2027高考一轮复习通关讲义(解析版)_2027高考数学一轮复习通关讲义

第1 讲集合结论16
结论一、集合的互异性16
结论二、集合相等16
结论三、集合子集个数17
结论四、子集与交集17
结论五、子集与并集17
结论六、子集与空集18
结论七、交集与空集18
结论八、并集与空集19
结论九、反演律(德摩根定律) 19
结论十、容斥原理20
第2 讲复数的概念和性质22
通关一、复数的定义22
通关二、虚数单位i 的周期性22
通关三、复数核心运算22
结论一、复数的分类22
结论二、复数相等23
结论三、共轭复数23
结论四、复数的加法与减法及意义24
结论五、复数的乘法24
结论六、复数的除法25
结论七、复数的模25
第3 讲函数三要素28
通关一、函数符号y = f(x) 的理解28
通关二、函数的值域28
结论一、具体函数定义域的求解29
结论二、抽象函数定义域的求解29
结论三、同一个函数的判定方法30
结论四、函数表达式30
结论五、换元法求函数的值域31
第4 讲函数的单调性33
通关一、函数单调性的定义及几何意义33
通关二、函数的最值34
结论一、定义法证明函数单调性34
结论二、函数单调性的正向与逆向理解34
结论三、单调性结论35
结论四、单调性性质35
结论五、单调性求最值36
第5 讲函数的奇偶性38
通关一、函数奇偶性的定义和性质38
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  2027高考一轮复习通关讲义
通关二、函数奇偶性的运算38
通关三、一些重要类型的奇偶函数39
结论一、定义域优先39
结论二、函数的构造39
结论三、奇函数特性40
结论四、偶函数特性40
结论五、奇偶性与单调性关系41
第6 讲函数的对称性43
通关一、轴对称43
通关二、中心对称43
通关三、常见对称性结论43
结论一、f(a + x) = f(a - x) 型44
结论二、f(a + x) = f(b - x) 型45
结论三、y = f(x + a) 为偶函数型45
结论四、f(a + x) =-f(a - x) 型46
结论五、f(a + x) =-f(b - x) 型46
结论六、f(a + x) + f(b - x) = c 型47
结论七、y = f(x + a) 为奇函数型47
结论八、f(x) = ax+b
cx+d 型48
结论九、含绝对值的函数对称性48
结论十、两个函数的对称性49
结论十一、对称轴斜率为1 或-1 49
结论十二、对称性与单调性结论50
第7 讲函数的周期性52
通关一、周期概念理解52
通关二、常见周期性结论52
结论一、f(x ± a) = f(x) (a ≠0) 型53
结论二、f(x + a) =-f(x) 型53
结论三、f(x + a) = f(x ± b) 型54
结论四、f(a + x) =-f(x - b) 型54
结论五、f(x) + f(x + a) = k 型55
结论六、f(x + a) =
1
f(x) 型55
结论七、f(x + a) = -
1
f(x) 型56
结论八、f(x)·f(x + a) = k 型56
结论九、f(x + a) = 1- f(x)
1+ f(x) 型57
结论十、f(x + a) = 1+ f(x)
1- f(x) 型58
结论十一、两线型58
结论十二、一点一线型59
结论十三、两点型59
·2·
第8 讲二次函数61
通关一、二次函数的解析式61
通关二、二次函数的图像和性质61
结论一、y = ax2+ bx + c(a ≠0) 的性质与a,b,c 的关系62
结论二、二次函数的对称性63
结论三、二次函数的单调性64
结论四、给定区间上的值域65
结论五、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的关系66
结论六、一元二次方程ax2+ bx + c = 0(a > 0) 根的分布67
第9 讲指数运算及指数函数69
通关一、根式的概念和性质69
通关二、指数函数y = ax(a > 0, 且a ≠1) 的图像与性质69
结论一、指数基本运算70
结论二、指数比较大小71
结论三、指数函数过定点71
结论四、底数a 对指数函数图像的影响72
结论五、指数数数单调73
第10 讲对数运算及对数函数74
通关一、对数恒等式与对数的杜质74
通关二、常用对数与自然对数74
通关三、对数函数的图像和性质74
结论一、对数基本运算75
结论三、换底公式76
结论三、对数比大小76
结论四、对数函数过定点77
结论五、底数a 对对数函数图像的影响78
结论六、对数函数单调性79
第11 讲幂的运算及幂函数80
通关一、五种常见幂函数的图像与性质80
通关二、幂函数的性质80
结论一、幂函数的图像特征80
结论二、幂函数比较大小81
结论三、幂函数单调性82
第12 讲分段函数84
通关一、分段函数的含义84
通关二、分段函数求值与不等式84
结论一、分段函数求值84
结论二、分段函数求根85
结论三、解分段函数不等式86
结论四、分段函数的单调性86
结论五、分段函数的奇偶性87
第13 讲复合函数88
通关一、复合函数定义88
·3·
通关二、复合函数的单调性(同增异减) 88
结论一、复合函数的求值与求参88
结论二、与指数函数有关的复合函数的单调性89
结论三、与对数函数有关的复合函数的单调性89
结论四、复合函数的奇偶性(内偶则偶，内奇同外) 90
结论五、复合函数的零点91
第14 讲抽象函数93
通关一、抽象函数模型93
通关二、抽象函数的单调性93
通关三、抽象函数的奇偶性93
通关四、抽象函数的注意事项93
结论一、f(x + y) = f(x) + f(y) 型93
结论二、f(xy) = f(x) + f(y) 型94
结论三、f(x + y) = f(x) ⋅f(y) 型94
结论四、f(xy) = f(x) ⋅f(y) 型95
第15 讲导数的定义和运算96
通关一、导数的概念96
通关二、基本初等函数的导数96
通关三、和、差、积、商的导数97
通关四、复合函数的导数97
结论一、平均变化率和瞬时变化率98
结论二、导数的定义98
结论三、复合函数求导99
结论四、导数的运算99
结论五、fa


实际是一个数100
结论六、多用乘法求导运算100
结论七、特殊函数的导函数101
第16 讲导数的几何意义103
通关一、导数的几何意义103
通关二、曲线在点P 处的切线103
通关三、曲线经过点P 处的切线103
结论一、求曲线y = f(x) 在x = x0处切线的步骤104
结论二、求曲线f(x) 经过点P(x0，y0) 切线方程的步骤104
第17 讲导数的应用106
通关一、导数的符号与丞数的单调性106
通关二、函数的极值106
通关三函数的最值107
结论一、求函数单调区间的一般步骤和方法107
结论二、求函数极值的一般步骤和方法108
结论三、求函数在[a，b] 上最值的一般步骤和方法110
第18 讲角的定义与分类112
通关一、象限角与轴线角的表示112
通关二、弧度制112
·4·
通关三、三角函数线113
结论一、求角所在象限113
结论二、终边相同的角114
结论三、扇形的弧长与面积114
第19 讲同角三角函数关系117
通关一、三角函数定义117
通关二、三角函数在各象限的符号117
通关三、特殊角的三角函数值118
结论一、任意角的三角函数118
结论二、三角函数值在各象限的符号118
结论三、已知一个三角函数值, 求其余两个三角函数值119
结论四、同角三角函数的基本关系120
结论五、已知tanα 值的求值问题(齐次式) 120
结论六、三角函数“三剑客”121
第20 讲诱导公式123
通关一、各角与角α 终边的关系123
通关二、诱导公式(k ∈Z) 123
通关三、诱导公式化简原则124
通关四、常见角度关系转化124
结论一、诱导公式一124
结论二、诱导公式二125
结论三、诱导公式三125
结论四、诱导公式四125
结论五、诱导公式五126
结论六、诱导公式六126
结论七、常见的一些关于参数k 的结论127
第21 讲两角和与差公式128
通关一、两角和与差的余弦公式128
通关二、两角和与差的正弦公式129
通关三、两角和与差的正切公式129
结论一、两角和与差的余弦129
结论二、两角和与差的正弦130
结论三、两角和与差的正切131
结论四、正切定值131
结论五、给值求角问题132
结论六、常见角的变换132
第22 讲倍角与半角公式134
通关一、二倍角公式134
通关二、半角公式134
通关三、三倍角公式134
通关四、三角函数化简的“三看”原则134
结论一、二倍角正弦135
结论二、二倍角余弦135
·5·
结论三、二倍角正切136
结论四、万能公式136
结论五、半角公式137
结论六、辅助角公式138
第23 讲三角函数性质138
通关一、y = sinx，y = cosx，y = tanx 的图像与性质138
通关二、y = Asin(ωx + φ) 与y = Acos ωx+φ


(A > 0,ω > 0) 的图像与性质139
结论一、求三角函数解析式140
结论二、三角函数单调性142
结论三、三角函数奇偶性的结论143
结论四、三角函数对称性结论144
结论五、三角函数周期性结论144
第24 讲三角函数图像变换及最值146
通关一、三角函数图像变换146
通关二、三角函数最值题型归类146
结论一、五点法作y = Asin(ωx + φ) (A > 0,ω > 0) 的图像147
结论二、y = asin2x + bsinx + c 型函数的最值148
结论三、y = asin2x + bsinxcosx + ccos2x 型函数的最值148
结论四、y = a(sinx ± cosx) + bsinxcosx + c 型函数的最值149
结论五、y = asinx+b
ccosx+d 型函数的最值150
第25 讲解三角形151
通关一、正弦定理151
通关二、正弦定理的推广及其变形151
通关三、余弦定理151
通关四、余弦定理的推广及其变形151
通关五、三角形面积152
结论一、三角形内角和152
结论二、射影定理153
结论三、正弦定理的应用154
结论四、余弦定理的应用154
结论五、边角不等关系等价条件155
结论六、三角形形状判定155
结论七、三角形面积156
第26 讲向量的概念和性质158
通关一、向量的线性运算158
通关二、几种特殊向量158
结论一、三角形法则与平行四边形法则159
结论二、单位向量160
结论三、共线向量(平行向量) 161
结论四、共线求参162
结论五、平面向量基本定理162
结论六、中线定理163
结论七、向量共线模型164
·6·
第27 讲向量的数量积运算166
通关一、平面向量数量积的定义166
通关二、数量积的性质和运算律166
结论一、数量积公式167
结论二、数量积几何意义167
结论三、向量垂直168
结论四、向量求模运算168
结论五、向量的夹角168
结论六、向量夹角的判定169
结论七、a+ b与a- b的几何意义170
第28 讲向量的坐标运算171
通关一、向量坐标化171
通关二、向量的坐标运算171
通关三、向量位置关系的判定171
结论一、向量坐标的加减法运算171
结论二、向量平行的判定及应用172
结论三、向量垂直的判定及应用172
结论四、向量求模173
结论五、两向量夹角173
结论六、常见的可建系图形173
第29 讲三角形四心与向量175
通关一、四心的概念175
通关二、三角形四“心”向量形式175
通关三、重心性质175
结论一、重心175
结论二、垂心176
结论三、内心177
结论四、外心178
结论五、重心与面积178
第30 讲数列的概念和性质180
通关一、数列的概念180
通关二、数列的分类180
通关三、数列的通项公式181
通关四、数列an


的前n 项和181
结论一、数列通项公式181
结论二、数列的周期性183
结论三、已知Sn求an的一般步骤183
结论四、an与Sn混合在一起的处理方法184
结论五、数列单调性的判断方法185
第31 讲等差数列通项公式及性质187
通关一、等差数列的定义187
通关二、等差中项187
通关三、等差数列的通项公式187
·7·
通关四、等差数列中的函数关系188
结论一、通项公式理解189
结论二、通项公式变形189
结论三、公差的几何意义190
结论四、下标和相等, 项之和相等190
结论五、等差数列线性组合仍为等差数列191
结论六、下标成等差, 项也成等差191
结论七、对称项设法192
结论八、等差数列的判定与证明192
第32 讲等差数列的前n 项和194
通关一、等差数列的前n 项和公式194
通关二、前n 项和与函数关系194
通关三、Sn= na中(n 为奇数)194
结论一、等差数列前n 项和公式及其变形195
结论二、前n 项和构造等差数列195
结论三、相同项数的和构造等差数列196
结论四、等差数列前n 项和与通项关系197
结论五、前n 项和比值与通项比值关系198
结论六、等差数列奇数项与偶数项的性质198
结论七、等差数列前n 项和最大、最小值问题199
结论八、数列{|an|} 的前n 项和的求解200
第33 讲等比数列通项公式及性质201
通关一、等比数列的定义201
通关二、等比中项201
通关三、等比数列的通项公式201
通关四、等比数列中的函数关系202
结论一、通项公式及其变形203
结论二、公比q 的表示203
结论三、下标和相等，项之积相等203
结论四、等差数列与等比数列相互转化204
结论五、等比数列的构造204
结论六、对称项设法205
结论七、等比数列的单调性206
结论八、等比数列的判定与证明方法206
第34 讲等比数列的前n 项和208
结论一、等比数列前n 项和(当q ≠1 时) 变形公式208
结论二、项数相同的和构造等比数列209
结论三、等比数列前n 项和关系特征210
第35 讲数列通项公式题型全归纳212
通关一、
“叠加法”求通项212
通关二、
“叠乘法”求通项212
通关三、
“倒数法”求通项212
通关四、
“待定系数法”求通项213
·8·
结论一、an+1= an+ f(n) 213
结论二、an+1= f(n)an 214
结论三、an+1= pan+ q(其中p,q 均为常数，pq(p - 1) ≠0) 214
结论四、an+1= pan+ qn(其中p,q 均为常数，pq(p - 1) ≠0) 215
结论五、an+1= pan+ an + b(p ≠1,p ≠0,a ≠0) 216
结论六、an+1= par
n(p > 0,an> 0) 216
结论七、an+1=
pan
qan+r (p,q,r ≠0 且an≠0,qan+ r ≠0) 217
结论八、an+1+ an= f(n) 217
结论九、an+1∙an= f(n) 218
第36 讲数列求和220
知识通关220
结论一、公式法220
结论二、分组求和221
结论三、倒序相加222
结论四、裂项求和223
结论五、错位相减224
结论六、数列最值225
结论七、数列缩放226
第37 讲不等式的性质与解法228
通关一、文字语言与数学符号之间的转换228
通关二、不等式的基本性质228
结论一、不等式的性质228
结论二、比较大小229
结论三、一元二次不等式230
结论四、分式不等式231
结论五、绝对值不等式232
第38 讲含参不等式解法233
结论一、利用二次函数的性质233
结论二、分离变量234
结论三、变换主元235
结论五、能成立问题236
结论六、恰成立问题236
结论七、
“任意= 存在”型237
结论八、
“存在= 存在”型237
第39 讲基本不等式238
通关一、均值不等式的使用条件238
通关二、已知a,b ∈R+, 则
a2+b2
2
≥a+b
2
≥
a+
b
2


2≥
ab ≥
2
1
a + 1
b
238
结论一、常见基本不等式238
结论二、和定积最大，积定和最小239
结论三、已知Ax + By = 1, 求D
x + E
y 的范围(A,B,D,E > 0) 240
·9·
结论四、己知D
x + E
y = 1, 求Ax + By 的范图(A,B,D,E > 0) 241
结论五、柯西不等式241
结论六、权方和不等式242
第40 讲表面积与体积243
通关一、多面体的表面积和体积公式243
通关二、旋转体的表面积和体积公式243
结论一、公式法243
结论二、等体积法(颠倒法) 244
结论三、割补法246
结论四、正方体与球的组合248
结论五、正四面体与球的组合248
结论六、表面积和体积最值问题250
第41 讲共线、共面与截面253
通关一、公理1253
通关二、公理2 253
通关三、公理3 254
结论一、共点、共线问题254
结论二、共面问题256
结论三、截面问题257
第42 讲空间平行关系259
通关一、直线与平面平行的判定定理259
通关三、平面与平面平行的判定定理260
通关四、平面与平面平行的性质定理260
通关四、平面与平面垂直的性质定理261
结论一、线线平行261
结论二、线面平行262
结论三、面面平行264
第43 讲空间垂直关系266
通关一、直线与平面垂直的判定定理266
通关二、直线与平面垂直的性质定理266
通关三、平面与平面垂直的判定定理267
通关四、平面与平面垂直的性质定理267
结论一、线线垂直268
结论二、线面垂直269
第44 讲空间角度关系273
通关一、异面直线所成的角θ ∈(0°,90°]273
通关二、直线与平面成的角θ ∈[0°，90°] 273
通关三、二面角273
结论一、线线角273
结论二、线面角275
结论三、二面角277
第45 讲空间向量与立体几何279
·10·
通关一、空间坐标系279
通关二、平面法向量的求法279
通关三、用向量法求空间角279
结论一、空间向量的基本定理280
结论二、空间向量的坐标运算281
结论三、平行的判定和性质283
结论四、垂直的判定和性质285
结论五、点到面的距离286
结论六、线线角288
结论七、线面角290
第46 讲直线的方程296
通关一、直线的倾斜角296
通关二、求斜率的常用方法296
通关三、直线方程的几种形式296
结论一、直线的倾斜角与斜率297
结论二、三点共线298
结论三、直线过定点模型298
第47 讲直线的位置关系300
通关一、两条直线的位置关系300
通关二、两条直线的交点300
通关三、点线对称问题300
结论一、直线的平行301
结论二、直线的垂直301
结论三、直线系方程302
结论四、两点间的距离公式302
结论五、点到直线的距离公式303
结论六、两平行直线间的距离公式304
结论七、中心对称305
结论八、轴对称305
第48 讲圆的方程307
通关一、圆的标准方程与一般方程307
通关二、几种特殊圆的标准方程(r > 0) 307
结论一、圆的一般方程307
结论二、求圆的方程的两种方法308
结论三、点与圆的位置关系309
结论四、与圆有半的对称问题309
结论五、确定圆心位置的方法310
结论六、圆的参数方程311
第49 讲直线与圆的位置关系313
通关一、直线与圆的位置关系的判定313
通关二、圆与圆的位置关系313
通关三、圆的方程313
结论一、直线与圆的位置关系判定步骤314
·11·
结论二、切线方程的求解314
结论三、圆的弦长问题处理方法315
结论四、切线长问题316
结论五、圆与圆的位置关系判定步骤317
结论六、相交圆公共弦所在直线的方程317
结论七、与圆的几何性质有关的最值318
结论八、与圆的代数结构有关的最值318
第50 讲椭圆的定义和性质320
通关一、椭圆的标准方程320
通关二、椭圆的标准方程a,b,c 的几何意义320
通关三、椭圆的几何性质320
通关四、求椭圆的方程有两种方法321
结论一，椭圆定义的理解321
结论二、椭圆上点的性质322
结论三、焦点三角形的周长323
结论四、焦点三角形周长拓展323
结论五、椭圆的标准方程324
结论六、椭圆的标准方程的求法325
结论七、椭圆的通径325
结论八、椭圆的焦半径326
结论九、焦半径最值327
结论十、椭圆中的线段和差最值328
结论十一、焦点三角形面积328
结论十二、焦点三角形内切圆329
结论十三、与焦点有关的三角形面积330
结论十四、椭圆焦点弦弦长330
结论十五、椭圆离心率的几何意义331
结论十六、黄金椭圆332
结论十七、离心率的定义表示333
结论十八、离心率的正弦表示333
结论十九、离心率范围与焦点三角形顶角关系334
结论二十、离心率的焦半径比值表示334
结论二十一、椭圆焦半径比例模型335
结论二十二、椭圆焦半径乘积范围336
结论二十三、斜率乘积定值模型(一) 337
结论二十四、斜率乘积定值模型(二) 338
第51 讲双曲线的定义和性质340
通关一、双曲线的标准方程340
通关二、双曲线的几何性质340
通关三、求双曲线的方程的两种方法341
结论一、双曲线定义的理解342
结论二、双曲线上点的性质343
结论三、焦点三角形周长拓展343
·12·
结论四、双曲线的标准方程344
结论五、求双曲线的渐近线344
结论六、双曲线方程的设法345
结论七、点到线距离定值346
结论八、比值为定值346
结论九、等轴双曲线347
结论十、离心率与渐近线斜率关系348
结论十一、过定点直线与双曲线相交问题348
结论十二、双曲线的通径349
结论十三、焦点三角形的面积350
结论十四、焦半径最值350
结论十五、双曲线中的线段和差最值351
结论十六、黄金双曲线352
结论十七、双曲线焦点弦弦长353
结论十八、离心率的定义表示353
结论十九、离心率求值的正弦表示354
结论二十、离心率的焦半径比值表示354
结论二十一、双曲线焦半径比例模型355
结论二十二、斜率乘积定值模型(一) 356
结论二十三、斜率乘积定值模型(二) 357
第52 讲抛物线的定义和性质359
通关一、抛物线性质359
通关二、扡物线焦点弦性质359
结论一、标准方程361
结论二、抛物线焦半径362
结论三、抛物线定义362
结论四、p 的几何意义363
结论五、抛物线的通径364
结论六、抛物线最值364
结论七、定点弦横纵坐标乘积为定值365
结论八、焦半径的倾斜角表示366
结论九、抛物线焦半径比例模型367
结论十、焦点弦长的倾斜角表示367
结论十一、焦点三角形面积368
结论十二、焦点弦与准线构造梯形面积369
结论十三、焦半径倒数之和为定值370
结论十四、抛物线的中点弦问题371
结论十五、垂直过定点问题371
第53 讲直线与圆锥曲线373
通关一、直线与曲线联立373
通关二、中点问题与点差法374
结论一、直线与椭圆交点问题375
结论二、切线问题376
·13·
结论三、弦长问题376
结论四、中点问题377
结论五、垂直问题378
第54 讲排列组合380
通关一、分类与分步计数原理380
通关二、排列与排列数380
通关三、组合与组合数380
结论一、加法与乘法原理381
结论二、排列382
结论三、组合383
结论四、特殊元素、特殊位置优先法384
结论五、直接与间接法384
结论六、捆绑与插空法385
结论七、分组与分配386
第55 讲二项式定理387
通关一、二项式(a + b)n(n ∈N ∗) 展开式387
通关二、二项式系数与系数387
结论一、展开式特定项系数387
结论二、二项式系数性质388
结论三、(a + b)n与(a - b)n的联系389
结论四、赋值问题389
第56 讲统计391
通过一、抽样方法391
通关二、频率分布直方图与茎叶图391
通关三、独立性检验392
通关四、回归分析393
结论一、抽样方法中的计算问题的求法393
结论二、频率分布直方图的理解394
结论三、茎叶图395
结论四、用样本的数字特征估计总体的数字特征396
结论五、独立性检验397
结论六、回归直线方程399
第57 讲事件的概率与概型401
通关一、随机事件及其概率401
通关二、概率的几个基本性质401
结论一、独立事件的概率与性402
结论二、条件概率403
结论三、古典概型404
结论四、几何概型405
结论五、随机模拟406
第58 讲随机变量分布列、期望与方差408
通关一、离散型随机变量分布列408
通关二、离散型随机变量的均值与方差408
·14·
通关三、正态分布曲缆及特点409
结论一、求解离散型随机变量X 的分布到的步骤410
结论二、期望与方差的一般计算步骤411
结论三、二项分布412
结论四、超几何分布413
结论五、利用期望与方差进行决策414
·15·
第1 讲
集合结论
结论一、集合的互异性
交集
A ∩B ⊆A
A ∩B ⊆B
A ∩A = A
A ∩∅= ∅
A ∩B = B ∩A
并集
A ∪B ⊇A
A ∪B ⊇B
A ∪A = A
A ∪∅= A
A ∪B = B ∪A
补集
CU(CUA) = A
CUU = ∅
CU∅= U
(CUA) ∩A = ∅
(CUA) ∪A = U
对于一个给定的集合, 它的任意两个元素是不能相同的. 凡是出现含参数的集合, 必须首
先考虑集合的互异性, 即集合中元苏不相等, 例如集合A = a,b


, 则有a ≠b
1
设集合A = {1,2,3},B = 4,5


,M = {x|x = a + b,a ∈A,b ∈B}, 则M 中元素的个数
为
(
)
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】B
【解析】因为集合A = {1,2,3},B = {4,5},M = {x|x = a + b,a ∈A,b ∈B}, 所以a + b 的值
可能为:1 + 4 = 5,1 + 5 = 6,2 + 4 = 6,2 + 5 = 7,3 + 4 = 7,3 + 5 = 8. 所以M 中元素只有:5，6，
7 故选B.
1
已知集合M = {x (x-a) x2-ax+a-1


=0


各元素之和等于3, 则实数a =
(
)
【答案】2 或3
2
【解析】根据集合中元素的互异性, 当方程(x - a) x2-ax+a-1


= 0 重根时, 重根只能
算一个元素.M = {x ∣(x - a) (x - 1) [x - (a - 1)] = 0}. 当a = 1 时,M = {0,1}, 不合题意; 当
a - 1 = 1, 即a = 2 时,M =∣1,2}, 符合题意; 当a ≠1, 且a ≠2 时,a + 1 + a - 1 = 3, 则a = 3
2 ,
M =
1
2 ,1, 3
2


, 符合题意. 综上,a = 2 或3
2 .
结论二、集合相等
对于两个集合A 与B, 如果A ⊆B, 且B ⊆A, 那么集合A 与B 相等, 记作A = B.
2
设a,b ∈R, 集合{1,a + b,a} = 0, b
a ,b


, 则b - a =
(
)
A. 1
B. - 1
C. 2
D. - 2
【答案】C
【解析】由题意知,0 ∈1,a+b,a


又a ≠0, 故a + b = 0, 得b
a =-1, 则集合{1,0,a

= {0,
-1,b}, 可得a =-1,b = 1, 则b - a = 2. 故选C.
·16·
2
设a,b ∈R,P = {1,a},Q = {-1, -b}, 若P = Q, 则a + b =
(
)
【解析】因为P = Q, 所以1=-b
a=-1

, 所以a =-1,b =-1, 所以a + b =-2.
结论三、集合子集个数
真子集有2n-1


个, 非空真子集有2n-2


个.
3
已知集合B = (x,y)|4x+3y-12<0,x∈N *,y∈N *


, 则B 的子集个数为
(
)
A. 3
B. 4
C. 7
D. 8
【答案】D
【解析】因为集合B = (x,y)∣4x+3y-12<0,x∈N *,y∈N *


,
所以B = {(1,1),(1,2),(2,1)}, 所以B 中含有3 个元素, 集合B 的子集个数有23= 8.
故选D.
3
设集合A ⊆{1,2,3,4 ∣, 若A 至少有3 个元索, 则这样的A 一共有
(
)
A. 2 个
B. 4 个
C. 5 个
D. 7 个
【答案】C
【解析】因为集合A ⊆{1,2,3,4},A 至少有3 个元素, 所以满足条件的集合A 有:{1，2,3},
{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}, 所以这样的A 一共有5 个. 故选C.
结论四、子集与交集
若A ⊆B, 则A ∩B = A; 若A ∩B = A, 则A ⊆B.
4
已知集合A = {0,1,2},B = {1,m}. 若A ∩B = B, 则实数m 的值是
(
)
A. 0
B. 2
C. 0 或2
D. 0 或1 或2
【答案】C
【解析】因为A ∩B = B, 所以B ⊆A, 所以m = 0 或m = 2. 故选C.
4
已知集合M = {x|3 + 2x - x2 > 0},N = {x|x > a}, 若M ∩N = M, 则实数a 的取值
范围是
(
)
A. [3, +∞)
B. (3, +∞)
C. (-∞,1]
D. (-∞, -1)
【答案】C
【解析】由3 + 2x - x2 > 0, 即x2 - 2x - 3 < 0, 可得-1 < x < 3, 故M = {x| -1 < x < 3}.
由M ∩N = M 可得M ⊆N, 故a ∈(-∞, -1]. 故选C.
结论五、子集与并集
若A ⊆B, 则A ∪B = B; 若A ∪B = B, 则A ⊆B.
5
已知集合P = x|x2≤1


，M = a


. 若P ∪M = P, 则a 的取值范围是
(
)
·17·
A. (-∞, -1]
B. [1, +∞)
C. [-1,1]
D. (-∞, -1] ∪[1, +∞)
【答案】C
【解析】因为P ∪M = P, 所以M ⊆P, 即a ∈P, 得a2 ≤1, 解得-1 ≤a ≤1, 所以a 的取值
范围是[-1,1]. 故选C.
5
设全集U = R, 若A = x x= k
3 + 1
6 ,k∈Z



,B = x x= k
6 + 1
3 ,k∈Z



, 则下列正确
的是
(
)
A. CUB ⊇CUA
B. A ∩B = A
C. A ∪B = A
D. CUA ⊆B
【答案】B
【解析】由A = x x= 2k+1
6
,k∈Z



,B = x x= k+2
6
,k∈Z



可得A ⊆B, 所以A ∩B =
A. 故选B.
结论六、子集与空集
题目中若有条件B ⊆A, 则应分B = ∅和B ≠∅两种情况进行讨论.
6
若集合M = x|x2+x-6=0


,N = x|ax-1=0


, 且N ⊆M, 则实数a =
。
【答案】0 或1
2 或- 1
3
【解析】由x2+ x - 6 = 0 可得x = 2 或x =-3, 因此M = {2, -3}.
(1) 若a = 0, 得N = ∅, 此时,N ⊆M;
(2) 若a ≠0, 得N =
1
a


. 若N ⊆M, 满足1
a = 2 或1
a =-3, 解得a = 1
2 或a =- 1
3 .
故所求实的值为0 或1
2 或- 1
3 .
6
已知A = {x| -2 ≤x ≤5},B = {x|m + 1 ≤x ≤2m - 1},B ⊆A, 则m 的取值范围是
【答案】m ≤3
【解析】应分B = ∅和B ≠∅两种情况讨论.
当m + 1 > 2m - 1, 即m < 2 时, B = ∅, 满足B ⊆A, 即m < 2; 当m + 1 = 2m - 1, 即
m = 2 时, B = {3}, 满足B ⊆A, 即m = 2; 当m + 1 < 2m - 1, 即m > 2 时, 由B ⊆A, 得
m+1≥-2
2m-1≤5

即2 < m ≤3;
综上, m ≤3. 故m 的取值范围是m ≤3.
结论七、交集与空集
由于A ∩∅= ∅, 因此,A ∩B = A 中的A 可以为∅.
7
已知集合A = x∣x2-x-12≤0


,B = {x ∣2m - 1 < x < m + 1}, 且A ∩B = B, 则
实数m 的取值范围为
(
)
A. -1,2


B. -1,3


C. 2,+∞


D. -1,+∞


·18·
【答案】D
【解析】由x2 - x - 12 ≤0, 得(x + 3) (x - 4) ≤0, 得-3 ≤x ≤4, 所以A = |x| -3 ≤x ≤
4}. 又A ∩B = B, 所以m ≥2.
(1) 当B = ∅时, 有m + 1 ≤2m - 1, 解得m ≥2.
(2) 当B ≠∅时, 有
-3≤2m-1,
m+1≤4,
2m-1<m+1,

⇒-1 ≤m < 2
综上, m ∈[-1, +∞). 故选D.
7
设A= x|x2-8x+15=0


,B={x|ax-1=0

, 若A ∩B = B, 实数a 组成的集合的
子集有
个.
【答案】8
【解析】集合A 化简得A = {3,5}, 由A ∩B = B 知B ⊆A, 故(I) 当B = ∅时, 即方程ax
- 1 = 0 无解, 此时a = 0 符合已知条件.() 当B ≠∅时, 即方程ax - 1 = 0 的解为3 或5, 代人
得a = 1
3 或1
5 . 综上, 满足条件的a 组成的集合为0, 1
3 , 1
5


, 故其子集共有23= 8 个.
结论八、并集与空集
由于A ∪∅= A, 因此,A ∪B = B 中的A 可以为∅.
8
已知集合A=|x|x2-2x-3=0

,B = {x ∣mx + 1 = 0},A ∪B = A, 则m 的取值是
(
)
A. 1,- 1
3


B. 0,-1, 1
3


C. -1, 1
3


D. 0,1,- 1
3


【答案】D
【解析】A = x|x2-2x-3=0


= {x|x =-1 或x = 3} = {-1,3}，B = {x|mx + 1 = 0}，
当A ∪B = A 时,B ⊆A. 若B = ∅, 则方程mx + 1 = 0 无实数解, 此时m = 0;B = {-1}, 则
方程mx + 1 = 0 的实数解为-1, 此时m = 1; 若B = {3}, 则方程mx + 1 = 0 的实数解为3, 此
时m =- 1
3 ; 若B = {-1,3}, 则方程mx + 1 = 0 的实数解为-1 和3, 此时m 不存在. 综上,m
的取值是0,1,- 1
3


. 故选D.
8
已知集合P = x|a+1≤x≤2a+1


,Q = x|x2-3x≤10


, 若P ∪Q = Q, 实数a 的
取值范围为
【答案】(-∞,2]
【解析】Q = {x|x2- 3x ≤10} = {x| -2 ≤x ≤5}, 因为P ∪Q = Q, 所以P ⊆Q.
(1) 当P = ∅时, 即a + 1 > 2a + 1, 解得a < 0.
(2) 当P ≠∅时, 即
a+1≤2a+1,
a+1≥-2,
2a+1≤5,

⇒0 ≤a ≤2
综上, 实数a 的取值范围为(-∞,2].
结论九、反演律(德摩根定律)
·19·
CI(A ∩B) = (CIA) ∪(CIB) (交的补等于补的并)
CI(A ∪B) = (CIA) ∩(CIB) (并的补等于补的交)
9
若U 为全集, 下面三个命题中是真命题的有
(
)
(1) 若A ∩B = ∅, 则CUA


∪CUB


= U.
(2) 若A ∪B = U, 则CUA


∩CUB


= ∅.
(3) 若A ∪B = ∅, 则A = B = ∅.
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
【答案】D
【解析】(1) (CUA) ∪(CUB) = CU(A ∩B) = CU∅= U
(2) CUA


∩CUB


= CU(A ∪B) = CUU = ∅;
(3) 证明: 因为A ⊆(A ∪B), 即A ⊆∅, 而∅⊆A, 所以A = ∅;
同理B = ∅, 所以A = B = ∅
综上，三个命题均为真命题. 故选D.
9
若全集U = {1,2,3,4,5,6},M = {2,3},N = {1,4}, 则集合{5,6} 等于
(
)
A. M ∪N
B. M ∩N
C. (CUM) ∪(CUN)
D. (CUM) ∩(CUN)
【答案】D
【解析】因为M ∪N = {1,2,3,4}, 所以∁UM


∩∁UN


= ∁U(M ∪N) = {5,6}. 故选D.
结论十、容斥原理
用card(A) 表示集合A 中的元素个数(有资料中用A


或其他符号)，则通过维恩图可理
解其具备的二维运算性质card(A ∪B) = card(A) + card(B) - card(A ∩B).
10
高一某班学生参加大舞台和风情秀两个节目情况如下: 参加风情秀的人数占该班
全体人数的八分之三; 参加大舞台的人数比参加风情秀的人数多3 人; 两个节目都参加
的人数比两个节目都不参加的学生人数少7 人. 则此班的人数为
【答案】40 人
【解析】设U = x|x是高一某班学生


，A = x|x是该班参加大舞台学生


，
B = x|x是该班参加风情秀学生


. 设该班两个节目都参加的人数为x，只参加风情秀的人
数为y，
由图可知,x + y = 3
8 (x + 7 + y + 3 + x + y), 解得x + y = 15，
因为15 ÷ 3
8 = 40(人), 所以该班总人数为40 人.
10
设A，B 是有限集, 定义d(A,B) = card(A ∪B) - card(A ∩B),
其中card(A) 表示有限集A 中的元素个数,
命题(1): 对任意有限集A,B,"A ≠B" 是“d(A,B) > 0" 的充分必要条件;
命题(2): 对任意有限集A,B,C,d(A,C) ≤d(A,B) + d(B,C). 下列判断正确的是(
)
A. 命题(1) 和命题(2) 都成立
B. 命题(1) 和命题(2) 都不成立
·20·
C. 命题(1) 成立, 命题(2) 不成立
D. 命题(1) 不成立, 命题(2) 成立
【答案】A
【解析】d(A,B) 实际表示的是只在A 中或只在B 中的元素个数.
对命题(1), 当A ≠B 时, 至少有1 个元素只在A 中或只在中, 所以d(A,B) > 0;
对命题(2), 如图所示, 记图中的各个区域内的元素个数是Si(i = 1,2, ⋯,7) 且Si ≥0,
所以d(A,C) = S1+ S2+ S4+ S5,d(A,B) = S1+ S3+ S4+ S6,d(B,C) = S2+ S3+ S5+ S6,
所以d(A,B) + d(B,C) = S1+ S2+ 2S3+ S4+ S5+ 2S6≥，S1+ S2+ S4+ S5= d(A,C),
所以命题(2) 也成立. 故选A.
·21·
第2 讲
复数的概念和性质
通关一、复数的定义
形如
a + bi(a,b ∈R) 的数叫复数，其中
a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部，i 为虚数
单位且规定i2=-1.
要点诠释：(1) 因为实数a 可写成a + 0 × i，所以实数一定是复数；
(2) 复数构成的集合叫复数集，记为C
通关二、虚数单位i 的周期性
计算得i0 = 1,i1 = i,i2 =-1,i3 =-i, 继续计算可知i 具有周期性, 且最小正周期为4 , 故有
如下性质：
(1) i4n= 1,i4n+1= i,i4n+2=-1,i4n+3=-i n∈N *


;
(2) i4n+ i4n+1+ i4n+2+ i4n+3= 0 n∈ℕ*


.
通关三、复数核心运算
1. 运算律：(1)zm ⋅zn= zm+n;(2) (zm)n= zmn;(3) (z1⋅z2)m = zm
1 ⋅zm
2 (m,n ∈N).
2. 模的性质:(1) z1z2


= z1


z2


;(2) z1
z2


= z1


z2


;(3) zn


= |z|n;(4)z ⋅z= |z|2.
3. 重要结论：
(1) z1-z2


2+ z1+z1


2= 2 z1


2+ z2


2


;z⋅z = |z|2= |z|2
(2) (1 ± i)2=±2i; 1-i
1+i =-i; 1+i
1-i = i;
(3)ω3= 1 ⇔(ω - 1) ω2+ω+1


= 0 ⇔ω = 1 或ω =- 1
2 ±
3
2 i.
结论一、复数的分类
z = a + bi
实数(b=0)
虚数(b≠0)
纯虚数(a=0)
非纯虚数(a≠0)


11
已知a ∈R, 若a - 1 + (a - 2)i(i 为虚数单位) 是实数, 则a =
(
)
A. 1
B. - 1
C. 2
D. - 2
·22·
【答案】C
【解析】因为a - 1 + (a - 2)i 是实数, 所以a - 2 = 0, 所以a = 2. 故选C.
11
设a,b ∈R，i 是虚数单位，则“ab = 0”是“复数a + b
i 为纯虚数”的
(
)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为“ab = 0" 得a = 0 或b = 0, 只有a = 0, 且b ≠0, 复数a + b
i 为纯虚数, 否则
不成立; 复数a + b
i = a - bi 为纯虚数, 所以a = 0 且b ≠0, 所以ab = 0. 因此a,b ∈R,i
是虚数单位, 则ab = 0" 是“复数a + b
i 为纯虚数" 的必要不充分条件. 故选B.
结论二、复数相等
a + bi = c + di, 则a = c 且b = d(a,b,c,d ∈R).
12
若复数(2x - 1) + i = y + (y - 2)i(x,y ∈R), 则x + y =
(
)
【答案】5
【解析】因为复数(2x - 1) + i = y + (y - 2)i(x,y ∈R), 所以2x-1=y
y-2=1

, 解得x=2
y=3

,
故x + y = 5.
12
已知i 是虚数单位, 若( m + i)2= 3 - 4i, 则实数m 的值为
(
)
A. - 2
B. ± 2
C. ±
2
D. 2
【答案】A
【解析】因为(m + i)2= 3 - 4i, 所以m2+ 2mi + i2= 3 - 4i, 即m2+ 2mi - 1 = 3 - 4i, 所
以2m=-4
m2-1=3

, 解得m =-2. 故选A.
结论三、共轭复数
a + bi 与c + di 共轭，则a = c,b =-d(a,b,b,d ∈R)
13
若z(1 + i) = 1 - i, 则z =
(
)
A. 1 - i
B. 1 + i
C. - i
D. i
【答案】D
【解析】因为z= 1-i
1+i =
(1-i)2
(1+i)(1-i) = -2i
2
=-i, 所以z = i. 故选D.
13
若复数z =
2
1-i , 其中i 为虚数单位, 则共若复数z=
(
)
A. 1 + i
B. 1 - i
C. - 1 + i
D. - 1 - i
答案B
·23·
【解析】因为复数z =
2
1-i =
2(1+i)
(1-i)(1+i) = 1 + i, 所以z= 1 - i. 故选B.
结论四、复数的加法与减法及意义
1. 运算法则：
设z1= a + bi,z2= c + di 是任意两个复数, 那么
(1) z1+ z2= (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i;
(2) z1- z2= (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i.
2. 几何意义:
(1) 复数z1+ z2是以OZ1


,OZ2


为邻边的平行四边形的对角线OZ

所对应的复数;
(2) 复数z1- z2是从向量OZ

2的终点指向向量OZ

1的终点的向量Z2Z1

所对应的复数.
其中OZ1


,OZ2


分别为z1,z2所对应的向量.
14
设复数z 满足z + i = 3 - i, 则z=
【答案】3 + 2i
【解析】复数z 满足z + i = 3 - i, 所以z = 3 - 2i, 故z= 3 + 2i.
14
设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1= 2 + i, 则z1+ z2=
(
)
A. 2i
B. - 2i
C. - 4
D. 4
【答案】A
【解析】z1 = 2 + i 对应的点的坐标为(2,1), 因为复数z1,z2 在复平面内的对应点关于虚轴
对称, 所以(2,1) 关于虚轴对称的点的坐标为(-2,1), 则对应的复数z2 =-2 + i, 则z1 + z2 =
(2 + i) + (-2 + i) = 2i. 故选A.
结论五、复数的乘法
1. 运算法则：
设z1= a + bi,z2= c + di, 则z1⋅z2= (a + bi) ⋅(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i.
2. 运算率: 对任意的z1,z2∈C,
交换律:z1z2= z2z1;
结合律: z1z2


z3= z1 z2z3


;
分配律: z1+z2


z3= z1z3+ z2z3.
·24·
要点许释:z ⋅z= (a + bi) ⋅(a - bi) = a2+ b2= |z|2= |z|2.
15
(1 + i) (2 - i) =
(
)
A. - 3 - i
B. - 3 + i
C. 3 - i
D. 3 + i
【答案】D
【解析】(1 + i) (2 - i) = 2 - i + 2i - i2= 3 + i. 故选D.
15
设a ∈R, 且(a + i)2i 为正实数, 则a =
(
)
A. ± 1
B. 1
C. 0
D. - 1
【答案】D
【解析】(a + i)2i = a2-1+2ai


i = a2-1


i - 2a 是正实数, 故a2-1=0
-2a>0 ⇒a=-1

.
故选D.
结论六、复数的除法
设z1 = a + bi,z2 = c + di, 则z1
z2 = a+bi
c+di = (a+bi)(c-di)
(c+di) c-di


= ac+bd
c2+d2 + bc-ad
c2+d2 i, 即分
子、分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化，以简化运算.
16
) 2-i
1+2i =
(
)
A. 1
B. - 1
C. i
D. - i
【答案】D
【解析】2-i
1+2i = (2-i)(1-2i)
(1+2i)(1-2i) = -5i
5
=-i. 故选D.
16
(1+i)3
(1-i)2 =
(
)
A. 1 + i
B. 1 - i
C. - 1 + i
D. - 1 - i
【答案】D
【解析】(1+i)3
(1-i)2 = 2i(1+i)
-2i
=- (1 + i) =-1 - i. 故选D.
结论七、复数的模
1. 几何意义: |z| = |a + bi| = r =
a2+b2(r ≥0,r ∈R), 即复数a + bi 的模表示
点Z(a,b) 与原点,O 的距离. 特别地,b = 0 时,z = a + bi 是实数a, 则|z| = |a|.
2. 运算法则: 直接根据复数的模的公式|a + bi| =
a2+b2 和性质z2


= |z|2 = z ⋅z, z1⋅z2


= z1


⋅z2


, z1
z2


= z1


z2


进行计算.
17
已知复数z = 2 - i, 则|z| =
·25·
【答案】5
【解析】因为复数z = 2 - i, 所以|z| =
22+(-1)2 =
5. 故答案为
5.
17
已知i 为虚数单位, 复数z = 1-i
1+i , 则|z| =
【答案】1
【解析】因为i 为虚数单位, 复数z = 1-i
1+i , 则|z| = 1-i
1+i


= |1-i|
|1+i| =
2
2 = 1. 故答案为
1.
结论八、复数常见运算技巧
(1) (1 ± i)2=±2i (2) 1+i
1-i = i;
(3) 1-i
1+i =-i (4) a+bi
i
= b - ai;
(5) i4n= 1,i4n+1= i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(n ∈N).
18
已知复数z = 1 - i，则z2-2i
z-1 =
(
)
A. 2i
B. - 2i
C. 2
D. - 2
【答案】B
【解析】z2-2z
z-1 = (1-i)2-2(1-i)
1-i-1
= -2
-i =-2i. 故选B.
18
设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是
(
)
A. 若z1-z2


= 0，则z1
= z2

B. 若z1= z2
，则z1
= z2
C. 若z1


= z2


，则z1⋅z1
= z2⋅z2

D. 若z1


= z2


，则z1
2= z2
2
【答案】D
【解析】对于A 选项，若z1-z2


= 0，则z1- z2= 0,z1= z2，所以z1
= z2
为真命题;
对于B 选项，若z1= z2
，则z1和z2互为共轭复数，所以z1
= z2为真命题;；
对于C 选项，设z1 = a1 + b1i,z2 = a2 + b2i，若z1


= z2


，则
a1
2+b1
2 =
a2
2+b2
2,z1 ⋅z1
= a1
2
+ b1
2,z2⋅z2
= a2
2+ b2
2，所以z1⋅z1
= z2⋅z2
为真命题；
对于D 选项，若z1= 1,z2= i 则z1


= z2


为真，而z1
2= 1，z2
2=-1 所以z1
2= z2
2为假命题.
故选D.
结论九、复数的几何意义
在复平面内，每一个复数z = a + bi(a,b ∈R) 都对应着一个点Z(a,b) (有序实数对). 复数
的实部对应着点的横坐标，虚部对应着点的纵坐标，只要在复平面内找到这个有序实数对所
表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值.
19
已知z = (m + 3) + (m - 1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范
围是
(
)
A. (-3,1)
B. (-1,3)
C. (1, +∞)
D. (-∞, -3)
·26·
【答案】A
【解析】由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m + 3,m - 1)，所以m + 3 > 0,
m - 1 < 0, 解得-3 < m < 1. 故选A.
19
若复数(1 - i) (a + i) 在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是
(
)
A. (-∞,1)
B. (-∞, -1)
C. (1, +∞)
D. (-1, +∞)
【答案】B
【解析】复数(1 - i) (a + i) = a + 1 + (1 - a)i 在复平面内对应的点在第二象限，所以
a+1<0
1-a>0

, 解得a <-1. 则实数的a 取值范围是(-∞，-1). 故选B.
·27·
第3 讲
函数三要素
通关一、函数符号y = f(x) 的理解
对应法则f 是函数概念的核心，y = f(x) 的含义是：y 等于x 在法则f 下的对应值，而f 是
对应得以实现的方法和途径，是联系x 与y 的纽带，因此f 是函数关系的本质特征，甚至用什
么字母表示自变量、因变量和对应法则，是无关紧要的.
f(a) 的含义与f(x) 又不同，前者表示自变量x = a 时所得的函数值，它是一个常量，后者
是x 的函数，在通常情况下，是一个变量，f(a) 是f(x) 的一个特殊值.
通关二、函数的值域
(1) 观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；
(2) 利用常见函数的值域：一次函数的值域为R；二次函数利用配方法，结合定义域求出
值域；反比例函数的值域为y|y∈R,y≠0


；指数函数的值域是y|y>0


；对数函数的值域是
R；正、余弦函数的值域是-1,1


；正切函数的值域是R；
(3) 单调性法：先利用函数的单调性，再由单调性求函数的值域；
(4) 分离常数法：即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；
(5) 换元法：对于一些无理函数(如y = ax ± b ±
cx±d)，通过换元把它们转化为有理函
数，然后通过求有理函数的值域，间接地求解原函数的值域；
(6) 不等式法; 利用几个重要不等式及推论来求得最值，进而求得值域，如：a2 + b2 ≥
2ab，a + b ≥2 ab(a,b ∈R+)，当且仅当a = b 时等号成立；
(7) 判别式法：把函数解析式化为关于x 的一元二次方程，利用判别式求值域，形如y =
Ax + B ax2+bx+c 或y = ax2+bx+c
dx2+ex+ f 的函数适用，注意x 的取值范围R；
(8) 有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域，因为常出现反
解出y 的表达式的过程，也称为反解有界性法；
(9) 配方法：它是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F(x) = a f(x)


2 + bf(x) +
c(a ≠0) 的函数的值域问题，均可使用配方法；
(10) 数形结合法：若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数形结合法；
(11) 导数法：利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数的单调性，进而根据单调
·28·
性求值域；另一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.
结论一、具体函数定义域的求解
20
函数f x


=
4- x


+ lg x2-5x+6
x-3
的定义域为
(
)
A. 2,3


B. 2,4


C. 2,3


∪3,4


D. -1,3


∪3,6


【答案】C
【解析】由函数y = f x


的表达式可知，函数f x


的定义域应满足条件：
4- x


≥0
x2-5x+6
x-3
>0

，
解得-4≤x≤4
x>2,x≠3

，即函数f x


的定义域为2,3


∪3,4


，故选C.
20
函数f x


=
x+3 +
2x+3


0
3-2x 的定义域为
(
)
A. -3, 3
2


B. -3, 3
2


∪- 3
2 , 3
2


C. -3, 3
2


D. -3, 3
2


∪- 3
2 , 3
2


【答案】B
【解析】要使原函数有意义，则
x+3≥0
2x+3≠0
3-2x>0

，即
x≥-3
x≠- 3
2
x< 3
2





，解得-3 ≤x < 3
2 且x ≠- 3
2 ，所
以原函数的定义域为-3, 3
2


∪- 3
2 , 3
2


，故选B.
结论二、抽象函数定义域的求解
21
设f x


= lg 2+x
2-x ，则f x
2


+ f
2
x


的定义域为
(
)
A. -4,0


∪0,4


B. -4,-1


∪1,4


C. -2,-1


∪1,2


D. -4,-2


∪2,4


【答案】B
【解析】f x


= lg 2+x
2-x 由意义，则2+x
2-x > 0，解得-2 < x < 2. 又f x
2


+ f
2
x


有意义，
则
-2< x
2 <2
-2< 2
x <2

，解得-2<x<2
x<-1或x>1

，所以x ∈-4,-1


∪1,4


，故选B.
21
已知函数f 2x


的定义域是1,2


，则函数f log2x


的定义域为
.
【答案】4,16


【解析】在函数f 2x


中，定义域为1,2


，即1 ≤x ≤2,2 ≤2x ≤4，所以f x


的定义域为
2,4


，要求f log2x


的定义域，则2 ≤log 2x ≤4,4 ≤x ≤16，所以f log2x


的定义域为
4,16


，故填4,16


.
·29·
结论三、同一个函数的判定方法
22
下列各组函数中，表示同一函数的是
(
)
A. y =
3 x3 与y =
x2
B. y = lnex与y = elnx
C. y =
x-1


x+3


x-1
与y = x + 3
D. y = x0与y = 1
x0
【答案】D
【解析】对于A 选项,y =
5 x5 = x, 而y =
5 x5 = x


, 二者的对应法则不同；对于B 选项,y
= lne x = x x∈R


, 而y = e lnx = x x>0


, 二者的定义域不同; 对于C 选项，y =
x-1


x+3


x-1
= x + 3 x≠1


与y = x + 3 的定义城不同；对于D 选项,y = x0 = 1 x≠0


与y
= 1
x0 x≠0


完全相同. 故选D.
22
下列各对函数中, 图像完全相同的是
(
)
A. y = x 与y =
3 x




3
B. y =
x


2与y = x


C. y = x
x 与y = x0
D. y = x+1
x2-1
【答案】C
【解析】对于A 选项, 因为y = x 的定义域为R,y = x 与y =
3 x




3的定义域为R, 两个
函的对应法则不相同, 所以不是同一个函数; 对于B 选项, 因为y =
x


2的定义域为
0,+∞


，y = x


的定义域为R, 所以两个函数不是同一个函数; 对于C 选项, 因为y = x
x 的
定义域为R 且x ≠0，y = x0的定义域为R 且x ≠0, 对应法则相同, 所以两个函数是同一个函
数; 对于D 选项, 因为y = x+1
x2-1 的定义域是x ≠±1,y =
1
x-1 的定义域是x ≠1, 定义域不相
同, 所以不是同一个函数. 故选C.
结论四、函数表达式
1. 配凑法; 是将f g x




右端的代数式配凑成关于g x


的形式, 进而求出f x


的解析式;
2. 换元法: 主要解决已知复合函数f g x




的表达式求解函数f x


的解析式的问题. 令
g x


= t, 解出x, 即用t 表示x, 然后代入f g x




中即可求得f t


, 从而求得f x


.
3. 待定系数法: 有些题目给出函數特征, 求函数的解析式，可用待定系数法, 比如函数是
二次函数, 可设为f x


= ax2+ bx + c a≠0


, 其中a,b,c 是待定系数, 根据题设条件, 列出方
程组, 解出a,b,c 即可.
4. 函数方程法: 主要解决已知函數的抽象关系式求解函数解析式的问题，将f x


作为一
个未知数来考虑, 建立方程(组), 消去另外的未知数便得到f x


的表达式.
23
已知二次函数f 2x+1


= 4x2- 6x + 5, 则f x


=
.
【答案】x2- 5x + 9
【解析】
·30·
解法一(换元法) 令2x + 1 = t, 则，所以x = t-1
2
所以f t


= 4 t-1
2


2- 6 ⋅t-1
2
+ 5 = t2
- 5t + 9 t∈R


.
解法二(配凑法) 因为f 2x+1


= 4x2- 6x + 5 = 2x+1


2- 10x + 4 = 2x+1


2-
5 2x+1


+ 9, 所以f x


= x2- 5x + 9 x∈R


.
解法三(待定系数法) 因为f x


是二次函数, 所以设f x


= ax2+ bx + c a≠0


, 则
f 2x+1


= a 2x+1


2+ b 2x+1


+ c = 4ax2+ 4a+2b


x + a + b + c, 因为f 2x+1


= 4x2-
6x + 5, 所以
4a=4,
4a+2b=-6
a+b+c=5,

, 解得
a=1
b=-5
c=9

, 所f x


= x2- 5x + 9 x∈R


.
23
已知f x


满足2f x


+ f
1
x


= 3x - 1, 则f x


=
.
【答案】2x - 1
x - 1
3
【解析】已知2f x


+ f
1
x


= 3x - 1 ①, 以1
x 代替①式中的x x≠0


, 得2f
1
x


+ f x


= 3
x - 1 ②,
由①× 2 - ②得3f x


= 6x - 3
x - 1,
故f x


= 2x - 1
x - 1
3 x≠0


.
结论五、换元法求函数的值域
将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元素t 代替, 将解析式化归
为熟悉的函数，进而解出值城,
1. 在换元的过程中, 因为最后是要用新元解决值城, 所以一旦换元, 后面紧跟新元的取值
范围.
2. 换元的作用有两个:
①通过换元可将函数解析式简化, 例如当解析式中含有根式时, 通过将根式视为一个整
体, 换元后即可“消灭”根式, 达到简化解析式的目的.
②化归: 可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理.
3. 换元的过程本质上是对研究对象进行重新选择的过程, 在有些函数解析式中明显每一
项都是与x 的某个表达式有关, 那么自然将这个表达式视为研究对象.
24
函数f x


= 2x -
x-1 的值域是
(
)
A. 0,+∞


B.
17
8 ,+∞


C.
5
4 ,+∞


D.
15
8 ,+∞


【答案】D
【解析】f x


的定义域为1,+∞


, 令t =
x-1, 所以t ≥0, 则x = t2+ 1,
·31·
所以y = 2 t2+1


- t = 2 t- 1
4


2+ 15
8 . 因为t ∈0,+∞


, 所以f x


的值域为
15
8 ,+∞


故选D.
24
已知函数f x


= 3 + log2x,x ∈1,4


，则g x


= f x2


- f x




2的值域为
(
)
A. -18,-2


B. -11,-6


C. -18,6


D. -11,-2


【答案】B
【解析】g x


= 3 + log2x2 -
log2x


2+6log2x+9


=- log2x


2 - 4log2x - 6. 因为f x


的定义域为1,4


，且g x


= f x2


- f x




2，所以1≤x2≤4
1≤x≤4

，解得x ∈1,2


. 令t = log2x，则
t ∈0,1


所以y =-t2 - 4t - 6 =- t+2


2 - 2，所以y ∈-11,-6


，即g x


的值域为y ∈
-11,-6


. 故选B.
·32·
第4 讲
函数的单调性
通关一、函数单调性的定义及几何意义
项
目
增函数
减函数
定
义
一般地，设函数f x


的定义域为I，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自
变量的值x1,x2
当x1< x2时，都有f x1


< f x2


，那么就
说函数f x


在区间D 上是增函数.
当x1< x2时，都有f x1


> f x2


，那么就
说函数f x


在区间D 上是减函数.
图
像
描
述
自左向右看，图像是上升的
自左向右看，图像是下降的
要点诠释
(1) 函数单调性的实质是函数值的变化与自变量的变化是否一致，一致则为增函数，不一
致则为减函数.
(2) 函数单调性“数”的表现是函数值的增大与减小，
“形”的表现是函数图像的上升与下
降
(3)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N 上单调”是两个不同的概念，显然N ⊆M.
(4) 一个函数在不同的区间可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不
能用“∪”连接.
(5) 增(减) 函数定义中x1,x2的三个特征：
①任意性；
②有大小，即x1< x2或x1> x2；
③同属于一个单调区间.
·33·
通关二、函数的最值
前提
设函数y = f x


的定义域为I，如果存在实数M 满足
条件
(1) 对于任意的x ∈I ，都有f x


≤M ；
(2) 存在x0∈I，使得f x0


= M.
(1) 对于任意的x ∈I ，都有f x


≥M ；
(2) 存在x0∈I，使得f x0


= M.
结论
M 为最大值
M 为最小值
结论一、定义法证明函数单调性
25
已知函数f x


对任意实数x,y 均有f x+y


= f x


+ f y


，且当x > 0 时f x


>
0. 试判断f x


的单调性，并说明理由.
【解析】设x1,x2∈R 且x1< x2，则x2- x1> 0，故f x2-x1


> 0. 所以f x2


- f x1


=
f
x2-x1


+x1


- f x1


= f x2-x1


+ f x1


= f x2-x1


> 0. 所以f x1


< f x2


. 故f x


在
-∞,+∞


上为增函数.
25
已知给定函数f x


对于任意正数x,y 都有f xy


= f x


⋅f y


，且f x


≠0，当x
> 1 时f x


< 1. 试判断f x


在0,+∞


上的单调性，并说明理由.
【解析】对于x ∈0,+∞


有f x


= f
x⋅
x


= f
x




2 ≥0，又f x


≠0，所以f x


>
0. 设x1,x2∈0,+∞


，且x1< x2，则f x2


f x1


=
f x2
x1 ⋅x1


f x1


=
f x2
x1


f x1


f x1


= f x2
x1


< 1，所以
f x1


> f x2


. 故f(x) 在(0, +∞) 上为减函数.
结论二、函数单调性的正向与逆向理解
1. 正向结论: 若y = f(x) 在给定区间上是增函数, 则当x1< x2时, f x1


< f x2


;
当x1> x2时, f x1


> f x2


;
2. 逆向结论: 若y = f(x) 在给定区间上是增函数, 则当f x1


< f x2


时, x1< x2;
当f x1


> f x2


时, x1> x2.
26
已知f(x) 在区间(-∞, +∞) 上是增函数, a,b ∈R 且a + b ≤0, 则下列表达正确的
是
(
)
A. f(a) + f(b) ≤- [f(a) + f(b)]
B. f(a) + f(b) ≤f(-a) + f(-b)
C. f(a) + f(b) ≥- [f(a) + f(b)]
D. f(a) + f(b) ≥f(-a) + f(-b)
【答案】B
【解析】a + b ≤0 可转化为a ≤-b 和b ≤-a，因为f(x) 在区间(-∞, +∞) 上是增函数, 所
以f(a) ≤f(-b) 且f(b) ≤f(-a), 根据同向不等式相加性质得f(a) + f(b) ≤f(-a) + f(-b).
故选B.
·34·
26
已知y = f(x) 是定义在(-2,2) 上的增函数, 若f(m - 1) < f(1 - 2m), 则m 的取值
范围是
.
【答案】I - 1
2 , 2
3


【解析】由已知可得-2 < m - 1 < 1 - 2m < 2 ⇒- 1
2 < m < 2
3 ，故m 的取值范围是
- 1
2 , 2
3


.
结论三、单调性结论
设x1,x2∈[a,b],x1≠x2那么x1-x2


f x1


- f x2




> 0 ⇔f x1


- f x2


x1-x2
> 0 ⇔
f(x) 在[a,b] 上是增函数; x1-x2


f x1


- f x2




< 0 ⇔f x1


- f x2


x1-x2
< 0 ⇔f(x) 在[a,
b] 上是减函数.
27
定义在R 上的函数f(x) 满足: 对任意的x1,x2 ∈[0, +∞) x1≠x2


, 有f x2


- f x1


x2-x1
< 0, 则
(
)
A. f(3) < f(2) < f(4)
B. f(1) < f(2) < f(3)
C. f(-2) < f(1) < f(3)
D. f(3) < f(1) < f(0)
【答案】D
【解析】因为对任意的x1,x2 ∈[0, +∞) x1≠x2


, 有f x2


- f x1


x2-x1
< 0, 所以函数f(x) 在
[0, +∞) 上是减函数, 因为0 < 1 < 3, 所以f(3) < f(1) < f(0). 故选D.
27
已知函数f ( x ) = x 3 - x 2 + mx + 2 , 若对任意x 1 , x 2 ∈R ,
均满足
x1-x2


f x1


-

f x2



> 0, 则实数m 的取值范围是
.
【答案】1
3 ,+∞


【解析】由x1-x2


f x1


- f x2




> 0 可知f(x) 在R 上为增函数, 所以f′ (x) ≥0 在R 上
恒成立, 而f′ (x) = 3x2 - 2x + m, 所以△= 4 - 12m ≤0, 即m ≥1
3 . 故m 的取值范围是
1
3 ,+∞


.
结论四、单调性性质
若函数f(x) 在区间I 上具有单词性, 则在区间I 上具有以下性质:
1. f(x) 与f(x) + c(c 为常数) 具有相同的单调性.
2. 当f(x) 非负时, f(x) 与
f(x) 具有相同的单调性.
3. f(x) 与a ⋅f(x) 在a > 0 时具有相同的单调性, 在a < 0 时具有相反的单调性.
·35·
4. 当f(x) 恒不为0 时, 函数f(x) 与
1
f(x) 单调性相反.
28
已知函数f(x) = 3x-
1
3


x, 则f(x)
(
)
A. 是偶函数, 且在R 上是增函数
B. 是奇函数, 且在R 上是增函数
C. 是偶函数, 且在R 上是减函数
D. 是奇函数, 且在R 上是减函数
【答案】B
【解析】f(x) = 3x -
1
3


x = 3x - 3-x, 所以f(-x) = 3-x - 3x =-f(x), 即函数f(x) 为奇函
数, 以函数y = 3x为增函数, y =
1
3


x为减函数, 故函数f(x) = 3x-
1
3


x为增函数. 故选B.
28
若函数f(x) = ax+1
x+2 在(-2, +∞) 上为增函数, 则实数a 的取值范围为
.
【答案】1
2 ,+∞


【解析】解法一：f(x) = ax+1
x+2 = a + 1-2a
x+2 . 任取-2 < x1 < x2, 则f x1


- f x2


= a +
1-2a
x1+2 -
a+ 1-2a
x2+2


= 1-2a
x1+2 - 1-2a
x2+2 = ( 1 - 2 a )
1
x1+2 -
1
x2+2


= ( 1 - 2 a )
x2-x1
x1+2


x2+2


因为-2 < x1 < x2, 所以x1 + 2 > 0,x2 + 2 > 0,x2 - x1 > 0, 以
x2-x1
x1+2


x2+2


> 0. 已知
函数在(-2, +∞) 上单调递增, 故f x1


- f x2


< 0, 所以1 - 2a < 0, 解得a > 1
2 . 所以a 的
取值范围是
1
2 ,+∞


.
解法二：f(x) = ax+1
x+2 = a + 1-2a
x+2 , 因为
1
x+2 在(-2, +∞) 上单调递减, f(x) =
ax+1
x+2 在(-2, +∞) 上单调递增, 所以1 - 2a < 0, 解得a > 1
2 . 所以a 的取值范围是
1
2 ,+∞


.
结论五、单调性求最值
1. 若函数在闭区间[a,b] 上是增函数, 则f(x) 在[a,b] 上的最小值为f(a), 最大值为f(b)；
2. 若函数在闭区间[a,b] 上是减函数, 则f(x) 在[a,b] 上的最小值为f(b), 最大值为f(a).
29
函数f(x) = log2 3x+1


的值域为
(
)
A. (0, +∞)
B. [0, +∞)
C. (1, +∞)
D. [1, +∞)
【答案】A
【解析】根据对数函数的定义可知, 3x + 1 > 0 恒成立, 解得x ∈R. 因此, 该函数的定义域
为R, 原函数f(x) = log2 3x+1


是由对数函数y = log2t 和t = 3x + 1 组合成的复合函数. 由
复合函数的单调性定义(同增异减) 知道, 原函数在定义域R 上是单调递增的. 根据指数函数
的性质可知, 3x> 0, 所以,3x+ 1 > 1, 所以f(x) = log2 3x+1


> log21 = 0. 故选A.
·36·
29
已知函数f(x) = 2x+ ax3+ bsinx(a > 0,b > 0), 若x ∈[0,1] 时,f(x) 的最大值为3
, 则x ∈[-1,0) 时,f(x) 的最小值是
.
【答案】- 1
2
【解析】因为y = 2x,y = x3,y = sinx 在区间[-1,1] 上均为单调递增函数, 又a > 0,b > 0
, 所以f(x) = 2x + ax3 + bsinx 在区间[-1,1] 上为单调递增函数. 当x ∈[0,1] 时, f(x) 的最
大值为f(1) = 2 + a ⋅13 + bsin1 = 3,a + bsin1 = 1; 当x ∈[-1,0) 时,f(x) 的最小值为f(-1) =
2-1+ a ⋅(-1)3+ bsin(-1) = 1
2 - (a + bsin1) =- 1
2 .
·37·
第5 讲
函数的奇偶性
通关一、函数奇偶性的定义和性质
函数图象的对称性
轴对称
中心对称
函数示意图
奇偶性
偶函数
奇函数
f x


满足的关系式
f -x


= f x


f -x


=-f x


本质
当取的自变量互为相反数
时，函数值相等
当取的自变量互为相反数
时，函数值也互为相反数
1. 函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称;
2. f(x) 是偶函数⇔f(x) 的图像关于y 轴对称;f(x) 是奇函数⇔f(x) 的图像关于原点对
称;
3. 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性, 偶函数在对称的单调区间内具有相反的
单调性.
4. f(x) 为偶函数⇔f(x) = f(-x) = f(|x|).
5. 若奇函数f(x) 的定义域包含0 , 则f(0) = 0.
通关二、函数奇偶性的运算
f(x)
g(x)
f(x) + g(x)
f(x) - g(x)
f(x)g(x)
f(g(x))
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
偶函数
不能确定
不能确定
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
奇函数
·38·
通关三、一些重要类型的奇偶函数
1. 函数f(x) = ax+ a-x为偶函数, 函数f(x) = ax- a-x为奇函数.
2. 函数f(x) = ax-a-x
ax+a-x = a2x-1
a2x+1 (a > 0 且a ≠1) 为奇函数
3. 函数f(x) = loga 1-x
1+x (a > 0 且a ≠1) 为奇函数.
4. 函数f(x) = loga x+
x2+1


(a > 0 且a ≠1 ) 为奇函数.
结论一、定义域优先
函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.
30
若函数f(x) = ax2+ bx + 3a + b 是偶函数, 定义域为[a - 1,2a], 则a =
.
b =
.
【答案】1
3 ,0
【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称, 所以a - 1 =-2a, 解得a = 1
3 . 又函数
f(x) = 1
3 x2+ bx + b + 1 为偶函数, 结合偶函数图像的特点, 易得b = 0.
30
已知偶函数f(x) = (1 - a)x3+ mx2+ 1 的定义域为m2-3m-8,m


, 则m + 2a
=
.
【答案】16
【解析】因为f(x) 为偶函数, 故其定义域关于原点对称, 所以m2-3m-8+m=0
m2-3m-8<m
⇒m

= 4, 由函数f(x) 为偶函数可得1 - a = 0 ⇒a = 1, 故m + 2a = 4 + 2 = 6.
结论二、函数的构造
任何一个定义域关于原点对称的函数F(x), 总可以表示为一个奇函数f(x) 和一个偶函
数g(x) 的和, 其中f(x) = F(x)-F(-x)
2
,g(x) = F(x)+F(-x)
2
.
31
已知f(x) 是奇函数,g(x) 是偶函数, 且f(x) + g(x) = x2+x
x2+1 , 则f(x) =
.
g(x) =
.
【答案】
x
x2+1 ,
x2
x2+1
【解析】因为f(x) 是奇函数, g(x) 是偶函数, 所以f(-x) =-f(x),g(-x) = g(x), 则
f(x)+g(x)= x2+x
x2+1
f(-x)+g(-x)= x2-x
x2+1

, 即
f(x)+g(x)= x2+x
x2+1
-f(x)+g(x)= x2-x
x2+1

两式相减, 解得f(x) =
x
x2+1 ; 两式相
·39·
加, 解得g(x) =
x2
x2+1 .
31
已知f(x) 是奇函数, g(x) 是偶函数, 且f(x) - g(x) =
1
x+1 , 则f(x) =
.
g(x) =
.
【答案】
x
x2-1 ,
1
x2-1
【解析】因为f (x) 是奇函数,g(x) 是偶函数, 所以f (-x) =-f (x),g(-x) = g(x), 则
f(x)-g(x)=
1
x+1
f(-x)-g(-x)=
1
-x+1

即
f(x)-g(x)=
1
x+1
-f(x)-g(x)=
1
-x+1

. 两式相减, 解得f(x) =
x
x2-1 ; 两式相
加, 解得g(x) =
1
x2-1 .
结论三、奇函数特性
1. f(x) 是奇函数⇔f(-x) =-f(x) ⇔f(-x) + f(x) = 0 ⇔f -x


f x


=-1
2. 若f(x) 是奇函数, 且f(0) 有意义, 则f(0) = 0.
32
若函数f(x) = x+a
x2+1 (x ∈R) 是奇函数, 则a 的值为
(
)
A. 1
B. 0
C. - 1
D. ± 1
【答案】B
【解析】因为f(x) 是奇函数, 且x ∈R, 所以f(0) = 0, 即0+a
1
= 0, 所以a = 0. 故选B.
32
若函数f(x) = a -
2
2x+1 (x ∈R) 为奇函数, 则实数a 的值
(
)
A. 等于0
B. 等于1
C. 等于2
D. 不存在
【答案】B
【解析】解法一：若函数f(x) = a -
2
2x+1 (x ∈R) 为奇函数, 则f(-x) =-f(x), 即
a -
2
2-x+1 =- a-
2
2x+1


对任意实数x 恒成立, 整理a =
1
2-x+1 +
1
2x+1 =
2x
2-x+1


2x +
1
2x+1 =
2x
1+2x +
1
2x+1 = 1. 故选B.
解法二：因为f(0) 有意义, 所以f(0) = a -
2
20+1 = 0 ⇒a = 1. 故选B.
结论四、偶函数特性
1. f(x) 是偶函数⇔f(-x) = f(x) ⇔f(-x) - f(x) = 0 ⇔f(-x)
f(x) = 1
2. 若f(x) 是偶函数, 则f(-x) = f(x) = f(|x|).
·40·
3. 如果偶函数f(x) 在y 轴左侧区间是递减的, 右侧区间是递增的, 则自变量x1,x2，谁距
离y 轴近, 谁的函数值小, 即若x1


< x2


, 则f x1


< f x2


; 反之, 若f x1


< f x2


, 则x1


<
x2


;
4. 如果偶函数f(x) 在y 轴左侧区间是递增的, 右侧区间是递减的, 则自变量x1,x2，谁距
离y 轴近, 谁的函数值大, 即若x1


< x2


, 则f x1


> f x2


; 反之, 若f x1


< f x2


, 则x1


<
x2


.
33
设f(x) 为定义在[-2,2] 上的偶函数, 且f(x) 在[-2,0] 上是增函数, 若f(1 - m)
- f(m) < 0, 则实数m 的取值范围是
(
)
A.
1
2 ,+∞


В.
-∞, 1
2


C.
-1, 1
2


D.
-1, 1
2


【答案】C
【解析】因为f(x) 为定义在[-2,2] 上的偶函数, 且f(x) [-2,0] 上是增函数, 所以f(x) 在
[0,2] 上是减函数, 由f(1 - m) - f(m) < 0 得f(1 - m) < f(m), 等价为f(|1 - m|) < f(|m|),
则
-2≤1-m≤2
-2≤m≤2
|1-m|>|m|

, 得-1 ≤m ≤3 - 2 ≤m ≤2, 得-1 ≤m < 1
2 , 即实数1 - 2m > 0 取值范
围是-1, 1
2


. 故选C.
33
已知函数f(x) 是定义在R 上的偶函数, 且在区间(0, +∞) 上单调递增. 若实数a
满足f log2a


+ f log 1
2a


≤2f(1), 则a 的最小值是
(
)
A. 3
2
B. 1
C. 1
2
D. 2
【答案】C
【解析】由于f(x) 为偶函数, 所以f(-x) = f(x)f log2a


+ f log 1
2a


= f log2a


+
f -log2a


⇒2f log2a


≤2f(1) ⇒f log2a


≤f(1), 因为f(x) 在区间(0, +∞) 上单调递
增, 所以log2a


≤1 ⇒-1 ≤log2a ≤1 ⇒1
2 ≤a ≤2, 即a 的最小值为1
2 . 故选C.
结论五、奇偶性与单调性关系
1. 如果奇函数y = f(x) 在区间(0, +∞) 上是递增的, 那么函数y = f(x) 在区间(-∞,0) 上
也是递增的;
2. 如果偶函数y = f(x) 在区间(0, +∞) 上是递增的, 那么函数y = f(x) 在区间
(-∞,0) 上是递减的.
34
设奇函数f(x) 在(0, +∞) 上为增函数, 且f(1) = 0, 则不等式f(x)- f(-x)
x
< 0
的解集为
.
【答案】(-1,0) ∪(0,1)
·41·
【解析】因为函数f(x) 是奇函数, 所以f(-x) =-f(x), 所以不等式f(x)- f(-x)
x
< 0 等价
于xf(x) < 0, 即x>0
f(x)<0

或x<0
f(x)>0.

