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解锁 “高考数学学科素养”系列——1 集合的情怀
解锁一：集合的定义
把一些元素组成的总体叫做集合(
set
)(简称为集).可见集合是数学的工具作用——凡是“群体”问题
均可用集合表示或集合观点思考、求解、定义数学概念.如：函数的定义，不等式的解集，三角形，向量，
几何，概率等；从而形成集合思想.
探点:已知一元二次函数
在
上至少有一个函数值为非负值，则实数
的取值
范围为 .
法一(图象法):利用一元二次函数
的图象可知，
或
，所求为
.
法二(分离法):令
，则
，所以
，所以一元二次函数
在
上至少有一个函数值为非负值，在
上有解，设
，则
(略).
法三（求补法）：一元二次函数
在
上的函数值
均为负，则
，解得
，故所求为
.
解锁二：集合的概念
1.空集：求解集合问题的分类讨论；“元素”：元素的三大特征；子集：子集思想.
2.集合中的关系：
①“元素”与集合：对
对象
与
集合
，则
或
.
可见元素是一个相对概念，它本身可以是元素也可以是集合，因此解集合题的关键是高清集合中的
元素.
悟惑:若
，则
,但在填空时，对于
，
仅能选前者，选后者是错误的.
②集合与集合：对
集合
与
集合
，则要么
,要么
,也可要么
，要么
.
O
y
x
2
1
O
y
x
2
1
悟惑.已知
，则
的关系为
分析：因为
,取
,则
,而
，
所以
3．利用子集观点处理构成或分类讨论问题(整体与局部的相互转化、一分为二的哲学理念).
悟惑.若
，则
关系为 .
探究：变量的系数存在二倍关系，常数项相同，因此统一变量的系数. 本题是显性的分类问题，即子
集问题，隐形子集问题需要子集思想解题.
法一(升倍法): 因为
，所以
.
法一( 降倍法): 当
，则
；若
，则
，所以
.
③处理数的分类问题有两种途径: ❶拼凑成相同的结构特征;❷分类讨论变为同一类型.
悟惑.设全集
,若
，则称
为理想配集，记作
，这样的理想配集
共有
个
个
个
个
分析：由
知
中必有
，至于
不能同时属于
，因此问题转化为
的子集分配问题.
法一（分类讨论）：对集合
分类讨论：
法二（韦恩图）：对每一个元素进行对三个区域讨论
变式一：若
,则有
法一(分类讨论)：
；
法二(子集思想)：韦恩图
.
U
3
5
(3)
（2)
（1）
B
A
1
变式二：若
,则
法一(分类讨论)：对集合
分类讨论：
.
法二（子集思想）：
.
解锁三：解集合题的原则
第一步，搞清元素（的本质特征和属性）:若是列举法，则需观察每一个元素；若是描述法，则一看
代表元的结构特征；二思约束条件;三想元素的三大特征.
第二步，分有、无元素.若无元素直接回答问题；若有元素选择方法.常用的方法有:
①列举法：集合一般用描述法给出，掩盖了元素的本质特征，对于有限集且易于列举的可用列举法
代替描述法，直观方便.
②转移法:对于一些带有集合交、并、补、相等、包含等关系的命题，可利用集合概念或运算转化为
较简单的关系或通俗的集合语言，从而找出解题方向.
说明：常见的转移有：
❶
与
元素完全相同；
❷
与
无公共的元素；
❸
或
与
有公共的元素；
❹
、
;
❺
或
.
③数形结合法：从数量关系求解繁琐时，可追溯其几何意义，用几何法求解.
说明：数集用数轴,点集用图象或曲线，即用图形法.
④韦恩图法：对于未知具体元素的非空集合，用韦恩图研究比较直观方便，并能进行有效、合理的
分类.
对象：仅给出集合之间的关系；种类的个数问题.
⑤讨论法：集合中的有些元素与集合关系不够充分或在集合运算、集合关系中导致集合的不确定性
或集合的逆向问题，当参数的取值不够清楚等均需讨论.
⑥构造法. 有些集合问题的所示形式较为抽象，直接探求显得困难，这时需考虑构造一个与原命题等
价的新命题来处理(通常的构造是指“约束条件”或“集合”)，往往比较方便.
说明:构造集合的方式是充分利用全集或空集.即
,
或
解锁四：集合元素的三大特征及其作用：
1.确定性:设
是一个给定的集合，
是某一个具体对象，则
或者是
的元素或者不是
的元素，
两种情况有且只有一种成立.
2.互异性:集合中的元素必须是互异的,就是说,对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的.
(5)
(4)
(3)
（2)
（1）
C
B
A
2
1
3.无序性:集合与其中元素的排列次序无关.
元素三大特征的作用:
(1)确定性的作用
①判定一个群体能否构成集合;
②判定一个元素是否是集合中的元素(列举法给出的元素用观察法,描述法给出的元素用检验法);
③列式(是集合中元素,应满足集合中的约束条件).
(2)互异性的作用
①用列举法表示集合的正与误;
②用列举法写集合时，相同元素只能写一次;
③求解用列举法给出的含参数的集合问题,要检验互异性;
④求解用列举法给出的集合题时，若条件不够,则隐含元素的互异性.
(3)无序性的作用
①判定集合关系;
②已知集合关系求参数,注意元素的相互交换.
探点1.设函数
.
(Ⅰ)求证：
;
(Ⅱ)如果
，求
；
（Ⅲ）若
，求
满足的条件.
探究:严格遵循解集合题的步骤，本题考查集合中元素的确定性.
探析(Ⅰ):若
，则
成立.
设
，且
则由元素的确定性值
，从而
，所以
，
所以
，综上总有
.
