解锁 “高考数学学科素养”专题系列——8 函数最值主要阐述变中的“不
变”
函数的最值除刻画了函数取值的极致和界限，展示了函数图象的最高点与最低点.；刻画了函数值的
变化与边界问题，即函数的整体特征，还能在科技、经济、社会中的一些如何使用料最省，效益最大等
实际问题，这充分体现数学的一个哲学思想——万变不离其宗.
解锁一：函数最值的本质属性
1.函数的最值定义:
函数
的定义域为I，如果存在自变量的一个值
，使（对于任意的）
I，（1）都有
，则称
是函数
的最大值；（2）都有
，则称
是函数
的最小值.
悟惑:
(1)最值是函数值，因此用重要的不等式求最值时要求“一造、二定、三相等”；
(2)最值定理(导数部分):如果在闭区间[a,b]上定义的函数
的图象是一条连续不断的曲线，
那么它必有最大值与最小值，且所有极值与端点的函数值中，最大者是函数的最大值，最小者是函数的
最小值．如一元二次函数，且极值点即为对称轴点.函数若仅有一个极值那么这个极值一定是它的相应最
值；
(3)最值的本质就是函数值的边界值、图象的最高点与最低点的纵坐标.；
(4)求最值比求值域方法更多些.因为最值仅是两个值，所以可以扩大函数自变量的取值范围求最值，
只需检验能够取到最值即可，否则改成其它方法.
探点.函数
的最小值为
探究1(导数法)
,令
,则
,若
,则不等式
恒成立，设
，则
，所以
解得
，所以已知函数在
上单调递增，所以已知函数在
上单调递减，所
以当
时，
探究2(判别式法)由
得
，将其平方得
，所以
，解得
或
，由
知，
，所以
，当且仅当
，
即
，亦即
时取等号，故当
时，
.
(5)求最值分为整体求与局部求(每部分同时最大或最小，则整体有最值).
2.函数最值的本质属性
(1)整体性与绝对性：最值是函数在整个定义域内所有函数值的“最大”或“最小”者，是一个全局
性的概念，具有绝对性.
(2)可达性：最值不仅仅是一个上界或下界，更重要的是这个“界”必须被函数实际取到.
(3)与极值的区别：最值是整体概念，二极值是局部概念.一个函数可能有多个极值点（局部最高点或
最低点），但其最值在定义域内最多各有一个.极值只能在定义域内部取得，而最值可以出现在区间的端
点.
(4)几何意义:从图象上看，函数的最大值对应其图象上最高点的纵坐标，最小值对应其图象上最低点
的纵坐标
(5)存在性依赖定义域：函数是否有最值，与其定义域密切相关.定义在闭区间上的连续函数，必存在
最大值和最小值（闭区间上连续函数的性质），但在开区间或不连续的情况下，函数可能无最值.
3.研究函数最值的原则
第一步:搞清变量；
第二步:求所研究变量的范围；
第三步:先判定最值的类型，后因型而异；
第四步:求解；
第五步:回答问题.
探点.若
，则
的最大值为
.
探
究
：
由
知
，
且
，解得
，因为
在
上单
调递增，所以
的最大值为
.
解锁二：求最值的常见类型与常用方法
1.求最值的常见类型：
(1)几何最值：先用几何意义，后化归代数求解.
说明:
①求几何最值的基本策略：①列方程求解，②列不等式求解.
②几何意义即基本几何量、基本函数的图象、基本曲线.
❶整式:
一次（
）——线性规划；
二次（
当
时，
）——距离的平方或面积；
高次（如：
，设
，则
.再如：
）——换元或降次划归为基本函数的局部问题.
❷分式，斜率（
）
❸两个根式的和差,存在一次根式——圆锥曲线的一部分；如:
.均为二次根式
——两点间距离之和或之差.
❹绝对值，一元——数轴上两点间距离；二元——点到直线距离.
③利用几何意义求最值的关键是恰当定型，精准确定出动点的运动规律.
悟惑1.二元函数
的最小值为 .