根据条件可作出函数f(x) 的大致图像, 如图所示. 故
不等式f(x)- f(-x)
x
< 0 的解集为(-1,0) ∪(0,1).
34
已知奇函数f(x) 的定义域为[-2,2], 且在区间[-2,0] 上单调递减, 则满足f(1 -
m) + f 1-m2


< 0 的实数m 的取值范围为
.
【答案】-1 ≤m < 1
【解析】因为f(x) 的定义域为[-2,2], 所以有-2≤1-m≤2
-2≤1-m2≤2

, 解得-1 ≤m ≤
3 (1).
由f(1 - m) + f 1-m2


< 0, 得f(1 - m) <-f 1-m2


. 又由f(x) 为奇函数, 得
-f(1 - m2

= f m2-1


, 所以f(1 - m) < f m2-1


, 又f(x) 为奇函数, 且在[-2,0] 上
单调递减, 所以f(x) 在[-2,2] 上单调递减. 所以1 - m > m2- 1. 即-2 < m < 1(2). 综合
(1) (2) 可知, 实数m 的取值范围为-1 ≤m < 1.
·42·
第6 讲
函数的对称性
通关一、轴对称
对称轴: x = 0 对称轴: x = a
对称轴: 每个点关于对称轴对称之后还在图像上. 偶函数中两自变量的中点是中间的0 ,
两函数值相等, 有f(x) = f(-x). 因为轴对称图形上对称两点连线的中点在对称轴上, 所以若
x2,f x2




和x1,f x1




两点关于x = a 轴对称, f a+x1


= f a-x2


, 则两自变量满足x1+ x2
= 2a(因为中点在对称轴上).
通关二、中心对称
对称中心: 每个点绕着对称中心旋转180° 后还在图像上. 奇函数中两自变量的中点是中
间的0, 两函数值中点是0 , 有f(x) + f(-x) = 0. 若将对称中心移到点(a,b), 可同理, 从a 出
发, 向左向右距离相等, 使其自变对称, 则它们对应的函数值的中点应为b, 所以f(a + x) +
f(a - x) = 2b. 当自变量关于a 对称时, 函数值关于b 对称.
通关三、常见对称性结论
序号
函数满足的条件
对称轴
(中心)
·43·
自
对
称
轴
对
称
(1)
满足f(x) = f(-x) 的函数y = f(x) 的图象
x = 0，偶函数
(2)
满足f(a + x) = f(a - x) 的函数y = f(x) 的图象
(或f(x) = f(2a - x)，或f(-x) = f(2a + x))
x = a
(3)
满足f(a + x) = f(b - x) 的函数y = f(x) 的图象
(或f(x) = f(a + b - x)，或f(-x) = f(a + b + x))
x = a+b
2
(4)
满足f(a + ωx) = f(b - ωx) 的函数y = f(x) 的图象
x = a+b
2
中
心
对
称
(5)
满足f(x) =-f(-x) 的函数y = f(x) 的图象
(0,0)，奇函数
(6)
满足f(a + x) =-f(a - x) 的函数y = f(x) 的图象
(或f(x) =-f(2a - x)，或f(-x) =-f(2a + x))
(a,0)
(7)
满足f(a + x) =-f(b - x) 的函数y = f(x) 的图象
a+b
2
,0


(8)
满足f(a + x) + f(b - x) = c 的函数y = f(x) 的图
象
a+b
2
, c
2


互
对
称
轴
对
称
(9)
y = f(x) 与y = f(-x) 两个函数的图象
x = 0，即y 轴
(10)
y = f(a + x) 与y = f(b - x) 两个函数的图象
x = b-a
2
(11)
y = f(a + ωx) 与y = f(b - ωx) 两个函数的图象
x = b-a
2ω
(12)
y = f(x) 与y =-f(x) 两个函数的图象
y = 0，即x 轴
(13)
y = f(x) 与y = b - f(x) 两个函数的图象
y = b
2
(14)
y = f(x) 与y = f-1(x) 两个函数的图象
y = x
中
心
对
称
(15)
y = f(x) 与y =-f(-x) 两个函数的图象
(0,0)
(16)
y = f(x) 与y =-f(a - x) 两个函数的图象
a
2 ,0


(17)
y = f(x) 与y = b - f(a - x) 两个函数的图象
a
2 , b
2


结论一、f(a + x) = f(a - x) 型
对函数y = f(x),f(a + x) = f(a - x) 成立⇔y = f(x) 的图像关于直线x = a 对称.
35
如果函数f(x) = x2+ bx + c 对任意的实数x, 都有f
1
2 +x


= f
1
2 -x


, 那么
(
)
A. f(0) < f(2) < f(-2)
B. f(0) < f(-2) < f(2)
C. f(2) < f(0) < f(-2)
D. f(-2) < f(0) < f(2)
【答案】A
·44·
【解析】由f
1
2 +x


= f
1
2 -x


知函数f(x) 图像的对称轴为x = 1
2 , 且抛物线的开口向
上,
则0- 1
2


= 1
2 , 2- 1
2


= 3
2 , -2- 1
2


= 5
2 , 根据到对称轴的距离远的函数值较大得f(
-2) > f(2) > f(0), 故选A.
35
若函数f(x) = 2
|x-a|(x ∈R) 满足f(2 + x) = f(2 - x), 且f(x) 在[m, +∞) 上单调递
增, 则实数m 的最小值等于
.
【答案】2
【解析】由f(2 + x) = f(2 - x) 得函数f(x) 关于x = 2 对称, 故a = 2, 则f(x) = 2
|x-2|, 由复
合函数单调性得f(x) 在[2, +∞) 上递增, 故m ≥2, 所以实数m 的最小值等于2.
结论二、f(a + x) = f(b - x) 型
对函数y = f(x),f(a + x) = f(b - x) 成立⇔y = f(x) 的图像关于直线x = a+b
2
对称.
36
对于函数f(x), 若存在常数a ≠0, 使得x 取定义域内的每一个值, 都有f(x) = f(2a
- x), 则称f(x) 为准偶函数. 下列函数中是准偶函数的是
(
)
A. f(x) =
x
B. f(x) = x2
C. f(x) = tanx
D. f(x) = cos(x + 1)
【答案】D
【解析】由题意可得准偶函数的图像关于直线x = a(a ≠0) 对称, 即准偶函数的图像存在
不是y 轴的对称轴. 选项A,C 中函数的图像不存在对称轴, 选项B 中函数的图像的对称轴为
y 轴, 只有选项D 中的函数满足题意. 故选D.
36
若函数f(x) = x2 + bx + c 对任意x ∈R 都有f(x - 1) = f(3 - x), 则以下结论中正
确的是
(
)
A. f(0) < f(-2) < f(5)
B. f(-2) < f(5) < f(0)
C. f(-2) < f(0) < f(5)
D. f(0) < f(5) < f(-2)
【答案】A
【解析】若函数f(x) = x2 + bx + c 对任意x ∈R 都有f(x - 1) = f(3 - x), 则f(x) = x2 +
bx + c 的对称轴为x = 1 且函数的开口方向向上, 则函数在(1, +∞) 上为增函数. 又f(0) =
f(2),f(-2) = f(4), 所以f(2) < f(4) < f(5), 即f(0) < f(-2) < f(5). 故选A.
结论三、y = f(x + a) 为偶函数型
y = f(x + a) 为偶函数⇔y = f(x) 的图像关于x = a 对称.
37
函数y = f(x) 在[0,2] 上单调递增, 且函数f(x + 2) 是偶函数, 则下列结论成立的
是
(
)
A. f(1) < f
5
2


< f
7
2


B. f
7
2


< f
5
2


< f(1)
C. f
7
2


< f(1) < f
5
2


D. f
5
2


< f(1) < f
7
2


·45·
【答案】C
【解析】函数f(x + 2) 是偶函数, 则其图像关于y 轴对称, 所以函数y = f(x) 的图像关于x
= 2 对称, 则f
5
2


= f
3
2


,f
7
2


= f
1
2


. 又因为函数y = f(x) 在[0,2] 上单调递增, 则有
f
1
2


< f(1) < f
3
2


, 所以f
7
2


< f(1) < f
5
2


. 故选C.
37
已知定义域为R 的函数f(x) 在(8, +∞) 上为减函数, 且函数y = f(x + 8) 为偶函
数, 则
(
)
A. f(6) > f(7)
B. f(6) > f(9)
C. f(7) > f(9)
D. f(7) > f(10)
【答案】D
【解析】因为y = f(x + 8) 是偶函数, 所以f(x + 8) = f(-x + 8), 即y = f(x) 关于直线x =
8 对称, 所以f(6) = f(10),f(7) = f(9). 又因为f(x) 在(8, +∞) 为减函数, 所以f(x) 在(-∞,8)
上为增函数, 所以f(6) < f(7), 即f(10) < f(7). 故选D.
结论四、f(a + x) =-f(a - x) 型
对函数y = f(x),f(a + x) =-f(a - x) 成立⇔y = f(x) 的图像关于点(a,0) 对称.
38
若函数f(x) 满足：f(x + 1) + f(1 - x) = 0, 则f(x) 的图像的对称中心为
.
【答案】(1,0)
【解析】因为x+1+1-x
2
= 1, 所以f(x) 的对称中心为(1,0).
38
已知函数f(x) 当x > 4 时,f(x) = x - 2013, 且f(4 - x) + f(4 + x) = 0 恒成立, 则
当x < 4 时,f(x) =
.
【答案】x + 2005
【解析】因为4-x+4+x
2
= 4, 所以f(x) 的对称中心为(4,0), 所以f(8 - x) + f(x) = 0,
f(x) =-f(8 - x),
当x < 4 时, 则8 - x > 4, 所以f(8 - x) = 8 - x - 2013 =-x - 2005, 所以f(x) = x +
2005.
结论五、f(a + x) =-f(b - x) 型
对函数y = f(x),f(a + x) =-f(b - x) 成立⇔y = f(x) 的图像关于点
a+b
2
,0


对称.
39
定义域在(-∞, +∞) 上的函数f(x) 满足f(1 + x) =-f(-x), 函数f(x) 关于
对称.
【答案】1
2 ,0


【解析】因为f(1 + x) =-f(-x), 则由函数y = f(x) 的对称性结论得f(x) 关于点
1
2 ,0


对
称.
39
已知定义域为R 的函数f(x) 满足f(-x) =-f(x + 4), 且函数f(x) 在区间(2,
·46·
+∞) 上单调递增. 如果x1< 2 < x2, 且x1+ x2< 4, 则f x1


+ f x2


的值
(
)
A. 可正可负
B. 恒大于0
C. 可能为0
D. 恒小于0
【答案】D
【解析】由f(-x) =-f(x + 4) 可得f(x) 关于(2,0) 中心对称, 所以有f(4 - x) =-f(x). 代
入x1可得f 4-x1


=-f x1


, 从而f x2


<-f x1


⇒f x1


+ f x2


< 0. 故选D.
结论六、f(a + x) + f(b - x) = c 型
对函数y = f(x),f(a + x) + f(b - x) = c 成立⇔y = f(x) 的图像关于点
a+b
2
, c
2


对称.
40
已知y = f(x) 满足f(x + 1) + f(-x + 1) = 2, 则以下四个选项一定正确的是
(
)
A. f(x - 1) + 1 是偶函数
B. f(-x + 1) - 1 是奇函数
C. f(x + 1) + 1 是偶函数
D. f(x + 1) - 1 是奇函数
【答案】D
【解析】根据f(x + 1) + f(-x + 1) = 2 可得y = f(x) 的对称中心为(1,1), 把y = f(x) 的图
像向左并且向下平移1 个单位之后即得奇函数f(x + 1) - 1 的图像, 所以f(x + 1) - 1 是奇函
数. 故选D.
40
已知函数f(x) (x ∈R) 满足f(-x) = 2 - f(x), 若函数y = x+1
x
与y = f(x) 图像的
交点为x1,y1


, x2,y2


, ⋯, xm,ym


, 则
m
i
xi+yi



=
(
)
A. 0
B. m
C. 2m
D. 4m
【答案】B
【解析】由f(-x) = 2 - f(x), 得f(x) 关于(0,1) 对称, 而y = x+1
x
= 1 + 1
x 也关于(0,1)
对称, 所以对于每一组对称点xi + xi′ = 0,yi + yi′ = 2, 所以
m
i=1
xi+yi



=
m
i=m
xi

+
m
i=1
yi

= 0 + 2
⋅m
2 = m. 故选B.
结论七、y = f(x + a) 为奇函数型
y = f(x + a) 为奇函数⇔y = f(x) 的图像关于点(a,0) 对称.
41
若函数y = f(x - 1) 是奇函数, 那么函数y = f(x) 的图像关于
对称.
【答案】(-1,0)
【解析】因为y = f(x - 1) 是奇函数, 所以y = f(x - 1) 关于(0,0) 对称,y = f(x - 1) 的图像
向左平移1 个单位即得y = f(x) 的图像, 所以y = f(x) 的图像关于(-1,0) 对称.
41
已知函数y = f(x + 1) 是奇函数, 当x > 1 时,f(x) = x2 - 4x + 1, 则当x < 1 时,
f(x) =
.
【答案】-x2+ 3
·47·
【解析】因为y = f(x + 1) 为奇函数, 所以y = f(x) 关于(1,0) 对称, 即f(x) + f(2 - x) =
0, 所以f(x) =-f(2 - x). 当x < 1 时, 则2 - x > 1, 所以f(2 - x) = (2 - x)2 - 4(2 - x) + 1 =
x2- 3, 所以f(x) =-x2+ 3.
结论八、f(x) = ax+b
cx+d 型
简单分式函数f(x) = ax+b
cx+d (c ≠0,ax + b ≠0), 由变量分离法得对称中心- d
c , a
c


.
42
函数f(x) = 2x-1
x+1 的对称中心是
(
)
A. 1, 1
2


B. (1,2)
C. (2, -1)
D. (-1,2)
【答案】D
【解析】因为f(x) = 2x-1
x+1 = 2 -
3
x+1 , 所以函数f(x) = 2x-1
x+1 的图像的对称中心的坐标
为(-1,2). 故选D.
42
函数f(x) =
x-a
x-a-1 的图像的对称中心是(4,1), 则a =
.
【答案】3
【解析】因为f(x) =
x-a
x-a-1 = x-a-1+1
x-a-1
= 1 +
1
x-a-1 , 所以函数f(x) 的图像的对
称中心是(a + 1,1), 由已知得a + 1 = 4, 故a = 3.
结论九、含绝对值的函数对称性
1.f(x) = |x - a| 的图像关于直线x = a 对称，且函数的最小值为0;
2.f(x) = |x - a| +|x - b| 的图像关于直线x = a+b
2
对称，且函数的最小值为|b - a|;
3.f(x) = |x - a| -|x - b| 的图像关于点
a+b
2
,0


对称，且函数的值域为[-|a - b|,|a -
b|],
43
设函数f(x) = |x + 1| +|x - a| 的图像关于直线x = 1 对称, 则a 的值为
(
)
A. 3
B. 2
C. 1
D. - 1
·48·
【答案】A
【解析】由题知f(x) = |x + 1| +|x - a| 的对称轴为x = a-1
2
, 即a-1
2
= 1, 解得a = 3. 故
选A.
43
设函数f(x) = |x - a| -|x - b| 的图像关于点(1,0) 对称, 且函数的最大值为2, 则a
=
.
【答案】12 或0
【解析】因为f(x) = |x - a| -|x - b| 的图像关于点
a+b
2
,0


对称, 所以a+b
2
= 1. 当a
> b 时,a - b = 2, 解得a = 2; 当a < b 时,b - a = 2, 解得a = 0. 所以a = 2 或a = 0.
结论十、两个函数的对称性
若函数y = f(x) 定义域为R, 则函数y = f(a + x) 与y = f(b - x) 两函数的图像关于直线
x = b-a
2
对称(由a + x = b - x 可得).
44
对任意的函数y = f(x) 在同一直角坐标系中, 函数y = f(x + 1) 与函数y = f(-x -
1) 的图像恒
(
)
A. 关于x 轴对称
B. 关于直线x = 1 对称
C. 关于直线x =-1 对称
D. 关于y 轴对称
【答案】C
【解析】函数y = f(x) 与y = f(-x) 的图像关于y 轴即x = 0 对称, 因为y = f(x + 1) 的图像
是由函数y = f(x) 的图像向左平移一个单位得到的; 函数y = f(-x - 1) = f[- (x + 1)] 是由
函数y = f(-x) 的图像向左平移一个单位得到的, 所以两个函数的对称轴也向左平移了一个
单位, 故所求的对称轴是x =-1. 故选C.
44
函数y = f(x + 2) 的图像与函数y = f(4 - x) 的图像的关系为
(
)
A. 关于x = 1 对称
B. 关于x = 3 对称
C. 关于(1,0) 对称
D. 关于(3,0) 对称
【答案】A
【解析】由题意可判断两个函数的图像关于直线对称, 可设函数y = f(x + 2) 图像上的任
意点A(x,y), 该点关于直线x = a 的对称点为A′ (2a - x,y) 在y = f(4 - x) 的图像上, 故y =
f(4 - (2a - x)) = f(4 + x - 2a), 而y = f(x + 2), 所以f(x + 4 - 2a) = f(x + 2) 对任意x ∈R
恒成立, 所以4 - 2a = 2, 即a = 1. 故选A.
结论十一、对称轴斜率为1 或-1
1.(a,b) 关于y = x 对称的点的坐标为(b,a).
2.(a,b) 关于y =-x 对称的点的坐标为(-b, -a).
45
已知函数g(x) = f(x) + x2是奇函数, 当x > 0 时, 函数f(x) 的图像与函数y = log2x
的图像关于y = x 对称, 则g(-1) + g(-2) =
(
)
·49·
A. - 7
B. - 9
C. - 11
D. - 13
【答案】C
【解析】因为x > 0 时,f(x) 的图像与函数y = log2x 的图像关于y = x 对称; 所以x > 0 时
f(x) = 2x; 所以x > 0 时,g(x) = 2x + x2. 又g(x) 是奇函数, 所以g(-1) + g(-2) =- [g(1) + g(2)
] =- (2 + 1 + 4 + 4) =-11. 故选C.
45
设函数y = f(x) 的图像与y = 2x+a 的图像关于直线y =-x 对称, 且f(-2) + f(-4)
= 1, 则a =
(
)
A. - 1
B. 1
C. 2
D. 4
【答案】C
【解析】设(x,y) 是函数y = f(x) 的图像上任意一点, 它关于直线y =-x 对称的点的坐标
为(-y, -x), 由题意知(-y, -x) 在函数y = 2x+4 的图像上, 所以-x = 2
-y+a, 解得y =-log2(
-x) + a, 即f(x) =-log2(-x) + a, 所以f(-2) + f(-4) =-log22 + a - log24 + a = 1, 解得a
= 2. 故选C.
结论十二、对称性与单调性结论
1. 如果函数f(x) 在对称轴x = x0 左侧区间是递减的, 右侧区间是递增的, 则自变量x1,x2
谁距离对称轴x = x0 近, 谁的函数值小, 即若x1-x0


< x2-x0


, 则f x1


< f x2


; 反之, 若
f x1


< f x2


, 则x1-x0


< x2-x0


;
2. 如果函数f(x) 在对称轴x = x0 左侧区间是递增的, 右侧区间是递减的, 则自变量x1,x2
谁距离对称轴x = x0 近, 谁的函数值大, 即若x1-x0


< x2-x0


, 则f x1


> f x2


; 反之, 若
f x1


< f x2


, 则x1-x0


> x2-x0


.
46
已知函数f(x) 的定义域为R, 且满足下列两个条件: ①对任意的x1,x2 ∈[4,8], 当
x1 < x2 时, 都有f x1


- f x2


x1-x2
> 0; ②y = f(x + 4) 是偶函数. 若a = f(-6),b = f(11),c =
f(π), 则a,b,c 的大小关系正确的是
(
)
A. a < b < c
B. b < a < c
C. a < c < b
D. c < b < a
【答案】D
【解析】由条件①可以判断出f(x) 在[4,8] 上是增函数, 由条件②可以判断出函数f(x) 关
于x = 4 对称, 所以自变量距离对称轴越近, 所对应的函数值越小. 所以| -6 - 4| > |11 - 4| >
|π - 4|,a > b > c. 故选D.
46
已知定义在R 上的函数f(x) 满足f(3 - 2x) = f(2x - 1), 且f(x) 在[1, +∞) 上单调
递增, 则
(
)
A. f 0.20.3


< f log30.5


< f 41.1


B. f 0.20.3


< f 41.1


< f log30.5


C. f 41.1


< f 0.20.3


< f log30.5


D. f log30.5


< f 0.20.3


< f 41.1


【答案】A
【解析】根据题意可得,f(x) 的图像关于直线x = 1 对称. 所以f(x) 在[1, +∞) 上单调递
·50·
增, 所以自变量距离对称轴越近, 所对应的函数值越小. 因为0 < 0.20.3 < 1, -1 = log3 1
3 <
log 30.5 < 0,41.1 > 41 = 4, 所以1 < log30.5-1


< 2,0 < 0.20.3-1


< 1, 41.1-1


> 3, 所以
41.1-1


> log30.5-1


> 0.20.3-1


. 由题意可得f 0.20.3


< f log30.5


< f 41.1


. 故选A.
·51·
第7 讲
函数的周期性
通关一、周期概念理解
1. 定义: 设f(x) 的定义城为D, 若对∀x ∈D, 存在一个非零常数T, 有f(x + T) = f(x),
则称函数f(x) 是一个周期函数, 称T 为f(x) 的一个周期.
2. 若f(x) 是一个周期函数, 则f(x + T) = f(x), 那么f(x + 2T) = f(x + T) = f(x), 即2T
也是f(x) 的一个周期, 进而可得kT(k ∈Z,k ≠0) 也是f(x) 的一个周期.
3. 最小正周期: 若T 为f(x) 的一个周期, kT(k ∈Z,k ≠0) 也是f(x) 的一个周期, 则在某
些周期函数中, 往往存在周期中最小的正数, 称为最小正周期. 然而并非所有的周期函数都有
最小正周期, 比如常值函数f(x) = C 就没有最小正周期.
通关二、常见周期性结论
函
数
周
期
性
的
一
些
结
论
序号
函数式满足关系(x ∈R)
周期
(1)
f(x + T) = f(x)
T
(2)
f(x + T) =-f(x)
2T
(3)
f(x + T) =
1
f(x) ;f(x + T) =-
1
f(x)
2T
(4)
f(x + T) = f(x - T)
2T
(5)
f(x + a) = f(x + b) 或f(x - a) = f(x - b)
a-b


(6)
f(x + T) =-f(x - T)
4T
(7)
f(a+x)= f(a-x)
f(x)为偶函数

2a
(8)
f(a+x)= f(a-x)
f(b+x)= f(b-x)

2 a-b


(9)
f(a+x)=-f(a-x)
f(x)为奇函数

2a
(10)
f(a+x)=-f(a-x)
f(b+x)=-f(b-x)

2 a-b


(11)
f(a+x)= f(a-x)
f(x)为奇函数

4a
(12)
f(a+x)=-f(a-x)
f(x)为偶函数

4a
(13)
f(a+x)= f(a-x)
f(b+x)=-f(b-x)

4 a-b


·52·
结论一、f(x ± a) = f(x) (a ≠0) 型
f(x ± T) = f(x) (T ≠0) ⇔y = f(x) 的周期为T.kT(k ∈Z,k ≠0) 也是函数的周期.
47
定义在R 上的函数f(x) 满足:f(x + 6) = f(x), 当-3 ≤x <-1 时,f(x) =- (x + 2)2;
当-1 ≤x < 3 时,f(x) = x, 则f(1) + f(2) + f(3) +⋯+f(2019) =
(
)
A. 336
B. 337
C. 338
D. 339
【答案】C
【解析】因为f(x + 6) = f(x), 当-3 ≤x <-1 时,f(x) =- (x + 2)2; 当-1 ≤x < 3 时,f(x) =
x,
所以f(1) = 1,f(2) = 2,f(3) = f(-3) =-1,f(4) = f(-2) = 0,f(5) = f(-1) =-1,f(6) = f(0)
= 0,
所以f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) = 1, 因为f(x + 6) = f(x), 所以f(x) 的周期为
6,
所以f(1) + f(2) + f(3) +⋯+f(2019) = 336 + f(1) + f(2) + f(3) = 338. 故选C.
47
函数f(x) 的定义域为R, 且f(x) = f(x - 3), 当-2 ≤x < 0 时,f(x) = (x + 1)2; 当0
≤x < 1 时,f(x) =-2x + 1, 则f(1) + f(2) + f(3) +⋯+f(2018) =
(
)
A. 671
B. 673
C. 1343
D. 1345
【答案】D
【解析】因为f(x) = f(x - 3), 所以f(x + 3) = f(x), 所以函数f(x) 是周期为3 的周期函
数.
又当-2 ≤x < 0 时,f(x) = (x + 1)2; 当0 ≤x < 1 时,f(x) =-2x + 1,
所以f(1) + f(2) + f(3) = f(-2) + f(-1) + f(0) = 1 + 0 + 1 = 2,
所以f(1) + f(2) + f(3) +⋯+f(2018) = 672 × [ f(1) + f(2) + f(3)] + f(2017) + f(2018)
= 672 × 2 + f(1) + f(2)
= 1344 + 1 = 1345. 故选D.
结论二、f(x + a) =-f(x) 型
f(x + a) =-f(x) ⇔y = f(x) 的周期为T = 2a.
48
已知f(x) 在R 上是奇函数, 且满足f(x + 5) =-f(x), 当x ∈(0,5) 时, f(x) = x2 -
x, 则f(2016) =
(
)
A. - 12
B. - 16
C. - 20
D. 0
【答案】A
【解析】因为f(x + 5) =-f(x), 所以f(x + 10) =-f(x + 5) = f(x),f(x) 的周期为10,
因此f(2016) = f(-4) =-f(4) =- (16 - 4) =-12. 故选A.
48
设函数f (x) 是定义在R 上的周期函数, 且f x- 3
2


=- f (x), 若f (1) >-2,
f(2017) = 3
m - m, 则实数m 的取值范围是
(
)
A. (1,3)
B. (-∞,1) ∪(0,3)
·53·
C. (-∞, -1) ∪(3, +∞)
D. (0,3)
【答案】B
【解析】因为f x- 3
2


=-f(x), 所以f(x - 3) =-f x- 3
2


= f(x), 即f(x) = f(x + 3),
所以f(x) 是周期为3 的函数，所以f(2017) = f(1) = 3
m - m，又f(1) >-2，所以-m +
3
m >-2, 所以m2-2m-3
m
< 0, 所以m(m + 1) (m - 3) < 0, 所以m <-1 或0 < m < 3. 故
选B.
结论三、f(x + a) = f(x ± b) 型
f(x + a) = f(x - b) ⇔y = f(x) 的周期为T = a + b.
f(x + a) = f(x + b) ⇔y = f(x) 的周期为T = b - a.
49
已知函数f(x) 的定义域为R, 当x < 0 时f(x) = x3 - 1, 当-1 ≤x ≤1 时，f(-x) =
-f(x), 当x > 1
2 时，f x- 1
2


= f x+ 1
2


，则f(6) =
(
)
A. 2
B. 0
C. - 1
D. - 2
【答案】A
【解析】因为当x > 1
2 时，f x- 1
2


= f x+ 1
2


⇒T = 1，所以f(6) = f(1) =-f(-1) =- (
-1 - 1) = 2. 故选A.
49
已知f(x) 是定义在R 上的函数，满足f(x) + f(-x) = 0，f(x - 1) = f(x + 1)，当x
∈(0, 1) 时，f(x) =-x2+ x，则函数f(x) 的最小值为
(
)
A . 1
4 B. - 1
4 C. - 1
2 D. 1
2
【答案】B
【解析】由f(x - 1) = f(x + 1) 可得f(x) 是周期为2 的周期函数，所以只需要求出一个周
期内的最值即可。由f(x) + f(-x) = 0 可得f(x) 为奇函数，所以考虑区间(-1, 1)，在x ∈
(0, 1) 时，f(x) =- x- 1
2


2 + 1
4 ，所以f(x)max = f
1
2


= 1
4 ，而由于f(x) 为奇函数，所以在x
∈(-1, 0) 时，f(x)min = f - 1
2


=-f
1
2


=- 1
4 ，所以f - 1
2


=- 1
4 即为f(x) 在(-1, 1) 上
的最小值，从而也是f(x) 在R 上的最小值. 故选B.
结论四、f(a + x) =-f(x - b) 型
若函数y = f(x) 定义域为R，且满足条件f(a + x) =-f(x - b)，则y = f(x) 是以T = 2(a
+ b) 为周期的周期函数。
50
设函数f(x) 是定义在R 上的奇函数，满足f(x + 1) =-f(x - 1)，若f(-1) > 1，f(5)
= a2- 2a - 4，则实数a 的取值范围是
(
)
A. ( -1 , 3)
B. ( -∞, -1) ∪( 3 ，+∞)
C. ( -3，1)
D. ( -∞, -3) ∪( 1 ，+∞)
·54·
【答案】A
【解析】由f( x + 1 ) = -f(x - 1) 可得f(x + 2) =-f( x )，则f(x + 4) =-f(x + 2) = f(x)，
故函数f(x) 的周期为4，则f(5) = f(1) = a2 - 2a - 4. 又因为函数f(x) 是定义在R 上的奇函
数，f( -1 ) > 1，所以f(1) < -1 ，所以a2 - 2a - 4 < -1 ，解得-1 < a < 3. 所以实数a
的取值范围是(-1,3 )，故选A。
50
已知定义在R 上的奇函数f(x)，对任意x 都满足f(x + 2) = f(4 - x)，且当x ∈[0，
3] 时，f(x) = log2(x + 1)，则f(2019) =
【答案】2
【解析】由f(x) 为奇函数且f(x + 2) = f(4 - x)，得f(6 + x) = f(-x) = -f(x), 所以
f(12 + x) = -f(6 + x) = - [-f(x)] = f(x), 则f(x) 的周期T = 12, 所以f(2019) = f(12 * 168
+ 3) = f(3). 因为当x ∈[0, 3] 时，f(x) = log2(x + 1), 所以f(2019) = f(3) = log24 = 2.
结论五、f(x) + f(x + a) = k 型
f(x) + f(x + a) = k(k 为常数) ⇒f(x) 的周期为T = 2a.
51
已知函数f(x) 是R 上的偶函数，且满足f(x + 1) + f(x) = 3. 当x ∈[-1, 0] 时，
f(x) = 2 + x, 则f(-2007.5) 的值为
(
)
A. 0.5
B. 1.5
C. - 1.5
D. 1
【答案】B
【解析】由f(x + 1) + f(x) = 3 可得f(x) + f(x - 1) = 3, 两式相减可得f(x + 1) = f(x -
1), 所以f(x) 的周期T = 2, 再由f(x) 是偶函数可得f(-2007.5) = f(0.5) = f(-0.5) = 1.5. 故
选B.
51
已知函数f(x) 对任意x ∈R 都有f(x + 6) + f(x) = 2f(3),y = f(x - 1) 的图像关于
点(1, 0) 对称且f(2) = 4, 则f(22) =
【答案] - 4
【解析】因为y = f(x - 1) 的图像关于点(1, 0) 对称，所以y = f(x) 的图像关于点(0, 0) 对
称，即函数f(x) 为奇函数. 由f(x + 6) + f(x) = 2f(3) 得f(x + 12) + f(x + 6) = 2f(3), 所以
f(x + 12) = f(x),T = 12, 因此f(22) = f(-2) =-f(2) =-4.
结论六、f(x + a) =
1
f(x) 型
f(x + α) =
1
f(x) ⇔y = f(x) 的周期为T = 2a.
52
函数f(x) 对于任意实数x 满足条件f(x + 2) =
1
f(x) , 若f(1) =-5, 则f(f(5)) =
(
)
A. - 5
B. 5
C. 1
5
D. - 1
5
【答案】D
·55·
【解析】由题意得f(x) = f(x + 4), 则f(5) = f(1) =-5, 那么f( f(5)) = f(-5) = f(-1) =
1
f(1) =- 1
5 故选D.
52
已知函数y = f(x) 满足f(x + 1) =
1
f(x-1) 和f(2 - x) = f(x + 1), 且当x ∈[ 1
2 ,
1] 时,f(x) = 2x + 2, 则f(2018) =
(
)
A. 0
B. 2
C. 4
D. 5
【答案】C
【解析】函数y = f(x) 满足f(x + 1) =
1
f(x-1) 和f(2 - x) = f(x + 1), 可知函数是以4 为
周期的周期函数，且关于x = 3
2 对称。又由当x ∈
1
2 ,1


时，f(x) = 2x + 2，所以f(2018) =
f(504 * 4 + 2) = f(2) = f(1) = 2 * 1 + 2 = 4, 故选C.
结论七、f(x + a) = -
1
f(x) 型
f(x + a) = -
1
f(x) ⇔y = f(x) 的周期为T = 2a.
53
设偶函数f(x) 对任意x ∈R 都有f(x) = -
1
f(x-3) , 且当x ∈[-3, -2] 时，f(x) =
4x, 则f(119.5) =
(
)
A. 10
B. - 10
C. 1
10
D. - 1
10
【答案】C
【解析】因为函数f(x) 对任意x ∈R 都有f(x) = -
1
f(x-3) , 所以f(x + 3) = -
1
f(x) ，则
f (x + 6) = f (x), 即函数f (x) 的周期为6, 所以f (119.5) = f (20 * 6 - 0.5) = f (-0.5) =
-
1
f(-0.5+3) = -
1
f(2.5) ，又因为偶函数f (x), 当x ∈[-3, -2] 时，有f (x) = 4x, 所以
f(119.5) =-
1
f(x) =-
1
f(-2.5) =-
1
4*(-2.5) = 1
10 . 故选C。
53
设偶函数f(x) 对任意x ∈R, 都有f(x + 3) =-
1
f(x) , 且当x ∈[-3, -2] 时，f(x)
= 2x, 则f(113.5) 的值是
【答案】1
5
【解析】因为f(x + 6) = f[(x + 3) + 3] =-
1
f(x+3) =-
1
-
1
f(x)
= f(x), 所以f(x) 的周期
T = 6，f(113.5) = f(18 * 6 + 5.5) = f(5.5) =-
1
f(2.5) =-
1
f(-2.5) = 1
5 .
结论八、f(x)·f(x + a) = k 型
f(x)·f(x + a) = k(k 为常数) ⇒f(x) 的周期为T = 2a.
·56·
54
设定义在R 上的函数f(x) 满足f(x)·f(x + 2) = 13. 若f(x) = 2, 则f(2015) =
(
)
A. 13
3
B. 13
2
C. 13
D. 39
2
【答案】B
【解析】由函数的关系式可得f(x)f(x + 2) = 13，f(x + 2)f(x + 4) = 13, 所以f(2015) =
f(504 * 4 - 1) = f(-1). 关系式f(x)f(x + 2) = 13 中，令x =-1 可得f(-1)f(1) = 2f(-1) = 13,
所以f(-1) = 13
2 , 所以f(2015) = 13
2 . 故选B.
54
已知f(x) 是定义在R 上的函数，并满足f(x)f(x + 2) =-2. 当1 < x < 2 时，f(x) =
x3+ sin π
9 x, 则f(5.5) =
(
)
A. 23
8
B. - 23
8
C. 31
8
D. - 31
8
【答案】C
【解析】由f(x)f(x + 2) =-2 可知f(x) ≠0, 所以f(x)f(x + 2) = f(x + 2)f(x + 4) =-2, 所
以f(x + 4) = f(x), 即函数的周期是4, 因为f(5.5) = f(5.5 - 4) = f(1.5), 且当1 < x < 2 时，
f(x) = x3+ sin π
9 x，所以f(1.5) =
3
2


3+ sin π
9 * 3
2


= 27
8 + sin π
6


= 27
8 + 1
2 = 31
8
. 故
选C.
结论九、f(x + a) = 1- f(x)
1+ f(x) 型
f(x + a) = 1- f(x)
1+ f(x) ⇔y = f(x) 的周期为T = 2a.
55
定义在R 上的函数f(x) 对任意x ∈R, 都有f(x + 2) = 1- f(x)
1+ f(x) ，f(2) = 1
4 , 则
f(2016) 等于
(
)
A. 1
4
B. 1
2
C. 1
3
D. 3
5
【答案】D
【解析】由f(x + 2) = 1- f(x)
1+ f(x) 及所求f(2016) 可联想到周期性，所以考虑f(x + 4) =
1- f(x+2)
1+ f(x+2) =
1- 1- f(x)
1+ f(x)
1+ 1- f(x)
1+ f(x)
= f(x), 所以f(x) 是周期为4 的周期函数，故f(2016) = f(4), 而由
已知可得f(4) = 1- f(2)
1+ f(2) = 3
5 , 所以f(2016) = 3
5 , 故选D.
55
定义在R 上的函数f(x) 满足:f(x + 2) = 1- f(x)
1+ f(x) ，当x ∈(0，4) 时，f(x) = x2 - 1,
则f(2010) =
【答案】3
·57·
【解析】因为定义在R 上的函数f (x) 满足：f (x + 2) = 1- f(x)
1+ f(x) , 所以f (x + 4) =
1- f(x+2)
1+ f(x+2) =
1- 1- f(x)
1+ f(x)
1+ 1- f(x)
1+ f(x)
= f(x)，故函数的周期是4, 所以f(2010) = f(2). 又x ∈(0,4) 时，
f(x) = x2- 1，所以f(2010) = f(2) = 22- 1 = 3.
结论十、f(x + a) = 1+ f(x)
1- f(x) 型
f(x + a) = 1+ f(x)
1- f(x) ⇔y = f(x) 的周期为T = 4a.
56
已知f(x) 是定义在实数集上的函数，且f(x + 2) = 1+ f(x)
1- f(x) ,f(1) = 1
4 , 则f(2015) =
【答案】- 3
5
【解析】f(x + 4) = 1+ f(x+2)
1- f(x+2) =
1+ 1+ f(x)
1- f(x)
1- 1+ f(x)
1- f(x)
=-
1
f(x) ⇒f(x + 8) =-
1
f(x+4) = f(x) ⇒
T = 8，f(2015) = f(251 * 8 + 7) = f(7) = f(-1) ⇒f(-1 + 2) = 1+ f(-1)
1- f(-1) ⇒f(-1) =- 3
5 ⇒
f(2015) = f(-1) =- 3
5 .
56
已知f(x) 是定义在R 上的函数，且满足f(x + 2) [1 - f(x)] = 1 + f(x)，f(1) =
2018, 则f(2017) 的值为
【答案】2018
【解析】紧扣已知条件，并多次使用，发现f(x) 是周期函数，显然f(x) ≠1, 于是f(x + 2)
= 1+ f(x)
1- f(x) ，f(x + 4) = 1+ f(x+2)
1- f(x+2) =
1+ 1+ f(x)
1- f(x)
1- 1+ f(x)
1- f(x)
=-
1
f(x) . 所以f(x + 8) =-
1
f(x+4) =
f(x) , 故f(x) 是以8 为周期的周期函数，从而f(2017) = f(8 * 252 + 1) = f(1) = 2018.
结论十一、两线型
若函数y = f(x) 的图像关于直线x = a 与x = b(a ≠b) 对称，则y = f(x) 是以T = 2(b -
a) 为周期的周期函数。
推论：偶函数y = f(x) 满足f(a + x) = f(a - x) ⇔y = f(x) 的周期T = 2a.
57
设函数y = f(x) (x ∈R) 的图像关于直线x = 0 及直线x = 1 对称，且x ∈[0，1] 时，
f(x) = x2, 则f - 3
2


=
(
)
·58·
A. 1
2
B. 1
4
C. 3
4
D. 9
4
【答案】B
【解析】因为函数y = f(x) 关于直线x = 0 对称，所以f(x) = f(-x)。又函数f(x) 关于直线
x = 1 对称，所以f(1 - x) = f(1 + x). 则f(x) = f(-x) = f(1 - x - 1) = f(1 + x + 1) = f(x +
2), 可知f(x) 是周期为2 的周期函数，所以f - 3
2


= f
1
2


= 1
4 . 故选B.
57
已知定义域为R 的函数y = f(x) 在[0, 7] 上只有1 和6 两个零点，且y = f(x + 2)
与y = f(x + 7) 都是偶函数，则函数y = f(x) 在[0, 2013] 上的零点个数为
(
)
A. 404
B. 804
C. 806
D. 402
【答案】C
【解析】因为f(x + 2)，f(x + 7) 为偶函数，所以f(x + 2) = f(-x + 2)，f(x + 7) = f(-x +
7)，所以f(x) 关于x = 2,x = 7 轴对称，所以f(x) 为周期函数，且T = 2 * (7 - 2) = 10，所以将
[0,2013] 划分为[0,10] ∪[10,20] ∪⋯∪[2000,2010] ∪[2010,2013]. 因为f(x) 关于x = 2，x
= 7 轴对称，所以f(x) = f(4 - x)，f(x) = f(14 - x). 因为f(1) = f(6) = 0，f(8) = f(14 - 8) =
f(6) = 0，f(3) = f(4 - 3) = f(1) = 0, 所以在[0，10] 中只含有四个零点，而[0,10] ∪[10,20] ∪
⋯∪[2000,2010] 共201 组，所以N = 201 * 4 = 804. 在[2010，2013] 中，含有零点f(2011) =
f(1) = 0，f(2013) = f(3) = 0 共两个。所以一共有806 个零点。故选C。
结论十二、一点一线型
若函数y = f(x) 的图像关于直线x = a 对称且关于(b,0) 中心对称(a ≠b), 则y = f(x) 是
以T = 4(b - a) 为周期的周期函数。
推论：奇函数y = f(x) 满足f(a + x) = f(a - x) ⇔y = f(x) 的周期T = 4a.
58
已知f(x) 是定义在R 上的奇函数，且f(2 - x) = f(x), 若f(1) = 3, 则f(1) + f(2) +
f(3) +⋯+f(2018) =
(
)
A. - 3
B. 0
C. 3
D. 2018
【答案】C
【解析】因为f(x) 为(-∞，+∞) 上的奇函数，所以f(-x) =-f(x) 且f(0) = 0, 又因为f(2 -
x) = f(x), 所以f(x) =-f(x - 2) =- [-f(x - 4)] = f(x - 4), 所以f(x) 是周期为4 的周期函
数，又f(1) = 3,f(2) = f(2 - 2) = f(0) = 0, 所以f(3) = f(3 - 4) = f(-1) =-f(1) =-3,f(4) =
f(0) = 0, 所以f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 0,f(1) + f(2) + f(3) +⋯+f(2018) = f(1) + f(2) =
3. 故选C。
58
奇函数f(x) 的定义域为R，若f(x + 2) 为偶函数，且f(1) = 1, 则f(8) + f(9) =
【答案】1
【解析】因为f(0) = 0，f(-x) =-f(x),f(x + 2) = f(-x + 2), 所以f(x + 4) = f(-x) =
-f(x), 所以f(x + 8) = f(x),T = 8, 故f(8) + f(9) = f(0) + f(1) = 1.
结论十三、两点型
·59·
若函数y = f(x) 的图像关于点(a,0) 与点(b,0) (a ≠b) 对称，则y = f(x) 是以T = 2(b -
a) 为周期的周期函数。
推论：奇函数y = f(x) 满足f(a + x) =-f(a - x) ⇔y = f(x) 的周期T = 2a.
59
函数f(x) 的定义域为R，若f(x + 1) 与f(x - 1) 都是奇函数，则
(
)
A.f(x) 是偶函数B.f(x) 是奇函数B.f(x) = f(x + 2)D.f(x + 3) 是奇函数
【答案】D
【解析】从已知条件入手可先看f(x) 的性质，由f(x + 1),f(x - 1) 为奇函数分别可得到f(x
+ 1) =-f(-x + 1)，f(x - 1) =-f(-x - 1), 所以f(x) 关于(1, 0),(-1, 0) 中心对称，可求得周
期T = 2 * [1 - (-1)] = 4, 所以C 不正确，且由已知条件无法推出一定符合A,B 选项。对于
D 选项，因为T = 4, 所以f(x - 1) = f(x - 1 + 4) = f(x + 3). 因为f(x - 1) 是奇函数，所以f(x
+ 3) 为奇函数，故选D.
59
已知函数f(x) 是定义在R 上的奇函数，且满足f(4 - x) =-f(x), 当x ∈(0, 2) 时,
f(x) = 2x2, 则f(2015) =
(
)
A. - 2
B. 2
C. - 98
D. 98
【答案】A
【解析】根据题意，函数f(x) 满足f(4 - x) =-f(x), 则f(x) 关于点(2, 0) 对称，又因为
f(x) 是奇函数，则f(x) 关于点(0,0) 对称，所以函数f(x) 是周期为4 的周期函数，则f(2015)
= f(-1 + 4 * 504) = f(-1), 又因为函数为奇函数，则f(-1) =-f(1) =- (2 * 12) =-2, 故
f(2015) = -2, 故选A.
·60·
第8 讲
二次函数
通关一、二次函数的解析式
(1) 一般式：f(x) = ax2+ bx + c(a ≠0).
(2) 顶点式：f(x) = a(x - m)2 + n(a ≠0), 其中(m,n) 为抛物线顶点坐标，x = m 为对称
轴方程
(3) 双根式：f(x) = a(x - x1) (x - x2) (a ≠0), 其中x1,x2是抛物线与x 轴交点的横坐标。
通关二、二次函数的图像和性质
解析式
y = ax2+ bx + c(a > 0)
y = ax2+ bx + c(a < 0)
图像
定义域
R
值域
y ∈
4ac-b2
4a
,+∞



y ∈-∞，4ac-b2
4a



对称轴
x =- b
2a
顶点坐标
- b
2a , 4ac-b2
4a


奇偶性
当b = 0 时为偶函数，当b ≠0 时为非奇非偶函数
单调性
x ∈-∞,- b
2a


时是减函数；
x ∈- b
2a ，+∞


时是增函数；
x ∈- b
2a ，+∞


时是减函数；x ∈
-∞,- b
2a


时是增函数；
最值
当x =- b
2a 时，
ymin= 4ac-b2
4a
当x =- b
2a 时，
ymax = 4ac-b2
4a
【评注】可以直接根据二次函数的性质比较两个函数值的大小。若二次函数的图像开口
向上，则到对称轴距离大的自变量对应的函数值较大；若二次函数的图像开口向下，则到对称
轴距离大的自变量对应的函数值较小。
·61·
结论一、y = ax2 + bx + c(a ≠0) 的性质与a,b,c 的关系
关于a,b,c 的代
数式
作用
说明
a
决定开口
方向与大
小；决定单
调性
a > 0
向口向上，a 越小开口越大，
-∞，- b
2a


为单调递减区间，
- b
2a ，+∞


为单调递增区间
a < 0
向口向下，|a| 越小开口越大，
-∞，- b
2a


为单调递增区间，
- b
2a ，+∞


为单调递减区间
b
决定奇偶
性
b = 0
偶函数
b ≠0
非奇非偶函数
c
决定与y
轴交点位
置
c > 0
交点在x 轴上方
c = 0
过原点
c < 0
交点在x 轴下方
- b
2a
决定对称
轴位置
ab > 0
在y 轴左侧
b = 0
对称轴是y 轴
ab < 0
在y 轴右侧
△= b2- 4ac
决定与x
轴的交点
个数
b2- 4ac > 0
两个交点
b2- 4ac = 0
一个交点
b2- 4ac < 0
无交点
- b
2a , 4ac-b2
4a


决定顶点
的位置
利用配方法把函数化为
y = a x+ b
2a


2+ 4ac-b2
4a
b2-4ac
|a|
决定与x
轴的两交
点间的距
离
|x1- x2| = -b-
b2-4ac
2a
- -b+
b2-4ac
2a


=
b2-4ac
|a|
60
设abc > 0，二次函数f(x) = ax2+ bx + c 的图像可能是
(
)
·62·
【答案】D
【解析】A 选项，由图像开口向下知a < 0，由对称轴位置知- b
2a < 0，所以b < 0。若abc
> 0，则c > 0，而由题图知f(0) = c < 0，所以A 选项不符；B 选项，由题意知a < 0，- b
2a > 0，
所以
b > 0. 若abc > 0, 则c < 0, 而由题图知f(0) = c > 0, 所以B 选项不符;C 选项, 由题图知a
> 0, - b
2a < 0, 所以b > 0. 若abc > 0, 则c > 0, 而由题图知f(0) = c < 0, 所以C 选项不符;D
选项, 由题图知a > 0, - b
2a > 0, 所以b < 0. 若abc > 0, 则c < 0, 而由题图知f(0) = c < 0, 所
以D 选项正确. 故选D.
60
右图是二次函数y = ax2 + bx + c 图像的一部分, 图像过点A(-3,0), 对称轴为x =
-1. 给出下面四个结论: ①b2> 4ac; ②2a - b =-1; ③a - b + c = 0; ④5a < b. 其中正确的是
(
)
A. ②④
B. ①④
C. ②③
D. ①③
【答案】B
【解析】因为图像与x 轴交于两点, 所以b2- 4ac > 0, 即b2> 4ac, ①正确. 对称轴为x =
-1, 即- b
2a =-1,2a - b = 0, ②错误. 结合图像, 当x =-1 时,y > 0, 即a - b + c > 0, ③错
误. 由对称轴为x =-1 知,b = 2a. 又函数图像开口向下, 所以a < 0, 所以5a < 2a, 即5a < b,
④正确. 故选B.
结论二、二次函数的对称性
二次函数f(x) = ax2 + bx + c(a ≠0) 的图像是一条抛物线, 对称轴方程为x =- b
2a , 顶点
坐标是- b
2a , 4ac-b2
4a


①如果二次函数y = f(x) 满足f x1


= f x2


, 那么函数y = f(x) 的图像关于x = x1+x2
2
对称.
②二次函数y = f(x) 使f(a + x) = f(a - x) 成立的充要条件是函数y = f(x) 的图像关于
直线x = a(a 为常数) 对称.
61
若f(x) =-x2+ (b + 2)x + 3,x ∈[b,c] 的图像关于x = 1 对称, 则c =
.
【答案】2
【解析】由题意可知b+2
2
= 1, 解得b = 0, 所以0+c
2
= 1, 解得c = 2.
·63·
61
已知二次函数f(x) = ax2 + bx + c, 如果f x1


= f x2


其中x1≠x2


, 则f x1+x2
2


=
.
【答案】4ac-b2
4a
【解析】因为f x1


= f x2


, 所以y = f(x) 的图像关于x = x1+x2
2
对称,f x1+x2
2


= 4ac-b2
4a
.
结论三、二次函数的单调性
二次函数f(x) = ax2+ bx + c(a ≠0)
(1) 当a > 0 时, 如图(a) 所示, 抛物线开口向上, 函数在-∞,- b
2a


上递减, 在
- b
2a ,+∞


上递增, 当x =- b
2a 时,f(x)min = 4ac-b2
4a
;
(2) 当a < 0 时, 如图(b) 所示, 抛物线开口向下, 函数在-∞,- b
2a


上递增, 在
- b
2a ,+∞


上递减, 当x =- b
2a 时,f(x)max = 4ac-b2
4a
.
62
已知函数f(x) =-x2+ kx 在[2,4] 上是单调函数, 则实数k 的取值范围为
.
【答案】k ≤4 或k ≥8
【解析】函数f(x) =-x2+ kx 的图像是开口向下的抛物线, 经过坐标原点, 对称轴是x =
k
2 . 因为已知函数在[2,4] 上是单调函数, 所以区间[2,4] 应在直线x = k
2 的左侧或右侧, 即
有k
2 ≤2 或k
2 ≥4, 解得k ≤4 或k ≥8.
62
若函数f(x) =-x2 + 2ax 在区间[0,1] 上是增函数, 在区间[3,4] 上是减函数, 则实
数a 的取值范围是
(
)
A. (0,3)
B. (1,3)
C. [1,3]
D. [0,4]
【答案】C
【解析】因为函数f(x) =-x2+ 2ax 在区间[0,1] 上是增函数, 在区间[3,4] 上是减函数,
所以对称轴x = a 应在x = 1 的右侧,x = 3 的左侧或与x = 1,x = 3 重合, 所以a ∈[1,3]. 故选
C.
·64·
结论四、给定区间上的值域
对二次函数f(x) = ax2 + bx + c(a ≠0), 当a > 0 时,f(x) 在区间[p,q] 上的最大值为M,
最小值为m, 令x0= p+q
2
:
(1) 若- b
2a ≤p, 则m = f(p),M = f(q);
(2) 若p <- b
2a < x0, 则m = f - b
2a


,M = f(q);
(3) 若x0≤- b
2a < q, 则m = f - b
2a


,M = f(p);
(4) 若- b
2a ≥q, 则m = f(q),M = f(p).
63
如果函数f(x) = (x - 1)2+ 1 定义在区间[t,t + 1] 上, 求f(x) 的最小值.
【答案】f(x)min =
(t-1)2+1, t>1
1,
0≤t≤1
t2+1,
t<0





【解析】函数f(x) = (x - 1)2+ 1, 其对称轴方程为x = 1, 顶点坐标为(1,1), 图像开口向上.
如图(a) 所示, 若顶点横坐标在区间[t,t + 1] 左侧时, 有1 < t, 此时, 当x = t 时, 函数取得最
小值f(x)min = f(t) = (t - 1)2+ 1.
如图(b) 所示, 若顶点横坐标在区间[t,t + 1] 上时, 有t ≤1 ≤t + 1, 即0 ≤t ≤1. 当x = 1
时, 函数取得最小值f(x)min = f(1) = 1. 如图(c) 所示, 若顶点横坐标在区间[t,t + 1] 右侧时,
有t + 1 < 1, 即t < 0. 当x = t + 1 时, 函数取得最小值,f(x)min = f(t + 1) = t2+ 1. 综上,f(x)min
=
(t-1)2+1, t>1
1,
0≤t≤1
t2+1,
t<0





63
已知二次函数f(x) 的最小值为1, 且f(0) = f(2) = 3.
(1) 求f(x) 的解析式;
(2) 若f(x) 在区间[2a,a + 1] 上不单调, 求a 的取值范围;
(3) 若x ∈[t,t + 2], 试求y = f(x) 的最小值.
【解析】(1) 因为f(x) 是二次函数, 且f(0) = f(2), 所以f(x) 图像的对称轴为x = 1. 又
f(x) 的最小值为1, 设f(x) = k(x - 1)2+ 1(k > 0), 又f(0) = 3, 所以k = 2. 所以f(x) = 2(x -
1)2+ 1 = 2x2- 4x + 3.
(2) 要使f(x) 在区间[2a,a + 1] 上不单调, 则2a < 1 < a + 1, 所以0 < a < 1
2 .
(3) 由(1) 知,y = f(x) 的对称轴为x = 1, 若t ≥1, 则y = f(x) 在[t,t + 2] 上是增函数,
·65·
ymin = 2t2- 4t + 3; 若t + 2 ≤1, 即t ≤-1, 则y = f(x) 在[t,t + 2] 上是减函数,ymin = f(t + 2)
= 2t2+ 4t + 3; 若t < 1 < t + 2, 即-1 < t < 1, 则ymin = f(1) = 1. 综上, 当t ≥1 时,ymin = 2t2-
4t + 3; 当-1 < t < 1 时,ymin = 1; 当t ≤-1 时,ymin = 2t2+ 4t + 3.
结论五、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的关系
设f(x) = ax2+ bx + c(a > 0)
①△< 0 ⇔函数y = f(x) 的图像与x 轴无交点⇔方程f(x) = 0 无实根⇔不等式f(x)
> 0 的解集为R ⇔不等式f(x) ≤0 的解集为∅.
②△= 0 ⇔函数y = f(x) 的图像与x 轴相切⇔方程f(x) = 0 有两个相等的实根⇔不等
式f(x) > 0 的解集为x x≠- b
2a



.
③△> 0 ⇔函数y = f(x) 的图像与x 轴有两个不同的交点⇔方程f(x) = 0 有两个不等
的实根:α,β(设α < β) ⇔不等式f(x) > 0 的解集为(-∞,α) ∪(β, +∞) ⇔不等式f(x) < 0 的
解集为(α,β).
64
设二次函数f(x) = ax2 + bx + c(a > 0), 方程f(x) - x = 0 的两个根x1,x2 满足0 <
x1< x2< 1
a
(1) 当x ∈0,x1


时, 证明x < f(x) < x1;
(2) 函数f(x) 的图像关于直线x = x0对称, 证明:x0< x1
2 .
【解析】证明(1) 由题意可知f(x) - x = a x-x1


x-x2


. 因为0 < x < x1< x2< 1
a , 所以
a x-x1


x-x2


> 0, 所以当x ∈0,x1


时,f(x) > x. 又f(x) - x1= a(x - x1

x-x2


+ x -
x1= x-x1


ax-ax2+1


,x - x1< 0 且ax - ax2+ 1 > 1 - ax2> 0, 所以f(x) < x1. 综上可
知, 所给问题获证.
(2) 由题意可知f(x) - x = ax2+ (b - 1)x + c, 它的对称轴方程为x = b-1
-2a , 由方程f(x)
- x = 0 的两个根x1,x2满足0 < x1< x2< 1
a , 可得0 < x1< b-1
-2a < x2< 1
a 得b-1
-2a - x1= x2
- b-1
-2a , 所以b-1
-2a - x1= x2- b-1
-2a < 1
a - b-1
-2a , 即- b
a < x1, 而x0=- b
2a , 故x0< x1
2 .
64
设关于x 的不等式x2 - (2a + 1)x + (a + 2) (a - 1) > 0 和x2- a2+a


x + a3 < 0(a
∈R) 的解集分别是A 和B.
(1) 若A ∩B = ∅, 求实数a 的取值范围;
(2) 是否存在实数a, 使得A ∪B = R? 如果存在, 求出a 的值, 如果不存在, 请说明理由.
【解析】(1)A = (-∞,a - 1) ∪(a + 2, +∞),B = x (x-a) x-a2


<0



①当a < 0 或a > 1 时,a2> a,B = a,a2


, 由A ∩B = ∅, 得a-1≤a
a2≤a+2

, 解得-1 ≤a ≤2.
所以-1 ≤a < 0 或1 < a ≤2.
②当a = 0 或a = 1 时,B = ∅,A ∩B = ∅显然成立.
·66·
③当0 < a < 1 时,B = a2,a


, 由A ∩B = ∅, 得a-1≤a2
a≤a+2

, 解得a ∈R. 所以0 < a < 1.
综上, 实数a 的取值范围是[-1,2].
(2) 假设存在实数a, 使得A ∪B = R, 则:
①当a < 0 或a > 1 时,a2> a,B = a,a2


, 由A ∪B = R, 得a<a-1
a+2<a2

, 所以a 不存在.
②当a = 0 或a = 1 时,B = ∅,A ∪B = R 显然不成立.
③当0 < a < 1 时,B = a2,a


, 由A ∪B = R, 得a2<a-1
a>a+2 ⇒a∈∅

.
综上, 不存在实数a 使得A ∪B = R 成立.
结论六、一元二次方程ax2+ bx + c = 0(a > 0) 根的分布
令f(x) = ax2+ bx + c(a > 0)
分布
情况
①两根都小于
k
②两根都大于k
③一个根小于k，一
个根大于k
④两根都在(m，n)
内
图像
(a >
0)
充要
条件
△≥0
- b
2a <k
f(k)>0





△≥0
- b
2a >k
f(k)>0





f(k) < 0
△≥0
m<- b
2a <n
f(m)>0
f(n)>0







分布
情况
⑤两根有且仅有一根在(m，n) 内
⑥两根都在
区间(m，n) 外
⑦x1 ∈(a，m)，
x2 ∈(n，b)
图像
(a >
0)
充要
条件
f(m) ⋅f(n) < 0
f(m)<0
f(n)<0

f(a)>0
f(m)<0
f(n)<0
f(b)>0





注:(1) 一元二次方程根的分布问题需考虑: ①△; ②对称轴; ③区间端点函数值的符号.
(2) 若f(k) < 0, 则不用考虑△、对称轴的范围; 方程有两根时要注意区分△> 0, 还是△≥0.
·67·
65
二次方程x2 + a2+1


x + a - 2 = 0, 有一个根比1 大, 另一个根比-1 小, 则a 的取
值范围是
(
)
A. - 3 < a < 1
B. - 2 < a < 0
C. - 1 < a < 0
D. 0 < a < 2
【答案】C
【解析】令f(x) = x2+ a2+1


x + a - 2, 则由题意可知f(1) < 0 且f(-1) < 0, 即
a2+a<0,
a2-a+2>0

, 解得-1 < a < 0. 故选C.
65
求实数m 的范围, 使关于x 的方程x2+ 2(m - 1)x + 2m + 6 = 0.
(1) 有两个实根, 且一个比2 大, 一个比2 小.
(2) 有两个实根α,β, 且满足0 < α < 1 < β < 4.
(3) 至少有一个正根.
【答案】(1)m <-1(2) - 7
5 < m <- 5
4 (3)m ≤-1
【解析】y = f(x) = x2+ 2(m - 1)x + 2m + 6.
(1) 依题意有f(2) < 0, 即4 + 4(m - 1) + 2m + 6 < 0, 得m <-1.
(2) 依题意有
f(0)=2m+6>0
f(1)=4m+5<0
f(4)=10m+14>0

, 解得- 7
5 < m <- 5
4 .
(3) 方程至少有一个正根, 则有三种可能:
①有两个正根, 此时可得
△≥0)>0
f(0)>0
2(m-1)
-2
>0





, 即
m≤-1或m≥5
m>-3
m<1

, 所以-3 < m ≤-1.
②有一个正根, 一个负根, 此时可得f(0) < 0, 得m <-3.
③有一个正根, 另一根为0, 此时可得6+2m=0
2(m-1)<0

, 所以m =-3.
综上,m ≤-1.
·68·
第9 讲
指数运算及指数函数
通关一、根式的概念和性质
n 次方根
概念
一般地，如果xn= a，那么x 叫作a 的n 次方根，其中n > 1,n
∈N *.
性质
①当n 是奇数时, 正数的n 次方根是一个正数, 负数的n 次方根
是一个负数. 这时,a 的n 次方根用符号n a 表示.
②当n 是偶数时, 正数a 的n 次方根有两个, 这两个数互为相反
数. 这时, 正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示, 负的n 次方
根用符号- n a 表示. 正的n 次方根与负的n 次方根可以合并
写成± n a(a > 0). 负数没有偶次方根.
③0 的任何次方根都为0，记作n 0 = 0.
根式
概念
式子n a 叫作根式，这里n 叫作根指数，a 叫作被开方数.
性质
①( n a)n= a(n > 1, 且n ∈N *).
②当n 为奇数时,
n an = a.
③当n 为偶数时,
n an = |a| = a,
a≥0
-a, a<0

.
通关二、指数函数y = ax(a > 0, 且a ≠1) 的图像与性质
0 < a < 1
a > 1
图像
定义域
R
值域
(0，+∞)
奇偶性
非奇非偶函数
对称性
函数y = a - x 与y = ax 的图像关于y 轴对称
过定点
过定点(0，1)，即x = 0 时，y = 1
·69·
单调性
在R 上是减函数
在R 上是增函数
函数值的
变化情况
当x < 0 时,y > 1; 当x > 0 时,0 < y
< 1
当x > 0 时,y > 1; 当x < 0 时,0
< y < 1
底数对图
像的影响
指数函数在同一坐标系中的图像的相对位置与底数大小关系如图所示, 其中
0 < c < d < 1 < a < b.
①在y 轴右侧, 图像从上到下相应的底数由大变小;
②在y 轴左侧, 图像从下到上相应的底数由大变小.
结论一、指数基本运算
当a > 0,b > 0 时, 有:
①am ⋅an= am+n(m,n ∈R); ②am
an = am-n(m,n ∈R); ③am


n= amn(m,n ∈R);
④(ab)m = ambm(m ∈R); ⑤a
-p = 1
a
p (p ∈Q); ⑥a
m
n =
n am m,n∈N *


.
66
化简并求值.
(1) ( 8)
- 2
3 × ( 3 25)
9
4 ×
1
125 ;(2)
a3b2 3 ab2
a
1
4b
1
2


4
a
- 1
3b
1
3
【解析】(1) ( 8)
- 2
3 × ( 3 25)
9
4 ×
1
125 = 2
3
2


- 2
3 × 5
2
3


9
4 × 5
- 3
2 = 2-1× 50= 1
2 ;
(2)
a3b2⋅
3 ab2
a
1
4b
1
2


4
⋅a
- 1
3b
1
3 =
a3b2⋅a
1
3b
2
3


1
2
ab2⋅a
- 1
3b
1
3
= a
5
3b
4
3
a
2
3b
7
3 = ab-1= a
b .
66
化简并求值.
(1) 若a = 2,b = 4, 求
a+
3 a2b


÷ b+
3 ab2


-1
3 a- 3 b
-
1
3 b 的值;
(2) 若x
1
2 + x
- 1
2 = 3, 求x
3
2 +x
- 3
2 -3
x2+x-2-2 的值;
(3) 设a = 2014
1
n -2014
- 1
n
2
n∈N *


, 求
1+a2-a


n的值.
【解析】(1)
a+
3 a2b


÷ b+
3 ab2


-1
3 a- 3 b
-
1
3 b = a-b+
3 a2b-
3 ab2
( 3 a- 3 b) b+
3 ab2


-
1
3 b
=
( 3 a- 3 b)
3 a2+ 3 ab+
3 b2


+ 3 ab( 3 a- 3 b)
( 3 a- 3 b) b+
3 ab2


-
1
3 b = ( 3 a+ 3 b)2
b+
3 ab2
-
1
3 b
=
( 3 a+ 3 b)2
3 b2( 3 a+ 3 b)
-
1
3 b =
3 a
3 b2 . 当a = 2,b = 4 时, 原式=
3 2
3 16 =
3 2
2 3 2 = 1
2 .
·70·
(2) 先对所给条件等价变形:
x + x-1= x
1
2 +x
- 1
2


2
- 2 = 32- 2 = 7,x
3
2 + x
- 3
2 = x
1
2 +x
- 1
2


x+x-1-1


= 3 × 6 = 18,
x2+ x-2= x+x-1


2- 2 = 72- 2 = 47. 故x
3
2 +x
- 3
2 -3
x2+x-2-2 = 18-3
47-2 = 1
3 .
(3) 因为a = 2014
1
n -2014
- 1
n
2
, 所以1 + a2=
2014
1
n +2014
- 1
n
2


2
, 所以
1+a2 - a =
2014
1
n +2014
- 1
n
2
- 2014
1
n -2014
- 1
n
2
= 2×2014
- 1
n
2
= 2014
- 1
n. 所以
1+a2-a


n=
2014
- 1
n


n
=
1
2014 .
结论二、指数比较大小
1. 对于底数相同, 指数不同的两个幂的大小比较, 可以利用指数函数的单调性来判断;
2. 对于底数不同, 指数相同的两个幂的大小比较, 可以利用指数函数图像的变化规律来
判断;
3. 对于底数不同, 且指数也不同的幂的大小比较, 可先化为同底的两个幂, 或者通过中
间值来比较.
67
设a =
3
5


2
5,b =
2
5


3
5,c =
2
5


2
5, 则a,b,c 的大小关系是
(
)
A. a > c > b
B. a > b > c
C. c > a > b
D. b > c > a
【答案】A
【解析】对于函数y =
2
5


x, 在其定义域上是减函数. 因为3
5 > 2
5 , 所以
2
5


3
5 <
2
5


2
5, 即
b < c. 在同一平面直角坐标系中画出函数y =
3
5


x和函数y =
2
5


x的图像, 可知
3
5


2
5 >
2
5


2
5, 即a > c. 从而a > c > b. 故选A.
67
若2m > 2n> 1, 则
(
)
A. 1
m > 1
n
B. log 1
2m > log 1
2n
C. ln(m - n) > 0
D. πm-n> 1
【答案】D
【解析】因为2m > 2n> 1, 所以由指数函数的单调性可得m > n. 因为m,n 的符号不确
定, 所以当m < 0,n < 0 时, 可排除A,B 选项; 当m = 3
2 ,n = 1 时, 可排除C 选项; 由指数函数
的性质可判断πm-n> 1 正确. 故选D.
结论三、指数函数过定点
指数函数y = ax(a > 0 且a ≠1) 的图像恒过点(0,1),(1,a), -1, 1
a


，且函数的图像经过
·71·
第一、二象限.
68
函数f(x) = ax+1- 2(a > 0,a ≠1) 的图像必过定点
.
【答案】(-1, -1)
【解析】f(x) = ax+1- 2(a > 0,a ≠1), 令x + 1 = 0, 则x =-1. 当x =-1 时，f(-1) = a-1+1
- 2 = 1 - 2 =-1, 所以f(x) 必过点(-1, -1).
68
已数函数f (x) = a2x-4 - 1(a > 0 且a ≠1) 的图像恒过定点P(m,n), 则m =
.
n =
.
【答案】2,0
【解析】令2x - 4 = 0, 求得x = 2,y = 0, 图像经过定点(2,0), 即m = 2,n = 0.
结论四、底数a 对指数函数图像的影响
1．底数a 与1 的大小关系决定了指数函数图像的“升降”：当a > 1 时，指数函数的图像
“上升”；当0 < a < 1 时，指数函数的图像“下降”.
2. 底数的大小决定了图像相对位置的高低: 不论是a > 1 还是0 < a < 1, 在第一象限内，
自上向下，图像对应的指数函数的底数逐渐变小.
3. 作直线x = 1 所给指数函数图像相交, 交点的纵坐标为该指数函数的底数, 由此可判断
多个指数函数底数的大小关系.
4. y = ax(a > 0 且a ≠1) 在第一象限的图像, a 越大, 图像越靠近y 轴; a 越小, 图像越靠
近x 轴.
69
右图是指数函数(1) y = ax,(2)y = bx, (3) y = cx, (4) y = dx 的图像, 则a,b,c,d 与1
的大小关系为
(
)
A. a < b < 1 < c < d
B. b < a < 1 < d < c
C. 1 < a < b < c < d
D. a < b < 1 < d < c
【答案】B.
【解析】有图像可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1，过点(1,0) 作直线x = 1, 在
第一象限内分别与各曲线相交, 由图像可知1 < d < c,b < a < 1, 从而可得a,b,c,d 与1 的大
小关系为b < a < 1 < d < c.
69
已知函数f(x) =
1
2


x-1+ b 的图像不经过第一象限, 则实数b 的取值范围是
(
)
A. b <-1
B. b ≤-1
C. b ≤-2
D. b <-2
【答案】C
【解析】因为函数f(x) 为减函数, 所以若函数f(x) =
1
2


x-1 + b 的图像不经过第一象限,
则满足f(0) = 2 + b ≤0, 即b ≤-2. 故选C.
·72·
结论五、指数数数单调
若a > 1,y = ax在R 上是增函数; 若0 < a < 1,y = ax在R 上是増函数.
要点诠释：指数增减要看清, 抓着底数不放松，反正底数大于零，不等于1 已表明. 底数若
是大于1 , 图像从下向上增；底数0 到1 之间，图像从上往下减. 无论函数增和减，图像都过(0,
1) 点.
70
函数y = a x(a > 0 且a ≠1) 在[1,2] 上的最大值比最小值大a
2 ，则a 的值是
.
【答案】1
2 或3
2
【解析】当0 < a < 1 时，函数y = ax 在[1,2] 上单调递减，故在[1,2] 上的最大值为a，最小
值为a2, 则a - a2 = a
2 , 得a
2 = a2. 又0 < a < 1，所以a = 1
2 . 当a > 1 时，函数y = ax 在[1,2]
上单调递增, 故在[1,2] 上的最大值为a2, 最小值为a, 那么a2 - a = a
2 , 得a2 = 3
2 a. 又a >
1, 所以a = 3
2 . 综上，a 的值是1
2 或3
2 .
70
函数y = ax在[0,1] 上的最大值与最小值的和为3 , 则a 等于
(
)
A. 1
2
B. 2
C. 4
D. 1
4
【答案】B
【解析】解法一：当a > 1 时, y = ax为单调递增函数, 在[0,1] 上的最值分别为ymax =
f(1) = a,ymin = f(0) = 1, 所以a + 1 = 3, 解得a = 2 > 1.
当0 < a < 1 时, y = ax为单调递减函数, 在[0,1] 上的最值分别为ymax = f(0) = 1,ymin =
f(1) = a, 所以a + 1 = 3, 解得a = 2 > 1, 这与0 < a < 1 矛盾.
综上, a = 2. 故选B.
解法二：因为y = ax是单调函数, 所以y = ax必在区间[0,1] 的端点处取得最大值和最
小值, 因此a + 1 = 3, 从而a = 2. 故选B.
·73·
第10 讲
对数运算及对数函数
通关一、对数恒等式与对数的杜质
对数恒等式：a
loguN = N.
对数logaN(a > 0 且a ≠1 ) 具有下列性质：
(1) 零和负数没有对数, 即N > 0;
(2)1 的对数为零, 即loga1 = 0;
(3) 底的对数等于1 , 即logaa = 1.
通关二、常用对数与自然对数
对数logaN(a > 0 且a ≠1),
(1) 当a = 10 时, 叫作常用对数, 记作lgN;
(2) 当a = e 时, 叫作自然对数, 记作lnN.e 为无理数, e ≈2.71828.
对数式与指数式的关系及相互转换
通关三、对数函数的图像和性质
函数y = logax(a > 0 且a ≠1) 的图像特征和性质.
·74·
结论一、对数基本运算
当a > 0,a ≠1,M > 0,N > 0 时：(1)loga(MN) = logaM + logaN；(2)loga M
N


= logaM -
logaN；(3)loganM m = m
n logaM
71
求下列各式的值.
(1)lg25 + lg2 ⋅lg50 + (lg2)2;
(2)
(lg3)2-lg9+1(lg 27+lg8-lg 1000)
lg0.3⋅lg1.2
(3) log32+log92


⋅log43+log83


.
【答案】(1)2 
(2) - 3
2 (3) 5
4
【解析】(1) 原式= (lg2)2+ (1 + lg5)lg2 + lg52= (lg2 + lg5 + 1)lg2 + 2lg5
= (1 + 1)lg2 + 2lg5 = 2(lg2 + lg5) = 2.
(2) 原式=
(lg3)2-2lg3+1
3
2 lg3+3lg2- 3
2


(lg3-1)⋅(lg3+2lg2-1)
=
(1-lg3)⋅3
2 (lg3+2lg2-1)
(lg3-1)⋅(lg3+2lg2-1)
=- 3
2 .
(3) 原式=
lg2
lg3 + lg2
log9


⋅
lg3
lg4 + lg3
lg8


=
lg2
lg3 + lg2
2lg3


⋅
lg3
2lg2 + lg3
3lg2


= 3lg2
2lg3 ⋅5lg3
6lg2
= 5
4 .
71
求下列各式的值.
(1)3log32 - log3 40
9 + log35 - 5
2log53.
(2) lg2 - lg 1
4 + 3lg5 - log32 ⋅log49
(3) 设2x= 3
y = 5x= 30, 求1
x + 1
y + 1
z 的值.
【答案】(1) - 7(2)2(3)1
·75·
【解析】(1)3log32 - log3 40
9 + log35 - 5
2log33= log38 - log3 40
9 + log35 - 5
logg
= log3 8× 9
40 ×5


- 9 = log39 - 9 = 2 - 9 =-7.
(2)lg2 - lg 1
4 + 3lg5 - log32 ⋅log49 = lg2 - lg2-2 + 3lg5 - log32 ⋅log23 = lg2 + 2lg2 +
3lg5 - 1
= 3(lg2 + lg5) - 1 = 3lg10 - 1 = 3 - 1 = 2
(3) 设2x = 3
y = 52 = 30, 则x = log230,y = log330,z = log530, 所以1
x + 1
y + 1
z =
1
log230 +
1
log330 +
1
log530 = log302 + log303 + log305 = log30(2 × 3 × 5) = log3030 = 1
结论三、换底公式
1. 换底公式: logab = logcb
logca (a > 0,a ≠1,c > 0,c ≠1,b > 0).
2. 倒数关系: logab =
1
logba (a > 0,a ≠1,b > 0,b ≠1).
72
已知2a= 3,3b= 7, 则log756 =
.(结果用a,b 表示)
【答案】ab+3
ab
【解析】因为2a= 3, 所以a = log23 = lo3
lg2 . 因为3b= 7, 所以b = log37 = lg7
lg3 . 所以log756
= lg56
lg7 = lg7+lg8
lg7
= lg7+3lg2
lg7
=
blg3+3 lg3
a
blg3
= ab+3
ab
.
72
若2a= 5b= 10, 则1
a + 1
b =
(
)
A. 1
2
B. 1
C. 3
2
D. 2
【答案】B
【解析】因为2a= 5b= 10, 所以a = log210,b = log510. 所以1
a + 1
b =
1
log210 +
1
log510
= lg2 + lg5 = lg(2 × 5) = lg10 = 1. 故选B.
结论三、对数比大小
1．若底数为同一个常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，
则需对底数进行分类讨论.
2. 若底数不同, 真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较.
73
已知a =
1
2


0.3,b = log 1
20.3,c = log2 1
2 , 则a,b,c 的大小关系是
(
)
A. a < b < c
B. c < a < 6
C. a < c < b
D. b < c < a
·76·
【答案】B
【解析】因为a =
1
2


0.3 ∈(0,1),b = log 1
20.3 > log 1
2
1
2 = 1,c = log2 1
2 =-1, 所以c < a < b.
故选B.
73
设正数a,b 满足log2a = log3b, 给出下列五个结论, 其中不中能成立的结论的序号
是
(1) 1 < a < b;(2)0 < b < a < 1;(3)a = b; (4)1 < b < a;(5)0 < a < b < 1.
【答案】(4) (5)
【解析】因为实数a,b 满足log2a = log3b, 即y = log2x 在x = a 处的函数值和y = log3x
在x = b 处的函数值相等, 当a = b = 1 时，log2a = log3b = 0, 此时(3) 成立. 作出直线y = 1,
由图像知, 此时log2a = log3b = 1,
得a = 2,b = 3, 由此知(1) 成立, (4) 不成立. 作出直线y =-1, 由图像知，此时log2a =
log3b =-1, 可得a = 1
2 ,b = 1
3 , 由此知(2) 成立，(5) 不成立. 综上可知, 不可能成立的结论
的序号是(4) (5).
结论四、对数函数过定点
对数函数y = logax(a > 0 且a ≠1) 的图像恒过点(1,0),(a,1), 1
a ,-1


, 且函数图像经过
第一、四象限.
74
已知函数y = 3 + loga(2x + 3) (a > 0 且a ≠1) 的图像必经过点P, 则P 点坐标是
.
【答案】(-1,3)
【解析】令2x + 3 = 1 得x =-1, 则loga(2x + 3) = loga1 = 0. 故函数y = 3 + loga(2x + 3)
的图像必过定点(-1,3).
74
已知a > 0, 且a ≠1, 函数y = loga(2x - 3) +
2 的图像恒过点P, 若P 在幂函数
f(x) 的图像上, 则f(8) =
.
【答案】2 2
【解析】因为loga1 = 0，令2x - 3 = 1，即x = 2 时，y = loga(2x - 3) +
2 = loga1 +
2 =
2，所以点P 的坐标是(2，, 2). 由题意令y = f(x) = xα，由于图像过P 点，所以
2 = 2α，α
= 1
2 ，所以y = f(x) = x
1
2，f(8) = 8
1
2 = 2 2. 故答案为2 2.
·77·
结论五、底数a 对对数函数图像的影响
1. 底数a 与1 的大小关系决定了对数函数图像的“升降”: 当a > 1 时, 对数函数的图像
“上升”; 当0 < a < 1 时, 对数函数的图像“下降".
2. 底数的大小决定了图像相对位置的高低: 不论是a > 1 还是0 < a < 1, 在第一象限内,
自左向右, 图像对应的对数函数的底数逐渐变大.
3. 作直线y = 1 与所给图像相交, 交点的横坐标为该对数函数的底数, 由此可判断多个对
数函数底数的大小关系.
4. y = logax(a > 0 且a ≠1) 在第一象限的图像, a 越大, 图像越靠近x 轴; a 越小,
图像越靠近y 轴.
75
如图所示, 曲线C1,C2,C3,C4 是底数分别为a,b,c,d 的对数函数的图像, 则a,b,c,d
的可能取值依次为
(
)
A. 3,2，1
3 ，1
2
B. 2,3，1
3 ，1
2
C. 2,3，1
2 ，1
3
D. 3,2，1
2 ，1
3
【答案】B
【解析】如图所示, 作直线y = 1 交C1,C2,C3,C4 于点A,B,C,D, 其横坐标大小为0 < c < d
< 1 < a < b, 那么C1,C2,C3,C4所对应的的底数a,b,c,d 的值可能依次为2,3，1
3 ，1
2 . 故选B.
75
已知函数f(x) = loga(2x + b - 1) (a > 0,a ≠1) 的图像如图所示, 则a,b 满足的关系
·78·
是
(
)
A. 0 < a-1< b < 1
B. 0 < b < a-1< 1
C. 0 < b-1< a < 1
D. 0 < a-1< b-1< 1
【答案】A
【解析】由函数图像可知, f(x) 在R 上单调递增, 故a > 1. 函数图像与y 轴的交点坐标
(0，logab), 由函数图像可知-1 < logab < 0, 解得1
a < b < 1 . 综上, 有0 < 1
a < b < 1. 故选
A.
结论六、对数函数单调性
若a > 1，y = logax 在(0, +∞) 上是增函数;
若0 < a < 1，y = logax 在(0, +∞) 上是減函数.
要点诠释：对数增减有思路, 函数图像看底数, 底数只能大于0 , 等于1 来也不行. 底数若
是大于1, 图像从下往上增, 底数0 到1 之间，图像从上往下减. 无论函数增和减, 图像都过(1,
0) 点.
76
设a > 1，函数f(x) = logax 在区间[a,2a] 上的最大值与最小值之差为1
2 ，则a =
(
)
A.
2
B. 2
C. 2 2
D. 4
【答案】D
【解析】因为对数函数的底数a > 1, 所以函数f(x) = logax 在[a,2a] 上单调递增, 故f(x)
max = loga2a, f(x)min = logaa = 1，loga2a - 1 = 1
2 即loga2 = 1
2 , 解得a = 4. 故选D.
76
函数f(x) = ax + loga(x + 1) 在[0,1] 上的最大值和是小值之和为a，则a 的值为
.
答案1
2
【解析】由题意知函数f(x) 为单调函数, 所以f(0) + f(1) = a ⇒loga2 =-1 ⇒a = 1
2 .
·79·
第11 讲
幂的运算及幂函数
通关一、五种常见幂函数的图像与性质
知识通关
通关二、幂函数的性质
1. 幕函数在(0, +∞) 上都有定义；
2. 幕函数的图像过定点(1,1)；
3. 当α > 0 时, 幕函数的图像都过点(1,1) 和(0,0) , 且在(0, +∞) 上单调递增；
4. 当α < 0 时, 幕函数的图像都过点(1,1) , 且在(0, +∞) 上单调递减；
5. 幕函数在第四象限无图像.
结论一、幂函数的图像特征
1. 当α < 0 时, 函数图像与坐标轴没有交点, 类似于y = x-1 的图像, 且在第一象限内, 逆
时针方向指数在增大;
2. 当α > 0 时, 函数图像倾向x 轴, 类似于y =
x 的图像;
·80·
3. 当α > 1 时, 函数图像倾向y 轴, 类似于y = x3 的图像，而且逆时针方向指数在增大，再
结合函数的奇偶性可得一般幂函数的图像及性质.
77
以下命题正确的是
(
)
①幂函数的图像都经过(0,0)；②幂函数的图像不可能出现在第四象限；
③当n = 0 时，函数y = xn的图像是两条射线；
④若y = xn(n < 0) 是奇函数，则y = xn在定义域内为减函数.
A. ①②
B. ②④
C. ②③
D. ①③
【答案】C
【解析】①幂函数的图像不都经过(0,0) , 比如y = 1
x ，因此错误；
②因为当x > 0 时, xα> 0, 幂函数的图像不可能出现在第四象限，因此正确；
③当n = 0 时, 函数xα> 0 的图像是一条直线，但是去掉(0,1), 因此正确;
④若y = xn(n < 0) 是奇函数, 则y = xn 在定义域内不具有单调性, 例如y = 1
x , 不正确.
综上, 故选C.
77
如图所示的曲线是幂函数y = xα 在第一象限的图像, 已知α ∈-4,- 1
4 , 1
4 ,4


,
相应曲线C1,C2,C3,C4对应的α 值依次为
(
)
A. - 4, - 1
4 ，1
4 ，4
B. 4, 1
4 ，- 1
4 ，-4
C. - 1
4 ，-4，4, 1
4
D. 4, 1
4 ，-4，- 1
4
【答案】B
【解析】结合幂函数的单调性及图像, 易知曲线C1,C2,C3,C4 对应的α 值依次为4, 1
4 ，
- 1
4 ，-4, . 故选B.
结论二、幂函数比较大小
1．当幂的底数相同，指数不同时，可以利用指数函数的单调性比较；
2．当幂的底数不同，指数相同时，可以利用幂函数的单调性比较；
·81·
3．当幂的底数和指数都不相同时，一种方法是作商，通过商与1 的大小关系确定两个幂
值的大小；另一种方法是运用媒介法，即找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大
小，确定两个幂值的大小；
4．比较多个幂值的大小，一般也采用媒介法，即先判断这组数中每个幂值与0，1, 等数的
大小关系，据此将它们分成若干组，然后将同一组内的各数再利用相关方法进行比较，最终确
定各数之间的大小关系.
78
已知0 < m < n < 1 且1 < a < b，则下列各式中一定成立的是
(
)
A. bm > an
B. bm < an
C. mb> na
D. mb< na
【答案】D
【解析】因为f(x) = xa(a > 1) 在(0, +∞) 上为单调递增函数，且0 < m < n < 1，所以mα <
na.
又g(x) = mx(0 < m < 1) 在R 上为单调递减函数，且1 < a < b，所以mb< ma.
综上，mb< na. 故选D.
78
当0 < a < b < 1，下列不等式正确的是
(
)
A. (1 - a)
1
b > (1 - a)b
B. (1 + a)a> (1 + b)b
C. (1 - a)b> (1 - a)
b
2
D. (1 - a)a> (1 - b)b
【答案】D
【解析】因为0 < (1 - a) < (1 - b) < 1，又函数y = (1 - b)x 为减函数，y = xa 在(0,1) 上为
增函数，
所以(1 - b)b< (1 - b)a< (1 - a)a. 故选D.
结论三、幂函数单调性
若α > 0,y = xα在(0, +∞) 上是增函数；若α < 0,y = xα在(0, +∞) 上是减函数.
79
幂函数f(x) = (m2- m - 1)xm2+m-3在(0, +∞) 上是减函数，则实数m 的值为
(
)
A. 2 或-1
B. - 1
C. - 2
D. - 2 或1
【答案】B
【解析】由于幂函数f(x) = (m2- m - 1)xm2+m-3在(0, +∞) 上是减函数，
故有m2-m-1=1
m2+m-3<0

，解得m =-1. 故选B.
79
已知幂函数f(x) = (m2- m - 1)x-2m-1在(0, +∞) 上单调递增.
(1) 求实数m 的值；
(2) 若(k + 1)m < (3 - 2k)m，求实数k 的取值范围.
【答案】(1) - 1 ；(2) (-∞, -1) ∪
2
3 , 3
2


【解析】(1) 由题意得m2- m - 1 = 1，解得m =-1 或m = 2. 因为f(x) 在(0, +∞) 上
·82·
单调递增，所以-2m - 1 > 0，即m <- 1
2 ，所以m =-1.
(2) 由于y = 1
x 在区间(-∞,0),(0, +∞) 上都是减函数，分三种情况讨论：
①当k + 1 < 0 < 3 - 2k，即k <-1 时，原不等式成立；
②当k + 1 < 0 且3 - 2k < 0 时，有k + 1 > 3 - 2k，即
k<-1
k> 3
2
k> 2
3





，解集为空集；
③当k + 1 > 0，且，3 - 2k > 0 时，有，k + 1 > 3 - 2k 解得2
3 < k < 3
2 .
综上可知，k 的取值范围是(-∞, -1) ∪
2
3 , 3
2


.
·83·
第12 讲
分段函数
通关一、分段函数的含义
所谓“分段函数”习惯上指在定义域的不同部分，有不同对应法则的函数.
对它应有以下两点基本认识：
(1) 分段函数是一个函教，不要把它误认为是几个函数；
(2) 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.
通关二、分段函数求值与不等式
1. 根据自变量所在的区间代入相应段的函数解析式，若涉及复合函数值，从内到外逐步
求值，注意相应自变量所在的区间；
2. 已知函数值求自变量(或参数) 的值，通过分类讨论化为若干个方程组求解，要充分利
用分段函数在各段上的值域，减少运算量；
3. 与分段函数有关的不等式问题，充分考虑分段函数的单调性，通过分类讨化为不等式
组求解；
4. 已知分段函数的函数值求自变量或参数的范围问题，一般画出分段函数的像，观察在
相应区间上函数图像与相应直线交点的横坐标的范围，列出函数满足的不等式，从而解出参
数范围.
结论一、分段函数求值
设分段函数f(x) =
f1(x),x∈I1
f2(x),x∈I2

, 已知x0，求f(x0)：
(1) 判断x0的范围，即看x0∈I1，还是x0∈I2；(2) 代入相应解析式求解.
80
若函数f(x) = log2x, x>0
ex,
x≤0

，则f
1
2




=
(
)
A. 1
e
B. e
C. 1
e2
D. e2
【答案】A
【解析】函数f(x) = log2x, x>0
ex,
x≤0

, 因为1
2 > 0，所以f
1
2


= log2 1
2 =-1.
又因为-1 < 0，所以f(-1) = e-1= 1
e , 即f f
1
2




= 1
e . 故选A.
·84·
80
已知f(x) =
log2(1-x2), -1<x<1
sin πx
3 ,
x≥1

，则f 31
2


+ f
3
2


=
(
)
A. 5
2
B. - 5
2
C. - 3
2
D. - 1
2
【答案】B
【解析】因为f(x) =
log2(1-x2), -1<x<1
sin πx
3 ,
x≥1

，
所以f
31
2


+ f
3
2


= sin π
3 × 31
2


+ log2 1-
3
2


2




= sin 5π+ π
6


+ log2 1
4


=
- 1
2 - 2 =- 5
2 .
故选B.
结论二、分段函数求根
设分段函数f(x) =
f1(x),x∈I1
f2(x),x∈I2

，已知f(x0) = a，求x0：
(1) 当x0∈I1时，由f1(x0) = a，求出x0；验证x0是否属于I1, 若是则留下，反之则舍去；
(2) 当x0∈I2时，由f2(x0) = a，求出x0，验证x0是否属于I2，若是则留下，反之则舍去；
(3) 取以上两种情况并集，写出结论.
81
已知f(x) = log3x, x>0
ax+b, x≤0

，且f(0) = 2,f(-1) = 3，则f(f(-3)) =
(
)
A. - 2
B. 2
C. 3
D. - 3
【答案】B
【解析】由题意得f(0) = a0 + b = 1 + b = 2，解得b = 1；f(-1) = a-1 + b = a-1 + 1 = 3，解得
a = 1
2 .
故f(-3) =
1
2


-3+ 1 = 9，从而f(f(-3)) = f(9) = log39 = 2. 故选B.
81
已知实数a ≠0，函数f(x) = 2x+a,
x<1
-x-2a, x≥1

