解锁 “高考数学学科素养”专题系列——6 函数三要素的考察形式
高考的目的就是要将有素质的考生考出来，因此出题常常会在试题的立意上做文章，因此问题的给
出尽量含蓄，但万变不离其中，函数的三要素也如此.
解锁一：函数定义域常见的表示形式:
1.求函数
的定义域;
2.若
，变量
是定义在---上的函数;
3.若
，变量
在
上有意义;
4.若
，.求变量
的取值范围;
探点1.当
时，式子
总有意义，求实数
的取值范围.
探究：由式子
有意义知
,因为
,所以
,所以
探点2.已知
是定义在
上的函数，且满足
，当
时，
，解不等式
.
，
研究1：由
得
,
已知不等式
可变为
，由已知知
，所以
，
故所求不等式的解集为
.
探究2:因为
，
，所以
可变为
，即
，所
以
，即
.因为当
时，
，所以
，解得
，故所求不等式的解集为
解锁二：求函数定义域的原则
依据函数的所给形式待定
1.若函数是由图示、表格、图象给出的，求函数的定义域实质就是“写出”定义域；
2.若函数是由解析式给出的，则求定义域就是求使函数有意义（各部函数均有意义的）的自变量的取
值范围；
3.若函数是由复合形式给出的，则求定义域就要按复合函数的要求求解；
(1)已知（单）函数
的定义域为
，则求复合函数
的定义域，就是求不等式
的解集；
(2)已知复合函数
的定义域为
，求（单）函数
的定义域，就是求
在
上的值域；
(3)已知复合函数
的定义域为
，求复合函数
的定义域，就是先求
在
上的值域
，再求不等式
的解集.
4.若函数是由实际问题或几何问题确定的，则求函数的定义域既要确保函数式有意义，还要考虑问题
的实际意义或几何意义的要求.
探点1.(1)若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为 .
(2)若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为 .
(3) 若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为 .
诡辩:
中的
与
中的
是否是相同的？为什么？求函数
的定义域是求
的取值
范围？还是求
的取值范围？
探究：
(1)由题意知
，即
，即
，故函数
定义域为
.
(2)由题意知
，所以
，所以函数
定义域为
.
变式:已知函数
的定义域为
,则函数
的定义域为
.
探究:由题意知
,即
(两区间长度相同).因为
是函数，所以不等式
组
有解.若
，则
；若
，则
.综上所述，
当
时所求函数的定义域为
；当
时，所求函数的定义域为
.
探点.已知周长为的扇形半径为
，则扇形面积
关于
的函数为
.
探究 ：由题意知
,且
，所以
，故所求函数为
（
） （注意自变量的取值条件！）.
解锁三：函数值域常见的表示形式:
1.求函数的
值域；
2.若
，求函数值
的集合；
3.若
，求
的取值范围.
探点.若不等式
的一个解为
，则函数
的取
值范围为 .
探究：因为不等式
的一个解为
，所以
，解得
，函数
，所以
，所以
，即
,且
探点.在
中，
，
，则中线
的取值范围为 .
探究1(函数法)：设
，由
知
且
.
,由
可求得
的取值范围为
.
探究2(不等式法)由三角形中线性质知
，
,当
且仅当
时取等号,而
所以
,将
补成
,则
，所以
，综上得
的取值范围为
.
探究3(几何法)：由椭圆定义知
点的轨迹是以
为焦点，长轴长
为
的椭圆除去长轴的两个顶点，
为此椭圆的中心.由椭圆的几何性质知
，故中线
的取值范围为
解锁四：求函数值域的的解题原则
先定(函数定义)域，后选法(单调性法、因型而异代数几何法)；
先定(函数性)质，后(因型而异)求解.
最后回答
探点1.若函数
，则
的取值范围为 .
探究:由题意知
，解得
，此时
，函数
E
D
C
B
A
x
y
D
C
B
A
在
上单调递增，所以
，故所求函数的取值范围为
.
探点2.函数
的取值范围为 .
探究:已知函数的定义域为
,且是奇函数.当
时,
,此时
,
由奇函数的性质知,当
时,
,综上
,故所求的取值范围为
.