探点:所求函数的几何意义是点
与
两点间距离的平方，点
在
上，点
在
，所以点
到直线
的距离的平方
为所求.
悟惑2.已知
，
,则
的最小值为 .
探点:曲线
与直线
(2)代数最值：
因型而异
①未知型(抽象问题)：利用函数性质(单调性、奇偶性、对称性、周期性) 转移求解；
探点.已知定义在区间
上的函数
满足
，且当
时，
.
(1)求
的值；
(2)若
，求
在
上的最小值.
探究:
(1)令
，则
；
(2) 设
，则
，因为当
时，
，所以
，又
所以
，所以函数
在区间
上为减函数．
为所
求的最小值，因为
，
，所以所求为
.
②已知型(具体问题)：因元而异
❶一元(一个变量或一个动点)问题值域法；
探点1.已知函数
，则
的最小值为 .
探究1(单调性):由题意知
，解得
，而函数在
单调递增，所以所求的最
小值为
.
探究2(几何意义):略.
探点2.函数
，则
的最大值为 ；最小值为 .
探究1：设
，则
，所以
在
上单调递增，所以
在
上的最小值为
，最大值为
.再设
，则
，所以
在
单调递减，所以
在
上的最小值为
，最大值为
，又
在
上的图象连续，
所以
的最大值为
，最小值为
.
探究2:当
时
在
上单调递增，此时
的最大值为
，最小
值为
.以下同上.
悟惑:已知解析式求函数的最值，首选函数的单调性！求分段函数的最值先分段求，再求最佳者；另
外
在点
处的切线方程为
，可证
.
❷二元(两个变量或两个动点)问题:
(Ⅰ)几何意义法：代数式的几何意义或几何图形；
(Ⅱ)重要的不等式: (ⅰ)重要不等式，(ⅱ)基本不等式，(ⅲ)柯西不等式，(ⅳ)绝对值表达式；
(Ⅲ)换元:
(ⅰ)代数换元
代入消元：已知等式解出一个变量代入所求，
换元代入：依据已知结构特征，引
进两个变量换元，代入所求；
(ⅱ)三角换元：依据已知结构特征和三角同角关系式，引进三角变量换元，代入所求.
探点1：设点
在曲线
上，点
在曲线
上，则
最小值为
探究(两动点，线对称转移)：
.由题意知，函数
与
函数互为反函数，所以它们的图象关于直线
对称，所以两曲线
与曲线
上两点间距离的最小值就是直线
与曲线
距离最小值的二倍.设曲线
上一点任意一点的坐标为
，则过该点的切线与
平行，所以
，即
，
点到直线
的距离为
，所以所求为
，故选
.
探点2(两动点，中心对称转移)：点
，点
分别为
与
上两点，则
最小值为
探究：如图
最小值为
.
变式：求
的最大值，就是求
的最大值再加上圆的半径.
探点3. 设实数
满足
，则
的最小值是 ．
探究1(带块换元)：令
，则
，所以
则
，故所求最小值为
．
探究2(结构换元):设
，则
，所求变为
F2
F1
y
x
O
C
Q
P
，当且仅当
，即时取等号，故所求最小值为
．
探究3(齐次型换元):
以下局部判
别式法.
探究4(三角换元法):由
可设
，则
悟惑:本题三角换元不好！；换元的目的是为了“简化”，基本策略是：从结构特征出发构造基本型
或利用基本理念：高次变低次、方式变整式、无理变有理、多元变少元等.
探点4.已知实数
，
满足
，则
的最小值为__________.
探究1(通分)：因为
，所以
又
，所以
，所以
，所以
，所
以当
时
最大，此时
最小，最小值为
.
探究2(基本不等式，乘常数)：由
配方得
，所以
，所以
当且仅当
，即
最小
值为
.
探究3(换元法):化归基本型.令
,则
所以
，且仅当
即
时
取等号故答案为
.
探究4(换元法):由
可设
,则
❸多元问题一定用重要的不等式造已知条件.
探点.设
，若不等式
恒成立，且
，则
的最小值为 .
构造几句话还是
，当且仅当
时取等号,即
取等号，所以当
时,
有最小值
.