，若f(1 - a) = f(1 + a)，则a 的值为
.
【答案】- 3
4
【解析】①当1 - a < 1，即a > 0，此时a + 1 > 1，由f(1 - a) = f(1 + a)，得2(1 - a) + a =
- (1 + a) - 2a，计算a =- 3
2 (舍去).
②当1 - a > 1，即a < 0，此时a + 1 < 1，由f(1 - a) = f(1 + a)，得2(1 + a) + a =- (1 -
a) - 2a，
计算得a =- 3
4 ，符合题意.
·85·
综上，a =- 3
4 .
结论三、解分段函数不等式
f(x) > a⇔x∈I1
f1(x)>a

或x∈I2
f2(x)>a

.
82
设函数f(x) = 21-x,
x≤1
1-log2x, x>1

，则满足f(x) ≤2 的x 的取值范围是
(
)
A. -1,2


B. 0,2


C. (1, +∞)
D. [0, +∞)
【答案】D
【解析】由f(x) ≤2 ⇔21-x≤2
x≤1

或x>1
1-log2x≤2

⇔x ≥0，
所以满足f(x) ≤2 的x 的取值范围是[0, +∞). 故选D.
82
已知f(x) = x2-2x, x≥0
x2+2x, x<0

, 则不等式f(x) + f(-x) > 6 的解集为
(
)
A. (-∞, -3)
B. (3, +∞)
C. (-∞, -3) ∪(3, +∞)
D. (-3,3)
【答案】C
【解析】因为当x < 0 时，-x > 0，所以f(-x) = (-x)2 - 2(-x) = x2 + 2x. 又当x < 0 时，
f(x) = x2 + 2x,f(0) = 0, 所以f(-x) = f(x)，即函数f(x) 为偶函数. 不等式f(x) + f(-x) > 6
转化为不等式f(x) > 3, 可得x≥0
x2-2x>3

或x<0
x2+2x>3

，解得x > 3 或x <-3，所以不等式
f(x) + f(-x) > 6 的解集为(-∞, -3) ∪(3, +∞). 故选C.
结论四、分段函数的单调性
1. 分段函数
f(x) = g(x),x∈[a,b]
h(x),x∈[c,d]

为单调递增函数⇔
g(x)在区间a,b


上递增
h(x)在区间c,d


上递减
g(x)max≤h(x)min

2. 分段函数
f(x) = g(x),x∈[a,b]
h(x),x∈[c,d]

为单调递减函数⇔
g(x)在区间a,b


上递减
h(x)在区间c,d


上递增
g(x)min≤h(x)max

83
已知f(x) = (3a-1)x+4a, x<1
logax,
x≥1

是R 上的减函数，那么a 的取值范围是
(
)
A. (0,1)
B. 0, 1
3


C.
1
7 , 1
3


D.
1
7 ,1


【答案】C
·86·
【解析】函数f(x) 在R 上单调递减，故当x < 1 时，f(x) = (3a - 1)x + 4a 单调递减，因此
3a - 1 < 0，得a < 1
3 ；当x ≥1 时，f(x) = logax 单调递减，故0 < a < 1，同时结合函数f(x) 的
图像，当x = 1 时，(3a - 1) + 4a ≥loga1，解得a ≥1
7 .
综上，a 的取值范围是
1
7 , 1
3


. 故选C.
83
已知函数f(x) =
(1-2a)x,
x≤1
logax+ 1
3 , x>1

，当x1 ≠x2 时，f(x1)- f(x2)
x1-x2
< 0，则a 的取值
范围是
(
)
【答案】A
【解析】因为当x1≠x2时，f(x1)- f(x2)
x1-x2
< 0，所以f(x) 是R 上的单调减函数.
因为f(x) =
(1-2a)x,
x≤1
logax+ 1
3 , x>1

，所以
0<1-2a<1
0<a<1
1-2a≥1
3





，所以0 < a ≤1
3 . 故选A.
结论五、分段函数的奇偶性
1. 判断函数f(x) 的奇偶性可以利用特殊值，利用f(a) = f(-a) 求参数的值，一般令a = 1
或a = 2.
2. 若f(x) 分段图像均易作出，可以利用图像法. 对于某些不易作图的分段函数，在判断
奇偶性时就需要用定义法了，在代入过程中要注意-x,x 的范围.
84
若函数f(x) = x2+x,
x≥0
x2-ax, x<0

(x ∈R) 为偶函数，则下列结论正确的是
(
)
A. f(a) > f(2a) > f(0)
B. f(a) > f(0) > f(2a)
C. f(2a) > f(a) > f(0)
D. f(2a) > f(0) > f(a)
【答案】C
【解析】因为函数f(x) = x2+x,
x≥0
x2-ax, x<0

(x ∈R) 为偶函数，所以f(-1) = f(1)，解得a = 1.
又因为函数在(-∞,0) 上单调递减，在(0, +∞) 上单调递增，所以f(2a) > f(a) > f(0).
故选C.
84
若函数f(x) = x2-2x,
x≥0
-x2+ax, x<0

为奇函数，则实数a 的值为
(
)
A. 2
B. - 2
C. 1
D. - 1
【答案】B
【解析】因为f(x) 为奇函数，所以f(-x) =-f(x)，当x < 0 时，-x > 0，
所以f(x) =-f(-x) =- (x2 + 2x) =-x2 - 2x，又x < 0 时，,f(x) =-x2 + ax，所以a =
-2. 故选B.
·87·
第13 讲
复合函数
通关一、复合函数定义
设y = f(t),t = g(x) 且函数g(x) 的值域为f(t) 定义域的子集，那么y 通过t 的联系而得到
自变量x 的函数，称为y 是x 的复合函数，记为y = f(g(x)).
通关二、复合函数的单调性(同增异减)
对于复合函数y = f(g(x))，t = g(x) 为内层函数，y = f(t) 为外层函数，则复合函数
的单调性符合下表：
外层函数y = f(t) 单调性
内层函数t = g(x) 单调性
函数y = f(g(x)) 单调性
增
增
增
减
减
减
增
减
减
增
结论一、复合函数的求值与求参
1. 复合函数函数值计算的步骤：求y = f(g(x)) 函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求
出函数值.
2. 已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层
层拆解直到求出x 的值.
85
设函数f(x) = 3x-1, x<1
2x,
x≥1

，则f f
2
3




=
；若f(f(a)) = 1，则实数a 的值
为
.
【答案】2, 5
9
【解析】因为函数f(x) = 3x-1, x<1
2x,
x≥1

，所以f
2
3


= 2 - 1 = 1，所以f f
2
3




= f(1) = 2.
由f(f(a)) = 1，可知：当a < 2
3 时，1 = f(3a - 1) = 3(3a - 1) - 1，解得a = 5
9 . 当a ≥1 时，
2a> 1,f f(a)


= 1，不成立. 当2
3 ≤a < 1 时，f(f(a)) = 1,23a-1= 1，解得a = 1
3 (舍去).
综上可知，a = 5
9 .
·88·
85
若函数f(x) = 22x,
x<0
-2-2x, x>0

，则函数y = f(f(x)) 的值域是- ---
【答案】-1,- 1
4


∪
1
4 ,1


【解析】当x < 0 时，,0 < 22x < 1，所以f(f(x)) =-2-2×22x ∈-1,- 1
4


；当x > 0 时，-1 <
-2-2x < 0，所以f( f(x)) = 2
2×(-2-2x) ∈
1
4 ,1


. 所以函数y = f( f(x)) 的值域是-1,- 1
4


∪
1
4 ,1


.
结论二、与指数函数有关的复合函数的单调性
1. 若a > 1，函数f(x) 的单调增(减) 区间即函数y = a
f(x)的单调增(减) 区间.
2. 若0 < a < 1，函数f(x) 的单调增(减) 区间即函数y = a
f(x)的单调减(增) 区间.
86
函数y =
1
2


x2+2x-1的值域是
(
)
A. (-∞,4)
B. (0, +∞)
C. (0,4]
D. [4, +∞)
【答案】C
【解析】设t = x2+ 2x - 1，则y =
1
2


t. 因为0 < 1
2 < 1，所以y =
1
2


t为关于t 的减函数.
因为t = (x + 1)2 - 2 ≥-2，所以0 < y =
1
2


t ≤
1
2


-2 = 4，故所求函数的值域为(0,4]. 故
选C.
86
如果函数y = a2x+ 2ax- 1(a > 0,a ≠1) 在区间-1,1


上的最大值14，则a 的值为
(
)
A. 1
3
B. 1
C. 3
D. 1
3 或3
【答案】D
【解析】令ax= t，则y = t2+ 2t - 1 = (t + 1)2- 2.
当a > 1 时，因为x ∈-1,1


，所以t ∈
1
a ,a


，又函数y = (t + 1)2 - 2 在
1
a ,a


上单调递
增，
所以ymax = (a + 1)2- 2 = 14，解得a = 3.
当0 < a < 1 时，因为x ∈-1,1


，所以t ∈a, 1
a


.
又函数y = (t + 1)2- 2 在a, 1
a


上单调递增，则ymax =
1
a +1


2- 2 = 14，解得a = 1
3 .
综上可知，a = 3 或a = 1
3 .
故选D.
结论三、与对数函数有关的复合函数的单调性
1. 若a > 1，函数f(x) 的单调增(减) 区间即函数y = logaf(x) 的单调增(减) 区间.
·89·
2. 若0 < a < 1，函数f(x) 的单调减(增) 区间即函数y = logaf(x) 的单调减(增) 区间.
87
设函数y = log 1
2(x2+ 4x + 5) 在区间(a, +∞) 上是减函数，则a 的最小值为(
)
A. 2
B. 1
C. - 1
D. - 2
【答案】D
【解析】可令t = x2 + 4x + 5，由f(x) = log 1
2t 在(0, +∞) 上递减，可得t = x2 + 4x + 5 在(a,
+∞) 上是增函数，且t > 0 在(a, +∞) 上恒成立，可得-2 ≤a 且a2 + 4a + 5 ≥0，解得a ≥-2，
则a 的最小值为-2. 故选D.
87
函数y = log2(x2- 3x + 2) 的单调递增区间是
(
)
A. (-∞,1)
B. (2, +∞)
C. -∞, 3
2


D.
3
2 ,+∞


【答案】B
【解析】由题可得x2 - 3x + 2 > 0，解得x < 1 或x > 2，由二次函数的性质和复合函数的
单调性可得函数y = log2(x2- 3x + 2) 的单调递增区间为(2, +∞). 故选B.
结论四、复合函数的奇偶性(内偶则偶，内奇同外)
若u = g(x)
y = f(u)
则y = f(g(x))
奇函数
奇函数
奇函数
奇函数
偶函数
偶函数
偶函数
奇函数
偶函数
偶函数
偶函数
偶函数
88
若函数f(x) (x ∈R) 是奇函数，函数g(x) (x ∈R) 是偶函数，则一定成立的是
(
)
A. 函数f(g(x)) 是奇函数
B. 函数g(f(x)) 是奇函数
C. 函数f(f(x)) 是奇函数
D. 函数g(g(x)) 是奇函数
【答案】C
【解析】由题知函数f(x),g(x) 满足f(-x) =-f(x),g(-x) = g(x)，则有f(g(-x)) = f(g(x)，
g(f(-x)) = g(-f(x)) = g(f(x))，f(f(-x)) = f(-f(x)) =-f(f(x))，g(g(-x)) = g(g(x))，所以
根据奇偶函数的判断可得只有C 选项是正确的. 故选C.
88
已知f(x),g(x),h(x) 为R 上的函数，其中函数f(x) 为奇函数，函数g(x) 为偶函数，
则
(
)
A. 函数h(g(x)) 为偶函数
B. 函数h(f(x)) 为奇函数
C. 函数g(h(x)) 为偶函数
D. 函数f(h(x)) 为奇函数
【答案】A
【解析】设F(x) = h(g(x))，因为g(x) 为偶函数所以g(-x) = g(x)，则F(-x) = h(g(-x))
= f(g(x) = F(x)，所以函数h(g(x)) 是偶函数. 故选A.
·90·
结论五、复合函数的零点
关于x 的方程g(f(x)) = 0 根的个数，令f(x) = t，
1. 作出f(x),g(t) 的图像；
2. 解方程g(t) = 0，求出对应的解ti；
3. 结合ti 的值和f(x) 的图像，令f(x) = ti，将所求x 的个数汇总后即为g(f(x)) = 0 的根
的个数.
89
已知函数f(x) = ex,
x<0
4x3-6x2+1, x≥0

，则函数g(x) = 2 f(x)


2 - 3f(x) - 2 的零点个
数为
(
)
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】B
【解析】由2(f(x))2- 3f(x) - 2 = 0 可得f(x) = 2 或f(x) =- 1
2 .
当x ≥0 时，f(x) = 12x2 - 12x = 12x(x - 1)，当x ∈0,1


时，f(x) < 0，f(x) 单调递减，
当x ∈1,+∞


时，f(x) > 0，f(x) 单调递增，函数在x = 1 处有极小值f(1) = 4 - 6 + 1 =-1.
绘制函数f(x) 的图像，如图所示，观察可得，函数g(x) = 2( f(x))2 - 3f(x) - 2 的零点个数为
3. 故选B.
89
函数g(x) 的图像如图所示，则方程g(g(x3)) = 0 的实数根的个数为
(
)
A. 3
B. 6
C. 9
D. 12
【答案】C
【解析】令t = x3,u = g(t)，则由g(g(x3)) = 0 有g(u) = 0，由图像知有三个根u1,u2,u3，分别
令u1 = g(t),u2 = g(t),u3 = g(t)，解出有9 个t 符合方程，再令t = x3 解出相应x 的根的个数为
9 个. 故选C.
·91·
·92·
第14 讲
抽象函数
通关一、抽象函数模型
抽象模型
原函数
f(x + y) = f(x) + f(y)
f(x) = kx
f(x + y) = f(x)f(y)
f(x) = ax
f(xy) = f(x) + f(y)
f(x) = logax
f(xy) = f(x)f(y)
f(x) = xα
通关二、抽象函数的单调性
抽象函数单调性的判断, 关键是根据题目所给的性质和符号条件, 构造相应的关于x1,x2
的函数值, 从而比较出f x1


与f x2


的大小, 同时还要注意x1= x2⋅x1
x2 ,
x1= x2+ x1-x2


等变形技巧.
通关三、抽象函数的奇偶性
抽象函数奇偶性的判断往往借助于赋值法和定义, 对于已给恒等式中出现的两个或两个
以上的变量, 利用赋值的方法将其替换成f(x),f(-x) 都出现的形式, 在恒等式中仅有这两种
形式或是具体函数值的形式, 而不会出现新的函数结构.
通关四、抽象函数的注意事项
解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域；二是利用函数的奇偶性去掉函数符号
“f”前的“负号”；三是利用函数单调性去掉函数符号“f". 注意定义域优先原则, 赋值法(常量
赋值和变量赋值), 换元法.
结论一、f(x + y) = f(x) + f(y) 型
90
已知函数f(x) 对任意实数x,y 都有f(x + y) = f(x) + f(y), 且当x > 0 时,f(x) > 0,
f(-1) =-2. 求f(x) 在[-2,1] 上的值域.
【解析】设x1 < x2 且x1,x2 ∈R, 则x2 - x1 > 0, 由条件当x > 0 时,f(x) > 0, 所以f x2-

x1

> 0. 又f x2


= f
x2-x1


+x1


= f x2-x1


+ f x1


> f x1


, 所以f(x) 为增函数. 令y =-x,
则f(0) = f(x) + f(-x). 又令x = y = 0, 得f(0) = 0, 所以f(-x) =-f(x), 故f(x) 为奇函数, 则
f(1) =-f(1) = 2,f(-2) = 2f(-1) =-4. 所以f(x) 在[-2,1] 上的值域为[-4,2].
·93·
90
函数f(x) 对任意的实数m,n 有f(m + n) = f(m) + f(n), 且当x > 0 时, 有f(x)
> 0.
(1) 求证:f(x) 在R 上为增函数；
(2) 若f(1) = 1, 解不等式f log2 x2-x-2




< 2.
【解析】(1) 证明：取x1,x2∈R 且x1< x2, 则x2- x1> 0, 故f x2-x1


> 0, 所以f x1


-
f x2


= f x1


- f x2-x1+x1


=-f x2-x1


< 0, 即f x1


< f x2


. 所以函数f(x) 在R 上
为增函数.
(2) 因为f(1) = 1, 所以2 = 1 + 1 = f(1) + f(1) = f(2), 所以f log2 x2-x-2




< f(2), 由
(1) 知函数f(x) 在R 上为增函数, 故log2 x2-x-2


< 2, 所以x2-x-2>0
x2-x-2<4

, 即-2 < x <-1
或2 < x < 3, 所以原不等式的解集是{x| -2 < x <-1 或2 < x < 3}.
结论二、f(xy) = f(x) + f(y) 型
91
已知函数f(x) 的定义域是(0, +∞), 当x > 1 时,f(x) > 0, 且f(xy) = f(x) + f(y).
(1) 求f(1) 的值；
(2) 证明:f(x) 在定义域上是增函数.
【解析】(1) 令x = y = 1, 则f(1) = f(1) + f(1), 所以f(1) = 0.
(2) 证明：设x2 > x1 > 0, 则f x2


- f x1


= f x1⋅x2
x1


- f x1


= f x1


+ f
x2
x1


- f x1


=
f
x2
x1


. 因为x2 > x1 > 0, 所以x2
x1 > 1, 所以f
x2
x1


> 0, 即f x2


- f x1


> 0, 所以f x2


>
f x1


, 所以f(x) 在(0, +∞) 上是增函数.
91
f(x) 的定义域为(0, +∞), 且对一切x > 0,y > 0 都有f x
y


= f(x) - f(y), 当x > 1
时, 有f(x) > 0.
(1) 求f(1) 的值；
(2) 判断f(x) 的单调性并证明；
(3) 若f(6) = 1, 解不等式f(x + 3) - f
1
x


< 2.
【解析】(1)f(1) = f x
x


= f(x) - f(x) = 0,x > 0.
(2) 设0 < x1 < x2, 则由f
x
y


= f(x) - f(y), 得f x2


- f x1


= f x2
x1


, 因为x2
x1 > 1, 所
以f x2
x1


> 0. 所以f x2


- f x1


> 0. 即f(x) 在(0, +∞) 上是增函数.
(3) 因为f(6) = f 36
6


= f(36) - f(6), 所以f(36) = 2, 原不等式化为f x2+3x


< f(36).
因为f(x) 在(0, +∞) 上是增函数, 所以
x+3>0
1
x >0
x2+3x<36





, 解得0 < x < 3 17-3
2
, 故原不等式的
解集为x 0<x< 3 17-3
2



.
结论三、f(x + y) = f(x) ⋅f(y) 型
·94·
92
设函数y = f(x) 定义在R 上, 当x > 0 时,f(x) > 1, 且对任意m,n, 有f(m + n) =
f(m) ⋅f(n), 当m ≠n 时,f(m) ≠f(n).
(1) 证明：f(0) = 1；
(2) 证明：f(x) 在R 上是增函数.
【解析】(1) 证明
令m = n = 0 得f(0) = f(0) ⋅f(0), 所以f(0) = 0 或f(0) = 1. 若f(0) =
0, 当m ≠0 时, 有f(m + 0) = f(m) ⋅f(0), 这与当m ≠n 时,f(m) ≠f(n) 矛盾, 所以f(0) = 1.
(2) 证明设x1 < x2, 则x2 - x1 > 0, 由已知得f x2-x1


> 1, 因为x1 ≥0,f x1


> 1, 若x1 < 0
时, -x1> 0,f -x1


> 1, 而f(0) = f x1


⋅f -x1


, 所以f x1


=
1
f -x1


> 0,f x2


= f x2-x1


⋅f x1


> f x1


, 所以f(x) 在R 上是增函数.
92
已知f(x) 对一切x,y, 满足f(0) ≠0,f(x + y) = f(x) ⋅f(y), 且当x < 0 时,f(x) > 1.
求证：(1)x > 0 时,0 < f(x) < 1;(2)f(x) 在R 上为减函数.
【解析】证明(1) 因为对一切x,y ∈R 有f(x + y) = f(x) ⋅f(y), 且f(0) ≠0, 令x = y = 0,
得f(0) = 1. 现设x > 0, 则-x < 0,f(-x) > 1, 而f(0) = f(x) ⋅f(-x) = 1, 所以f(-x) =
1
f(x)
> 1, 所以0 < f(x) < 1.(2) 设x1,x2∈R 且x1< x2, 则0 < f x2-x1


< 1,f x2


= f
x2-x1


+x1


= f x2-x1


⋅f x1


< f x1


. 所以f x1


> f x2


, 即f(x) 为减函数.
结论四、f(xy) = f(x) ⋅f(y) 型
93
给出四个等式：①f(a + b) = f(a) + f(b)；②f(a + b) = f(a)f(b)；③f(ab) = f(a)
f(b)；④f(ab) = f(a) + f(b), 则不满足任一等式的函数是
(
)
A. f(x) = 2x
B. f(x) = lgx
C. f(x) = x
2
3
D. f(x) = 2x - 3
【解析】A 选项f(x) = 2x满足②f(a + b) = f(a)f(b);B 选项f(x) = lgx 满足④f(ab) =
f(a) + f(b);C 选项f(x) = x
2
3 满足③f(ab) = f(a)f(b);D 选项f(x) = 2x - 3 不满足任何一
个等式. 故选D.
93
设函数y = f(x) 定义在R* 上, 当x > 1 时,f(x) > 1, 且对任意m,n, 有f(mn) =
f(m) ⋅f(n), 当m ≠n 时,f(m) ≠f(n).
(1) 证明：f(1) = 1；
(2) 证明：f(x) 在R*上是增函数.
【解析】(1) 证明令m = n = 1 得f(1) = f(1) ⋅f(1), 所以f(1) = 0 或f(1) = 1. 若f(1) = 0,
当m ≠1 时, 有f(m) = f(m) ⋅f(1) = 0, 这与当m ≠n 时,f(m) ≠f(n) 矛盾, 所以f(1) = 1.
(2) 证明令m = n =
t, 则f(t) = f( t)2 ≥0, 由题知f(t) ≠0, 所以f(t) ≥0, 设0 < x1 <
x2, 则x2
x1 > 1, 由已知得f
x2
x1


> 1, 由题知f x2


f x1


= f
x2
x1


> 1, 所以f x2


> f x1


, 所以
f(x) 在R*上是增函数.
·95·
第15 讲
导数的定义和运算
通关一、导数的概念
设函数y = f x


，当自变量x 从x0变到x1时，函数值从f x0


变到f x1


，函数值关于x 的
平均变化率为△y
△x = f x1


- f x0


x1-xo
= f x0+△x


- f x0


△x
. 当x1趋于x0，即△x 趋于0 时，如果
平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y = f x


在x0点的导数，通常用符号
fx0


表示，记作
fx0


= lim
△x→∞
△y
△x = lim
△x→∞
f x0+△x


- f x0


△x
要点诠释：
1. 导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率. 如瞬时速度即是
位移在某一时刻的瞬间变化率.
2. 对于不同的实际问题，平均变化率有不同的实际意义. 如位移运动中，位移s 从时间t1
到t2的平均变化率即为t1到t2这段时间的平均速度
3. 增量△x 可以是正数，也可以是负数，但是不可以等于0.△x →0 的意义：△x 与0 之间
距离要多近有多近，即△x-0


可以小于给定的任意小的正数.
4. △x →0 时，△y 在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个
常数与△y
△x = f x0+△x


- f x0


△x
无限接近.
5. 函数y = f x


在x0处的导数还可以用符号yx=x0

表示.
通关二、基本初等函数的导数
基本初等函数
导数
特别地
常数函数y = c(c 为常数)
y= 0
π= 0，e= 0
幂函数
y = xn(n 为有理数)
y= n•xn-1
1
x


=- 1
x2 ，x


=
1
2 x
指数函数y = ax
y= ax•lna
ex


= ex
对数函数y = logax
y=
1
x•lna
lnx


= 1
x
正弦函数y = sinx
y= cosx
tanx


=
sinx
cosx


=
1
cos2x
余弦函数y = cosx
y=-sinx
·96·
要点诠释：
1. 常数函数的导数为0，即c= 0(c 为常数)，其几何意义是曲线f x


= c(c 为常数) 在任
意点处的切线平行于x 轴.
2. 有理数幂函数的导数等于幂指数n 与自变量的(n - 1) 次幂的乘积，即xn


=
nxn-1 n∈Q


.
3. 在数学中，
“ln”表示以e(e = 2.71828 ⋯) 为底数的对数；
“lg”表示以10 为底数的常用
对数.
通关三、和、差、积、商的导数
导数的加法法则
f x


+g x




= fx


+ gx


导数的减法法则
f x


-g x




= fx


- gx


导数的乘法法则
f x


∙g x




= fx


g x


+ f x


gx


导数的除法法则
f x


g x






= fx


∙g x


- f x


gx


g x




2
g x


≠0


通关四、复合函数的导数
1. 复合函数的概念
对于函数y = f φ x




，令u = φ x


，则y = f u


是中间变量u 的函数，u = φ x


是自变
量x 的函数，则函数y = f φ x




是自变量x 的复合函数. 例如，函数y = ln sinx


是由y =
lnu 和u = sinx 复合而成的.
2. 复合函数的导数
设函数u = φ x


在点x 处可导，u
x= φx


，函数y = f u


在点x 处的对应点u 处也可
导，y
u= fu


，则复合函数y = f φ x




在点x 处可导，并且y
x= y
u∙u
x，或写作f
x φ x




=
fu


∙φx


3. 复合函数求导一般步骤
（1）分层：将复合函数y = f φ x




分出内层、外层.
（2）各层求导：对内层u = φ x


，外层y = f u


分别求导，得到φx


，fu


.
（3）求积并回代：求出两导数的积fu


•φx


，然后将u 用φ x


替换，即可得到y =
f φ x




的导数.
·97·
结论一、平均变化率和瞬时变化率
1. 函数的增量:△y = f x0+△x


- f x0


;
2. 平均变化率：△y
△x = f x0+△x


- f x0


△x
；
3. 瞬时变化率：fx0


= lim
△x→∞
△y
△x = lim
△x→∞
f x0+△x


- f x0


△x
.
94
函数f x


= 2x2+ 1 在闭区间1,1+△x


内的平均变化率为
(
)
A. 1 + 2△x
B. 2 + △x
C. 3 + 2△x
D. 4 + 2△x
【答案】D
【解析】f 1+△x


- f 1


△x
= 2 1+△x


2+1-3
△x
= 4 + 2△x. 故选D.
94
若函数f x


= 2
x ，则当x =-1 时，函数的瞬时变化率为
(
)
A. 1
B. - 1
C. 2
D. - 2
【答案】D
【解析】f -1+△x


- f -1


=
2
-1+△x - -2


=
2△x
△x-1 ，lim
△x→∞
f -1+△x


- f -1


△x
=
lim
△x→∞
2
△x-1 =-2. 故选D.
结论二、导数的定义
lim
△x→∞= f x0+m△x


- f x0-n△x


△x
= m+n


fx0


95
设f x


在x0处可导，则lim
△x→∞
f x0+△x


- f x0-3△x


△x
等于
(
)
A. 2fx0


B. fx0


C. 3fx0


D. 4fx0


【答案】D
【解析】lim
△x→∞
f x0+△x


- f x0-3△x


△x
= lim
△x→∞
f x0+△x


- f x0


+ f x0


- f x0-3△x


△x
= lim
△x→∞
f x0+△x


- f x0


△x
+ lim
△x→∞3• f x0


- f x0-3△x


3△x
= lim
△x→∞
f x0+△x


- f x0


△x
+ 3•lim
△x→∞
f x0-3△x


- f x0


-3△x
= fx0


+ 3fx0


= 4fx0


. 故选D.
95
已知函数f x


在x = x0处可导，则lim
△x→∞
f x0+△x




2- f x0




2
△x
=
(
)
A. fx0


B. f x0


C.
fx0




2
D. 2fx0


f x0


【答案】D
·98·
【解析】lim
△x→∞
f x0+△x




2- f x0




2
△x
= lim
△x→∞
f x0+△x


- f x0


△x
• f x0+△x


+ f x0




=
2fx0


f x0


. 故选D.
结论三、复合函数求导
设函数u = φ x


在点x 处有导数u
x= φx


，函数y = f u


在点x 处对应点u 处有导数
y
u= fu


，则复合函数y = f φ x




在点x 处有导数，且y
x= y
u•u
x，或些写作f
x φ x




=
fu


•φx


.
①
ax+b


α


= a•α ax+b


α-1；②eax+b


= a•eax+b；
③ln ax+b




=
a
ax+b ；④sin ax+b




= acos ax+b


；
⑤cos ax+b




=-asin ax+b


.
96
已知y = sin2 2x+ π
3


，则y=
.
【答案】2sin 4x+ 2π
3


【解析】解法一：设y = u2，u = sinv，v = 2x + π
3 ，则y
x= y
u•u
v•v
x= 2u•cosv•2 =
2sin 2x+ π
3


•
cos 2x+ π
3


•2 = 2sin 4x+ 2π
3


.
解法二：y= sin2 2x+ π
3




= 2sin 2x+ π
3


• sin 2x+ π
3




=
2sin 2x+ π
3


•cos 2x+ π
3


• 2x+ π
3


= 2sin 2x+ π
3


•cos 2x+ π
3


•2 = 2sin 4x+ 2π
3


96
已知y = xx，则y=
.
【答案】xx 1+lnx


【解析】y = xx= exlnx，y= exlnx xlnx


= exlnx lnx+ x
x


= xx 1+lnx


.
结论四、导数的运算
1.
f x


g x







= fx


∙g x


- f x


gx


g2 x


g x


≠0


，
2.
1
g x






= 1•g x


-1•gx


g2 x


=- gx


g2 x


g x


≠0


，
3. f x


•ex


= f x


+ fx




ex.
97
已知y = sinx-xcosx
cosx+xsinx ，则y=
.
【答案】
x2
cosx+xsinx


2
·99·
【解析】y=
sinx-xcosx


cosx+xsinx


- sinx-xcosx


cosx+xsinx



cosx+xsinx


2
=
cosx-cosx+xsinx


cosx+xsinx


cosx+xsinx


2
-
sinx-xcosx


-sinx+sinx+xcosx


cosx+xsinx


2
= xsinxcosx+x2sin2x-xsinxcosx+x2cos2x
cosx+xsinx


2
=
x2
cosx+xsinx


2 .
97
已知y = 2x2-5x+1


ex，则y=
.
【答案】2x-x-4


ex
【解析】y= 2x2-5x+1+4x-5


ex= 2x-x-4


ex
结论五、fa


实际是一个数
fa


代表函数f x


在x = a 处的导数值；f a




是函数值f a


的导数，且f a




= 0.
98
已知函数f x


= fπ
4


cosx + sinx，则f π
4


的值为
.
【答案】1
【解析】fx


= fπ
4


-sinx


+ cosx,fπ
4


= fπ
4


-sin π
4


+ cos π
4 ，解得fπ
4


=
2 - 1. 所以
f π
4


=
2
2
2-1


+
2
2 = 1
98
设函数f x


=
ex
x+a ，若f1


= e
4 ，则a =
.
【答案】1
【解析】由函数的解析式可得fx


= ex x+a


-ex
x+a


2
= ex x+a-1


x+a


2
，则f1


=
e1× 1+a-1


1+a


2
=
ae
a+1


2 ，据此可得
ae
a+1


2 = e
4 a2- 2a + 1 = 0，整理可得，解得a = 1.
结论六、多用乘法求导运算
连乘积形式
先展开化为多项式的形式，再求导
公式形式
观察函数的结构特征，先化为整式
函数或较为简单的分式函数，再求
导
对数形式
先化为和、差的形式，再求导
根式形式
先化为分数指数幂的形式，再求导
三角形式
先利用三角函数公式转化为和或
差的形式，再求导
含待定系数
如含f'(a)，a，b 等的形式，先将待
·100·
定系数看成常数，再求导
99
等比数列ax


中，a1= 2,a8= 4，函数f(x) = x x-a1


x-a2


⋯x-a8


，则f′ (0) =
(
)
A. 26
B. 29
C. 212
D. 215
【答案】C
【解析】
令g(x) = x-a1


x-a2


⋯x-a8


，则f(x) = xg(x)，f′ (x) = g(x) + xg′ (x)，且g′ (0) 有
意义，于是f′ (0) = g(0) = a1a2⋯a8= a1a8


4= 84= 212. 故选C.
99
设函数f(x) = (x - a) (x - b) (x - c) a,b,c

是两两不等的常数)，则
a
f′(a) +
b
f′(b)
+
c
f′(c) =
.
【答案】0
【解析】因为f′ (x) = (x - b) (x - c) - (x - a) [(x - b) (x - c)]′，
所以f′ (a) = (a - b) (a - c)，
同理：f′ (b) = (b - a) (b - c),f′ (c) = (c - a) (c - b)，
所以原式=
a
(a-b)(a-c) +
b
(b-a)(b-c)
c
(c-a)(c-b)
= a(b-c)-b(a-c)+c(a-b)
(a-b)(a-c)(b-c)
= 0.
结论七、特殊函数的导函数
1.(sinx)′ = cosx,(cosx)′ =-sinx,(-sinx)′ =-cosx,(-cosx)′ = sinx.
2.(|x|)′ = x
|x| = |x|
x .
100
设f0(x) = sinx,f1(x) = f0′ (x),f2(x) = f1′ (x), ⋯,fn+1(x) = f0′ (x),n ∈N ，则f2020(x)
等于
(
)
A. sinx
B. - sinx
C. cosx
D. - cosx
【答案】A
【解析】因为f 0(x) = sin x，所以f 1(x) = f 0′ (x) = cos x, f 2(x) = f 1′ (x) =-sin x,
f3(x) = f2′ (x) =-cosx,f4(x) = f3′ (x) = sinx,
所以f2020(x) = f505×4(x) = f0(x) = sinx. 故选A.
100
设a,b ∈R，则“a > b”是“a|a| > b|b|”的
(
)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】设函数f(x) = x|x|. 当x ≠0 时，f′ (x) = |x| +x ⋅|x|
x = 2|x|；又f′ (0) =
·101·
lim
△x→0
f(x)- f(0)
x-0
= lim
△x-0
x|x|-0
x-0
= lim
△x→0|x| = 0，所以f′ (x) = 2|x| ≥0(x ∈R) (当且仅当x =
0 时f′ (x) = 0)，所以f(x) 是R 上的增函数. 故选C.
·102·
第16 讲
导数的几何意义
通关一、导数的几何意义
f′ x0


表示曲线y = f(x) 在x = x0处的切线的斜率，即f′ x0


= tanα(α 为切线的倾斜角).
已知点P x0,y0


是曲线y = f(x) 上一定点，点Q x0+

△x,y0+△y

是曲线y = f(x) 上的
动点，我们知道平均变化率△y
△x 表示割线PQ 的斜率，如图所示. 当点Q 无限接近于点P，即
△x →0 时，割线PQ 的极限位置直线PT 叫作曲线在点P 处的切线. 也就是当△x →0 时，割
线PQ 斜率的极限，就是切线的斜率，即：
k = lim
△x→0
△y
△x = lim
△x→0
f x0+△x


- f(x)
△x
= f′ x0


.
通关二、曲线在点P 处的切线
点P 在曲线上，在点Р处作曲线的切线(Р是切点)，此时数量唯一，如图所示.
通关三、曲线经过点P 处的切线
点P 位置不确定(在曲线上或曲线外)，过点Р作曲线上任意位置的切线(只要切线经过
点Р可)，
数量不唯一. 如图(a) 和图(b) 所示，无论点Р在曲线上还是曲线外，过点P 都可以作两条
直线l1，l2，与曲线相切.
·103·
结论一、求曲线y = f(x) 在x = x0 处切线的步骤
1. 先求f'(x0)，即曲线y = f(x) 在P(x0，f(x0)) 处切线的斜率.
2. 再求f(x0)，因为切线过点(x0，f(x0))；
3. 最后由点斜式写出直线方程:y - f(x0) = f'(x0) (x - x0). 特别地，如果y = f(x) 在点
(x0，f(x0)) 处的切线平行于y 轴(此时导数不存在) 时，由切线定义切线方程为:x = x0.
101
函数f(x) = x4- 2x3的图像在点(1，f(1)) 处的切线方程为
(
)
A. y =-2x - 1
B. y =-2x + 1
C. y = 2x - 3
D. y = 2x + 1
【答案】B
【解析】因为f(x) = x4- 2x3，所以f′ (x) = 4x3- 6x2，所以f(1) =-1，f′ (1) =-2. 因
此，所求切线的方程为y + 1 =-2(x - 1)，即y =-2x + 1. 故选B.
101
设曲线y = xn+1 n∈N *


在点(1，1) 处的切线与x 轴的交点的横坐标为xn，则
x1⋅x2⋯xn等于
(
)
A. 1
n
B.
1
n+1
C.
n
n+1
D. 1
【答案】B
【解析】对y = xn+1 求导得y′ = (n + 1)xn，令x = 1 得在点(1，1) 处的切线的斜率k = n +
1，在点(1，1) 处的切线方程为y - 1 = (n + 1) (x - 1)，令y = 0，得xn =
n
n+1 ，则x1x2 ⋯xn =
1
2 × 2
3 × 3
4 ×⋯×
n
n+1 =
1
n+1 . 故选B.
结论二、求曲线f(x) 经过点P(x0，y0) 切线方程的步骤
1. 求导函数f'(x)；
2. 验证点P 是否在曲线上：计算f(x0)，观察f(x0) = y0是否成立；
3. 求切点，设切点坐标为(a，f(a))，则切线方程y - f(a) = f'(a) (x - a)，代入点P(x0，
y0) 坐标，求出a 的值(注意a ≠x0)，可得切线方程.
·104·
102
过曲线y = 1
3 x3+ 4
3 的点P(2,4) 的切线方程为
.
【答案】4x - y - 4 = 0 或x - y + 2 = 0
【解析】设曲线y = 1
3 x3 + 4
3 与过点P(2,4) 的切线相切于点A x0, 1
3 x3
0+ 4
3


，则切线的斜
率k = y′

x=x0= x2
0，
所以切线方程为y -
1
3 x3
0+ 4
3


= x2
0 x-x0


，即y = x2
0·x - 2
3 x3
0 + 4
3 . 因为点P(2,4) 在切
线上，所以4 = 2x2
0 - 2
3 x3
0 + 4
3 ，即x3
0 - 3x2
0 + 4 = 0，所以x3
0 + x2
0 - 4x2
0 + 4 = 0，所以x2
0 x0+1


- 4 x0+1


x0-1


= 0，所以x0+1


x0-2


2 = 0，解得x0 =-1 或x0 = 2，代入y - f x0


=
f′ x0


x-x0


. 故所求的切线方程为4x - y - 4 = 0 或x - y + 2 = 0.
102
曲线y = lnx + x + 1 的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为
.
【答案】y = 2x.
【解析】
设切线的切点坐标为x0,y0


,y = lnx + x + 1,y′ = 1
x + 1,y′

x=xe= 1
x0 + 1 = 2,x0
= 1,y0= 2，所以切点坐标为(1，2)，所求的切线方程为y - 2 = 2(x - 1)，即y = 2x.
·105·
第17 讲
导数的应用
通关一、导数的符号与丞数的单调性
一般地，设函数y = f(x) 在某个区间内有导数，则在这个区间上，
(1) 若f'(x) > 0，则f(x) 在这个区间上为增函数；
(2) 若f'(x) < 0，则f(x) 在这个区间上为减函数；
(3) 若恒有f'(x) = 0，则f(x) 在这一区间上为常函数.
反之，若f(x) 在某区间上单调递增，则在该区间上有f'(x) ≥0 恒成立(但不恒等于0)；
若f(x) 在某区间上单调递减，则在该区间上有f'(x) ≤0 恒成立(但不恒等于0).
要点诠释：
(1) 因为导数的几何意义是曲线切线的斜率，故当在某区间上f′ (x) > 0，即切线斜率为正
时，函数f(x) 在这个区间上为增函数；当在某区间上f′ (x) < 0，即切线斜率为负时，函数f(x)
在这个区间上为减函数；即导函数的正负决定了原函数的增减.
(2) 若在某区间上有有限个点使f′ (x) = 0，在其余点恒有f′ (x) > 0，则f(x) 仍为增函数
(减函数的情形完全类似)，即在某区间上，f′ (x) > 0 ⇒f(x) 在这个区间上为增函数：f′ (x) <
0 ⇒f(x) 在这个区间上为减函数，但反之不成立.
(3)f(x) 在某区间上为增函数⇒在该区间f′ (x) ≥0；f(x) 在某区间上为减函数⇒在该区
间f′ (x) ≤0. 在区间(a,b) 内，f′ (x) > 0(或f′ (x) < 0 是f(x) 在区间(a,b) 内单调递增(或减)
的充分不必要条件.
(4) 只有在某区间内恒有f′ (x) = 0，这个函数y = f(x) 在这个区间上才为常数函数.
通关二、函数的极值
一般地，设函数f(x) 在点x = x0及其附近有定义.
(1) 若对x0附近的所有点，都有f(x) < f x0


，则称函数f(x) 在x0处取极大值，
记作y极大= f x0


，并把x0称为函数f(x) 的一个极大值点.
(2) 若对x0 附近的所有点，都有f(x) > f x0


，则称函数f(x) 在x0 处取极小值，记作y极小
= f x0


，并把x0称为函数f(x) 的一个极小值点.
要点诠释：
·106·
在函数的极值定义中，一定要明确函数y = f(x) 在x = x0 及其附近有定义，否则无从比
较.
函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定
义域内可能有多个极值，也可能无极值. 由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的
函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.
极大值与极小值之间无确定的大小关系. 一个函数的极大值未必大于极小值，极小值不
一定是整个定义区间上的最小值.
函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点. 而使函数取得最大
值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.
通关三函数的最值
若函数y = f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，则f(x) 在[a,b] 上必有最大值和最小值；在开区
间(a,b) 内连续的函数f(x) 不一定有最大值与最小值.
要点诠释:
函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得；
函数的极值可以有多个，但最值只有一个.
结论一、求函数单调区间的一般步骤和方法
第一步: 确定函数f(x) 的定义域；
第二步: 求f′ (x)，令f′ (x) = 0，解此方程，求出它在定义域内的一切实根；
第三步: 把函数f(x) 在间断点(即f(x) 的无定义点) 的横坐标和上面的各实根按由小到
大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x) 的定义区间分成若干个小区间；
第四步: 确定f′ (x) 在各个小区间的符号，根据f′ (x) 的符号判断函数f(x) 在每个相应小
区间的增减性.
要点诠释:
函数的单调区间不能用不等式表示，必须写成区间形式；
当一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时，这些单调区间不能用“∪”连接，可
用“，”或“和”连接.
·107·
103
已知函数f(x) = ln(1 + x) - x + k
2 x2(k ≥0).
(1) 当k = 2 时，求曲线y = f(x) 在点(1,f(1)) 处的切线方程；
(2) 求f(x) 的单调区间.
【解析】(1) 当k = 2 时，f(x) = ln(1 + x) - x + x2,f′ (x) =
1
1+x - 1 + 2x，由于f(1) = ln2,
f′ (1) = 3
2 . 所以曲线y = f(x) 在点(1,f(1)) 处的切线方程为y - ln2 = 3
2 (x - 1)，即3x - 2y +
2ln2 - 3 = 0.
(2)f′ (x) = x(kx+k-1)
1+x
,x ∈(-1, +∞).
当k = 0 时，f′ (x) =-
x
1+x ，所以，在区间(-1,0) 上，f′ (x) > 0；在区间(0, +∞) 上，f′ (x)
< 0. 故f(x) 的单调递增区间是(-1,0)，单调递减区间是(0, +∞).
当0 < k < 1 时，由f′ (x) = x(kx+k-1)
1+x
< 0 及1-k
k
> 0 知，在区间(-1,0) 和
1-k
k
,+∞


上，f′ (x) > 0；在区间0, 1-k
k


上，f′ (x) < 0，故f(x) 的单调递增区间是(-1,
0) 和
1-k
k
,+∞


，单调递减区间是0, 1-k
k


.
当k = 1 时，f′ (x) =
x2
1+x ，故f(x) 的单调递增区间是(-1, +∞).
当k > 1 时，由f′ (x) = x(kx+k-1)
1+x
= 0，得x1= 1-k
k
∈(-1,0),x2= 0. 所以，在区间
-1, 1-k
k


和(0, +∞) 上，f′ (x) > 0；在区间
1-k
k
,0


上，f′ (x) < 0.
综上，f(x) 的单调递增区间是-1, 1-k
k


和(0, +∞)，单调递减区间是
1-k
k
,0


.
103
设函数f(x) = xekx(k ≠0).
(1) 求曲线y = f(x) 在点(0,f(0)) 处的切线方程；
(2) 求函数f(x) 的单调区间；
(3) 若函数f(x) 在区间(-1,1) 内单调递增，求k 的取值范围.
【解析】(1)f′ (x) = (1 + kx)ekx,f′ (0) = 1,f(0) = 0，曲线y = f(x) 在点(0,f(0)) 处的切线
方程为y = x.
(2) 由f′ (x) = (1 + kx)ekx= 0 得x =- 1
k (k ≠0).
若k > 0，则当x ∈-∞,- 1
k


时，f′ (x) < 0，函数f(x) 单调递减；
当x ∈- 1
k ,+∞


时，f′ (x) > 0，函数f(x) 单调递增.
若k < 0，则当x ∈-∞,- 1
k


时，f′ (x) > 0，函数f(x) 单调递增；
当x ∈- 1
k ,+∞


时，f′ (x) < 0，函数f(x) 单调递减.
(3) 由(2) 知，若k > 0，则当且仅当- 1
k ≤-1，即k ≤1 时，函数f(x) 在(-1,1) 内单调递
增；若k < 0，则当且仅当- 1
k ≥1，即k ≥-1 时，函数f(x) 在(-1,1) 内单调递增.
综上，函数f(x) 在区间(-1,1) 内单调递增时，k 的取值范围是[-1,0) ∪(0,1].
结论二、求函数极值的一般步骤和方法
·108·
第一步: 确定函数f(x) 定义域；
第二步: 求f′ (x)，令f′ (x) = 0，解此方程，求出它在定义域内的一切实根；
第三步: 把函数f(x) 在间断点(即f(x) 的无定义点) 的横坐标和上面的各实根按由小到
大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x) 的定义区间分成若干个小区间；
第四步: 检查f′ (x) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x) 在这个根处取得
极大值；如果左负右正，那么f(x) 在这个根处取得极小值.
要点诠释:
使f′ (x) 无意义的点也要讨论. 可先求出f′ (x) = 0 的根和使f′ (x) 无意义的点，这些点都
称为可疑点，再用定义去判断.
极大值点可以看成是函数单调递增区间与递减区间的分界点. 极大值是极大值点附近曲
线由上升到下降的过渡点的函数值；极小值则是极小值点附近曲线由下降到上升的过渡点的
函数值.
104
已知函数f(x) = ex⋅a+ 1
x +lnx


，其中a ∈R.
(1) 若曲线y = f(x) 在x = 1 处的切线与直线y =- x
e 垂直，求a 的值；
(2) 当a ∈(0,ln2) 时，证明:f(x) 存在极小值.
【解析】(1)f(x) 的导函数为f′ (x) = ex⋅a+ 1
x +lnx


+ ex⋅
1
x - 1
x2


= ex·
a+ 2
x - 1
x2 +lnx


. 依题意，有f′ (1) = e ⋅(a + 1) = e，解得a = 0.
(2) 证明由f′ (x) = ex⋅a+ 2
x - 1
x2 +lnx


及ex> 0 知，f′ (x) 与a + 2
x - 1
x2 + lnx 与同
号. 令g(x) = a + 2
x - 1
x2 + lnx，则g′ (x) = x2-2x+2
x3
= (x-1)2+1
x3
. 所以对任意x ∈(0，
+∞)，有g′ (x) > 0，故g(x) 在(0, +∞) 上单调递增. 因为a ∈(0,ln2)，所以g(1) = a + 1 > 0,
g 1
2


= a + ln 1
2 < 0，故存在x0∈
1
2 ,1


，使得g x0


= 0.f(x) 与f′ (x) 在区间
1
2 ,1


上的情
况如下:
x
1
2 ,x0


x0
x0,1


f′ (x)
-
0
+
f(x)
极小
值
所以f(x) 在区间
1
2 ,x0


上单调递减，在区间x0,1


上单调递增. 所以f(x) 存在极小值
f x0


.
104
设函数f(x) = a
3 x3+ bx2+ cx + d(a > 0)，且方程f′ (x) - 9x = 0 的两个根分别为
·109·
1，4.
(1) 当a = 3 且曲线y = f(x) 过原点时，求f(x) 的解析式；
(2) 若f(x) 在(-∞, +∞) 内无极值点，求a 的取值范围.
【解析】由f(x) = a
3 x3+ bx2+ cx + d 得f′ (x) = ax2+ 2bx + c. 因f′ (x) - 9x = ax2+
2bx + c - 9x = 0 的两个根分别为1，4，所以a+2b+c-9=0
16a+8b+c-36=0

(1) 当a = 3 时，由式得2b+c-6=0
8b+c+12=0

，解得b =-3,c = 12. 又因为曲线y = f(x) 过原点，
所以d = 0. 故f(x) = x3- 3x2+ 12x.
(2) 由于a > 0，所以“f(x) = a
3 x3+ bx2+ cx + d 在(-∞, +∞) 内无极值点”等价于“f′
(x) = ax2+ 2bx + c ≥0 在(-∞, +∞) 内恒成立”. 由式得2b = 9 - 5a,c = 4a. 又△= (2b)2-
4ac = 9(a - 1) (a - 9). 解a>0
△=9(a-1)(a-9)≤0

得a ∈[1,9]，即a 的取值范围是[1,9].
结论三、求函数在[a，b] 上最值的一般步骤和方法
第一步: 确定函数f(x) 定义域；
第二步: 求f′ (x)，令f′ (x) = 0，解此方程，求出它在定义域内的一切实根；
第三步: 判定函数y = f(x) 在(a,b) 内的单调性；
第四步: 将函数y = f(x) 的各极值与端点处的函数值f(a),f(b) 比较，其中最大的一个是
最大值，最小的一个是最小值.
要点诠释:
函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必是整个区间上所有函数值中的最大
者，最小值必是整个区间上所有函数值中的最小者.
函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比
较极值点附近的函数值得出的. 函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间
内取得，最值可以在端点取得；有极值未必有最值，有最值也未必有极值；极值有可能成为最
值，最值只要不在端点处必定是极值；极值不一定是最值.
105
已知函数f(x) = xlnx.
(1) 求函数f(x) 的极值点.
(2) 设函数g(x) = f(x) - a(x - 1)，其中a ∈ℝ，求函数g(x) 在[1,e] 上的最小值.
【解析】(1) 函数f(x) 的定义域为(0, +∞),f′ (x) = lnx + 1，所以令f′ (x) = lnx + 1 > 0，得
x > 1
e ，令f′ (x) < 0，得0 < x < 1
e ，所以函数f(x) 在0, 1
e


上单调递减，在
1
e ,+∞


上单调
递增，所以x = 1
e 是函数f(x) 的极小值点，极大值点不存在.
(2) 由题意得g(x) = f(x) - a(x - 1) = xlnx - a(x - 1)，所以g′ (x) = lnx + 1 - a，令g′ (x)
·110·
= 0 得x = ea-1.
当ea-1≤1 时，即a ≤1 时，g(x) 在[1,e] 上单调递增，所以g(x) 在[1,e] 上的最小值为g(1)
= 0；
当1 < ea-1< e，即1 < a < 2 时，g(x) 在1,ea-1


上单调递减，在eα-1,e


上单调递增，所以
g(x) 在[1,e] 上的最小值为g ea-1


= ea-1lnea-1- aea-1+ a = a - ea-1；
当ea-1≥e，即a ≥2 时，g(x) 在区间[1,e] 上单调递减，所以g(x) 在[1,e] 上的最小值为
g(e) = e - a(e - 1) = e - ae + a.
综上，当a ≤1 时，g(x) 的最小值为0；当1 < a < 2 时，g(x) 的最小值为a - ea-1；当a ≥2
时，g(x) 的最小值为e - ae + a.
105
已知函数f(x) = excosx - x.
(1) 求曲线y = f(x) 在点(0,f(0)) 处的切线方程；
(2) 求函数f(x) 在区间0, π
2


上的最大值和最小值.
【解析】(1) 函数f(x) = excosx - x 的导数为f′ (x) = ex(cosx - sinx) - 1，可得曲线y =
f(x) 在点(0,f(0)) 处的切线斜率为k = e0(cos0 - sin0) - 1 = 0，切点为0，e0cos0-0


，即为
(0,1)，曲线y = f(x) 在点(0,f(0)) 处的切线方程为y = 1.
(2) 函数f(x) = excosx - x 的导数为f′ (x) = ex(cosx - sinx) - 1，令g(x) = ex(cosx -
sinx) - 1，则g(x) 的导数为g′ (x) = ex(cosx - sinx - sinx - cosx) =-2ex⋅sinx，当x ∈
0, π
2


，可得g′ (x) =-2ex⋅sinx ≤0，即有g(x) 在0, π
2


上单调递，可得g(x) ≤g(0) = 0，
则f(x) 在0, π
2


上单调递，即有函数f(x) 在区间0, π
2


上的最大值为f(0) = e0cos0 -
0 = 1；最小值为f π
2


= e
π
2cos π
2 - π
2 =- π
2 .
·111·
第18 讲
角的定义与分类
通关一、象限角与轴线角的表示
第一象限角的集合为{α 2kπ<α<2kπ+ π
2 ,k∈Z


；
第二象限角的集合为{α 2kπ+ π
2 <α<2kπ+π,k∈Z


；
第三象限角的集合为{α 2kπ+π<α<2kπ+ 3π
2 ,k∈Z


；
第四象限角的集合为{α 2kπ+ 3π
2 <α<2kπ+2π,k∈Z


.
终边与x 轴非负半轴重合的角的集合为{α|α = 2kπ,k ∈Z}
终边与x 轴非正半轴重合的角的集合为{α|α = 2kπ + π,k ∈Z}
终边与x 轴重合的角的集合为{α|α = kπ,k ∈Z}
终边与y 轴非负半轴重合的角的集合为α α=2kπ+ π
2 ,k∈Z



终边与y 轴非正半轴重合的角的集合为α α=2kπ- π
2 ,k∈Z



终边与y 轴重合的角的集合为α α=kπ+ π
2 ,k∈Z



终边与坐标轴重合的角的集合为α α= kπ
2 ,k∈Z



通关二、弧度制
1．角的弧度：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1 弧度的角．
规定: 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，|α| =
l
r ，l 是以角α 作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．
2. 弧度制：把弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制，比值l
r 与所取的大小无关，
仅与角的大小有关．
3．角度与弧度的换算：1° =
π
180 rad，1rad =
180
π


°．
4．常见特殊角的角度数与弧度数对照表：
·112·
角度数
0°
30°
45°
60°
90°
120°
150°
180°
270°
360°
弧度数
π
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
5π
6
π
3π
2
2π
通关三、三角函数线
各象限内的三角函数线
当角α 的终边与x 轴重合时，正弦线、正切线都变成一个点，此时角α 的正弦值和正切值
都为0；当角α 的终边与y 轴重合时，余弦线变成一个点，此时角α 的余弦值为0，正切值不存
在.
结论一、求角所在象限
己知角θ 的终边所在的象限，求θ
n 或nθ(n ∈N *) 的终边所在的象限的方法是：将θ 的范
围用不等式(含有k) 表示，然后两边同除以n 或乘以n，再对k 进行讨论，得到θ
n 或nθ(n ∈
N *) 所在的象限.
106
若角α 是第二象限角，试确定角2α，α
3 是第几象限角.
【解析】因为α 是第二象限角，所以90° +k ⋅360° < α < 180° +k ⋅360° (k ∈Z)，则：
(1)180° +2k ⋅360° < 2α < 360° +2k ⋅360° (k ∈Z)，所以2α 可能是第三象限角、第四象限角
或终边在y 轴非正半轴上的角．
(2)k ⋅120° + 30° < α
3 < k ⋅120° + 60°(k ∈Z)，
当k = 3n (n ∈Z) 时，nn ⋅360° + 30° < α
3 < n ⋅360° + 60°(n ∈Z)，此时α
3 是第一象限角；
当k = 3n + 1(n ∈Z) 时，n ⋅360° + 150° < α
3 < n ⋅360° + 180°(n ∈Z)，此时，α
3 是第二象限
角；
当k = 3n + 2(n ∈Z),n ⋅360° + 270° < α
3 < n ⋅360° + 300°(n ∈Z)，此时α
3 是第四象限角.
综上，α
3 可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角.
106
若α 是第一象限角, 求(1) α
2 是第几象限角?
·113·
(2) α
3 不在第几象限?
【解析】α 是第一象限角，故α 满足的集合为α 2kπ<α<2kπ+ π
2 ,k∈Z


，

(1)kπ < α
2 < kπ + π
4 ,k ∈Z，当k 为偶数时，α
2 为第一象限角；当k 为奇数时，α
2 为第三
象限角．故α
2 为第一象限角或第三象限角.
(2) 2
3 kπ < α
3 < 2
3 kπ + π
6 ,k ∈Z，当k = 3n,n ∈Z 时，α
3 为第一象限角；当k = 3n + 1,n
∈Z 时，α
3 为第二象限角；当k = 3n + 2,n ∈Z 时，α
3 为第三象限角．故α
3 不在第四象限.
结论二、终边相同的角
相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之
间相差360° 的整数倍. 所有与角α 终边相同的角β, 可构成一个集合S = {β|β = α + k ⋅360°,
k ∈Z}.
107
(1) 若角α 和β 的终边关于y 轴对称, 则角α 和β 之间的关系为
.
(2) 若角α 与β 的终边关于x 轴对称, 则角α 和β 之间的关系为
.
【答案】(1)α + β = (2k + 1)π(k ∈Z) (2)α + β = 2kπ(k ∈Z)
【解析】(1) 角α+β
2
的终边必在y 轴上，α+β
2
= π
2 + kπ，α + β = (2k + 1)π(k ∈Z).
(2) 角α+β
2
的终边必在x 轴上，α+β
2
= kπ，α + β = 2kπ(k ∈Z).
107
下列说法正确的是
(
)
A. 小于90° 的角是锐角
B. 钝角是第二象限角
C. 第二象限的角大于第一象限的角
D. 若角α 与角β 的终边相同，则α = kπ + β，k ∈Z
【答案】B
【解析】对于A 选项，负角不是锐角，比如“-30°”的角，故错误; 对于B 选项, 钝角范围是
“90° < α < 180°”，是第二象限角，故正确；对于C 选项，第二象限角取“91°”第一象限角取
“361°′, 故错误; 对于D 选项, 当角α 与角β 的终边相同, 则α = 2kπ + β,k ∈Z. 故错误. 综上,
故选B.
结论三、扇形的弧长与面积
1. 扇形的弧长公式
l = |α|r, 其中α 的单位是弧度,l 与r 的单位要统一. 角度制下的弧长公式为:l = nπr
180 (其
中n 为扇形圆心角的角度数).
2. 扇形的面积公式
·114·
S = 1
2 lr = 1
2 |α|r2.
角度制下的扇形面积公式为:S = nπr2
360 (其中n 为扇形圆心角的角度数).
108
已知扇形周长为10cm, 面积为6cm2 , 则扇形中心角对应的弧度数为
.
【答案】3 或4
3
【解析】设扇形中心角对应的强瓜度数为α (0 < α < 2π)，弧长为l，半径为r，由题意得
l+2r=10
1
2 lr=6

⇒r2- 5r + 6 = 0，所以r=2
l=6

或r=3
l=4

，所以α = l
r = 3 或4
3 .
108
已知扇形的周长为40cm, 当扇形面积最大时，扇形中心角所对应的弧度数是
.
【答案】2
【解析】设扇形中心角对应的弧度数为θ(0 < θ < 2π), 半径为r, 弧长为l, 面积为S,l +
2r = 40,l = 40 - 2r. 所以S = 1
2 lr = 1
2 (40 - 2r)r = 20r - r2 =- (r - 10)2 + 100. 当r = 10cm
时, 扇形的面积最大, 此时θ = l
r = 40-2×10
10
= 2.
结论四、三角函数线
设角α 的顶点与原点重合, 始边与x 轴非负半轴重合, 终边与单位圆相交于点P, 过P 作
PM 垂直于x 轴于M. 由三角函数的定义知, 点P 的坐标为(cosα,sinα), 即P(cosα,sinα), 其
中cosα = OM,sinα = MP, 单位圆与x 轴的正半轴交于点A, 单位圆在A 点的切线与α 的终
边或其反向延长线相交于点T, 则tanα = AT. 我们把有向线段OM,MP,AT 分别叫作α 的余
弦线、正弦线、正切线.
各象限内的三角函数线如下：
109
已知:x ∈0, π
2


, 求证:sinx < x < tanx.
【解析】证明构造单位圆, 如图所示. 设角x 与单位圆交于P, 则MP = sinx,AT = tanx, 如
图所示,PA

= x. 连结AP. 扇形POA 的面积= 1
2 PA

⋅OA = 1
2 x,△OAT 的面积= 1
2 OA ⋅AT
= 1
2 tanx. 因为S△POA < S扇形OAP < S△OAT, 即1
2 sinx < 1
2 x < 1
2 tanx，所以sinx < x < tanx.
·115·
109
已知α 为锐角, 求证:
(1)1 < sinα + cosα < π
2 ;
(2)sin3α + cos3α < 1.
【解析】证明：构造单位圆, 如图所示. 设角α 的终边与单位圆交于点P(x,y), 过P 作PM
⊥OA,PQ ⊥OB,M,Q 为垂足.
(1) 因为y = sinα,x = cosα, 在△OPM 中,|PM| +|OM| > |OP|, 所以
sinα + cosα > 1. 因为S△POA = 1
2 |OA| ⋅|PM| = 1
2 y = 1
2 sinα,
S△POB = 1
2 |OB| ⋅|PQ| = 1
2 x = 1
2 cosα,S扇形OAB = 1
4 π × 12= 1
4 π 而S△OAP +
S△OPB < S扇形OAB, 所以1
2 sinα + 1
2 cosα < 1
4 π, 即sinα + cosα < π
2 . 故1 < sinα + cosα
< π
2 .
(2) 因为0 < x < 1,0 < y < 1, 所以0 < sinα < 1,0 < cosα < 1, 所以sin3α < sin2α,cos3α
<
cos2α, 所以sin3α + cos3α < sin2α + cos2α = 1, 即sin3α + cos3α < 1.
·116·
第19 讲
同角三角函数关系
通关一、三角函数定义
设α 是一个任意角,P(x,y) 是角α 终边上任意一点(与原点不重合), 它与原点
的距离|PO| = r =
x2+y2(如图所示).
(1) 比值y
r 叫作α 的正弦, 记作sinα, 即sinα = y
r ;
(2) 比值x
r 叫作α 的余弦, 记作cosα, 即cosα = x
r ;
(3) 比值y
x 叫作α 的正切, 记作tanα, 即tanα = y
x (x ≠0).
要点诠释：
(1) 三角函数的值与点P 在终边上的位置无关, 仅与角的大小有关. 我们只需计算点到原
点的距离r =
x2+y2, 那么sinα =
y
x2+y2 ,cosα =
x
x2+y2 ,tanα = y
x .
(2) 三角函数符号是一个整体, 离开α 的sin,cos,tan 等是没有意义的, 它们表示的是一
个比值, 而不是sin,cos,tan 与α 的积.
通关二、三角函数在各象限的符号
在记忆上述三角函数值在各象限的符号时, 有以下口诀: 一全正, 二正弦, 三正切, 四余
弦。
·117·
通关三、特殊角的三角函数值
α
0
π
6
π
4
π
3
π
2
π
3π
2
sinα
0
1
2
2
2
3
2
1
0
-1
cosα
1
3
2
2
2
1
2
0
-1
0
tanα
0
3
3
1
3
不存在
0
不存在
结论一、任意角的三角函数
在直角坐标系中, 设α 是一个任意角,α 终边上任意一点P(除了原点) 的坐标为(x,y), 它
与原点的距离为r r=
|x|2+|y|2=
x2+y2>0


, 那么
(1) 比值y
r 叫作α 的正弦, 记作sinα, 即sinα = y
r ;
(2) 比值x
x 叫作α 的余弦, 记作cosα, 即cosα = x
r ;
(3) 比值y
x (x ≠0) 叫作α 的正切, 记作tanα, 即tanα = y
x .
110
已知角θ 的终边上一点P 的坐标是(x, -2) (x ≠0), 且cosθ = x
3 , 求sinθ 和tanθ
的值.
【解析】r =
x2+4，又cosθ = x
3 = x
r , 即rx = 3x．由于x ≠0，所以r = 3，所以x2 + 4 =
9，即x =± 5.
(1) 当x =
5 时,P 点的坐标是( 5, -2),sinθ = y
r =- 2
3 ,tanθ = y
x =- 2 5
5
.
(2) 当x =- 5 时,P 点的坐标是(- 5, -2),sinθ = y
r =- 2
3 ,tanθ = y
x = 2 5
5
.
110
已知角α 的终边上的一点P 的坐标为(- 3,y) (y ≠0), 且sinα =
2
4 y, 求cosα
和tanα 值.
【解析】由三角函数的定义知sinα =
y
y2+3
=
2
4 y ⇒y =± 5(y ≠0).
当y =
5 时,α 为第二象限角,sinα =
10
4
,cosα =
- 3
y2+3
=-
6
4 ,tanα =
y
- 3 =
-
15
3
;
当y =- 5 时,α 为第三象限角,sinα =-
10
4
,cosα =-
6
4 ,tanα =
15
3
.
结论二、三角函数值在各象限的符号
·118·
当角α 为第一象限角时,sinα > 0,cosα > 0,tanα > 0, 反之也成立;
当角α 为第二象限角时,sinα > 0,cosα < 0,tanα < 0, 反之也成立;
当角α 为第三象限角时,sinα < 0,cosα < 0,tanα > 0, 反之也成立;
当角α 为第四象限角时,sinα < 0,cosα > 0,tanα < 0, 反之也成立.
三角函数值在各象限内的符号口认: 一全正、二正弦、三正切、四余弦.
111
已知y = sinx
|sinx| + cosx
|cosx| + tanx
|tanx| , 则函数的值域为
.
【答案】-1

,3

【解析】由题知原函数定义域为x x≠kπ
2 ,k∈Z



. 当x 是第一像限角时,y = 1 + 1 + 1 = 3;
当x 是第二象限角时,y = 1 - 1 - 1 =-1; 当x 是第三象限角时,y =-1 - 1 + 1 =-1; 当x 是第
四象限角时,y =-1 + 1 - 1 =-1. 所以函数的值域为{-1,3}.
111
若sinθ
|sinθ| + |cosθ|
cosθ = 0, 则sin(cosθ) ⋅cos(sinθ) 的值().
A. 小于0
B. 大于0
C. 等于0
D. 不确定, 与θ 有关
【答案】D
【解析】sinθ
|sinθ| + |cosθ|
cosθ = 0 ⇔sinθ,cosθ 异号⇔θ 为第二像限或第四象限角.
(1) 若θ 是第二象限角, 则cosθ < 0,sinθ > 0, 又由正余弦函数的定义知-1 ≤sinθ,cosθ
≤1, 故-1 < cosθ < 0, 将它看成一个弧度数,cosθ 为第四象限角, 从而sin(cosθ) < 0; 同理0
< sinθ < 1, 为第一象限角, 故cos(sinθ) > 0. 所以, 当θ 是第二象限角时,sin(cosθ).
cos(sinθ) < 0
(2) 若θ 是第四象限角, 类似讨论得sin(cosθ) > 0,cos(sinθ) > 0 ⇒sin(cosθ) ⋅cos(sinθ)
> 0. 综上, 故选D.
结论三、已知一个三角函数值, 求其余两个三角函数值
一画，画一个直角三角形；二用，用勾股定理求出各条边；三求，求出当角α 为锐角时的三
角函数值；四定，利用α 所在象限确定符号．(特例：如出现以5、13、17、25 为分母的应考虑
其特殊角的三角函数值3
5 , 4
5 , 5
13 , 12
13 , 12
17 , 15
17 , 24
17 , 24
25 ).
112
已知α 是第一象限角,tanα = 3
4 , 则sinα 等于().
·119·
A. 4
5
B. 3
5
C. - 4
5
D. - 3
5
【答案】B
【解析】因为tanα = 3
4 , 所以sinα
cosα = 3
4 , 因为sin2α + cos2α = 1, 所以sin2α = 9
25 . 因为α
是第一象限角, 所以sinα = 3
5 . 故选B.
112
已知α ∈(0,π), 且cosα =- 3
5 , 则tanα = ().
A. 3
4
B. - 3
4
C. 4
3
D. - 4
3
【答案】D
【解析】因为α ∈(0,π), 且cosα =- 3
5 , 所以sinα =
1-cos2α =
1- - 3
5


2 = 4
5 ,
所以tanα = sinα
cosα =
4
5
- 3
5
=- 4
3 . 故选D.
结论四、同角三角函数的基本关系
1. 平方关系: sin2α + cos2α = 1
2. 公式常见变形: sin2α = 1 - cos2α,cos2α = 1 - sin2α
113
已知α 是第三象限角, 则
1+sinα
1-sinα -
1-sinα
1+sinα =
.
【答案】-2tanα
【解析】原式=
(1+sinα)(1+sinα)
(1+sinα)(1-sinα) -
(1-sinα)(1-sinα)
(1+sinα)(1-sinα)
=
(1+sinα)2
1-sin2α
-
(1-sinα)2
1-sin2α
= 1+sinα
|cosα| - 1-sinα
|cosα|
因为α 是第三象限角, 所以cosα < 0. 所以原式= 1+sinα
-cosα - 1-sinα
-cosα =-2tanα.
113
已知α 是第四象限角, 化简
1+sinα
1-sinα -
1-sinα
1+sinα 为
(
)
A. - 2tanα
B. 2tanα
C. tanα
D. - tanα
【答案】B
【解析】原式=
(1+sinα)(1+sinα)
(1+sinα)(1-sinα) -
(1-sinα)(1-sinα)
(1+sinα)(1-sinα)
=
(1+sinα)2
1-sin2α
-
(1-sinα)2
1-sin2α
= 1+sinα
|cosα| - 1-sinα
|cosα|
因为α 是第四象限角, 所以cosα > 0. 所以原式= 1+sinα
cosα
- 1-sinα
cosα
= 2tanα. 故选B.
结论五、已知tanα 值的求值问题(齐次式)
·120·
1. 利用商的关系tanα = sinα
cosα , 实现角α 的弦切互化.
2. 没有分式的变成分式, 利用分母为1, 且1 = sin2α + cos2α, 然后使分子、分母的次数相
同, 如果次数不够, 要补次, 主要利用sin2α + cos2α = 1, 再令分子、分母同除以cosnα, 得到
tanα, 代入可求值.
114
已知tanθ = 2, 则sin2θ + sinθcosθ - 2cos2θ = ().
A. - 4
3
B. 5
4
C. - 3
4
D. 4
5
【答案】D
【解析】原式= sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ
sin2θ+cos2θ
= tan2θ+tanθ-2
tan2θ+1
，代入tanθ = 2．故选D.
114
若tanα = 3
4 ，则cos2α + 2sin2α =
(
)
A. 64
25
B. 48
25
C. 1
D. 16
25
【答案】A.
【解析】因为tanα = 3
4 , 所以cos 2α + 2sin2α = cos2α+4sinαcosα
sin2α+cos2α
= 1+4tanα
tan2α+1 =
1+4× 3
4
9
16 +1
= 64
25 . 故选A.
结论六、三角函数“三剑客”
对于sinα + cosα，sinα ⋅cosα，sinα - cosα 这三个式子，若已知其中某一个式子的值，可
利用平方关系“sin2α + cos2α = 1”，灵活地运用方程思想, 求出另两个式子的值，即(sinα +
cosα)2= 1 + 2sinα ⋅cosα；
(sinα - cosα)2= 1 - 2sinα ⋅cosα；(sinα + cosα)2+ (sinα - cosα)2= 2.
115
已知sinα - cosα = 4
3 ，则sin2α =
(
)
A. - 7
9
B. - 2
9
C. 2
9
D. 7
9
【答案】A.
【解析】因为sinα - cosα = 4
3 , 所以(sinα - cosα)2= 1 - 2sinαcosα = 1 - sin2α = 16
9 ,
所以sin2α =- 7
9 . 故选A.
115
已知sinα - cosα = 1
5 ，求下列各式的值.
(1)sinαcosα；(2)sin3α - cos3α；(3)sin4α - cos4α.
【答案】(1) 12
25 ；(2) 37
125 ；(3) ± 7
25 .
·121·
【解析】1) (sinα - cosα)2= sin2α + cos2α - 2sinαcosα = 1
25 . 因为sin2α + cos2α = 1，所以
sinαcosα = 1
2 × 1- 1
25


= 12
25 .
(2) 原式= (sinα - cosα) sin2α+cos2α+sinαcosα


= 1
5 × 1+ 12
25


= 37
125 .
(3)
原式= sin2α+cos2α


sin2α-cos2α


= 1 × (sinα + cosα) (sinα - cosα) = 1
5 (sinα +
cosα)
因为sinα - cosα = 1
5 ，sinαcosα = 12
25 ，
所以(sinα + cosα)2= sin2α + cos2α + 2sinαcosα = 1 + 24
25 = 49
25 ，
所以sinα + cosα =± 7
5 , 所以原式= 1
5 (sinα + cosα) =± 7
5 × 1
5 =± 7
25 .
·122·
第20 讲
诱导公式
通关一、各角与角α 终边的关系
角
2kπ + α(k ∈Z)
π + α
-α
图示
与角α 终边的关系
相同
关于原点对称
关于x 轴对称
角
π - α
π
2 - α
π
2 + α
图示
与角α 终边的关系
关于y 轴对称
关于直线y = x 对称
互相垂直
通关二、诱导公式(k ∈Z)
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ + α(k ∈Z)
π + α
-α
π - α
π
2 - α
π
2 + α
正弦
sinα
-sinα
-sinα
sinα
cosα
cosα
余弦
cosα
-cosα
cosα
-cosα
sinα
-sinα
正切
tanα
tanα
-tanα
-tanα
口诀
函数名不变，符号看象限
函数名改变，符号看象
限
要点诠释：
·123·
诱导公式可简记为：奇变偶不变, 符号看象限.“奇”
“偶”指的是“k ⋅π
2 + α”中的整数k 是
奇数还是偶数；
“变”与“不变”是指函数的名称的变化. 若k 是奇数, 则正、余弦互变；若k 是偶
数, 则函数名称不变；
“符号看象限”指的是在“k ⋅π
2 + α”中, 将α 看成锐角时“k ⋅π
2 + α”的终
边所在的象限.
通关三、诱导公式化简原则
1.“负化正”运用-α 的诱导公式将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数；
2.“大化小”利用2kπ + α(k ∈Z) 的诱导公式将大于2π 的角的三角函数化为[0,2π) 内的
三角函数；
3.“小化锐”将大于π
2 的角的三角函数化为0, π
2


内的三角函数；
4.“锐求值”得到0, π
2


内的三角函数后, 若是特殊角可直接求得.
通关四、常见角度关系转化
常见的互余关系有π
3 - α 与π
6 + α, π
3 + α 与π
6 - α, π
4 + α 与π
4 - α 等;
常见的互补关系有π
3 + θ 与2π
3 - θ, π
4 + θ 与3π
4 - θ 等.
结论一、诱导公式一
sin(α + 2kπ) = sinα，cos(α + 2kπ) = cosα，tan(α + 2kπ) = tanα，其中k ∈Z.
116
sin 25π
6
+ cos 25π
3
+ tan - 25π
4


=
.
【答案】0.
【解析】原式= sin 4π+ π
6


+ cos 8π+ π
3


- tan 6π+ π
4


= sin π
6 + cos π
3 - tan π
4 = 1
2
+ 1
2 - 1 = 0.
116
已知方程sin(α + 3π) = 2cos(α + 4π)，cosα ≠0，则sin(π+α)+5cos(2π+α)
2sin 3π
2 -a


-sin(-α)
=
.
【答案】- 7
4 .
【解析】因为sin(α + 3π) = 2cos(α + 4π)，所以-sinα = 2cosα，且cosα ≠0，
原式= -sinα+5cosα
-2cosα+sinα = 2cosα+5cosα
-2cosα-2cosα = 7cosα
-4cosα =- 7
4 .
·124·
结论二、诱导公式二
sin(-α) =-sinα，cos(-α) = cosα，tan(-α) =-tanα.
117
cos -60°


的值等于
(
)
A. - 1
2
B. -
3
2
C. 1
2
D.
3
2
【答案】C.
【解析】cos -60°


= cos60° = 1
2 . 故选C.
117
化简cos2(-α) - tan 360°+α


sin(-α)
.
【答案】cos2α +
1
cosα .
【解析】cos2(-α) - tan 360°+α


sin(-α)
= cos2α - tanα
-sinα = cos2α +
sinα
cosα⋅sinα = cos2α +
1
cosα
结论三、诱导公式三
sin[(2k + 1)π + α] =-sinα，cos[(2k + 1)π + α] =-cosα，tan[(2k + 1)π + α] = tanα，其
中k ∈Z.
118
tan(π + α) =- 1
2 ，则sin(α - 7π)cos(α + 5π) =
.
【答案】- 2
5 .
【解析】tan(π + α) = tanα =- 1
2 ，原式= sinαcosα =
sinαcosα
sin2α+cos2α =
tanα
1+tan2α =- 2
5 .
118
化简sin(π+α)cos(3π+α)tan(-α+π)tan(α-2π)
tan(4π-α)sin(5π+α)
【答案】-sinα.
【解析】
sin(π+α)cos(3π+α)tan(-α+π)tan(α-2π)
tan(4π-α)sin(5π+α)
=
-sinα(-cosα)(-tanα)tanα
(-tanα)(-sinα)
=
-cosαtanα =-sinα.
结论四、诱导公式四
sin[(2k + 1)π - α] = sinα，cos[(2k + 1)π - α] =-cosα，tan[(2k + 1)π - α] =-tanα，其
中k ∈Z.
119
已知sin(θ + π) < 0，cos(θ - π) > 0，则下列不等关系中必定成立的是
(
)
A. sinθ < 0，cosθ > 0
B. sinθ > 0，cosθ < 0
C. sinθ > 0，cosθ > 0
D. sinθ < 0，cosθ < 0
·125·
【答案】-sinα.
【解析】因为sin(θ + π) < 0，所以-sinθ < 0，即sinθ > 0；又因为cos(θ - π) > 0，所以
-cosθ > 0，即cosθ < 0.
故选B.
119
在平面直角坐标系xOy 中, 角α 与角β 均以Ox 为始边, 它们的终边关于y 轴对
称, 若sinα = 1
3 , 则sinβ =
.
【答案】1
3 .
【解析】因为在平面直角坐标系xOy 中, 角α 与角β 均以Ox 为始边, 它们的终边关于y
轴对称, 所以
α + β = π + 2kπ，k ∈Z，所以sinβ = sin(π + 2kπ - α) = sinα = 1
3 .
结论五、诱导公式五
sin π
2 +α


= cosα，cos π
2 +α


=-sinα，sin π
2 -α


= cosα，cos π
2 -α


= sinα.
120
已知cos π
6 -α


= 2
3 ，则sin α- 2π
3


=
.
【答案】- 2
3 .
【解析】因为cos π
6 -α


= 2
3 ，且
π
6 -α


+ α- 2π
3


=- π
2 ，所以
sin α- 2π
3


= sin - π
2 -
π
6 -α




=-sin π
2 +
π
6 -α




=-cos π
6 -α


=- 2
3 .
120
若sin α- π
4


=
5
5 ，那么cos α+ π
4


的值为
(
)
A. 2 5
5
B. - 2 5
5
C.
5
5
D. -
5
5
【答案】D.
【解析】由题意得cos α+ π
4


= sin π
2 - α+ π
4




= sin π
4 -α


=-sin α- π
4


=-
5
5 .
故选D.
结论六、诱导公式六
sin 3π
2 +α


=-cosα，cos 3π
2 +α


= sinα，sin 3π
2 -α


=-cosα，cos 3π
2 -α


=-sinα.
121
设α 是第三象限角，且tanα = 2，则
sin π
2 -α


cos(π+α)
sin 3π
2 +α


=
.
【答案】-
5
5 .
【解析】
sin π
2 -α


cos(π+α)
sin 3π
2 +α


= cosα -cosα


-cosα
= cosα，又tanα = 2，α 是第三象限角，
·126·
所以易得cosα =-
5
5 .
121
已知α ∈0, π
2


，cosα = 4
5 ，则sin 3π
2 +α


=
【答案】- 4
5 .
【解析】因为cosα = 4
5 ，α ∈0, π
2


，所以sin 3π
2 +α


=-cosα =- 4
5 .
结论七、常见的一些关于参数k 的结论
1. sin(kπ + α) = (-1)ksinα(k ∈Z)；
2. cos(kπ + α) = (-1)kcosα(k ∈Z)；
3. sin(kπ - α) = (-1)k+1sinα(k ∈Z)；
4. cos(kπ - α) = (-1)kcosα(k ∈Z).
122
若n ∈Z，在①sin nπ+ π
3


；②sin 2nπ± π
3


；③sin nπ+(-1)n π
3


；
④cos 2nπ+(-1)n π
6


中，与sin π
3 相等的是
(
)
A. ①和②
B. ③和④
C. ①和④
D. ②和③
【答案】B.
【解析】①sin nπ+ π
3


=
sin π
3 ,n是偶数
-sin π
3 ,n是奇数

；②sin 2nπ± π
3


=±sin π
3 ;
③sin nπ+(-1)n π
3


= sin π
3 ；④cos 2nπ+(-1)n π
6


= sin π
3 .
综上，③和④与sin π
3 相等. 故选B.
122
化简
sin(kπ-α)cos(kπ+α)
sin[(k+1)π+α]cos[(k+1)π+α] ,k ∈Z.
【解析】(1) 若k 是偶数，即k = 2n,n ∈Z，则左边=
sin(2nπ-α)cos(2nπ+α)
sin[2nπ+(π+α)]cos[2nπ+(π+α)]
=
-sinαcosα
-sinα(-cosα) =-1；
(2) 若k 是奇数，即k = 2n + 1,n ∈Z，则左边= sin[2nπ+(π-α)]cos[2nπ+(π+α)]
sin[2(n+1)π+α]cos[2(n+1)π+α] =
sinα(-cosα)
sinαcosα
=-1.
综上，原式=-1.
·127·
第21 讲
两角和与差公式
通关一、两角和与差的余弦公式
Cα+β:cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ
Cα-β:cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ
【证明】证法一: 如图, 在直角坐标系xOy 内作单位圆O，并作出角α,β 与-β，使角α 的始
边为Ox，交⊙O 于点P1，终边交⊙O 于点P2；角β 的始边为OP2，终边交⊙O 于点P3，角-β
的始边为OP1，终边交⊙O 于点P4. 则P1(1,0)，P2(cosα,sinα)，P3(cos(α + β),sin(α + β))，P4
(cos(-β)sin(-β)). 由P1P3 = P2P4 及两点间的距离公式，得[cos(α + β) - 1]2 + sin2(α + β) =
[cos(-β) - cosα]2+ [sin(-β) - sinα]2.
展开并整理，得2 - 2cos(α + β) = 2 - 2(cosαcosβ - sinαsinβ), 所以cos(α + β) =
cosαcosβ - sinαsinβ. 于是cos(α - β) = cos[α + (-β)] = cosαcos(-β) - sinαsin(-β) =
cosαcosβ + sinαsinβ.
证法二: 如图，以坐标原点为中心作单位圆，以Ox 为始边作角α，β，
它们的终边分别与单位圆相交于点P,Q, 则P(cosα,sinα)，Q(cosβ,sinβ)，
|OP

| = |OQ


| = 1.
因此存在k ∈Z，使α - β = ‹OP

,OQ


› + 2kπ 或α - β =- ‹OP

,OQ


› + 2kπ 成立.
因为OP

⋅OQ


= (cosα,sinα) ⋅(cosβ,sinβ) = cosαcosβ + sinαsinβ ⋅
OP

⋅OQ


= |OP

| ⋅|OQ


| ⋅cos‹OP

,OQ


› = cos(α - β).
所以cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ.
于是cos(α + β) = cos[α - (-β)] = cosαcos(-β) + sinαsin(-β) = cosαcosβ - sinαsinβ.
·128·
通关二、两角和与差的正弦公式
Sα+β:sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ
Sα-β:sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ
【证明】sin(α + β) = cos -(α+β)+ π
2


