造已知条件、基本模型、函数、方程、数列、图形.
探点.(1)已知
，则
的最大值为 .
探点1（构造已知）：
，当且仅当
时取等号，由
知，当
时前式取等号，所以当
2
2
1
,
,
1
2
a b
R
a
b
2
1
a
b
2
2
2
2
2
2
2
1
1
3 2
2
1
(1
)
2
2
2
2
4
b
a
b
a
b
a
b
a
2
2
1
2
b
a
2
2
1
,
,
1
2
a b
R
a
b
3
2
,
2
2
a
b
时，
有最大值，且最大值为
.
探究2(构造函数): 由
知
,当且仅当
，即
时取等号，所以当
时，
有最大值，且最大值为
.
探点
3(构造三角函数)：由
可设
. 所以
，当且仅当
，即
时取等号，因为
，所以
，所以
，即
，所以当
时
最大，最大值为
.
探点.若正数
满足
，则
的最小值是 .
探点:构造整式定值乘积式，进而造倒写之和.已知
去分母得
，即
，
易即
，所以
. 因为
，
，
所
以
，
即
，
，
所
以
.
所
以
当且仅当
时取等号，又
，
，所以
,所以当
时，
有最小值
.
6.换——换元(代数、三角)
对象：已知等式、分式、所求中的根式、乘方等直接求解不方便而换元后方便解决问题.
探点.已知实数
，
满足
，且
，则
的最小值为
3
2
,
2
2
a
b
2
1
a
b
3 2
4
2
2
1
,
,
1
2
a b
R
a
b
2
2
2
2
2
2 2
(3
2
)
3 2
2
(3
2
)
2
2
2
4
a
a
a
a
2
2
2
=(3
2
)
a
a
3
2
a
3
2
a
2
1
a
b
3 2
4
2
2
1
,
,
1
2
a b
R
a
b
cos ,
2 sin (0
)
2
a
b
2
1
a
b
2
2
2
2
2
( 2 cos )
( 1
2sin
)
2
2
cos
1
2sin
2 cos
1
2sin
2
2
2
3 2
4
2
2 cos = 1
2sin
1
cos2
2
0
2
0
2
2 = 3
= 6
= 6
2
1
a
b
3 2
4
,a b
1
1
1
a
b
1
9
1
1
a
b
1
1
1
a
b
b
a
ab
0
ab
a
b
(
1)
(
1)
a b
b
a b
b
1 1
(
1)(
1) 1
0
a
b
(
1)(
1)
1
a
b
,a b
R
1
1
1
a
b
1
1
1,
1
a
b
1
a
1
b
1
0,
1
0
a
b
1
9
1
9
2
6
1
1
1
1
a
b
a
b
1
9
1
1
a
b
(
1)(
1)
1
a
b
1
0,
1
0
a
b
4 ,
4
3
a
b
4 ,
4
3
a
b
1
9
1
1
a
b
6
x
y
2
0
x
y
1
1
1
2
2
x
y
x
y
x
y
A．
B．
C．
D．
探究1:令
,则
,因为
所以
,
,
，所以
,当且仅当
,即
,亦即
，此时
时取等号.故选
.
探究2:设
,则比较
系数得
,解得
,所以
，
，当且仅当
，因为
所以
，即
时取等号.故选
.
探究3.因为
,且
,设
.
解出
，所以
，当且仅当
，因
为
3
2 3
5
4
2 3
5
2
4 3
5
3
4 3
5
2
2
x
y
m
x
y
n
2
5
2
5
m
n
x
n
m
y
2
0,
x
y
2
0,
2
0
x
y
x
y
0,
0
m
n
1
1
1
m
n
2
2
3
1
1
1
5
5
5
m
n
n
m
n
m
x
y
m
n
1
3
1
(1 3
)
(4
5
5
n
m
m
n
3
4
2 3
2
)
5
n m
m
n
3n
m
m
n
3
m
n
2
3(
2 )
x
y
x
y
9
7 3
3
3
,
15
15
x
y
B
(2
)
(
2 )
x
y
m
x
y
n x
y
,x y
1
2
1
2
m
n
m
n
1
3
,
5
5
m
n
2
3(
2 )
2
3(
2 )
(2
)
3(
2 )
[
](
5
5
5
5
1
5(
)
5(
1
4
4
)
2
5
)
2
5
2
2
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
x
y
x
y
y
x
y
x
y
4
2 3
2
2
5
(2
)
3(
2 )
5(
) 5(2
)
x
y
x
y
x
x
y
y
(2
)
3(
2
2 )
5(
)
5(2
)
x
y
x
x
y
y
x
y
2
0
x
y
2
3(
2 )
x
y
x
y
9
7 3
3
3
,
15
15
x
y
B
2
0
x
y
1
1
1
2
2
x
y
x
y
2
2
1
1
cos
,
sin
(
(0,
))
2
2
2
x
y
x
y
2
2
1
3
,
5cos
5sin
x
y
2
2
2
2
1
3
1
3
1
4
(1
tan
)
(1
)
5cos
5sin
5
5
tan
5
x
y
2
2
2
2
1
3
1
4
1
3
1
4+2 3
tan
+2
tan
=
5
5 tan
5
5
5 tan
5
2
2
1
3
1
tan
=
5
5 tan
，所以即
时前式取等号，故当
时，
有最小值为
，故选
.