悟惑:已知不等式可只用求解过程,本题反映多元变少元、构造函数的思想.
解锁三：函数最值的性质:
1.有界性；
如：
或
.常用有界限构造不等式、求参数或函数值的取值范围
探点.函数
在
上的最小值为
，则实数
的值为 .
探究1(正向求解):已知函数可变为
，因为
，所以
.设
，则
，设
，分
及奇函数的性
质和均值不等式可求得
.
探究2(利用解的意义):由题意知
对
恒成立且取到等号.
因为
，所以
.所以上不等式可变为
，而
，
，所以当
时
最大，且
最大值为
，所以
，即
.
悟惑.最值的逆向问题的解决应遵循数学求解逆向题的常规方法：其一，解的意义；其二，数形结合；
其三，正向求解.
2.自变量的不唯一性.如正、余弦函数的最值；
3.函数图象的最高点与最低点的纵坐标即为最值；
4.一个变量的不等式
或
恒(
)成立，则
是
的一个最值.
解锁四：最值应用的常见类型：
1.求函数的值域；
2.比较大小（演绎推理，即构造函数说明最值得符合，再赋值;小的最大值
大的最小值或差函数的
最值与零比较）；
3.研究函数图象的最高点与最低点坐标问题；
4.不等式有解、无解、恒成立问题；
探点.已知
是定义在
上的奇函数，且
，当
，且
时，有
，若
对所有
恒成立，则实数
的取值范围为
探究：将
换成
，则
变为
，因为
是定义在
上的奇函数，所以
，从而
，由增函数的定义知
是增函数，因
为
对所有
恒成立，所以
，因为
，所以
，即
，对
恒成立，所以
，解得
或
或
，故实数
的取值范围为
或
或
.
探点.不等式
的解集为
，则
探究1(解不等式):不等式
可变为
,即
,
易即
.因为等式
的解集为
,所以
,解得
；
探究2(求最值)：设，
，则
，所以
，
所以
，即
.
5.证明一元函数不等式;
探点.证明：
探究1:设
，则
的最大值为2，
的最小值为
2，但最值的条件不同，因此原不等式成立.
探究2 设
，证明
的最小值大于
（略）
6.一个函数的图象总在另一个函数图象的上方或下方(差函数的最值与
比较).
7.优化问题.
探点1.设
，
，
，则
A.
B.
C.
D.
探究：设
，且
，当
时
，所以
在
上单
调递减，所以
在设
，
且
，当
时，
，此时
，所以
在
单调递增，所以
，即
，所以
,故选
.
探点2:已知函数
的定义域为
，且同时满足：①
；②若
，则
恒
成立;③若
,则
恒成立.
(1)求
的值；
(2)当
时，求证：
.
探究:(1)在
中，取
，又由
时，
知
，所以，
(2)设
，则由
知
又当
时，
，而
，所以
，所以
，所以当
时
，而此时
，所以
解锁五：最值的隐形问题
①
，使得
成立，即为
；
②
，使得
成立，即为
；
③
,使得
，即为
；
④
，使得
，即为
等
探点1.已知函数
，若对
，使得不
等式
成立，则实数
的取值范围是
探究:因为对
,使得不等式
成立,所以
,
解得
，故选
,
探点2.已知定义在
上的函数
,且满足
,函数
(1)求
的解析式
(2)若不等式
;求实数
的取值范围；
(3)设
，若对
使得
，求实数
的取值范围
探究：(1) 由
得
解得
，所以
的
解析式为
(2)由（1）知
，所以
在
上单调递增，所以不等式
恒成立等价于
，即
恒成立，设
，则
，当且仅当
，即
时取等号，所以
，故实数
的取值范围为
.
(3)因为对
使得
，所以以
在
上的最小值不小于
在
上的最小值。
；①若
,
解得
，
②若
，则
，解得
，所以
，若
，则
，所以
综上，实数
的取值范围为·
.