= cos
-α+ π
2


-β


= cos -α+ π
2


cosβ + sin -α+ π
2


sinβ = sinαcosβ + cosαsinβ；
sin(α - β) = sin[α + (-β)] = sinαcos(-β) + cosαsin(-β) = sinαcosβ - cosαsinβ
通关三、两角和与差的正切公式
Tα+β:tan(α + β) =
tanα+tanβ
1-tanα⋅tanβ
Tα-β:tan(α - β) =
tanα-tanβ
1+tanα⋅tanβ
【证明】tan(α + β) = sin(α+β)
cos(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ
cosαcosβ-sinαsinβ ，
分子、分母同时除以cosαcosβ(cosαcosβ ≠0) 得
tan(α + β) = tanα+tanβ
1-tanαtanβ ，
把公式中的β 换为-β，得tan(α - β) = tanα-tanβ
1+tanαtanβ .
结论一、两角和与差的余弦
cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ 变形cosαcosβ - sinαsinβ = cos(α + β)
cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ 变形cosαcosβ + sinαsinβ = cos(α - β)
·129·
123
已知cos(α + β) = 1
5 ，cos(α - β) = 3
5 ，知tanα ⋅tanβ 的值为
.
【答案】1
2 .
【解析】依题意有
cosαcosβ-sinαsinβ= 1
5
cosαcosβ+sinαsinβ= 3
5

，所以
cosαcosβ= 2
5
sinαsinβ= 1
5

，所以tanα ⋅tanβ =
sinαsinβ
cosαcosβ = 1
2 .
123
若sinα + sinβ = 1 -
3
2 ，cosα + cosβ = 1
2 ，则cos(α - β) 的值为
(
)
A. 1
2
B. -
3
2
C.
3
4
D. 1
【答案】B.
【解析】
sinα+sinβ=1-
3
2 ①
cosα+cosβ= 1
2 ②

①2 + ②2 得2 + 2cos(α - β) = 2 -
3. 所以cos(α - β)
=-
3
2 . 故选B.
结论二、两角和与差的正弦
sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ 变形sinαcosβ + cosαsinβ = sin(α + β)
sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ 变形sinαcosβ - cosαsinβ = sin(α - β)
124
若sin(α + β) = 1
2 ，sin(α - β) = 1
3 ，则tanα
tanβ 的值为
(
)
A. 5
B. 1
C. 6
D. 1
6
【答案】A.
【解析】由题意知sinαcosβ + cosαsinβ = 1
2 ，sinαcosβ - cosαsinβ = 1
3 , 所以sinαcosβ
= 5
12 ，
cosαsinβ = 1
12 ，所以sinαcosβ
cosαsinβ = 5，即tanα
tanβ = 5. 故选A.
124
已知sinα + cosβ = 1，cosα + sinβ = 0，则sin(α + β) =
.
【答案】- 1
2
【解析】因为sinα + cosβ = 1，两边平方可得sin2α + 2sinαcosβ + cos2β = 1 ①，cosα +
sinβ = 0，
两边平方可得cos 2α + 2cosαsinβ + sin 2 β = 0 ②，由①+ ②得2 + 2(sinαcosβ +
cosαsinβ) = 1，
即2 + 2sin(α + β) = 1，所以2sin(α + β) =-1. 所以sin(α + β) =- 1
2 .
·130·
结论三、两角和与差的正切
tan(α + β) = tanα+tanβ
1-tanαtanβ ；tan(α - β) = tanα-tanβ
1+tanαtanβ 变形：
tanα + tanβ = tan(α + β) (1 - tanαtanβ)；
tanα + tanβ + tanαtanβtan(α + β) = tan(α + β)；
tanαtanβ = 1 - tanα+tanβ
tan(α+β) .
125
已知2tanθ - tan θ+ π
4


= 7，则tanθ =
(
)
A. - 2
B. - 1
C. 1
D. 2
【答案】D.
【解析】因为2tanθ - tan θ+ π
4


= 7, 所以2tanθ - tanθ+1
1-tanθ = 7. 令t = tanθ,t ≠1, 则2t
- 1+t
1-t = 7, 整理得t2- 4t + 4 = 0，解得t = 2，即tanθ = 2，故选D.
125
已知cos π
2 +α


= 2cos(π - α), 则tan π
4 -α


=
(
)
A. - 4
B. 4
C. - 1
3
D. 1
3
【答案】C
【解析】因为cos
π
2 +α


= 2cos(π - α), 所以-sinα =-2cosα ⇒tanα = 2, 所以
tan π
4 -α


= 1-tanα
1+tanα =- 1
3 ,
故选C.
结论四、正切定值
若α + β = π
4 , 则(1 + tanα) (1 + tanβ) = 2.
126
tan π
12 + tan π
6 + tan π
12 tan π
6 =
.
【答案】1
【解析】因为π
12 + π
6 = π
4 , 所以1+tan π
12


1+tan π
6


= 2,
tan π
12 + tan π
6 + tan π
12 tan 4
6
= 1+tan π
12


1+tan π
6


- 1 = 1.
126
1+tan17°


1+tan18°


1+lan27°


1+tan28°


的值是
(
)
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
【答案】B
【解析】因为17° + 28° = 45°, 所以1+tan17°


1+tan28°


= 2.
·131·
同理可得1+tan18°


× 1+tan27°


= 2.
所以1+tan17°


1+tan18°


1+tan27°


1+tan28°


= 4. 故选B.
结论五、给值求角问题
对于给值求角问题，一般的做法是求出这个角的正弦、余弦或者正切的某个值，然后关紧
断该角所在的范围，求出角。如果角度所在范围比较大，或者难以求出时，就需要考虑缩小角
的范围再做。
127
已知α,β 均为锐角, 且sinα =
1
5 ,cosβ =
3
10 , 则α + β =
.
【答案】π
4
【解析】解法一: 由已知得cosα = 2
5 ,sinβ =
1
10 ,
sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ =
2
2
又由于sinα =
1
5 <
2
2 = sin π
4 , 所以0 < α < π
4 ,cos π
4 =
2
2 <
3
10 = cosβ,
所以0 < β < π
4 . 所以0 < α + β < π
2 .
所以α + β = π
4 .
解法二：由已知得cosα = 2
5 ,sinβ =
1
10 ,cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ =
2
2 ,
又0 < α + β < π,
所以α + β = π
4 .
127
已知α,β 均为锐角, 且tanα = 1
2 ,tanβ = 1
5 ,tanγ = 1
8 , 则α + β + γ =
.
【答案】π
4
【解析】因为tanα = 1
2 ,tanβ = 1
5 , 所以tan(α + β) = tanα+tanβ
1-tanαtanβ =
1
2 + 1
5
1- 1
2 × 1
5
= 7
9 ,
所以tan[(α + β) + γ] = tan(α+β)+tanγ
1-tan(α+β)tanγ =
7
9 + 1
8
1- 7
9 × 1
8
= 1,
又因为0 < tanα = 1
2 < 1,
0 < tanβ = 1
5 < 1,0 < tanγ = 1
8 < 1, 所以0 < α < π
4 ,0 < β < π
4 ,0 < γ < π
4 ,
所以0 < α + β + γ < 3π
4 ,
所以α + β + γ = π
4 .
结论六、常见角的变换
·132·
15° = 45° - 30° = 60° - 45° = 30°
2
α = (α - β) + β = (α + β) - β = 2 ⋅α
2
2α = (α + β) + (α - β) = (α + β) - (β - α) =
π
4 +α


-
π
4 -α


2α - β = (α - β) + α = 2 α- β
2


= α - (β - α)
α +
π
2 -α


=
π
4 +α


+
π
4 -α


=
π
3 +α


+
π
6 -α


= π
2
π
4 +α


+
3π
4 -α


=
π
3 +α


+
2π
3 -α


=
π
6 +α


+
5π
6 -α


= π
128
(1) 求sin9°+cos15°sin6°
cos9°-sin15°sin6° 的值;
(2) 求2cos10°-sin20°
cos20°
的值:
(3) 求2cos80°-sin70°
cos70°
的值.
【解析】(1) 原式= sin 15°-6°


+cos15°sin6°
cos 15°-6°


-sin15°sin6° = sin15°cos6°
cos15°cos6° = sin15°
cos15°
= sin 60°-45°


cos 60°-45°


= sin60°cos45°-cos60°sin45°
cos50°
= 2 -
3.
(2) 原式= 2cos 30°-20°


-sin20°
cos20°
= 2 cos30°cos20°+sin30°sin20°


-sin20°
cos20°
=
3cos20°+sin20°-sin20°
cos20°
=
3.
(3) 原式= 2cos 150°-70°


-sin70°
cos70°
= 2 cos150°cos70°+sin150°sin70°


-sin70°
cos70°
= - 3cos70°+sin70°-sin70°
cos70°
=- 3.
128
已知tan α+ π
4


= 3, 则tanα =
.
【解析】解法一：tan α+ π
4


=
tanα+tan π
4
1-tanαtan π
4
= 3 ⇔tanα = 1
2 .
解法二：tanα = tan
α+ π
4


- π
4


=
tan α+ π
4


-tan π
4
1+tan α+ π
4


tan π
4
=
3-1
1+3×1 = 1
2 .
·133·
第22 讲
倍角与半角公式
通关一、二倍角公式
sin2α = 2sinαcosα
cos2α = cos2α - sin2α = 1 - 2sin2α = 2cos2α - 1
tan2α =
2tanα
1-tan2α
公式推导：把两角和与差公式中的β 代换为α，则可得到二倍角公式。
sin2α = sin(α + α) = sinαcosα + cosαsinα = 2sinαcosα;
cos2α = cos(α + α) = cosα ⋅cosα - sinα ⋅sinα = cos2α - sin2α
再利用sin2α + cos2α = 1，可得：
cos2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - 1 = 1 - 2sin2α.
tan2α = tan(α + α) =
tanα+tanα
1-tanα⋅tanα =
2tanα
1-tan2α .
通关二、半角公式
tan α
2 =
sin α
2
cos α
2
=±
sin2 α
2
cos2 α
2
=±
1-cosα
1+cosα
tan α
2 =
sin α
2
cos α
2
=
2sin α
2 sin α
2
2sin α
2 cos α
2
= 1-cosα
sinα
tan α
2 =
sin α
2
cos α
2
=
2cos α
2 sin α
2
2cos α
2 cos α
2
=
sinα
1+cosα
通关三、三倍角公式
sin3θ = 3sinθ - 4sin3θ,cos3θ = 4cos3θ - 3cosθ,tan3θ = tan3θ-3tanθ
3tan2θ-1
通关四、三角函数化简的“三看”原则
·134·
1．一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从
而正确使用公式；
2．二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
3．三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式
要通分”等。
结论一、二倍角正弦
sin2α = 2sinαcosα
变形1:sinαcosα = 1
2 sin2α
变形2:(sinα ± cosα)2= 1 ± sin2α
129
设sin π
4 +θ


= 1
3 , 则sin2θ =
(
)
A. - 7
9
B. - 1
9
C. 1
9
D. 7
9
【答案】A
【解析】解法一sin π
4 +θ


= 1
3 ，展开后得
2
2 (sinθ + cosθ) = 1
3 ，所以(sinθ + cosθ) =
2
3 , 两边平方得1 + sin2θ = 2
9 , 所以sin2θ =- 7
9 . 故选A.
解法二sin2θ =-cos π
2 +2θ


=-cos2 π
4 +θ


= 2sin2 π
4 +θ


- 1 =- 7
9 . 故选A
129
若cos π
4 -α


= 3
5 , 则sin2α =
(
)
A. 7
25
B. 1
5
C. - 1
5
D. - 7
25
【答案】D
【解析】解法一：因为cos π
4 -α


=
2
2 (sinα + cosα) = 3
5 ，所以sinα + cosα = 3 2
5
，两
边平方得1 + sin2α = 18
25 , 所以sin2α =- 7
25 . 故选D.
解法二：sin2α = sin 2α- π
2 + π
2


= cos π
2 -2α


= 2 ×
3
5


2- 1 =- 7
25 . 故选D.
结论二、二倍角余弦
cos2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - 1 = 1 - 2sin2α
变形1: 升幂公式: 1+cos2α=2cos2α
1-cos2α=2sin2α

·135·
变形2: 降幂公式:
cos2α= 1
2 (1+cos2α)
sin2α= 1
2 (1-cos2α)

变形3: 平方差公式:cos2α = (cosα + sinα) (cosα - sinα)
130
若sinx =- 2
3 ，则cos2x =
.
【答案】1
9
【解析】cos2x = 1 - 2sin2x = 1 - 2 × - 2
3


2= 1 - 8
9 = 1
9 .
130
已知cosα =
2
4 , 则cos(π - 2α) =
(
)
A. - 3 2
8
B. - 3
4
C. 3 2
8
D. 3
4
【答案】D
【解析】由题意，利用诱导公式求得cos(π - 2α) =-cos2α = 1 - 2cos2α = 1 - 2 ×
2
4


2
= 3
4 . 故选D.
结论三、二倍角正切
tan2α =
2tanα
1-tan2α
131
已知sin α- π
3


=-3cos α- π
6


. 则tan2α =
(
)
A. - 4 3
B. -
3
2
C. 4 3
D.
3
2
【答案】A
【解析】由题意1
2 sinα -
3
2 cosα =-3 ×
3
2 cosα+ 1
2 sinα


，则tanα =-
3
2 ，
故tan2α =
2tanα
1-tan2α =-4 3. 故选A.
131
已知tanα = 2, 则sin22α-2cos22α
sin4α
=
.
【答案】1
12
【解析】tan2α =
2tanα
1-tan2α =- 4
3 , 所以sin22α-2cos22α
sin4α
= sin22α-2cos22α
2sin2αcos2α
= tan22α-2
2tan2α
=
16
9 -2
2× - 4
3


= 1
12
结论四、万能公式
·136·
sin2θ =
2tanθ
1+lan2θ ,cos2θ = 1-lan2θ
1+tan2θ
132
若tan α- π
4


=- 1
3 , 则cos2α 等于
(
)
A. 3
5
B. 1
2
C. 1
3
D. - 3
【答案】A
【解析】已知tan α- π
4


=- 1
3 = tanα-1
1+tanα ，解得tanα = 1
2 ，
cos2α = cos2α - sin2α = cos2α-sin2α
cos2α+sin2α = 1-tan2α
1+tan2α ，将正切值代入得到3
5 ，故选A.
132
若sin α+ π
4


=
2(sinα + 2cosα)，则sin2α =
(
)
A. - 4
5
B. 4
5
C. - 3
5
D. 3
5
【答案】C
【解析】因为sin α+ π
4


=
2 (sinα + 2cosα) =
2
2 (sinα + cosα)，sinα + 3cosα = 0，所
以tanα =-3, 所以sin2α =
2sinαcosα
sin2α+cos2α =
2tanα
1+tan2α =- 3
5 . 故选C.
结论五、半角公式
1. 半角的正弦、余弦、正切公式
sin α
2 =±
1-cosα
2
，cos α
2 =±
1+cosα
2
，tan α
2 =±
1-cosα
1+cosα
2. 半角正切的变形公式
①tan α
2 =
sin α
2
cos α
2
=
2sin2 α
2
2sin α
2 cos α
2
= 1-cosα
sinα
②tan α
2 =
sin α
2
cos α
2
=
2sin α
2 cos α
2
2cos2 α
2
=
sinα
1+cosα
133
若cosα = 3
5 , 且α ∈0, π
2


, 则tan α
2 =
.
【答案】1
2
【解析】由cosα = 3
5 ,α ∈0, π
2


, 得sinα =
1-cos2α = 4
5 ,
tan α
2 =
sin α
2
cos α
2
=
2sin2α
2sin α
2 cos α
2
= 1-cosα
sinα
=
1- 3
5
4
5
= 1
2 .
133
已知α 是第四象限的角，且sinα + cosα = 1
5 ，则tan α
2 =
(
)
·137·
A. 1
3
B. - 1
3
C. 1
2
D. - 1
2
【答案】B
【解析】因为sinα + cosα = 1
5 ，α 是第四象限的角，所以sinα =- 3
5 ，cosα = 4
5 ，则
tan a
2 =
sin a
2
cos α
2
=
2sin2 α
2
2sin α
2 cos α
2
= 1-cosα
sinα
=- 1
3 . 故选B.
结论六、辅助角公式
当a > 0 时,asinα + bcosα =
a2+b2sin(α + φ)，tanϕ = b
a (ab ≠0)，角ϕ 的终边过点(a,
b).
常见的几个公式：
sinα ± cosα =
2 sin α± π
4


；sinα ±
3 cosα = 2 sin α± π
3


；3 sinα ± cosα =
2sin α± π
6


.
134
函数y =
3sin2x + cos2x 的最小正周期为
(
)
A. π
2
B. 2π
3
C. π
D. 2π
【答案】C
【解析】函数y =
3sin2x + cos2x = 2sin 2x+ π
6


, 因为ω = 2，所以T = π. 故选C.
134
函数f(x) = sin2x +
3sinxcosx 在区间
π
4 ，π
2


上的最大值是
(
)
A. 1
B. 1+
3
2
C. 3
2
D. 1 +
3
【答案】C
【解析】f(x) = 1-cos2x
2
+
3sin2x
2
=
3
2 sin2x - 1
2 cos2x + 1
2 = sin 2x- π
6


+ 1
2 .
由x ∈
π
4 ，π
2


知2x - π
6 ∈
π
3 , 5π
6


，所以sin 2x- π
6


∈
1
2 ，1


，所以函数f(x) 的最大值
是3
2 .
第23 讲
三角函数性质
通关一、y = sinx，y = cosx，y = tanx 的图像与性质
性质
函数
y = sinx
y = cosx
y = tanx
定义
R
R
x x≠kπ+ π
2 ,k∈Z



·138·
域
图
像
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
对称
性
对称轴：x = kπ + π
2 ,(k ∈Z)
2kπ- π
2 ,2kπ+ π
2


(k ∈Z)
对称中心：(kπ,0) (k ∈Z)
对称轴：x = kπ,(k ∈Z)
对称中心：
kπ+ π
2 ,0


(k ∈Z)
对称中心：k
2 π,0


(k ∈
Z)
周期
性
T = 2π
T = 2π
T = π
单调
性
单调增区间：
2kπ- π
2 ,2kπ+ π
2


(k ∈Z)
单调减区间：
2kπ+ π
2 ,2kπ+ 3π
2


(k ∈Z)
单调增区间：[2kπ - π,
2kπ] (k ∈Z)
单调减区间：[2kπ,2kπ
+ π] (k ∈Z)
单调增区间：
kπ- π
2 ,kπ+ π
2


(k ∈Z)
奇偶
性
奇函数
偶函数
奇函数
通关二、y = Asin(ωx + φ) 与y = Acos ωx+φ


(A > 0,ω > 0) 的图像与性质
类别
y = Asin(ωx + φ)
y = Acos ωx+φ


综述
类比研究y = sinx ( y = cosx ) 的性质，只需将y = Asin ( ωx + φ )
y=Acos ωx+φ




中的ωx + φ 看成y = sinx(y = cosx) 中的x ，但在求y =
Asin ωx+φ


y=Acos ωx+φ




的单调区间时，要特别注意A 和ω 的符号，通过
诱导公式先将ω 化正.
图像
解法一(五点法) : 设X = ωx + φ, 令X = 0, π
2 ,π, 3π
2 ,2π 求出相应的值, 计算
得出五点的坐标, 描点后得出图像.
解法二(图像变换法) : 先作出y = sinx(y = cosx) 的图像, 再进行图像的平移、
伸缩变换. 这是作函数简图常用的方法.
共性
①振幅：A；②最小正周期：T = 2π
ω ；③频率f = 1
T = ω
2π ; ④相位：ωx + φ；⑤初
·139·
相：φ；⑥定义域：R；⑦值域：-A,A


.
【解
析】式
函数【解析】式中未知系数的确定：
①A 由最值确定；②ω 由周期确定；③初相φ 由图像上的特殊点确定，代点(最
高、低) 法
性
质
最
值
当ωx + φ = π
2 + 2kπ(k ∈Z) 时，取最大
值A;
当ωx + φ =- π
2 + 2kπ(k ∈Z) 时，取最小
值-A
当ωx + φ = 2kπ(k ∈Z) 时，取最大值
A;
当ωx + φ =-π + 2kπ(k ∈Z) 时，取最
小值-A
对
称
轴
令ωx + φ = π
2 + kπ(k ∈Z) 得对称轴x =
kπ+ π
2 -φ
ω
(k ∈Z)
令ωx + φ = kπ(k ∈Z) 得对称轴x =
kπ+(-φ)
ω
(k ∈Z)
对
称
中
心
令ωx + φ = kπ ( k ∈Z ) 得对称中心
kπ-φ
ω
,0


(k ∈Z)
令ωx + φ = π
2 + kπ(k ∈Z) 得对称中
心
kπ+ π
2 -φ
ω
，0






(k ∈Z)
单
调
性
ωx + φ ∈2kπ- π
2 ，2kπ+ π
2


(k ∈Z ) 得
增区间；
ωx + φ ∈2kπ+ π
2 ，2kπ+ 3π
2


(k ∈Z) 得
减区间
ωx + φ ∈-π+2kπ,2kπ


(k ∈Z ) 得
增区间；
ωx + φ ∈2kπ，π+2kπ


(k ∈Z) 得减
区间
平移、
伸缩
图像的平移与伸缩永远发生在x 与y 本身
结论一、求三角函数解析式
y = Asin(ωx + φ) + b 或y = Acos(ωx + φ) + b,A 称为振幅,ωx + φ 称为相位,φ 称为初
相.
①b 的确定: y = b 表示该三角函教的平衡位置,b = ymax+ymin
2
.
②A 的确定: 最高点或最低点到平衡位置的距离为振幅,A = ymax-ymin
2
.
③ω 的确定: 先求周期, 两个相邻最高点或最低点之间的距高为一个周期T, 一个最高点
与相邻的一个最低点之间的距离或两个相邻的零点之间的距离为半个周期T
2 , 一个最高点
(最低点) 与相邻的零点之间的距离为T
4 , 然后利用ω = 2π
T .
④φ 的确定: 代入图像上一个点的坐标[通常代入最高点或最低点, 不能代入零点(平衡
·140·
点) ] 或通过平移.
135
已知函数f(x) = Asin(ωx + φ) x∈R,A>0,φ>0,|φ|< π
2


的图像(部分) 如图所
示, 则f(x) 的解析式是
(
)
A. f(x) = 2sin πx+ π
3


B. f(x) = 2sin 2πx+ π
6


C. f(x) = 2sin πx+ π
6


D. f(x) = 2sin 2πx+ π
3


【答案】C
【解析】由图像可知A = 2, 最小正周期T = 4 ×
5
6 - 1
3


= 2, 所以ω = 2π
T = 2π
2 = π, 所
以f(x) = 2sin(πx + φ). 又因为f
1
3


= 2, 即2sin π
3 +φ


= 2, 即sin π
3 +φ


= 1, 所以π
3 +
φ = 2kπ + π
2 ,k ∈Z, 所以φ = π
6 + 2kπ,k ∈Z. 又因为|φ| < π
2 , 所以φ = π
6 , 所以f(x) =
2sin πx+ π
6


. 故选C.
135
已知函数f(x) = Acos(ωx + φ) 的图像如图所示，f π
2


=- 2
3 , 则f(0) = (
)
A. - 2
3
B. - 1
2
C. 2
3
D. 1
2
【答案】C
【解析】解法一: 由图像可知T = 2π
3 , 则ω = 3, 所以f(x) = Acos(3x + φ). 因为f π
2


=
- 2
3 , 所以Asinφ =- 2
3 , 而f(0) = Acosφ, 由于点
7π
12 ,0


在递增的那段曲线上, 所以3 ⋅7π
12
= 7π
4 ∈[2kπ + π,2kπ + 2π],k ∈Z, 所以φ = 2kπ - π
4 ,k ∈Z, 所以sinφ =-
2
2 ,cosφ =
2
2 ,
解得A = 2 2
3
. 所以f(0) = 2 2
3
×
2
2 = 2
3 . 故选C.
·141·
解法二: 由图像可知最小正周期为2π
3 , 于是f(0) = f 2π
3


, 注意到2π
3 与π
2 关于7π
12 对
称, 则f 2π
3


=-f π
2


= 2
3 . 故选C.
结论二、三角函数单调性
1. y = sinx: 2kπ- π
2 ,2kπ+ π
2


(k ∈Z) ↗, 2kπ+ π
2 ,2kπ+ 3π
2


(k ∈Z) ↘
2. y = cosx:[2kπ - π,2kπ] (k ∈Z) ↗,[2kπ,2kπ + π] (k ∈Z) ↘
3. y = Asin(ωx + φ) (A > 0,ω > 0) 的单调性可根据y = sint 和t = ωx + φ 的单调性来研
究, 由- π
2 + 2kπ ≤ωx + φ ≤π
2 + 2kπ,k ∈Z 得单调递增区间; 由π
2 + 2kπ ≤ωx + φ ≤3π
2 +
2kπ,k ∈Z 得单调递减区间;
4. y = Acos(ωx + φ) (A > 0,ω > 0) 的单调性可根据y = cost 和t = ωx + φ 的单调性来研
究, 由2kπ - π ≤ωx + φ ≤2kπ,k ∈Z 得单调递增区间; 由2kπ ≤ωx + φ ≤2kπ + π,k ∈Z 得单
调递减区间.
136
设ω > 0,f(x) = sinωxcosωx 在区间- π
6 , π
3


上单调增加, 则ω 的最大值为
(
)
A. 3
2
B. 5
4
C. 4
3
D. 3
4
【答案】D
【解析】ω > 0, 函数f(x) = sinωxcosωx 在区间- π
6 , π
3


上单调增加, 因为ω > 0,
函数f(x) = sinωxcosωx = 1
2 sin2ωx, 所以f(x) 的增区间满足: - π
2 + 2kπ ≤2ωx ≤π
2 +
2kπ,k ∈Z, 解得- π
4ω + k
ω π ≤x ≤π
4ω + k
ω π,k ∈Z, 当k = 0 时f(x) 的增区间为
- π
4ω , π
4ω


. 因为函数f(x) = sinωxcosωx 在区间- π
6 , π
3


上单调单加, 所以
- π
4ω ≤- π
6
π
4ω ≥π
3

,
解得0 ≤ω ≤3
4 . 所以ω 的最大值为3
4 . 故选D.
136
函数f(x) = cos(ωx + φ) 的部分图像如图所示, 则f(x) 的单调递减区间为
(
)
A. kπ- 1
4 ,kπ+ 3
4


,k ∈Z
B. 2kπ- 1
4 ,2kπ+ 3
4


,k ∈Z
C. k- 1
4 ,k+ 3
4


,k ∈Z
D. 2k- 1
4 ,2k+ 3
4


,k ∈Z
·142·
【答案】D
【解析】由函数f(x) = cos(ωx + φ) 的部分图像可得函数的周期为2π
ω = 2 ×
5
4 - 1
4


=
2, 所以ω = π,f(x) = cos(πx + φ). 再根据函数的图像及五点法作图, 可得π
4 + φ = π
2 ,k ∈Z,
即φ = π
4 ,f(x) = cos πx+ π
4


. 由2kπ ≤πx + π
4 ≤2kπ + π, 求得2k - 1
4 ≤x ≤2k + 3
4 , 故
f(x) 的单调递减区间为2k- 1
4 ,2k+ 3
4


,k ∈Z. 故选D.
结论三、三角函数奇偶性的结论
1. 若y = Asin(x + φ) 为奇函数, 则φ = kπ(k ∈Z);
2. 若y = Asin(x + φ) 为偶函数, 则φ = kπ + π
2 (k ∈Z);
3. 若y = Acos(x + φ) 为奇函数, 则φ = kπ + π
2 (k ∈Z);
4. 若y = Acos(x + φ) 为偶函数, 则φ = kπ(k ∈Z);
5. 若y = Atan(x + φ) 为奇函数, 则φ = kπ
2 (k ∈Z), 该函数不可能为偶函数.
137
使函数f(x) = sin(2x + φ) 为偶函数的最小正数φ =
(
)
A. π
B. π
2
C. π
4
D. π
8
【答案】B
【解析】因为函数f(x) = sin(2x + φ) 为偶函数, 所以φ = kπ + π
2 (k ∈Z), 所以使函数f(x)
= sin(2x + φ) 为偶函数的最小正数φ = π
2 . 故选B.
137
若将函数f(x) = sin 2x+ π
4


的图像向右平移φ 个单位, 所得图像关于y 轴对
称, 则φ 的最小正值是
(
)
A. π
8
B. π
4
C. 3π
8
D. π
2
【答案】C
【解析】将函数f(x) = sin 2x+ π
4


的图像向右平移φ 个单位, 所得图像对应的函数【解
析】式为y = sin 2(x-φ)+ π
4


= sin 2x+ π
4 -2φ


, 关于y 轴对称, 则π
4 - 2φ = kπ + π
2 ,k ∈
·143·
Z, 即φ =- kπ
2 - π
8 , 故φ 的最小正值为3π
8 . 故选C.
结论四、三角函数对称性结论
1. 函数y = sinx 的对称轴为x = kπ + π
2 (k ∈Z), 对称中心为(kπ,0) (k ∈Z);
2. 函数y = cosx 的对称轴为x = kπ(k ∈Z), 对称中心为kπ+ π
2 ,0


(k ∈Z);
3. 函数y = tanx 无对称轴, 对称中心为
kπ
2 ,0


(k ∈Z);
4. 函数y = Asin(ωx + φ) + b(ω ≠0) 对称轴的求法: 令ωx + φ = π
2 + kπ(k ∈Z), 得x =
π
2 +kπ-φ
ω
(k ∈Z); 对称中心的求法: 令ωx + φ = kπ(k ∈Z), 得x = kπ-φ
ω
, 即对称中心为
kπ-φ
ω
,b


(k ∈Z);
5. 函数y = Acos(ωx + φ) + b(ω ≠0) 对称轴的求法: 令ωx + φ = kπ(k ∈Z), 得
x = kπ-φ
ω
(k ∈Z); 对称中心的求法: 令ωx + φ = π
2 + kπ(k ∈Z), 得x =
π
2 +kπ-φ
ω
,
即对称中心为
π
2 +kπ-φ
ω
,b






(k ∈Z).
138
已知函数y = sinωx(ω > 0) 的图像关于直线x = π
3 对称, 则ω 的最小值为(
)
A. 2
B. 3
2
C. 2
3
D. 1
2
【答案】B
【解析】因为函数y = sinωx(ω > 0) 的图像关于直线x = π
3 对称, 所以ω × π
3 = kπ + π
2 ,
k ∈Z, 当k = 0 时, 解得ω = π
2 × 3
π = 3
2 . 所以ω 的最小值为3
2 . 故选B.
138
函数f(x) = cos(3x + φ),x ∈R 的图像关于原点中心对称, 则φ =
(
)
A. π
3
B. kπ + π
2 ,k ∈Z
C. kπ,k ∈Z
D. 2kπ - π
2 ,k ∈Z
【答案】B
【解析】因为函数图像关于原点中心对称, 且x ∈R, 所以函数图像过原点, 即f(0) = 0.
所以cosφ = 0, 即φ = kπ + π
2 ,k ∈Z. 故选B.
结论五、三角函数周期性结论
1. 函数y = Asin(ωx + φ) + b,y = Acos(ωx + φ) + b,y = Atan(ωx + φ) + b 的周期
·144·
分别为: T = 2π
|ω| ,T = 2π
|ω| ,T = π
|ω| .
2. 函数y = |Asin(ωx + φ)|,y = |Acos(ωx + φ)|,y = |Atan(ωx + φ)| 的周期均为T = π
|ω|
3. 函数y = |Asin(ωx + φ) + b|(b ≠0),y = |Acos(ωx + φ) + b|(b ≠0) 的周期均为T =
2π
|ω| .
139
在函数①y = cos|2x|, ②y = |cosx|, ③y = cos 2x+ π
6


, ④y = tan 2x- π
4


中,
最小正周期为π 的所有函数为
(
)
A. (1) (2) (3)
B. (1) (3) (4)
C. (2) (4)
D. (1) (3)
【答案】A
【解析】因为函数①y = cos|2x| = cos2x, 所以它的最小正周期为2π
2 = π; 函数②y =
|cosx| 的最小正周期为1
2 ⋅2π
1 = π; 函数③y = cos 2x+ π
6


的最小正周期为2π
2 = π; 函数④
y = tan 2x- π
4


的最小正周期为π
2 . 故选A.
139
函数f(x) = sin2 x- π
4


- cos2 x- π
4


中
(
)
A. 最小正周期为π 的奇函数
B. 最小正周期为π 的偶函数
C. 最小正周期为π
2 的奇函数
D. 最小正周期为π
2 的偶函数
【答案】A
【解析】f(x) = sin2 x- π
4


- cos2 x- π
4


=-cos 2x- π
2


=-sin2x. 所以y =-sin2x
最小正周期为T = 2π
2 = π,f(-x) =-sin(-2x) = sin2x =-f(x). 所以函数为奇函数. 故选A.
·145·
第24 讲
三角函数图像变换及最值
通关一、三角函数图像变换
由函数y = sinx 的图像变换为函数y = Asin(ωx + φ) + b(A,ω > 0) 的图像.
方法一(x →x + φ →ωx + φ): 先相位变换, 后周期变换, 再振幅变换.
y = sinx 的图像
向左平移φ个单位(φ>0)
向右平移|φ|个单位(φ<0)
y = sin(x + φ) 的图像
点的横坐标变为原来的1
ω 倍
纵坐标不变

y = sin(ωx + φ) 的图像
点的纵坐标变为原来的A倍
横坐标不变
y = Asin(ωx + φ) 的图像
向上平移b个单位(b>0)
向下平移b


个单位(b<0)
y = Asin(ωx + φ) + b.
方法二(x →ωx →ωx + φ): 先周期变换, 后相位变换, 再振幅变换.
y = sinx 的图像
所有点的横坐标变为原来的1
ω 倍
纵坐标不变
y = sinωx 的图像
向左平移φ
ω 个单位(φ>0)
向右平移φ
ω

个单位(φ<0)
y = sin(ωx + φ) 的图像
所有点的纵坐标变为原来的A倍
横坐标不变
y = Asin(ωx +
φ) 的图像
向上平移b个单位(b>0)
向下平移b


个单位(b<0)
y = Asin(ωx + φ) + b
通关二、三角函数最值题型归类
1.y = asinx + bcosx + c, 引入辅助角φ tanφ= b
a


, 化为y =
a2+b2sin(x + φ) + c 求
解.
2.y = asin2x + bsinx + c, 设t = sinx, 化为二次函数y = at2+ bt + c 在闭区间[-1,1], 上
的最值求解, 也可以是y = acos2x + bsinx + c 或y = acos2x + bsinx + c 型.
3.y = asinxcosx + b(sinx ± cosx) + c, 设t = sinx ± cosx, 则t2= 1 ± 2sinxcosx, 故
sinxcosx =± t2-1
2
, 故原函数化为二次函数y = a ⋅± t2-1
2


+ bt + c 在闭区间[- 2,
2] 上的最值求解.
4. y = asinx+b
csinx+d 与y = asinx+b
ccosx+d , 根据根函数的有界性, 既可用分析法求最值,
也可用不等式法求最值, 更可用数形结合法求最值. 这里需要注意的是化为关于sinx 或
cosx 的函数求解时务必注意sinx 或cosx 的范围.
·146·
结论一、五点法作y = Asin(ωx + φ) (A > 0,ω > 0) 的图像
找五个关键点, 分别为使y 取得最小值、最大值的点和曲线与x 轴的交点. 其步聚为:
1. 先确定周期T = 2π
ω , 在一个周期内作出图像;
2. 令X = ωx + φ, 令X 分别取0, π
2 ,π, 3π
2 ,2π, 求出对应的x 值, 列表如下:
X = ωx + φ
0
π
2
π
3π
2
2π
x
- φ
ω
π
2 -φ
ω
π-φ
ω
3π
2 -φ
ω
2π-φ
ω
y = Asin(ωx +
φ)
0
A
0
-A
0
由此可得五个关键点；
3. 描点画图，再利用函数的周期性把所得图像向左右分别延伸，得到y = Asin(ωx + φ)
的图像.
140
画出函数y = 3sin 2x+ π
3


,x ∈R 的简图, 并说明此函数图形怎样由y = sinx 的
图像变化而来.
【解析】由五点法列表:
x
- π
6
π
12
π
3
7π
12
5π
6
2x + π
3
0
π
2
π
3π
2
2π
3sin 2x+ π
3


0
3
0
-3
0
描点画图如下:
这种曲线也可由图像变换得到, 即
y = sinx
左移π
3 个单位

y = sin x+ π
3


横坐标不变
纵坐标缩小1
2 倍


y = sin 2x+ π
3


纵坐标扩大3倍
横坐标不变

y
·147·
= 3sin 2x+ π
3


140
如何由y = 1
3 sin 2x+ π
3


的图像得到y = sinx 的图像.
【解析】解法一: y = 1
3 sin 2x+ π
3


横坐标扩大为原来的2倍
纵坐标不变


y =
1
3 sin x+ π
3


初象向右平移π
3 个单位
纵坐标不变


y = 1
3 sinx 纵坐标扩大为原来的3倍
横坐标不变


y = sinx.
解法二:
(1) 先将y = 1
3 sin 2x+ π
3


的图像向右平移π
6 个单位, 得到y = 1
3 sin2x 的图像;
(2) 再将y = 1
3 sin2x 上各点的横坐标扩大为原来的2 倍(纵坐标不变), 得到y = 1
3 sinx
的图像;
(3) 再将y = 1
3 sinx 图像上各点的纵坐标扩大为原来的3 倍(横坐标不变), 即可得到y
= sinx 的图像.
结论二、y = asin2x + bsinx + c 型函数的最值
可将y = asin2x + bsinx + c 中的sinx 看作t, 即令t = sinx, 则y = at2 + bt + c, 这样就
转化为二次函数的最值问题. 但这里应注意换元前后变量的取值范围要保持不变, 即要根据
给定的x 的取值范围, 求出t 的取值范围.
141
设x ∈- π
6 , 2π
3


, 则函数y = 4sin2x - 12sinx - 1 的值域为
.
【答案】[-9,6]
【解析】令t = sinx, 由于x ∈- π
6 , 2π
3


, 故t ∈- 1
2 ,1


,y = 4t2 - 12t - 1 = 4 t- 3
2


2 -
10. 因为当t ∈- 1
2 ,1


时, 函数单调递减, 所以当t =- 1
2 , 即x =- π
6 时, ymax = 6; 当t = 1,
即x = π
2 时, ymin =-9.
141
函数y = 4sinx + cos2x 的值域为
(
)
A. [-5,4]
B. [3,7]
C. [-5,3]
D. [-1,3]
【答案】C
【解析】因为y = 4sinx + 1-2sin2x


=-2sin2x + 4sinx + 1 =-2(sinx - 1)2 + 3，当sinx
=-1 时，函数y 取得最小值-5，当sinx = 1 时，函数y 取得最小值3. 所以y = 4sinx + cos2x
的值域是[-5，3]. 故选C.
结论三、y = asin2x + bsinxcosx + ccos2x 型函数的最值
可利用降幂公式
sin2x= 1-cos2x
2
，cos2x= 1+cos2x
2
，sinxcosx= sin2x
2


将y =
asin 2 x + bsinxcosx + ccos 2 x 整理转化为y = Asin 2 x + Bcos 2 x + C ，引入辅助角
·148·
φ tanφ= B
A


，化为y =
A2+B2sin(2x + φ) + C，求最值.
142
函数y = sinx(cosx - sinx) 0<x< π
4


的最大值为
.
【答案】
2-1
2
【解析】
y = sinx(cosx - sinx) = sinxcosx - sin2x = 1
2 sin2x - 1-cos2x
2
= 1
2 (sin2x + cos2x) -
1
2
=
2
2 sin 2x+ π
4


- 1
2 . 因为0 < x < π
4 ，所以π
4 < 2x + π
4 < 3π
4 ，所以当2x + π
4 = π
2 ，
即x = π
8 时，ymax =
2-1
2
.
142
设x ∈- π
6 , π
4


，则函数f(x) = 2 3sinxcosx + 2cos2x - 1 的值域为
.
【答案】[-1，2]
【解析】f(x) = 2 3sinxcosx + 2cos2x - 1 =
3sin2x + cos2x = 2sin 2x+ π
6


，因为x ∈
- π
6 , π
4


，所以2x + π
6 ∈- π
6 , 2π
3


，所以-1 ≤2sin 2x+ π
6


≤2，所以函数f(x) 在区间
- π
6 , π
4


上的最小值为-1，最大值为2，即值域为[-1，2].
结论四、y = a(sinx ± cosx) + bsinxcosx + c 型函数的最值
对于y = a(sinx + cosx) + bsinxcosx + c，令sinx + cosx = t，t ∈[- 2 , 2 ]，因为
(sinx + cosx)2= 1 +
2sinxcosx，所以sinxcosx = t2-1
2
，则函数就变为y = at + b ⋅t2-1
2
+ c 的形式，因此，
此类函数的最值也可以通过换元转化为二次函数的最值问题. 对于形如y = a(sinx - cosx)
+ bsinxcosx + c 的函数也可以采用同样的方法. 此类题目也应该注意换元前后变量的取值
范围要保持相同.
143
函数y = (4 - 3sinx) (4 - 3cosx) 的最小值为
.
【答案】7
2
【解析】由已知得y = 16 - 12(sinx + cosx) + 9sinxcosx，令t = sinx + cosx，则t ∈[
- 2 ，2 ]，且sinxcosx = t2-1
2
，所以y = 16 - 12t + 9 × t2-1
2
= 1
2 9t2-24t+23


. 故当t
= 4
3 时，ymin = 7
2 .
143
函数y = sinx + cosx + sinxcosx 的最大值为
.
【答案】1
2 +
2
【解析】(sinx + cosx) 2 = 1 + 2sinxcosx，令t = sinx + cosx，则t ∈[-
2 ,
2 ]，且
·149·
sinxcosx = t2-1
2
，所以y = t2-1
2
+ t，当t =
2 时，ymax = 1
2 +
2.
结论五、y = asinx+b
ccosx+d 型函数的最值
此类题目的特点是分子或分母中含有sinx 或cosx 的一次式的形式，一般可将其化为y
= sin(ωx + φ) 的形式，然后利用三角函数的有界性求其最值.
144
函数y =
3cosx
2+sinx 的值域为
.
【答案】[-1，1]
【解析】由y =
3cosx
2+sinx 得ysinx -
3cosx =-2y，所以
y2+3sin(x - φ) =-2y(其中φ 为
辅助角)，所以sin(x - φ) =
-2y
y2+3
. 又|sin(x - φ)| ≤1，所以
-2y
y2+3


≤1，
-2y
y2+3


2
≤1，
解得-1 ≤y ≤1. 故ymax = 1，ymin =-1
144
函数y = sinx-1
cosx-2 的值域为
.
【答案】0, 4
3


【解析】由已知得ycosx - 2y = sinx - 1，即sinx - ycosx = 1 - 2y, y2+1 ⋅sin(x + φ) =
1 - 2y，所以sin(x + φ) = 1-2y
y2+1
. 因为|sin(x + φ)| ≤1，所以
1-2y
y2+1


≤1，即3y2 - 4y ≤0，
解得0 ≤y ≤4
3 . 故ymax = 4
3 ，ymin = 0.
·150·
第25 讲
解三角形
通关一、正弦定理
在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即
a
sinA =
b
sinB
c
sinC = 2R(R
为三角形外接圆的半径).
通关二、正弦定理的推广及其变形
边化角公式
a = 2RsinA,b = 2RsinB,c = 2RsinC
角化边公式
sinA = a
2R ,sinB = b
2R ,sinC = c
2R
变式1
a:b:c = sinA:sinB:sinC
变式2
c
sinC =
a
sinA =
b
sinB =
a+b+c
sinA+sinB+sinC = 2R
变式3
asinB = bsinA,asinC = csinA,bsinC = csinB
通关三、余弦定理
三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的
积的两倍.
a2= b2+ c2- 2bccosA,
b2= a2+ c2- 2accosB,
c2= a2+ b2- 2abcosC.
通关四、余弦定理的推广及其变形
·151·
1.
cosA= b2+c2-a2
2bc
⇔2bccosA=b2+c2-a2
cosB= a2+c2-b2
2ac
⇔2accosB=a2+c2-b2
cosC= a2+b2-c2
2ab
⇔2abcosC=a2+b2-c2







2.
sin2A=sin2B+sin2C-2sinBsinCcosA
sin2B=sin2C+sin2A-2sinCsinAcosB
sin2C=sin2A+sin2B-2sinAsinBcosC

通关五、三角形面积
设△ABC 的三边为a,b,c, 对应的三个角分别为A,B,C, 其面积为S.
1. S = 1
2 ah(h 为BC 边上的高)；
2. S = 1
2 bcsinA = 1
2 acsinB = 1
2 absinC；
3. S = 1
2 r(a + b + c) (r 为三角形的内切圆半径)；
4. S =
p(p-a)(p-b)(p-c) p= a+b+c
2


；
5. S = abc
4R (R 为三角形外接圆半径)；
6. S = 2R2sinAsinBsinC(R 为三角形外接圆半径)；
7. S = a2sinBsinC
2sin(B+C) = b2sinCsinA
2sin(A+C) = c2sinAsinB
2sin(A+B) .
【结论大招】
结论一、三角形内角和
△ABC 的内角和等于180°，即A + B + C = π. 利用诱导公式可得：
sin(A+B)=sinC
sin(A+C)=sinB
sin(B+C)=sinA

，
cos(A+B)=-cosC
cos(A+C)=-cosB
cos(B+C)=-cosA

，
tan(A+B)=-tanC
tan(A+C)=-tanB
tan(B+C)=-tanA

，
sin A+B
2
=cos C
2
sin A+C
2
=cos B
2
sin B+C
2
=cos A
2





，
cos A+B
2
=sin C
2
cos A+C
2
=sin B
2
cos B+C
2
=sin A
2





·152·
145
在锐角△ABC 中，已知sinC = 4cosAcosB，则tanAtanB 的最大值为
(
)
A. 4
B. 3
C. 6
D. 7
【答案】A
【解析】在锐角△ABC 中，已知sinC = 4cosAcosB，则tanA > 0,tanB > 0,sinC = sin(A
+ B)
= sinAcosB + cosAsinB = 4cosAcosB，所以tanA + tanB = 4，由基本不等式可得4 =
tanA +
tanB ≥2 tanAtanB ，可得tanAtanB ≤4. 当且仅当tanA = tanB = 2 时, 等号成立，因
此，tanAtanB 的最大值为4. 故选A.
145
在△ABC 中，角A,B,C 所对应的边分别是a,b,c，若c = 2acosB，则三角形一定
是
(
)
A. 等腰直角三角形
B. 直角三角形
C. 等腰三角形
D. 等边三角形
【答案】C
【解析】因为c = 2acosB，由正弦定理c = 2RsinC,a = 2RsinA, 得sinC = 2sinAcosB,
因为A,B,C 为△ABC 的内角，所以sinC = sin(A + B)，A,B ∈(0,π)，所以sin(A + B) =
2sinAcosB，即
sinAcosB + cosAsinB = 2sinAcosB，整理得sin(A - B) = 0，所以A - B = 0，即A =
B. 故△ABC 一定是等腰三角形. 故选C.
结论二、射影定理
设△ABC 的三边为a,b,c, 对应的三个角分别为A,B,C, 则
a=bcosC+ccosB
b=acosC+ccosA
c=acosB+bcosA

.
146
设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c, 若bcosC + ccosB = asinA，则
△ABC 的形状为
(
)
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 不确定
【答案】B
【解析】解法一由已知可得sinBcosC + cosBsinC = sin2A，所以sin(B + C) = sin2A，所以
sinA = 1，所以A = π
2 ，三角形为直角三角形. 故选B.
解法二由射影定理a = bcosC + ccosB 知a = asinA，所以sinA = 1，所以A = π
2 ，三角形
为直角三角形. 故选B.
146
已知△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c, 若cosC = 2 2
3
,bcosA +
acosB = 2, 则△ABC 的外接圆面积为
(
)
A. 4π
B. 8π
C. 9π
D. 36π
【答案】C
【解析】因为bcosA + acosB = 2, 由射影定理c = bcosA + acosB 知c = 2，又cosC =
·153·
2 2
3
，所以sinC = 1
3 ,2R =
c
sinC = 2
1
3
= 6，所以R = 3，所以△ABC 的外接圆面积为S =
πR2= 9π. 故选C.
结论三、正弦定理的应用
1. 已知两角A,B 与一边a，由A + B + C = π 及
a
sinA =
b
sinB =
c
sinC ，可求出角C，再
求b,c.
2. 已知两边a,b 及其中一边的对角A，由正弦定理
a
sinA =
b
sinB ，求出另一边b 的对角
B, 由C = π - (A + B)，求出C，再由
a
sinA =
c
sinC ，求出c.
147
在△ABC 中，∠A = π
3 ,BC = 3,AB =
6 ，则∠C =
(
)
A. π
4 或3π
4
B. 3π
4
C. π
4
D. π
6
【答案】C
【解析】由正弦定理得BC
sinA = AB
sinC , 所以sinC = AB⋅sinA
BC
=
6sin π
3
3
=
2
2 . 因为
∠C 为三角形内角, 且BC > AB, 所以∠C < ∠A, 所以∠C = π
4 . 故选C.
147
在△ABC 中, 内角A,B,C 的对边分别是a,b,c, 若
a
cosA =
b
cosB =
c
cosC , 则
△ABC 是
(
)
A. 直角三角形
B. 钝角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等边三角形
【答案】D
【解析】因为
a
cosA =
b
cosB =
c
cosC ，由正弦定理得a = 2R ⋅sinA,b = 2R ⋅sinB,c =
2RsinC，代人得sinA
cosA = sinB
cosB = sinC
cosC ，进而可得tanA = tanB = tanC，所以A = B = C，
则△ABC 是等边三角形. 故选D.
结论四、余弦定理的应用
1. 已知两边b,c 与其夹角A，由a2 = b2 + c2 - 2bccosA，求出a，再由余弦定理，求出角B,
C.
2. 已知三边a,b,c，由余弦定理可求出角A,B,C.
148
在△ABC 中，若(a + b + c) (b + c - a) = 3bc，则A =
(
)
A. 90°
B. 60°
C. 135°
D. 150°
【答案】B
·154·
【解析】因为(a + b + c) (b + c - a) = (b + c)2 - a2 = b2 + c2 - a2 + 2bc = 3bc, 所以b2 + c2
- a2 = bc, 根据余弦定理得cosA = b2+c2-a2
2bc
= 1
2 , 又0° < A < 180°, 所以A = 60°. 故选
B.
148
在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c, a2+c2-b2


tanB =
3ac，则角B 的
值为
(
)
A. π
6
B. π
3 或2π
3
C. π
3
D. π
6 或5π
6
【答案】B
【解析】因为a2+c2-b2


tanB =
3ac，所以2accosBtanB =
3ac,sinB =
3
2 ，所以B
= π
3 或B = 2π
3 . 故选B.
结论五、边角不等关系等价条件
在△ABC 中，sinA > sinB ⇔a
2R > b
2R ⇔a > b ⇔A > B ⇔cosA < cosB.
149
在△ABC 中，
“sinA > sinB”是“A > B”的
(
)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】sinA > sinB ⇔a
2R > b
2R ⇔a > b ⇔A > B. 故选C.
149
在△ABC 中，
“sinA > sinB”是“tanA > tanB”的( ) 条件.
A. 充分不必要
B. 必要不充分
C. 充要
D. 既不充分也不必要
【答案】D
【解析】sinA > sinB ⇔a > b ⇔π > A > B > 0，因为π > A > B > 0 推不出tanA >
tanB，
tanA > tanB 推不出π > A > B > 0，所以“sinA > sinB”是“tanA > tanB”的既不充分
也不必要条件. 故选D.
结论六、三角形形状判定
若sin2A = sin2B，则A = B 或A + B = π
2 ;cos2A = cos2B，则A = B.
150
在△ABC 中，若a2+b2


sin(A - B) = a2-b2


sinC，则△ABC 是
(
)
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等形直角三角形
D. 等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】由已知条件得a2+b2


sin(A - B) = a2-b2


sinC,b2[sin(A - B) + sinC]
= a 2 [ sinC - sin ( A - B ) ] , b 2 sinAcosB = a 2 cosAsinB ，即sin 2 BsinAcosB =
·155·
sin2AcosAsinB，所
以sin2B = sin2A,A = B 或A + B = π
2 . 故选D.
150
在△ABC 中，若tanA
tanB = a2
b2 ，则△ABC 的形状是
(
)
A. 等腰三角形或直角三角形
B. 直角三角形
C. 不能确定
D. 等腰三角形
【答案】A
【解析】由正弦定理得tanA
tanB = 4R2sin2A
4R2sin2B ，因为sinA > 0，化简可得sinAcosA =
sinBcosB，得
sin2A = sin2B，所以2A = 2B + 2kπ 或者2A + 2B = π + 2kπ,k ∈Z. 因A,B ∈(0,π)，A
+ B ∈(0,π), 故A = B 或者A + B = π
2 ，所以△ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形. 故
选A.
结论七、三角形面积
S△ABC = b2+c2-a2
4
tanA = a2+c2-b2
4
tanB = a2+b2-c2
4
tanC.
151
在△ABC 中，A,B,C 的对边分别是a,b,c，其面积S = a2+b2-c2
4
，则C 的大小是
(
)
A. 30°
B. 90°
C. 45°
D. 135°
【答案】C
【解析】解法一因为△ABC 中，S = 1
2 absinC,a2 + b2 - c2 = 2abcosC，且S = a2+b2-c2
4
，
所以1
2 absinC = 1
2 abcosC，即tanC = 1，则C = 45°. 故选C.
解法二因为S = a2+b2-c2
4
tanC，结合已知条件S = a2+b2-c2
4
，得tanC = 1，则C =
45°. 故选C.
151
在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c，△ABC 的面积为S，b = 2 3 且S =
3
12
a2+c2-b2


，则△ABC 的面积S 的最大值为
(
)
A. 3 3
B. 6 + 3 2
C. 6 + 3 3
D. 9 + 3 3
【答案】C
【解析】因为S = a2+c2-b2
4
tanB，结合已知条件S =
3
12
a2+c2-b2


得tanB =
3
3 ，所
以
B = π
6 ⋅S = 1
2 acsinB = 1
4 ac.a2+ c2- 2accosB = 12，即a2+ c2-
3ac = 12. 又由基本
不等式a2 + c2 ≥2ac,a2 + c2 -
3ac ≥(2 -
3)ac，即12 ≥(2 -
3)ac，得ac ≤
12
2-
3 = 12
(2 +
3). 所以S = 1
4 ac ≤1
4 × 12(2 +
3) = 6 + 3 3，当且仅当a = c 时，S 的最大值为6 +
·156·
3 3. 故选C.
·157·
第26 讲
向量的概念和性质
通关一、向量的线性运算
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向
量和的运
算
三角形法则
平行四边形法则
交换律: a+ b= b+ a
结合律:
a
+b


+ c= a+ b+c


减法
求a与b
的相反向
量-b的
和的运算
叫作a与
b的差
三角形法则
a- b= a+ -b


数乘
求实数λ
与向量a
的积的运
算
(1) λa


= λ


a

(2)λ > 0 时，与a方向相同；λ
< 0 时，与a方向相反；λ = 0
时，λa= 0
λ μa


= λμaλ+μ


a= λa+
μaλ a+b


= λa+ λb
通关二、几种特殊向量
特殊向量
定义
备注
零向量
长度为0 的向量
零向量记作0，其方向是任意的
单位向量
长度等于1 个单位的向量
a单位向量记作a0
= a
a

·158·
平行向量
方向相同或相反的非零向量(也叫共线向
量)
0与任意向量共线
相等向量
长度相等且方向相同的向量
相等向量一定是平行向量
特殊向量
相反向量长度相等且方向相反的两个向量
若a,b为相反向量, 则a=-b
结论一、三角形法则与平行四边形法则
1. 向量的加法:
(1) 三角形法则：AB

= a，BC

= b，a 和b 的和(或和向量)a+ b= AB

+ BC

= AC

.
(2) 平行四边形法则:
AB

= a,AD

= b,a 与b 不共线，以AB

,AD

为领边作平行四边形ABCD，则a + b = AC

.
(3) 多边形法则:
已知n 个向量, 依次把这n 个向量首尾相连, 以第一个向量的始点为始点, 第n 个向量的
终点为终点的向量叫作这n 个向量的和向量.
2. 向量的减法:
如果把两个向量的始点放在一起, 则这两个向量的差是以减向量的终点为始点, 被减向
量的终点为终点的向量. BA

= OA

- OB

= a- b.

·159·
152
已知正六边形ABCDEF，在下列表达式①BC

+ CD

+ EC

；②2BC

+ DC


；③FE

+ ED

；④2ED

- FA

中，等价的有
(
)
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
【答案】D．
【解析】∵ABCDEF 是正六边形，∴①BC

+ CD

+ EC

= BD

+ FB

= FD

；②2BC

+ DC


= AD


+ DC


= AC


= FD

；③FE

+ ED

= FD

；④2ED

- FA

= FC

+ AF

= AC


= FD

．∴以
上四个表达式都是等价的．
152
如图，D，E，F 分别是△ABC 的边AB，BC，CA 的中点，则
(
)
A. AD


+ BE

+ CF

= 0
B. BD

- CF

+ DF

= 0
C. AD


+ CE

- CF

= 0
D. BD

- BE

- FC

= 0
【答案】A．
【解析】由图可知AD


= DB

,CF

= FA

= ED

. 在△DBE 中，DB

+ BE

+ ED

= 0, 即AD


+
BE

+ CF

= 0. 故选A.
结论二、单位向量
a方向上的单位向量a0
= a
a0



, a0



= 1(长度为1，与a方向相同)
153
设a0
为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a= |a| ∙a0
；②若a与a0
平行，
则a= |a| ∙a0
；③若a与a0
平行且|a| = 1，则a= a0
．上述命题中，假命题个数是(
)
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
·160·
【答案】D
【解析】向量是既有大小又有方向的量，a= |a| ∙a0
模相同，但方向不一定相同，故①是假
命题；②若a与a0
平行，则a= |a| ∙a0
；反向时，不正确；③若a与a0
平行且|a| = 1，则a= a0
．
同向时正确，反向时不正确；
所以不正确命题的个数为3．
153
已知点A(1,3)，B(4, -1)，则与向量AB

同方向的单位向量为
(
)
A.
3
5 ,- 4
5


B.
4
5 ,- 3
5


C. - 3
5 , 4
5


D. - 4
5 , 3
5


【答案】A
【解析】已知点A(1,3)，B(4, -1)，∴AB

= (4，-1) - (1，3) = (3，-4)，|AB

| =
9+16 =
5，
则与向量AB

同方向的单位向量为AB

|AB

|
=
3
5 ,- 4
5


，
结论三、共线向量(平行向量)
向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b = λa. 当λ > 0 时，共
线同向；当λ < 0 时，共线反向.
154
给出下列命题：
①若a


= b


，则a = b；
②若A,B,C,D 是不共线的四点，则AB

= DC


是四边形ABCD 为平行四边形的充要条
件；
③若a = b,b = c，则a = c；
④a = b 的充要条件是a


= b


且a ∥b；
⑤若a ∥b,b ∥c，则a ∥c；
其中正确的序号是
【答案】②③
【解析】①不正确. 两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.
②正确. 因为AB

= DC


，所以AB



= DC




且AB

= DC


. 又A,B,C,D 是不共线的四点，所
以四边形ABCD 是平行四边形，则AB

∥DC


且AB



= DC




因此AB

= DC


.
③正确. 因为a = b，所以a，b 的长度相等且方向相同；又b = c，所以b，c 的长度相等且方
向相同，所以a，c 的长度相等且方向相同，故a = c.
④不正确. 当a ∥b 且方向相反时，即使a


= b


，也不能得到a = b，故a


= b


且a ∥b 不
是a = b 的充要条件，而是必要不充分条件.
⑤不正确. 考虑b = 0 这种特殊情况. 综上，正确命题的序号是②③.
154
平面向量a，b共线的充要条件是
(
)
A. a，b方向相同
B. a，b两向量中至少有一个为零向量
C. ∃λ ∈R，b= λa
·161·
D. 存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a+ λ2b= 0
【答案】D
【解析】选项A 中a，b共线不一定同向；选项B 中a，b是非零向量也可以共线；对于选
项C：当a= 0，b≠0时b= λa不成立，故选D.
结论四、共线求参
用两个不共线向量(如e1
,e2
) 表示向量a，b，设，化成关于e1
,e2
的方程φ(λ)e1 + ϕ(λ)e2 =
0，由于e1
,e2
不共线，则φ(λ)=0
ϕ(λ)=0

，解方程组即可.
155
设向量e1
，e2
不共线，AB

= λe1
- e2
，AC


= e1
- 2e2
，AD


= 5e1
+ λe2
，若B，C，D
三点共线，则实数λ 的值为
(
)
A. - 1 或2
B. - 2 或3
C. 2 或-3
D. 1 或-2
【答案】C
【解析】AB

= λe1
- e2
，AC


= e1
- 2e2
，AD


= 5e1
+ λe2
，
∴BC

= AC


- AB

= (e1
- 2e2
) - (λe1
- e2
) = (1 - λ)e1
- e2
，BD

= AD


- AB

= (5e1
+ λe2
)
- (λe1
- e2
) = (5 - λ)e1
+ (λ + 1)e2
；
∵B，C，D 三点共线；∴BC

与BD

共线；∴1-λ
5-λ = -1
λ+1 ，化简得λ2 + λ - 6 = 0，即(λ -
2) (λ + 3) = 0；∴λ = 2 或λ =-3．
155
设a，b，c 为非零向量，其中任意两个向量不共线，已知a + b 与c 共线，且b + c
与a 共线，则a + b + c
【答案】0
【解析】设a+b=tc①
b+c=ma②

，将c = 1
t (a + b) 代入②得(t + 1)b = (tm - 1)a 且a 与b 不共
线，因此tm-1=0
t+1=0

，解得t=-1
m=-1

，所以a + b + c = 0.
结论五、平面向量基本定理
如果e1
和e2
是平面内两个不平行的向量，a为该平面任一向量，则存在唯一的一对实数
a1和a2使得a= a1e1
+ a2e2
.
评注：
（1）定理中e1
和e2
是两个不共线的向量；
（2）a为平面内任一向量，且实数对(a1，a2) 是唯一的；
（3）平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底.
·162·
156
在△ABC 中AB

= c,AC

= b，若点D 满足BD

= 1
2 DC

，则AD

=
(
)
A. 1
3 b+ 2
3 c
B. 2
3 b+ 1
3 c
C. 4
3 b- 1
3 c
D. 1
2 b+ 1
2 c
【答案】A
【解析】如图，因为BD

= 1
2 DC

，所以BD

= 1
3 BC

，又因为BC

= AC

- AB

，所以BD

= 1
3
(AC

- AB

)，AD

= AB

+ BD

= AB

+ 1
3 (AC

- AB

) = 2
3 AB

+ 1
3 AC

= 2
3 c+ 1
3 b，
156
在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O，E 是线段OD 的中点，AE 的延长
线与CD 交于点F．若AC

= a，BD

= b，则AF

=
(
)
A. 1
4 a+ 1
2 b
B. 2
3 a+ 1
3 b
C. 1
2 a+ 1
4 b
D. 1
3 a+ 2
3 b
【答案】B
【解析】解法一：∵由题意可得△DEF ∽△BEA，∴DE
EB = DF
AB = 1
3 ，再由AB = CD 可
得DF
DC = 1
3 ∴DF
FC = 1
2 ．作FG 平行BD 交AC 于点G，∴FG
DO = CG
CO = 2
3 ，∴GF

=
2
3 OD

= 1
3 BD

= 1
3 b．
∵AG

= AO

+ OG

= AO

+ 1
3 OC

= 1
2 AC

+ 1
6 AC

= 2
3 AC

= 2
3 a，∴AF

= AG

+ GF

= 2
3 a+ 1
3 b.
解法二：由于DF
FC = 1
2 ，则AF

= 1
3 AC

+ 2
3 AD

= AD

+ 1
3 AB

，将m，n 代入即可. 故选
B.
结论六、中线定理
若AM

为△ABC 边BC 上的中线，则AM

= 1
2 (AB

+ AC

)
157
如图，在△ABC 中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，若AB

= a，AC

= b，
则AO

=
(
)
A. 1
2 a+ 1
2 b
B. 1
2 a+ 1
4 b
C. 1
4 a+ 1
2 b
D. 1
4 a+ 1
4 b
·163·
【答案】B
【解析】在△ABC 中，BE 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，AB

= a，AC

= b，∴AO

=
AE

+ EO

= 1
2 AC

- 1
2 BE

= 1
2 b- 1
2 × 1
2 (BA

+ BC

) = 1
2 b- 1
4 (BA

+ AC

- AB

) = 1
2 b-
1
4 (AC

- 2AB

) = 1
2 b- 1
4 b+ 1
2 a= 1
2 a+ 1
4 b．
157
如图，在△ABC 中，D，E，F 分别为线段BC，AD，BE 的中点，则AF

= (
)
A. 1
8 AB

+ 5
8 AC

B．5
8 AB

- 1
8 AC

C．1
8 AB

- 5
8 AC

D．5
8 AB

+ 1
8 AC

【答案】D
【解析】AF

= 1
2 (AB

+ AE

) = 1
2 AB

+ 1
2 × 1
2 AD

=
1
2 AB

+ 1
4 × 1
2 (AB

+ AC

) = 5
8 AB

+ 1
8 AC

.
故选D.
结论七、向量共线模型
如图，在△ABC 中，若点D 是边BC 上的点，且BD

= λDC

(λ ≠-1)，则向量AD

=
AB

+λAC

1+λ
=
1
1+λ AB

+
λ
1+λ AC

(系数之和为1).
158
如图，在△ABC 中，点0 是BC 的中点，过点0 的直线分别交直线AB,AC 于不同
的两点M,N ，若AB

= mAN

，AC

= nAN

，则m + n 的值为
·164·
【答案】2
【解析】因为点0 为BC 边的中点，所以AO

= 1
2 (AB

+ AC

)；
因为AB

= mAN

，AC

= nAN

，所以.AO

= 1
2 (mAM

+ nAN

)
因为三点M，O，N 在一条直线上，所以m
2 + n
2 = 1，即得m + n = 2
158
设D、E、F 分别是△ABC 的三边BC、CA、AB 上的点，且DC

= 2BD

，CE

=
2EA

，AF

= 2FB

，则AD

+ BE

+ CF

与BC

(
)
A. 反向平行
B. 同向平行
C. 互相垂直
D. 既不平行也不垂直
【答案】A
【解析】如图所示，△ABC 中，DC

= 2BD

，CE

= 2EA

，AF

= 2FB

，根据定比分点的向量
式，得AD

= AC

+2AB

1+2
= 1
3 AC

+ 2
3 AB

，BE

= 1
3 BC

+ 2
3 BA

，CF

= 1
3 CA

+ 2
3 CB

，以上
三式相加，得AD

+ BE

+ CF

=- 1
3 BC

，所以，AD

+ BE

+ CF

与BC

反向共线．
·165·
第27 讲
向量的数量积运算
通关一、平面向量数量积的定义
已知两个非零向量a 和b，我们把数量a


b


cosθ 叫作a 与b 的数量积(或内积)，记作
a·b，即a·b = a


b


cosθ，其中θ 是a 与b 的夹角，θ ∈0，π


. 零向量与任一向量的数量积为0.
要点诠释：
设两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则：
当θ = 0° 时，cosθ = 1，a·b = a


b


；
当θ 为锐角时，cosθ > 0，a·b > 0；
当θ 为直角时，cosθ = 0，a·b = 0；
当θ 为钝角时，cosθ < 0，a·b < 0；
当θ = 180° 时，cosθ =-1，a·b =- a


b


.
通关二、数量积的性质和运算律
1. 向量数量积的性质
设a，b 为非零向量，则
（1）设e 是单位向量，且e 与a 的夹角为θ，则e·a = a·e = a


cosθ；
（2）a ⊥b ⇔a·b = 0；
（3）当a 与b 同向时，a·b = a


b


；当a 与b 反向时，a·b =- a


b


；
特别地，a·a = a2= a


2或a


=
a·a；
（4）a·b


≤a


b


，当且仅当a 与b 共线，即a ∥b 时等号成立；
（5）cosθ = a·b
a


b


(θ 为向量a 与b 的夹角).
2. 向量数量积的运算律
（1）交换律：a·b = b·a；
（2）数乘结合律：(λa)·b = λ(a·b) = a·(λb)；
·166·
（3）分配律：(a + b)·c = a·c + b·c.
结论一、数量积公式
已知两个非零向量a 与b，它们的夹角是θ，则数量a


b


cosθ 叫作a 与b 的数量积，记作
a·b，即有a·b = a


b


cosθ,(0 ≤θ ≤π).
159
已知向量a，b满足|a| = 1，a⋅b=-1，则a⋅(2a- b) =
(
)
A. 4
B. 3
C. 2
D. 0
【答案】B．
【解析】向量a，b满足|a| = 1，a⋅b=-1，则a⋅(2a- b) = 2a2- a⋅b= 2 + 1 = 3，
159
若向量a、b满足|a| = |b| = 1，a与b的夹角为60°，则a⋅a+ a⋅b=
(
)
A. 1
2
B. 3
2
C. 1 +
3
2
D. 2
【答案】B
【解析】∵|a| = |b| = 1，a与b的夹角为60°，∴a⋅a+ a⋅b= |a|2 + |a| ⋅|b|cos60° = 1 + 1
2
= 3
2
结论二、数量积几何意义
设θ 是a 与b 的夹角，则b


cosθ 叫作向量b 在向量a 方向上的投影，b


cosθ = a·b
a


；
a


cosθ 叫作向量a 在向量b 方向上的投影，a


cosθ = a·b
b


.
160
设e1
，e2
为单位向量，且e1
，e2
的夹角为π
3 ，若a= e1
+ 3e2
，b= 2e1
，则向量a在b
方向上的投影为
【答案】5
2
【解析】由题意可得，e1
∙e2
= |e1
||e2
|cos 1
3 π = 1
2 ，∵a= e1
+ 3e2
，b= 2e1
，∴a∙b= (e1
+
3e2
) ∙(2e1
) = 2e1
2+ 6e1
∙e2
= 5，|b| = 2，则向量a在b方向上的投影为a∙b
|b|
= 5
2 ．
160
已知点A(-1,1)，B(1,2)，C(-2, -1)，D(3,4)，则向量AB

在CD

方向上的投影为
(
)
A. 3 2
2
B. 3 15
2
C. - 3 2
2
D. - 3 15
2
【答案】A
【解析】AB

= (2,1)，CD

= (5,5)，则向量AB

在CD

方向上的投影为：|AB

| ∙cos < AB

,
CD

>= |AB

| ∙AB

∙CD

|AB

||CD

|
= AB

∙CD

|CD

|
=
15
5 2 = 3 2
2
，故选A.
·167·
结论三、向量垂直
a⊥b⇒a⋅b= 0，且a⋅b= 0 ⇒a⊥b.
161
已知单位向量a,b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是
(
)
A. a+ 2b
B. 2a+ b
C. a- 2b
D. 2a- b
【答案】D
【解析】由题干可得a⋅b= 1
2 ，b2= 1. 对于选项A，(a+ 2b) ⋅b= a⋅b+ 2b2= 5
2 ；选项B，
(2a+ b) ⋅b= 2a⋅b+ b2 = 2；选项C，(a- 2b) ⋅b= a⋅b- 2b2 =- 3
2 ；选项D，(2a- b) ⋅b=
2a⋅b- b2= 0；故选D.
161
已知单位向量a,b夹角为45°，ka- b与a垂直，则k =
.
【答案】
2
2
【解析】由ka- b与a垂直可得(ka- b) ⋅a= 0，即ka2 - a⋅b= 0，故k -
2
2
= 0，故填
2
2 .
结论四、向量求模运算
1. a2= a⋅a= a

2或a

=
a⋅a;
2. a±b


=
(a±b)2 =
a2±2a⋅b+b2.
162
已知e1
,e2
是两个单位向量，且e1
+e2



=
3, 则e1
-e2



=
.
【答案】1
【解析】由题意，向量e1
,e2
是两个单位向量，且e1
+e2



=
3 ，则e1
+e2



2 = e1
+

e2


2 = e1
2
+ e2
2+ 2e1
⋅e2
= 3, 所以e1
⋅e2
= 1, 所以e1
-e2



=
e1
-e2



2 =
e1
2+e2
2-2e1
⋅e2
= 1，故填1.
162
若|a| = 3,|b| = 2，且a 与b 的夹角为π
3 ，则|a - b| =
.
【答案】7
【解析】由题可得a⋅b= |a| ⋅|b|cos‹a,b› = 3 × 2 × cos π
3 = 3，所以|a- b|2 = a2 + b2 - 2a⋅
b= 7，
所以|a- b| =
7，故填
7.
结论五、向量的夹角
a与b的夹角为θ，则cosθ = a⋅b
|a||b|
,θ ∈[0,π].
163
已知向量a,b满足|a| = 5,|b| = 6,a⋅b=-6，则cos‹a,a+ b› =
(
)
·168·
A. - 31
35
B. - 19
35
C. 17
35
D. 19
35
【答案】D
【解析】因为|a| = 5,|b| = 6,a⋅b=-6，所以a⋅(a+ b) = |a|2 + a⋅b= 52 - 6 = 19，|a+ b| =
a2+2a⋅b+b2 =
25-2×6+36 = 7，
因此，cos‹a,a+ b› = a⋅(a+b)
|a||a+b|
=
19
5×7 = 19
35 ，故选D.
163
已知a,b都是非零向量，且a+ 3b与7a- 5b垂直，a- 4b与7a- 2b垂直，则a与
b的夹角为
.
【答案】60°
【解析】由题意得(a+ 3b) ⋅(7a- 5b) = 0, 化简得7a2 + 16a⋅b- 15b2 = 0 ①；(a- 4b) ⋅
(7a- 2b) = 0 化简得7a2 - 30a⋅b+ 8b2 = 0 ②；由①②得2a⋅b= b2，代入①或②得：a2 = b2，
设a,b的夹角为θ，
则cosθ = a⋅b
|a||b|
=
b2
2|b|2 = 1
2 ，因为θ ∈[0,π]，所以θ = 60°，故填60°.
结论六、向量夹角的判定
当a⋅b> 0 时，cosθ > 0，则θ 是锐角或θ = 0° (此时cosθ = 1).
当a⋅b< 0 时，cosθ < 0，则θ 是钝角或θ = 180° (此时cosθ =-1).
164
已知a= (1,2),b= (x,1)，若2a+ b与a- b的夹角是锐角，则x 的取值范围为
.
【答案】-1-
29
2
, 1
2


∪
1
2 , -1+
29
2


【解析】由(2a+ b) ⋅(a- b) =-x2 - x + 7 > 0 得-1-
29
2
< x < -1+
29
2
，又2a+ b与
a- b不共线，得x ≠1
2 .
综上，得x ∈
-1-
29
2
, 1
2


∪
1
2 , -1+
29
2


，故填
-1-
29
2
, 1
2


∪
1
2 , -1+
29
2


.
164
设两个向量e1
,e2
满足e1



= 2, e2



= 1,e1
,e2
的夹角为60°，若向量2te1
+ 7e2
与e1

+ te2
的夹角为锐角，则实数t 的取值范围是
.
【答案】-7,-
14
2


∪-
14
2
,- 1
2


【解析】由(2te1
+ 7e2
) ⋅(e1
+ te2
) < 0 得2te1
2 + 7te2
2 + (2t2 + 7)e1
⋅e2
< 0，从而2t2 + 15t
+ 7 < 0，-7 < t <- 1
2 .
当2te1
+ 7e2
与e1
+ te2
共线时，令2t
1 = 7
t ，即2t2 = 7，解得t =±
14
2
. 综上，得x ∈
-7,-
14
2


∪-
14
2
,- 1
2


，故填-7,-
14
2


∪-
14
2
,- 1
2


.
·169·
结论七、a+ b与a- b的几何意义
a+ b与a- b分别是以a,b构成平行死边形的两条对角线.
（1）菱形的两条对角线相互垂直：a

= b


⇔(a+ b) ⊥(a- b)；
（2）矩形两条对角线相等：a⊥b⇔a+b


= a-b


；
（3）平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和：2|AB

|2 + 2|AD


|2 = |AC


|2 +
|BD

|2或2a2+ 2b2= (a+ b)2+ (a- b)2.(由此可推出三角形的中线长公式)
165
设a,b是两个非零向量, 下列说法正确的有
.
①若|a+ b| = |a| -|b|, 则a⊥b;
②若a⊥b, 则|a+ b| = |a| -|b|;
③若|a+ b| = |a| -|b|, 则存在实数λ, 使得b= λa;
④若存在实数λ, 使得b= λa, 则|a+ b| = |a| -|b|;
⑤若a⊥b, 则|a+ b| = |a- b|;
⑥若|a+ b| = |a- b|, 则a⊥b.
【答案】③⑤⑥
【解析】利用向量加法的三角形法则知,a,b不共线时, a,b,a+ b可构成三角形, ①②均错
误; ③正确; ④错误, 因为当λ > 0 时,|a+ b| = |a| +|b|; 利用向量加法的平行四边形法则知a
+ b,a- b可看成是起点相同的向量a,b构成的平行四边形的两条对角线, 故|a+ b| = |a- b|
⇔这个平行四边形为矩形⇔a⊥b, ⑤⑥均正确.
165
已知两个非零向量a,b满足|a+ b| = |a- b|, 则下列结论正确的是
(
)
A. a⎳b
B. a⊥b
C. a= b
D. a+ b= a- b
【答案】B
【解析】利用向量加法的平行四边形法则知a+ b,a- b可看成是起点相同的向量a,b构
成的平行四边形的两条对角线, 故|a+ b| = |a- b| ⇔这个平行四边形为矩形⇔a⊥b, 故选
B.
·170·
第28 讲
向量的坐标运算
通关一、向量坐标化
已知平面上的两点坐标，可求得以它们为起终点的向量坐标：设A(x1,y1),B(x2,y2)，则
AB

= (x2 - x1,y2 - y1) (可记为" 终" -" 起")，所以只要确定了平面上点的坐标，则向量的坐标
自然可求. 另外A,B,AB

三个坐标知二可求一，所以已知向量坐标与其中一个点的坐标，也可
求出另一个点的坐标.
通关二、向量的坐标运算
设a= x1,y1


,b= x2,y2


, 则有:
(1) 加减运算: a± b= x1±x2,y1±y2


;
(2) 数乘运算: λa= (λx1,λy1);
(3) 数量积运算: a⋅b= x1x2+ y1y2;
(4) 向量的模长: |a| =
x2
1+y2
1 .
通关三、向量位置关系的判定
设a= x1,y1


,b= x2,y2


, 则有:
（1）平行: a⎳b⇔x1y2= x2y1;
（2）垂直: a⊥b⇔a⋅b= 0 ⇔x1x2+ y1y2= 0;
（3）向量夹角余弦值: cos‹a,b› = a⋅b
a

b


=
x1x2+y1y2
x2
1+y2
1 ⋅
x2
2+y2
2
.
结论一、向量坐标的加减法运算
设a= x1,y1


,b= x2,y2


, 则:
①a+ b= x1+x2,y1+y2


;
②a- b= x1-x2,y1-y2


;
·171·
③λa= λ(x1,y1) = (λx1,λy1).
166
设平面向量a= (-1,2),b= (3, -2), 则2a+ b=
(
)
A. (1,0)
B. (1,2)
C. (2,4)
D. (2,2)
【答案】B
【解析】2a+ b= 2(-1,2) + (3, -2) = (1,2), 故选B.
166
已知向量a= (2,1),b= (1, -2), 若ma+ nb= (9, -8) (m,n ∈R), 则m - n 的值
为
.
【答案】-3
【解析】向量a= (2,1),b= (1, -2), 若ma+ nb= (9, -8), 可得2m+n=9
m-2n=-8

, 解得m =
2,n = 5, 所以m - n =-3.
结论二、向量平行的判定及应用
若a= x1,y1


,b= x2,y2


, 则a⎳b⇔x1y2 - x2y1 = 0. 当且仅当x2y2 ≠0 时,a⎳b与x1
x1 =
y1
y2 等价.
167
平面向量a= (x,3) 与b= (2,y) 平行的充分必要条件是
(
)
A. x = 0,y = 0
B. x =-3,y =-2
C. xy = 6
D. xy =-6
【答案】C
【解析】平面向量a= (x,3) 与b= (2,y) 平行的充分必要条件是xy = 6. 故选C.
167
已知向量a= (m,4),b= (3, -2), 且a⎳b, 则m =
.
【答案】-6
【解析】a= (m,4),b= (3, -2), 且a⎳b, 可得12 =-2m, 解得m =-6.
结论三、向量垂直的判定及应用
若a= x1,y1


,b= x2,y2


, 则a⊥b⇔x1x2+ y1y2= 0.
168
已知向量a= (-3,2),b= (-1,0), 向量λa+ b与a- 2b垂直, 则实数λ 的值为
.
【答案】- 1
7
【解析】因为λa+ b= (-3λ - 1,2λ),a- 2b= (-1,2), 向量λa+ b与a- 2b垂直, 所以(λa
+ b) (a- 2b) = 0, 所以3λ + 1 + 4λ = 0, 解得λ =- 1
7 .
168
设向量a= (1, -1),b= (m + 1,2m - 4), 若a⊥b, 则m =
.
【答案】5
·172·
【解析】a⋅b= 1 ⋅(m + 1) + (-1) ⋅(2m - 4) = 0, 解得m = 5.
结论四、向量求模
若a= (x,y), 模|a| =
a⋅a=
x2+y2.
169
已知向量a= (2,3),b= (3,2), 则|a- b| =
(
)
A.
2
B. 2
C. 5 2
D. 50
【答案】A
【解析】因为a= (2,3),b= (3,2). 所以a- b= (-1,1), 所以|a- b| =
(-1)2+12 =
2. 故
选A.
169
已知a= (1,sinθ),b= (1, 3cosθ)，则|a- b| 的最大值为
.
【答案】2
【解析】|a - b| = |sinθ -
3cosθ| = 2sin θ- π
3