解锁五：求函数值域的常见类型及其求解基本策略
类型1：已知型——已知函数图象与已知或可求出函数的解析式.
(1)已知函数图象求值域的基本解题策略：将图象向
轴投影，投影所覆盖
轴部分即为所求的值域；
(2)已知或可求出函数的解析式求值域得基本策略：先考虑函数性质，后因型而异.
①常见的单调函数
❶
;
❷
;
❸
;
②根式函数常见单调性的类型:
❶
；
❷
❸
；
❹
悟惑.
的取值范围为 .
(3)无函数性质的基本类型
①基本函数的局部或简单复合或分段函数
解题基本策略是观察法
❶观察解析式；
❷观察图象.
如:
的取值范围为
.
②整式函数
代数变形：利用公式或换元使其化归基本函数或基本函数的局部；几何意义：函数图象、距离的平
方、面积等等.
探点1.回答下列问题
(Ⅰ)函数
的取值范围为 ；
(Ⅱ)函数
的取值范围为 ；
(Ⅲ)函数
的取值范围为 .
探究:
(Ⅰ)
，所以所求函数的取值范围为
;
(Ⅱ)
的几何意义是
与
距离的平方.距离的最小值为二次函数的切线与切点和
的连
线垂直.设切点为
，则
即
解得
(或函数
).故所求取值范围为
;
(Ⅲ)
，可求
.
感悟:整式运算：要注意相关公式的灵活运用.
探点2.函数
的取值范围为
.
探究:
感悟:三角整式函数的值域的求解策略
❶化成三角函数式；如：
;
❷化成以三角函数（式）为变量的复合函数;
❸导数法.
探点.若
是函数
的一条对轴，则
探究1(三角法):略；
探究2(导数法):
，解得
.
悟惑：整式求值域的基本解题策略
❶函数性质；
❷化归基本函数，即经过变形或换元使其划归基本函数或其局部；
❸利用几何意义，利用基本函数的图象或基本曲线的图形或基本几何量(常见的有距离或距离的平方、
数学规划、面积等)；
❹利用导数.
③分式函数
代数变形：先一个分式要约分，两个分式要通分；后拆项化归反比例或化归对钩函数；几何意义：直线
的斜率.
变形的根基：
❶
的值域为
;
❷
.若
，则函数在
，若
，则函数在
.
如1:
.
法一(拆项)：
；
法二( 判别式法) ：由
得
. 若
，则
; 若
，则
，而
恒成立，所以函数的取值范围为
.
如2:
的值域为
拆项的基本型：
一次分式函数:
二次分式函数:(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅲ)
(Ⅳ)
,分母是关于
的一元二次函数.
(Ⅴ)
(Ⅵ)
(Ⅶ)
(Ⅷ)
(Ⅸ)
可令
或
的非前面的形式,可用
法.或拆项
法:设
,则
,所以
,或
.
几何意义只要运用于拆项繁琐的情况.
探点.
的取值范围为 .
变式:
的取值范围为 .
探点:
，所求的取值范围为
:
说明:注意一次分式的条件
探点:数
在
上单调递减，则
的取值为
探究:
,解得
为所求.
④根式（无理式）函数
变形手段: ❶配方开方; ❷根式有理化; ❸平方再开方; ❹换元；❺导数法.
几何意义：圆锥曲线一部分，两点间距离或距离的和与差.
探点1.函数
的取值范围为
.
探究：
,所以所求的取值范围为
.
探点2.函数的取值范围为
.
探究:
，所以所求的取值范围
为
.
探点3.函数
的取值范围为
.
探究:
，设
，则
,所以
所求的取值范围为
.
⑤绝对值函数
几何意义；
；
代数变形：去绝对值(符号讨论、划分数轴)，化归为分段函数；利用绝对值的性质.
探点.函数
的取值范围为
.
探究1(去绝对值):
，故所求的取值范围为
.
探究2(几何意义)：如图，即得所求的取值范围为
.
探点2.函数
的取值范围为
.
A
Q
P
O
探究1:
.故所求的取值范围为
.
探究2：
由几何意义知所求的取值范围为
.