解锁六：函数最值对函数整体特征作定量阐述
1.界定函数值的绝对范围：最值直接给出了函数值的上界和下界.最大值是函数在定义域内所能达到
的最大数值，最小值是函数在定义域内所能达到的最小.数值，这一定量信息完整地框定了函数值的取值
区间，是函数值域的端点.
2.反映函数的全局行为：与极值（局部最大/最小）不同，最值是全局性的概念.它不关心函数在某一
点附近的变化，而是纵观整个定义域，找出所有函数值中的“冠军”和“亚军”.这使得最值成为衡量函数整
体波动幅度和趋势的关键指标.
3.与定义域和连续性紧密关联：最值的存在性及其大小，直接依赖于函数的定义域和连续性.例如，
闭区间上的连续函数必然存在最大值和最小值（有界闭区间上连续函数的性质）.这一定量结论为分析函
数的整体行为提供了理论保障.反之，若函数在开区间内无最值(如
在
内无最小值)，则定量揭
示了其在边界处的“发散”或“趋近”特性.
4.为不等式和优化提供基准：最值是构造和证明不等式的基础.例如，若已知函数
在区间
上的
最小值为
，则可定量地得出
对所有
恒成立.在实际应用中，最值问题（如成本最低、利
润最高）本身就是对函数整体最优性能的定量追求.
5.几何意义的直观体现:在函数图象上，最大值对应图象的最高点的纵坐标，最小值对应最低点的纵
坐标.这一定量的“高度”信息，直观地展现了函数图象在垂直方向上的整体“起伏”范围.
综上所述，函数的最值并非一个孤立的点或值，而是对函数在整个定义域内的整体取值能力的最直
接、最精确的定量刻画，它界定了函数的数值边界，反映了其全局波动特性，并为后续的分析和应用提
供了关键的数值依据.
探点1.已知
，
，
，则
的大小关系为
A．
B．
C．
D．
探究.根据题意，
，
，
.令
，则
，
则函数
在
上单调递增，在
上单调递减，所以,
且
,即
,所以
。故选：D。
探点2.已知实数
满足
，其中
是自然对数的底数，则
的
最小值为（ ） A．
B．
C．
D．
探究：点
看作曲线
上点P；点
看作直线
上点Q；则
为
,由
，所以
，
选A.
探点3.
时，
恒成立，则
的取值范围是_________
探究：当
时，函数
的图象如下图所示：因为对于任意
，
总有
恒成立，则
的图象恒在
的上方因为
与
的图象相交于
时代入对数函数，求得
所以此时a 的取值范围为
探点4.已知
，若不等式
对任意的
恒成立，则整数
的最小值为____．
探究：因为函数
为单调递增函数，且
，所以不等
对任意的
恒成立，等价于
对任意的
恒成立，
设
，则
，当
时，
；当
时
,
的最小值为1.
探点5.已知函数
2
( )
log (
2)
f x
ax
，( )
2
(
0,
x
g x
b b
且
1)
b
(1)若函数
( )
f x 在区间[1,2] 上单调递减，求实数a 的取值范围；
(2)若
1
a ，且对于任意实数
1
2
,
[0,2]
x x
，总存在实数
3
[6,
)
x
，使得
3
1
2
(
) [|
(
)
(
) | 1]
6
f x
g x
g x
，求实数b 的取值范围．
探究：(1)因为函数
2
( )
log (
2)
f x
ax
在区间[1,2] 上单调递减,所以
0
2
2
0
a
a
，1
0
a
,
所以实数a 的取值范围为( 1,0)
.
（2）
1
a ,
3
[6,
)
x
,
3
(
)
[3,
)
f x
,又因为
3
1
2
(
) [|
(
)
(
) | 1]
6
f x
g x
g x
,所以
1
2
0 |
(
)
(
) | 1
2
g x
g x
恒成立,所以
max
min
( )
( )
1
g x
g x
.当0
1
b
时，
2
max
min
2
( )
( )
2
2
1,
1
2
g x
g x
b
b
,当
1
b 时，
2
max
min
6
( )
( )
2
2
1,1
2
g x
g x
b
b
,
综上可得：实数b 的取值范围为
.