≤2. 所以|a - b|mat = 2.
结论五、两向量夹角
向量a= x1,y1


,b= x2,y2


夹角余弦值: cos‹a,b› = a⋅b
a

b


=
x1x2+y1y2
x2
1+y2
1 ⋅
x2
2+y2
2
.
170
已知向量a= (2,2),b= (-8,6), 则cos‹a,b› =
.
【答案】-
2
10
【解析】a⋅b= 2 × (-8) + 2 × 6 =-4,|a| =
22+22 = 2 2,|b| =
(-8)2+62 = 10,cos‹a,b›
=
-4
2 2×10 =-
2
10 .
170
已知向量BA

=
1
2 ,
3
2


,BC

=
3
2 , 1
2


, 则∠ABC =
(
)
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 120°
【答案】A
【解析】据题意得cos∠ABC =
BA

⋅BC

|BA

|⋅|BC

|
=
1
2 ×
3
2 +
3
2 × 1
2
1×1
=
3
2 , 因为θ ∈[0,π],
所以∠ABC = π
6 = 30°. 故选A.
结论六、常见的可建系图形
1. 具备对称性质的图形: 长方形, 正方形, 等边三角形, 圆形.
2. 带有直角的图形：直角三角形，直角梯形.
·173·
3. 具备特殊角度的图形(30°,45°,60°,120° 等).
171
已知AB

⊥AC


,|AB

| = 1
t ,|AC


| = t, 若点P 是△ABC 所在平面内一点, 且AP

=
AB

|AB

|
+ 4AC


|AC| , 则PB

⋅PC

的最大值等于
(
)
A. 13
B. 15
C. 19
D. 21
【答案】A
【解析】根据题意, 以点A 为坐标原点, 以AB 所在的直线为x 轴,AC 所在的直线为y 轴,
建立平面直角坐标系, 所以点P(1,4),B
1
t ,0


,C(0,t), 所以PB

⋅PC

=
1
t -1,-4


(-1,t -
4) =
1
t -1


× (-1) - 4 × (t - 4) =
17 - 1
t - 4t ≤17 - 2
1
t ×4t = 13 (当且仅当1
t = 4t, 即t = 1
2 时取等号). 故选A.
171
已知△ABC 是边长为2 的等边三角形,P 为平面ABC 内一点, 则PA

⋅(PB

+
PC

) 的最小值是
(
)
A. - 2
B. - 3
2
C. - 4
3
D. - 1
【答案】B
【解析】建立如图所示的坐标系, 以BC 的中点为坐标原点. 则A(0, 3 ),B(-1,0),C(1,
0), 设P(x,y), 则PA

= (-x, 3 - y),PB

= (-1 - x, -y),PC

= (1 - x, -y), 则PA

⋅(PB

+
PC

) = 2x2- 2 3y + 2y2, 所以当x = 0,y =
3
2 , 最小值为- 3
2 , 故选B.
·174·
第29 讲
三角形四心与向量
通关一、四心的概念
1. 重心(中线的交点)：重心将中线长度分成2:1.
2. 垂心(高线的交点)：高线与对应边垂直.
3. 内心(角平分线交点(内切圆的圆心))：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；内
心到三角形三边的距离相等.
4. 外心(中垂线的交点(外接圆的圆心))：外心到三角形各顶点的距离相等.
通关二、三角形四“心”向量形式
设O 为△ABC 所在平轴上一点, 角A,B,C 所对边长分别为a,b,c, 则：
1. O 为△ABC 的外心⇔OA
2= OB
2= OC
2.
2. O 为△ABC 的重心⇔OA

+ OB

+ OC

= 0.
3. O 为△ABC 的垂心⇔OA

⋅OB

= OB

⋅OC

= OC

⋅OA

.
4. O 为△ABC 的内心⇔aOA

+ bOB

+ cOC

= 0.
通关三、重心性质
1. 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离的关系：AG = 2GD.
2. 重心和三角形3 个顶点组成的3 个三角形面积相等.
3. AB

+ AC

= 2AD

= 3AG

= 6GD

.
4. 重心向是表达: GA

+ GB

+ GC

= 0.
5. 三角形的重心坐标公式:△ABC 三个顶点的坐标分别为A x1,y1


,B x2,y2


,C x3,y3


，
则△ABC 的重心坐标是G x1+x2+x5
3
, y1+y2+y3
3


.
结论一、重心
OA

+ OB

+ OC

= 0 ⇔O 是△ABC 的重心.
·175·
证法1 设O(x,y),A x1,y1


,B x2,y2


,C x3,y3


, 则OA

+ OB

+ OC

= 0 ⇔
(x1-x)+(x2-x)+(x3-x)=0
(y1-y)+(y2-y)+(y3-y)=0

⇔
x= x1+x2+x3
3
y= y1+y2+y3
3

⇔O 是△ABC 的重心.
证法2 如图所示, 因为OA

+ OB

+ OC

= OA

+ 2OD

= 0, 所以AO

= 2OD

, 所以A,O,D
三点共线, 且O 分AD 为2:1. 所以O 是△ABC 的重心.
172
已知O 是△ABC 所在平面上的一点, 若OA

+ OB

+ OC

= 0, 则O 点是△ABC
的
(
)
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
【答案】C
【解析】若OA

+ OB

+ OC

= 0, 则OA

+ OB

=-OC

, 以OA

,OB

为邻边作平行四边形
OA1C1B, 设OC1 与AB 交于点D, 则D 为AB 的中点, 有OA

+ OB

= OC1

, 得OC1

=-OC

,
即C,O,D,C1四点共线, 同理AE,BF 亦为△ABC 的中线, 所以O 是△ABC 的重心. 故选C.
172
已知△ABC 和点M 满足MA

+ MB

+ MC

= 0. 若存在实数m 使得AB

+ AC

=
mAM

成立，则m =
(
)
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
【答案】B
【解析】由MA

+ MB

+ MC

= 0 知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为底边BC 的中点，则
AM

= 2
3 AD

= 2
3 × 1
2 (AB

+ AC

) = 1
3 (AB

+ AC

)，所以有AB

+ AC

= 3AM

，即m = 3. 故
选B.
结论二、垂心
OA

⋅OB

= OB

⋅OC

= OC

⋅OA

⇔O 为△ABC 的垂心.
证明: 如图所示，O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直于AC，AD 垂直于BC,D,E 是垂足.
OA

⋅OB

= OB

⋅OC

⇔OB

(OA

- OC

) = OB

⋅CA

= 0 ⇔OB

⊥AC

，同理OA

⊥BC

,OC

⊥
AB

⇔O 为△ABC 的垂心.
173
已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若OA

⋅OB

= OB

⋅OC

= OC

⋅OA

，则O 点
是△ABC 的
(
)
·176·
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
【答案】D
【解析】由OA

⋅OB

= OB

⋅OC

，得OA

⋅OB

- OB

⋅OC

= 0，即OB

⋅(OA

- OC

) = 0，可得
OB

⋅CA

= 0，所以OB

⊥CA

. 同理可证OC

⊥AB

,OA

⊥BC

. 所以O 是△ABC 的垂心. 故
选D.
173
已知O 为△ABC 所在平面内一点，满足OA


2+

BC

|2 = |OB

|2 + |CA

|2 = |OC

|2 +
|AB

|2，则O 点是△ABC 的
(
)
A. 垂心
B. 重心
C. 内心
D. 外心
【答案】A
【解析】由已知得OA


2-

OB

|2 = |CA

|2 - |BC

|2，所以(OA

- OB

) ⋅(OA

+ OB

) = (CA

-
BC

) ⋅(CA

+ BC

). 所以BA

⋅(OA

+ OB

) = (CA

+ CB

) ⋅BA

，所以BA

⋅(OA

+ OB

+ AC

+
BC

) = 0，即BA

⋅2OC

= 0，所以OC

⊥BA

. 同理OA

⊥CB

,OB

⊥AC

. 故选A.
结论三、内心
aOA

+ bOB

+ cOC

= 0 ⇔O 为△ABC 的内心.
证明: 因为AB

c , AC

b
分别为AB

,AC

方向上的单位向量，所以AB

c
+ AC

b
平分∠BAC，
所以AO

= λ AB

c + AC

b


，量λ =
bc
a+b+c ，所以AO

=
bc
a+b+c
AB

c + AC

b


，化简得(a +
b + c)OA

+ bAB

+ cAC

= 0. 所以aOA

+ bOB

+ cOC

= 0.
174
已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若aOA

+ bOB

+ cOC

= 0，则O 点是
△ABC 的
(
)
·177·
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
【答案】B
【解析】因为OB

= OA

+ AB

,OC

= OA

+ AC

，则(a + b + c)OA

+ bAB

+ cAC

= 0，得
AO

=
bc
a+b+c
AB

|AB

|
+ AC

|AC

|


. 因为AB

|AB

|
与AC

|AC

|
分别为AB

和AC

方向上的单位向量，
设AP

= AB

|AB

|
+ AC

|AC

|
，则AP

平分∠BAC. 又AO

，AP

共线，知AO 平分∠BAC. 同理可证
BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，所以O 点是△ABC 的内心. 故选B.
174
已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若PO

= aPA

+bPB

+cPC

a+b+c
(其中P 是
△ABC 所在平面内任意一点)，则O 点是△ABC 的
(
)
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
【答案】B
【解析】式已知得PO

= PA

+ bPB

+cPC

-cPA

-bPA

a+b+c
= PA

+ bAB

+cAC

a+b+c
，所以AO

= bAB

+cAC

a+b+c
=
bc
a+b+c
AB

c + AC

b


=
bc
a+b+c
AB

|AB

|
+ AC

|AC

|


，式上题结论知O 点是
△ABC 的内心. 故选B.
结论四、外心
|OA

| = |OB

| = |OC

| ⇔O 为△ABC 的外心.
175
已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若|OA

| = |OB

| = |OC

|，则O 点是△ABC 的
(
)
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
【答案】A
【解析】因为|OA

| = |OB

| = |OC

|，则O 到△ABC 的三个顶点距离相等，所以O 点是
△ABC 外接圆的圆心，即O 点是△ABC 的外心. 故选A.
175
已知O 是△ABC 所在平面上的一点，若(OA

+ OB

) ⋅AB

= (OB

+ OC

) ⋅BC

=
(OC

+ OA

) ⋅CA

= 0，则O 点是△ABC 的
(
)
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
【答案】A
【解析】
由已知得
(OA

+ OB

) ⋅(OB

- OA

) = (OB

+ OC

) ⋅(OC

- OB

) = (OC

+ OA

) ⋅(OA

- OC

) = 0 ⇔
OB
2 - OA
2 = OC
2 - OB
2 = OA
2 - OC
2 = 0 ⇔|OA

| = |OB

| = |OC

|. 所以点O 是△ABC 的外
心. 故选A.
结论五、重心与面积
·178·
若平面内点O 是△ABC 的重心，则有S△OAB:S△OAC:S△OBC = 1:1:1.
176
已知点O 是△ABC 内一点，OA


+ 2OB

+ 3OC


= 0，则:
(1)△AOB 与△AOC 的面积之比为
.
(2)△ABC 与△AOC 的面积之比为
.
【解析】(1) 将OB 延长至E，使OE = 2OB，将OC 延长至F，使OF = 3OC，则OA


+ OE

+ OF

= 0，所以O 是△AEF 的重心. 所以S△AOC = 1
3 S△AOF = 1
9 S△AEF，S△AOB = 1
2 S△AOE =
1
6 S△AEF，所以S△AOB:S△AOC = 3:2.
( 2 ) 因为S △BOC = 1
6 S △EOF =
1
18 S △AEF ，所以S △ABC = S △AOB + S △AOC + S △BOC =
1
6 + 1
9 + 1
18


S△AEF = 1
3 S△AEF，又S△AOC = 1
9 S△AEF，所以S△ABC:S△AOC = 3:1.
176
已知点O 是△ABC 内一点，2OA


+ 3OB

+ 4OC


= 0，则S△OAB:S△OAC:S△OBC =
.
【答案】4:3:2
【解析】令2OA


= OA′


,3OB

= OB′


,4OC


= OC′


，所以O 为△A′B′C′ 的重心，则S△OA′B′:
S△OA′C′:S△OB′C′ = 1:1:1. 因为S△OA′B′ = 6S△OAB,S△OA′C′ = 8S△OAC,S△OB′C′ = 12S△OBC，所以S△OAB:
S△OAC:S△OBC = 4:3:2.
·179·
第30 讲
数列的概念和性质
通关一、数列的概念
一般地，按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项. 数列
的一般形式可以写成:a1,a2,a3, ⋯,an, ⋯，简记为an


，其中数列的第1 项a1，也称首项; 数列
的第n 项an，也叫数列的通项.
要点诠释:
(1) an


与an的含义完全不同: an


表示一个数列，an表示数列的第n 项；
(2) 数列的项与项数是两个不同的概念: 数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数
是指这个数在数列中的位置序号；
(3) 数列中的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同序排列次序不
同，那么它们就是不同的数列；
(4) 定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出.
通关二、数列的分类
分类的标
准
名称
含义
例子
按项的个
数
有穷数列
项数有限的数列
1,2,3,4, ⋯,100
无穷数列
项数无限的数列
1,4,9, ⋯,n, ⋯
按项的变
化趋势
递增数列
从第二项起，每一项大于它的前一项
的数列
3,4,5, ⋯,n
递减数列
从第二项起，每一项小于它的前一项
的数列
1, 1
2 , 1
3 , ⋯,
1
2015
常数列
各项都相等的数列
6,6,6,6, ⋯
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前一项
的数列, 有些项小于它的前一项的数
列
1, -2,3, -4, ⋯
按项的有
界性
有界数列
任一项的绝对值都小于某一正值
1, -1,1, -1,1,
-1, ⋯
无界数列
不存在某一正值能使任一项的绝对
值小于它
1,3,4,4, ⋯
·180·
通关三、数列的通项公式
如果数列an


的第n 项an 与n 之间的函数关系可以用一个公式表示成an = f(n)，那么
这个公式就叫作这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式.
要点诠释:
(1) 并不是所有数列都能写出其通项公式.
(2) 一个数列的通项公式有时是不唯一的. 如数列:1,0,1,0,1,0，通项公式可以是an =
1+(-1)n+1
2
，也可以是an= sin n
2 π


.
(3) 数列通项公式的作用：
①求数列中任意一项；
②检验某数是否是该数列中的一项.
(4) 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第n 项，又是这个数列中所有各项的
一般表示.
通关四、数列an


的前n 项和
数列an


的前n 项和: 指数列an


的前n 项逐个相加之和，通常用Sn 表示，即Sn = a1 +
a2+⋯+an，an=
S1
(n=1)
Sn-Sn-1 (n≥2且n∈N *)

.
结论一、数列通项公式
给出数列的前几项求通项时，需要注意观察数列中各项与其序号之间的关系，在所给数
列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的
关系，主要从以下几个方面来考虑：
(1) 分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系；
(2) 若第n 项和第n + 1 项正负交错，那么符号用(-1)n或(-1)n+1或(-1)n-1来调控；
(3) 熟悉一些常见数列的通项公式；
(4) 对于较复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，这就需要将数列各
项的结构形式进行变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”
“差”
“积”
“商”后
再进行归纳.
·181·
177
根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.
(1) 4
5 , 1
2 , 4
11 , 2
7 , ⋯；
(2) 1
2 ,2, 9
2 ,8, 25
2 , ⋯；
(3)7,77,777, ⋯；
(4)0,3,8,15,24, ⋯.
【答案】(1)an=
4
3n+2 (2)an= n2
2 (3)an= 7
9 10n-1


(4)an= n2- 1
【解析】(1) 注意前四项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为4
5 , 4
8 , 4
11 ，4
14 ,
⋯，它们的分母相差3，因而有an=
4
3n+2 .
(2) 把分母统一为2，则有1
2 , 4
2 , 9
2 , 16
2 , 25
2 , ⋯，因而有an= n2
2 .
(3) 把各项除以7，得到1,11,111, ⋯，再乘以9，得到9,99,999, ⋯，因而有an= 7
9 10n-1


.
(4) 观察数列递增速度较快，用平方数列对照看一看，即12,22,32,42,52, ⋯，则有an= n2- 1.
177
根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式
(1)1, 2
3 , 3
5 , 4
7 , 5
9 , ⋯；
(2) 3
2 , 14
5 , 39
10 , 84
17 , ⋯；
(3) 3
2 , 9
4 , 25
8 , 65
16 , ⋯；
(4)1, - 5
8 , 7
15 , - 9
24 , ⋯.
【答案】(1)
n
2n-1 (2)n +
n2
n2+1 (3)n + 1
2n (4) (-1)n+1 2n+1
n2+2n
【解析】(1) 先将数列1, 2
3 , 3
5 , 4
7 , 5
9 , ⋯，第1 项也化为分数，数列变为1
1 , 2
3 , 3
5 , 4
7
5
9 , ⋯，
此时可以看出分子是按正整数顺序排列，分母是按奇数排列，因此此数列的通项公式为an =
n
2n-1 .
(2) 将数列各项化为带分数，即1 1
2 ,2 4
5 ,3 9
10 ,4 16
17 , ⋯，可以发线正整数部分是按正整数
顺序排列的，分数部分各分子均为n2，分母都比分子大1，所以分数部分的通项公式为
n2
n2+1 . 两部分合成为an= n +
n2
n2+1 .
(3) 将数列各项化为带分数，即1 1
2 ,2 1
4 ,3 1
8 ,4 1
16 , ⋯，可以发现整数部分是按正整数顺
序排列的，分数部分各分子均为1，分母是2n，所以两部分合成为n + 1
2n .
(4) 先将数列各项取为正数，即为1, 5
8 , 7
15 , 9
24 , ⋯，再将第1 项也化为分数(注意第1 项
化为分子符合各项分子变化规律的分数) 即为3
3 , 5
8 , 7
15 , 9
24 , ⋯，可以观察出各项分子是3 开
始的奇数，通项公式可以写为2n + 1，分母排成的数列后项与前项的差呈现出等差数列规律，
求出分母的通项公式是n2 + 2n，合起来为2n+1
n2+2n ，再考虑正负号变化规律，即可得出通项公
式为(-1)n+1 2n+1
n2+2n .
·182·
结论二、数列的周期性
对于数列an


，如果存在一个常数T T∈N *


，使得对任意的正整数n > n0，恒有an+T =
an 成立，则称数列an


是从第n0 项起的周期为T 的周期数列. 若n0 = 1，则称数列an


为纯
周期数列，若n0≥2，则称数列an


为混周期数列，T 的最小值称为最小正周期，简称周期.
178
设数列an


满足a1 = 2,an+1 = 1 - 1
an ，记数列an


前n 项之积为Tn，则T2020 的值
为
(
)
A.2B1C. -1D. -2
【答案】D
【解析】因为a1 = 2，an+1 = 1 - 1
an ，所以a2 = 1 - 1
a1 = 1
2 ，a3 = 1 - 1
a2 =-1，a4 = 1 - 1
a3 =
2，即数列an


是周期为3 的周期数列，且a1 ⋅a2 ⋅a3 =-1，故T2020 = T673×3+1 = (-1)673 × 2 =-2.
故选D.
178
数列an


满足an+1=
2an,0≤an< 1
2
2an-1, 1
2 ≤an<1

，若a1= 6
7 ，则a20的值为
(
)
A. 6
7 B 5
7 C. 3
7 D. 1
7
【答案】B
【解析】因为数列an


满足an+1 =
2an,0≤an< 1
2
2an-1, 1
2 ≤an<1

，a1 = 6
7 ，所以a2 = 2a1 - 1 = 5
7 ，a3
= 2a2 - 1 = 3
7 ，a4 = 2a3 = 6
7 ，所以数列an


是周期为3 的循环数列，所以a20 = a2 = 5
7 . 故选
B.
结论三、已知Sn求an的一般步骤
任意数列an


的前n 项和Sn= a1+ a2+⋯+an;an= S1
(n=1)
Sn-Sn-1 (n≥2)

.
要点诠释:
由前n 项和Sn求数列通项时，要分三步进行：
(1) 先利用a1= S1求出a1；
(2) 用n - 1 替换Sn 中的n 得到一个新的关系，利用an = Sn - Sn-1,n ≥2 便求出当n ≥2
时an的表达式；
(3) 对n = 1 时的结果进行检验，看是否符合n ≥2 时an 的表达式，如果符合，则可以把数
列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n = 1 与n ≥2 两段来写.
179
已知数列an


的前n 项和为Sn= n2- 1，则其通项公式an=
.
·183·
【答案】0,
n=1
2n-1, n≥2

【解析】因为已知数列an


的前n 项和Sn = n2 - 1，所以当n = 1 时，a1 = S1 = 0，当n ≥2
时，an = Sn - Sn-1 = n2 - 1 - (n-1)2-1


= n2 - (n - 1)2 = 2n - 1，经检验，n = 1 时，a1 不满
足上述式子，故数列an


的通项公式an= 0,n=1
2n-1,n≥2.

179
已知数列an


的前n 项和Sn= 3n+ 1，则其通项公式an=
.
【答案】4,
n=1
2⋅3n-1, n≥2

【解析】当n = 1 时，a1 = S1 = 3 + 1 = 4；当n ≥2 时，an = Sn - Sn-1 = 3n+1


- 3n-1+

1

= 2 ⋅3n-1= 2 ⋅3n-1. 当n = 1 时，2 × 31-1= 2 ≠a1，所以an= 4,n=1
2⋅3n-1,n≥2.

结论四、an与Sn混合在一起的处理方法
数列an


的前n 项和Sn 与通项an 的关系为an =
S1,
n=1
Sn-Sn-1, n≥2

，通过纽带:an = Sn -
Sn-1(n ≥2)，根据题目已知条件，消掉an 或Sn，再通过构造成等差数列或者等比数列进行求
解.
要点诠释：
(1) 若消掉Sn, 应利. 用已知递推式, 把n 换成n - 1 得到另一个式子, 两式相减即可求得
通项.
(2) 若消掉an, 只需把an= Sn- Sn-1代入递推式得到Sn，Sn-1的关系, 求出Sn后再利用
an与Sn的关系求通项.
180
若数列an


的前n 项和为Sn = 2
3 an + 1
3 , 则a1 = 数列an


的通项公式an =
.
【答案】1 (-2)n-1
【解析】由已知条件得, 当n = 1 时,a1= 2
3 a1+ 1
3 , 故a1= 1. 当n ≥2 时,Sn= 2
3 an+ 1
3 ,
Sn-1= 2
3 an-1+ 1
3 , 所以an= 2
3 an- 2
3 an-1, 即an=-2an-1. 所以an


是以1 为首项, -2 为公
比的等比数列, 所以an= (-2)n-1.
180
已知数列an


的前n 项和Sn, 若a1= 1,Sn= 1
3 an+1, 则a7=
(
)
A. 47
B. 3 × 45
C. 3 × 46
D. 46+ 1
【答案】B
【解析】由Sn= 1
3 an+1, 可得Sn-1= 1
3 an,n ≥2, 两式相减可得:an= 1
3 an+1- 1
3 an,n ≥2,
·184·
即an+1= 4an,n ≥2. 数列an


是从第二项起的等比数列, 公比为4, 因为Sn= 1
3 an+1,a1= 1.
所以a2= 3. 所以a7= a247-2= 3 × 45. 故选B.
结论五、数列单调性的判断方法
①作差法:
an+1- an> 0 ⇔数列an


是递增数列;
an+1- an< 0 ⇔数列an


是递减数列;
an+1- an= 0 ⇔数列an


是常数列.
②作商法:
当an> 0 时, an+1
an > 1 ⇔数列an


是递增数列;
an+1
an < 1 ⇔数列an


是递减数列;
an+1
an = 1 ⇔数列an


是常数列.
当an< 0 时, an+1
an > 1 ⇔数列an


是递减数列;
an+1
an < 1 ⇔数列an


是递增数列;
an+1
an = 1 ⇔数列an


是常数列.
181
已知an


是递增数列, 且对于任意的n ∈N *,an = n2 + λn 恒成立, 则实数λ 的取值
范围是
.
【答案】λ >-3
【解析】解法一(定义法) 因为an


是递增数列, 所以对任意的n ∈N *, 都有an+1> an, 即
(n + 1)2+ λ(n + 1) > n2+ λn, 整理得2n + 1 + λ > 0, 即λ >- (2n + 1) (*). 因为n ≥1, 所以
- (2n + 1) ≤-3, 要使不等式(*) 恒成立, 只需λ >-3.
解法二(函数法) 设f(n) = an= n2+ λn, 其图像的对称轴为直线n =- λ
2 , 要使数列an


为递增数列, 只需使定义在正整数上的函数f(n) 为增函数, 故只需满足f(1) < f(2), 即λ >
-3.
181
已知数列an


的通项公式为an= (3n + 7) × 0.9n, 则数列an


的最大项是
(
)
A. a5
B. a6
C. a7
D. a8
·185·
【答案】C
【解析】由an+1
an = 3n+10
3n+7 × 9
10 > 1, 解得n < 20
3 , 又n ∈N *, 所以n ≤6. 于是a1< a2<
⋯< a7, 当n ≥7 时, an+1
an < 1, 故a7> a8>⋯, 因此最大项为a7. 故选C.
·186·
第31 讲
等差数列通项公式及性质
通关一、等差数列的定义
1. 文字语言形式
一般地, 如果一个数列从第二项起, 每一项与它的前一项的差都等于同一个常数, 这个
数列就叫作等差数列, 这个常数叫作等差数列的公差, 公差通常用字母d 表示.
要点诠释：
(1) 公差d 一定是由后项减前项所得, 而不能用前项减后项来求;
(2) 共同特征: 从第二项起, 每一项与它前面一项的差等于同一个常数d(即公差).
2. 符号语言形式
对于数列an


, 若an- an-1= d n∈N *,n≥2,d

为常数) 或an+1- an= d(n ∈N *,d 为常
数), 则此数列是等差数列, 其中常数d 叫作等差数列的公差.
要点诠释：定义中要求“同一个常数d”, 必须与n 无关.
通关二、等差中项
如果a,A,b 成等差数列, 那么A 叫作a 与b 的等差中项, 即A = a+b
2
.
要点：诠释
(1) 两个数的等差中项就是两个数的算术平均数. 任意两实数a,b 的等差中项存在且唯
一.
(2) 三个数a,A,b 成等差数列的充要条件是A = a+b
2
.
通关三、等差数列的通项公式
首项为a1, 公差为d 的等差数列an


的通项公式为:an= a1+ (n - 1)d n∈N *


推导过程：
(1) 归纳法根据等差数列定义an- an-1= d 可得an= an-1+ d, 所以a2= a1+ d = a1+ (2
·187·
- 1)d,
a3= a2+ d = a1+d


+ d = a1+ 2d = a1+ (3 - 1)d,
a4= a3+ d = a1+2d


+ d = a1+ 3d = a1+ (4 - 1)d,
an= a1+ (n - 1)d.
当n = 1 时, 上式也成立. 所以归纳得出等差数列的通项公式为:an= a1+ (n - 1)
d n∈N *


.
(2) 叠加法根据等差数列定义an- an-1= d, 有:
a2- a1= d,
a3- a2= d,
a4- a3= d,
⋯⋯
an- an-1= d.
把这n - 1 个等式的左边与右边分别相加(叠加), 并化简得an- a1= (n - 1)d, 所以an=
a1+ (n - 1)d.
(3) 迭代法an= an-1+ d = an-2+d


+ d =⋯= (a2+ d)+d+⋯+d
n-2



= a1+ (n - 1)d.
所以an= a1+ (n - 1)d.
要点诠释：
(1) 通项公式由首项a1和公差d 完全确定, 一日一个等差数列的首项和公差确定, 该等差
数列就唯一确定了.
(2) 通项公式中共涉及a1,n,d,an四个量, 已知其中任意三个量, 通过解方程, 便可求出第
四个量.
通关四、等差数列中的函数关系
等差数列an


中,an= a1+ (n - 1)d = dn + a1-d


, 令a1- d = b, 则:
an= dn + b(d,b 是常数且d 为公差).
·188·
(1) 当d = 0 时,an= b 为常数函数, an


为常数列; 它的图像是在直线y = b 上均匀排列的
一群孤立的点.
(2) 当d ≠0 时, an= dn + b 是n 的一次函数; 它的图像是在直线y = dx + b 上均
匀排列的一群孤立的点.
(1) 当d > 0 时, 一次函数单调增, an


为递增数列;
(2) 当d < 0 时, 一次函数单调减, an


为递减数列.
结论一、通项公式理解
由等差数列的通项公式an= a1+ (n - 1)d 可知：
(1) 已知等差数列的首项和公差, 可以求得这个数列的任何一项;
(2) 已知a1,n,d,an这四个量中的任意三个, 可以求得第四个量.
182
在等差数列an


中,
(1) 若a3= 31,a7= 76, 求a1和d;
(2) 若a1+ a6= 12,a4= 7, 求a9.
【答案】(1) a1= 17
2 ,d = 45
4 (2) a9= 17
【解析】(1) 等差数列的公差d = a7-a3
7-3 = 76-31
7-3
= 45
4 , 首项a1= a3- 2d = 31 - 2 × 45
4
= 17
2 .
(2) 由a1+ a6= 2a1+ 5d = 12,a4= a1+ 3d = 7 联立得a1= 1,d = 2, 所以a9= a1+ 8d = 1 +
8 × 2 = 17
182
在等差数列an


中, 首项a1= 0, 公差d ≠0, 若am = a1+ a2+⋯+a9, 则m 的值为
(
)
A. 37
B. 36
C. 20
D. 19
【答案】A
【解析】因为an


为等差数列, 首项a1= 0,am = a1+ a2+⋯+a9, 所以0 + am = (m - 1)d
= 9a5= 9 a1+4d


= 36d = a1+ 36d, 又公差d ≠0, 所以m = 37. 故选A.
结论二、通项公式变形
等差数列an


满足:an= am + (n - m)d m,n∈N *


.
183
已知等差数列an


前9 项的和为27,a10 = 8, 则a100 =
(
)
A. 100
B. 99
C. 98
D. 97
【答案】
C
·189·
【解析】因为等差数列an


前9 项的和为27,S9= 9 a1+a9


2
= 9×2a5
2
= 9a5, 所以9a5=
27,a5= 3. 又因为a10 = 8, 所以d = 1, 所以a100 = a5+ 95d = 98. 故选C.
183
an


是公差为-2 的等差数列, 如果a1 + a4 + a7 +⋯+a97 = 50, 那么a3 + a6 + a9
+⋯+a99等于
(
)
A. - 182
B. - 78
C. - 148
D. - 82
【答案】D
【解析】由两式的性质可知,a3+ a6+ a9+⋯+a99= a1+ 2d + a4+ 2d + a7+ 2d +⋯+a97+
2d, 则a3+ a6+ a9+⋯+a99= 50 + 66d =-82. 故选D.
结论三、公差的几何意义
公差等于等差数列中任意两项之差与序号之差之比(即斜率), 表示为:d = an-am
n-m .
184
(1) 在等差数列an


中, 已知a1= 12,a6= 27, 求d.
(2) 在等差数列an


中, 已知a3= 10,a9= 28, 求a12.
【答案】(1)3 (2)37
【解析】(1)d = 27-12
6-1
= 3;(2) d = 28-10
9-3
= 3,a12 = a9+ 3d = 37.
184
已知等差数列an


中,a3+ a8+ a13 = 12,a3a8a13 = 28, 则an=
.
【答案】3
5 n - 4
5 或- 3
5 n + 44
5
【解析】因为a3+ a13 = 2a8, 所以a3+ a8+ a13 = 3a8= 12, 即a8= 4, 代人已知, 有
a3+a13=8
a3⋅a13=7

, 解得a3=1
a13=7

或a3=7
a13=1.

当a3= 1,a13 = 7 时,d = a13-a3
13-3 = 7-1
10
= 3
5 , 所以an= a3+ (n - 3) 3
5 = 3
5 n - 4
5 ;
当a3= 7,a13 = 1 时,d = a13-a3
13-3 = 1-7
10
=- 3
5 , 所以an=- 3
5 n + 44
5 .
结论四、下标和相等, 项之和相等
等差数列an


中, 若m + n = p + q, 则am + an= ap + aq; 若2m = p + q, 则有2am = ap +
aq p,q,m,n∈N *


185
已知等差数列an


中,a7+ a9= 16,a4= 1, 则a12 的值是
(
)
A. 15
B. 30
C. 31
D. 64
【答案】A
【解析】因为a7+ a9= a4+ a12 = 16 = 1 + a12, 所以a12 = 15. 故选A.
185
已知等差数列an


的前n 项和为Sn, 若S12 = 21, 则a2+ a5+ a8+ a11=
.
【答案】7
·190·
【解析】因为S12 = 12 a1+a12


2
= 6 a1+a12


= 21, 所以2 a1+a12


= 7, 而a2+ a5+
a8+ a11= 2 a1+a12


= 7.
结论五、等差数列线性组合仍为等差数列
若an


和bn


均为等差数列, 则λan±μbn


(λ,μ 为常数) 也是等差数列.
186
已知数列an


, bn


满足bn = an + an+1, 则“数列an


为等差数列”是“数列bn


为
等差数列”的
(
)
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若数列an


是等差数列, 设其公差为d1, 则bn+1- bn= an+1+an+2


- an+

an+1

=
an+2- an= 2d1, 所以数列bn


是等差数列. 若数列bn


是等差数列, 设其公差为d2, 则bn+1-
bn= an+1+an+2


- an+an+1


= an+2- an= d2, 不能推出数列an


是等差数列. 所以“数列
an


为等差数列”是“数列bn


为等差数列”的充分不必要条件. 故选A.
186
设数列an


, bn


都是等差数列, 若a1+ b1= 7,a3+ b3= 21, 则a5+ b5=
.
【答案】35
【解析】因为数列an


, bn


都是等差数列, 设数列an


的公差为d1, 设数列bn


的公差
为d2,a3+ b3= a1+ b1+ 2 d1+d2


= 21, 而a1+ b1= 7, 故2 d1+d2


= 21 - 7 = 14. 所
以a5+ b5= a3+ b3+ 2 d1+d2


= 21 + 14 = 35. 故答案为35 .
结论六、下标成等差, 项也成等差
若an


是等差数列, 则ak,ak+m,ak+2m, ⋯k,m∈N *


组成公差为md 的等差数列.
187
若an


为等差数列,a15 = 8,a60= 20, 则a75=
.
【答案】24
【解析】因为an


为等差数列, 设其公差为d, 所以a15,a30,a45,a60,a75成等差数列, 公差为
15d. 因为a60- a15 = 45d = 20 - 8 = 12, 所以d = 4
15 , 故a75= a60+ 15d = 20 + 4 = 24.
187
已知等差数列an


中,a3= 5
4 ,a7=- 3
4 , 则a15 =
.
【答案】- 19
4
【解析】解法一: 设数列an


首项为a1, 公差为d, 则
a1+2d= 5
4
a1+6d=- 3
4

, 解得
d=- 1
2
a1= 9
4

,
所以a15 = a1+ 14d = 9
4 + 14 × - 1
2


=- 19
4 .
解法二: 因为a7= a3+ 4d, 所以- 3
4 = 5
4 + 4d, 解得d =- 1
2 , 所以a15 = a7+ (15 - 7)d
=- 19
4
解法三: 因为an


为等差数列, 所以a3,a7,a11,a15, ⋯, 也成新的等差数列, 由a3= 5
4 ,a7=
·191·
- 3
4 知上述新数列首项为5
4 , 公差为-2, 所以a15 = 5
4 + (4 - 1) × (-2) =- 19
4 .
结论七、对称项设法
1. 当等差数列an


的项数为奇数时, 可设中间一项为a, 再以公差为d 向两边分别设项:
⋯,a - 2d,a - d,a,a + d,a + 2d, ⋯;
2. 当等差数列an


的项数为偶数时, 可设中间两项分别为a - d,a + d, 再以公差为2d
向两边分别设项: ⋯,a - 3d,a - d,a + d,a + 3d, ⋯.
188
设有四个数的数列a1,a2,a3,a4 前三个数构成一个等比数列, 其和为k, 后三个数构
成一个等差数列, 其和为15, 且公差非零. 对于任意固定的实数k, 若满足条件的数列个
数大于1, 则k 的取值范围为
.
【答案】15
4 ,5


∪(5,15) ∪(15, +∞)
【解析】因为后3 个数成等差数列且和为15 , 故可依次设后3 个数为5 - d,5,5 + d(d ≠0
且d ≠5), 又前3 个数构成等比数列, 则第一个数为(5-d)2
5
, 即(5-d)2
5
+ 5 - d + 5 = k, 化
简得d2- 15d + 75 - 5k = 0, 因为满足条件的数列的个数大于1, 需要△> 0, 所以k > 15
4 . 再
由d ≠0 且d ≠5, 得k ≠5, 且k ≠15. 故答案为
15
4 ,5


∪(5,15) ∪(15, +∞).
188
一等差数列由3 个数组成,3 个数之和为9,3 个数的平方和为35 , 求这个数列.
【答案】1,3,5 或5,3,1
【解析】设这三个数分别为a - d,a,a + d, 则(a-d)+a+(a+d)=9
(a-d)2+a2+(a+d)2=35

, 解得a = 3,d =
±2. 所以所求数列为1,3,5 或5,3,1.
结论八、等差数列的判定与证明
等差数列的判定与证明方法有以下四种：
1. 定义法:an+1- an= d(常数) n∈N ∗


或an- an-1= d n∈N *,n≥2


⇔an


为等差数
列.
2. 等差中项法: 2an+1= an+ an+2 n∈N *


⇔an


为等差数列.
3. 通项公式法: an= an + b (a,b 是常数,n ∈N ∗) ⇔an


为等差数列.
4. 前n 项和公式法:Sn= an2+ bn(a,b 为常数) ⇔an


为等差数列.
若判断一个数列不是等差数列, 只需找出三项an,an+1,an+2, 使得这三项不满足2an+1=
an+ an+2即可.
189
已知数列an


满足a1= 1,a2= 3,an+2= 3an+1- 2an n∈N *


.
·192·
(1) 求证: 数列an+1-an


是等比数列;
(2) 求数列an


的通项公式;
(3) 若数列bn


满足4
b1-1⋅4
b2-1⋅4
b3-1⋯⋯⋅4
b*-1= an+1


b* n∈N *


, 求证: 数列bn


是等
差数列.
【解析】(1) 证明因为an+2= 3an+1- 2an, 所以an+2- an+1= 2 an+1-an


. 又a1= 1,
a2= 3, 得a2- a1= 2, 所以an+2-an+1
an+1-an = 2 n∈N *


. 故an+1-an


是以2 为首项, 以2 为
公比的等比数列.
(2) 由(1) 得an+1- an= 2n n∈N *


, 故an- an-1= 2n-1,an-1- an-2= 2n-2, ⋯,a2- a1=
21, 其中n ≥2. 将n - 1 个等式左右分别相加得an- a1= 2× 1-2n-1


1-2
= 2n- 2. 故an=
2n- 2 + a1= 2n- 2 + 1 = 2n- 1(n ≥2),n = 1 时也成立, 所以an= 2n- 1 n∈N *


.
(3) 证明由(2) 可知4
b1-1⋅4
b2-1⋅4
b3-1⋅⋯⋅4
b0-1= an+1


b*, 即4
b1+b2+⋯+b--n


= 2n-1+1


bn=
2nb, 故有2 b1+b2+⋯+bn


- 2n = nbn. 设Sn为bn


的前n 项之和, 则2Sn- 2n = nbn①,
2Sn+1- 2(n + 1) = (n + 1)bn+1②, 由②- ①得2bn+1- 2 = (n + 1)bn+1- nbn, 即nbn- 2 = (n
- 1)bn+1③, 所以(n - 1)bn-1- 2 = (n - 2)bn(n ≥2,n ∈N *4) ④, 由④- ③得2(n - 1)bn= (n
- 1)bn-1+ (n - 1)bn+1, 即2bn= bn-1+ bn+1 n≥2,n∈N *


. 故数列bn


是等差数列.
189
在数列an


中, Sn+1= 4an+ 2 n∈N *


且a1= 1.
(1) 设bn= an+1- 2an, 求证: 数列bn


是等比数列;
(2) 设cn= an
2n , 求证: 数列cn


是等差数列.
【解析】证明(1)Sn+1= 4an+ 2 ①,Sn= 4an-1+ 2 n≥2,n∈N *


②, 由①- ②得an+1= 4an
- 4an-1, 所以an+1- 2an= 2an- 4an-1= 2 an-2an-1


. 当n = 1 时,S2= 4a1+ 2 = 6 = a1+ a2,
则a2= 5, 所以a2- 2a1= 5 - 2 = 3 ≠0, 所以an+1-2an
an-2an-1 = 2, 令bn= an+1- 2an, 所以bn
bn-1 =
2 n≥2,n∈N *


. 又b1= a2- 2a1= 3, 故数列bn


是首项为3, 公比为2 的等比数列.
(2) 因为数列bn


是等比数列,b1= a2- 2a1= 3. 所以bn= b1⋅qn-1= 3 ⋅2n-1= an+1- 2an,
则an+1- 2an= 3 ⋅2n-1, 所以an+1
2n+1 - an
2n = 3
4 . 令cn= an
2n , 又Sn≠0, 故cn+1- cn= 3
4 . 又c1
= a1
2 = 1
2 , 因此数列cn


是首项为1
2 , 公差为3
4 的等差数列.
·193·
第32 讲
等差数列的前n 项和
通关一、等差数列的前n 项和公式
公式一Sn= n a1+an


2
证明: (倒序相加法) Sn= a1+ a2+ a3+⋯+an-1+ an ①,Sn= an+ an-1+ an-2+⋯+a2+ a1
②, 由①+ ②得2Sn= a1+an


+ a2+an-1


+ a3+an-2


+⋯+ an

+a1

, 因为a1+ an= a2+
an-1= a3+ an-2=⋯= an+ a1, 所以2Sn= n a1+an


, 由此得Sn= n a1+an


2
公式二: Sn= na1+ n(n-1)d
2
证明: 将an= a1+ (n - 1)d 代入Sn= n a1+an


2
可得Sn= na1+ n(n-1)d
2
.
通关二、前n 项和与函数关系
由Sn= na1+ n(n-1)
2
d = d
2 n2+ a1- d
2


n, 令A = d
2 ,B = a1- d
2 , 则;
Sn= An2+ Bn(A,B 为常数).
(1) 当d = 0 即A = 0 时,Sn= Bn = na1,Sn是关于n 的一个一次函数; 它的图像是在直线
y = a1x 上的一群孤立的点.
(2) 当d ≠0 即A ≠0 时,Sn是关于n 的一个常数项为零的二次函数; 它的图像是在抛物
线y = Ax2+ Bx 上的一群孤立的点.
①当d > 0 时,Sn有最小值;
②当d < 0 时,Sn有最大值.
通关三、Sn= na中(n 为奇数)
公式：Sn= na中(n 为奇数)
证明：因为Sn = a1+an
2
× n，当n 为奇数时，a1+an
2
就是前n 项的中项a中，所以Sn =
na中(n 为奇数)
要点诠释：
·194·
1.a中是这n 项的中项，其中n 必须为奇数，中项的下标为n+1
2
，所以Sn = na中(n 为奇
数)，为便于记忆，公式记为：Sn= na中(n 为奇数)，中项a中可以临时推算出来
2. 公式a中的下标推算方法：
(1) 等差中项推算法：当n 为奇数时，向所为奇数向a中是首项a1 和尾项an 的中项，所以
下标是n+1
2
；
(2) 定义推算法，当n 为奇数时，项数为奇数项，a中必须是数列中正中间的一项，他前后
项数应该一样多，所以，先从总项n 中去掉中项a中这一项，还一项，还有n - 1 项，其前面有一
半数量的项，即中项a中前面有n-1
2
项，所以中项a中排在第n-1
2
+ 1 项的位置，所以中项
a中的下标为n+1
2
.
结论一、等差数列前n 项和公式及其变形
Sn = n(a1+an)
2
= na1 + n(n-1)d
2
= d
2 n2 + a1- d
2


n = n(a2+an-1)
2
= n
2 × (与首末两
项等距离两项之和)
190
) 记Sn为等差数列{an} 的前n 项和，若a1=-2,a2+ a6= 2，则S10 =
【答案】25
【解析】因为{an} 是等差数列，且a1 =-2,a2 + a6 = 2，设等差数列{an} 的公差为d，根据等
差数列通项公式an= a1+ (n - 1)d 可得a1+ d + a1+ 5d = 2 即-2 + d + (-2) + 5d = 2
整理可得6d = 6，解得d = 1，根据等差数列前n 项和公式Sn = na1 + n(n-1)d
2
可得S10 =
10 × (-2) + 10×(10-1)
2
=-20 + 45 = 25，所以S10 = 25
190
已知{an} 是公差为1 的等差数列，Sn为{an} 的前n 项和，S8= 4S4，则a10 =
(
)
A. 17
2
B. 19
2
C. 10
D. 12
【答案】B
【解析】因为{an} 是公差为1 得等差，S8 = 4S4，所以8a1 + 8×7
2
× 1 = 4 × 4a1+ 4×3
2


，
解得a1= 1
2 ，则a10 = 1
2 + 9 × 1 = 19
2 ，故选B
结论二、前n 项和构造等差数列
若{an} 是等差数列，则Sn = d
2 n2 + a1- d
2


n, Sn
n = d
2 n + a1- d
2


，所以
Sn
n


也成等
差数列，其首项与{an} 首项相同，公差是{an} 公差的1
2
·195·
191
等差数列{an} 的前n 项和为Sn，Sm-1=-2,Sm = 0,Sm+1= 3，则m =
(
)
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】C
【解析】解法一: 由题意知
Sm = m(a1+am)
2
= 0 ∴a1=-am =- (Sm - Sm-1) =-2,am+1= Sm+1- Sm = 3
所以公差d = am+1- an= 1 ∴3 = am+1=-2 + m ∴m = 5，故选C
解法二: 等差数列，Sn
n 也为等差数列，即Sm-1
m-1 + Sm+1
m+1 = 2 Sm
m ，代入得m = 5，故选C
191
已知等差数列{an} 的前n 项和为Sn，a1 = 9, S9
9 - S5
5 =-4，则Sn 取得最大值时
n 的值为
(
)
A. 4
B. 5
C. 6
D. 4 或5
【答案】B
【解析】解法一: 由{an} 为等差数列得S9
9 - S5
5 = 9a5
9
- 5a3
5
= a5 - a3 = 2d = 4 ∴d =
-2，由a1 = 9 得an =-2n + 11，令an =-2n + 11 < 0 得n > 11
2 ，所以Sn 取得最大值时n 的值
为5，故选B
解法二: 由
Sn
n


为等差数列得S9
9 - S5
5 = 9a5
9
- 5a3
5
= a5 - a3 = 2d = 4 ∴d =-2，由a1
= 9 得an =-2n + 11，令an =-2n + 11 < 0 得n > 11
2 ，所以Sn 取得最大值时n 的值为5，故选
B
结论三、相同项数的和构造等差数列
等差数列前n 项和为Sn，则Sn,S2n - Sn,S3n - S2n, ⋯, 
⋯也成等差数列，且公差d=
n2d，注意是第一个n 项和，第二个n 项和，⋯，即每n 项和为一段.
192
一个等差数列的前10 项的和为30，前30 项的和为10，求前40 项的和.
【解析】解法一: 设其首项为a1，公差为d，则
S10=10a1+ 10×9
2
d=30
S30=30a1+ 30×29
2
d=10

, 解得a1 = 21
5 ，故
d =- 4
15 , ∴S40= 40a1+ 40×39
2
d = 40 × 21
5 + 40×39
2
× - 4
15


=-40
解法二: 易知数列S10,S20 - S10,S30 - S20,S40 - S30 成等差数列，设其公差为d1, 则前3 项得
和为3S10 + 3×2
2
d1 = S30 = 10 即S10 + d1 = 10
3 ,S10 = 30 ∴d1 =- 80
3 , 所以S40 - S30 = S10 + 3d1
= 30 +
3 × - 80
3


=-50, ∴S40=-50 + S30=-40
解法三: 设Sn = pn2 + qn, 则S10=100p+10q=30
S30=900p+30q=10

解得p =- 2
15 ,q = 13
3 ∴Sn =- 2
15 n2 +
13
3 n
所以S40=- 2
15 × 402+ 13
3 × 40 =-40
·196·
解法四: 因为数列{an} 为等差数，所以
Sn
n


也为等差数列，点n, Sn
n


在一条直线上，
即：
10, S10
10


, 30, S30
30


, 40, S40
40


, 三点共线，于是
S30
30 - S10
10
30-10
=
S40
40 - S10
10
40-10
，将S10 = 30,S30 =
10 代入解之得S40=-40
解法五: 因为数列{an} 为等差数，所以
Sn
n


也为等差数列，设Sn
n = an + b，将S10
10 = 3,
S10
10 = 1
3 , 代入Sn
n = an + b，解得
a=- 2
15
b= 13
3

, ∴Sn
n =- 2
15 n + 13
3 , S40
40 =- 2
15 × 40 + 13
3 =
-1, ∴S40=-40
解法六: 因为S30- S10 = a11+ a12 +⋯+a30= 20(a11+a30)
2
= 10(a1+ a40), 又S30- S10 =-20
所以a1+ a40=-2, ∴S40= 40(a1+a40)
2
=-40
解法七: 利用性质，Sm+n= (m+n)(Sn-Sm)
n-m
可得S40= (10+30)(S30-S10)
30-10
=-40
解法八: 利用性质当Sm = m,Sn = m(m ≠n) 时，Sm+n =- (m + n) 由于S10 = 30,S30 = 10，
可得
S40=- (30 + 10) =-40
192
设数列{an} 为等差数，它的前2n 项和与前4n 项和分别为X,Y,Z，则下列等式
中恒成立的是
(
)
A. 2X + Z = 3Y
B. 4X + Z = 4Y
C. 2X + 3Z = 7Y
D. 8X + Z = 6Y
【答案】D
【解析】设数列{an} 的前3n 项的和为R，则由等差数列的性质得X,Y - X,R - Y,Z -
R 也成等差数列，所以2(Y - X) = X + R - Y ∴R = 3Y - 3X，又因为2(R - Y) = Y - X +
Z - R 将R = 3Y - 3X 代入得8X + Z = 6Y，故选D
结论四、等差数列前n 项和与通项关系
若{an} 为等差数列，Sn为前n 项和，则S2n-1= (2n - 1)an
193
已知等差数列{an} 中，S9= 18,Sn= 240,an-4= 30(n > 9)，则项数为
(
)
A. 10
B. 14
C. 15
D. 17
【答案】C
【解析】因为S9 = 9(a1+a9)
2
= 9a5 = 18 ∴a5 = 2 ∴Sn = n(a1+an)
2
= n(2+30)
2
= 240,n =
15 故选C
193
已知等差数列{an} 的前n 项和为Sn，若S5
S11 = 3，则a3
a6 =
(
)
A. 11
2
B. 11
3
C. 33
5
D. 22
5
·197·
【答案】C
【解析】由等差数列前n 项和公式S5
S11 =
5(a1+a5)
2
11(a1+a11)
2
= 5a3
11a6 = 3，解之得：a3
a6 = 33
5 故
选C
结论五、前n 项和比值与通项比值关系
已知两等差数列{an}，{bn} 的前n 项和分别为Sn 和Tn，则an
bn = S2n-1
T2n-1 , am
bn = 2n-1
2m-1 ⋅
S2m-1
T2n-1 ,
194
已知两等差数列{an}，{bn} 的前n 项和分别为Sn 和Tn，且Sn
Tn = 7n+1
4n+27 ，则a11
b11
=
【解析】解法一: 因为a11= a1+a21
2
,b11= b1+b21
2
∴a11
b11 =
a1+a21
2
⋅21
b1+b21
2
⋅21
= S21
T21 = 7×21+1
4×21+27
= 4
3
解法二: 由S2n-1= (2n-1)(a1+a2n-1)
2
= (2n - 1)an∴a11
b11 = 21a11
21b11 = S21
T21 = 4
3
解法三令差数列前n 项和分别为Sn = (7n + 1)nk,Tn = (4n + 27)nk, ∴an = Sn - Sn-1 =
k(14n - 6)
bn= Tn- Tn-1= k(8n + 23) ∴a11
b11 = 148k
111k = 4
3
194
等差数列{ a n } ，{ b n } 的前n 项和分别为S n 和Tn ，若Sn
Tn = 2n+1
3n+2 ，则
a3+a11+a19
b7+b15
=
(
)
【答案】129
130
【解析】a3+a11+a19
b7+b15
= 3a11
2b11 = 3
2 × 21a11
21b11 = 3
2 × S21
T21 = 3
2 × 2×21+1
3×21+2 = 129
130
结论六、等差数列奇数项与偶数项的性质
1. 若项数为2n，则S偶- S奇= nd, S偶
S奇= an
an+1 ;
2. 若项数为2n + 1，则S偶= nan+1,S奇= (n + 1)an+1,S奇- S偶= an+1, S奇
S偶= n+1
n
.
195
在项数为2n + 1 的等差数列{an} 中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为
150，则n 等于
(
)
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
·198·
【答案】B
【解析】因为等差数列有2n + 1 项，所以利用性质可得S奇
S偶= n+1
n
= 165
150 = 11
10 ∴n = 10，
故选B.
195
已知等差数列{an} 的前n 项和为377，项数n 为奇数，且前n 项和中，奇数项和偶
数项和之比为7:6，则中间项为
.
【答案】29
【解析】因为等差数列{an} 的项数为奇数，所以利用性质可得S奇
S偶=
n+1
2
n-1
2
= n+1
n-1 =
7
6 ，解的n = 13，所以中间项为a7，因为S13 = 13a7= 377 ∴a7= 29
结论七、等差数列前n 项和最大、最小值问题
1. 当a1> 0,d < 0 时，解不等式组an≥0
an+1≤0

, 可得Sn取到最大值时n 的值；
当a1< 0,d > 0 时，解不等式组an≤0
an+1≥0

, 可得Sn取到最小值时n 的值；
2. 找到数列中的正负(或负正) 转化项，即令an= 0，求出n，若n 为整数(即存在为零项)，
则答案为两个：an-1,an；若n 不为整数(即不存在为零项)，答案为一个，即n = [an = 0] [取整
(或高斯) 函数]
3. 利用Sn = an2 + bn(二次函数) 来求最值，但注意n 取整数，不一定取对称轴，所以要看
对称轴，当对称轴是1
2 时，答案有两个，其余为一个.
196
已知数列{an} 是等差数列，前n 项和分别为Sn，满足S1 + 4a4 = S9，给出下列四个
结论：
①a7= 0；②S14 = 0；③S5- S8= 0；④S7最小，其中一定正确的结论是
(
)
A. ①③
B. ①③④
C. ②③④
D. ①②
【答案】A
【解析】设等差数列{an} 的公差为d,S1+ 4a4= S9,5a1+ 12d = 9a1+ 9×8
2
d，整理得
a1+ 6d = 0，即a7= 0，①正确.S14 = 14(a1+a14)
2
≠14a7≠0, ②不正确.S5- S8=-3a1- 18d
=-3a7 = 0, ③正确.S7 = 7(a1+a7)
2
= 7a4 可能大于0，也可能小于0，④不正确，其中正确
得结论是①③，故选A
196
Sn 是等差数列{an} 的前n 项和，S2018 < S2016,S2017 < S2018,，则Sn < 0 时n 的最大
值是
(
)
A. 2017
B. 2018
C. 4033
D. 4034
·199·
【答案】D
【解析】S2018 < S2016,S2017 < S2018,a2018 + a2017 < 0,a2018 > 0, ∴S4034= 4034(a1+a4034)
2
=
2017(a2018 + a2017) < 0,S4035 = 4035(a1+a4035)
2
= 4035a2018 > 0，可知Sn < 0 时n 的最大值
是4034
故选D
结论八、数列{|an|} 的前n 项和的求解
1. 求数列{|an|} 的前n 项和的关键时分清哪些项为正的，哪些为负的，最终转化为去掉
绝对值符号后的数列及进行求和.
2. 当{an} 的各项都为非负数时，{|an|} 的前n 项和就等于{an} 的前n 项和；当从某项开
始各项都为负数(或正数) 时，求{|an|} 的前n 项和要充分利用{an} 的前n 项和公式。这样
能简化解题过程。
3. 当求的前n 项和表达式需分情况讨论时，其结果应该用分段函数表示。
197
已知等差数列{an} 的各项都为整数，且a1 =-5,a3a4 =-1，则a1


+ a2


+ ... + a10


=
(
)
A. 70
B. 58
C. 51
D. 40
【答案】D
【解析】设等差数列{an} 的公差为d，由各项都为整数得d ∈Z，因为a1=-5，所以
a3a4= (-5 + 2d) (-5 + 3d) =-1，化简得6d2- 25d + 26 = 0，解得d = 2 或d = 13
6 (舍去)
所以an = 2n - 7，所以|a1| +|a2| + ⋯|a10| = 5 + 3 + 1 +⋯+13 = 9 + 7×(1+13)
2
= 58，故
选B
197
已知数列{an} 的前n 项和为Sn=-3n2+ 49n
(1) 请问数列{an} 是否为等差数列？如果是，请证明;
(2) 设bn= |an|，求数列{bn} 的前n 项和
【解析】(1) 由Sn =-3n2 + 49n，可得Sn-1 =-3(n - 1)2 + 49(n - 1) (n ≥2)，两式相减可
得an=-6n + 52(n ≥2), 而由a1= S1= 46，可得an=-6n + 52，于是由an+1- an=-6
可知，数列{an} 为等差数列.
(2) 记数列{bn} 的前n 项和为Tn，当n ≤8 时，Tn =-3n2 + 49n；当n > 9 时，Tn = 2S8 -
Sn
= 400 - ( - 3 n 2 + 49 n ) = 3 n 2 - 49 n + 400 ，故数列{ b n } 的前n 项和为Tn =
-3n2+49n
(n≤8)
3n2-49n+400 (n>9)

·200·
第33 讲
等比数列通项公式及性质
通关一、等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个
数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(q ≠0)，即
an+1
an = q(q ≠0)
要点诠释：
（1）由于等比数列每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q 不可能是0，
(2)“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数q”，这里的项具有任意性和
有序性，常数是同一个.
(3) 隐含条件，任一项an≠0 且q ≠0
(4) 常数列都是等差数列，但不一定是等比数列，不为0 的常数，数列是公比为1 的等比
数列.
(5) 证明一个数列为等比数列，其依据是an+1
an = q(q ≠0) 利用这种形式来判定就便于操
作了。
通关二、等比中项
如果三个数a,G,b 成等比数列，那么称数G 为a,b 的等比中项，其中G =± ab。
要点诠释：
(1) 只有当a 与b 与同号即ab > 0 时，才有等比中项，且a 与b 有两个互为相反数的等比
中项，当a 与b 异号或有一个为零，即ab ≤0 时，a 与b 与没有等比中项。
(2) 任意两个实数，a 与b 都有等差中项，且当a 与b 确定时，等差中项c = a+b
2
唯一
但任意两个实数a 与b 不一定有等比中项，且当a 与b 有等比中项是等比中项不唯一
(3) 当ab > 0 时，a,G,b 成等比数列⇒G2= ab;G2= ab 推不出a,G,b 成等比数列
通关三、等比数列的通项公式
·201·
首项为a1公比为q 的等比数列{an} 的通项公式为：an= a1⋅qn-1(n ∈N *,a1⋅q ≠0)
推导过程：
(1) 归纳法
根据等比数列的定义：an+1
an = q，可得an= an-1q(n ≥2)，所以a2= a1q = a1q2-1;a3= a2q
= (a1q)q = a1q2 = a1q3-1;a4 = a3q = (a1q2)q = a1q3 = a1q4-1; ⋯;an = an-1q =⋯= a1qn-1(n ≥
2)
当n = 1 时，上式也成立，所以归纳得出：an= a1⋅qn-1(n ∈N *,a1⋅q ≠0)
（2）叠乘法
根据等比数列的定义an
an-1 = q 可得：a2
a1 = q, a3
a2 = q, a4
a3 = q, ⋯an
an-1 = q, 把以上n - 1 个
等式的左边与右边分别相乘(叠乘)，并化简得an
a1 = qn-1，即an = an-1q(n ≥2)，又a1 也符合上
式，所以an= a1⋅qn-1(n ∈N *,a1⋅q ≠0)
迭代法
an= an-1q = an-2q2=⋯a2qn-1，所以an= a1⋅qn-1(n ∈N *,a1⋅q ≠0)
要点诠释：
(1) 通项公式由首项a1 和公比q 完全确定，一旦一个等比数列得首项和公比确定，改等比
数列就唯一确定了.
(2) 通项公式中共涉及a1,n,q,an 四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第
四个量.
通关四、等比数列中的函数关系
等比数列{an} 中，an= a1⋅qn-1= a1
q ⋅qn，若设c = a1
q ，则an= c ⋅qn.
(1) 当q = 1 时，an = c，等比数列{an} 是非零常数列，它的图像是在直线y = c 上均匀排
列的一群孤立的点.
(2) 当q > 0 且q ≠1 时，等比数列{an} 的通项公式an = c ⋅qn 是关于n 的指数型函数；它
的图像是分布在曲线y = a1
q ⋅qn，(q > 0 且q ≠1) 上的一些孤立的点.
·202·
结论一、通项公式及其变形
等比数列通项an= a1⋅qn-1= am ⋅qn-m(变形公式)，即可以用数列中的任意一项来表示
198
等比数列{an} 满足a1= 3,a1+ a3+ a5= 21，则a3+ a5+ a7=
(
)
A. 21
B. 42
C. 63
D. 84
【答案】B
【解析】把a1= 3 代入a1+ a3+ a5= 21 得q4+ q2- 6 = 0，得q2= 2 或q2=-3(舍去)，
a3+ a5+ a7= (a1+ a3+ a5) ⋅q2= 42. 故选B
198
已知{an} 是等比数列，a1= 1,a3= 2，则a5+a10
a1+a6 =
(
)
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
【答案】B
【解析】设公比为q，因为a1= 1,a3= 2，所以q2= a3
a1 = 2，所以a5+a10
a1+a6 = a1q4+a6q4
a1+a6
= q4
= 22= 4，故选C
结论二、公比q 的表示
等比数列中q =
n-m an
am ，注意n - m 的奇偶性，如为偶数，则公比为两个.
199
在等比数列{an} 中，a2010 = 8a2007，则公比q 的值为
(
)
A. 2
B. 3
C. 4
D. 8
【答案】A
【解析】由a2010 = 8a2007可得q3= 8，所以q = 2，故选A
199
等比数列{an} 中，a1+ a3= 10,a4+ a6= 5
4 ，则公比q 的值为
(
)
A. 4
B. 2
C. 1
2
D. 1
4
【答案】C
【解析】设公比为q,a1 + a1q2 = 10,a1q3 + a1q5 = 5
4 , 两式相除，得
1+q2
q3(1+q2) = 8，则q3 =
1
8 ，所以q = 1
2 ，故选C
结论三、下标和相等，项之积相等
等比数列an


中，若m + n = p + q，则am ⋅an = ap ⋅aq m,n,p,q∈N ∗


. 特别地，若2s = p
+ r，则apar = as
2 p，s，r∈N ∗


.
要点诠释：左面几项对应右面几项，即左、右项数必须相等，如a5≠a2⋅a3.
200
对任意等比数列an


，下列说法一定正确的是
(
)
·203·
A. a1,a3,a9成等比数列
B. a2,a3,a6成等比数列
C. a2,a4,a8成等比数列
D. a3,a6,a9成等比数列
【答案】D
【解析】A 选项中a3 = a1 ⋅q2,a1 ⋅a9 = a1
2 ⋅a9 = a1 ⋅q8, a3


2 ≠a1 ⋅a9，故A 选项说法错误；B 选
项中a3


2 = a1⋅q2


2 ≠a2 ⋅a6 = a1
2 ⋅q6，故B 选项说法错误；C 选项中a4


2 = a1⋅q3


2 ≠a2 ⋅a8 =
a1
2 ⋅q8，故C 选项说法错误；D 选项中a6


2 = a1⋅q5


2 = a3 ⋅a9 = a2
1 ⋅q10，故D 选项说法正确. 故
选D.
200
已知数列an


为等比数列，若a4+ a6= 10，则a7 a1+2a3


+ a3a9的值为
(
)
A. 10
B. 20
C. 100
D. 200
【答案】C
【解析】与条件a4 + a6 = 10 联系，可将所求表达式向a4，a6 靠拢，从而a7 a1+2a3


+ a3a9
= a7a1 + 2a7a3 + a3a9 = a2
4 + 2a4a6 + a2
6 = a4+a6


2 = 102 = 100，即所求表达式的值为100. 故
选C.
结论四、等差数列与等比数列相互转化
1. 若an


为等差数列⇒a
an


a>0且a≠1


为等比数列；
2. 若an


为正项等比数列⇒log
an
a


a>0且a≠1


为等差数列.
201
等比数列an


的各项均为正数，且a1a5 = 4，则log
a1
2 + log
a2
2 + log
a3
2 + log
a4
2 + log
a5
2
=
.
【答案】5
【解析】log
a1
2 + log
a2
2 + log
a3
2 + log
a4
2 + log
a5
2 = log
a1a2a3a4a5
2
= log
a3
2 = 5log
a3
2 . 又等比数列an


中，a1a5= 4，即a3= 2. 故5log
a3
2 = 5log2
2= 5.
201
在各项均为正数的等比数列bn


中，若b7b8= 3，则log
b1
3 + log
b2
3 +⋯+log
b14
3 等于
(
)
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
【答案】B
【解析】由等比数列性质可得，b7b8 = b6b9 = b5b10 =⋯= b1b14 = 3，所以log
b1
3 + log
b2
3 +⋯
+log
b14
3 = b1b2⋯b14


= log
b1b2⋯b14


3
= log
b7b8


7
3
= log37
3 = 7. 故选B.
结论五、等比数列的构造
1. an


是等比数列，则kan


，an
k


成等比数列；
2. an


，bn


是等比数列，则an⋅bn


，an
bn


，a
p
n⋅b
q
n


成等比数列；
3. an


是等比数列，则每隔相同的项抽项，抽出的项亦成等比数列，即ak,ak+m,ak+2m, ⋯，
仍是等比数列，公比为qm k,m∈N ∗


.
·204·
202
等比数列an


中，a9+ a10 = a a≠0


，a19 + a20= b，则a99+ a100 等于
(
)
A. b9
a8 B. b
a


9C. b10
a9 D. b
a


10
【答案】A
【解析】因为数列an


是等比数列，所以a9 + a10，a19 + a20，a29 + a30，⋯，a99 + a100 仍然为
等比数列. 所以此数列的公比为a19+a20
a9+a10 = b
a .a99 + a100 是此数列的第10 项，所以a99 + a100 =
a9+a10


b
a


9= b9
a8 . 故选A.
202
设an


是等比数列，且a1+ a2+ a3= 1，a2+ a3+ a4= 2，则a6+ a7+ a8= (
)
A. 12
B. 24
C. 30
D. 32
【答案】D
【解析】设等比数列an


的公比为q，则a1 + a2 + a3 = a1 1+q+q2


= 1，a2 + a3 + a4 = a1q
+ a1q2+ a1q3= a1q 1+q+q2


= q = 2，因此，a6+ a7+ a8= a1q5+ a1q6+ a1q7= a1q
1+q+q2


= q5= 32. 故选D.
结论六、对称项设法
1. 当等比数列a


的项数为奇数时，可设中间一项为a，再以公比为q 向两边分别设项：
⋯, a
q2 , a
q ,a,aq,aq2, ⋯；
2. 当等比数列an


的项数为偶数时，可设中间两项分别为a
q ，aq，再以公比为q2 向两边
分别设项：⋯, a
q3 , a
q ,aq,aq3, ⋯.
203
已知等比数列an


中，a2= 1，则其前3 项的和的取值范围是
(
)
A. -∞,-1


B. -∞,0


∪1,+∞


B. 3,+∞


D. -∞,-1


∪3,+∞


【答案】D
【解析】因为a2 = 1，前三项可设为：1
q ,q,s3 = 1
q + q. 当q > 0 时，1
q + q + 1 ≥2 + 1 = 3；当
q < 0 时，1
q + q + 1 ≥-2 + 1 =-1. 故选D.
203
已知-9，a1，a2，-1 四个实数成等差数列，-9，b1，b2，-1 五个实数成等比数列，
则b2 a2-a1


的值等于
(
)
A. -8B.8C. - 9
8 D. 9
8
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为d，等比数列的共比为q，则有-9+3d=-1
-9×q4=-1

，解得d = 8
3 ，q
=±
3
3 ，所以b2 a2-a1


=-9 × ±
3
3


× 8
3 =-8. 故选A.
·205·
结论七、等比数列的单调性
1. 当a1> 0，q > 1 或a1< 0，0 < q < 1 时，an


是递增数列；
2. 当a1> 0，0 < q < 1 或a1< 0，q > 1 时，an


是递减数列；
3. 当q < 0 时，an


是摆动数列；
4. 当q = 1 时，an


是常数列；
204
设an


是等比数列，则“a1< a2< a3”是数列an


递增数列的
(
)
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当a1 > 0 时，由a1 < a2 < a3 得q > 1；当a1 < 0 时，由a1 < a2 < a3 得0 < q < 1，所以
是递增数列. 故选C.
204
已知an


为等比数列，下面结论中正确的是
(
)
A. a1+ a3≥2a2B.a2
1 + a2
3≥2a2
2
C. 若a1= a3，则a1= a2D. 若a2> a1，则a4> a2
【答案】B
【解析】设等比数列an


的公比为q，则a1 + a3 = a2
q + a2q，当且仅当a2，q 同为正时，a1
+ a3 ≥2a2 成立，故A 选项不正确；a2
1 + a2
3 =
a2
q


2 + a2q


2 ≥2a2
2，所以a2
1 + a2
3 ≥2a2
2，故B 选
项正确；若a1 = a3，则a1 = a1q2，所以q =±1，所以a1 = a2 或a1 =-a2，故C 选项不正确；若a3 >
a1，则a1q2 > a1，所以a4 - a2 = a1q q2-1


，其正负由q 得符号确定，故D 选项不正确. 综上，故
选B.
结论八、等比数列的判定与证明方法
1. 定义法：an+1
an = q(q 为常数且q ≠0) ⇒数列an


是等比数列.
2. 等比中项法：a2
n+1= an∙an+2 n∈N ∗,an≠0


⇒数列an


是等比数列.
3. 通项公式法：an= tqn tq≠0,n∈N ∗


⇒数列an


是等比数列.
4. 前n 项和公式法：若数列的前n 项和sn =-Aqn + A A≠0,q≠0,q≠1


，则该数列是等
比数列.
注意：
（1）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可.
·206·
（2）只满足an+1= qan q≠0


的数列未必是等比数列，要使其成为等比数列还需要a1≠0.
205
设为等比数列，给出四个数列：①2an


，②a2
n


，③2
an


，④log
an


2


其中一定为
等比数列的是
(
)
A. ①③B. ②④C. ②③D. ①②
【答案】D
【解析】设an = a1qn-1，则有①2an = a1qn-1，所以数列2an


是等比数列；②an = a2
1q2n-2 =
a2
1 q2


n-1，所以数列a2
n


是等比数列；③2
an = 2
a1qn-1, 2
an
2
an-1 = 2
a1qn-1
2
a1qn-2 = 2
a1qn-1-a1qn-2 不是一个常数，
所以数列2
an


不是等比数列；④log
an


2
log
an-1


2
= log
a1qn-1


2
log
a1qn-2


2
不是一个常数，所以数列log
an


2


不是等
比数. 综上数列①②为等比数列. 故选D.
205
已知数列an


的前n 项和sn= 3n2-n
2
,n ∈N ∗.
A. 求数列an


的通项公式；
B. 证明：对任意的n > 1，都存在m ∈N ∗，使得a1，an，am 成等比数列.
【解析】(1) 因为sn = 3n2-n
2
,n ∈N ∗，所以当n ≥2 时，an = sn - sn-1 = 3n2-3n
2
-
3 n-1


2
2
= 3n - 2 ∗


. 当n = 1 时，a1 = s1 = 3×12-1
2
= 1. 因此当n = 1 时，∗


也成立. 所以
数列an


的通项公式为an= 3n - 2.
（2.1）(2) 对任意的n > 1，假设都存在m ∈N ∗，使得a1，an，am 成等比数列，则a2
n = a1am，
所以3n-2


2 = 1 × 3m-2


，化为m = 3n2 - 4n + 2，因为n > 1，所以m = 3n2 - 4n + 2 =
3 n- 2
3


2 + 2
3 > 1，因此对任意的n > 1，假设都存在m = 3n2 - 4n + 2 ∈N ∗，使得a1，an，am
成等比数列.
·207·
第34 讲
等比数列的前n 项和
等比数列的前n 项和公式
sn=
na1 q=1


a1 1-qn


1-q
= a1-anq
1-q
q≠1



推导过程：
（1）利用等比数列性质
由等比数列定义，有a2
a1 = a3
a2 =⋯
an
an-1 = q. 根据等比性质，有
a2+a3+⋯+an
a1+a2+⋯+an-1 =
sn-a1
sn-an = q ⇒1-q


sn= a1- anq，所以当q ≠1 时sn= a1-anq
1-q
，或sn= a1 1-qn


1-q
.
（2）错位相减法
等比数列an


的前n 项和sn = a1 + a2 + a3 +⋯+an. ①当q = 1 时，an = a1，sn = a1 + a2
+ a3 +⋯+an = na1；②当q ≠1 时，由an = a1qn-1 得sn = a1 + a1q + a1q2 +⋯+a1qn-2 + a1qn-1，
qsn = a1q + a1q2 + a1q3 +⋯+a1qn-1 + a1qn，所以1-q


sn = a1 - a1qn = a1 - anq = a1 1-qn


，所
以sn= a1 1-qn


1-q
或sn= a1-anq
1-q
，即sn=
na1 q=1


a1 1-qn


1-q
= a1-anq
1-q
q≠1



.
要点诠释：
（1）错位相减法是一种非常常见和重要的舒蕾求和方法，适用于一个等差舒蕾和等比数
列对应项的积组成的数列求和问题，要求理解并掌握此法.
（2）在求等比数列前n 项和时，要注意区分q = 1 和q ≠1.
（3）当q ≠1 时，等比数列的两个求和公式涉及a1，n，q，an，sn 五个量，已知其中任意三
个变量，通过解方程组，便可求出其余两个量.
结论一、等比数列前n 项和(当q ≠1 时) 变形公式
1. sn=
a1
1-q -
a1
1-q qn= k - kqn(系数互为相反数)；
2. sn=
a1
1-q -
q
1-q an= A + Ban(一次线性关系).
206
已知等比数列an


的前n 项和为sn，且满足2sn= 2n+1+ λ，则λ 的值为
(
)
A. 4
B. 2
C. - 2
D. - 4
·208·
【答案】C
【解析】解法一：根据题意，当n = 1 时，2sn = 2a1 = 4 + λ；当n ≥2 时，an = sn - sn-1 = 2n-1.
因为数列an


是等比数列，则a1= 1，故4+λ
2
= 1，解得λ =-2. 故选C.
解法二：由2sn = 2n+1 + λ 得sn = 2n + λ
2 结合等比数列前n 项结构特征sn = k - kqn(系数
互为相反数)，得λ
2 =-1，解得λ =-2. 故选C.
206
设首项为1，公比为2
3 的等比数列an


的前n 项和为sn，则
(
)
A. sn= 2an- 1B.sn= 3an- 2
C.sn= 4 - 3anD.sn= 3 - 2an
【答案】D
【解析】解法一：sn=
1-
2
3


n
1- 2
3
= 3 - 2 2
3


n-1，an=
2
3


n-1，代入选项验证. 故选D.
解法二：根据等比数列前n 项和结构特征sn =
a1
1-q -
q
1-q an = A + Ban，A =
a1
1-q =
1
1- 2
3
= 3，B =-
2
3
1- 2
3
=-2. 故选D.
结论二、项数相同的和构造等比数列
等比数列的前n 项和为sn，则
sn
第一个n项和
，s2n-sn
第二个n项和
，s3n-s2n
第三个n项和
，⋯，
⋯
第n个n项和
也成等比数列，
且公比q= qn.
评注：(1) 第一个n 项和，第二个n 项和，⋯⋯，即每n 项和为一段.
（3）当q ≠-1 且n 为偶数时，sn,s2n- sn,s3n- s2n,⋯不是等比数列.
207
已知等比数列的前n 项和为sn，若s10 = 20，s20= 60，则s30=
.
【答案】140
【解析】解法一：由s10 = 20，s20 = 60，易得公比q ≠±1，根据等比数列的性质，可得s20
s10 =
1-q20
1-q10 ，即60
20 = 1-q20
1-q10 = 1 + q10，解得q10 = 2，又s30
s10 = 1-q30
1-q10 ，所以s30
20 = 1-23
1-2 = 7，s30 =
140.
解法二：根据等比数列前n 项和的性质，可得s20 = s10 + q10s10，即60 = 20 + 20q10，解得q10
= 2，所以s30= s10 + q10s20= 20 + 2 × 20 = 140.
解法三：根据等比数列前n 项和的性质，可知s 10,s 20 - s 10,s 30 - s 20 成等比数列，则
s20-s10


2= s10 s30-s20


，即60-20


2= 20 s30-60


，解得s30= 140.
207
设等比数列an


前n 项和为sn，若s2= 3，s4= 15，则s6=
(
)
A. 31
B. 32
C. 63
D. 64
·209·
【答案】C
【解析】s2 = a1 + a2，s4 - s2 = a3 + a4 = a1+a2


q2，s6 - s4 = a5 + a6 = a1+a2


q4，所以s2,
s4 - s2,s6 - s4 成等比数列，即3,12,s6 - 15 成等比数列可得122 = 3 s6-15


，解得s6 = 63. 故选
C.
结论三、等比数列前n 项和关系特征
等比数列an


前n 项和为sn，则sm+n= sn+ qnsm = sm + qmsn.
208
设等比数列an


前n 项和为sn，则s3+ s6= 2s9.，则公比q =
.
【答案】-
3 4
2
【解析】根据等比数列求和公式sm+n = sn + qnsm 得s9 = s3 + q3s6，代入s3 + s6 = 2s9 得s3 +
2q3-1


s6 = 0，所以a1 1-q3


1-q
+
2q3-1


a1 1-q6


1-q
= 0，化简整理得2q3-1


=-1 解得q =
-
3 4
2 .
208
等比数列an


前n 项和为sn，已知s1,2s23,s3 成等比数列，则等比数列an


的公
比为
.
【答案】1
3
【解析】设等比数列公比为q q≠0


，易知q ≠1. 由题意可得4s2 = s1 + 3s3，所以3s3 =-s1
+ 4s2 ①；又根据等比数列分段求和公式sm+n = sm + qmsn 得s3 = s2 + q2s1 ②；由4 × ②- ①
得s3= 4q2+1


+ s1. 又s3= a1 1-q3


1-q
= s1 1-q3


1-q
，所以
1-q3


1-q
= 4q2+ 1，解得q = 1
3 .
结论四、等比数列奇数项和与偶数项和性质
在等比数列an


中，当项数为偶数2n 时，s偶
s奇= q；当项数为奇数2n - 1 时，s奇= a1 +
qs偶或s偶= q s奇-2a2n-1


，s奇- s偶= a1+a2n-1q
1+q
.
209
一个等比数列首项为1，项数为偶数，其奇数项和为85，偶数项和为170，求此数列
的公比和项数.
【解析】由题意知，s偶
s奇
= q = 170
85 = 2. 因为sn = s奇+ s偶= 170 + 85 = a1 1-qn


1-q
，所以n =
8.
209
等比数列an


共有奇数项，所有奇数项和s奇= 255，所有偶数项和s偶= 126，末项
是192，则首项a1的值为
(
)
【答案】C
【解析】设等比数列an


共有2k + 1 项，则a2k+1 = 192，则s奇= a1 + a3 +⋯+a2k-1 + a2k+1
= 1
q s偶+ a2k+1= 126
q
+ 192 = 255，q = 2，代入s奇- s偶= a1+a2k+1q
1+q
，解得a1= 3. 故选C.
·210·
结论五、等比数列前n 项积的运算技巧
设等比数列前n 项积a1∙a2∙⋯∙an= Tn，则Tn, T2n
Tn , T3n
T2n ，⋯⋯，成等比数列.
当n 为奇数时，Tn= 中项


n；当n 为偶数时，Tn= 首末两项积


n
2.
210
已知等比数列an


满足an > 0，且a5 ∙a2n-5 = 22n n≥3


，则当n ≥3 时，log
a1
2 +
log
a3
2 +⋯+log
a2n-1
2
=
(
)
A. n 2n-1


B. n+1


2C.n2D. n-1


2
【答案】C
【解析】由已知可得an= 2n，原式= log
a1∙a3∙⋯∙a2n-1
2
= log
2n


n
2
= n2. 故选C.
210
设an


是各项为正数的等比数列，q 是其公比，Kn 是其前n 项积，且K5 < K6，K6
= K7> K8，则下列结论错误的是
(
)
A. 0 < q < 1B.a7= 1C.K9> K5D.K6与K7均为Kn的最大值
【答案】C
【解析】设等比数列an = a1qn-1，Kn 是其前n 项积，所以Kn = an
1q
n n-1


2
，由K5 < K6 ⇒1 <
a1q5，K6 = K7 ⇒1 = a1q6，K7 > K8 ⇒1 > a1q7，所以a7 = a1q6 = 1，所以B 选项正确；因为1 <
a1q5,0 < a1q7 < 1 所以q2 = a1q7
a1q5 < 1，所以0 < q < 1，所以A 正确；1 = a1q6，Kn = an
1q
n n-1


2
可
知Kn = an
1q
n n-1


2
= q
n n-13


2
，又0 < q < 1，所以qx 单调递减，n n-13


2
在n = 6 或n = 7 时取最
小值，所以Kn在n = 6 或n = 7 时取最大值，所以D 选项正确. 故选C.
·211·
第35 讲
数列通项公式题型全归纳
通关一、
“叠加法”求通项
在求等差数列通项公式时，由
an-an-1=d
an-1-an-2=d
⋮
a2-a1=d