7.升——升幂
和式或积式次数不同. 一般需要利用三个数的算术平均数与几何平均数的不等关系.
探点1.若
则
的最大值为
.
探究1：
,
所以
的最大值为
.
探究2：导数法（略）.
(2)如上：已知
，则
的最小值为 .
探究:已知是二次，所求是一次，所以可考虑乘方.
.
8.乘——乘常数
当所求是分式且参数仅在分母或已知条件是分式且参数均在分母.类型：已知等式中的常数、构造出
的常数.
探点.已知
，且
，则
的最小值为 .
探
究
1
（
造
倒
写
之
和
乘
常
数
）
：
已
知
可
变
为
，
所
以
,所以
的最小值为
.
探究2(已知变形):已知可变为：
，
，所以
的最小值为
.
探究
3(三角换元):设
，则
当且仅当
取等号，所以所以
(0,
)
2
4
tan
= 3
4
tan
= 3
x
y
4+2 3
5
B
0
1,
x
2
(1
)
y
x
x
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
2
(1
)
(1
)
3
(1
)
2
(1
)(1
)
[
]
2
2
3
3
x
x
x
y
x
x
x
x
x
(1
y
x
2)
x
3
3
, ,
, (
)
4
2 3
a b c
R
a a
b
c
bc
2a
b
c
, , ,
x y a b
R
bx
ay
xy
x
y
1
a
b
x
y
2
2
(
)
a
b
ab
a
b
x
y
2
(
)
a
b
,
,(
)(
)
x
a y
a x
a
y
b
ab
(
)
(
)
x
y
x
a
y
b
a
b
2
2 (
)(
)
(
)
x
a
y
b
a
b
a
b
x
y
2
(
)
a
b
2
2
cos
,
sin
a
b
x
y
2
2
tan
2
tan
b
a
b
a
a
b
ab
2
2
tan
tan
b
a
x
y
的最小值为
.
探究4(代变量降元):由已知得
，所以
，当且仅当
，即
取等号，由
，及
得
，所以
，所以当
时，
的最小值
为
.
变式:已知
，且
，则
的最小值为 .
探究1:
探究2:
,即
时取等号.故
的最小值为
.
探点.已知
是常数，
,则
的最小值为 .
探究1(乘常数)：
,当且仅当
，即
，易即
时取等号，所以，当
时
有最小值，且最小值为
.
探究2(柯西不等式的变形): 因为
，所以
当且仅当
，即
时前式取等号，所以当
时，
有
最小值，且最小值为
.
2
(
)
a
b
bx
y
x
a
2
2
(
)
ab
a
b
a
b
=(
)
ab
x
a
x
a
x
a
ab
, , ,
x y a b
R
bx
ay
xy
0
bx
y
x
a
x
a
x
a
ab
x
y
2
(
)
a
b
, , ,
x y a b
R
1
a
b
x
y
xy
2
4
a
b
a b
xy
ab
x
y
x y
2
2
2
2
2
1
(
)
2
4
a
b
a y
b x
a y
b x
xy
xy
xy
ab
ab
x
y
x
y
x
y
a
b
x
y
xy
4ab
,
, ,
a b
R
a b
0
1
x
2
2
1
a
b
x
x
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(1
)
(
)[
(1
)]
2
1
1
1
a
b
a
b
a
x
b x
x
x
a
b
a
b
ab
x
x
x
x
x
x
2
(
)
a
b
2
2
(1
)
1
a
x
b x
x
x
1
b
x
x
a
a
b
x
a
a
b
x
a
2
2
1
a
b
x
x
2
(
)
a
b
,a b
R
0
1
x
2
2
2
2
(
)
(
)
1
(1
)
a
b
a
b
a
b
x
x
x
x
1
a
b
x
x
(0,1)
a
x
a
b
a
x
a
b
2
2
1
a
b
x
x
2
(
)
a
b
错解:当
时,
.因为
,所以
,所以
的最小值为
.
9 代——代常数
探点.设
，且
，则的取值范围为 .
探究:代常数造齐次型.
,当且仅当
时取等
号，所以的取值范围为
.
10 加——加常数：
对于分式，当分母之和为定值时，可加减这个常数，达到消去分母的目的.
探点：函数
的最小值为
.
探究：隐含等式：“
”.可代常数、乘常数、消分母(加常数)
探究1(代或乘常数)：
，当且仅当
，即
时取等号，满足
，所以函数
的最小值为
.
探究2(加1 消分母)
，当且仅当
，即
时取等号，满足
，所以函数
的最小值为
.
