文档文本内容
第1 讲 集合·综合测试
注意事项
1. 本卷为综合测试卷，建议用时120 分钟，满分150 分. 答题前请先通览全卷，合理分配
时间.
2. 答题时注意审清题意，挖掘隐含条件，避免因审题不清导致失分. 遇到卡壳的题目先跳
过，完成会做的题目后再回头思考.
3. 完成试卷后务必检查：选择题是否漏选、错位，填空题答案是否化简到最简形式，解
答题关键步骤是否完整.
4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北.
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.（2026·安徽临泉·二模）已知复数
，
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
2.（2026·泰山教育·4 月模拟）集合
的真子集的个数为（
）
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
3.（2026·广东梅州·一模）已知全集
，
，则下列结
论不一定成立的是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.（2026·广东湛江·模拟）已知集合
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
5.（2025·河北·联考）已知集合
，
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
6.（2026·强基联盟·3 月联考）某班共有45 位同学，在学校举行的数学、物理学科竞赛中，
有18 位同学参加数学竞赛，有15 位同学参加物理竞赛，两科竞赛均不参加的有15 位同学，
则同时参加数学和物理竞赛的同学有（ ）
A. 2 位
B. 3 位
C. 4 位
D. 5 位
7.（2026·襄阳五中·一模）已知全集
，
，
，
，
，那么
为（ ）
A.
B.
C.
D.
8.（2026·湖北·5 月模拟）已知集合
，且
，则实数
（
）
A.
B.
C.
D.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错得0 分.
9.（2026·山东济宁·一模）对于一个有限集合
，定义集合
的模
为该集合中所有元素的和，记作
，即
，则下列说法中正确的是（
）
A. 若集合
，则
B. 若集合
，则
C. 若集合
，则
D. 记集合
，且
中任意两个数的差的绝对值
不等于3，也不等于8，若
的最大值为
,
的最大值为
，则
10.（2025·广东六校·5 月联考）设有有限集合
，其中
，
，
非空集合
，
，若存在集合
，使得
，
中的所有元素之和相等，则
称集合
是“可拆等和集”，则（ ）
A. 集合
不是“可拆等和集”
B. 若集合
是“可拆等和集”，则
的取值共有6 个
C. 存在公比为正整数，且公比不为1 的等比数列
，使得集合
是“可拆等
和集”
D. 若
，
，数列
是等差数列且公差
，则集合
是“可拆等
和集”
11.（2024·山东潍坊·一模）若非空集合
满足：
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12.（2024·吉林延边·二模）已知集合
的元素只有一个，则实数
的
值为＿＿＿＿＿＿.
13. 2021 年是中国共产党成立100 周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系
列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召. 现有《青春之
歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50 人，观看了《青春之歌》
的有21 人，观看了《建党伟业》的有23 人，观看了《开国大典》的有26 人. 其中，只观
看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4 人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有
7 人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6 人，三支短视频全观看了的有3 人，
则没有观看任何一支短视频的人数为＿＿＿＿＿＿.
14.（2024·湖北·二模）已知
为包含个元素的集合
．设
为由
的一些
三元子集(含有三个元素的子集)组成的集合，使得
中的任意两个不同的元素，都恰好同
时包含在唯一的一个三元子集中，则称
组成一个阶的Steiner 三元系．若
为
一个7 阶的Steiner 三元系，则集合
中元素的个数为＿＿＿＿＿＿.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13 分）（2026·山东·5 月联考）对于集合
,定义
,若
,则称
为理想集.例如,
不是理想集,而
是理想集.
（1）判断下列集合是否为理想集,不需要说明理由;
①
;
②
;
③
.
（2）若存在
个非空理想集
,且
,使得
,则称
是
可分的,记
.
（i）证明:
;
（ii）证明:
.
16.（15 分）（2026·山东济南·二模）给定正整数
,集合
满足对于任意
,都存在
,使得
.
（1）若
,且
,求
;
（2）证明:对于任意
,都有
;
（3）若
,且
,求集合
中所有元素的和.(用含有
的式
子表示)
17.（15 分）（2025·燕博园·3 月联考）已知
，
.设集合
，集合
.若集合
中的元素
，
满足
，则称
为
的“相邻元”.对于整
数
，若集合
存在一个子集
满足：（i）集合
中元素个数为
；（ii）
，在
集合
中都至少有
个“相邻元”，则称
是“好数”.
（1）当
，
时，直接写出
的“相邻元”；
（2）当
，
时，求证：
是“好数”；
（3）当
时，若整数
满足
，且
，
，
求证：
是“好数”.
18.（17 分）（2024·安阳一中·模拟）由无理数引发的数学危机一直延续到19 世纪.直到
1872 年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史
称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无
理”的时代，也结束了持续2000 多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指
将有理数集
划分为两个非空的子集
与
，且满足
，
，
中的
每一个元素都小于
中的每一个元素，则称
为戴德金分割.
（1）判断集合
，
是否构成一个戴德金分割，并说明理
由；
（2）在一个戴德金分割
中，能否出现“
有一个最大元素，
有一个最小元
素”的情况？请说明理由；
（3）请分别举出一个戴德金分割
的具体例子，使得：①
没有最大元素，
有
一个最小元素；②
没有最大元素，
也没有最小元素.
19.（17 分）对于集合
，定义
．若
，
，将集合
中的元素从小到大排列得到数列
.
（1）写出集合
中的元素组成的集合（用描述法表示）；
（2）求
与
的值.