这n - 1 个式子叠加得a n = a 1 +
n-1


d n≥2


，当n = 1 时也成立. 由此可得形如an = an-1 + f n


n≥2


的递推式均可采用
“ 叠加法”求得a n = a 1 + f 2


+ f 3


+⋯+ f n


n≥2


. 上式中“ f 2


+ f 3


+⋯
+f n


n≥2


”通常是可以化简的，即数列f n




“可求和”.
通关二、
“叠乘法”求通项
在求等比数列通项公式时，由
an
an-1 =q
an-1
an-2 =q
⋯
a2
a1 =q









这n - 1 个式子叠乘得an = a1qn-1 n≥2


，当n
= 1 时也成立. 由此可得形如an = an-1g n


n≥2


的递推式均可采用“叠乘法”求得an = a1 ∙
g 2


∙g 3


∙⋯∙g n


n≥2


. 上式中“g 2


∙g 3


∙⋯∙g n


n≥2


”通常是可以化简的，即数列
g n




“可求积”.
题型一：an = pan-1 + q(n ≥2,pq(p - 1) ≠0) 可以转化为an +
q
p-1 = p an-1+
q
p-1


(n
≥2). 从而数列an+
q
p-1


为等比数列，故可由等比数列通项公式求解.
题型二：an = pan-1 + r × qn n≥2,pqr(p-1) q-1


≠0


，两边同除以“qn”可以转化为an
qn
= p
q × an-1
qn-1 + r n≥2


.
（1）当p = q 时，数列
an
qn


为等差数列，故可由等差数列通项公式求解.
（2）当p ≠q 时，数列
an
qn


符合题型一，故可由题型一中的方法求解.
通关三、
“倒数法”求通项
（1）形如an ∙an-1 = pan + qan-1(n ≥2,pq ≠0)，两边同除以an ∙an-1 转化为1
an = - p
q


×
·212·
1
an-1 + 1
q n≥2


①当p + q = 0 时，
“倒数数列” 1
an


为等差数列，由等差数列通项公式求解.
d当p + q ≠0 时，
“倒数数列” 1
an


符合方法二中的题型一，故可转化为等比数列求解.
(2) 形如an=
ran-1
pan-1+q (n ≥2,pqr ≠0)，取倒数得1
an = q
r ×
1
an-1 + p
r (n ≥2).
c 当q = r 时，
“倒数数列” 1
an


为等差数列，由等差数列通项公式求解.
d当q ≠r 时，
“倒数数列” 1
an


符合方法二中得题型一，故可转化为等比数列求解.
通关四、
“待定系数法”求通项
an= pan-1+ qn + r(n ≥2,pq(p - 1) ≠0)，令an= bn+ An + B，则bn+ An + B = p [bn-1
+ A(n - 1) + B] + qn + r(n ≥2)，整理得bn= pbn-1+ (pA - A + q)n + (pB - B - pA + r) (n
≥2). 令pA-A+q=0
pB-B-pA+r=0

，则
A=-
q
p-1
B=-
pq
(p-1)2 -
r
p-1

. 此时，bn= pbn-1，即数列bn


为等
比数列，故可由等比数列通项公式求解，从而an= bn- qn+r
p-1 -
pq
(p-1)2 也可求解.
结论一、an+1 = an+ f(n)
把原递推公式转化为an+1- an= f(n)，再利用叠加法(逐差相加法) 求解.
211
已知数列an


中，a1= 1，an= an-1+ 2n，则an=
.
【答案】n2+ n - 1
【解析】已知an= an-1+ 2n，所以an- an-1= 2n.
a2- a1= 2 × 2
a3- a2= 2 × 3
a4- a3= 2 × 4
a5- a4= 2 × 5
⋯⋯
an-1- an-2= 2(n - 1)
an- an-1= 2n
累加后，得
an - a1 = 2 × (2 + 3 + 4 + 5 +⋯+n) = 2 × (1 + 2 + 3 +⋯+n) - 2 = 2 × n(n+1)
2
- 2 = n2
+ n - 2.
·213·
故an= n2+ n - 1.
211
数列an


满足：a1= 1，且an+1- an= 2n+ 1，求an.
【答案】2n+ n - 2
【解析】an+1 - an = 2n + 1，an - an-1 = 2n-1 + 1，⋯，a2 - a1 = 21 + 1，叠加可得an - a1 = 2
+ 22+⋯+2n-1+ (n - 1) = 2(2n-1-1)
2-1
+ n - 1 = 2n+ n - 3，所以an= 2n+ n - 2.
结论二、an+1 = f(n)an
把原递推公式转化为an+1
an = f(n)，再利用叠乘法(逐商相乘法) 求解.
212
数列an


中，a1= 2
3 ，an+1=
n
n+1 an，则an=
.
【答案】2
3 n
【解析】因为在数列an


中，an+1 =
n
n+1 an，所以an+1
an =
n
n+1 ，所以a2
a1 = 1
2 ，a3
a2 = 2
3 ，
a4
a3 = 3
4 ，⋯，an
an-1 = n-1
n
，所以an = a1 ∙a2
a1 ∙a3
a2 ∙a4
a3 ∙⋯∙
an
an-1 = 2
3 × 1
2 × 2
3 × 3
4 ×⋯×
n-1
n
= 2
3 × 1
n = 2
3n .
212
已知数列an


满足a1 = 1，且an = n(an+1 - an) (n ∈N *)，则a2 =
；an =
.
【答案】2 n
【解析】由an = n(an+1 - an) 得an+1 = n+1
n
an，又a1 = 1，所以a2 = 2a1 = 2. 由an+1 =
n+1
n
an 得an+1
an = n+1
n
，所以a2
a1 = 2，a3
a2 = 3
2 ，a4
a3 = 4
3 ，⋯，an
an-1 =
n
n-1 ，所以an = a1 ∙a2
a1
∙a3
a2 ∙a4
a3 ∙⋯∙an
an-1 = 1 × 2 × 3
2 × 4
3 ×⋯×
n
n-1 = n.
结论三、an+1 = pan+ q(其中p,q 均为常数，pq(p - 1) ≠0)
先用待定系数法把原递推公式转化为an+1 - t = p(an - t)，其中t =
q
1-p ，再利用换元法
转化为等比数列求解.
213
已知数列an


满足an+1= 2an+ 1，且a1= 1，则an=
.
【答案】2n- 1
【解析】已知an+1 = 2an + 1，且a1 = 1，构造an+1 + λ = 2(an + λ)，即an+1 + λ = 2an + 2λ. 因为
an+1 = 2an + λ，所以λ = 1. 由an+1 + 1 = 2(an + 1) 得an+1+1
an+λ = 2，令bn = an + 1，b1 = a1 + 1 =
2，bn+1
bn = 2 = q，bn


是以2 为首项，以2 为公比的等比数列，所以bn = b1qn-1 = 2 ∙2n-1 = 2n.
又因为bn= an+ 1 = 2n，所以an= 2n- 1.
·214·
213
已知数列an


中，a1= 1，an+1= 2
3 an+ 1，则an=
.
【答案】3 - 3 ×
2
3


n
【解析】解法一：设(an+1 - t) = 2
3 (an - t)，解得t = 3，即原式化为(an+1 - 3) = 2
3 (an - 3).
设bn = an - 3，则数列bn


为等比数列，且b1 = a1 - 3 =-2，所以bn = an - 3 = (-2) ×
2
3


n-1
⇒an= 3 - 3 ×
2
3


n.
解法二：因为an+1 - 2
3 an = 1 c，an - 2
3 an-1 = 1(n ≥2) d，由c - d得：an+1 - an = 2
3 (an
- an-1). 设bn = an+1 - an，则数列bn


为等比数列，所以bn = an+1 - an = 2
3 ×
2
3


n-1 =
2
3


n，
所以2
3 an+ 1 - an=
2
3


n，所以an= 3 - 3 ×
2
3


n.
解法三：a2 = 2
3 a1 + 1，a3 = 2
3 a2 + 1 =
2
3


2 + 2
3 + 1，a4 = 2
3 a3 + 1 =
2
3


3 +
2
3


2 + 2
3
+ 1，⋯，an+1= 2
3 an+ 1 =⋯=
2
3


n-1+⋯+ 2
3 + 1，所以an= 3 - 3 ×
2
3


n.
结论四、an+1 = pan+ qn(其中p,q 均为常数，pq(p - 1) ≠0)
1. 一般地，要先将递推公式两边同除以qn+1，得an+1
qn+1 = p
q ∙an
qn + 1
q ，引入辅助数列bn


(其中bn= an
qn )，得bn+1= p
q ∙bn+ 1
q ，再用待定系数法解决；
2. 也可以将原递推公式两边同除以pn+1，得an+1
pn+1 = an
pn + 1
p ∙
q
p


n，引入辅助数列bn


(其中bn= an
pn )，得bn+1- bn= 1
p
q
p


n，再利用叠加法(逐差相加法) 求解.
214
已知数列an


中，a1= 5
6 ，an+1= 1
3 an+
1
2


n+1，则an=
.
【答案】3
2n - 2
3n
【解析】解法一：将an+1 = 1
3 an +
1
2


n+1 两边分别乘以2n+1，得2n+1 ∙an+1 = 2
3 (2n ∙an) + 1.
令bn = 2n ∙an，则bn+1 = 2
3 bn + 1，根据待定系数法，得bn+1 - 3 = 2
3 (bn - 3). 所以数列bn-3


是首项为b1 - 3 = 2 × 5
6 - 3 =- 4
3 ，公比为2
3 的等比数列. 所以bn - 3 =- 4
3 ∙
2
3


n-1，即bn
= 3 - 2 ∙
2
3


n. 于是an= bn
2n = 3
2n - 2
3n .
解法二：将an+1 = 1
3 an +
1
2


n+1 两边分别乘以3n+1，得3n+1an+1 = 3nan +
3
2


n+1. 令bn = 3n
∙an，则bn+1 = bn +
3
2


n+1，所以bn - bn-1 =
3
2


n，bn-1 - bn-2 =
3
2


n-1，⋯，b2 - b1 =
3
2


2. 将
以上各式叠加，得bn- b1=
3
2


2+⋯+ 3
2


n-1+
3
2


n. 又b1 = 3a1 = 3 × 5
6 = 5
2 = 1 + 3
2 ，所以bn = 1 + 3
2 +
3
2


2 +⋯+ 3
2


n-1 +
3
2


n =
·215·
1∙1-
3
2


n+1


1- 3
2
= 2 ∙
3
2


n+1- 2，即bn= 2 ∙
3
2


n+1- 2. 故an= bn
3n = 3
2n - 2
3n .
214
已知数列an


满足a1= 1
2 ，2an= an-1+
1
2


n-1(n ≥2)，则an=
.
【答案】n
2n
【解析】由题意知an = 1
2 an-1 +
1
2


n，两边同乘以2n 得2nan = 2n-1an-1 + 1，即数列2nan


为等差数列，所以2nan = 2a1 + (n - 1) = n. 所以an = n
2n (n ≥2)，当n = 1 时也成立. 所以an
= n
2n (n ∈N *).
结论五、an+1 = pan+ an + b(p ≠1,p ≠0,a ≠0)
这种类型的题目一般是利用待定系数法构造等比数列，即令an+1 + A(n + 1) + B = p(an
+ An + B)，然后与已知递推公式比较，解出A,B，从而得到an+An+B


是公比为p 的等比
数列.
215
设数列an


满足a1= 4，an= 3an-1+ 2n - 1(n ≥2)，则an=
.
【答案】2 ∙3n- n - 1
【解析】设递推公式可以转化为an + An + B = 3[an-1 + A(n - 1) + B]，化简后与原递推式
比较，得2A=2
2B-3A=-1

，解得A=1
B=1

. 令bn = an + n + 1(*)，则bn = 3bn-1，又b1 = 6，故bn = 6 ∙
3n-1= 2 ∙3n，代入(*) 得an= 2 ∙3n- n - 1.
215
已知数列an


满足a1= 2，an+1= 4an- 3n + 1(n ∈N *)，则an=
.
【答案】4n-1+ n
【解析】由题意知an = 4an-1 - 3n + 4(n ≥2). 令an = bn + An + B，则bn + An + B = 4
[bn-1 + A(n - 1) + B] - 3n + 4(n ≥2)，整理得bn = 4bn-1 + (3A - 3)n + (3B - 4A + 4) (n ≥
2). 令3A-3=0
3B-4A+4=0

，则A=1
B=0

. 此时an = bn + n，bn = 4bn-1，即数列bn


为等比数列，所以
bn = b1 × 4n-1 = (a1 - 1)4n-1 = 4n-1. 所以an = bn + n = 4n-1 + n(n ≥2)，n = 1 时也成立. 所以
an= 4n-1+ n(n ∈N *).
结论六、an+1 = par
n(p > 0,an> 0)
这种类型的题目一般是将等式两边取对数后转化为an+1 = pan + q 型，再利用待定系数
法求解.
216
已知数列an


中，a1= 1，an+1= 1
a ∙a2
n(a > 0)，则an=
.
【答案】a ∙
1
a


2n-1
【解析】将an+1 = 1
a ∙a2
n 两边取对数，得lgan+1 = 2lgan + lg 1
a . 令bn = lgan，则bn+1 = 2bn +
·216·
lg 1
a . 由此得bn+1 + lg 1
a = 2 bn+lg 1
a


，记cn = bn + lg 1
a ，则cn+1 = 2cn. 所以数列cn


是首项
c1 = b1 + lg 1
a = lg 1
a ，公比为2 的等比数列. 所以cn = 2n-1 ∙lg 1
a . 所以bn = cn - lg 1
a = 2n-1 ∙
lg 1
a - lg 1
a = lg a∙
1
a


2n-1




，即lgan= lg a∙
1
a


2n-1




，所以an= a ∙
1
a


2n-1
.
216
已知在数列an


中，a1= 3，且an+1= a2
n(n ∈N *)，则数列的通项an=
.
【答案】32n-1
【解析】由题意知a n > 0，因为a 1 = 3，所以a n+1 = a 2
n 将两边取以3 为底的对数，得
log3an+1 = 2log3an，故log3an


是以1 为首项，以2 为公比的等比数列，所以log3an = 2n-1，所
以an= 32n-1.
结论七、an+1 =
pan
qan+r (p,q,r ≠0 且an≠0,qan+ r ≠0)
这种类型的题目一般是将等式两边取倒数后，再进一步处理.
若p = r，则有
1
an+1 = r+qan
pan
= 1
an + q
p ，此时
1
an


为等差数列.
若p ≠r，则有
1
an+1 = r
p ∙1
an + q
p ，此时可转化为结论三来处理.
217
在数列an


中，已知a1= 2，an=
2an-1
an-1+2 (n ≥2)，则an=
.
【答案】2
n
【解析】将等式an =
2an-1
an-1+2 两边取倒数得到1
an =
1
an-1 + 1
2 ，1
an -
1
an-1 = 1
2 ，1
an


是
公差为1
2 的等差数列，1
a1 = 1
2 . 根据等差数列的通项公式的求法得到1
an = 1
2 + (n - 1) ×
1
2 = n
2 ，故an= 2
n .
217
已知数列an


满足a1= 1，an+1=
an
2an+1 (n ∈N *)，则a20=
.
【答案】1
39
【解析】因为an+1 =
an
2an+1 ，所以
1
an+1 = 2an+1
an
= 2 + 1
an ，即
1
an+1 - 1
an = 2，又1
a1 = 1，
所以数列
1
an


是以1 为首项，2 为公差的等差数列，所以1
an = 1 + 2(n - 1) = 2n - 1，所以
an=
1
2n-1 ，故a20=
1
2×20-1 = 1
39 .
结论八、an+1 + an= f(n)
将原递推公式改写成an+2+ an+1 = f(n + 1)，两式相减即得an+2- an= f(n + 1) - f(n)，然
后将n 分奇数、偶数分类讨论即可.
·217·
218
已知数列an


中，a1= 1，an+1+ an= 2n. 则an=
.
【答案】n,n为奇数
n-1,n为偶数

(n ≥1,n ∈N *)
【解析】因为an+1 + an = 2n，所以an+2 + an+1 = 2n + 2，故an+2 - an = 2，即数列an


的奇数
项与偶数项都是公差为2 的等差数列. 当n 为偶数时，a2 = 1，故an = a2 + 2 n
2 -1


= n - 1；
当n 为奇数时，因为a n+1 + a n = 2n，a n+1 = n(n + 1 为偶数)，故a n = n. 综上，a n =
n,n为奇数
n-1,n为偶数

(n ≥1,n ∈N *).
218
在数列an


中，a1= 1，an+1= 6n - an，则an=
.
【答案】3n-2(n为奇数)
3n-1(n为偶数)

【解析】因为an+1 = 6n - an，所以an+1 + an = 6n，所以an+2 + an+1 = 6n + 6，所以an+2 - an
= 6，即数列an


的奇数项与偶数项都是公差为6 的等差数列. 当n 为偶数时，a2 = 5，所以an
= a2 + 6 n
2 -1


= 3n - 1. 当n 为奇数时，因为an+1 + an = 6n，所以an+1 = 3n + 2(n + 1 是偶
数)，所以an= 3n - 2. 综上，an= 3n-2(n为奇数)
3n-1(n为偶数)

.
结论九、an+1 ∙an= f(n)
将原递推公式改写成an+2 ∙an+1 = f(n + 1)，两式作商可得an+2
an = f(n+1)
f(n)
，然后将n 分
奇数、偶数分类讨论即可.
219
已知数列an


中，a1= 3，an+1∙an= 2n，则an=
.
【答案】
3∙2
n-1
2 ,n为奇数
1
3 ∙2
n
2,n为偶数

(n ≥1,n ∈N *)
【解析】因为an+1 ∙an = 2n，所以an+2 ∙an+1 = 2n+1，故an+2
an = 2，即数列an


的奇数项与偶数
项都是公比为2 的等比数列. 当n 为偶数时，a2 = 2
3 ，故an = a2 ∙2
n
2 -1 = 2
3 ∙2
n
2 -1，即an = 1
3 ∙
2
n
2；当n 为奇数时，n + 1 是偶数，故an+1 = 1
3 ∙2
n+1
2 ，代入an+1 ∙an = 2n 得an = 3 ∙2
n-1
2 . 综上，an
=
3∙2
n-1
2 ,n为奇数
1
3 ∙2
n
2,n为偶数

(n ≥1,n ∈N *).
219
已知数列an


满足a1= 1，an+1∙an= 2n(n ∈N *)，Sn是数列an


的前n 项和，则
(
)
A. a2018 = 22018
B. S2018 = 3 ∙21009 - 3
C. 数列a2n-1


是等差数列
D. 数列an


是等比数列
【答案】B
【解析】数列an


满足a1 = 1，an+1 ∙an = 2n(n ∈N *). 当n ≥2 时，an ∙an-1 = 2n-1，两式作
·218·
商可得an+1
an-1 = 2，所以数列an


的奇数项a1,a3,a5, ⋯, 成等比，偶数项a2,a4,a6, ⋯, 成等比，
对于选项A 来说，a2018 = a2 × 2
2018
2
-1 = 2 × 21008 = 21009，错误；对于选项B 来说，S2018 = (a1 + a3
+⋯+a2017) + (a2+ a4+⋯+a2018) = 1×(1-21009)
1-2
+
2×(1-21009)
1-2
= 3 × 21009 - 3，正确；对于选项C 来说，数列a2n-1


是等比数列，错误；对
于选项D 来说，数列an


不是等比数列，错误. 故选B.
·219·
第36 讲
数列求和
知识通关
1. 公式法：直接应用等差数列、等比数列的求和公式，以及正整数的平方和公式、立方和
公式等公式求解.
2. 倒序相加(乘) 法：如果一个数列an


，与首末两项等距离的两项之和(积) 等于首末两
项之和(积)，可采用把正着写和倒着写的两个式子相加(乘)，就得到一个常数列的和(积)，进
而求出数列前n 项和(积).
3. 错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组
成，此时可把式子Sn = a1 + a2 +⋯+an 两边同乘以公比q，得qSn = a1q + a2q2 +⋯+anqn，两式
错位相减整理即可求出Sn.
4. 裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项
和变成首尾的若干少数项之和.
5. 分组转化法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数
列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解.
结论一、公式法
常见数列的前n 项和
(1)1 + 2 + 3 +⋯+n = n(n+1)
2
；
(2)1 + 3 + 5 +⋯+ (2n - 1) = n2；
(3)2 + 4 + 6 +⋯+2n = n2+ n；
(4)21+ 22+ 23+⋯+2n= 2n+1- 2；
(5)12+ 22+ 32+⋯+n2= 1
6 n(n + 1) (2n + 1)；
(6)13+ 23+ 33+⋯+n3=
1
2 n(n+1)


2；
(7) 等差数列前n 项和：Sn= n(a1+an)
2
= na1+ n(n-1)
2
d；
·220·
(8) 等比数列前n 项和：Sn=
na1
(q=1)
a1(1-qn)
1-q
= a1-anq
1-q
(q≠1)

.
220
已知an


是公差不为零的等差数列，a1= 1，且a1,a3,a9成等比数列.
(1) 求数列an


的通项；
(2) 求数列2
an


的前n 项和Sn.
【解析】(1) 由题设知公差d ≠0，由a1 = 1，a1,a3,a9 成等比数列得1+2d
1
= 1+8d
1+2d ，解得d
= 1，d = 0(舍去)，故an


的通项an= 1 + (n - 1) × 1 = n.
(2) 由(1) 知2
an = 2n，由等比数列前n 项和公式得Sn = 2 + 22 + 23 +⋯+2n = 2(1-2n)
1-2
=
2n+1- 2.
220
已知等差数列an


和等比数列bn


满足a1= b1= 1，a2+ a4= 10，b2b4= a5.
(1) 求an


的通项公式；
(2) 求和：b1+ b3+ b5+⋯+b2n-1.
【解析】(1) 设等差数列an


的公差为d. 因为a2 + a4 = 10，所以2a1 + 4d = 10，解得d =
2. 所以an= 2n - 1.
(2) 设等比数列bn


得公比为q. 因为b2b4 = a5，所以b1q ∙b1q3 = 9，解得q2 = 3. 所以b2n-1
= b1q2n-2= 3n-1. 从而b1+ b3+ b5+⋯+b2n-1= 1 + 3 + 32+⋯+3n-1= 3n-1
2
.
结论二、分组求和
如果一个数列可写成cn = an ± bn 的形式，而数列an


，bn


是等差数列或等比数列或可
转化为能够求和的数列，数列的通项较复杂时，把原数列的每一项拆成两项(或多项) 的和或
差，从而将原数列分解成两个(或多个) 数列的和或差，而这两个(或多个) 数列或者是等差数
列、等比数列，或者是已知其和，求出这两个(或多个) 数列的和，再相加或相减，得到原数列
和的方法便是分组求和法.
221
已知等差数列an


满足a1= 2，a2+ a4= 8.
(1) 若a1,a3,am 成等比数列，求m 的值；
(2) 设bn= an+ 2
an，求数列bn


的前n 项和Sn.
【解析】(1) 已知a1 = 2，a2 + a4 = 8. 由an = a1 + (n - 1)d 得a2 + a4 = (a1 + d) + (a1 + 3d) =
2 a 1 + 4 d = 8 . 所以a 1 + 2 d = 4 即d = 1 . a n = a 1 + ( n - 1 ) d = n + 1 . 所以
a3=a1+2d=4
am=a1+(m-1)d=m+1

. 又因为a1,a3,am 成等比数列，a2
3= a1am ⇒42= 2(m + 1) ⇒m = 7.
(2) 由(1) 知
bn = an + 2
an = n + 1 + 2n+1，Sn = b1 + b2 + b3 +⋯+bn = (1 + 1 + 22) + (2 + 1 + 23) + (3 + 1
+ 24) +⋯+ (n + 1 + 2n+1) = (1 + 2 + 3 +⋯+n) + n + (22 + 23 + 24 +⋯+2n+1). 记Hn = 1 + 2 +
3 +⋯+n = n(n+1)
2
，Gn= 22+ 23+ 24+⋯+2n+1= 4(1-2n)
1-2
= 4 ∙2n- 4 = 2n+2- 4，
则Sn= Hn+ n + Gn= n(n+1)
2
+ n + 2n+2- 4 = 2n+2+ n2
2 + 3n
2 - 4.
·221·
221
已知等比数列an


的各项均为正数，且a2= 4，a3+ a4= 24.
(1) 求数列an


的通项公式.
(2) 若数列bn


满足b1= 3，b2= 6，且bn-an


是等差数列，求数列bn


的前n 项和.
【解析】(1) 设等比数列an


的首项为a1，公比为q(q > 0)，由a2 = 4，a3 + a4 = 24 得
a1q=4
a1q2+a1q3=24

，解得a1= 2，q = 2，所以数列an


的通项公式为：an= 2n.
(2) 由已知可得b1 - a1 = 3 - 2 = 1，根据题意可知bn-an


是首项为1，公差为1 的等差
数列，所以bn - an = 1 + (n - 1) = n，则bn = n + 2n，所以数列bn


的前n 项和Tn = 1 + 2 + 2
+ 22+ 3 + 23+⋯+n + 2n=
1+2+3+⋯+n


+ (2 + 22+ 32+⋯+2n) =
1+n


×n
2
+ 2(1-2n)
1-2
= n2+n
2
+ 2n+1- 2.
结论三、倒序相加
如果一个数列an


，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可把正着写与倒
着写的两个和式相加，得到一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法. 特征：a1 + an =
a2+ an-1=⋯
222
已知F(x) = f x+ 1
2


- 2 是R 上的奇函数，an = f 0


+ f
1
n


+⋯+f n-1
n


+
f 1


，n ∈N *, 则数列an


的通项公式为
(
)
A. an= nB．an= 2 n+1


C．an= n + 1D．an= n2- 2n + 3
【答案】B
【解析】已知F (x) = f x+ 1
2


- 2 是R 上的奇函数，所以F -x


=-F x


，代入得
f
1
2 -x


+ f
1
2 +x


= 4
x∈R


，所以函数f x


关于点
1
2 ,2


对称令t = 1
2 - x，则1
2 + x = 1 - t，得到f t


+
f 1-t


= 4. 因为
an = f 0


+ f
1
n


+⋯+f n-1
n


+ f 1


，an = f 1


+ f n-1
n


+⋯+f
1
n


+ f 0


，倒序
相加可得2an= 4 n+1


，即an= 2 n+1


. 故选B.
222
设函数f x


=
1
4x+2 .
(1) 证明: 对一切x ∈R，f x


+ f 1-x


是常数；
(2) 记an = f 0


+ f
1
n


+ f
2
n


+⋯+f
n-1
n


+ f 1


n∈N *


，求an


，并求出数列
an


的前n 项和.
【解析】
( 1 ) 证明因为f
x


=
1
4x+2 ，所以f
x


+ f
1-x


=
1
4x+2 +
1
41-x+2 =
41-x+2+4x+2
4x+2


41-x+2


= 1
2 .
(2)an= f 0


+ f
1
n


+ f
2
n


+⋯+f n-1
n


+ f 1


n∈N *


，
·222·
an= f 1


+ f n-1
n


+ f n-2
n


+⋯+
f
2
n


+ f
1
n


+ f 0


n∈N *


，所以2 a n = n+1
2
，即a n = n+1
4
. 所以S n =
n 1+1
4
+ n+1
4


2
+ n n+3


8
.
结论四、裂项求和
裂项求和的常见拆项公式：
（1）
1
n n+1


= 1
n -
1
n+1 ；
（2）
1
n n+k


= 1
k
1
n -
1
n+k


；
（3）
1
2n-1


2n+1


= 1
2
1
2n-1 -
1
2n+1


；
（4）
1
n+
n+1 =
n+1 -
n；
（5）
1
n n+1


n+2


= 1
2
1
n n+1


-
1
n+1


n+2






；
（6）
2n
2n-1


2n+1-1


=
1
2n-1 -
1
2n+1-1
（7）若an


为等差数列，公差为d d≠0


，则
1
an⋅an+1 = 1
d
1
an -
1
an+1


.
223
在数列an


中，a1= 4，nan+1- n+1


an= 2n2+ 2n.
A. 求证：数列
an
n


是等差数列；
B. 求数列
1
an


的前n 项和Sn.
【解析】
(1) 证明na n+1 - n+1


a n = 2n 2 + 2n 的两边同时除以n n+1


，得an+1
n+1 - an
n =
2 n∈N *


，所以数列
an
n


是首项为4，公差为2 的等差数列.
(2) 由(1) 得an+1
n+1 - an
n = 2，所以an = 2n2 + 2n，故1
an =
1
2n2+2n = 1
2 ⋅
n+1


-n
n n+1


=
1
2
⋅
1
n -
1
n+1


，所以
S
n
=
1
2
1- 1
2


+
1
2 - 1
3


+⋯+ 1
n -
1
n+1




=
1
2
1+ 1
2 + 1
3 +⋯+ 1
n


-
1
2 + 1
3 +⋯+
1
n+1




= 1
2 1-
1
n+1


=
n
2 n+1


.
223
设数列an


，其前n 项和Sn =-3n2，bn


为单调递增的等比数列，b1b2b3 = 512，
a1+ b1= a3+ b3.
·223·
A. 求数列an


，bn


的通项公式；
B. 若cn=
bn
bn-2


bn-1


，求数列cn


的前n 项和Tn.
【解析】
(1)n ≥2 时，an = Sn - Sn+1 =-3n2 - -3 n-1


2


=-6n + 3；当n = 1 时，a1 = S1 =-3 符
合上式，所以an =-6n + 3. 因为bn


为等比数列，所以b1b2b3 = b2
3 = 512，所以b2 = 8，设bn


的公比为q，则b1= 8
q ，b3= b2q = 8q，而a3=-15，所以a1+ b1= a3 + b3即-3 + 8
q =-15 + 8q，
解得q = 2 或q =- 1
2 . 因为bn


单调递增, 所以q = 2, 所以bn= b2⋅2n-2= 2n+1.
(2)cn =
2n+1
2n+1-2


2n+1-1


=
2n
2n-1


2n+1-1


=
1
2n-1 -
1
2n+1-1 ，所以Tn = c1 +⋯
+cn=
1
21-1 -
1
22-1


+
1
22-1 -
1
23-1


+⋯+
1
2n-1 -
1
2n+1-1


=
1
21-1 -
1
2n+1-1 = 1 -
1
2n+1-1 .
结论五、错位相减
形如an= bn⋅cn，其中bn


为等比数列，公差为d，cn


是等比数列，公比为q.
第一步：写出Sn= b1c1+ b2c2+⋯+bn-1cn-1+ bncn；
第二步：写出qSn= b1c2+⋯+bn-2cn-1+ bn-1cn+ bncn+1；
第三步：写出Sn- qSn= b1c1+ d c2+c3+⋯+cn-1+cn


- bncn+1.
注意: 错位相减即由第一步的第二项减第二步的第一项, 后面依次类推, 然后要注意项数
问题，最后一定要化简.
224
已知等差数列an


的公差d ≠0，a3 + a9 = 22，且a1，a2，a5 成等比数列；数列bn


的前n 项和为Sn，且满足2Sn= 1 - bn．
A. 求数列an


，bn


的通项公式；
B. 设cn= bn
an ，求数列cn


的前n 项和Tn．
【解析】
(1) 因为数列an


是等差数列，所以a3+a9=2a6=2(a1+5d)=22
(a1+d)2=a1⋅(a1+4d)

，又d ≠0，解得a1=1
d=2

，
所以an= 1 + 2(n - 1) = 2n - 1．又2Sn= 1 - bn①，2Sn-1= 1 - bn-1(n ≥2) ②，由①- ②得
2bn= bn-1- bn，所以bn
bn-1 = 1
3 (n ≥2)，所以bn


为等比数列，又2b1= 1 - b1，解得b1= 1
3 ，所
以bn=
1
3


n．
(2) 由(1) 知cn= (2n - 1) ⋅3n，则Tn= 1 × 3 + 3 × 32+ 5 × 33+⋯+ (2n - 1) ⋅3n，3Tn=
1 × 32+ 3 × 33+ 5 × 34+⋯+ (2n - 1) ⋅3n+1，两式相减得-2Tn= 3 + 2(32+ 33+ 34+⋯+3n)
- (2n - 1) ⋅3n+1= (2 - 2n) ⋅3n+1- 6，所以Tn= (n - 1) ⋅3n+1+ 3．
·224·
224
已知数列an


的前n 项和Sn= n2+ n．
A. 求数列an


的通项公式；
B. 若bn= n ⋅
1
2


an，求数列bn


的前n 项和Tn．
【解析】
(1) 已知数列an


的前n 项和Sn= n2+ n，当n = 1 时，a1= S1= 2；当n ≥2 时，an= Sn
- Sn-1= n2+ n - [(n - 1)2+ (n - 1)] = 2n．经检验，a1满足上式，所以数列an


的通项公式
为an= 2n．
(2) 由(1) 知bn= n ⋅
1
2


an= n ⋅
1
2


2n= n ⋅
1
4


n，所以Tn= 1 ×
1
4


1+ 2 ×
1
4


2+ 3 ×
1
4


3
+ ⋯+ (n - 1) ⋅
1
4


(n-1) + n ⋅
1
4


n，1
4 Tn = 1 ×
1
4


2 + 2 ×
1
4


3 + 3 ×
1
4


4 +⋯+ (n -
1 ) ⋅
1
4


n + n ⋅
1
4


n+1 两式相减得：3
4 Tn =
1
4


1 +
1
4


2 +⋯+
1
4


n - n ⋅
1
4


n+1 =
1
4 1-
1
4


n


1- 1
4
- n ⋅
1
4


n+1= 1
3 - 4
3 ⋅
1
4


n+1
- n ⋅
1
4


n+1 = 1
3 -
n+ 4
3


⋅
1
4


n+1，所以Tn = 4
9 -
4n
3 + 16
9


⋅
1
4


n+1 = 4
9 -
n
3 + 4
9


⋅
1
4


n．
结论六、数列最值
a > F(n) 恒成立⇔a > F(n)max；a > F(n) 能成立⇔a > F(n)min．
225
设数列an


的前n 项和Sn，a1= 10，an+1= 9Sn+ 10．
A. 求证：lgan


是等差数列；
B. 设Tn 是数列
3
(lgan)(lgan+1)


的前n 项和，求使Tn > 1
4 (m2 - 5m) 对所有的n ∈N *
都成立的最大正整数m 的值．
【解析】
(1) 证明：由题意，an+1 = 9Sn + 10(n ∈N *) ①，故有an = 9Sn-1 + 10(n ≥2，n ∈N *) ②，由
①- ②得，an+1 - an = 9an，即an+1 = 10an(n ≥2，n ∈N *)，所以an+1
an = 10(n ≥2，n ∈N *)．
令n = 1，带入①式可得a2 = 9a1 + 10 = 100，所以a2
a1 = 10，故有an+1
an = 10(n ∈N *)，故数列
an


是以10 为首项，以10 为公比的等比数列，故an = 10 ⋅10n-1 = 10n．所以lgan = lg10n = n，
即有lgan+1- lgan= (n + 1) - n = 1．故lgan


是等差数列，首项为lg10 = 1，公差为1．
(2) 由(1) 可知lgan = lg10n = n，所以
3
(lgan)(lgan+1) =
3
n(n+1) = 3 1
n -
1
n+1


，故Tn =
3
1- 1
2


+
1
2 - 1
3


+⋯+ 1
n -
1
n+1




= 3 1-
1
n+1


= 3 -
3
n+1 ．由n ≥1 可知，Tn = 3
-
3
n+1 ≥3
2 ．依题意，3
2 > 1
4 (m2- 5m)，解得-1 < m < 6，则最大正整数m 的值为5．
(3) 由意义Tn > 1
4 (m2 - 5m) 对任意的n ∈N * 都成立，故需要求Tn 的最小值(Tn)min > 1
4
·225·
(m2 - 5m)，而
3
(lgan)(lgan+1) =
3
n(n+1) > 0，故数列
3
(lgan)(lgan+1)


的前n 项和Tn 是关
于n 的单调递增函数，故Tn 的最小值为T1 = 3
2 ，所以3
2 > 1
4 (m2 - 5m)，解得-1 < m < 6，则
最大正整数m 的值为5．
225
已知函数f(x) = 2x+3
3x
，数列an


满足a1= 1，an+1= f
1
an


，n ∈N *．
A. 求数列an


的通项公式；
B. 令Tn= a1a2- a2a3+ a3a4- a4a5+⋯-a2na2n+1，求Tn；
C. 令bn =
1
an-1an (n ≥2)，b1 = 3，Sn = b1 + b2 +⋯+bn，若Sn < m-2021
2
对一切n ∈N *
成立，求最小正整数m．
【解析】
(1) 因为an+1 = f
1
an


=
2
an +3
3
an
= 2+3an
3
= an + 2
3 ，所以an


是以2
3 为公差的等差数
列．因为a1= 1，所以an= 2
3 n + 1
3 ．
(2)Tn= a1a2- a2a3+ a3a4- a4a5+⋯-a2na2n+1= a2(a1- a3) + a4(a3- a5) +⋯+a2n
(a2n-1- a2n+1) =- 4
3 (a2+ a4+⋯+a2n) =- 4
9 (2n2+ 3n)．
( 3 ) 由题意知，当n ≥2 时，b n =
1
an-1an
=
1
2
3 n- 1
3


2
3 n+ 1
3


=
9
2 1- 1
3 + 1
3 - 1
5 +⋯

+
1
2n-1 -
1
2n+1

= 9
2 1-
1
2n+1


=
9n
2n+1 ．所以Sn < m-2021
2
对一切n ∈N * 成
立，即
9n
2n+1
< m-2021
2
．因为
9n
2n+1 = 9
2 1-
1
2n+1


递增且
9n
2n+1 < 9
2 ，所以m-2021
2
≥9
2 ，
即m ≥2019．所以最小正整数m = 2019．
结论七、数列缩放
常见的缩放方法：
（1）1
n2 =
4
4n2 <
4
4n2-1 = 2
1
2n-1 -
1
2n+1


；
（2）
1
n+2 <
n+2 -
n；
（3）2( n+1 -
n) <
1
n < 2
n-
n-1


；
（4）
1
n n-1


<
n -
n-1 n≥2


；
·226·
（5）1
n <
2
2n+1-
2n-1


=
2 2
2n+1+
2n-1 =
2
n+ 1
2 +
n- 1
2
；
（6）
2n
2n-1


2 =
2n
2n-1


2n-1


<
2n
2n-1


2n-2


=
2n-1
2n-1


2n-1-1


=
1
2n-1 -
1
2n-1 .
226
已知数列满足
A. 求数列{an} 的通项公式；
B. 若
bn =
1
1+an ,n ∈N *, 且数列{bn} 的前n 项和为Tn ，试比较Tn 和1
6 的大小并证
明.
【解析】
(1) 由题意可知数列是以2 为公差，3 为首项的等差数列，所以an= 3 + 2 n-1


= 2n + 1.
(2) 由
bn =
1
1+an 可知bn=
1
1+an


2 =
1
2n+2


2 < 1
2 ∙
1
2n+1 -
1
2n+3


，则
Tn=c1+c2+c3⋯+cn< 1
2 ∙
1
3 - 1
5


+ 1
2
1
5 - 1
7


+⋯1
2
1
2n+1 -
1
2n+3


= 1
2 ∙
1
3 - 1
5 + 1
5 - 1
7 +⋯+
1
2n+1 -
1
2n+3


= 1
2 ∙
1
3 -
1
2n+3


< 1
6 .
226
设各项均为正数的数列{an} 的前n 项和为Sn，满足4Sn = a2
n+1 - 4n - 1,n ∈N *，
且a1,a5,a14 构成等比数列.
(1) 证明：a2=
4a1+5 ；
B. 求数列{an} 的通项公式；
C. 证明：对一切正实数n，有
1
a1a2 +
1
a2a3 +⋯+
1
anan+1 < 1
2 .
【解析】
（3.1）证明当n = 1 时，4a1= a2
2- 5,a2
2= 4a1+ 5, 因为an> 0, 所以a2=
4a1+5.
（3.2）当n ≥2 时，4Sn-1 = a2
n - 4(n - 1) - 1,4an = 4Sn - 4Sn-1 = a2
n+1 - a2
n - 4,a2
n+1 = a2
n
+ 4an + 4 = an+2


2，因为an > 0, 所以an+1 = an + 2，所以当n ≥2 时，{an} 是公差d = 2 的等
差数列. 因为a1,a5,a14 构成等比数列，所以a2
5 = a2 ∙a14, a2+6


2 = a2 ∙a2+24


, 解得a2 = 3，有
(1) 可知4a1 = a2
2 - 5 = 4，所以a1 = 1. 因为a2 - a1 = 3 - 1 = 2，所以{an} 是首项为a1 = 1，公
差d = 2 的等差数列. 所以数列{an} 的通项公式为an= 2n - 1.
（3.3）证明
1
a1a2 +
1
a2a3 +⋯+
1
anan+1
= 1
1∙3 + 1
3∙5 + 1
5∙7 +⋯+
1
2n-1


∙2n+1


= 1
2 ∙
1- 1
3


+
1
3 - 1
5


+
1
5 - 1
7


+⋯
1
2n-1 -
1
2n+1




= 1
2 1-
1
2n+1


< 1
2 .
·227·
第37 讲
不等式的性质与解法
通关一、文字语言与数学符号之间的转换
文字语言
数学符号
文字语言
数学符号
大于
>
至多
≤
小于
<
至少
≥
大于等于
≥
不少于
≥
小于等于
≤
不多于
≤
通关二、不等式的基本性质
性质
别名
内容
注意
性质1
对称性
a > b º b < a;a < b º b > a
可逆
性质2
传递性
a > b,b > c½a > c;a < b,b < c½a <
c
同向
性质3
可加性
a > b º a + c > b + c
可逆
性质4
可乘性
a > b,c > 0½ac > bc;a > b,c < 0½ac
< bc
c 的符号
性质3 推论1
称项法则
a + b > c º a > c - b
可逆
性质3 推论2
同向可加性
a > b,c > d½a + c > b + d
同向
性质4 推论1
同向同正可乘性
a > b > 0,c > b > 0½ac > bd
同向，同正
性质4 推论2
可乘方性
a > b > 0,n ∈N *⇒an> bn
同正
性质4 推论3
可开方性
a > b > 0,n ∈N * ,n ≥
2 ⇒n a >
n b
同正
性质4 推论4
倒数法则
ab > 0,a > b ⇒1
a < 1
b
同号
结论一、不等式的性质
1. 加法法则(同向不等式可加性):a > b º a + c > b + c(c ∈R).
2. 乘法法则: 若a > b, 则
c>0⇒ac>bc,
c=0⇒ac=bc,
c<0⇒ac<bc.

·228·
3. 除法法则: 若a > b 且c ≠0, 则
c>0⇒a
c > b
c ,
c<0⇒a
c < b
c .

227
若实数a,b 满足a > b, 则下列不等式一定成立的是
(
)
A. a2< b2
B. 1
a < 1
b
C. a2> b2
D. a3> b3
【答案】D
【解析】a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2), 因为a > b，a - b > 0，a2 + ab + b2 > 0，所以a3 - b3
> 0. 故选D.
227
当a > b > c 时，下列不等式恒成立的是
(
)
A. ab > ac
B. a|c| > b|c|
C. |ab| < |bc|
D. (a - b)|c - b| > 0
【答案】D
【解析】A 选项, 必须满足a > 0, 故不恒成立;B 选项,|c| = 0 时, 结论不成立;C 选项,b = 0
时, 结论显然不成立;D 选项, 因为a > b > c, 所以a - b > 0, 又因为|c - b| > 0, 所以D 选项
正确. 故选D.
结论二、比较大小
1. 作差法:
任意两个代数式a，b 可以作差a - b 后比较a - b 与0 的关系, 进一步比较a 与b 的大小.
①a - b > 0 ⇔a > b;
②a - b < 0 ⇔a < b;
③a - b = 0 ⇔a = b.
2. 作商法:
任意两个值为正的代数式a，b 可以作商a ÷ b 后比较a
b 与1 的关系, 进一步比较a 与b
的大小.
①a
b > 1 ⇔a > b; ②a
b < 1 ⇔a < b; ③a
b = 1 ⇔a = b.
若代数式a，b 都为负数, 也可以用作商法.
3. 中间量法:
若两个代数式a，b 不容易直接判断大小, 可引入第三个量c 分别与a，b 作比较, 若满足
a > c 且c > b, 则a > b. 第三个量就是中间量. 这种方法就是中间量法, 其实质是不等式的传
递性. 一般选择0 或1 为中间量.
·229·
228
若a > b > 0, 则下列不等式中一定成立的是
(
)
A. a + 1
b < b + 1
a
B. a - 1
b > b - 1
a
C. b
a > b+1
a+1
D. 2a+b
a+2b < a
b
【答案】D
【解析】因为a > b > 0，所以1
b > 1
a ，所以a + 1
b > b + 1
a ，A 选项错误；因为a- 1
b


-
b- 1
a


= (a-b)(ab-1)
ab
当a > b > 0，且ab < 1 时，(a-b)(ab-1)
ab
< 0, 此时，a - 1
b < b -
1
a B 选项错误；因为a > b > 0，所b
a - b+1
a+1 = b(a+1)-a(b+1)
a(a+1)
=
b-a
a(a+1) < 0，C 选项错
误; 因为a > b > 0，所以2a+b
a+2b - a
b = b(2a+b)-a(a+2b)
b(a+2b)
=
b2-a2
b(a+2b) < 0，2a+b
a+2b < a
b ，
D 选项正确. 故选D.
228
设实数a,b 满足0 < a < b, 且a + b = 1, 则下列四数中最大的是
(
)
A. 1
2
B. a2+ b2
C. 2ab
D. a
【答案】B
【解析】由已知有b > 1
2 > a > 0, 且a2+ b2> 2ab, 排除C、D 选项. 作差比较A、B 选项.
由a2 + b2 - 1
2 = 2(a+b)2-4ab-1
2
= 1-4ab
2
又ab <
a+b
2


2, 即ab < 1
4 , 所以1 -
4ab > 0, 所以a2+ b2> 1
2 故选B.
结论三、一元二次不等式
△= b2- 4ac
△> 0
△= 0
△< 0
y = ax 2 + bx + c a>0


的图象
一元二次方程ax2 + bx
+ c = 0 a>0


的根
有两个相异的实根x1,x2
(x1< x2)
有两个相等的实根x 1,
x2，x1=x2


没有实数根
ax 2 + bx + c > 0 a>0


的解集
x|x<x1或x>x2


x x≠- b
2a



R
ax 2 + bx + c < 0 a>0


的解集
x|x1<x<x2


¥
¥
229
不等式2x2- x - 1 < 0 的解集为
.
·230·
【答案】- 1
2 ,1


【解析】不等式2x2- x - 1 < 0 化为(2x + 1) (x - 1) < 0，解得- 1
2 < x < 1. 所以不等式
2x2- x - 1 < 0 的解集为- 1
2 ,1


.
229
不等式-x2+ 3x + 4 < 0 的解集为
(
)
A. {x| -1 < x < 4}
B. {x|x > 4 或x <-1}
C. {x|x > 1 或x <-4}
D. {x| -4 < x < 1}
【答案】B
【解析】因为-x2 + 3x + 4 < 0, 所以x2 - 3x - 4 > 0, 即(x + 1) (x - 4) > 0, 解得x > 4 或
x <-1, 所以不等式-x2+ 3x + 4 < 0 的解集为{x|x > 4 或x <-1}. 故选B.
结论四、分式不等式
1. 一般地, 解分式不等式的基本思想是化分式不等式为整式不等式或整式不等式组, 即
(1) f(x)
g(x) > 0 ⇔f(x)g(x) > 0;
(2) f(x)
g(x) < 0 ⇔f(x)g(x) < 0;
(3) f(x)
g(x) ≥0 ⇔
f(x)g(x)≥0,
g(x)≠0;

(4) f(x)
g(x) ≤0 ⇔
f(x)g(x)≤0,
g(x)≠0.

2. 穿根法步骤
(1) 将f(x) 最高次项系数化为正数;
(2) 将f(x) 分解为若干个一次因式或二次不可分解的因式的积, 然后求出f(x) = 0
的解, 并在数轴上标出;
(3) 自数轴正方向起, 用曲线从右至左、自上而下依次从各解穿过数轴, 奇穿偶不穿;
(4) 记数轴上方为正, 下方为负, 根据不等号写出解集.
230
不等式x2-x-6
x-1
> 0 的解集为
(
)
A. {x|x <-2 或x > 3}
B. {x|x <-2 或1 < x < 3}
C. {x| -2 < x < 1 或x > 3}
D. {x| -2 < x < 1 或1 < x < 3|
【答案】C
·231·
【解析】x2-x-6
x-1
> 0 ⇔(x-3)(x+2)
x-1
> 0 ⇔(x - 3) (x + 2) (x - 1) > 0
. 利用数轴穿根法解得-2 < x < 1 或x > 3. 故选C.
230
不等式
x+5
(x-1)2 ≥2 的解集是
(
)
A. -3, 1
2


B. - 1
2 ,3


C.
1
2 ，1


∪(1,3]
D. - 1
2 ，1


∪(1,3]
【答案】D
【解析】x+5
(x-1)2 - 2 = -(x-3)(2x+1)
(x-1)2
≥0, 于是x+ 1
2


(x - 3) ≤0 且x ≠1. 故选D.
结论五、绝对值不等式
1.|f(x)| < a(a > 0) ⇔-a < f(x) < a;
2.|f(x)| > a(a > 0) ⇔f(x) <-a 或f(x) > a;
3.|f(x)| < g(x) ⇔-g(x) < f(x) < g(x);
4.|f(x)| > g(x) ⇔f(x) <-g(x) 或f(x) > g(x).
231
若不等式|x - a| < 1 的解集为{x|1 < x < 3}, 则实数α 的值为
.
【答案】2
【解析】因为|x - a| < 1, 所以-1 < x - a < 1, 所以a - 1 < x < a + 1, 所以不等式|x - a|
< 1 的解集为{x|a - 1 < x < a + 1}. 因为不等式|x - a| < 1 的解集为{x|1 < x < 3}, 所以a
- 1 = 1 且a + 1 = 3, 解得a = 2.
231
若不等式|3x - b| < 4 的解集中的整数有且仅有1,2,3, 则b 的取值范围为
.
【答案】(5,7)
【解析】|3x - b| < 4 ⇔b-4
3
< x < b+4
3
, 于是0 ≤b-4
3
< 1,3 < b+4
3
≤4 解得5 < b
< 7. 故b 的取值范围为(5,7).
·232·
第38 讲
含参不等式解法
1. 若函数f(x) 在区间D 上存在最小值f(x)min 和最大值f(x)max, 则
不等式f(x) > a 在区间D 上恒成立⇔f(x)min > a;
不等式f(x) ≥a 在区间D 上恒成立⇔f(x)min ≥a;
不等式f(x) < b 在区间D 上恒成立⇔f(x)max < b;
不等式f(x) ≤b 在区间D 上恒成立⇔f(x)max ≤b.
2. 若函数f(x) 在区间D 上不存在最大(小) 值, 且值域为(m,n), 则
不等式f(x) > a(或f(x) ≥a) 在区间D 上恒成立⇔m ≥a;
不等式f(x) < b(或f(x) ≤b) 在区间D 上恒成立⇔n ≤b.
3. 若函数f(x) 在区间D 上存在最小值f(x)min 和最大值f(x)max, 则
不等式a < f(x) 在区间D 上有解⇔a < f(x)max ﹔
不等式a ≤f(x) 在区间D 上有解⇔a ≤f(x)max
不等式a > f(x) 在区间D 上有解⇔a > f(x)min ﹔
不等式a ≥f(x) 在区间D 上有解⇔a ≥f(x)min
4. 若函数f(x) 在区间D 上不存在最大(小) 值, 且值域为(m,n), 则
不等式a < f(x) (或a ≤f(x)) 在区间D 上有解⇔a < n;
不等式b > f(x) (或b ≥f(x)) 在区间D 上有解⇔b > m.
结论一、利用二次函数的性质
对形如f(x) > 0 或f(x) < 0 在其定义域上的不等式恒成立问题, 若f(x) 满足二次函数的
一般结构, 那不妨将题转化成二次函数在其定义域上的图像在坐标系中与x 轴的高低比较.
一般来讲, 对ax2 + bx + c > 0(或ax2 + bx + c < 0) 在x ∈R 上恒成立问题, 可以利用二次项
系数及判别式进行讨论; 对ax2 + bx + c > 0(或ax2 + bx + c < 0) 在x ∈D(D ≠R) 上恒成立
问题, 常用分离参数法.
232
若不等式(m - 1)x2+ (m - 1)x + 2 > 0 的解集是R, 则m 的取值范围是
【答案】[1,9)
·233·
【解析】要想应用上面的结论, 就得保证是二次的, 这样才有判别式, 但二次项系数含有参
数m, 所以要讨论m - 1 是否是0.
(1) 当m - 1 = 0 时, 原不等式化为2 > 0 恒成立, 满足题意;
(2) 当m - 1 ≠0 时, 只需m-1>0
△=(m-1)2-8(m-1)<0

所以m ∈[1,9).
232
已知f(x) = x2 + ax + 3 - a, 若x ∈[-2,2],f(x) ≥2 恒成立，则a 的取值范围是
.
【答案】-5,2 2-2


【解析】本题可以考虑f(x - 2 = g(x) 的零点分布情况进行分类讨论, 分无零点、零点在区
间的左侧、零点在区间的右侧三种情况, 即△≤0 或
△>0
- a
2 ≤-2
g(-2)≥0
g(2)≥0





或
△>0
- a
2 ≥2
g(-2)≥0
g(2)≥0





，f(x) - 2 = x2
+ ax + 3 - a - 2 ≥0, 即g(x) = x2+ ax + 1 - a ≥0 在[-2,2] 上成立
(1)△= a2- 4(1 - a) ≤0, 所以-2 - 2 2 ≤a ≤-2 + 2 2
(2)
△>0
- a
2 ≤-2
g(-2)≥0
g(2)≥0





或
△>0
- a
2 ≥2
g(-2)≥0
g(2)≥0





所以-5 ≤a ≤-2 2 - 2.
综上,a ∈-5,2 2-2


结论二、分离变量
若在等式或不等式中出现两个变量, 其中一个变量的范围已知, 另一个变量的范围为所
求, 且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边, 则可将恒成立问题转化
成函数的最值问题求解. 这类题型的基本解题思路如下:
(1) 将参数与变量分离, 即化为g(a) ≥f(x) (或g(a) ≤f(x)) 恒成立的形式;
(2) 求f(x) 在x ∈D 上的最大(或最小) 值;
(3) 解不等式g(a) ≥f(x)max(或g(a) ≤f(x)min), 得a 的取值范围.
233
当x ∈[1,2] 时, 不等式x2+ mx + 4 < 0 恒成立, 则m 的取值范围是
.
【答案】(-∞, -5)
【解析】当x ∈[1,2] 时, 由x2 + mx + 4 < 0 得m <- x2+4
x
. 令f(x) =- x2+4
x
则易知f(x)
在[1,2] 上是增函数, 所以当x ∈[1,2] 时,f(x)min = f(1) =-5, 则m <-5, 即m ∈(-∞, -5).
233
已知x ∈(-∞,1] 时, 不等式1 + 2x + (a - a2) ⋅4x > 0 恒成立, 则a 的取值范围是
【答案】- 1
2 , 3
2


·234·
【解析】令2x = t, 因为x ∈(-∞,1], 所以t ∈(0,2], 所以原不等式可化为:a2 - a < t+1
t2 .
要使上式在t ∈(0,2] 上恒成立, 只须求出f(t) = t+1
t2
在t ∈(0,2] 上的最小值即可. 因为f(t)
= t+1
t2
=
1
t


2 + 1
t =
1
t + 1
2


2 - 1
4 又因为1
t ∈
1
2 ,+∞


, 所以f(t)min = f(2) = 3
4 所以a2
- a < 3
4 , 所以- 1
2 < a < 3
2 , 即a ∈- 1
2 , 3
2


,
结论三、变换主元
在不等式的恒成立问题中，有一类题型是题中的参数如a，m，k 等的范围是已知的，而
问题要求的反而是变量x 的范围。这类题型中，由于已知范围的变量是以前我们所接触的参
数，因而题中的函数结构也就发生了改变，此时函数是以参数为自变量的函数。一般来说，我
们在观察这类恒成立问题时，哪个变量的范围是已知的，哪个就是该函数的自变量。
234
若|a| ≤2, 不等式
恒成立, 则x 的取值范围是
.
【答案】x <-1 或x > 3
【解析】原不等式转化为(x - 1)a + x2 - 2x + 1 > 0 在|a| ≤2 时恒成立, 设f(a) = (x - 1)a
+ x2- 2x + 1, 则f(a) 在|a| ≤2 上恒大于0, 故有
f(-2)>0
f(2)>0

即x2-4x+3>0
x2-1>0

解得x>3或x<1
x>1或x<-1

，所以x <-1 或x > 3.
234
若不等式4x- a ⋅2x+ 2 > 0 对于a ∈(-∞,3] 恒成立, 则x 的取值范围是
.
【答案】(-∞,0) ∪(1, +∞)
【解析】注意到4x- a ⋅2x+ 2 > 0 对于α ∈(-∞,3] 恒成立是关于a 的一次不等式.
不妨设f(a) =-2x ⋅a + (4x + 2), 则f(a) 在a ∈(-∞,3] 上单调递减, 则问题等价于f(3)
> 0, 所以4x- 3 ⋅2x+ 2 > 0 ⇒2x> 2 或2x< 1, 则x 的取值范围是x ∈(-∞,0) ∪(1, +∞).
结论四、恒成立问题
1. 对任意的x ∈D, 都有f(x) > m, 则f(x)min > m;
2. 对任意的x ∈D, 都有f(x) < m, 则f(x)max < m.
235
若对任意x > 0, 都有
x
x2+3x+1 ≤a, 则a 的取值范围是
.
【答案】1
5 ,+∞


【解析】原题等价于
x
x2+3x+1


max ≤a，f(x) =
x
x2+3x+1 =
1
x+ 1
x +3
,t = x + 1
x ≥2
则f(t) =
1
t+3 (t ≥2) 为减函数, 于是f(t)max = f(2) = 1
5 . 故a ∈
1
5 ,+∞


.
235
已知函数f(x) = x2,g(x) =
1
2


x - m, 若对任意x ∈[1,2], 都有f(x) ≥g(x),
则实数m 的取值范围是
·235·
【答案】- 1
2 ,+∞


【解析】对任意的x ∈[1,2], 都有f(x) ≥g(x), 转化为m ≥
1
2


x - x2 恒成立, 题意等价
于m ≥
1
2


x-x2


max , 令h(x) =
1
2


x- x2, 且h(x) 在x ∈[1,2] 上为减函数, 所以
h(x)max = h(1) =- 1
2 . 故m ∈- 1
2 ,+∞


.
结论五、能成立问题
1. 若存在x ∈D, 使得f(x) > m, 则f(x)max > m;
2. 若存在x ∈D, 使得f(x) < m, 则f(x)min < m.
236
存在实数x ∈[1,2], 使得不等式kx2+ k - 2 < 0 有解, 则k 的取值范围为
【答案】(-∞,1)
【解析】变量分离得k <
2
x2+1 , 只需当x ∈[1,2] 时, k <
2
x2+1


max. 因为f(x) =
2
x2+1 ≤1, 所以k < 1, 即k ∈(-∞,1).
236
已知函数f (x) = lg a-ax-x2


, 若定义域不为空集, 则a 的取值范围为
【答案】(-∞, -4) ∪(0, +∞)
【解析】f(x) 的定义域非空, 相当于存在实数x, 使a - ax - x2 > 0 成立, φ(x) = a - ax
- x2的最大值大于0 成立, φ(x)max = -4a-a2
-4
= 4a+a2
4
> 0, 解得a <-4 或a > 0, 即
a ∈(-∞, -4) ∪(0, +∞).
结论六、恰成立问题
1. 若不等式f(x) > m 在区间D 上恰成立, 则等价于不等式f(x) > m 的解集为D;
2. 若不等式f(x) < m 在区间D 上恰成立, 则等价于不等式f(x) < m 的解集为D.
237
不等式ax2+ bx + 1 > 0 的解集为x -1<x< 1
3



, 则a ⋅b =
【答案】6
【解析】由题意知a < 0,ax2 + bx + 1 = 0 的两根分别为-1, 1
3 , 根据韦达定理可得a =-3,
b =-2. 所以a ⋅b = 6.
237
已知函数f(x) = lg a-ax-x2


, 若f(x) > 0 的解集为(2,3), 则a =
【答案】-5
【解析】因为f(x) > 0 的解集为(2,3), 所以a - ax - x2 > 1 的解集为(2,3), 所以等价于
方程x2+ ax + 1 - a = 0 的两个根为2 和3 , 由韦达定理可得a =-5.
·236·
结论七、
“任意= 存在”型
对任意的x1 ∈A, 存在x2 ∈B, 使得f x1


= g x2


, 则f(x) 的值域是g(x) 值域的子集, 即
f(A) ⊆g(B).
238
函数f(x) = x2,g(x) = x + a, 对于任意的x1 ∈[0,1], 均存在x2 ∈[2,4], 使得f x1


= g x2


成立, 则a 的取值范围是
【答案】[-3, -2]
【解析】设f(x) 在区间[0,1] 上的值域为A,g(x) 在区间[2,4] 上的值域为B, 本题转化成两
函数的值域之间的关系, 即需满足A ⊆B, 即[0,1] ⊆[2 + a,4 + a]. 所以2 + a ≤0 且4 + a
≥1, 解得-3 ≤a ≤-2. 故a ∈[-3, -2].
238
已知f(x) = x2 - 2x,g(x) = ax + 2(a > 0), 对任意的x1 ∈[-1,2], 存在x2 ∈[-1,
2], 使得g x1


= f x2


, 则a 的取值范围是
【答案】0, 1
2


【解析】由x ∈[-1,2],f(x) = x2 - 2x,g(x) = ax + 2(a > 0) 可得f(x) 的值域为[-1,3],
g(x) 的值域是[-a + 2,2a + 2], 又对任意的x1 ∈[-1,2], 存在x2 ∈[-1,2], 使得g x1


=
f x2


, 则f(x) 的值域包含g(x) 的值域, 即[-a + 2,2a + 2] ⊆[-1,3], 则-1 ≤-a + 2 < 2a +
2 ≤3, 解得0 < a ≤1
2 . 故a ∈0, 1
2


.
结论八、
“存在= 存在”型
若存在x1∈A, 存在x2∈B, 使得f x1


= g x2


, 则f(x) 的值域与g(x) 的值域有非空交集,
即f(A) ∩g(B) = ∅.
239
已知函数f(x) = ex - 1,g(x) =-x2 + 4x - 3, 若有f(a) = g(b), 则b 的取值范围为
【答案】(2 -
2,2 +
2)
【解析】因为f(x) 的值域为(-1, +∞), 又有f(a) = g(b), 即g(b) >-1, 即-b2 + 4b - 3 >
-1, 解得2 -
2 < b < 2 +
2, 即b ∈(2 -
2,2 +
2).
239
已知函数f(x) = 2k2x + k,x ∈[0,1],g(x) = 3x2 - 2 k2+k+1


x + 5,x ∈[-1，0]
存在x1∈[0,1],x2∈[-1,0], 使得g x2


= f x1


成立, 则k 的取值范围为
【答案】-10, -1-
41
4




∪
-1+
41
4
,+∞



【解析】存在x1 ∈[0,1],x2 ∈[-1,0], 使得g x2


= f x1


成立, 则f(x),g(x) 的值域相交非
空, f(x) 的值域为k,2k2+k


,g(x) 的值域为5,10+2k2+2k


, 则5 ≤k ≤10 + 2k2 + 2k 或5
≤2k2+ k ≤10 + 2k2+ 2k, 解得k ∈-10, -1-
41
4




∪
-1+
41
4
,+∞



.
·237·
第39 讲
基本不等式
通关一、均值不等式的使用条件
1. 一正: 函数式中的各项必须都是正数, 在异号时不能运用均值不等式, 在同负时可以先
进行转化, 再运用均值不等式; 实际过程中, 两项全是负的其实也可以用均值, 提出一个负号
即可. 所以说“一正”这个条件可以扩展为“同号”。
2. 二定: 函数式中含变量的各项的和或积或平方和必须是定值; 特殊情况下, 至少要求各
项的和、积、平方和是一个可化简的定式。
3. 三相等: 只有具备了不等式中等号成立的条件, 才能使函数式取到最大或最值, 否则不
能由均值不等式求最值, 只能用函数的单调性求最值。
通关二、已知a,b ∈R+, 则
a2+b2
2
≥a+b
2
≥
a+
b
2


2≥
ab ≥
2
1
a + 1
b
其中
a2+b2
2
称为平方平均数, a+b
2
称为算术平均数,
ab 称为几何平均数,
2
1
a + 1
b
称为调和平均数.
【证明】因为
a2+b2
2


2
-
a+b
2


2= 1
4 (a - b)2≥0, 所以
a2+b2
2


2
≥
a+b
2


2. 因为
a,b ∈R +, 所以
a2+b2
2
≥a+b
2
, 当且仅当“ a = b ”时等号成立. 因为a+b
2
-
a+
b
2


2=
1
4 (
a -
b )2 ≥0, 所以a+b
2
≥
a+
b
2


2, 当且仅当“ a = b " 时等号成立. 因为
a+
b
2


2 -
ab = 1
4 ( a -
b )2 ≥0, 所以
a+
b
2


2 ≥
ab , 当且仅当“ a = b " 时等号
成立. 因为
ab -
2
1
a + 1
b
=
ab - 2ab
a+b = (a+b) ab-2ab
a+b
=
ab(a+b-2 ab)
a+b
=
ab( a-
b)2
a+b
≥0
所以
ab ≥
2
1
a + 1
b
, 当且仅当“ a = b ”时, 等号成立.
结论一、常见基本不等式
·238·
1. a2+ b2≥2ab(a,b ∈R), 当且仅当a = b 时取等号.
2. a + b ≥2 ab(a > 0,b > 0), 当且仅当a = b 时取等号. 3. ab ≤
a+b
2


2(a,b ∈R), 当且
仅当a = b 时取等号.
4. a + 1
a ≥2(a > 0), 当且仅当a = 1 时取等号;a + 1
a ≤-2(a < 0), 当且仅当a =-1 时取
等号.
5. b
a + a
b ≥2(a,b 同号), 当且仅当a = b 时取等号.
240
a > 0,b > 0, 给出下列推导, 其中正确的有
(1) a + b +
1
ab 的最小值为2 2;
(2) (a + b) 1
a + 1
b


的最小值为4 ;
(3) a +
1
a+4 的最小值为-2.
【答案】(1) (2)
【解析】(1) 因为a > 0,b > 0, 所以a + b +
1
ab ≥2 ab +
1
ab ≥2 2 (当且仅当a = b
=
2
2 时取等号).
(2) 因为a > 0,b > 0, 所以(a + b) 1
a + 1
b


≥2 ab ⋅
2
ab = 4 (当且仅当a = b 时取等
号).
(3) 因为a > 0, 所以a +
1
a+4 = a + 4 +
1
a+4 - 4 ≥2
(a+4)⋅
1
a+4 - 4 =-2 (当且仅
当a + 4 =
1
a+4 即a + 4 = 1,a =-3 时取等号). 因为a > 0, 与a =-3 矛盾, 所以上式不能取
等号, 即a +
1
a+4 >-2.
240
已知a > 0,b > 0, 且a + b = 1，则
(
)
A. a2+ b2≥1
2
B. 2a-b> 1
2
C. log2a + log2b ≥-2
D.
a +
b ≤
2
【答案】ABD
【解析】A 选项: a2 + b2 = a2 + (1 - a)2 = 2a2 - 2α + 1 = 2 a- 1
2


2 + 1
2 ≥1
2 , 当且仅当a
= b = 1
2 时, 等号成立, 故A 选项正确; B 选项: a - b = 2a - 1 >-1, 所以2α-b > 2-1 = 1
2 , 故
B 选项正确; C 选项: log2a + log2b = log2ab ≤log2 a+b
2


2 = log2 1
4 =-2, 当且仅当a = b =
1
2 时, 等号成立, 故C 选项不正确;D 选项: 因为( a +
b)2 = 1 + 2 ab ≤1 + a + b = 2, 所
以
a +
b ≤
2, 当且仅当a = b = 1
2 时, 等号成立, 故D 选项正确. 故选ABD.
结论二、和定积最大，积定和最小
·239·
1. 两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a,b ∈R，且若a + b = M ，M 为定
值, 则ab ≤M 2
4 ，当且仅当a = b = M
2 时，等号成立；
2. 两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a,b ∈R，且ab = P，P 为定值，则a
+ b ≥2 P，当且仅当a = b =
P 时，等号成立.
241
已知a,b > 0.
(1) 若ab = 4, 求ab 的最小值;
(2) 若a + b = 4，求ab 的最大值.
【答案】(1)4 (2)4
【解析】(1) 解法一因为a,b > 0 且ab = 4, 所以a + b ≥2 ab = 4，即a + b ≥4(当a = b =
2 时取等号), 所以a = b = 2,a + b 的最小值为4.
解法二因为a,b > 0 且ab = 4, 所以a + b = a + 4
a ≥2
a⋅4
a = 4, 即a + b ≥4(当且仅当
a = b = 2 时取等号), 所以a = b = 2,a + b 的最小值为4.
(2) 解法一因为a,b > 0, 所以4 = a + b ≥2 ab, 即4 ≥ab(当且仅当a = b = 2 时取等号),
所以a = b = 2,ab 的最大值为4.
解法二因为a,b > 0, 所以ab ≤
a+b
2


2= 4(当且仅当a = b = 2 时取等号), 所以a = b =
2,ab 的最大值为4.
解法三因为a,b > 0,a + b = 4, 所以ab = a(4 - a) =-a2+ 4a =- (a - 2)2+ 4 ≤4(当且仅
当a = b = 2 时取等号), 所以a = b = 2,ab 的最大值为4 .
241
已知x > 0,y > 0,x + y = 8, 则xy 的最大值为
【答案】16
【解析】解法一因为x > 0,y > 0,x + y = 8, 所以xy = x(8 - x) ≤
x+8-x
2


2= 16 (当且
仅当x = 8 - x 即x = 4 时, 等号成立), 故当x = 4 时,xy 的最大值为16 .
解法二因为x > 0,y > 0,8 = x + y ≥2 xy, 即
xy ≤x+y
2
= 8
2 = 4, 可得xy ≤16(当
且仅当x = y = 4 时, 等号成立), 故当x = 4 时, xy 的最大值为16 .
结论三、已知Ax + By = 1, 求D
x + E
y 的范围(A,B,D,E > 0)
把Ax + By = 1 整体代换, D
x + E
y =
D
x + E
y


(Ax + By) 展开得: AD + BE + AE ⋅x
y +
BD ⋅y
x ≥AD + BE + 2 ABDE = ( AD +
BE )2
242
已知实数m,n 满足m > 0,n > 0，且2m + n = 1
3 , 则1
m + 2
n 的最小值为
A. 24
B. 16
C. 18
D. 12
【答案】A
【解析】1
m + 2
n = (2m + n) ⋅
1
m + 2
n


⋅3 = 4+ n
m +4⋅m
n


⋅3 ≥4+2
n
m ⋅4m
n


⋅3 =
·240·
24, 所以1
m + 2
n ≥24, 当且仅当n
m = 4m
n 时, 等号成立. 故选A.
242
设a > 0,b > 0, 若
3 是3a与3b的等比中项, 则1
a + 1
b 的最小值为
(
)
A. 8
B. 4
C. 1
D. 1
4
【答案】B
【解析】因为3a⋅3b= 3, 所以a + b = 1, 于是1
a + 1
b = (a + b) 1
a + 1
b


= 2 + b
a + a
b ≥
2 + 2
b
a ∙a
b = 4，当且仅当b
a = a
b 时成立，故选B.
结论四、己知D
x + E
y = 1, 求Ax + By 的范图(A,B,D,E > 0)
把D
x + E
y = 1 整体代换, Ax + By = Ax+By


D
x + E
y


展开得: AD + BE + AE ⋅x
y +
BD ⋅y
x ≥AD + BE + 2 ABDE = ( AD +
BE )2.
243
已知x > 0,y > 0, 且1
x + 9
y = 1, 求x + y 的最小值.
【解析】解法一因为1
x + 9
y = 1, 所以x + y = (x + y) ⋅
1
x + 9
y


= 10 + y
x + 9x
y . 因为x
> 0,y > 0, 所以y
x + 9x
y ≥2
y
x ⋅9x
y = 6
当且仅当y
x = 9x
y , 即y = 3x 时, 等号成立).
又1
x + 9
y = 1, 所以x = 4,y = 12. 所以当x = 4,y = 12 时,x + y 取最小值16 .
解法二由1
x + 9
y = 1, 得x =
y
y-9 . 因为x > 0,y > 0, 所以y > 9，x + y =
y
y-9 + y = y
+ y-9+9
y-9
= y +
9
y-9 + 1 = (y - 9) +
9
y-9 + 10. 因为y > 9, 所以y - 9 > 0, 所以y - 9
+
9
y-9 ≥2
(y-9)⋅
9
y-9 = 6
当且仅当y - 9 =
9
y-9 , 即y = 12 时, 等号成立, 此时
x=4

. 所以当x = 4,y = 12 时,x + y 取最小值16 .
243
若两个正实数x,y 满足2
x + 1
y = 1, 且x + 2y > m2 + 2m 恒成立, 则实数m 的
取值范围是
(
)
A. (-∞, -2) ∪[4, +∞)
B. (-∞, -4] ∪[2, +∞)
C. (-4,2)
D. (-2,4)
【答案】C
【解析】因为正实数x,y 满足2
x + 1
y = 1, 所以x + 2y = (x + 2y) 2
x + 1
y


= 4 + 4y
x + x
y
≥4 + 2
4y
x ⋅x
y = 8, 当且仅当4y
x = x
y 时, 即x = 4,y = 2 时取得最小值8 . 因为x + 2y >
m2恒成立，所以8 > m2+ m，解得-4 < m < 2，故选C.
结论五、柯西不等式
·241·
若a,b,c,d 都是实数, 则a2+b2


c2+d2


≥(ac + bd)2, 当且仅当ad = bc 时, 等号成立.
244
设a,b,m,n ∈R, 且a2+ b2= 5,ma + nb = 5, 则
m2+n2 的最小值为
【答案】5
【解析】由柯西不等式得a2+b2


m2+n2


≥(ma + nb)2, 当且仅当an = bm 时, 等号成立.
所以m2+ n2≥(ma+nb)2
a2+b2
,m2+ n2≥52
5 = 5, 故
m2+n2 的最小值为
5.
244
已知关于x 的不等式|x + a| < b 的解集为{x|2 < x < 4}.
(1) 求实数a,b 的值;
(2) 求
at+12 +
bt 的最大值.
【解析】(1) 由|x + a| < b, 得-b - a < x < b - a, 则-b-a=2
b-a=4

, 解得a =-3,b = 1.
(2)
-3t+12 +
t =
3 ⋅
-t+4 + 1 ⋅
t ≤
( 3)2+12


⋅( 4-t)2+( t)2


=
2 4-t+t = 4. 当且仅当
4-t
3
=
t
1 , 即t = 1 时, 等号成立, 故( -3t+12 +
t)max = 4.
结论六、权方和不等式
已知a,b,x,y ∈(0, +∞), 则a2
x + b2
y ≥(a+b)2
x+y , 当a
x = b
y 时, 等号成立.
245
已知f(x) = 2
x +
9
1-2x x∈0, 1
2




, 则f(x) 的最小值为
【答案】125
【解析】由权方和不等式a2
x + b2
y ≥(a+b)2
x+y
得f(x) = 22
2x +
32
1-2x ≥
(2+3)2
2x+(1-2x) = 25.
当且仅当2
2x =
3
1-2x , 即x = 1
5 时上式取最小值, 即f(x)min = 25 .
245
x,y 为正实数, 且x + y = 1, 则
x2
x+2 +
y2
y+1 的最小值是
【答案】1
4
【解析】x2
x+2 +
y2
y+1 ≥
(x+y)2
x+2+y+1 = 1
4 , 当且仅当
x
x+2 =
y
y+1 , 即x = 2
3 ,y = 1
3 时
取得等号.
·242·
第40 讲
表面积与体积
通关一、多面体的表面积和体积公式
名称
侧面积S侧
全面积S全
体积V
棱柱
棱柱
直截面周长× l
S侧+ 2S底
S底× h 或S直截面× l
直棱柱
ch
S底∙h
棱锥
棱锥
各侧面面积之和
S侧+ S底
1
3 S底∙h
正棱锥
1
2 ch
S侧
棱台
棱台
各侧面面积之和
S侧+ S上底+
S下底
1
3 h(S上底+ S下底+
S上底⋅S下底)
正棱台
1
2 (c + c)h
要点诠释：表中S 表示面积，c',c 分别表示上、下底面周长，h 表示高，h' 表示斜高，l 表
示侧棱长
通关二、旋转体的表面积和体积公式
名称
侧面积S侧
全面积S全
体积V
圆柱
2πrl
2πr(l + r)
πr2h(即πr2l)
圆锥
πrl
πr(l + r)
1
3 πr2h
圆台
π(r1+ r2)l
π(r1 + r2)l + π(r2
1
+ r2
2)
1
3 πh(r2
1 + r1r2+
r2
2)
球
4πR2
4
3 πR3
要点诠释
表中l,h 分别表示母线、高，表示圆柱圆锥的底面半径，r1,r2分别表示圆台的上下底面半
径，R 表示球的半径.
结论一、公式法
1. 柱体的体积公式：V柱= Sh
·243·
2. 锥体的体积公式：V锥= 1
3 Sh
3. 台体的体积公式：V台= 1
3 (S + S +
SS)h
4. 球的体积：V球= 4
3 πR3
246
如图，在长方体ABCD - A1B1C1D1 中，AB = 6,AD = 4,AA1 = 3 分别过BC,A1D
的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1 = VAEA-DPD1,V2 = VEBEF1 -
FCF1,S1)3= VBB1B - C1F1C, 若V1:V2:V3= 1:4:1，则截面A1EFD1的面积为
.
【答案】4 13
【解析】由V1:V2:V3= 1:4:1 可知V1= 1
6 VABCD-A1B1C1D1= 1
6 ⋅AB ⋅AA1⋅AD = 12，又因为V1=
S△A1AE ⋅AD = 1
2 A1A ⋅AE ⋅AD = 6AE，解得AE = 2. 在Rt△A1AE 中，A1E =
13，所以
SA1EFD1= A1E ⋅A1D1= 4 13.
246
如图，在三棱柱ABC - A1B1C1 中，若E,F 分别为AB，AC 的中点，平面EB1C1F
将三棱柱分成体积为V1，V2的两部分，那么V1:V2=
.
【答案】7:5
【解析】设三棱柱的高为h，S△A1B1C1= S△ABC = S，则S△ARF = 1
4 S，
所以V1 = 1
3 h S+
1
4 S⋅S + 1
4 S


= 7
12 Sh，所以V2 = Sh - 7
12 Sh = 5
12 Sh，所以V1:V2
= 7:5.
结论二、等体积法(颠倒法)
一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的。尽量使颠倒后的底面在已知多面体的表
·244·
面或者对角面上.VA-BCD = VB-ACD = VC-ABD = VD-ABC
247
三棱柱ABC - A1B1C1 各侧棱和底面边长均为a，点D 是CC1 上任意一点，连结
A1B，BD，A1D，AD 则三棱锥A - A1BD 的体积为
(
)
A. 1
6 a3
B.
2
6 a3
C.
3
12 a3
D. 1
12 a3
【答案】C
【解析】如图所示，由题意知三棱锥VA-A1BD = VB-A1AD，所以V = 1
3 ⋅
1
2 a⋅a


⋅
3
2 a =
3
12 a3. 故选C.
247
已知长方体ABCD = A1B1C1D1，棱AA1= 2.
(1) 求点A1到平面AB1D1的距离.
(2) 连接A1B，过点A 作A1B 的垂线交BB1于E，交A1B 于F.
①求证：BD1⊥平面EAC；
②求点D 到平面A1BD1的距离
【解析】(1) 解法一设点A1 到平面AB1D1 的距离为h. 因为VA1-AB1D1 = VA-A1B1D1，所以1
3 h ⋅
S△AB1D1= 1
3 ⋅AA1⋅S△A1B1D1. 在S△AB1D1中，由已知条件有AB1
AB = AD1 =
5，B1D1 =
2，所以S△AB1D1 = 1
2 ×
2 ×
( 5)2-
2
2


2 = 3
2 . 而AA1 =
2，S△A1B1D1= 1
2 × 12= 1
2 ，所以h = AA1⋅S△A1B1D1
S△AB1D1
=
2× 1
2
3
2
= 2
3 .
解法二连结A1C1 交B1D1 于点O，则A1C1 ⊥B1D1，因为AA1 ⊥上底面A1B1C1D1，从而
·245·
有AA1 ⊥B1D1，因为A1C1 ∩AA1 = A1，所以B1D1 ⊥面AA1O，又B1D1 ⊂面AB1D1，所以面
AA1O ⊥面AB1D1，且面AA1O ∩面AB1D1 = AO. 过A1 作A1H ⊥AO 交AO 于H，则A1H
⊥面AB1D1，所以点A1 到平面AB1D1 的距离即为A1H 长. 在Rt△A1AO 中，由已知条件可得
AO =
( 5)2-
2
2


2 = 3 2
2
，A1O =
2
2 ，AA1= 2，所以A1H =
2×
2
2
3 2
2
= 2
3 .
(2) ①证明因为长方体中棱AB = AD = 1，所以BD ⊥AC. 又DD1 ⊥底面ABCD
，且
AC ⊂底面ABCD，所以AC ⊥DD1，从而AC ⊥面BDD1，所以AC ⊥BD1. 因为A1D1 ⊥面
A1ABB1，且AE ⊂A1ABB1，所以AE ⊥A1D1，且AE ⊥A1B，所以AE ⊥面A1BD1，且BD1 ⊂
面A1BD1，所以AE ⊥BD1. 又因为AE ∩AC = A，所以BD1⊥面EAC.
②AD ∥A1D1，且A1D1 ⊂面A1BD1，所以AD ∥面A1BD1，所以点D 到平面A1BD1 的距
离可以转化为点A 到面A1BD1 的距离. 又因为AE ⊥面A1BD1，所以AF 即为所求距离，AF
=
2×1
22+1
= 2
5
5.
结论三、割补法
运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是
能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体。要弄清切割后
或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，从一定意义上说，
用割补法求几何体的体积，就是求体积的“加、减法”。
248
若三棱柱的一个侧面是边长为2 的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60°
的菱形，则该棱柱的体积等于
(
)
A.
2
B. 2 2
C. 3 2
D. 4 2
【答案】B
【解析】如图，ABCD 是正方形，取AF 中点H，若∠DAF = 60°，则连结DH，易知底面三角
形是边长为2 的正三角形，且△DAF 为正三角形，于是DH ⊥AF,BH ⊥AF，且DH = BH =
3，BD = 2 2，不难算得S△DBH =
2，于是VD-ABF = VF-BDH + VA-BDH = 1
3 S△BDH × FH +
1
3 S△BDH × AH = 1
3 S△BDH × AF = 2
3
2. 因此VABF-DCE = 3VD-ABF = 2 2. 若∠EFA = 60°，则
·246·
连结EH，此时有EH ⊥AF，可计算出VE-ABF = 2
3
2，同上可知三棱柱的体积为2 2. 故选
B.
248
如图，已知三棱雉D - ABC 中，AD ⊥BC,AD,BC 之间的距离为h，且AD = a,
BC = b，则三棱雉D - ABC 的体积为
。
【答案】abh
6
【解析】以AB，BC 为邻边补成平行四边形ABCE，以AD 为侧棱补成平行六面体
ABCE - DGMF，如右图，则三棱雉D - ABC 的体积V1 与平行六面体ABCE - DGMF 的体
积V2 之间有V1 = 1
6 V2，易知平行六面体左、右侧面之间的距离就是异面直线AD，BC 之间的
距离h. 因为AD ⊥BC，所以四边形BCMG 为矩形. 所以V1= 1
6 V2= 1
6 S矩形BCMG ⋅h = abh
6 .
·247·
结论四、正方体与球的组合
正方体ABCD - ABCD的棱长为a，内切球半径为1
2 a，棱切球半径为
2
2 a，外接球
半径为
3
2 a.
249
若三棱雉的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为
3 ，则其外接球的表面积是
。
【答案】9π
【解析】此三棱雉可以看成边长为
3 的正方体的一个角，故它的外接球的直径为
3+3+3 = 3，从而它的外接球的表面积为9π.
249
正方体全面积为24，则它的内切球的表面积为
接球的表面积
。
【答案】4π12π
【解析】由球与正方体的对称性易知，正方体的外接球和内切球的球心都与正方体的中
心重合，体对角线为外接球的一条直径，内切球的直径等于正方体边长的一半. 正方体的全面
积为24，故它的边长为
24
6 = 2，故它的体对角线长为
1+2 ⋅2 = 2 3，即它的内切球的半
径为1，外接球的半径为
3 ，故它的内切球的表面积为4π ⋅12 = 4π，外接球的表面积为4π
( 3)2= 12π.
结论五、正四面体与球的组合
正四面体A - BCD 的棱长为a，它的高为
6
3 a，体积为
2
12 a3，外接球半径为
6
4 a，内
接半径为
6
12 a.
·248·
250
知正四面体棱长为a ，则其外接球的表面积为
，内切球的表面积为
.
【答案】3
2 πa2 1
6 πa2
【解析】正四面体的外接球和内切球是同心球，且球心在正四面体一截面的高上.
解法一如图，正四面体P - ABC 中，内切球切底面ABC 于E，切侧面PAB 于F，则E，F
为底面和侧面的中心. 连结PE，则PE ⊥平面ABC. 取AB 中点D，连结PD，CD，F，E 分
别在PD，CD 上. 设内切球半径为r，外接球半径为R，r = OE，R = OP.PE =
PC2-CE 2
=
a2-
3
3 a


