文档文本内容
第 4 讲 数形结合思想在函数（导数部分）中的应用
数学结合是数学解题中常用的思想方法。运用数学结合的方法，许多问题迎刃而解，且解法简洁。所
谓数形结合，就是依据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问。问题的一种重要思
想方法，数形结合思想，通过以形助数，以数解形，使困难问题简洁化、抽象问题详细化。能够变抽象思
维为形象思维，有助于数学问题的本质，它是数学的规律性和敏捷性的有机结合。
我们在解决函数问题的过程中，经常会遇到这样的一种困境：做题时总是感觉看到的式子比较抽象，
不容易理解，想来想去总是没有头绪。此时便需要我们将其具象化，而具体化最好的途径便是借助图象。
【应用一】利用数形结合，解决函数不等关系的问题
在做题的过程中，我们经常会遇到比大小问题，遇到这类题，我们的想法往往是先算出所有数的大小，
然后放在一起比较，但有的时候，题目中出现的数字我们难以计算，这种情况下我们一般借助于函数的图
像，若函数的解析式不是基本函数可以运用求导的方法，做出函数的图像。
【例1.1】（2023·广东佛山·统考一模）（多选题）若正实数 ， 满足 ，则下列不等式中
可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【思维提升】借助于函数的图像比较大小，最主要的是做出函数的图像，有些情况下要对函数进行适当的
变形，变成常见的函数，或者比较容易进行求导做出函数的图像。然后借助于函数的图像进行比较大小或
者不等关系。
【变式1.1】（2022•江苏二模）已知实数 ， ，且 ， 为自然对数的底数，
则
A． B． C． D．
【变式1.2】【2021年新高考1卷】若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
【应用二】利用数形结合，研究函数的零点问题函数零点问题是我们在做题过程中常见的问题，但是往往在解决函数零点问题时会发现，函数解析式
总是十分复杂，所以为了研究较复杂函数的零点问题，我们一般会通过函数的单调性、极值、图象的变化
趋势等求解；根据题目要求画出函数图象，通过数形结合思想分析问题。
【例2】（（2022·湖北·模拟预测）已知函数 ，若函数 有5个零点，
则实数k的取值范围为______．
【思维提升】函数的零点问题，就是指两个函数的交点问题，在解决这类问题要构造恰当的函数，以便更
好的做出函数的图像，能从图像中更直接的解决问题。
【变式2.1】（2022·河北衡水中学一模）已知函数 ， ，当实数 的取
值范围为________时， 的零点最多.
【变式2.2】（2022•玄武区模拟）已知函数 为自然对数的底数）在 上有两个
零点，则 的范围是
A． B． C． D．
【 变 式 2.3 】 （ 2022 年 徐 州 市 高 三 月 考 试 卷 ） 设 ， 若 函 数
有且只有三个零点，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【应用三】利用数形结合，研究函数的极值点问题
函数的极值问题，既是重点题型又是难点题型，遇到此类题，我们一般的想法是进行求导，实际上，
对于已知的基本初等函数求极值的问题，也可以直接做出基本初等函数的图象，结合函数图象使问题得到解决。
【例3】（【2022年全国乙卷】已知x=x 和x=x 分别是函数f(x)=2ax−ex2（a>0且a≠1）的极小值点
1 2
和极大值点．若x <x ，则a的取值范围是____________．
1 2
【思维提升】本题由x ,x 分别是函数f (x)=2ax−ex2的极小值点和极大值点，可得
1 2
x∈(−∞,x )∪(x ,+∞)时，f'(x)<0，x∈(x ,x )时，f'(x)>0，再分a>1和0<a<1两种情况讨论，
1 2 1 2
方程2lna⋅ax−2ex=0的两个根为x ,x ，即函数y=lna⋅ax与函数y=ex的图象有两个不同的交点，构造
1 2
函数g(x)=lna⋅ax，利用指数函数的图象和图象变换得到g(x)的图象，利用导数的几何意义求得过原点
的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.
因此，对于函数的极值问题借助于构造两个函数研究交点问题。
【变式3.1】（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）若函数 只有一个极值点，
则 的取值范围是___________.
【变式3.2】已知函数 有且只有一个极值点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3.3】（2022年福州高级中学高三月考模拟试卷） （多选题）若函数 有两
个极值点 ，且 ，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. 的取值范围是
C. D.
巩固练习
1、（2022•苏州模拟）已知 为常数，函数 有两个极值点，其中一个极值点 满足，则 的取值范围是
A． B． C． D．
2、（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知函数 有三个不同的零点
，且 ，则 的值为（ ）
A．3 B．4 C．9 D．16
3、（2022年江苏泰州市高三月考模拟试卷）已知函数 ，其中实数 ，
则下列结论错误的是（ ）
A. 必有两个极值点
B. 有且仅有3个零点时， 的范围是
C. 当 时，点 是曲线 的对称中心
D. 当 时，过点 可以作曲线 的3条切线
4、（2022年福州八中高三月考模拟试卷）（多选题） 已知函数 和 ，有相同的
极小值，若存在 ， 使得 成立，则（ ）
A. B.
C. 当 时，
的
D. 当 时，若 所有根记为 ， ， ， ，且 ，则5、（2023·广东揭阳·校考模拟预测）（多选题）已知a为常数，函数 有两个极值点 ，
（ ），则（ ）
A． B． C． D．
6、（2023·云南红河·统考一模）（多选题）已知函数 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．函数 有两个极值点
B．若关于x的方程 恰有1个解，则
C．函数 的图象与直线 有且仅有一个交点
D．若 ，且 ，则 无最值
7、（2023·湖南邵阳·统考三模）已知函数 有两个极值点 ， ，且 ，则实数m
的取值范围是__________.
8、（2022年福建德化高三月考模拟试卷）已知函数 ，若方程 有两个不相等
的实数根，则实数 的取值范围是______________．