(Ⅱ)求
，即为求
中的元素，关键求
的值.
法一：由
,所以
是方程
，即
的两个实根，由韦达定理知
，所以
，从而
，即
，亦即
，所以
.
法二:由(Ⅰ)知
悟惑：本题反映从特殊到一般，由局部到整体以及充分利用“串题”关系的解题理念.
(Ⅲ):由题意知
且
无实根或
解集是
的解
集的子集.
，设
，则由
知
无实根或
的解集是
的解集的子
集,所以
,或
或
.
解得
.
探点2.已知集合
，且
,则
探究：求
的关键是
值，依据
,列举法给出的集合，
注意元素的互异性.
，所以
或
，解得
或
或
或
，检验互异性知
舍去.所以
或
或
.
探点3.在②的探点1 中若
则
分析：关于
的方程
，即
有两个相等的实根
，由一元二次方程根与系数的
关系知
，又
，所以
.
探点4.已知集合
，问
同时满足
的实数
是否存在？若存在求出
所有值，若不存在，请说明理由.
探究：搞清每一个集合的具体元素：
，因为
，所以
，即
，分有无元素：又
，所以关于
的方程
无实根或有实根为或
.即
或
，解得
或
，此时
，故存在满足条件
的实数
，且
或
.
悟惑：集合中约束条件是一元二次方程一般用列举法，但含参数的有以上三种形式.“本质特征”的
切入点可分为代数意义和几何意义.
探点5.设集
，
是否存在
使得
，若存在求之；若不存在请说明理由.
分析：条件要化简，转化为方程组研究.求解整数有三种渠道：其一，方程法；其二，不等式法；其
三，整数分析唯一性.
法一：由
知
且
.由
，知方程组
，即
无解，所以
关于
有解，所以
，即
---①，又由
知，方程组
，即
无解，所以
关于
有解，所以
，解得
---②，由①②得
，代入
与
得
.故存在正整
数
，使得
.
法二：由
又
或
代入检验.
悟惑：由不等式求整数的一般思路是先解出该整数的范围在确定取值;含两个整数的不等式求整数，
也是先求整数的取值范围，但需消去一个整数，一般方法有两种：其一，通过放缩得到关于一个整数的
一个不等式；其二，通过不等式有解.
探点6.设
，
，当
为何值时
?
分析：搞清元素：已知是两个点集，所求是寻找两集无公共元素的充分条件！代数法方程组无解；
几何法利用曲线位置关系,选择几何法.方程
表示直线
除去一点
.若
，则
，此时满足
；设
，则
方程
表示一条直线.要使
，
只需直线
平行直线
或直线
与直线
相交于
点
.即
或
，解得
或
，故当
或
或
时
.
探点7.已知全集为
，集合
满足
,则下面是空集的是
分析：利用韦恩图可知选
.
探点8.向
名学生调查对
、
两事件的态度，有如下结果：赞成
的人数是全
体的五分之三，其余的不赞成，赞成
的比赞成
的多
人，其余的不赞成.另外，对
、
都不赞成的
学生数比对
、
都赞成的学生数的三分之一多一人，则对
、
都赞成的学生和对
、
都不赞成
的学生的人数分别为 ， .
分析：搞清元素：本题是未知具体元素的分类问题，可用韦恩图法.
设对
、
都赞成的学生有
人，则
，解得
，故都赞同有
人，都不赞同有
人.
解锁五：集合计算
并、交运算的本质就是给出分类思想，补集运算给出补集思想
探点.已知不等式
①，
②，
③.
(Ⅰ)满足①与②的
也满足③，则实数
的取值范围为 ；
(Ⅱ)满足①或②的
也满足③，则实数
的取值范围为 ；
分析：“①与②”是公共问题即求交集；“①或②”是求并集，“也满足”是从属关系即子集.
解:设
则
或
，
.设
，则其对称轴方程为：
(Ⅰ) 满足①与②的
的集合为
，因为满足①与②的
也满足③，
所以
,
法一（直接法）：
或
或
，解得
，
故实数
的取值范围为
法二(补集法):若
，则
或
或
，即
，所以若
，则
，故实数
的取值范围为
.
法三( 分离法): 因为当
时，
恒成立，所以
可变为
，若
，则当
时，
的最大值为
，所以
，故实数
的取值范
围为
.
(Ⅱ)满足①或②的
的集合为
或
,因为满足①或②的
也
满足③，所以
，由一元二次方程跟的分布知
或
，解得
，故实数
的取值范围为
.
悟惑:
①本题用求补思想不好！法三最佳,注意只要出现含参数的等式或不等式均要先想分类参数法;
②变式: 已知不等式
①，
②，
③.若满足①、②的至
少有一个满足③，则实数
的取值范围为 .
探究:由上题的法一知
.因为满足①、②的至少有一个满足③的反面是“满足①、②的都不满
足③”.设
，则
，解得
，故实数
的取值范围为
.
解锁六：子集思想、求补思想
探点.求集合
的所有子集中元素之和.
法一 (子集思想):含数字1 的子集有
个,同理含有
的子集个数均为
,故所求元素之
和为
.
法二(求补思想):每一个子集对应一个相应的补集,一个子集元素等于另一个集合的补集元素,故所
求的值为
.
感悟：研究补集切记全集.
如:命题
:函数
的定义域为
，命题
:不等式
对
都
成立，若命题
假，则实数
的取值范围是
O
探究:由
得
，而
,所以命题
:
；命题
:
，
全集
是函数
，因为命题
假，所以
至少有一个是假命题，其否命题是
都真，
此时
，所以若
至少有一个是假命题，则
，故实数
的取值范围是
.