2 =
6
3 a
△PCD 为等腰三角形，连结DO 并延长交PC 于G ，则GD 垂直平分PC ，DG =
CD2-CG2 =
3
2 a


2-
1
2 a


2 =
2
2 a. 因为Rt△DEO~Rt△DGC，所以OE
DE = CG
DG ，所
以r = OE = GC⋅DE
DG
=
6
12 a，所以R = PO =
6
3 a -
6
12 a =
6
4 a，
所以外接球的表面积为S = 4π
6
4 a


2 = 3
2 πa2，内切球的表面积为S = 4π
6
12 a


2 =
1
6 πa2
解法二由于球心将正四面体分割成四个全等的三棱雉，且每个三棱雉的高为内切球的半
径. 因为正四面体的体积V = 4 × 1
3 ⋅r ⋅S△ABC = 1
3 ⋅PE ⋅S△ABC，又PE =
6
3 a，所以r =
6
12 a. 又因为R + r = PE，所以R =
6
3 a -
6
12 a =
6
4 a. 所以外接球的表面积为S =
4π
6
4 a


2= 3
2 πa2，内切球的表面积为S = 4π
6
12 a


2= 1
6 πa2.
250
如图所示，正四面体A - BCD 的外接球的体积为4 3 π，则正四面体的体积为
.
·249·
【答案】8
3
【解析】解法一：如图，O1 为底面△BCD 的中心，大圆圆心O 在AO1 上，设正四面体棱长
为a，由题意知4
3 πR3 = 4 3π，故R =
3. 所以AO = DO = R =
3，OO1 = h - R =
6
3 a -
3，DO1=
3
3 a
所以在Rt△OO1D 中，OD2= OO2
1 + O1D2，解得a = 2 2. 所以V =
2
12 a3= 8
3 .
解法二：在Rt△AED 中应用射影定理. 如图，O1 为底面△BCD 的中心，在正四面体A -
BCD 中，大圆圆心O 在AO1 上，AE 为球的大圆直径. 由题意知4
3 πR3 = 4 3 π，故R =
3 .
因为AE 为球的直径，故AE ⊥O1D，AD ⊥DE，设AD = a，则O1D = 2
3 ×
3
2 a =
3
3 a，故
AO1 =
6
3 a，O1E = 2R - AO1 = 2 3 -
6
3 a 由射影定理知，O1D2 = AO1 ⋅O1E，解得a =
2 2. 故V =
2
12 a3= 8
3 .
解法三：将正四面体A - BCD 置于正方体中，正四面体的外接球即为正方体的外接球，
正方体的体对角线为球的直径. 由V球= 4 3π 得R =
3，所以体对角线长为2 3，因此正方
体边长为2，所以正方体的面对角线即正四面体的棱长，为2 2，所以V =
2
12 a3= 3
8 .
结论六、表面积和体积最值问题
1. 求棱长或高为定值的几何体的体积或表面积的最值.
·250·
2. 求表面积一定的空间几何体的体积最大值和求体积一定的空间几何体的表面积的最
小值.
3. 组合体中的最值问题一般思路：
(1) 根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平
面图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；
(2) 利用基本不等式或建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数或者导数方
法解决.
251
已知正四棱锥P - ABCD 内接于一个半径为R 的球，则正四棱锥P - ABCD 体
积的最大值是
(
)
A. 16R3
81
B. 32R3
81
C. 64R3
81
D. R3
【答案】C
【解析】如右图，记O 为正四棱雉P - ABCD 外接球心，O1 为底面ABCD 的中心，则P，
O，O1 三点共线，连结PO1，OA，O1A. 设OO1 = x，则O1A =
R2-x2，AB =
2 ⋅
R2-x2，
PO 1 = R + x，所以正四棱锥P - ABCD 的体积1
3 × (2R - 2x) (R + x) (R + x) ≤
1
3
(2R-2x)+(R+x)+(R+x)
3




3
= 64R3
81 ，当且仅当2R - 2x = R + x，即x = R
3 时，等号成
立. 故选C.
251
如图所示，A1A 是圆柱的母线，AB 是圆柱底面圆的直径，C 是底面圆周上异于
A，B 的任意一点，AA1= AB = 2.
(1) 求证：BC ⊥平面A1AC；
(2) 求三棱锥A1- ABC 的体积的最大值.
·251·
【解析】(1) 证明因为C 是底面圆周上异于A，B 的一点，且AB 为底面圆的直径，所以
BC ⊥AC. 因为AA1 ⊥平面ABC，BC ⊂平面ABC，所以AA1 ⊥BC. 因为AA1 ∩AC = A，
AA1⊂平面A1AC，AC ⊂平面A1AC
，所以BC ⊥平面A1AC.
(2) 解法一：设AC = x，在Rt△ABC 中，BC =
AB2-AC2 =
4-x2 (0 < x < 2)，故
VAΓABC
VA1-ABC = 1
3 S△ABC × AA1 = 1
3 × 1
2 × AC × BC × AA1 = 1
3 x
4-x2 (0 < x < 2)，即
VA1-ABC = 1
3 x 4-x2 = 1
3
x2⋅4-x2


=
1
3 2
- x2-2


2+4 . 因为0 < x < 2，所以0 < x2 <
4. 所以当x2= 2，即x =
2 时，三棱雉A1- ABC 的体积取得最大值2
3 .
解法二：在Rt△ABC 中，AC2+ BC2= AB2= 4，VA7-ABC = 1
3 S△ABC × AA1= 1
3 × 1
2 ×
AC × BC × AA1= 1
3 × AC × BC ≤1
3 × AC2+BC2
2
= 1
3 × AB2
2
= 2
3 . 当且仅当AC = BC
时，等号成立，此时AC = BC =
2. 所以三棱雉A1- ABC 的体积的最大值为2
3 .
解法三：欲使VA1-ABC 最大，只需S△ABC 最大，只需C 到AB 的距离最大. 又C 到AB 的最
大距离为1，所以VA1-ABC 最大值为2
3 .
·252·
第41 讲
共线、共面与截面
通关一、公理1
(1) 自然语言：如果一条直线. 上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
(2) 图形语言：如图所示.
(3) 符号语言：A ∈l，B ∈l，且A ∈a，B ∈x ⇒l ⊂a
(4) 作用：①检验一个面是否是平面的依据；②判断直线是否在平面内的依据；③判断点
是否在平面内的依据.
通关二、公理2
(1) 自然语言：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
(2) 图形语言：如图所示.
(3) 符号语言：A，B，C 不共线⇒有且只有一个平面α，使得A ∈α，B ∈α，C ∈α.
(4) 作用：①确定一个平面的依据；②判断两个平面重合的依据；③证明点、线共面的依
据.
由公理2，结合初中所学的“两点确定一条直线”，易得以下推论：
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面.
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
要点诠释：
三点不一定能确定一个平面. 当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在
同一条直线上三点才能确定一个平面.
·253·
通关三、公理3
(1) 自然语言：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公
共直线.
(2) 图形语言：如图所示.
(3) 符号语言：P ∈α, 且P ∈β ⇒α ∩β = l, 且P ∈l.
(4) 作用：①判断两个平面是否相交的依据；②可以找到两个平面的交线；③可以判定点
在直线上.
要点诠释：
平面的三公理及其推论是解决立体几何问题的基础和依据, 可以解决点线共面问题、点
共线和线共点问题, 也是研究立体几何逻辑推理的基础, 是将空间几何问题转化为平面几何
问题的依据.
结论一、共点、共线问题
1. 如果两个相交平面有两个公共点, 那么过这两点的直线就是它们的交线；
2. 如果两个相交平面有三个公共点, 那么这三点共线；
3. 如果两个平面相交, 那么一个平面内的直线和另一个平面的交点必在两个平面的交线
上.
252
已知正方体ABCD - A1B1C1D1，E，F 分别为D1C1，B1C1 的中点,AC ∩BD = P，
A1C1∩EF = Q.
(1) 若A1C 交平面BDEF 于点R,
(2) 求证:BF,DE, 三点共线
·254·
【解析】(1) 正方体ABCD - A1B1C1D1 中，记平面A1ACC1 为α, 平面BDEF 为β. 因为
A1C1 ∩EF = Q, 所以Q ∈A1C1,Q ∈α，Q ∈EF，Q ∈β，所以Q 点是α 与β 的公共点. 同理,P
点也是α 与β 的公共点. 所以α ∩β = PQ. 又由A1C ∩β = R,A1C ⊂α 可知,R ∈A1C，R ∈α，
R ∈β，所以R ∈PQ, 即P，Q，R 三点共线.
(2) 因为C 1F∥1
2 BC 延长BF，CC1，则BF 与CC1 必相交, 设交点为H . 因为H ∈面
DBFEH ∈面DCC1D1, 所以点H 在面DBFE 与面DCC1D1 的交线上. 又平面DBFE ∩平面
DCC1D1= DE, 由公理3 可知H 在直线DE 上, 所以BF，DE，CC1，三线共点.
252
已知空间四边形ABCD 的对角线是AC,BD, 点E，F ，G,H,M ,N 分别是AB,
BC,CD,DA,AC,BD 的中点, 求证: 三线段EG,FH,MN 交于一点且被该点平分.
·255·
【解析】证明如图，连结EF，FG，GH，HE，因为E，F，G，H 分别为AB，BC，CD，DA
的中点，所以EF ⎳AC ⎳HG，EH ⎳BD ⎳FG，所以四边形EFGH 是平行四边形. 设EG ∩
FH = 0 ，则O 平分EG ，FH. 同理，四边形MFNH 是平行四边形. 设MN ∩FH = O' ，则O'
平分MN，FH. 因为点0，0' 都平分线段FH，所以О与0' 两点重合，所以MN 过EC 和FH 的
交点，即三线段EC ，FH ，MN 交于一点且被该点平分.
结论二、共面问题
1. 先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内;
2. 过有关的点、线分别作多个平面，再证明这些平面重合.
253
正方体ABCD - A1B1C1D1 中，E，F，G ，H ，K ，L 分别是DC ，DD1，A1D1 ，
A1 B1，BB1 ，BC 的中点，求证：这六点共面.
【解析】证明连结BD 和KF ，因为E，L 是CD，CB 的中点，所以EL ⎳BD. 又因为矩形
BDD1B1 中，KF ⎳BD，所以KF ⎳EL，所以KF ，EL 可确定平面α，从而E，F，K，L 在同
一个平面α 内，同理EH ⎳KL，故E，H ，K，L 共面于平面β. 又因为平面α 与平面β 都经过
不共线的三点E，K，L，故平面α 与平面β 重合，所以E，K，L，F ，H 共面于平面α. 同理可
证G ∈α，所以E，K，L，F，H，G 六点共面.
253
如图，a ∩b = A，a ∩c = B，a ∩d = F ，b ∩c = C，c ∩d = D ，b ∩d = E，求
证:a ，b，c ，d 共面.
·256·
【解析】证明因为A，B，C 三点不共线，所以A，B，C 三点确定一个平面，设为α. 又A ∈
α ，B ∈α ，所以a ⊂α.A ∈b，C ∈b，所以b ⊂α.B ∈c，C ∈c，所以c ⊂α ，所以a，b ，c 都在
α 内. 又D ∈c，E ∈b，所以D ∈α，E ∈α.
因为D ∈d，E ∈d ，所以d ⊂α，所以a，b，c，d 共面.
结论三、截面问题
画截面的重点是画出所要求的截面与已知立体图形的各个面的交线(前提是相交)，只需
分别找到截面与各面的两个公共点即可. 主要的依据有: 三个平面两两相交，那么它们的交线
交于一点或者两两平行; 两个平行平面与第三平面相交，则它们的交线平行.
254
(1) 如图( a) ，求作经过棱长为1 的正方体ABCD - A1B1C1D1 的棱AA1 和CC1 的
中点E，F 及点D1 的截面，并求该截面与正方体的下底面以及正方体侧面所围成的几何
体的体积.
(2) 如图(b)，求作经过棱长为1 的正方体ABCD -A1B1C1D1 的AB 和CC1 的中点E，F
及点D1的截面.
【解析】(1) 因为D1，E ∈平面A1ADD1，所以连结D1E 并延长，与DA 延长线交于点P，同
理连结D1F 并延长，与DC 延长线交于点Q，连结PQ，所以△D1PQ 为切割平面，过正方体的
顶点B(分析见下). 因为F，B ∈面BCC1B1，连结EB，FB，所以四边形D1EBF 就是所求的截
面.(分析: 其中点B 在PQ 所在直线上，可通过平面几何知识证明.) 在△PDD1 中，由于E 为
AA1 中点，EA ⎳DD，，所以A 为PD 中点，同理C 为DQ 中点，所以PA = AD = DC =
CQ，从而△PAB 与△BCQ 都是等腰直角三角形，所以LPBA +LABC + LCBQ =
·257·
180°，P，B，Q 共线. 由作截面的方法可知，截面过正方体的中心，将正方体平分为两部
分，且这两部分关于正方体的中心对称，因此所求的体积为正方体体积的一半，即1
2 .
(2) 因为D ，F ∈平面CC1D1D，所以连结D1F 并延长，交DC 延长线于点G，所以点G ∈
底面ABCD，又因为点E ∈底面ABCD，所以连结GE 交BC 于M，并延长与DA 延长线交于
点H，所以点H ∈侧面ADD1A1，所以连结D1H ，交AA1 于N ，△D1GH 所在平面为切割平
面. 又因为N ，E ∈平面A1ABB1，M ，F ∈平面BCC1B1，所以连结NE 与MF，则五边形
D1NEMF 即所求作的截面.
254
如图，正方体ABCD - A1B1C1D1 中，P，Q，R 分别为BC ，AB ，C1D1 的中点，
求作正方体的过P，Q，R 的截面.
【解析】因为P，Q ∈平面ABCD ，所以连结PQ 并延长，交DA 的延长线于N，交DC 的
延长线于M，又因为R，M ∈平面D1C1CD，所以连结RM 交C1C 于E，并延长MR 与DD1 延
长线交于点S，因为S，N ∈平面ADD1A1，所以连结SN 交A1A 于F，交A1D1 于G，所以
△SMN 所在平面为切割平面，并且与正方体棱的交点已确定. 又因为F，Q ∈平面A1ABB1，
P，E ∈平面BCC1B1，所以连结FQ 与PE，则六边形PQFGRE 即为所求作的截面.
·258·
第42 讲
空间平行关系
通关一、直线与平面平行的判定定理
自然语言: 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
简称: 线线平行，则线面平行. 图形语言: 如图所示.
符号语言:a ⊄α，b ⊂α, 且a ⎳b ⇒a ⎳α.
要点诠释:
在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误.
通关二、直线与平面平行的性质定理
自然语言: 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的平面与此平面的交线与该直线平
行.
简称: 线面平行，则线线平行.
图形语言: 如图所示.
符号语言:a ⎳α，a ⊂β，α ∩β = b ⇒a ⎳b.
要点诠释:
(1)a ⎳α 的判定定理和性质定理使用的区别: 如果结论中有a ⎳α，则要用判定定理，在α
内找与a 平行的直线; 若条件中有a ⎳α，则要用性质定理，找(或作) 过a 且与α 相交的平面.
(2) 当直线与平面平行时，直线上任一点到平面的距离叫作直线与平面的距离.
·259·
(3) 一条直线平行于一个平面，它可以与平面内的无数条直线平行，但这条直线与平面内
的任意一条直线可能平行，也可能异面.
平面和平面垂直的判定定理的两个条件l ⊂α，l ⊥β 缺一不可.
通关三、平面与平面平行的判定定理
自然语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
简称：线面平行，则面面平行.
图形语言：如图所示.
符号语言：
要点诠释:
1. 如果一个平面内的两条平行直线与另一个平面平行，则这两个平面相交或平行.
2. 要证面面平行需证线面平行，要证线面平行需证线线平行，因此“面面平行”问题最终
可转化为“线线平行”问题.
通关四、平面与平面平行的性质定理
自然语言: 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
简称: 面面平行，则线线平行. 图形语言: 如图所示.
符号语言:
.
·260·
要点诠释:
(1) 两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
(2) 夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等.
(3) 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(4) 两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.
(5) 如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.
(6) 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个
平面平行.
通关四、平面与平面垂直的性质定理
自然语言: 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
图形语言: 如图所示.
符号语言:α ⊥β，α ∩β = CD，AB ⊂α，AB ⊥CD ⇒AB ⊥β.
结论一、线线平行
思考途径:
1. 转化为判定共面二直线无交点;
2. 转化为二直线同与第三条直线平行;
3. 转化为线面平行;
4. 转化为线面垂直;
5. 转化为面面平行.
·261·
支持定理:
①
a⎳α
a⊂β
α∩β=b

⇒a ⎳b; ②a⊥α
b⊥α

⇒α ⎳b; ③
α⎳β
α∩γ=a
β∩γ=b

⇒α ⎳b; ④a⎳b
a⎳c

⇒c ⊥b
配图助记:
255
如图，四边形ABCD 是矩形，P ∉面ABCD，过BC 作平面BCEF 交AP 于F，交
DP 于E，求证: 四边形BCEF 是梯形.
【解析】证明因为四边形ABCD 是矩形，所以BC ⎳AD，又AD ⊂平面PAD，所以BC ⎳平
面PAD. 又因为BC ⊂平面BCFE，平面BCFE ∩平面PAD = EF，所以BC ⎳EF. 又因为
BC ⎳AD，所以EF ⎳AD ，显然EF ≠AD，又AD = BC，所以EF ≠BC，所以四边形BCEF
是梯形.
255
已知E，F，G，H 为空间四边形ABCD 的边AB，BC，CD ，DA 上的点.
(1) 若E，F，G，H 都分别是所在边的中点，求证: 四边形EFCH 为平行四边形;
(2) 若EH ⎳FG ，求证:EH ⎳BD.
【解析】证明(1) 因为E 是AB 的中点，H 是AD 的中点，所以EH ⎳BD 且EH = 1
2 BD，
同理有FC ⎳BD ，FG = 1
2 BD，所以EH ⎳FG 且EH = FG，故四边形EFGH 为平行四边
形.
（2）因为EH /|FG，EH ⊄面BCD ，FG ⊂面BCD，所以EH ⎳面BCD.
（3）又因为EH ⊂面ABD，面BCD ∩面ABD = BD，所以EH ⎳BD.
结论二、线面平行
思考途径:
·262·
1. 转化为直线与平面无公共点;
2. 转化为线线平行;
3. 转化为面面平行.
支持定理:
①
a⎳b
b⊂α
a⊄α

⇒a ⎳α; ②α⎳β
a⊂α

⇒α ⎳β; ③
α⊥β
a⊥β
a⊄α

⇒a ⎳α;
配图助记:
256
如图，四棱锥P - ABCD 中，四边形ABCD 是平行四边形，E，F 分别是AB，PD
的中点. 求证:AF ⎳平面PCE.
【解析】证法一(线线平行⇒线面平行) 取PC 的中点G，连结EG ，FG. 由F 为PD 中点，
知FG ⎳CD 且FG = 1
2 CD. 又由已知有AE//1
2 CD ，所以FG//AE. 所以四边形AEGF 是
平行四边形，所以AF ⎳EC. 又AF ⊄平面PCE，EG ⊂平面PCE，所以AF ⎳平面PCE.
证法二(面面平行⇒线面平行) 取DC 中点M ，连结FM ，AF ，AM . 因为四边形
ABCD 是矩形，E，M 分别是AB，CD 的中点，所以AM ⎳EC. 因为F ，M 分别是PD，CD
的中点，所以FM ⎳PC. 又FM ∩AM = M ，AM ⊂面AFM ，FM ⊂面AFM ，所以面
AFM ⎳面PCE. 因为AF ⊂平面AFM ，所以AF ⎳平面PCE.
256
如图，三棱柱ABC - A，BC 中，D 是BC 的中点. 求证:
A1C ⎳平面AB1D.
·263·
【解析】证法一(线线平行⇒线面平行) 连结A1B，记A1B ∩AB1 = E，连接DE. 因为
ABC - A1B1C1 是三棱柱，所以四边形A1ABB1 是平行四边形，所以E 是A1B 的中点. 又D 是
BC 的中点，所以DE ⎳A1C. 因为DE ⊂平面AB1D ，A1C ⊄平面AB1D，所以A1C ⎳平面
AB1D.
证法二(面面平行⇒线面平行) 取B1C1，中点M，连结A1M ，CM ，DM. 因为ABC 一
A1B1C1 是三棱柱，所以MC ⎳B1D. 因为M ，D 分别为B1C1，BC 的中点，所以MD ⎳A1A，
MD = A1A，所以四边形AA1MD 是平行四边形，有A1M ⎳AD. 又A1M ∩MC = M ，且
A1M ⊂面A1MC，且MC ⊂面A1MC，所以面A1MC ⎳面AB1D. 因为A1 ⊂面A1MC，所以
A1C ⎳平面AB1D.
结论三、面面平行
思考途径:
1. 转化为判定二平面无公共点;
2. 转化为线面平行;
3. 转化为线面垂直. 支持定理:
①
a⊂α，b⊂α
a∩b=O
a⎳β，b⎳β

⇒α ⎳β; ②a⊥α
a⊥β

⇒α ⎳β; ③α⎳β
γ⎳β

⇒α ⎳γ;
配图助记:
·264·
257
如图，正方体ABCD - A1B1C1D1 中，M ，N ，E，F 分别是A1B1，A1D1，B1C1，
C1D1的中点. 求证: 平面AMN ⎳平面EFDB.
【解析】证明连结MF，因为M，F 是A1B1，C1D1 的中点，四边形A1B1C1D1 为正方形，所以
MF //A 1D 1，又A1D1//AD ，所以MF //AD ，所以四边形AMFD 是平行四边形，所以
AM ⎳DF. 因为DF ⊂面EFDB，AM ⊄面EFDB，所以AM ⎳面EFDB. 同理由AN//BE，可
得AN ⎳面EFDB，又AM ，AN ⊂平面AMN ，AM ∩AN = A，所以平面AMN ⎳平面
EFDB.
257
已知长方体ABCD - A'B'C'D' 中，E，F 分别是AA'，CC' 的中点. 求证: 平面
BDF ⎳平面B'D'E.
【解析】证明因为BB' ⎳DD'，BB' = DD'，所以四边形BDD'B' 为平行四边形，故有
BD ⎳B'D'. 取BB' 的中点G，连结AG，FG. 因为AE ⎳B'G ，AE = B'G ，所以四边形
AEB'G 为平行四边形，故有AG/[B'E. 又因为GF ⎳BC ⎳AD ，GF = BC = AD ，所以四
边形ADFG 为平行四边形，故有AG ⎳DF ，所以B'E ⎳DF，又B'E ∩B'D' = B' ，DF ∩
BD = D ，所以平面BDF ⎳平面B'D'E.
·265·
第43 讲
空间垂直关系
通关一、直线与平面垂直的判定定理
(1) 自然语言: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂间
(2) 图形语言: 如图所示.
(3) 符号语言:a ⊂α,b ⊂α,a ∩b = P,l ⊥a,l ⊥b ⇒l ⊥α.
通关二、直线与平面垂直的性质定理
自然语言: 垂直于同一个平面的两条直线平行.
图形语言: 如图所示.
符号语言:a ⊥α,b ⊥α ⇒a ⎳b.
要点诠释:
(1) 直线与平面垂直的定义常常逆用，即a ⊥α,b ⊂α ⇒a ⊥b.oLB
(2) 若平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面.
(3) 垂直于同一条直线的两个平面平行.
(4) 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直.(5) 过一点有且只有一个平面与已知直线
垂直.
·266·
通关三、平面与平面垂直的判定定理
(1) 两个平面垂直的定义
如果两个相交平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直. 平面α 与
β 垂直，记作α ⊥β.
(2) 两个平面垂直的判定定理
自然语言: 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
图形语言: 如图所示.
符号语言:AB ⊥β，AB ⊂α ⇒α ⊥β.
要点诠释:
( 1) 两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况，正方体中任意相邻的两个面都是互
相垂直的;
(2) 由定理可知，要证明平面与平面垂直，可转化为从现有直线中寻找平面的垂线，即证
明线面垂直;
(3) 面面垂直的判定定理提供了找出垂直于一个平面的另一个平面的依据.
通关四、平面与平面垂直的性质定理
自然语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
图形语言：如图所示．
·267·
符号语言：α ⊥β,α ∩β = CD,AB ⊂α,AB ⊥CD ⇒AB ⊥β．
要点诠释：
(1) 两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况，正方体中任意相邻的两个面都是互
相垂直的；
(2) 由定理可知，要证明平面与平面垂直，可转化为从现有直线中寻找平面的垂线，即证
明线面垂直；
(3) 面面垂直的判定定理提供了找出垂直于一个平面的另一个平面的依据．
结论一、线线垂直
思考途径:
1. 转化为相交垂直;
2. 转化为线面垂直;
3. 转化为线与另一线的射影垂直;4. 转化为线与形成射影的斜线垂直. 支持定理:
①a⊥α
b⊂α

⇒a ⊥b; ②所成角为90°；③
PO⊥α
a⊂α
a⊥AO

⇒α ⊥PA(三垂线定理及其逆定理)
配图助记:
258
已知，ABCD 是正方形，SA 垂直于平面ABCD，过A 且垂直于SC 的平面分别交
SB，SC，SD 于点E，F，G，求证:AE ⊥SB，AG ⊥SD.
【解析】证明因为SA ⊥平面ABCD，BC ⊂平面ABCD，所以SA ⊥BC. 又因为ABCD 为
正方形，所以BC ⊥AB，所以BC ⊥平面ASB. 因为AE ⊂平面ASB，所以BC ⊥AE. 又因
·268·
为SC ⊥平面AEFG，所以SC ⊥AE，所以AE 上平面SBC. 又因为SB ⊂平面SBC，所以
AE ⊥SB，同理可证AG ⊥SD.
258
如图，四面体P - ABC 中，PA 上面ABC ，AB 上BC ，过A 作AE ⊥PB 交PB
于E，过A 作AF ⊥PC 交PC 于F. 求证:PC ⊥EF.
【解析】证明因为PA 上面ABC，且BC ⊂面ABC，所以BC ⊥PA，且BC ⊥AB，所以
BC ⊥面ABE，所以BC ⊥AE. 又PB ⊥AE，且BC ∩PB = B，所以AE ⊥面PBC，且PC
⊂面PBC，所以AE ⊥PC. 又AF ⊥PC，且AF ∩AE = A，所以PC ⊥面AEF ，且EF ⊂面
AEF，所以PC ⊥EF.
结论二、线面垂直
思考途径:
1. 转化为该直线与平面内任一直线垂直;
2. 转化为该直线与平面内相交二直线垂直;
3. 转化为该直线与平面的任意一条垂线平行;
4. 转化为该直线垂直于另一个平行平面;
5. 转化为该直线与平面的垂线平行. 支持定理.
支持定理：
①
a⊂α,b⊂α
a∩b=0
l⊥a,l⊥b

⇒l ⊥a; ②
α⊥β
α∩β=l
a⊂α,a⊥l

⇒α ⊥β; ③α⎳β
a⊥α

⇒α ⊥β; ④a⎳b
a⊥α

⇒b ⊥α
·269·
配图助记:
要点诠释：
平面和平面垂直的判定定理的两个条件：l ⊂α,l ⊥β，缺一不可．
259
如图，在正方体ABCD - A1B1C1D1，P 为DD1的中点，
O 为底面ABCD 的中心．求证B1O ⊥面PAC.
【解析】证法一
由于AC ⊥BD，且AC ⊥BB，所以AC ⊥面BDD1B1，
B1O ⊂BDD1B1，所以B1O ⊥AC 连结PB1，设AB = a，则
AB1= CB1= B1D1=
2a. 因为OB2
1 = OB2+ BB2
1 =
2
2 a


2+ a2= 3
2 a2,
PB2
1 = PD2
1 + B1D2
1 =
1
2 a


2 +
2a


2 = 9
4 a2，OP2 = PD2 + DO2 =
1
2 a


2 +
2
2 a


2 =
3
4 a2，
所以OB2
1 + OP2= PB2
1，所以B1O ⊥OP，PO ∩AC = O，所以B1O ⊥面PAC.
证法二由于AC ⊥BD，且AC ⊥BB1，所以AC ⊥面BDD1B1，且
B1O ⊂面BDD1B1，所以B1O ⊥AC. 取CD 中点Q，连结OC1,OQ1，则
OQ ⎳B1C1. 在正方形CC1D1D 中，由P，Q 分别为DD1,CD 的中
点，可知CP ⊥C1Q，又CP ⊥B1C1, 且C1Q ∩B1C1= C1，所以
CP ⊥面B1
1QO, 又B1O ⊂面B1
1QO，所以CP ⊥B1O, 所以B1O ⊥面PAC．
·270·
259
在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD，
M ，N 分别为PC，AB 的中点．若∠PDA = 45°，求证：MN ⊥面PCD
【解析】证法一
取PD 中点Q，连结AQ，MQ，则MQ = 1
2 CD,MQ ∥1
2 CD,
所以MQ ⊥NA，所以四边形ANMQ 是平行四边形．因为PA ⊥底面ABCD，
且CD ⊂面ABCD，所以CD ⊥PA．又由底面是矩形有CD ⊥AD，所以
CD ⊥面PAD．又AQ ⊂面PAD，所以AQ ⊥CD．又因为∠PDA = 45°，
所以△APD 是等腰直角三角形．因为Q 为PD 中点，所以PQ = QD，
所以AQ ⊥PD．又CD ∩PD = D，AQ ⊥面PCD．又MN ∥AQ，所以MN ⊥面PCD．
证法二先完全仿照证法一可证明CD ⊥面PAD. 取CD 中点R，
连接MR,PN,NC，则MR ⎳PD,NR ⎳AD，所以面MRN ⎳面PDA，
所以CD ⊥面MRN，所以MN ⊥CD．因为∠PDA = 45°，所以PA = AD，
又BC = AD，所以PA = BC，又AN = BN，且∠PAN = ∠CBN = 90°，
所以根据三角形全等可知PN = NC，又PM = MC，所以MN ⊥PC. 因为
CD ∩PC = C，所以MN ⊥面PCD
结论三、面面垂直
思考途径：
1．转化为判断二面角是直二面角；
2．转化为线面垂直．
支持定理：
①二面角的平面角为90°；②a⊂β
a⊥α

⇒α ⊥β；③a∥β
a⊥α

⇒α ⊥β
配图助记：
·271·
260
在四棱锥S - ABCD 中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD，
SA = AB，点M 是SD 的中点，AN ⊥SC，且交SC 于点N．
证明：平面SAC ⊥平面AMN．
【解析】证明因为SA ⊥底面ABCD，CDC 平面ABCD，所以SA ⊥CD．
又因为CD ⊥AD，SAC 平面SAD，ADC 平面SAD，SA ∩AD = A，
所以CD ⊥平面SAD．AMC 平面SAD，所以CD ⊥AM．又因为
SA = AD = AB，M 是SD 的中点，所以AM ⊥SD．SDC 平面SCD，CDC 平面SCD，
SD ∩CD = D，所以AM ⊥平面SCD．SCC 平面SCD，所以AM ⊥SC．又因为AN ⊥
SC，AM，ANC 平面AMNAM ∩AN = A，所以SC ⊥平面AMN．又因为SCC 平面SAC，
所以平面SAC ⊥面AMN．
260
如图，在直四棱柱ABCD - A1B1C1D1 中，DB = BC，DB ⊥AC，点M 是棱BB1，
上一点
(1) 求证：B1D1∥面A1BD；
(2) 求证：MD ⊥AC
(3) 试确点M 的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D．
【解析】1) 证明由直四棱柱，得BB1⎳DD1,BB1= DD1
所以BB1D1D 是平行四边形，所以B1D1∥BD 而BD ⊂平面A1BD,B1D1⊄平面A1BD，
所以B1D1∥面A1BD.
(2) 证明因为BB1 ⊥面ABCD，ACC 面ABCD，所以BB1 ⊥AC. 又因为BD ⊥AC，且
BD ∩BB1= B 所以AC ⊥面BB1D, 而MD ⊂面BB1D, 所以MD ⊥AC
(3) 当点M 为棱BB1 的中点时，平面DMC1 ⊥平面CC1D1D. 取DC 的中点N,D1C1 的中
点N1, 连结NN1 交DC 于O，连结OM．因为N 是DC 中点，BD = BC，所以BN ⊥DC．又
因为DC 是面ABCD 与面DC1D1 的交线，而面ABCD ⊥面DCC1D1, 所以BN ⊥面DC1D1.
又可证得O 是NN1 的中点，所以BM ⎳NO 且BM = NO，即BMON 是平行四边形，所以
BN ⎳OM，所以OM ⊥平面CC1D1D. 因为OMC 平面DMC1, 所以平面DMC1⊥CC1D1D.
·272·
第44 讲
空间角度关系
通关一、异面直线所成的角θ ∈(0°,90°]
如图，已知两异面直线a，b 经过空间任一点O，分别作直线a' ⎳a，b' ⎳b，相交直线a'，
b' 所成的锐角(或直角) 叫作异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．
通关二、直线与平面成的角θ ∈[0°，90°]
(1) 直线和平面斜交时，线面所成的角是这条直线和它在平面内的射影所成的锐角；
(2) 直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；
(3) 直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°.
通关三、二面角
(1) 二面角；从一条直线出发的两个半平面所组成的空间图形叫作二面角．
(2) 二面角的平面角：如图，在二面角α - l - β
的棱l 上任取一点P，以点P 为垂足，在半平面
α，β 内分别作垂直于棱l 的射线PA 和PB，则
射线PA 和PB 构成的∠APB 叫作二面角α - l - β 的平面角．
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是
多少度．我们约定，二面角的取值范围是[0°，180°]．平面角是直角的二面角叫作直二面角．
结论一、线线角
1．过其中一条直线上的已知点(往往是特殊点) 作另一条直线的平行线，使异面直线所
成的角转化为相交直线所成的角(空间问题转化为平面问题)．
2．当异面直线依附于某几何体，且直接平移异面直线有困难时，可利用该几何体的特殊
·273·
点，将两条异面直线分别平移相交于该点．
3．通过构造辅助平面、辅助几何体来平移直线．但应注意，若求得的角为钝角，则两异
面直线所成的角应为其补角．
261
如图，在正方体ABCD - A1B1C1D1
(1) 求AC 与BC1所成的角
(2)M ，N 分别是A1B1,BB1的中点，求异面直线AM 和CN 所成角的余弦值．
【解析】(1) 连结A1C1,A1C1 ⎳AC, 所以A1C1BC1 所成锐角或直角就是异面直线AC 与
BC1 所成的角．连结A1B,A1C1 = BC1 = A1B 知△A1BC1 是等边三角形，得∠A1C1B = 60°，故
异面直线AC 与BC，成60° 角．
在平面ABB1A1内作EN ⎳AM 交AB 于E，则EN 与CN 所成的锐角
或直角即为AM 与CN 所成的角，E 为AB 的四等分点(分析：由于M
为A1B1的中点，因此若取AB 中点为G，有AM ⎳B1G, 因此EN ⎳B1F，
又N 是BB1的中点，所以E 为BF 中点，为AB 的四等分点)．设正方体
的棱长为a，在△CNE 中，CN =
5
2 a,NE =
5
4 a,CE =
17
4
a, 由余弦定理
得cos∠CNE = EN 2+CN 2-CE 2
2EN⋅CN
= 2
5 即异面直线AM 和CN 所成角的余弦值为2
5 .
261
如图，在直三棱柱ABC - A1B1C1中，∠ABC = 90°，点D，F
分别是A1C1,B1C1的中点，若AB = BC = CC1求AD 与CF 成角的余弦值．
·274·
【解析】解法一(构造辅助平面) 连结DF，由题意知DF ∥A1B1，DF = 1
2 A1B1
取AB 的中点N，连结FN，CN, 则FN 平行且等于AD，所以FN 与CF 所成
的锐角或直角就是异面直线AD 与CF 所成的角．设BC = a，在△CFN 中CF =
5
2 a,
CN =
5
2 a,FN = AD =
6
2 a，由余弦定理得cos∠CFN = CF 2+FN 2-CN 2
2CF⋅FN
=
30
10
即AD
与CF 所成角的余弦值为
30
10
解法二(将线段平移到几何体之外) 过C 作CM ⎳AD 交A1C1的延长线于M，
则四边形ACMD 为平行四边形，所以CM = AD,C1M = A1D = A1C1
2
,∠FC1M = 135°,
CM 与CF 所成的锐角或直角为异面直线AD 与CF 所成角．设BC = CC1= a
则FC1= a
2 ,C1M =
2
2 a,△C1MF 中，∠FC1M = 135°,
由余弦定理得：FM = FC2
1 + C1M 2- 2FC1⋅C1M ⋅cos∠FC1M =
5
2 a．
即AD 与CF 所成角的余弦值为
30
10 .
结论二、线面角
1．作：即在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，在这一步上确定垂足的位置是关键；
2．证：即证明所找到的角为直线与平面所成的角，其证明的主要依据是直线与平面所成
角的概念；
3．求：一般来说是借助解三角形的知识求角．
·275·
262
如图，在棱长为1 的正方体ABCD - A1B1C1D1
(1) 求BC1与平面ACC1A1所成的角
(2) 求A1B1与平面A1C1B 所成的角的余弦值
【解析】
(1) 连结BD 与AC 交于O，因为CC1⊥底面ABCD
且底面为正方形，所以BD ⊥CC1,BD ⊥AC，又AC ∩CC1= C，
所以BD ⊥平面ACC1A1, 所以斜线BC1在平面ACC1A1内的射影C1O，
所以∠BC1O 为BC1与平面ACC1A1所成的角．
在Rt△OBC1,sin∠OC1B = OB
BC = 1
2 , 所以∠BC10 = 30°.
(2) 解法一△A1BC1是正三角形，且A1B1= B1C1= BB1，所以棱锥B1 - A1BC1 是正三棱维，
则B1在底面的射影为底面的中. 过B1作B1H ⊥面A1BC1, 垂足为H，
连结A1H,∠B1A1H 是A1B1与平面A1C1B 成的角．
因为A1B1= 1,A1B =
2，得A1H =
3
2 A1B × 2
3 =
6
3 ，
故cos∠B1AhH = A1H
A1B1 =
6
3 .
解法二连结B1C 与BC1交于点E．因为A1B1⊥BC1且B1C ⊥BC1,
所以BC1⊥面A1B1E1又BC¬C 面A1C1B, 所以面A1C1B ⊥A1B1E,
且面A1C1B ∩A1B1E = A1E，所以过B1 作B1H ⊥A1E，交A1E 于点H，则由面面垂直性质
定理可知B1H ⊥面A1C1B2, 所以∠B1A1H 是A1B1 与平面A1C1B 所成的角．因为A1B1 = 1，
所以A1B =
2, 得A1H =
6
3 ，故cos∠B1A1H = A1H
A1B1 =
6
3 ．
262
如图，正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为1，B1C ∩BC1= O.
(1) 求AO 与A1C1所成角；
(2) 求AO 与平面ABCD 所成角的正切值．
·276·
【解析】(1) 因为A1C1⎳AC, 所以AO 与A1C1所成角就是∠OAC．
因为AB ⊥平面B1BCC1, 从而有OC ⊥AB，又因为OC ⊥OB，所以
OC ⊥面AOB，所以OC ⊥OA．在Rt△AOC 中，OC =
2
2 ,AC =
2, 所以∠OAC =
30°
(2) 作OE ⊥BC，平面B1BCC1 ⊥平面ABCD，所OE ⊥平面ABCD，∠OAE 为OA 与
平面ABCD 所成角．在Rt△OAE 中，OE = 1
2 ，AE =
1+
1
2


2 =
5
2 ，所以tan∠OAE =
OE
AE =
5
5 ．
结论三、二面角
1．垂面法：由二面角的平面角的定义知，只需作与棱垂直的平面，则该平面与两个半平
面的交线构成的角即二面角的平面角．
2．平移法：先分别在两个半平面内找一条垂直于棱的射线，然后平移到一起，两射线的
夹角即二面角的平面角．
263
如图，正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为1,P 是AB 的中点．
(1) 求二面角A1- BC - A 的大小；
(2) 求二面角B - A1C - P 的大小．
【解析】(1) 因为BC ⊥面ABB1A1，所以A1B ⊥BC,AB ⊥BC，
所以∠A1BA 即为二面角A1- BC - A 的平面角，所以此二面角
的大小为45°．
(2) 过点P 作PF ⊥A1B 交A1B 于F．因为BC ⊥面A1ABB1 且PFC 面A1ABB1, 所以
PF ⊥BC，又PF ⊥A1B, 所以PF ⊥面A1BC. 过点F 作FE ⊥A1C，A1C 于E，连结PE，则
∠PEF 为二面角B - A1C - P 的平面角．因为正方体ABCD - A1B1C1D1 的棱长为1，所以
·277·
BP = 1
2 ,A1P =
5
2 ,A1C =
3 . 因为A1P = PC, 所以在等腰△PA1C 中，由PE ⊥A1C 可得
A1E = EC =
3
2 . 所以在Rt△A1PE 中，PE =
5
2


2-
3
2


2 =
2
2 . 因为∠FBP = 45°，
所以在等腰Rt△BPF 中PF =
2
2 BP =
2
4 . 所以在Rt△PFE 中sin∠PEF = PF
PE = 1
2 ，所
以二面角BB - A1C - P 的大小为30°
263
长方体ABCD - A1B1C1D1，AC1= a，AC1与平面ABCD 成30° 角，
与平面B1BCC1成45° 角，求二面角B - AC1- C 的正弦值或余弦值的大小
【解析】解法一作BF ⊥AC 与AC 交于点F3因为CC1⊥底面ABCD，
且BF ⊂底面ABCD，所以CC1 ⊥BF，又AC ⊥BF，且CC1 ∩AC = C 所以BF ⊥面
ACC1. 作BE ⊥AC1 交AC1 于E，连结EF，则∠FEB 为二面角B - AC1 - C 的平面角，且
sin∠FEB = BF
BE ．因为AC1 与平面ABCD 成30° 角，则∠C1AC = 30°,AC1 与平面B1BCC1
成45° 角，则∠C1AB = 90° -45° = 45°．
又因为AC1 = a，所以CC1 = a
2 ,AC =
3
2 a,AB = BC1 =
2
2 a．Rt△BCC1BC = 1
2 a．
在Rt△ABC 中BF = AB⋅BC
AC
=
6
6 a．在Rt△ABE 中，BE = AE =
2
2 AB = 1
2 a．所以
sin∠FEB = BF
BE =
6
3 ．
解法二作BF ⊥AC 交AC 于点F，因为CC1 ⊥底面ABCD，且BF ⊂底面ABCD，所以
CC1 ⊥BF，又AC ⊥BF，且CC1 ∩AC = C 所以BF ⊥面ACC1, 所以面ABC1 在平面AC1C
上的射影为△AFC1．S△ABC1= 1
2 AB ⋅BC1= 1
2 ⋅
2
2 a ⋅
2
2 a = 1
4 a2，S△AFC1= 1
2 ⋅AF ⋅C1C．
根据直角三角形的射影定理AF = AB2
AC =
2
2 a


2
3
2 a
=
3
3 a，
所以S△AFC1= 1
2 ⋅AF ⋅CC1=
3
12 a2，
所以cosθ = S△AFC1
S△ABC1
=
3
3 , 所以所求二面角的余弦值为
3
3 .
·278·
第45 讲
空间向量与立体几何
通关一、空间坐标系
在空间直角坐标系中, 让右手拇指指向x 轴的正方向, 食指指向y 轴的正方向, 如果中指
指向z 轴的正方向, 则称这个坐标系为右手直角坐标系.
通关二、平面法向量的求法
(1) 设平面的法向量为n= (x,y,z);
(2) 找出(求出) 平面内的两个不共线的向量的坐标a= a1,b1,c1


，b= a2,b2,c2


;
(3) 根据法向量的定义建立关于x,y,z 的方程组n⋅a=0
n⋅b=0

;
(4) 解方程组, 取其中的一组解, 即得法向量.
要点诠释：
求平面的法向量时, 建立的方程组有无数组解, 利用赋值法, 只要给x，y，z 中的一个变
量赋一特殊值(常赋值1, -1) 即可确定一个法向量, 赋值不同, 所求法向量不同, 但n= (0,0,
0) 不能作为法向量.
通关三、用向量法求空间角
1. 求异面直线所成的角
(1) 选好基底或建立空间直角坐标系;
(2) 求出两直线的方向向量v1
，v2
；
(3) 代入公式cos v1
,v2





= v1
⋅v2



v1



v2



.
两异面直线所成角的范围是θ ∈0, π
2


, 两向量的夹角的范围是[0,π], 当异面直线的方
·279·
向向量的夹角为锐角或直角时, 就是该异面直线的夹角; 当异面直线的方向向量的夹角为直
角时, 其补角才是异面直线的夹角.
2. 求线面角
(1) 分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量, 转化为求两个方向向量的夹
角(或其补角);
(2) 通过平面的法向量来求, 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角, 取其余
角就是斜线和平面所成的角.
3. 求二面角
(1) 分别求出二面角的两个面所在平面的法向量, 然后通过两个平面的法向量的夹角得
到二面角的大小, 但要注意结合实际图形判断所求角的大小.
(2) 分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量, 则这两个向
量的夹角的大小就是二面角的大小.
结论一、空间向量的基本定理
如果三个向量a，b，c不共面, 那么对空间任一向量p, 存在唯一一个有序实数组x，y，z
使p= xa+ yb+ zc其中a，b，c叫作空间的一个基底, 记作{a,b,c}.
264
如图所示, 在平行六面体ABCD - A1B1C1D1 中,P 是CA1 的中点,M 是CD1 的中
点,N 是C1D1 的中点, 点Q 在CA1 上, 且CQ:QA1 = 4:1, 设AB

= a,AD

= b，AC

= c用
基底{a,b,c} 表示以下向量:
(1)AP

；(2)AM

；(3)AN

；(4)AQ

.
【答案】(1) 1
2 (a+ b+ c)；(2) 1
2 a+ b+ 1
2 c；(3) 1
2 a+ b+ c；(4) 1
5 a+ 1
5 b+ 4
5 c.
【解析】连接AC，AD1，
(1) AP

= 1
2 AC

+AA1



= 1
2 AB

+AD

+AA1



= 1
2 (a+ b+ c);
(2) AM

= 1
2 AC

+AD1



= 1
2 AB

+2AD

+AA1



= 1
2 (a+ 2b+ c) = 1
2 a+ b+ 1
2 c;
(3)AN

= 1
2 AC1

+AD1



= 1
2
AB

+AD

+AA1



+ AD

+AA1





= 1
2 AB

+2AD

+2AA1



= 1
2 (a+ 2b+ 2c) = 1
2 a+ b+ c;
(4) AQ

= AC

+ CQ

= AC

+ 4
5 AA1

-AC



= 1
5 AC

+ 4
5 AA1

= 1
5 AB

+ 1
5 AD

+ 4
5 AA1

= 1
5 a+ 1
5 b+ 4
5 c
·280·
264
设点O 为空间任意一点, 点A，B，C 是空间不共线的三点, 又点P 满足等式:OP

= xOA

+ yOB

+ zOC

, 其中x,y，z ∈R，求证: P，A，B，C 四点共面的充要条件是x + y + z
= 1.
【解析】需要分两方面来证：充分性即证：若x + y + z = 1, 则P，A，B，C 四点共面; 必要
性即证: 若P，A，B，C 四点共面, 则有x + y + z = 1.
先证充分性: 因为x + y + z = 1, 所以z = 1 - x - y, 所以OP

= xOA

+ yOB

+ (1 - x -
y)OC

= x(OA

- OC

) + y(OB

- OC

) + OC

= xCA

+ yCB

+ OC

, 即CP

= xCA

+ yCB

. 由共
面向量定
理知P，A，B，C 四点共面.
再证必要性: 设x + y + z = k, 由条件OP

= xOA

+ yOB

+ zOC

得OP

= xOA

+ yOB

+ (k - x - y)OC

= x(OA

- OC

) + y(OB

- OC

) + kOC

= x(OA

- OC

) + y(OB

- OC

) + OC

+ (k - 1)OC

，
所以OP

- OC

= x(OA

- OC

) + y(OB

- OC

) + (k - 1)OC

, 即CP

= xCA

+ yCB

+ (k
- 1)OC

因为P，A，B，C 四点共面, 而点O 为空间任意一点, 所以只能k = 1, 即x + y + z = 1.
综上, 命题成立.
结论二、空间向量的坐标运算
设a= a1,a2,a3


,b= b1,b2,b3


，则
(1) a+ b= a1+b1,a2+b2,a3+a3


,a- b= a1-b1,a2-b2,c3-c3


；
λa= λa1,λa2,λa3


(λ ∈R);a⋅b= a1b1+ a2b2+ a3b3，
(2) a⎳b⇔a= λb(b≠0) ⇔a1= λb1，a2= λb2，a3= λb3(λ ∈R),
a⊥b⇔a⋅b= 0 ⇔a1b1+ a2b2+ a3b3= 0，|a| =
a⋅a=
a2
1+a2
2+a3
3;
(3) cos‹a,b› = a⋅b
|a||b|
=
a1b1+a2b2+a3b3
a2
1+a2
2+a3
3⋅
b2
1+b2
2+b3
3
.
·281·
265
已知a= (5, -2,0)，b= (-1,3, -2)，c= (0,1,2).
(1) 求(a+ b) ⋅(b- 2c)，a+2b+2c


;
(2) 问当实数λ 的值为多少时,b+ λc的模最小;
(3) 问是否存在实数λ, 使得向量a垂直于向量b+ λc;
(4) 问是否存在实数λ, 使得向量a平行于向量b+ λc.
【答案】(1)9，3 5；(2) - 1
5 ；(3)λ =- 11
2 时；(4)λ = 1 时.
【解析】(1) (a+ b) ⋅(b- 2c) = (4,1, -2) ⋅(-1,1, -6) =-4 + 1 + 12 = 9；
a+ 2b+ 2c= (3,6,0)，a+2b+2c


=
(3,6,0)⋅(3,6,0) =
9+36 = 3 5，
(2)b+ λc= (-1,3 + λ, -2 + 2λ)，|b+ λc| =
1+(λ+3)2+(2λ-2)2
=
5λ2-2λ+14 =
5 λ+ 1
5


2+ 69
5 , 所以当λ =- 1
5 时,b+ λc的模最小.
(3)a⋅(b+ λc) = (5, -2,0) ⋅(-1,3 + λ, -2 + 2λ) =-11 - 2λ, 故当λ =- 11
2 时, 有a垂直于
向量b+ λc.
(4) 若存在实数λ, 使得向量a平行于向量b+ λc, 则存在实数k, 使得b+ λc= ka, 即
(-1,3 + λ, -2 + 2λ) = (5k, -2k,0), 故-2 + 2λ = 0 ⇒λ = 1, 从而有(-1,4,0) =
(5k, -2k,0) ⇒5k=-1
-2k=4

, 无解, 故不存在实数λ, 使得向量a平行于向量b+ λc.
265
已知A(2,2,1),B(-1,2,4),C(-2,4,3),D(-1,4,2).
(1) 求线段AC,BD 的长;
(2) 求证: 这四点A,B,C,D 共面;
(3) 求证:AB ⎳CD,AC ⊥BD;
(4) 求向量AC

与AB

所成的角.
【答案】(1)2 6,2 2; (2) 见证明过程；(3) 见证明过程；(4)30°.
【解析】(1) AC

= (-4,2,2)，BD

= (0,2, -2)，|AC

| =
AC

⋅AC

=
(-4)2+22+22 =
2 6，
|BD| =
BD

⋅BD

=
22+22 = 2 2；
(2) 证明：AB

= (-3,0,3)，AC

= (-4,2,2)，AD

= (-3,2,1). 要证这四点共面, 只需证
AC

可写成向量AB

,AD

的线性组合.
假设存在实数m,n, 使AC

= mAB

+ nAD

, 即(-4,2,2) = m(-3,0,3) + n(-3,2,1),
则
-3m-3n=-4
2n=2
3m+n=2

, 解得m = 1
3 ,n = 1, 故AC

= 1
3 AB

+ AD

, 从而向量AB

,AC

,AD

共
面, 故
这四点A,B,C,D 共面.
(3) 证明AB

= (-3,0,3),CD

= (1,0, -1),AC

= (-4,2,2),BD

= (0,2, -2),AB

=-3CD

,
AC

⋅BD

= (-4,2,2) ⋅(0,2, -2) = 0, 故AB ⎳CD,AC ⊥BD.
(4)AC

= (-4,2,2),AB

= (-3,0,3),cos‹AC

,AB

› =
AC

⋅AB

|AC

|⋅|AB

|
= (-4,2,2)⋅(-3,0,3)
2 6×3 2
=
·282·
3
2 ,
故向量AC


与AB

所成的角为30°.
结论三、平行的判定和性质
设直线l1，l2的方向向量分别为v1
, v2
, 平面α，β 的法向量分别为n1
,n2
.
1. 线线的平行关系: l1⎳l2 (或l1与l2重合) ⇒v1
⎳v2
;
2. 线面的平行关系: l1⎳α 或l1⊂α ⇒存在实数x, y，使v1
= xm+ yn⇔v1
⋅n1
= 0
(其中m，n为平面α 内的两个不共线的向量)；
3. 面面的平行关系: α ⎳β(α，β 重合) ⇔n1
⎳n2
.
266
如图, 四棱锥P - ABCD 中,PA ⊥底面ABCD，PC ⊥AD, 底面ABCD 为梯形,
AB ⎳DC,AB ⊥BC，PA = AB = BC，点E 在棱PB 上, 且PE = 2EB. 求证:PD ⎳平面
EAC.
【解析】证法一以A 为原点,AB，AP 所在直线分别为y 轴、z 轴, 建立如图所示的空间直角
坐标系.
设PA = AB = BC = a, 则A(0,0,0)，B(0,a,0)，C(a,a,0)，P(0,0,a)，E 0, 2a
3 , a
3


. 设
D(a,y,0), 则PC

= (a,a, -a),AD


= (a,y,0)，因为PC ⊥AD, 所以PC

⋅AD


= a2+ ay = 0,
解得y =-a, 则有D(a, -a,0), PD

= (a, -a, -a)，EA

= 0,- 2a
3 ,- a
3


，EC

=
a, a
3 ,- a
3


，
因为PD

= 2EA

+ EC

，PD ⊄平面EAC, 所以PD ⎳平面EAC.
(或者求出平面EAC 的法向量n= (1, -1,2) 得出PD

与n垂直也可证明结论)
·283·
证法二因为AB = BC ,AB ⊥BC ，所以△ABC 是等腰直角三角形. 因为PA ⊥平面
ABCD, 所以PA ⊥AD, 又AD ⊥PC, 所以AD ⊥平面PAC, 所以AD ⊥AC. 又AB ⎳DC,
所以△DAC 也是等腰直角三角形, 所以DC =
2 AC = 2AB. 连接BD, 交AC 于点M , 则
DM
MB = DC
AB = 2. 在△BPD 中, PE
EB = DM
MB = 2, 所以PD ⎳EM. 又PD ⊄平面EAC，EM ⊂
平面EAC, 所以PD ⎳平面EAC.
266
如图, 正方形ABCD 所在平面与平面四边形ABEF 所在平面互相垂直,△ABE
是等腰直角三角形, AB = AE，FA = FE，∠AEF = 45°.
(1) 求证:EF ⊥平面BCE；
(2) 设线段CD 的中点为P，在直线AE 上是否存在一点M, 使得PM ⎳平面BCE? 若存
在, 请指出点M 的位置, 并证明你的结论；若不存在, 请说明理由.
【答案】(1) 见证明过程；(2) 存在点M, 当M 为AE 中点时,PM ⎳平面BCE.
【解析】(1) 证明因为△ABE 为等腰直角三角形,AB = AE, 所以AE ⊥AB. 又因为平面
ABEF ⊥平面ABCD，AE ⊂平面ABEF, 平面ABEF ∩平面ABCD = AB, 所以AE ⊥平
面ABCD. 所以AE ⊥AD. 因此,AD，AB，AE 两两垂直. 以A 为坐标原点, 建立如图所示的
空间直角坐标系A - xyz. 设AB = 1,
则AE = 1，B(0,1,0)，D(1,0,0)，E(0,0,1)，C(1,1,0). 因为FA = FE,∠AEF = 45°，所以
∠AFE = 90°. 从而,F 0,- 1
2 , 1
2


. 所以EF

= 0,- 1
2 ,- 1
2


，BE

= (0, -1,1)，BC

= (1,0,0),
EF

⋅BE

= 0 + 1
2 - 1
2 = 0，EF

⋅BC

= 0，所以EF ⊥BE，EF ⊥BC. 因为BE ⊂平面
BCE，BC ⊂平面BCE,BC ∩BE = B，所以EF ⊥平面BCE.
(2) 存在点M, 当M 为AE 中点时,PM ⎳平面BCE. 设M(0,0,m)，P 1, 1
2 ,0


. 从而PM


= -1,- 1
2 ,m


, 由PM


⋅EF

= -1,- 1
2 ,m


⋅0,- 1
2 ,- 1
2


= 0 得m = 1
2 , 即M 为AE 中点
时,PM ⊥FE, 又EF ⊥平面BCE, 直线PM 不在平面BCE 内, 故PM ⎳平面BCE.
·284·
结论四、垂直的判定和性质
设直线l1，l2的方向向量分别为v1
, v2
，平面α，β 的法向量分别为n1
，n2
.
1. 线线垂直:l1⊥l2⇔v1
⊥v2
⇔v1
⋅v2
= 0;
2. 线面垂直: l1⊥α ⇔v1
⎳n1
;
3. 面面垂直: α ⊥β ⇔n1
⊥n2
⇔n1
⋅n2
= 0.
267
如图, 四棱锥P - ABCD 的底面是正方形,PA ⊥底面ABCD，PA = 2,∠PDA =
45°，点E，F 分别为棱AB，PD 的中点.
(1) 求证:AF ⎳平面PCE；
(2) 求证: 平面PCE ⊥平面PCD.
【解析】证明以A 为坐标原点, 建立如图所示的空间直角坐标系A - xyz.
(1)P(0,0,2),D(0,2,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，则F 0,1,1


,E(1,0,0), 于是AF

= (0,1,1),EP

= (-1,0,2)，EC

= (1,2,0). 因为AF

= 1
2 (EP

+ EC

), 所以AF

与EP

，EC

共面. 又AF ⊄面
ECP，所以AF ⎳平面PCE.
(2) 因为PD

= (0,2, -2), 所以AF

⋅PD

= 0, 即AF

⊥PD

. 又DC


= (2,0,0), 所以AF

⋅
DC


= 0,
即AF

⊥DC


. 于是AF ⊥面PCD, 由(1)AF ⎳平面PCE, 则面PCE ⊥面PCD.
·285·
267
如图, 已知长方体ABCD - A1B1C1D1 中,AB = 2,BC = 1,AA1 = 2. 棱DD1 上是否
存在点P, 使平面APC1⊥平面ACC1? 证明你的结论.
【答案】存在点P 0,0, 2
5


, 使面APC1⊥面ACC1，见证明过程.
【解析】如图建立空间直角坐标系, 则A(1,0,0),B(1,2,0)，C(0,2,0),C1(0,2,2)，假设P 点
存在, 且DP = a, 平面APC1⊥平面ACC1，P(0,0,a).
证法一在平面ACC1 中作CH ⊥AC1, 垂足为H. 因为A，H，C1 三点共线, 所以CH


=
λCA

+ (1 - λ)CC1


= λ(1, -2,0) + (1 - λ) (0,0,2) = (λ, -2λ,2 - 2λ). 因为CH ⊥AC1, 所以CH


⋅AC1


= (λ, -2λ,2 - 2λ) ⋅(-1,2,2) = 0, 所以λ = 4
9 , 所以CH


=
4
9 ,- 8
9 , 10
9


. 因为面APC1
⊥面ACC1, 所以CH ⊥面APC1, 所以CH ⊥AP, 所以CH


⋅AP

=
4
9 ,- 8
9 , 10
9


⋅(-1,0,a)
= 0, 所以a = 2
5 . 所以存在点P 0,0, 2
5


, 使面APC1⊥面ACC1.
证法二CC1


= (0,0,2),AC1


= (-1,2,2),AP

= (-1,0,a), 设平面ACC1 的法向量为m=
(r,s,t),
平面APC 1 的法向量为n= ( x , y , z ) , 则
m⋅CC1


=2t=0
m⋅AC1


=-r+2s+2t=0

,
n⋅AP

=-x+az=0
n⋅AC1


=-x+2y+2z=0

,
即可取m= (2,1,0),n= a, a-2
2
,1


, 所以平面ACC1 ⊥平面APC1 ⇔m⊥n⇔m⋅n=
0,
即2a + a-2
2
= 0, 解得a = 2
5 . 所以存在点P 0,0, 2
5


, 使平面APC1⊥平面ACC1.
结论五、点到面的距离
求定点A 到平面α 的距离, 可设平面α 的法向量为n, 面α 内一点B, 则点A 到平面α 的
·286·
距离d = |AB

⋅n|
|n|
.
268
如图, 在四棱锥O - ABCD 中, 底面ABCD 是边长为1 的菱形,∠ABC = π
4 ，OA
⊥底面ABCD，OA = 2，M 为OA 的中点,N 为BC 的中点.
(1) 证明: 直线MN ⎳平面OCD；
(2) 求异面直线AB 与MD 所成角的大小；
(3) 求点B 到平面OCD 的距离.
【答案】(1) 见证明过程；(2) π
3 ;(3) 2
3 .
【解析】(1) 作AP ⊥CD 于点P, 如图所示, 分别以AB，AP，AO 所在直线为x，y，z 轴建
立空间直角坐标系.A(0,0,0),B(1,0,0)，D -
2
2 ,
2
2 ,0


，O(0,0,2)，M(0,0,1)，P 0,
2
2 ,0


,
C 1-
2
2 ,
2
2 ,0


，N 1-
2
4 ,
2
4 ,0


.
(1) 证明MN


= 1-
2
4 ,
2
4 ,-1


,OP

= 0,
2
2 ,-2


,OD


= -
2
2 ,
2
2 ,-2


. 设平面
OCD 的法向量为n= (x,y,z), 则n⋅OP

= 0,n⋅OD


= 0. 即
2
2 y-2z=0
-
2
2 x+
2
2 y-2z=0





, 取z =
2, 解得n= (0,4, 2).
因为MN


⋅n= 1-
2
4 ,
2
4 ,-1


⋅(0,4, 2) = 0, 所以MN ⎳平面OCD.
(2) 设AB 与MD 所成的角为θ, 因为AB

= (1,0,0),MD


= -
2
2 ,
2
2 ,-1


, 所以cosθ =
|AB

⋅MD


|
|AB

|⋅|MD


|
= 1
2 .
又因为θ ∈0, π
2


, 所以θ = π
3 , 即AB 与MD 所成角的大小为π
3 .
(3) 设点B 到平面OCD 的距离为d,d 为OB

在平面OCD 的法向量n= (0,4, 2) 上的投
影的绝对值.
由OB

= (1,0, -2), 得d = |OB

⋅n|
|n|
= 2
3 , 所以点B 到平面OCD 的距离为2
3
268
如图, 直三棱柱ABC - A1B1C1 中, 底面是等腰直角三角形,∠ACB = 90°, 侧棱
AA1= 2,D,E 分别是CC1与A1B 的中点, 点E 在平面ABD 内的射影是△ABD 的重心G.
(1) 求A1B 与平面ABD 所成角的余弦值；
·287·
(2) 求点A1到平面AED 的距离.
【答案】(1)
7
3 ；(2) 2
3
6.
【解析】(1) 连结BG, 则BG 是BE 在面ABD 的射影, 即∠A1BG 是A1B 与平面ABD 所
成的角. 如图建立空间直角坐标系, 坐标原点为C, 设CA = 2a, 则A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,
0,1),A1(2a,0,2),E(a,a,1),G 2a
3 , 2a
3 , 1
3


, 所以GE

=
a
3 , a
3 , 2
3


,BD

= (0, -2a,1), 所以GE

⋅BD

=- 2
3 a 2 + 2
3 = 0, 解得a = 1. 所以BA1

= (2, -2,2),BG

=
2
3 ,- 4
3 , 1
3


, 所以
BA1

⋅BG

BA1


|BG| =
14
3
2 3⋅
1
3 21
=
7
3 . 所以A1B 与平面ABD 所成角的余弦值是
7
3 .
(1) 解法一AA1

= (0,0,2),AE

= (-1,1,1)，AD

= (-2,0,1)，设n= (x,y,z) 为平面ADE
的一个法向量, 则n⋅AE

=-x+y+z=0
n⋅AD

=-2x+z=0

, 令x = 1 得:n= (1, -1,2). 线段AA1 在n上投影的
绝对值即为所求距离,
故d =
AA1

⋅n


|n|
= 4
6 = 2
3
6.
解法二由(1) 有A(2,0,0)，A1(2,0,2)，E(1,1,1)，D(0,0,1).AE

⋅ED

= (-1,1,1) ⋅(-1, -1,
0) = 0，
AA1

⋅ED

= (0,0,2) ⋅(-1, -1,0) = 0，所以ED ⊥平面AA1E. 又ED ⊂平面AED, 所以
平面AED ⊥平面AA1E, 又面AED ∩面AA1E = AE, 所以点A1 在平面AED 的射影K 在
AE 上. 设AK

= λAE

, 则A1K

= A1A

+ AK

= (-λ,λ,λ - 2). 由A1K

⋅AE

= 0，即λ + λ + λ - 2
= 0, 解得λ = 2
3 . 所以A1K

= - 2
3 , 2
3 ,- 4
3


, 即A1K



=
4
9 + 4
9 + 16
9 = 2
3
6, 即点A1 到
平面AED 的距离为2
3
6.
结论六、线线角
设直线l1, l2 的方向向量分别为v1
, v2
, 则l1, l2 所成角θ 满足:cosθ = cos v1
,v2





= v1
⋅v2



v1



v2



,
θ ∈0, π
2


.
要点许释：
空间两条直线所成角的范围是0, π
2


, 异面直线所成角的范围是0, π
2


, 而两个向量之
·288·
间的夹角范围是[0,π], 这些是求空间中两条直线所成角时需要注意的地方.
269
如图, 在棱长为1 的正方体ABCD - A1B1C1D1 中,E,F,G 分别是C1D1,A1D1,BB1
的中点, 建立如图所示的空间直角坐标系.
(1) 写出A,B1,E,G 的坐标;
(2) 求证:CF ⊥AE, 且CF


= AE


;
(3) 求异面直线EF 与AG 所成角的余弦值.
【答案】(1) A(1,0,0),B1(1,1,1),E 0, 1
2 ,1


,G 1,1, 1
2


；(2) 见证明过程；(3)
10
5
.
【解析】
(1) 在空间直角坐标系中,A(1,0,0),B1(1,1,1),
E 0, 1
2 ,1


,G 1,1, 1
2


.
(2) 证明因为C(0,1,0),F
1
2 ,0,1


,CF

=
1
2 ,-1,1


,AE

= -1, 1
2 ,1


,CF

⋅AE

=
1
2 ,-1,1


⋅
-1, 1
2 ,1


=- 1
2 - 1
2 + 1 = 0 ，所以CF ⊥AE . 又| CF

| =
1
2


2+(-1)2+1 = 3
2 ，
|AE

| =
(-1)2+
1
2


2+1 = 3
2 ，所以|CF| = |AE|.
(3)EF

=
1
2 ,- 1
2 ,0


,AG


= 0,1, 1
2


，EF

⋅AG


=- 1
2 ，|EF

| =
1
2


2+ - 1
2


2 =
2
2 ，
|AG


| =
1+ 1
4 =
5
2 ，cos < EF

,AG


>= EF

⋅AG


|EF

||AG


|
=
- 1
2
2
2 ×
5
2
=-
10
5
，又异面直
线所成角不大于90°，故异面直线EF 与AG 所成角的余弦值为
10
5
.
269
如图，正四棱锥P - ABCD 的底面边长与侧面棱长都是2，M 是PC 的中点.
(1) 求异面直线AD 和BM 所成角的大小.
(2) 求异面直线AM 和PD 所成角的余弦值.
·289·
【解析】
(1) 解法一因为AD ⎳BC，所以AD 和BM 所成的角就是BC 和BM 所成的角. 因为
△PBC 是正三角形，所以∠MBC = 300，所以AD 和BM 所成的角为300.
解法二设P 在底面的射影为O，由于P - ABCD 为正四棱锥，所以O 为底面正方形的中
心. 以O 点为原点，DA

方向为x 轴正方向，DC

方向为y 轴正方向，OP 为z 轴建立如图所示
的空间直角坐标系O - xyz. 由于四棱锥侧面都是边长为2 的正三角形，所以斜高PH =
3，
PO =
2 ，所以A(1, -1,0)，B(1,1,0)，C (-1,1,0)，D(-1, -1,0)，P(0,0,
2 )，所以
M - 1
2 , 1
2 ,
2
2


，AD

= (-2,0,0)，
BM

= - 3
2 ,- 1
2 ,
2
2


，所以cos < AD

,BM

>=
AD

⋅BM

|AD

|⋅|BM

|
=
3
2 3 =
3
2 . 所以向量
AD

与向量BM

所成的角为300，即直线AD 和BM 所成的角为300.
(2) 由(1) 的解法二得PD

= (-1, -1, - 2)，AM

= - 3
2 , 3
2 ,
2
2


，
所以cos < AM

,PD

>=
AM

⋅PD

|AM

|⋅|PD

|
=-
5
10 .
而直线AM 和PD 所成角只能在00至900之间，所以AM 和PD 所成角的余弦值为
5
10 .
结论七、线面角
设直线l 的方向向量为v，平面α 的法向量为n，则l 与α 所成角θ 满足：
sinθ = |cos < v,n > | = |v⋅n|
|v||n| θ∈0, π
2




.
·290·
270
如图，已知点P 在正方体ABCD - A1B1C1D1的对角线BD1上，∠PDA = 600.
(1) 求DP 与CC1所成角的大小；(2) 求DP 与平面AA1D1D 所成角的大小.
【解析】如图，
以D 为原点，DA 为单位长，建立空间直角坐标系D - xyz. 则DA

= (1,0,0)，CC1

= (0,0,
1). 连结BD，B1D1. 在平面BB1D1D 中，延长DP 交B1D1 于H. 设DH

= (m,m,1) (m > 0)，由
已知< DH

,DA

>= 600，由DA

⋅DH

= |DA

||DH

|cos < DA

,DH

> 可得2m =
2m2+1，解得
m =
2
2 ，所以DH =
2
2 ,
2
2 ,1


.
(1) 因为cos < DH

,CC1

>=
2
2 ×0+
2
2 ×0+1×1
1×
2
=
2
2 ，所以< DH

,CC1

>= 450，即
DP 与CC1所成的角为450.
( 2 ) 平面AA 1 D 1 D 的一个法向量是DC

= ( 0 , 1 , 0 ) . 因为cos < DH

, DC

>=
2
2 ×0+
2
2 ×1+1×0
1×
2
= 1
2 ，所以< DH

,DC

>= 600. 可得DP 与平面AA1D1D 所成的角
为300.
270
如图，已知长方体ABCD - A1B1C1D1 中，AB = BC = 1，BB1 = 2，连结B1C，过B
点作B1C 的垂线交CC1于E，交B1C 于F.
(1) 求证：A1C ⊥平面EBD；(2) 求点A 到平面A1B1C 的距离；(3) 求直线ED 与平面
A1B1C 所成角的正弦值.
·291·
【解析】如图
建立空间直角坐标系. 因为△B1BC ∽△BCE，所以CE = BC2
BB1 = 1
2 .
(1)A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，E 1,1, 1
2


，所以
A1C

= (1,1, -2)，BE

= 0,1, 1
2


，DE

= 1,0, 1
2


.
因为A1C

⋅BE

= 1 × 0 + 1 × 1 + (-2) × 1
2 = 0，
A1C

⋅DE

= 1 × 1 + 1 × 0 + (-2) × 1
2 = 0，所以A1C

⊥BE

，A1C

⊥DE

，即A1C ⊥BE，
A1C ⊥DE，又BE ∩DE = E，所以A1C ⊥平面EBD.
(2) 设平面A1B1C 的一个法向量为m = (x,y,z)，因为A1B1

= (1,0,0)，B1C

= (0,1, -2)，
而A1B1

⋅m=0
B1C

⋅m=0

，所以x=0
y=2z

，令z = 1，得m = (0,2,1)，而AA1

= (0,0,2)，所以所求的距离d
= |AA1

⋅m|
|m|
= 2
5 = 2
5
5.
(3) 由(2) 知，m = (0,2,1)，而ED

= -1,0,- 1
2


，设ED

与m 所成角为θ，则cosθ =
m⋅ED

|m||ED

|
=- 1
5 ，s 以直线ED 与平面A1B1C 所成角的正弦值为1
5 .
结论八、二面角
·292·
设平面α,β 的法向量分别为n1,n2，则α,β 所成的二面角θ 满足：
|cosθ| = |cos < n1,n2> | = |n1⋅n2|
|n1||n2| (θ 为平面α,β 所成的二面角，θ ∈[0,π]).
271
如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P，PA ⊥平面ABCD，E,F,G 分别是
AB,PC,CD 的中点，|PA| = |AB| = |AD| = 1，
(1) 求证：EF ⎳平面PAD；
(2) 求证：EF ⊥CD,EF ⊥PD，且|EF| = 1
2 |PD|；
(3) 求直线PD 与AC 所成的角；
(4) 求直线AP 与平面PCD 所成的角；
(5) 求平面PAB 与平面PCD 所成的角.
【解析】如图，
以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系. 由已知条件可得B(1,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，
C(1,1,0).E,F,G 分别是AB,PC,CD 的中点，故E 1
2 ,0,0


，F
1
2 , 1
2 , 1
2


，G 1
2 ,1,0


.
(1) 证明EF

= 0, 1
2 , 1
2


，AD


= (0,1,0)，AP

= (0,0,1)，设EF

= mAD


+ nAP

，解得m =
n = 1
2 ，故EF

= 1
2 AD


+ 1
2 AP

，又E ∉平面PAD，AD ⊂平面PAD，AP ⊂平面PAD，所以
EF ⎳平面PAD.
(2) 证明EF

= 0, 1
2 , 1
2


，CD

= (-1,0,0)，EF

⋅CD

= 0, 1
2 , 1
2


⋅(-1,0,0) = 0 ⇒EF ⊥
CD.
PD

= (0,1, -1)，EF

⋅PD

= 0, 1
2 , 1
2


⋅(0,1, -1) = 0 ⇒EF ⊥PD.|EF| =
EF

⋅EF

=
1
4 + 1
4 =
2
2 ，
|PD| =
PD

⋅PD

=
2，故|EF| = 1
2 |PD|.
·293·
(3)PD

= (0,1, -1)，AC


= (1,1,0)，cos < PD

,AC


>= PD

⋅AC


|PD

||AC


|
=
1
2×
2 = 1
2 ，所以
< PD

,AC


>= 600，直线PD 与AC 为异面直线，故其所成角为600.
(4) 直线AP 的一个方向向量为p = (0,0,1)，PD

= (0,1, -1)，CD

= (-1,0,0)，设n = (x,y,
z) 为平面PCD 的一个法向量，则有(x,y,z)⋅(0,1,-1)=y-z=0
(x,y,z)⋅(-1,0,0)=-x=0

⇒x=0
y=z

，故n = (0,1,1) 为
平面PCD 的一个法向量，
cos < p,n >=
p⋅n
|p|⋅|n| =
1
2 =
2
2 ，故< p,n >= 450，故直线AP 与平面PCD 所成的角
为900- 450= 450.
(5)AP

= (0,0,1)，AB

= (1,0,0)，设m = (a,b,c) 为平面PAB 的一个法向量，则有
(0,0,1)⋅(a,b,c)=c=0
(1,0,0)⋅(a,b,c)=a=0

⇒a = c = 0，故m = (0,1,0) 为平面PAB 的一个法向量，n = (0,1,
1) 为平面PCD 的一个法向量. cos < m,n >=
m⋅n
|m|⋅|n| =
1
2 =
2
2 ，故< m,n >= 450，即平
面PAB 与平面PCD 所成的角为450.
271
如图，在直三棱柱ABC - A1B1C1中，AB = 1，AC = AA1=
3 ，∠ABC = 600.
(1) 证明：AB ⊥A1C；(2) 求二面角A - A1C - B 的余弦值.
【解析】解法一(1) 证明因为三棱柱ABC - A1B1C1 为直三棱柱，所以AB ⊥AA1. 在
△ABC 中，AB = 1，AC =
3，∠ABC = 600，由正弦定理得∠ACB = 300，所以∠BAC = 900，
即AB ⊥AC. 所以AB ⊥平面ACC1A1，又A1C ⊂平面ACC1A1，所以AB ⊥A1C.
(2) 如图，
作AD ⊥A1C 交A1C 于点D，连结BD，由三垂线定理知BD ⊥A1C. 所以∠ADB 为二
面角A - A1C - B 的平面角. 在Rt△AA1C 中，
·294·
AD = AA1⋅AC
A1C
=
3⋅
3
6
=
6
2 . 在Rt△BAD 中，tan∠ADB = AB
AD =
6
3 ，
所以cos∠ADB =
15
5
，即二面角A - A1C - B 的余弦值为
15
5
.
解法二(1) 证明因为三棱柱ABC - A1B1C1 为直三棱柱，所以AA1 ⊥AB,AA1 ⊥AC. 在
△ABC 中，AB = 1，AC =
3，∠ABC = 600，由正弦定理得∠ACB = 300，所以∠BAC = 900，
即AB ⊥AC. 如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0, 3,0)，A1(0,0, 3).
所以AB

= (1,0,0)，A1C


= (0, 3, - 3). 因为AB

⋅AC


= 1 × 0 + 0 ×
3 + 0 × (- 3) = 0，所
以AB ⊥A1C.
(2) 可取m = AB

= (1,0,0) 为平面AA1C 的法向量，设平面A1BC 的法向量为n = (x,y,
z)，则BC

⋅n = 0，A1C


⋅n = 0，又BC

= (-1, 3,0)，所以-x+
3y=0
3y-
3z=0

，所以x =
3y，z =
y. 不妨取y = 1，则n = ( 3 ,1,1).cos < m,n >=
m⋅n
|m|⋅|n| =
3×1+1×0+1×0
( 3)2+12+12⋅
12+02+02 =
15
5
. 结合图像知二面角A - A1C - B 为锐二面角，所以二面角A - A1C - B 的余弦值为
15
5
.
·295·
第46 讲
直线的方程
通关一、直线的倾斜角
(1) 定义：如下图，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转
到和直线重合时，所转发最小正角记为α，那么α 就叫做直线的倾斜角.
(2) 规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0.
(3) 范围：直线的倾斜角α 的取值范围是[0,π).
通关二、求斜率的常用方法
(1) 当倾斜角不是900时，k = tanα；.
(2) 直线经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，其斜率为k = y2-y1
x2-x1 (x1≠x2)；
(3) 方程为Ax + By + C = 0(B ≠0) 的直线的斜率为k =- A
B .
(4) 常用倾斜角与斜率的对应关系：
倾斜角
300
450
600
1200
1350
1500
斜率
3
3
1
3
- 3
-1
-
3
3
通关三、直线方程的几种形式
名称
方程
说明
适用条件
斜截式
y = kx + b
k 是斜率
与x 轴不垂直的直
线
b 是纵截距
·296·
点斜式
y - y0= k(x - x0)
(x0,y0) 是直线上的已知点
k 是斜率
名称
方程
说明
适用条件
两点式
y-y1
y2-y1 = x-x1
x2-x1 (x1
≠x2,y1≠y2)
(x1,y1),(x2,y2) 是直线上的两个
已知点
与两坐标轴均不垂
直的直线
截距式
x
a + y
b = 1
a 是直线的横截距
不过原点且与两坐
标轴不垂直的直线
b 是直线的纵截距
一般式
Ax + By + C = 0
(A2+ B2≠0)
当B = 0 时，- C
A 是直线的横截
距
所有直线
当B ≠0 时，- A
B 、- C
A 、- C
B 分
别为直线的斜率、横截距、纵截距
结论一、直线的倾斜角与斜率
1. 当k = 0 时，直线平行于x 轴或与x 轴重合；
2. 当k > 0 时，直线的倾斜角为锐角，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大；
3. 当k < 0 时，直线的倾斜角为钝角，k 值增大，直线的倾斜角也随着增大；
4. 垂直于x 轴的直线倾斜角等于900；
5. 经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2) 的直线的斜率公式是：k = y1-y2
x1-x2 .
272
直线xcosθ +
3y + 2 = 0 的倾斜角的取值范围是
.
【答案】α ∈0, π
6


∪
5π
6 ,π


【解析】已知直线的方程为y =- cosθ
3 x - 2
3 ，其斜率k =- cosθ
3 ，记其倾斜角为α，由|k|
= |cosθ|
3
≤
1
3 ，得|tanα| ≤
1
3 ，即-
3
3 ≤tanα ≤
3
3 . 由α ∈[0,π)，得α ∈0, π
6


∪
5π
6 ,π


.
272
若直线l 经过A(2,1)，B(1,m2) 两点(m ∈R)，那么l 的倾斜角的取值范围是
(
)
A. [0,π)
B. 0, π
4


∪
π
2 ,π


C. 0, π
4


D.
π
4 , π
2


∪
π
2 ,π


【答案】B
·297·
【解析】由直线l 经过A(2,1)，B(1,m2) 两点，可利用斜率公式得k = 1-m2
2-1 = 1 - m2≤
1. 又k = tanα ≤1，则倾斜角的取值范围是0, π
4