探
究
3
：
，
当
且
仅
当
，即
时，上式取等号，所以当
时，所求的取值范围为
.
探点3.
，表示点
到点
和直线
距离之和，所以
的取值范围为
.
⑥合成型函数
代数变形：求导数；
几何意义：函数图象的走向.
说明：多个同类基本函数合成的解题基本策略
❶整体利用基本函数的单调性；
❷划归为一个基本函数；
❸利用导数.
探点1.
是在
上有意义的函数，则实数
的取值范围为
.
探点:由题意知
对
恒成立，即
对
恒
成
立
.
而
函
数
，
所
以
，故实数
的取值范围为
.
探点2.
是在
上有意义的函数，则实数
的取值范围为
.
探
点
：
对
恒
成
立
，
而
函
数
在
上单调递增，所以
，实数
的取值范围为
探点3.当
时，
最小？
探究1(函数法):
，
由一元二次函数性质知，当
时，
最小.
探点2(方差法):当
，即
时，所求最小.
⑦复合函数
解题基本策略:
先里后外，转化为基本函数的局部问题.
探点.函数
的取值范围为
.
探究：因为
，所以
，所以
，故所求函数的取值范围为
.
⑧综合或混合型
❶一般值域问题均需先变形后化归基本型.
探点1.函数
的取值范围为
.
探究:
，所以
，所以
，所以
，故
所求函数的取值范围为
.
探点2. 函数
的取值范围为
.
探究：
❷先想函数性质后直求
主要性质：单调性、奇偶性、对称性、周期性. 但单调性是整体求值域，而其它三条性质是化整为
零.
探点.函数
的取值范围为
.
探究: 因为函数
是奇函数，所以函数
值域关于原点对称，当
时，
，所以所求函数的值域为
.
❸ 注意混合型
探点.
2
2
4
3(
4)
a
y
a
a
探究：
1
{ |
3
0
}
2
y y
y
或
.
⑨函数值域的逆向问题
解题策略：按解逆向题的三种方法求解.
探点1.已知
是定义在
上，且值域为
的函数，则
.
探究1:复合函数逆向题.解决问题的关键根据在真数，即研究真数这个二次方式值域的逆向问题.设
，则由
定义域为
知
恒成立，因为
，所以
，所以
.又
值域为
，所以
的值域
，由
得
，若
即
，则
成立，若
则
，综上总有
，即
，所以
是是关于
的方程
的两个实根，由韦达定理知
，经检验函数的定义域是
，故所
求为
.
探究2（定义法）因为
值域为
.
探点3.若
，数
均为非负实数,则函数
的取值范围为 .
探究：
探点4.已知函数
的定义域为
，值域为
，则函数
的取值范围为.
探究.当
时，所求函数的取值范围为
；当
时，所求函数的取值范围
；当
时，所求函数的取值范围为
.
⑩与值域有关的基本型
❶
使得
的含义是
；
❷
使得
且
使得
的含义是
；
❸
使得
的含义是
；
❹
使得
的含义是
，使得
.
类型二：未知型
不能求出解析式的函，解题策略:转移法.
其一是利用函数性质，如：单调性法奇偶性或周期性转移求解；其二是利用已知条件转移求解.
探点.设定义在
上的连续函数
对任意的
都有
且当
时，
求
在
上的取值范围.
探究: 利用函数的单调性和奇偶性. 设
，则
，所以
，所以
，所以
在
单调递减,可证
是奇
函数,所以
，故
在
上的取值范围为
.
变式：
且
，当
时，
,
则
在
上的
取值范围为
.
探究:
，
，因为
所以
，所以
，故所求范围为
解锁三：求函数解析式常见的出题形式
2.求函数（解析式）的常见类型与方法
(1)已知型:
①已知名称或已知图象求解析式；
❶已知函数的名称或可求函数；
求法:待定系数法或公式法.
❷隐含函数的名称.
已知给出的运算关系蕴藏基本函数特征或运算性质，尤其在自变量位置上的量在运算时出现在函数
值外面,这时就要考虑是否是函数的隐含问题.
探点1.整式函数
满足
，则
.