探究3（弦化切）:
0
n
2
2
m
m
n
n
,a b
R
0
1
x
2
2
(2
)
[2
(1
)]
1
a
b
a
x
b
x
x
x
2
2
1
a
b
2
2
1
a
b
x
x
2
2
1
a
b
1
1
1
(
1)(
1)(
1)
t
a
b
c
1, , ,
a
b
c
a b c
R
t
2
2
2
8
b
c c
a a
b
bc
ca
ab
t
a
b
c
a
b
c
a
b
c
t
{ |
8}
t t
2
2
1
1
sin
cos
y
x
x
2
2
sin
cos
1
x
x
2
2
2
2
cos
sin
=
sin
cos
x
x
x
x
2
2
1
sin
=cos
= 2
x
x
2
2
sin
+cos
=1
x
x
2
2
1
1
sin
cos
y
x
x
4
2
2
2
2
2
2
1
1
4(2
sin
)
2
cos
1)
4
2 sin
2 cos
x
x
x
x
2
2
2
2
2
2
1
sin
2 sin
1
cos
2 cos
x
x
x
x
2
2
1
sin
=cos
= 2
x
x
2
2
sin
+cos
=1
x
x
2
2
1
1
sin
cos
y
x
x
4
.当且仅当
时取等号，所以函数
2
2
1
1
sin
cos
y
x
x
的最小值为
.
11 代——代变量
探点.若正数
满足
，则
的最小值为 .
探究1:
由
得，
，所以
，所以
，所以
，当且仅当
，即
时取等号，所以当
时，
有最小值为
.
探究 2. 由
两边同时除以
得，
，因为
时正数，所以
，当且仅当
，即
时，前式
取等号，所以当
时，
有最小值为
.
探点3.三角换元（略）.
12 乘——乘
配对
探点.
，且
不全相等，则
与
的大小关系为 .
探究:左右是和式,利用同向不等式相加
,
.
13 合——多次或反复合成用不等式
条件：各次取等条件相同
探点1.若
，则
的最小值为
探究: 分析造成倒写之和
，当且仅当
2
2
1
tan
tan
x
x
4
,x y
2
2
0
x
y
xy
2x
y
2
2
=0
x
y
xy
2
2
x
y
x
0,
0
x
y
1
x
2
=2
2
2
x
x
y
x
x
1 1
1
5
9
2
(2
2)
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
1
2
2
2
2
x
x
3
2
x
3
2
x
2x
y
9
2
2
2
=0
x
y
xy
xy
1
2
2
y
x
,x y
1
2
(2
2
x
y
x
1
2
1 2
2
1
2
2
9
)(
)
(
1
4
)
(2
5)
2
2
2
x
y
x
y
y
y
x
y
x
y
x
2
2
=
x
y
y
x
3
2
x
y
3
2
x
y
2x
y
9
2
2
, ,
a b c
R
, ,
a b c
2
2
2
2
2
2
a b
b c
c a
a
b
c
abc
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
,
a b
b c
a b
b c
ab c b c
c a
2
2
2
2
2 b c
c a
2
2abc
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
c a
a b
c a
a b
a bc
,
,
0
a b
R ab
4
4
4
1
a
b
ab
4
4
2
2
2
2
2
2
4
1
(
)
(2
)
1
2
2
1
1
=
4
4
a
b
a
b
a
b
ab
ab
ab
ab
ab
，即
时取等号，因为
，所以当
或
时，
有最小值为
.
探点2.若
是正数，则
的最小值为 .
探究：原式等于
.
14 局——局部用不等式.
说明：注意隐形最值问题
探点.设点
，则
为坐标原点)的最小值是
A. B. C．
D．
错解 ：
当且仅当
时取等号．
探究1:利用函数的单调性.
，
，当且仅当
取等号，因为
，所以当
时前式取等号，此时
也最小，所以当
时，
最小值
，故选
探究2. 由。知
点轨迹是以
为端点，水平向右的射线，所以
最小值
，故选
.
1
O
y
x
A(
9
2 ,1)
2
2
1
2
,4
a
b
ab
ab
4
4 8
2
,
2
2
a
b
0
ab
4
4 8
2
,
2
2
a
b
4
4 8
2
,
2
2
a
b
4
4
4
1
a
b
ab
4
,x y
2
2
1
1
(
)
(
)
2
2
x
y
y
x
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(
)
[(
)
(
)]
(2
2
)
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
y
x
y
y
x
x
y
2
(
,1)(0
1)
2
t
P
t
t
(
OP O
5
29
2
2
2
2
2
4
1 (
)
1
2
3
2
5
2
4
t
t
OP
t
t
2
t
2
2
2
2
2
2
2
4
1
15
1 (
)
3
3
(
)
2
4
4
4
4
t
t
t
OP
t
t
t
t
2
2
2
2
1
1
1
2
4
4
4 4
2
t
t
t
t
2
2
1
4
4
t
t
0
1
t
1
t
2
15
4t
1
t
OP
29
2
D
P
5
( ,1)
2
OP
29
2
D