探点:
探究1（函数法）：由题意知
，将其代入已知比较系数得
，所
以
.
探究2（方程法）：在已知等式中令
，则
，所以
.
探点2. 已知定义在
上的函数
对
和
，都有
，且
，则
.
探究: 令
, 则
, 又
, 所以
; 当
时,
; 当
时
所以
悟惑:求函数要先定性，后定量.
探点3.
的定义域为
,并满足以下条件:①对
,有
;
②对
,有
;③
(I)求
的值;
(II)求证:
在
上是单调增函数;
(III)若
,且
按此顺序成等比数列,求证
探究:
(I)由①,②知
,当
;
(Ⅱ)
;
(III)因
所以
.
题思:以上都是已知函数的隐形问题，它与函数方程不同.解这种隐形问题，只需模仿规定的运算即
可.
探点4 定义在
上的函数
满足，对
，都有
，且
，则
的
的取值范围 .
探究：由已知
，因为
，
，所以
，所以
，解得
，故
的取值范围为
.
探点5 定义
，若存在实数
使曲线
在
点处的切线与直线
垂直，且
，求实数
的取值范围.
探究:先求出函数
的解析式，再列式求量.
，
，所以
，又
，所以
，即
，因为
，所以
，将
代入
得
, 即
，因为
，所以
，而函数
在
上单调递减，所以
，故实数
的取值范
围
.
②已知不等式求解析式
❶通过条件可推出
;
❷通过条件可推出
且
，从而推出
.
探点1. 已知函数f ( x)=ax 2+bx +c 的图象过点
，且对一切x∈R 都有
x≤f ( x)≤1
2 (1+x2)
成立，则函数
的增区间为 .
探究：先求出函数
的解析式.三个参数，需三个条件.令
,得1≤f (1)≤1，所以
，
即
①，又
，即
②，由①②得
，再由对一切x∈R 都
有
即
成立，所以
，所以
，而由
及
知
，所以
解得
a=c= 1
4 ,b=1
2 , 故
. 从而
,所以所求的增区间为
.
探点
2. 已知
是定义在
上的函数且
，对
都有：
，若
，则
.
探究:
，知
，又
，所以
.所以
.
②已知图象求解析式：直接写出或待定系数法求出函数解析式
探点.已知
的图象是以
为线段端点坐标分别为
和顶点为
的抛物线的一部
分
，且
，则
.
探究:
，由于
，所以
或
，
所以
或
.
(2)未知型：
①已知复合函数求解析式
函数式的结构
（其中
是已知具体对应关系，
是抽象法则），求函数解析式的
常用方法：
❶“拼凑法”,其步骤为:
(ⅰ)将已知式
的右边
构造出
的表达式;
(ⅱ)求
的取值范围
(左思右想);
(ⅲ)将
换成
,并注上“
”.
❷“换元法”,其步骤是:
(ⅰ)设
解出
,并代入已知式的右边;
(ⅱ)求
的取值范围
(左思右想);
(ⅲ)将
换成
,并注上“
”.
探点.已知
，则
.
探究:利用拼凑法.可求得
.
D
C
B
AO
②特殊函数方程：
以函数为变量的方程（至少有两个“
”的等式）
❶变量赋变值消元法，基本模型：（Ⅰ）“
”与“
”；(Ⅱ) “
”与“
”；
(Ⅲ) “
”与“
”的等式；
探点.已知
，则
.
探究:造基本模型，设
，则
，所以
，解得
，故
.
变量
❷
赋特值消元，对象：已知一个函数方程和特殊函数值;目标：造出特殊函数值和函数表达式的
方程.
探点.已知
，则
.
探究:利用特征消法则
.
探究1：在已知等式中取
，则
.
探究2：令
.
说明：注意取值的可行性，主要有：取值要确保有意义、可求处解析式.如本题中取
，则有
；另外还要注意答案的不唯一性.
❸数列通项法，对象：定义在正整数集或其真子集
上函数方程.目标：构造数列递推式.
探点.已知
是定义在
上的函数，且对
，都有
，且
，则
.
探究:取
,则
,即
,当
时,
，当
时，前式也成立，故
，所
以
.