∪
π
2 ,π


. 故选B.
结论二、三点共线
经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2) (x1≠x2) 的直线的斜率公式为kP1P2= y2-y1
x2-x1 . 若点A,B,C
都在某条斜率存在的直线上，那么由任意两点的坐标都可以确定这条直线的斜率，即kAB =
kBC = kAC，则直线AB 与BC 或AB 与AC 的斜率相同，且又过同一点B 或A，因此直线AB
与BC 或AB 与AC 重合.
273
若三点A(2,3)，B(3,2)，C
1
2 ,m


共线，则实数m =
.
【答案】9
2
【解析】由题意得kAB = 2-3
3-2 =-1，kAC = m-3
1
2 -2
. 因为A,B,C 三点共线，所以kAB = kAC，
所以m-3
1
2 -2
=-1，解得m = 9
2 .
273
若三点(2,3)，(3,a)，(4,b) 在同一直线上，则a,b 的关系是
.
【答案】b + 3 = 2a
【解析】由三点共线知b-3
4-2 = a-3
3-2 ，化简得a,b 应满足b + 3 = 2a.
结论三、直线过定点模型
过定点P0(x0,y0) 的直线系方程：A(x - x0) + b(y - y0) = 0(A2+ B2≠0)，还可以表示为y
- y0= k(x - x0) (斜率不存在时可设x = x0).
274
设m ∈R，过定点A 的动直线x + my = 0 和过定点B 的动直线mx - y - m + 3
= 0 交于点P(x,y)，则|PA| ⋅|PB| 的最大值是
.
【答案】5
【解析】由题意可知，动直线x + my = 0 经过定点A(0,0)，动直线mx - y - m + 3 = 0 即
m(x - 1) - y + 3 = 0, 经过定点B(1,3). 注意到动直线x + my = 0 和动直线mx - y - m
+ 3 = 0 始终垂直,P 又是两条直线的交点, 则有PA ⊥PB, 所以|PA|2 + |PB|2 = |AB|2 = 10.
故PA


PB


≤|PA|2+|PB|2
2
= 5 (当且仅当|PA| = |PB| =
5 时取等号)
274
已知点A(2, -3),B(-3, -2), 直线l 的方程为kx - y - k + 1 = 0, 且与线段AB 相
交, 则直线l 的斜率k 的取值范围为
(
)
A. k ≥3
4 或k ≤-4
B. k ≥3
4 或k ≤- 1
4
C. - 4 ≤k ≤3
4
D. 3
4 ≤k ≤4
·298·
【答案】A.
【解析】因为直线l 的方程kx - y - k + 1 = 0 可化为k(x - 1) - (y - 1) = 0, 所以直线l 过
定点P(1,1), 如图所示. 又直线PA 的斜率kPA = -3-1
2-1
=-4, 直线PB 的斜率kPB =
-2-1
-3-1 = 3
4 ，所以当直线l 与线段AB 相交时, 直线l 的斜率k 的取值范围是k ≥3
4 或k ≤
-4. 故选A.
·299·
第47 讲
直线的位置关系
通关一、两条直线的位置关系
斜截式
一般式
方程
y=k1x+b1
y=k2x+b2
A1x+B1y+C1=0,
A2x+B2y+C2=0
相交
k1≠k2
A1B2- A2B1≠0
垂直
k1k2=-1
A1B2+ A2B1= 0
平行
k1= k2且b1≠b2
A1B2-A2B1=0
B1C2-B2C1≠0

或A1B2-A2B1=0
A1C2-A2C1≠0

重合
k1= k2且b1= b2
A1B2- A2B1= B1C2- B2C1= A1C2- A2C1= 0
通关二、两条直线的交点
对于直线l 1:A 1x + B 1y + C 1 = 0,l 2:A 2x + B 2y + C 2 = 0, 它们的交点通过方程组
A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0

求解
(1) 方程组有唯一解⇔l1,l2相交，交点坐标就是方程组的解；
(2) 方程组无解⇔l1,l2平行；
(3) 方程组有无数解⇔l1,l2重合
通关三、点线对称问题
(1) 求已知点关于点的对称点：P x,y


关于点Q x0,y0


的对称点为2x0-x,2y0-y


．
(2) 点关于直线的对称点：①两直线连线与已知直线斜率之积等于-1，②两点的中点在
已知直线上．
(3) 直线关于某点对称的问题: 直线关于点的对称问题, 可转化为直线上的点关于某点对
称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的, 我们往往利用平行直线系去求解．
(4) 直线关于直线的对称问题：直线关于直线的对称问题，包含有两种情形：①两直线平
行②两直线相交。对于①，我们可以转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解
法为先求交点，再用“到角”，或是转换为点关于直线的对称问题.
(5) 两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论：
·300·
①点(x，y) 关于x 轴的对称点为(x，-y)；
②点(x，y) 关于y 轴的对称点为(-x，y)；
③点(x，y) 关于原点的对称点为(-x，-y)；
④点(x，y) 关于直线x - y = 0 的对称点为(y，x)；
⑤点(x，y) 关于直线x + y = 0 的对称点为(-y，-x).
结论一、直线的平行
设直线l1:A1x + B1y + C1= 0，l2:A2x + B2y + C2= 0 ，则l1∥l2⇔A1B2- A2B1= 0 且B1C2
- B2C1≠0，平行于直线A x + B y + C = 0 的直线系方程为A x + B y + λ = 0 λ≠C


275
若直线x + (1 + m)y - 2 + m = 0 与直线2mx + 4y + 9 = 0 平行, 则m 的值为
【答案】1 或-2
【解析】因为两直线平行, 所以
1
2m = 1+m
4
≠-2+m
9
, 所以2m2 + 2m = 4, 即m = 1 或
m =-2
275
已知P1 x1,y1


是直线l：f(x,y) = 0 上的一点P2 x2,y2


是直线l 外一点, 则方程
f x,y


+ f x1,y1


+ f x2,y2


= 0 表示的直线与直线l 的位置关系是
(
)
A 平行B 重合C 垂直D 斜交
【答案】A
【解析】P1 x1,y1


是直线l 上的一点, 故有f x1,y1


= 0 , P2 x2,y2


是直线l 外一点, 故有
f x2,y2


≠0，是一个实数，从而f x,y


+ f x1,y1


+ f x2,y2


= 0 表示的直线与直线l 平行且不
重合. 故选A.
结论二、直线的垂直
设直线l1:A1x + B1y + C1= 0，l2:A2x + B2y + C2= 0，则l1 ⊥l2 ⇔A1A2+ B1B2= 0 ，垂直
于直线A x + B y + C = 0 的直线系方程为：Bx - Ay + λ = 0
276
已知直线l1：ax + a+2


y + 1 = 0，l2：x + ay + 2 = 0, 若l1 ⊥l2 , 则实数a 的值是
【答案】-3 或0
【解析】若l1：ax + a+2


y + 1 = 0，l2：x + ay + 2 = 0, 且l1 ⊥l2，则a + a a+2


= 0，解得
a = 0 或a =-3
276
直线l 过点(-1,2) 且与直线2x - 3y + 4 = 0 垂直, 则l 的方程是
(
)
A. 3x + 2y - 1 = 0
B. 3x + 2y + 1 = 0
C. 2x - 3y + 5 = 0
D. 2x - 3y + 8 = 0
·301·
【答案】A
【解析】解法一由题意可得l 的斜率为- 3
2 ，所以l:y - 2 =- 3
2 x+1


, 即3x + 2y - 1 = 0
. 故选A.
解法二由题意可设l 的方程为3x + 2y + C = 0 , 把点(-1,2) 带入直线l 的方程得-3 +
4 + C = 0，所以C =-1, 即3x + 2y - 1 = 0．故选A.
结论三、直线系方程
经过两条已知直线A1x + B1y + C1= 0，A2x + B2y + C2= 0 的交点的直线系方程为:A1x
+ B1y + C1+ λ A2x+B2y+C2


= 0(不包括直线A2x + B2y + C2= 0)
277
直线l 经过直线3x + 2y + 6 = 0 和2x + 5y - 7 = 0 的交点, 且在两坐标轴上的截
距相等, 则直线l 的方程为
【答案】3x + 4y = 0 及x + y + 1 = 0
【解析】设所求的直线为3x+2y+6


+ λ 2x+5y-7


= 0, 即3+2λ


x + 2+5λ


y = 7λ -
6．由题意知：3 + 2λ ≠0，2 + 5λ ≠0，它在x 轴，y 轴上的截距分别为7λ-6
3+2λ , 7λ-6
2+5λ , 依题意
有7λ-6
3+2λ = 7λ-6
2+5λ ⇒7λ - 6 = 0 或3 + 2λ = 2 + 5λ，解得λ1 = 6
7 ,λ2 = 1
3 ，将其带入所设方程，
得3x + 4y = 0 及x + y + 1 = 0．
277
已知直线l 经过直线2x - y - 3 = 0 和4x - 3y - 5 = 0 的交点P, 且垂直于直线
2x + 3y + 5 = 0, 则直线l 的方程为
．
【答案】3x - 2y - 4 = 0
【解析】直线l 的方程可设为2x - y - 3 + λ 4x-3y-5


= 0 (其中λ 为常数)，即
2+4λ


x - 1+3λ


y - 5λ - 3 = 0．因为直线l 与直线2x + 3y + 5 = 0 垂直，所以2+4λ
1+3λ ∙
- 2
3


=-1，解得λ = 1. 故直线l 的方程为3x - 2y - 4 = 0
结论四、两点间的距离公式
平面上任意两点A(x1,y1),B(x2,y2) 间的距离公式为d A,B


=
x2-x1


2+ y2-y1


2
278
函数y =
x2+x+1 -
x2-x+1 x∈R


, 则y 的取值范围为
【答案】(-1,1)
·302·
【解析】设P x,0


，A 1
2 ,
3
2


，B - 1
2 ,
3
2


为平面内三点, 则PA


=
x- 1
2


2+ 3
4 =
x2-x+1, PB


=
x+ 1
2


2+ 3
4 =
x2+x+1，y = PB


- PA


．因为PB


- PA


<
AB


，且AB


= 1
2 + 1
2


= 1，所以y


< 1，即-1 < y < 1．函数的值域为-1,1


．
278
已知函数f x


=
x2-2x+2 +
x2-4x+8, 则f x


的最小值为
【答案】10
【解析】将函数表达式变形为:f x


=
(x-1)2+ 0-1


2 +
(x-2)2+ 0-2


2 , 可以看作
P x,0


到点A 1,1


与到点B 2,2


的距离之和, 即在x 轴上求一点P, 使PA


+ PB


最小.
由右图可知, 可转化为求两点A'(1, -1) 和B(2,2) 间的距离, 其距离为函数f(x) 的最小值. 所
以f(x) 的最小值为
(1-2)2+(-1-2)2 =
10
结论五、点到直线的距离公式
点P0 x0,y0


到直线l:Ax + By + C = 0 的距离d = Ax0+By0+C


A2+B2
279
已知直线l:Ax + By + C = 0(A,B 不全为0) ，两点P1 x1,y1


,P2 x2,y2


，若
Ax1+By1+C


Ax2+By2+C


> 0 且Ax1+By1+C


> Ax2+By2+C


，则
(
)
A. 直线l 与直线P1P2不相交
B. 直线l 与线段P2P1的延长线相交
C. 直线l 与线段P1P2的延长线相交
D. 直线l 与线段P1P2相交
【答案】C
·303·
【解析】Ax1+By1+C


Ax2+By2+C


> 0 ⇔Ax1 + By1 + C 与Ax2 + By2 + C 同号，即P1
和P2 在直线l 的同侧，如图所示．而Ax1+By1+C


> Ax2+By2+C


⇔Ax1+By1+C


A2+B2
>
Ax2+By2+C


A2+B2
，即P1 到l 的距离P1H1 大于P2 到l 的距离P2H2，显然，l 与线段P1P2 的延长线
相交．故选C．
279
我们知道: 在平面内，点x0,y0


到直线Ax + By + C = 0 的距离公式为d =
|Ax+By+C|
A2+B2
．通过类比的方法, 可求得在空间中, 点(2,4,1) 到平面x + 2y + 2z + 3 = 0 的
距离为
(
)
A. 3
B. 5
C. 5 21
7
D. 3 5
【答案】B
【解析】因为在平面内，点
x0,y0


到直线Ax + By + C = 0 的距离公式为d =
|Ax+By+C|
A2+B2
, 类比可得: 点( 2 , 4 , 1 ) 到平面x + 2 y + 2 z + 3 = 0 的距离为d =
|2+2×4+2×1+3|
12+22+22
= 15
3 = 5. 故选B
结论六、两平行直线间的距离公式
两条平行直线Ax + By + C1= 0 与Ax + By + C2= 0 间的距离
d = |C1-C2|
A2+B2
280
已知直线l1:x + y + 1 = 0, l2:x + y - 1 = 0, 则l1，l2之间的距离为
(
)
A. 1
B.
2
C.
3
D. 2
【答案】B
【解析】在l1 上任取一点(-1,0)，两条平行线间的距离就等于点(-1,0) 到直线l2 的距离，
为|-1-1|
2
=
2．故选B．
280
已知直线l1:x + ay = 1，l2:ax + y = 1，若l1//l2，则l1与l2的距离为
【答案】2
【解析】直线l1:x + ay = 1，l2:ax + y = 1 当l1//l2 时，a2 - 1 = 0，解得a =±1．当a = 1 时,
l1 与l2 重合, 不满足题意; 当a =-1 时, l1//l2 , 此时l1:x - y - 1 = 0,l2:x - y + 1 = 0, 则l1 与l2
的距离为d =
|-1-1|
12+(-1)2 =
2.
·304·
结论七、中心对称
中点坐标公式：
x= x1+x2
2
y= y1+y2
2

，点B x,y


为点A x1,y1


与C x2,y2


的中点．
点P x0,y0


关于A a,b


的对称点为P' 2a-x0,2b-x0


．直线关于点的对称问题可以转
化为点关于点的对称问题．
281
若直线l1:y = k(x - 4) 与直线l2关于点(2,1) 对称，则直线l2恒过定点
(
)
A. (0,4)
B. (0,2)
C. (-2,4)
D. (4, -2)
【答案】B
【解析】设l2 上任意一点坐标为x0,y0


，则x0,y0


关于2,1


的对称点为4-x0,2-y0


, 又
因为此点在l1 上, 则2 - y0 = k(4 - x0 - 4)，即y0 = kx0 + 2，所以直线l2 恒过定点0,2


．故选
B．
281
若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0) 关于点(0,2) 对称, 则圆C 的标准方程为
【答案】x+1


2+ (y - 4)2= 1
【解析】因为点(1,0) 关于点(0,2) 对称的点的坐标为(-1,4), 所以所求圆的圆心为(-1,
4), 半径为1, 于是圆C 的标准方程为x+1


2+ (y - 4)2= 1
结论八、轴对称
点P ( a , b ) 关于直线Ax + By + C = 0 ( B ≠0 ) 的对称点为P' ( m , n ) , 则有
n-b
m-a × - A
B


=-1
A∙a+m
2
+B∙b+n
2
+C=0

．直线与直线的对称问题可转化为点与直线的对称问题．
282
点A(2, -3) 关于直线y =-x + 1 的对称点为
(
)
A. (3, -2)
B. (4, -1)
C. (5,0)
D. (3,1)
【答案】B
【解析】设点A(2, -3) 关于直线y =-x + 1 的对称点为P(a,b), 则kAP = b-(-3)
a-2
= 1，所
以a - b = 5 ①, 又线段AP 的中点( a+2
2
, b-3
2
) 在直线y =-x + 1 上, 即b-3
2
=
- a+2
2
+ 1，整理得a + b = 3 ②，联立①②解得a = 4,b =-1，所以点A(2, -3) 关于直线y =
-x + 1 的对称点P 点的坐标为(4, -1). 故选B.
282
点(3, -1) 关于直线x + y = 0 的对称点为
【答案】(1, -3)
【解析】设点(3, -1) 关于直线x + y = 0 的对称点为(a,b), 则
a+3
2
+ -1+b
2
=0
b+1
a-3 =1

，解得
·305·
a = 1,b =-3，所以点(3, -1) 关于直线x + y = 0 的对称点为(1, -3)
·306·
第48 讲
圆的方程
通关一、圆的标准方程与一般方程
圆的标准方程
圆的一般方程
定义
平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆，确定一个圆最基本的要素是
圆心和半径
方程
x-a


2+ y-b


2= r2 r>0


x2+ y2+ Dx + Ey + F =
0 D2+E 2-4F>0


圆心
a,b


- D
2 ,- E
2


半径
r
1
2
D2+E 2-4F
区别与联
系
(1) 圆的标准方程确地表现出圆的几何要素，即圆心坐标和半径长；
(2) 圆的一般方程的代数结构明显, 圆心坐标和半径长需要通过代数运算了
解；
(3) 二者可以互化，将圆的标准方程展开可得一般方程, 将圆的一般方程配方
可得标准方程．
通关二、几种特殊圆的标准方程(r > 0)
特殊条件
圆的方程
圆心在坐标原点
x2+ y2= r2
圆心在x 轴上
x-a


2+ y2= r2
圆心在y 轴上
x2+ y-b


2= r2
过原点
x-a


2+ y-b


2= a2+ b2(a,b 不同时为0)
与x 轴相切
x-a


2+ y-b


2= b2(b ≠0)
与y 轴相切
x-a


2+ y-b


2= a2(a ≠0)
与两坐标轴都相切
x-a


2 +
y-a


2 = a 2 ( a ≠0 ) 或
x+a


2 +
y-a


2= a2(a ≠0)
以A x1,y1


,B x2,y2


为直径端点
x-x1


x-x2


+ y-y1


y-y2


= 0
结论一、圆的一般方程
已知方程x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0
1. 当D2+ E 2- 4F > 0 时, 方程x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0 表示以- D
2 ,- E
2


为圆心，
·307·
以
D2+E 2-4F
2
为半径的圆；
2．当D2+ E 2- 4F = 0 时, 方程x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0 表示一个点- D
2 ,- E
2


；
3. 当D2+ E 2- 4F < 0 时, 方程x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0 没有意义, 不表示任何图形．
283
方程x2+ y2+ 4mx - 2y + 5m = 0 表示圆的充要条件是
(
)
A. 1
4 < m < 1
B. m > 1
C. m < 1
4
D. m < 1
4 或m > 1
【答案】D
【解析】此方程表示圆的充要条件是D2+ E 2- 4F > 0，即4m


2+ -2


2- 4 × 5m > 0，
解得m < 1
4 或m > 1. 故选D.
283
如果圆的方程为x2+ y2+ kx + 2y + k2= 0，那么当圆面积最大时, 圆心坐标为
(
)
A. (-1,1)
B. (1, -1)
C. (-1,0)
D. (0, -1)
【答案】D
【解析】化为圆的标准方程:
x+ k
2


2 + y+1


2 = 1 - 3
4 k2，圆的面积最大等价于1 - 3
4 k2
最大, 此时k = 0, 圆心坐标为(0, -1). 故选D．
结论二、求圆的方程的两种方法
1. 直接法：根据圆的几何性质, 直接求出圆心坐标和半径, 进而写出方程；
2. 待定系数法：
①若已知条件与圆心(a,b) 和半径r 有关, 则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于
a，b，r 的方程组, 从而求出a，b，r 的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径, 则选择设圆的一般方程, 依据已知条件设出圆
的一般方程：x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0，列出关于D，E，F 的方程组，进而求出D，E，F 的值
284
过三点A(1,3),B(4,2),C(1, -7) 的圆交y 轴于M,N 两点, 则|MN| =
(
)
A. 2 6
B. 8
C. 4 6
D. 10
【答案】C
【解析】设过A , B , C 三点的圆的方程为x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 ，则
D+3E+F+10=0
4D+2E+F+20=0
D-7E+F+50=0

，解得D =-2,E = 4,F =-20, 所求圆的方程为x2 + y2 - 2x + 4y - 20 =
0．令x = 0, 得y2 + 4y - 20 = 0. 设M(0,y1),N(0,y2)，则y1 + y2 =-4,y1 ∙y2 =-20，所以MN


= y1-y2


=
y1+y2


2-4y1y2 = 4 6．故选C．
·308·
284
若圆心在x 轴上、半径为
5 的圆O 位于y 轴左侧, 且与直线x + 2y = 0 相切, 则
圆O 的方程是
(
)
A. x-
5


2+ y2= 5
B. x+
5


2+ y2= 5
C. x-5


2+ y2= 5
D. x+5


2+ y2= 5
【答案】D
【解析】设圆心O(a,0) (a < 0), 则
5 =
|a|
12+22 ，即|a| = 5, 解得a =-5, 所以圆O 的方
程为(x + 5)2+ y2= 5．故选D．
结论三、点与圆的位置关系
1. 根据点到圆心的距离d 与圆的半径r 的大小判断:d > r ⇔点在圆外；d = r ⇔点在圆
上；d < r ⇔点在圆内．
2. 根据点M(x0,y0) 的坐标与圆的方程(x - a)2+ (y - b)2= r2的关系判断；
x0-a


2+ y0-b


2> r2⇔点在圆外；
x0-a


2+ y0-b


2= r2⇔点在圆上；
x0-a


2+ y0-b


2< r2⇔点在圆内．
285
已知点M(a,b) 在圆O:x2+ y2= 1 外, 则直线ax + by = 1 与圆O 的位置关系是
(
)
A. 相切
B. 相交
C. 相离
D. 不确定
【答案】B
【解析】点M(a,b) 在圆x2+ y2= 1 外，所以a2+ b2> 1，圆O(0,0) 到直线ax + by = 1
的距离d =
1
a2+b2 < 1, 所以直线与圆相交. 故选B
285
已知M a,b


(ab ≠0) 是圆O:x2 + y2 = r2 内一点, 现有以M 为中点的弦所在直线
m 和直线l:ax + by = r2, 则
(
)
A. m ⎳l, 且l 与圆相交
B. m ⊥l, 且l 与圆相交
C. m ⎳l, 且l 与圆相离
D. m ⊥l, 且l 与圆相离
【答案】C
【解析】由圆的性质可知中点弦与OM 垂直, 所以斜率k =- 1
kOM =- b
a , 中点弦m 的方
程为: y - b =- a
b (x - a) ⇒ax + by = a2 + b2, 可得m ⎳l. 另一方面,do-l =
r2
a2+b2 , 因为M
(a,b) 在圆内, 所以
a2+b2 < r, 所以d0-l =
r2
a2+b2 > r, 直线l 与圆相离. 故选C.
结论四、与圆有半的对称问题
·309·
1. 圆关于点对称
(1) 求已知圆关于某点对称的圆, 只需确定所求圆的圆心位置;
(2 两圆关于某点对称, 则此点为两圆圆心连线的中点.
2. 圆关于直线对称
(1) 求已知圆关于某条直线对称的圆, 只需确定所求圆的圆心位置;
(2) 两圆关于某条直线对称, 则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线.
286
已知圆C1:(x + 1)2 + (y - 1)2 = 1, 圆C2 与圆C1 关于直线x - y - 1 = 0 对称, 则圆
C2的方程为
(
)
A. (x + 2)2+ (y - 2)2= 1
B. (x - 2)2+ (y + 2)2= 1
C. (x + 2)2+ (y + 2)2= 1
D. (x - 2)2+ (y - 2)2= 1
【答案】B
【解析】设圆C2 的圆心为(a,b), 则依题意有
a-1
2
- b+1
2
-1=0
b-1
a+1 =-1

, 解得a=2
b=-2

, 对称圆的
半径不变为1. 故选B.
286
若直线2ax - by + 2 = 0(a,b > 0) 始终平分圆x2 + y2 + 2x - 4y + 1 = 0 的周长,
则1
a + 1
b 的最小值为
.
【答案】4
【解析】直线平分圆的周长, 即直线过圆心(-1,2), 从而有a + b = 1, 所以1
a + 1
b =
a+b
a
+ a+b
b
= 2 +
a
b + b
a


≥2 + 2 = 4, 当且仅当a = b = 1
2 时取等号. 故1
a + 1
b 的最小
值
为4.
结论五、确定圆心位置的方法
(1) 圆心在过切点且与切线垂直的直线上;
(2) 圆心在圆的任意弦的垂直平分线上;
(3) 两圆相协时, 协点与两圆圆心共线.
287
若过点(2,1) 的圆与两坐标轴都相切, 则圆心到直线2x - y - 3 = 0 的距离为
(
)
A.
5
5
B. 2 5
5
C. 3 5
5
D. 4 5
5
【答案】B
·310·
【解析】由于圆上的点(2,1) 在第一象限, 若圆心不在第一象限, 则圆至少与一条坐标轴相
交, 不合乎题意, 所以圆心必在第一象限. 设圆心的坐标为(a,a), 则圆的半径为a, 圆的标准
方程为(x - a)2 + (y - a)2 = a2. 由题意可得(2 - a)2 + (1 - a)2 = a2, 可得
a2 - 6a + 5 = 0,
解得a = 1 或a = 5, 所以圆心的坐标为(1,1) 或(5,5), 圆心到直线2x - y - 3 = 0 的距离均为
d = -2


5 = 2 5
5
. 故选B.
287
若直线y = kx 与圆(x - 2)2 + y2 = 1 的两个交点关于直线2x + y + b = 0 对称,
则点(k,b) 所在的圆为
(
)
A. x- 1
2


2+ (y + 5)2= 1
B. x- 1
2


2+ (y - 5)2= 1
C. x+ 1
2


2+ (y - 5)2= 1
D. x+ 1
2


2+ (y + 5)2= 1
【答案】A
【解析】由题意知直线y = kx 与直线2x + y + b = 0 互相垂直, 所以k = 1
2 . 又圆上两点
关于直线2x + y + b = 0 对称, 故直线2x + y + b = 0 过圆心(2,0), 所以b =-4, 结合选项可
知, 点
1
2 ,-4


在圆x- 1
2


2+ (y + 5)2= 1 上, 故选A.
结论六、圆的参数方程
已知圆心为x0,y0


, 半径为r 的圆x-x0


2+ y-y0


2= r2的参数方程为:
x=x0+rcosθ
y=y0+rsinθ

(θ 是参数，θ ∈0,2π


)；特别地，当圆心在原点时，其参数方程为
x=rcosθ
y=rsinθ

(θ 是参数).
288
若直线x
a + y
b = 1 通过点M(cosα,sinα), 则
(
)
A. a2+ b2≤1
B. a2+ b2≥1
C. 1
a2 + 1
b2 ≤1
D. 1
a2 + 1
b2 ≥1
【答案】D
【解析】解法一因为OM


= 1, 故原点到直线x
a + y
b = 1 的距离不大于1 , 即
1
1
a2 + 1
b2
≤1, 从而1
a2 + 1
b2 ≥1. 故选D.
解法二由题意知cosα
a
+ sinα
b
= 1, 即bcosα + asinα = ab =
a2+b2 sin(α + φ), 故
|ab|
a2+b2 ≤1, 得到a2+b2
a2b2
= 1
a2 + 1
b2 ≥1. 故选D.
解法三cosα
a
+ sinα
b
= 1 ≤1
2 cos2α+ 1
a2


+ 1
2 sin2α+ 1
b2


⇒1
a2 + 1
b2 ≥1. 故选D.
288
在平面直角坐标系中, 记d 为点P(cosθ,sinθ) 到直线x - my - 2 = 0 的距离, 当
θ,m 变化时,d 的最大值为
(
)
·311·
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】解法一由题意可得d = |cosθ-msinθ-2|
m2+1
= |msinθ-cosθ+2|
m2+1
=
m2+1
m
m2+1
sinθ-
1
m2+1
cosθ


+2


m2+1
=
m2+1sin(θ-φ)+2


m2+1
(其中cosφ
=
m
m2+1
,sinφ=
1
m2+1

, 因为-1 ≤sin(θ - φ) ≤1, 所以12-
m2+1
m2+1
≤d ≤
2+
m2+1
m2+1
, 2+
m2+1
m2+1
= 1 +
2
m2+1
, 所以当m = 0 时, d 取得最大值3 . 故选C.
解法二由题意知点P(cosθ,sinθ) 的轨迹方程是x2 + y2 = 1, 所以圆心O(0,0) 到直线x -
my - 2 = 0 的距离d′ =
2
m2+1
≤2, 所以d = d′ +1 ≤3, 故选C.
·312·
第49 讲
直线与圆的位置关系
通关一、直线与圆的位置关系的判定
判断方法
直线与圆的位置关系
几何法: 由圆心到直线的距
离d 与半径长r 的大小关系
来判断
d > r
直线与圆相离
d = r
直线与圆相切
d < r
直线与圆相交
代数法: 联立直线与圆的方
程, 消元后得到关于x(或y)
的一元二次方程, 根据一元
二次方程的解的个数来判断
∆< 0
方程无实数解, 直线与圆相离
∆= 0
方程有唯一的实数解, 直线与圆相
切
∆> 0
方程有两个不同的实数解, 直线与
圆相交
通关二、圆与圆的位置关系
位置关
系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d,R,r 的
关系
d > R + r
d = R + r
R - r < d < R
+ r
d = R - r
d < R - r
通关三、圆的方程
1. 过直线Ax + By + C = 0 与圆x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0 的交点的圆系方程是x2+ y2
+ Dx + Ey + F + λ(Ax + By + C) = 0;
2. 以(a,b) 为圆心的同心圆系方程是: (x - a)2+ (y - b)2= λ2(λ ≠0);
3. 与圆x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0 同心的圆系方程是x2+ y2+ Dx + Ey + λ = 0;
4. 过同一定点(a,b) 的圆系方程是(x - a)2+ (y - b)2+ λ1(x - a) + λ2(y - b) = 0.
·313·
结论一、直线与圆的位置关系判定步骤
(1) 明确圆心C 的坐标(a,b) 和半径长r, 将直线方程化为一般式;
(2) 利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d;
(3) 比较d 与r 的大小, 写出结论.
289
若直线关系x
a + y
b = 1 与圆x2+ y2= 1 有公共点, 则
(
)
A. a2+ b2≤1
B. a2+ b2≥1
C. 1
a2 + 1
b2 ≤1
D. 1
a2 + 1
b2 ≥1
【答案】D
【解析】圆心(0,0) 到直线x
a + y
b = 1 的距离不大于1 即可, 即
1
1
a2 + 1
b2
≤1 ⇔1
a2 + 1
b2
≥1. 故选D.
289
若直线关系l:y = kx + 1(k < 0) 与圆C:(x + 2)2 + (y - 1)2 = 2 相切, 则直线l 与圆
D:(x - 2)2+ y2= 3 的位置关系是
(
)
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 不确定
【答案】A
【解析】因为直线l:y = kx + 1(k < 0) 与圆C :(x + 2) 2 + (y - 1) 2 = 2 相切, 所以
|-2k-1+1|
k2+1
=
2, 解得k =±1, 因为k < 0, 所以k =-1, 所以直线l 的方程为x + y - 1 = 0,
圆D 的圆心(2,0) 到直线的距离d = |2+0-1|
2
=
2
2
<
3 , 所以直线l 与圆D 相交. 故选
A.
结论二、切线方程的求解
1. 求过圆上的一点x0,y0


的切线方程;
如图, 利用切线的斜率kl 与圆心和该点连线的斜率kOM 的乘积等于-1,
即kOM. kl =-1
(1) 过圆x2 + y2 = r2 上一点P x0,y0


的切线方程是x0x +
y 0 y
= r2；
(2) 过圆(x - a)2 + (y - b)2 = r2 上一点P x0,y0


的切线方
程
是x0-a


(x - a) + y0-b


(y - b) = r2.
2. 求过圆外一点x0,y0


的圆的切线方程:
·314·
当斜率存在时, 设为k, 则切线方程为y - y0= k x-x0


, 即kx - y + y0- kx0= 0.
由圆心到直线的距离等于半径, 即可求出k 的值, 进而写出切线方程.
290
已知圆O 的方程为:x2 + y2 = 4 及圆上一点P(1, 3 ), 则过P 的圆的切线方程为
【答案】x +
3y = 4
【解析】解法一由题意知点P(1, 3) 在圆O 上, 且kOP =
3, 所以可得切线斜率k =-
3
3 .
所以切线方程为y -
3 =-
3
3 (x - 1), 整理后可得x +
3y = 4.
解法二设切线方程l 为y -
3 = k(x - 1), 即kx - y +
3 - k = 0, 所以d0-l = | 3-k|
k2+1
=
r = 2, 整理可得3k2 + 2 3k + 1 = 0, 即( 3k + 1)2 = 0, 解得k =-
3
3 . 所以l:y -
3 =-
3
3
(x - 1), 即x +
3y = 4.
290
过圆x2+ y2= 4 外一点M(4, -1) 引圆的两条切线, 则经过两切点的直线方程
是
(
)
A. 4x - y - 4 = 0
B. 4x + y - 4 = 0
C. 4x + y + 4 = 0
D. 4x - y + 4 = 0
【答案】A
【解析】设两切线切点分别为x1,y1


, x2,y2


, 则两切线方程为x1x + y1y = 4, x2x + y2y =
4. 又M(4, -1) 在两切线上, 所以4x1 - y1 = 4,4x2 - y2 = 4. 所以两切点的坐标满足方程4x -
y = 4. 故选A.
结论三、圆的弦长问题处理方法
1. 几何法: 如图所示, 设直线l 被圆C 截得的弦为AB, 圆的半径为r, 圆心到直线的距离
为d, 则有关系式:|AB| = 2 r2-d2
2. 代数法: 若斜率为k 的直线与圆相交于A xA,yA


,B xB,yB


两点, 则|AB| =
1+k2 ⋅
xA+xB


2-4xAxB =
1+ 1
k2 yA-yB


(其中k ≠0). 特别地, 当k = 0 时,|AB| = xA-xB


; 当
斜率不存在时,|AB| = yA-yB


.
291
已知直线x + y = m 与圆x2 + y2 = 1 相交于P,Q 两点, 且∠POQ = 120° (其中O
为原点) , 那么m 的值为
【答案】±
2
2
·315·
【解析】如图, 作OE ⊥PQ, 所以∠POE = 60°,OE = |m|
2 , 所以
cos∠POE = OE
OP , 即1
2 =
m


2
1
, 所以m =±
2
2 .
291
已知直线x -
3 y + 8 = 0 和圆x2 + y2 = r2(r > 0) 相交于A,B 两点. 若|AB| =
6, 则r 的值为
【答案】5
【解析】因为圆心(0,0) 到直线x -
3 y + 8 = 0 的距离d =
8
1+3 = 4, 由|AB| =
2 r2-d2 可得6 = 2 r2-42, 解得r = 5.
结论四、切线长问题
已知圆C 和圆外的一条直线l, 则过直线l 上的点作圆的切线, 切线长的最小值为PM


,
PM


=
CD


2-r2 则若PM


最小, 只需CP


最小即可, 所以P 点为过C 作l 垂线的垂足时,
CP


最小
292
由直线y = x - 1 上一点向圆(x - 3)2+ y2= 1 引切线,
则切线长的最小值是
(
)
A. 1
B.
2
C.
7
D. 3
【答案】A
【解析】如图,|BC|2= |AB|2- |AC|2, 因为|AC| 固定, 故求BC


最小, 即求AB


最小,
即d =
2, 故|BC| 的最小值为1. 故选A.
292
过点P(0,b) 作圆x2 + y2 = 2 的切线, 切线长外为d1, 点P 到直线l:x + y - 3 = 0
的距离为d2, 若d1:d2= 2:1, 则b =
(
)
A.
3 或10
B. 2 或10
C.
3 或
5
D. 2 或3
【答案】B
【解析】依题意d1=
b2-2,d2= |b-3|
2
, 因为d1:d2= 2:1, 所以
b2-2 = 2 × |b-3|
2
,
·316·
整理得b2- 12b + 20 = 0, 解得b = 2 或b = 10. 故选B.
结论五、圆与圆的位置关系判定步骤
(1) 确定两圆的圆心坐标判定步骤和半径长;
(2) 利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d, 求r1+ r2, r1-r2


;
(3) 比较d,r1+ r2, r1-r2


的大小, 写出结论.
293
若圆x2+ y2= t2与圆x2+ y2+ 6x - 8y + 24 = 0 外切, 则正数t 的值是
【答案】4
【解析】圆x2 + y2 = t2, 圆心为(0,0), 半径为t. 圆x2 + y2 + 6x - 8y + 24 = 0 可化为(x + 3)2
+ (y - 4)2 = 1, 圆心为(-3,4), 半径是1. 由两圆相外切得
(-3-0)2+(4-0)2 = t + 1, 解得:
t = 4.
293
已知圆O1 的方程为x2 + y2 = 4, 圆O2 的方程为(x - a)2 + (y - 1)2 = 1, 那么这两
个圆的位置关系不可能是
(
)
A. 外离
B. 外切
C. 内含
D. 内切
【答案】C
【解析】因为圆O1 的方程为x2 + y2 = 4, 所以圆O1 的圆心坐标为(0,0), 半径为2. 又因为
圆O2 的方程为(x - a)2 + (y - 1)2 = 1, 所以圆O2 的圆心坐标判定步骤为(a,1), 半径为1. 因
此有有两圆O1O2


=
a2+1 ≥1, 两圆的半径和为3, 半径差的绝对值为1, 故两圆的圆心距
不可能小于两圆的半径差的绝对值, 不可能是内含关系. 故选C.
结论六、相交圆公共弦所在直线的方程
设圆C1:x2+ y2+ D1x + E1y + F1= 0(1), 圆C2:x2+ y2+ D2x + E2y + F2= 0(2),
若两圆相交, 则有一条由得公共弦, 由(1) - (2) 得D1-D2


x + E1-E2


y + F1 - F2 = 0
(3)
方程(3) 表示圆C1与C2的公共弦所在直线的方程.
294
已知圆C1:x2 + y2 + 2x - 6y + 1 = 0 和圆C2:x2 + y2 - 4x + 2y - 11 = 0, 求两圆的
公共弦所在的直线方程及公共弦长.
【解析】设两圆的交点为A x1,y1


, B x2,y2


, 则A , B 两点的坐标是方程组
x2+y2+2x-6y+1=0
x2+y2-4x+2y-11=0

的解. 两个式子相减, 得3x - 4y + 6 = 0. 由于A,B 两点的坐标都满
足此方程, 因此3x - 4y + 6 = 0 为两圆的公共弦所在的直线方程. 易知圆C1 的圆心为(-1,
3), 半径为r = 3. 又C1 的圆心到直线AB:3x - 4y + 6 = 0 的距离为d = 1-1×3-4×3+6|
32+42
=
9
5 , 所以|AB| = 2 r2-d2 = 2
32-
9
5


2 = 24
5 , 即两圆的公共弦长为24
5 .
·317·
294
若圆x2 + y2 = 4 与圆x2 + y2 + 2ay - 6 = 0(a > 0) 的公共弦的长为2 3 , 则a =
【答案】1
【解析】两圆的方程相减, 得公共弦所在直线方程为y = 1
a , 则1
a =
22-( 3)2 = 1.
结论七、与圆的几何性质有关的最值
(1) 记O 为圆心, 圆外一点A 到圆上距离最小为|AO| -r, 最大为|AO| +r;
(2) 过圆内一点的弦最长为圆的直径, 最短为以该点为中点孩的弦;
(3) 记圆心到直线的距离为d, 直线与圆相离, 则圆上点到直线的最大距离为d + r, 最小
距离为d - r;
(4) 过两定点的所有圆中, 面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆.
295
已知圆x2+ y2- 6x = 0, 过点(1,2) 的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为
(
)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】圆x2 + y2 - 6x = 0 可化为(x - 3)2 + y2 = 9, 以圆心C 的坐标为(3,0), 半径为3.
设P(1,2), 当过点P 的直线和直线CP 垂直时, 圆心到过点P 的直线的距离最大, 所截得的弦
长最短, 根据弦长公式, 最小值为2 9-|CP|2 = 2 9-8 = 2. 故选B.
295
已知半径为1 的圆经过点(3,4), 则其圆心到原点的距离的最小值为
(
)
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
【答案】A
【解析】设圆心为C ( x , y ) , 则
(x-3)2+(y-4)2 = 1 ,
化简得(x - 3)2 + (y - 4)2 = 1, 所以圆心C
的轨迹是
以M (3,4) 为圆心,1 为半径的圆, 所以
| OC | + 1
≥
|OM | =
32+42 = 5, 所以|OC| ≥5 - 1 =
4, 当且仅
当C
在线段OM 上时等号成立. 故选A.
结论八、与圆的代数结构有关的最值
1. 形如u = y-b
x-a 形式的最值问题, 可转化为动直线斜率的最值问题;
2. 形如t = ax + by 形式的最值问题, 可转化为动直线截距的最值问题;
·318·
3. 形如(x - a)2 + (y - b)2 形式的最值问题, 可转化为动点到定点的距离的平方的最值问
题.
296
已知圆C:(x - 3)2 + (y - 4)2 = 1,P(x,y) 为圆C 上的动点, 则d = x2 + y2 的最大值
为
, 最小值为
【答案】36 16
【解析】解法一圆的标准方程为(x - 3)2+ (y - 4)2= 1, 可设点
P 的坐标为(3 + cosθ,4 + sinθ) (θ 是参数). 则d = x2+ y2= 9 + 6cosθ
+cos2θ + 16 + 8sinθ + sin2θ = 26 + 6cosθ + 8sinθ = 26 + 10cos(θ - φ)
(其中tanφ = 4
3 ). 所以dmax = 26 + 10 = 36,dmin = 26 - 10 = 16.
解法二d 是圆上点到原点距离的平方, 所以要求d 的最值, 即求圆上距离原点距离最远和
最近的点. 结合图像知, 距离的最大值等于圆心到原点的距离加上半径1, 距离的最小值
等于圆心到原点的距离减去半径1.
所以dmax =
32+42+1


2= 36,dmin =
32+42-1


2= 16.
296
设点P(x,y) 是圆x2+ y2= 1 上任一点, 则u = y-2
x+1 的取值范围为
【答案】u ≤- 3
4
【解析】解法一设P(cosθ,sinθ), 则有x = cosθ,y = sinθ,θ ∈[0,2π), 所以u
= sinθ-2
cosθ+1 , 所以ucosθ + u = sinθ - 2, 所以ucosθ - sinθ =- (u + 2), 即
u2+1sin(θ
- φ) = u + 2(tanφ = u). 所以sin(θ - φ) =
u+2
u2+1
. 又因为|sin(θ - φ)| ≤1, 所以
u+2
u2+1


≤1. 解得u ≤- 3
4 .
解法二(根据几何意义求解) u = y-2
x+1 的几何意义是过圆x2+ y2= 1 上一动点和定点(
-1,2) 的连线的斜率, 利用此直线与圆x2+ y2= 1 有公共点, 可确定出u 的取值范围. 由u =
y-2
x+1 得y - 2 = u(x + 1), 此直线与圆x2+ y2= 1 有公共点, 故点(0,0) 到直线的距离d ≤1,
所以
u+2
u2+1


≤1, 解得u ≤- 3
4 . 另外, 直线y - 2 = u(x + 1) 与圆x2+ y2= 1 的公共点还可
以这样来处理: 由y-2=u(x+1)
x2+y2=1

消去y 后得u2+1


x2+ 2u2+4u


x + u2+4u+3


= 0,
此方程有实根, 故△= 2u2+4u


2- 4 u2+1


u2+4u+3


≥0, 解得u ≤- 3
4
·319·
第50 讲
椭圆的定义和性质
通关一、椭圆的标准方程
当焦点在x 轴上时, x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0), 其中c2= a2- b2;
当焦点在y 轴上时, y2
a2 + x2
b2 = 1(a > b > 0), 其中c2= a2- b2.
要点诠释：
1. 这里的“标准”指的是中心在坐标原点, 对称轴为坐标轴建立直角坐标系时, 才能得到
椭圆的标准方程;
2. 在椭圆的两种标准方程中, 都有a > b > 0 和c2= a2- b2;
3. 椭圆的焦点总在长轴上, 当焦点在x 轴上时, 椭圆的焦点坐标为(c,0),(-c,0); 当焦点
在y 轴上时, 椭圆的焦点坐标为(0,c),(0, -c);
4. 在两种标准方程中, 因为a2 > b2, 所以可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标
轴上.
通关二、椭圆的标准方程a,b,c 的几何意义
椭圆标准方程中,a,b,c 三个量的大小与坐标系无关, 是由椭圆本身的形状大小所确定
的, 分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长, 均为正数, 且三个量的大小关系为:a >
b > 0,a > c > 0, 且a2= b2+ c2
可借助右图帮助记忆
a,b,c 恰构成一个直角三角形的三条边, 其中a 是斜边,b,c 为两条直角边.
通关三、椭圆的几何性质
·320·
标准方程
x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0)
y2
a2 + x2
b2 = 1(a > b > 0)
图形
范围
-a ≤x ≤a, -b ≤y ≤b
-b ≤x ≤b, -a ≤y ≤a,
对称性
对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：原点
焦点
F1(-c,0)F2(c,0)
F1(0, -c)F2(0, -c)
顶点
A1(-a,0)，A2(a,0)，
B1(0，-b)，B2(0,b)
A1(0, -a)，A2(0,a)，
B1(-b,0)，B2(b,0)
轴
A1A2，B1B2为椭圆的长轴和短轴，长轴长2a，短轴长2b
焦距
|F1F2| = 2c
离心率
a,b,c 的关系
c2= a2+ b2
通关四、求椭圆的方程有两种方法
(1) 定义法: 根据椭圆的定义, 确定a2,b2的值, 结合焦点位置可写出椭圆方程.
(2) 待定系数法: 这种方法是求椭圆方程的常用方法, 一般步骤是：
第一步, 作判断: 根据条件判断椭圆的焦, 点是在x 轴上, 还是在y 轴上, 还是两个坐标轴
都有可能(这时需要分类讨论);
第二步, 设方程: 根据上述判断设方程为x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 或x2
b2 + y2
a2 = 1(a > b
> 0);
第三步, 找关系: 根据已知条件, 建立关于a,b,c 的方程组(注意椭圆中固有的等式关系
c2 = a2 - b2); 第四步, 得椭圆方程: 解方程组, 将解代入所设方程, 即所求. 评注: 当椭圆焦点位
置不明确时, 可设为x2
m + y2
n = 1(m > 0,n > 0,m ≠n), 也可设为Ax2 + By2 = 1(A > 0,B >
0, 且A ≠B).
结论一，椭圆定义的理解
·321·
设椭圆上的点M 到两焦点F1,F2的距离之和为2a, 则有2a > F1F2


, 这一条件不能忽略.
(1) 若2a = F1F2


, 则点M 的轨迹是线段F1F2;
(2) 若2a < F1F2


, 则点M 的轨迹不存在.
297
设定点F1(0, -3),F2(0,3), 动点P 满足条件|PF1| +|PF2| = a + 9
a (a > 0), 则点P
的轨迹是
(
)
A. 椭圆
B. 线段
C. 不存在
D. 椭圆或线段
【答案】D
【解析】||PF1| +|PF2| = a + 9
a ≥2
a⋅9
a = 6, 当且仅当a = 3 时取等号. 当PF1


+ PF2


=
6 时, 点P 的轨迹是线段F1F2; 当PF1


+ PF2


> 6 时, 点P 的轨迹是椭圆. 故
选D.
297
已知椭圆x2
8 + y2
4 = 1 的焦点为F1,F2,A 在椭上,B 在F1A 的延长线上, 且AB


=
AF2


, 则B 点的轨迹形状为
(
)
A. 椭圆
B. 双曲线
C. 圆
D. 两条平行线
【答案】C
【解析】因为AF1


+ AF2


= 2a = 4 2 , 即AF1


+ |AB| = BF1


= 4 2 , 所以点B 的轨迹
为以F1为圆心,4 2 为半径的圆. 故选C.
结论二、椭圆上点的性质
若P 为糊圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 上一点, 则PF1


+ PF2


= 2a.
298
已知椭圆x2
4 + y2
16 = 1 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为5, 则P 到另一个焦
点的距离为
(
)
A. 2
B. 3
C. 5
D. 7
【答案】B
【解析】设所求距离为d, 由题意得a = 4. 根据椭圆的定义得2a = 5 + d, 所以d = 2a - 5 =
3. 故选B.
·322·
298
若P 为椭圆x2
25 + y2
16 = 1 上一点,M,N 分别是圆(x + 3)2 + y2 = 4 和(x - 3)2 + y2
= 1 上的点, 则|PM| +|PN| 的取值范围是
(
)
A. [7,13]
B. [10,15]
C. [10,13]
D. [7,15]
【答案】A
【解析】从题意中容易知道F1(-3,0),F2(3,0) 为椭圆的左右焦点, 于是PF1


- 2 ≤|PM|
≤PF1


+ 2, PF2


- 1 ≤|PN| ≤PF2


+ 1. 于是有PF1


+ PF2


- 3 ≤|PM| +
|PN| ≤PF1


+ PF2


+ 3. 而PF1


+ PF2


= 10, 于是|PM| +|PN| ∈[7,13]. 故选A.
结论三、焦点三角形的周长
若P 为椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 上一点, 则△PF1F2的周长为定值:2(a + c).
299
已知椭圆C: x2
25 + y2
m2 = 1(m > 0) 的左、右焦点分别为F1,F2, 点P 在C 上, 且
△PF1F2的周长为16, 则m 的值是
(
)
A. 2
B. 3
C. 2 3
D. 4
【答案】D
【解析】设椭圆C 的长轴长为2a, 焦距为2c, 则2a = 10,c =
a2-b2 =
a2-m2 =
25-m2. 由椭圆定义可知,△PF1F2的周长为2a + 2c = 10 + 2c = 16, 所以
25-m2 = c
= 3. 因为m > 0, 所以解得m = 4. 故选D.
299
已知椭圆x2
a2 + y2 = 1 的左、右焦点为F1,F2, 点F1 关于直线y =-x 的对称点P 仍
在椭圆上, 则△PF1F2的周长为
【答案】2 2 + 2
【解析】设F1(-c,0),F2(c,0) (c > 0),F1关于直线y =-x 的对称点P 的坐标为(0,c), 点P
在椭圆上, 则0
a2 + c2= 1, 则c = b = 1,a2= b2+ c2= 2, 则a =
2, 故△PF1F2的周长为PF1


+ PF2


+ F1F2


= 2a + 2c = 2 2 + 2.
结论四、焦点三角形周长拓展
若AB 过村圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的左焦, 点F1, 则△ABF2的周长为4a
·323·
300
过椭圆x2
4 + y2
2 = 1 的一个焦点F1 的弦AB 与另一个焦点F2 围成的三角形ABF2
的周长是
【答案】18
【解析】△ABF2 的周长= |AB| + AF2


+ BF2


= AF1


+ BF1


+ AF2


+ BF2


, 因为A,B 为
椭圆上的点, 故AF1


+ AF2


= BF1


+ BF2


= 2a,a = 2. 故△ABF2的周长为4a = 8.
300
已知F1,F2 为椭圆x2
25 + y2
9 = 1 的两个焦点, 过F1 的直线交尼圆于A,B 两点, 若
F2A


+ F2B


= 12, 则|AB| =
【答案】18
【解析】F1A


+ F1B


+ F2A


+ F2B


= 4a = 20, 故|AB| = 20 - 12 = 8.
结论五、椭圆的标准方程
对于方程x2
m + y2
n = 1
(1) 表示椭圆的充要条件为
m>0
n>0
m≠n

;
(2) 表示焦点在x 轴上的椭圆的充要条件为m > n > 0;
(3) 表示焦点在y 轴上的椭圆的充要条件为n > m > 0.
301
已知x2
m2 +
y2
2+m = 1 表示焦点在x 轴上的椭员, 则m 的取值范围是
(
)
A. m > 2 或m <-1
B. m >-2
C. - 1 < m < 2
D. m > 2 或-2 < m <-1
【答案】D
【解析】由m+2>0
m2>m+2

解得m > 2 或-2 < m <-1. 故选D.
301
若方程x2+ ky2= 2 表示焦点在y 轴上的椭圆, 那么实数k 的取值范围是(
)
A. (0, +∞)
B. (0,2)
C. (1, +∞)
D. (0,1)
【答案】D
·324·
【解析】因为方程x2 + ky2 = 2, 即x2
2 + y2
2
k
= 1 表示焦点在y 轴上的椭圆, 所以2
k > 2,k
> 0, 故0 < k < 1. 故选D.
结论六、椭圆的标准方程的求法
1. 待定系数法:
(1) 若能够根据题目中条件确定焦点位置, 可先设出标准方程, 再吐题设确定方程中的参
数a, 即“先定型, 再定量”.
(2) 由题目中条件不能确定焦, 点位置, 一般需分类议论; 有时也可设其方程的一般式:
mx2+ ny2= 1(m,n > 0 且m ≠n).
2. 定义法:
先分析题设条件, 判断出动点的轨迹, 然后根枯椭圆的定义确定方程, 即“先定型, 再定
量". 利用该方法求标准方程时, 要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题.
302
已知椭圆的中心在原点, 以坐标轴为对称轴, 且经过两点P1( 6 ,1),P2(- 3 ,
- 2), 则椭圆的方程为
【答案】x2
9 + y2
3 = 1
【解析】设所求的椭圆方程为mx2 + ny2 = 1(m > 0,n > 0). 因为椭圆经过两点P1( 6,1),P2
(- 3, - 2), 所以6m+n=1
3m+2n=1

, 解得
m= 1
9
n= 1
3

. 故所求的椭圆标准方程为x2
9 + y2
3 = 1.
302
已知椭圆的中心在原点, 长轴长为12, 离心率为1
3 , 则椭圆的方程是
答案x2
36 + y2
32 = 1 或x2
32 + y2
36 = 1
【解析】由题意知2a = 12, c
a = 1
3 , 所以a = 6,c = 2,b2= 36 - 4 = 32, 故椭圆的标准方程
为: x2
36 + y2
32 = 1 或x2
32 + y2
36 = 1.
结论七、椭圆的通径
过焦点作长轴垂线与粗圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的交点为$A,B,$则$AB$即为椭圆通
径,AB = 2b2
a .
·325·
303
椭圆x2
25 + y2
16 = 1 的焦点为F1,F2, 过F2 垂直于x 轴的直线交椭圆于一点P, 那么
PF1


的值是
【答案】34
5
【解析】显然F2(3,0), 于是可求得P 3,± 16
5


, 所以PF1


= 2a - PF2


= 2 × 5 - 16
5 = 34
5 .
303
已知椭圆x2
16 + y2
9 = 1 的左、右焦点分别为F1,F2, 点P 在椭圆上, 若P,F1,F2是
一个直角三角形的三个顶点, 则点P 到x 轴的距离为
(
)
A. 9
5
B. 3
C. 9 7
7
D. 9
4
【答案】D
【解析】因为b > c, 所以顶角为直角的情况不存在; 而底角为直角时,P 到x 轴的距离为
通径的一半, 即b2
a = 9
4 . 故选D.
结论八、椭圆的焦半径
若点P x0,y0


在x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 上, 则PF1


= a + ex0, PF2


= a - ex0(左加右
减)
304
椭圆x2
16 + y2
7 = 1 上点P 横坐标为2, 则点P 到右焦点F2的距离为
【答案】5
2
【解析】由椭圆方程可知a2 = 16,b2 = 7, 所以c2 = 9,e = 3
4 , PF2

= a - ex0 = 4 - 3
4 × 2 =
5
2
304
已知椭圆x2
25 + y2
16 = 1, 在椭圆上存在一点M, 它到两焦点距离之积为16, 则M
点的坐标为
·326·
【答案】(5,0) 或(-5,0)
【解析】显然椭圆焦点在x 轴上, 由椭圆方程得a = 5,b = 4,c = 3, 所以e = 3
5 . 设
M x0,y0


, 故由题意有16 = MF1


⋅MF2


= a+ex0


a-ex0


= a2 - e2x0 = 25 - 9
25 x2
0, 解得x0
=±5. 代人椭圆方程, 得y = 0, 所以所求点M 为(5,0) 或(-5,0).
结论九、焦半径最值
F 为椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的其中一个焦, 点, 若P 是椭圆上的点, 则a - c ≤
|PF| ≤a + c
305
直线
2 ax + by = 1(其中a,b 是实数) 圆x2 + y2 = 1 相交于A,B 两点, 且△AOB
是直角三角形(O 是坐标原点), 则点P(a,b) 与点(0,1) 之间距离的最大值为
(
)
A.
2 + 1
B. 2
C.
2
D.
2 - 1
【答案】A
【解析】圆x2 + y2 = 1 的圆心到直线
2ax + by = 1 的距离为
1
2a2+b2 =
2
2 , 所以2a2 +
b2 = 2, 即a2 + b2
2 = 1. 因此所求距离为椭圆a2 + b2
2 = 1 上点P(a,b) 到焦点(0,1) 的距离, 其
最大值为
2 + 1. 故选A.
305
椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的右焦点为F, 其右准线与x 轴的交点为A. 在椭圆
上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F, 则椭圆离心率的取值范围是
(
)
A. 0,
2
2



B. 0, 1
2


C. [ 2 - 1,1)
D.
1
2 ,1


【答案】
【解析】1 由题意, 椭圆上存在点P, 使得线段AP 的垂直平分线过点F, 即F 点到P 点与
A 点的距离相等, 而FA = a2
c -c= b2
c ,


PF

∈[a - c,a + c,, 于是b2
c ∈[a - c,a + c], 即
ac - c2≤b2≤ac + c2, 所以ac-c2≤a2-c2
a2-c2≤ac+c2

⇒
c
a ≤1
c
a ≤-1或c
a ≥1
2

. 又e ∈(0,1),
故e ∈
1
2 ,1


. 故选D.
·327·
结论十、椭圆中的线段和差最值
设椭圆方程为x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0),F1,F2分别为構圆的左、右焦, 点, Q x0,y0


为平面
上一定点, M 为椭圆上任意一点.
1. 若定点Q x0,y0


在椭圆内部, 则2a - QF1


≤MF2


+ |MQ| ≤2a + QF1


;
2. 若定点Q x0,y0


在椭圆外部, 则QF2


≤MF2


+ |MQ| ≤2a + QF1


.
306
椭圆x2
25 + y2
9 = 1 的左焦点为F1,P 为椭圆上的动点, M 是圆x2 + (y - 2 5)2 = 1
上的动点, 则|PM| + PF1


的最大值是
【答案】17
【解析】圆x2+ (y - 2 5)2= 1 的圆心为C(0,2 5), 半径为1. 由椭圆方程x2
25 + y2
9 = 1 可
知a2= 25,b2= 9, 所以a = 5, 左焦点为F1(-4,0), 右焦点为F2(4,0).|PC| + PF1


= |PC| +2a
- PF2


= 10 + |PC| - PF2


≤10 + CF2


= 10 +
42+(-2 5)2 =
16,(|PM| +|PF1|)max = (|PC| +|PF1|)max + 1 = 17
306
已知椭圆的方程为x2
25 + y2
16 = 1，F1,F2 分别为椭圆的左、右焦点，A 点的坐标为
(2,1)，P 为椭圆上一点，则PA


+ PF2


的最大值和最小值分别是
，
【答案】10 + 2 6 10 - 2 6
【解析】因为|PF1| +|PF2| = 10, 因此有|PA| +|PF2| = 10 + |PA| -|PF1|，又PA


- PF1




≤AF1


=
26, 所以10 -
26 ≤PA


+ PF2


≤10 +
26, 即PA


+ PF2


的最大值和最小值
分别是10 + 2 6 和10 - 2 6.
结论十一、焦点三角形面积
若点P(x0,y0) 在x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 上，设∠F1PF2= θ，则△PF1F2的面积S△PF1F2=
c y0


= 1
2 PF1


PF2


⋅sinθ = b2tan θ
2 . Smax = bc, 即P 与短轴端点重合时面积最大. 特别地，若
PF1⊥PF2, 此三角形面积为b2.
·328·
307
已知F1,F2 是椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且
PF1

⊥PF2


. 若△PF1F2的面积为9，则b =
【答案】3
【解析】解法一依题意，有
PF1


+ PF2


=2a
PF1


⋅PF2


=18
PF1


2+ PF2


2=4c2

，可得4c2+ 36 = 4a2，即a2- c2= 9，故有b
= 3.
解法二由椭圆焦点三角形面积公式得S = b2tan π
4 = b2= 9, 所以b = 3.
307
已知F1,F2 是椭圆x2
9 + y2
5 = 1 的焦点，点P 在椭圆上且∠F1PF2 = π
3 ，则△PF1F2
的面积为
【答案】5 3
3
【解析】利用椭圆焦点三角形面积公式得S = b2tan θ
2 = 5 ×
3
3 = 5 3
3
.
结论十二、焦点三角形内切圆
P(x,y) 是椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 上的动点，F1,F2是椭圆的两个
焦点，△PF1F2的内切圆半径为r，则S△PF1F2= r(a + c).
308
点P 是椭圆x2
25 + y2
16 = 1 上一点，F1,F2 是椭圆的两个焦点，且
△PF1F2 的内切圆半径为1，当P 在第一象限时，P 点的纵坐标为
【答案】8
3
【解析】PF1+ PF2= 10,F1F2= 6,S△PF1F2= 1
2 (PF1+ PF2+ F1F2) ⋅1 = 8 = 1
2 F1F2⋅yP


=
3 yP


, 所以yP


= 8
3 .
308
已知点P(x0,4) 为椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 上一点，F1,F2 是椭圆C 的两个
焦点, 若△PF1F2的内切圆的直径为3，则此椭圆的离心率为
(
)
A. 5
7
B. 2
3
C. 3
5
D. 4
5
·329·
【答案】C
【解析】由椭圆的定义可知
△PF1F2的周长为2a + 2c. 设
△PF1F2的内切圆半径为r，则△PF1F2
的面积S = 1
2 (2a + 2c) =
1
2 yP


⋅2c，整理得(a + c) ⋅r = yP


⋅c，
又yP = 4，r = 3
2 ，故得5c =
3a，所以椭圆C 的离心率为e = c
a =
3
5 . 故选C.
结论十三、与焦点有关的三角形面积
已知AB 是过x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 焦点F2的弦，则△ABF1的面积S△ABF1= 1
2 F1F2


⋅
y1-y2


=
c y1-y2


.
309
椭圆x2
4 + y2
3 = 1 的左、右焦点分别为F1,F2，过焦点F1 的直线交椭圆于A,B 两点,
则△ABF2 的周长为
；若A,B 两点的坐标分别为x1,y1


和x2,y2


，且△ABF2 的
面积是1，则y2-y1


的值为
.
【答案】8 1
【解析】因为AF1


+ AF2


= 2a，BF1


+ BF2


= 2a，所以△ABF2 的周长为AF1


+ AF2


+
BF1


+ BF2


=
4a = 8。因为a2 = 4,b2 = 3，所以c2 = 1, 即c = 1，所以S△ABF1 = S△AF1F2 + S△BF1F2 = 1
2 ⋅2 ⋅
y1-y2


= 1，即y1-y2


= 1.
故填“8”“1”.
309
椭圆x2
16 + y2
9 = 1 的左、右焦点分别为F1,F2，过焦点F1 的直线交椭圆于A,B 两
点, 则△ABF2 的周长是
；若△ABF2 的内切圆的面积为π，A,B 两点的坐标别为
x1,y1


和x2,y2


，则y2-y1


的值为
.
【答案】16 8 7
7
【解析】因为AF1


+ AF2


= 2a，BF1


+ BF2


= 2a，所以△ABF2 周长为AF1


+ AF2


+
BF1


+ BF2


=
4a = 16. 因为内切圆面积为π, 所以半径为1，即△ABF2 的面积为1
2 × 1 × 16 = 8. 又因
为a2 = 16,b2 = 9，所以c2 = 7 即c =
7，所以S△ABF1 = S△AF1F2 + S△BF1F2 = 1
2 ⋅2 7 ⋅y1-y2


= 8，
即y1-y2


= 8
7 = 8 7
7
.
故填“16”“ 8 7
7
”.
结论十四、椭圆焦点弦弦长
·330·
已知椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1 a>b>0


，经过其焦点F 的直线交椭圆于A,B 两点，直线AB 的
倾斜角为θ，椭圆的离心率e，则焦点弦长AB


=
2b2
a
1-e2cos2θ


.
310
过椭圆x2
4 + y2
3 = 1 的右焦点F 作一条斜率为
3 的直线交椭圆于A,B 两点，则
AB


为
.
【答案】16
5
【解析】由题知k =
3, 所以cosθ = 1
2 ,e = 1
2 . 由焦点弦长公式AB


=
2b2
a
1-e2cos2θ


得
AB


=
2×3
2
1-
1
2


2×
1
2


2


= 16
5 .
310
过椭圆x2
5 + y2
4 = 1 的右焦点作一条斜率为2 的直椭圆于A,B 两点,O 为坐标原
点, 则△AOB 的面积为
.
【答案】5
3
【解析】由题知k = tanθ = 2, 所以cosθ =
1
5 =
5
5 ,e = c
a =
1
5 =
5
5 . 由焦点弦长公
式得AB


=
2b2
a
1-e2cos2θ


=
8
5
1- 1
25
= 5 5
3
. 过右焦点且斜率为2 的直线方程l:y = 2 x-1


，
即y = 2x - 2,O 0,0


到l 的距离d =
2
5 ，所以S△AOB = 1
2 × d × AB


= 1
2 ×
2
5 × 5 5
3
=
5
3 .
结论十五、椭圆离心率的几何意义
当e 越趋近于1 时，b
a 越接近于0, 椭圆越扁;
当e 越趋近于0 时, b
a 越接近于1, 椭圆越接近于圆.
311
已知焦点在x 轴上的椭圆方程x2
4a +
y2
a2-1 = 1, 随着a 的增大该椭圆的形状
(
)
A. 越接近于圆
B. 越扁
C. 先接近于圆后越扁
D. 先越扁后接近于圆【答案】A
【解析】椭圆方程x2
4a +
y2
a2-1 = 1 为焦点在x 轴上的椭圆方程, 所以
4a>0
a2-1>0
4a>a2-1

, 解得1
< a < 2 +
5 ，
·331·
由于a 在不断增大，即离心率e =
1- a2-1
4a
=
1- 1
4 a- 1
a


不断减小, 所以椭圆的形
状越来越接近于圆. 故选A.
311
如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球, 在月球附近一点P 变
轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行, 之后卫星在P 点第二次变轨进入
仍以F 为一个焦点的摊圆轨道Ⅱ绕月飞行, 最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的
圆形轨道Ⅲ绕月飞行, 若用2c1 和2c2 , 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距, 用2a1 和2a2 , 分别
表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长, 给出下列式: ①a1+ c1= a2+ c2 ；②a1- c1= a2- c2 ；
③a2c1> a1c2；④c1
a1 < c2
a2 ；其正确式子的序号是
(
)
A. ①③
B. ②③
C. ①④
D. ②④
【答案】B
【解析】由題意知a1- c1= a2- c2= |PF|, 故②正确, 又因为椭圆由轨道Ⅱ变成轨道Ⅰ时
越来越扁, 设e1,e2为轨道Ⅰ和轨道Ⅱ对应的椭圆的离心率, 所以e1> e2，c1
a1 > c2
a2 , ∴a2c1>
a1c2 , 故③正确. 故选B
结论十六、黄金椭圆
椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 中，若a,b,c 成等比数列，即b2= ac ⇔∠F1B2A2= π
2 ,
e = c
a =
5-1
2
.
312
已知椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0).
(1) 若长轴长、短轴长、焦距成等差数列, 则该椭圆的离心率为
。
(2) 若长轴长、短轴长、焦距成等比数列, 则该椭圆的离心率为
。
【答案】(1) 3
5 (2)
5-1
2
【解析】(1) 由题设可知2b = a + c, 且a2= b2+ c2, 故b2= a2- c2=
a+c
2


2,
即a - c = a+c
4
, 即3a = 5c, 所以e = c
a = 3
5
(2) 由题设可知b2 = ac, 且a2 = b2 + c2，故a2 - c2 = ac，即c2 + ac - a2 = 0，由e = c
a ，可得
e2+ e - 1 = 0，解得e =
5-1
2
或-1-
5
2
(舍去)，所以e =
5-1
2
312
已知椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0)，A 是椭圆长轴的一个端点,B 是椭圆短轴的一
个端点,F 为椭圆的一个焦点，若AB ⊥BF, 则该椭圆的离心率为( )。
A.
5+1
2
B.
5-1
2
C.
5+1
4
D.
5-1
4
【答案】B
【解析】由射影定理有b2= ac = a2- c2⇒e = c
a =
5-1
2
. 故选B.
·332·
结论十七、离心率的定义表示
313
设F1,F2 分别是椭圆C ：x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦点, 点P 在椭圆C 上,
线段PF1的中点在y 轴上, 若∠PF1F2= 30°, 则椭圆的离心率为
(
)
A.
3
3
B.
3
6
C. 1
3
D. 1
6
【答案】A
【解析】本题存在焦点三角形△PF1F2, 由线段PF1 的中点在y 轴上,0 为F1F2 的中点, 可得
PF1 ⎳y 轴，从而PF2 ⊥F1F2, 又因为∠PF1F2 = 30°，则直角三角形△PF1F2 中，PF1


: PF2


: F1F2


= 2:1: 3, 且2a = PF1


+ PF2


,2c = F1F2


, 所以e = c
a = 2c
2a =
F1F2


PF1


+ PF2


=
3
3 . 故选A.
313
在平面直角坐标系xOy 中, 已知△ABC 顶点B(-2,0) 和C(2,0), 顶点A 在椭圆
x2
16 + y2
12 = 1 上，则sinB+sinC
sinA
=
【答案】2
【解析】因为a2= 16,b2= 12. 所以c2= 4, 即c = 2. 故B,C 为椭圆的两焦点, 所以
sinB+sinC
sinA
= AC


+ AB


BC


= 2a
2c = a
c = 4
2 = 2.
结论十八、离心率的正弦表示
设F1,F2为椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的左右焦点,
P 是椭圆上的动点, 若∠PF1F2= α,∠PF2F1= β, 则椭圆
的离心率为e = sin(α+β)
sinα+sinβ .
314
设椭圆C: x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为F1,F2,P 是C 上的点，PF2
⊥F1F2，∠PF1F2= 30° , 则C 的离心率为
(
)
A.
3
6
B. 1
3
C. 1
2
D.
3
3
【答案】D
【解析】解法一设PF2


= t, PF1


= 2t, 则F1F2


=
3t, 即2a = 3t,2c =
3t,e = 2c
2a =
3
3
故选D.
解法二e = sin(90°+30°)
sin90°+sin30° =
3
3 . 故选D.
314
已知F1,F2是椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点, 若PF1⊥F1F2, 且∠PF2F1= 60°
, 则C 的离心率为
(
)
A. 1 -
3
2
B. 2 -
3
C.
3-1
2
D.
3 - 1
·333·
【答案】D
【解析】解法一设PF2= 1, 则PF1=
3,F1F2= 2,e = 2c
2a =
2
3+1 =
3 - 1. 故选D.
解法二e = sin(60°+30°)
sin60°+sin30° =
1
3+1
2
=
3-1. 故选D..
结论十九、离心率范围与焦点三角形顶角关系
设F1,F2为椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦点,P 是椭圆上的动点, 若
∠F1PF2= θ, 则椭圆的离心率e 的取值范围为sin θ
2 ≤e < 1.
315
已知F1,F2 为椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦点, 若椭圆上存在点P, 使
∠F1PF2= 90°, 则椭圆的离心率e 的取值范围为
(
)
A. 0，2
2



B.
2
2 ,1



C. 0,
3
2



D.
3
2 ,1



【答案】B
【解析】解法一由椭圆上存在点P , 使∠F1PF2 = 90°, 可得以原点为圆心，以c 为半径的圆
与椭圆有公共点，所以c ≥b, 所以c2≥b2= a2- c2, 所以c2
a2 > 1
2 , 所以e = c
a ≥
2
2 .
又0 < e < 1, 所以
2
2 ≤e < 1, 即椭圆离心率e 的取值范围为
2
2 ,1



. 故选B.
解法二由sin θ
2 ≤e < 1. 得sin45° ≤e < 1, 所以
2
2 ≤e < 1. 故选B.
315
已知椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的两个焦点分别为F1,F2, 若椭圆上存在点P 使
得∠F1PF2是钝角, 则椭圆离心率的取值范围是
(
)
A. 0，2
2



B.
2
2 ,1


C. 0, 1
2


D.
1
2 ,1


【答案】B
【解析】设∠F1PF2 = θ, 由sin θ
2 ≤e < 1. 得sin45° < sin θ
2 ≤e < 1., 所以
2
2
< e < 1.
故选B.
结论二十、离心率的焦半径比值表示
若椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 上存在点P 使得PF1


= λ PF2


(λ > 1,λ ≠1)，则
e ∈
λ-1
λ+1


,1


.
316
椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的两个焦点是F1,F2. 若P 为其上一点. 且PF1


=
2 PF2


，则此椭圆离心率的取值范围是
.
·334·
【答案】1
3 ，1


【解析】解法一由PF1


+ PF2


= 2a, PF1


= 2 PF2


, 得PF1


= 4
3 a, PF2


= 2
3 a.
又PF1


- PF2


≤2c，即2
3 a ≤2c，得1
3 ≤e < 1. 故离心率的取值范围为
1
3 ，1


解法二因为PF1


PF2


= 2a- PF2


PF2


=
2a
PF2


- 1, 随着点P 的左移，PF2


增大，故PF1


PF2


减小，
因此PF1


PF2


随点P 的左移递减。故点P 在右顶点时，PF1


PF2


≥2, 即a+c
a-c ≥2 ⇒1
3 ≤e <
1.
故离心率的取值范围为
1
3 ，1


.
解法三由题知λ = 2，结合e ∈
λ-1
λ+1


,1


, 所以1
3 ≤e < 1. 故离心率的取值范围为
1
3 ，1


.
316
椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的两个焦点是F1,F2.. 若P 为其上一点，且PF1


=
4 PF2


，则
此椭圆离心率的取值范围是
.
【答案】3
5 ，1


【解析】解法一由PF1


+ PF2


= 2a, PF1


= 4 PF2


, 得PF1


= 8
5 a, PF2


= 2
5 a.
又|PF1| -|PF2| ≤2c 得6
5 a ≤2c, ∴3
5 ≤e < 1，故离心率的取值范围为
3
5 ，1


.
解法二由题知λ = 4, e ∈
λ-1
λ+1


,1


, ∴3
5 ≤e < 1，故离心率的取值范围为
3
5 ，1


.
结论二十一、椭圆焦半径比例模型
1. 已知椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1 a>b>0


，经过其焦点F 的直线交椭圆于A,B 两点，直线AB
的倾斜角为θ , AF

= λ FB

，椭圆的离心率e 满足：ecosθ


=
λ-1
λ+1


或e =
1+k2 λ-1
λ+1


其中k=tanθ


.
2. 已知椭圆y2
a2 + x2
b2 = 1 a>b>0


，经过其焦点F 的直线交椭圆于A,B 两点，直线AB
的倾斜角为θ,AF

= λFB

, 椭圆的离心率e 满足：esinθ


= λ-1
λ+1


或e =
1+ 1
k2
λ-1
λ+1


其中k=tanθ


.
317
已知椭圆C ：x2
a2 + y2
b2 = 1 a>b>0


的离心率为
3
2 ，过右焦点F 且斜率为
k k>0


的直线与C 相交于A,B 两点，若AF

= 3FB

，则k =
(
)
A. 1
B.
2
C.
3
D. 2
·335·
【答案】B
【解析】由题知λ = 3，带入结论e =
1+ 1
k2
λ-1
λ+1


得
3
2
=
1+k2 3-1
3+1


解得k = 2. 故
选B.
317
已知椭圆C：y2
a2 + x2
b2 = 1 a>b>0


，过上焦点F 且斜率为3 的直线与C 相交于
A,B 两点，若AF

= 2FB

，则椭圆的离心率e =
(
)
A.
5
4
B.
6
4
C.
5
9
D.
10
9
【答案】D
【解析】由题知k = 3,λ = 2，带入结论e =
1+ 1
k2
λ-1
λ+1


得e =
1+ 1
32
2-1
2+1


，解得e
=
10
9
. 故选D.
结论二十二、椭圆焦半径乘积范围
椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0)，F1，F2分别为其左右焦点，P 为椭圆上一点，有以下重要结
论：
①PF1


⋅PF2


∈b2,a2


；
②PF1

⋅PF2


= OP
2- c2∈2b2-a2,b2


；
③cos∠F1PF2=
2b2
PF1


PF2


- 1 ≥2b2
a2 - 1(当且仅当PF1


= PF2


= a，即P 为椭圆的短轴
端点时，cos∠F1PF2取得最小值，且此时点P 对两个焦点的张角∠F1PF2最大).
318
已知椭圆x2
4 + y2
3 = 1 的左右焦点分别为F1，F2，P 是椭圆上的一动点.
(1) 求PF1


⋅PF2


的取值范围；
(2) 求PF1

⋅PF2


的取值范围.
【答案】(1) 3,4


(2) 2,3


【解析】1) PF1


⋅PF2


= PF1


2a- PF1




=- PF1


-a


2+ a2，又PF1


∈a-c,a+c


，
故当PF1


= a - c 或PF1


= a + c 时，PF1


⋅PF2




min =-c2+ a2= b2.
当PF1


= a 时，PF1


⋅PF2




max = a2，
所以PF1


⋅PF2


∈b2,a2


，即PF1


⋅PF2


∈3,4


.
(2) 解法一2PF

1⋅PF2


== PF

1
2+ PF2

2- PF

1-PF2




2 = PF

1


2+ PF2




2- F1F2


2
= PF

1


2+ 2a- PF

1




2- 4c2= 2 PF

1


-a


2- 2a2+ 4b2
即PF1

⋅PF2


=
PF

1


-a


2- a2+ 2b2. 又PF1


∈a-c,a+c


，
故当PF1


= a 时，PF1

⋅PF2




min = 2b2- a2；
当PF1


= a - c 或PF1


= a + c 时，PF1

⋅PF2




max = c2- a2+ 2b2= b2.
所以PF1

⋅PF2


∈2b2-a2,b2


，即PF1

⋅PF2


∈2,3


.
·336·
解法二设P x0,y0


，x0∈-a,a


，则PF1

⋅PF2


= -c-x0,-y0


⋅c-x0,-y0


= x0
2+ y0
2-
c2= OP


2- c2.
又OP


2= x0
2+ y0
2= x0
2+ b2- b2
a2 x0
2= c2
a2 x0
2+ b2∈b2,a2


，
故PF1

⋅PF2


= OP


2- c2∈2b2-a2,b2


，即PF1

⋅PF2


∈2,3


.
318
已知AB 为圆O：x2 + y2 = 1 的直径，点P 为椭圆x2
4 + y2
3 = 1 上一动点，则PA

⋅
PB

的最小值为
.
【答案】2
【解析】解法一依据对称性，不妨设直径AB 在x 轴上，P 2cosx, 3sinx


，A -1,0


，
B 1,0


，从而PA

⋅PB

= 2cosx-1


2cosx+1


+ 3sin2x = 2 + cos2x ≥2
解法二PA

⋅PB

=
PA

+PB



2- PA

-PB



2
2
= 4PO
2-4
4
= PO
2- 1 = PO


2- 1，
而PO


min =
3，则PO


2- 1 的最小值是2.
结论二十三、斜率乘积定值模型(一)
经过原点的直线l 与椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 相交于A，B 两点，P 是椭圆上的动点，
直线PA，PB 的斜率都存在，则kPA⋅kPB =- b2
a2 = e2- 1.
319
设P x1,y1


是椭圆x2
25 + y2
16 = 1 上的点且P 的纵坐标y ≠0 ，点A -5,0


，
B 5,0


，试判断kPA⋅kPB 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.
【解析】因为点P 在椭圆x2
25 + y2
16 = 1 上，所以y2= 16 × 1- x2
25


= 16 × 25-x2
25
①，因为
点P 的纵坐标y ≠0. 所以x ≠±5，所以kPA=
y
x+5 ，kPB =
y
x-5 ，所以kPA⋅kPB =
y
x+5 ⋅
y
x-5 =
y2
x2-25 ②. 将①代入②得，kPA⋅kPB = 16 × 25-x2
25
×
1
x2-25 =- 16
25 ，所以kPA⋅kPB
为定值，这个定值是- 16
25 .
319
已知椭圆C：x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的长轴长为4，若点P 是椭圆C 上的任意一
点，过原点的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，直线PM ，PN 的斜率为kPM，kPN，若kPM ⋅kPN =
- 1
4 ，则椭圆的方程为
..
·337·
【答案】x2
4 + y2= 1
【解析】由题知2a = 4 ，所以a = 2 . 因为M，N 两点关于原点对称，所以kPM ⋅kPN =- b2
a2
=- 1
4 .
因为a2= 4 ，所以b2= 1 ，故椭圆的方程为x2
4 + y2= 1.
结论二十四、斜率乘积定值模型(二)
直线l 与椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 相交于A，B 两点，若M x0,y0


为AB 的中点，则
kAB =- b2x0
a2y0
，kAB ⋅kOM =- b2
a2 = e2- 1.
320
已知椭圆E：x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的右焦点为F 3,0


，过点F 的直线交椭圆与
A，B 两点，若AB 的中点坐标为M 1,-1


，则椭圆E 的方程为
(
)
A. x2
45 + y2
36 = 1
B. x2
36 + y2
27 = 1
C. x2
27 + y2
18 = 1
D. x2
18 + y2
9 = 1
【答案】D
【解析】解法一设A x1,y1


，B x2,y2


，根据题意得x1+ x2= 2 ，y1+ y2=-2 ，kAB =- 1
2 .
由椭圆方程可得x1
2
a2 + y1
2
b2 = 1 ，x2
2
a2 + y2
2
b2 = 1，两式作差，整理得2
a2 + -2
b2 × 1
2 = 0 ，所以a2
= 2b2 . 因为c = 3 ，所以a2= 18 ，b2= 9 . 故选D.
解法二由结论kAB ⋅kOM =- b2
a2 可得-1
1 × 1
2 =- b2
a2 ，得a2= 2b2，c = 3 . 故选D.
320
已知直线l 交椭圆x2
4 + y2
2 = 1 与A，B 两点，且线段AB 的中点为M 1,-1


，则
l 的斜率k 为
(
)
A. 1
2
B. - 1
2
C. 1
D. - 1
【答案】A
【解析】解法一设A x1,y1


，B x2,y2


，由线段AB 的中点为M 1,-1


，得x1+ x2=-2 ，
y1+ y2= 2 . 而
x1
2
4 + y1
2
2 =1,
x2
2
4 + y2
2
2 =1





，两式相减得
x1+x2


x1-x2


4
+
y1+y2


y1-y2


2
= 0 ，所以
·338·
y2-y1
x2-x1 = 1
2 ，所以直线l 的斜率k = 1
2 . 故选A.
解法二由结论kAB =- b2x0
a2y0
可得kAB =- 2⋅-1


4⋅1
= 1
2 . 故选A.
·339·
第51 讲
双曲线的定义和性质
通关一、双曲线的标准方程
当焦点在x 轴上时，x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0)，其中c2= a2+ b2；
当焦点在y 轴上时，y2
a2 - x2
b2 = 1(a > 0,b > 0)，其中c2= a2+ b2.
要点诠释：
1. 这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到
双曲线的标准方程；
2. 在双曲线的两种标准方程中，都有a > 0，b > 0 和c2= a2+ b2；
3. 双曲线的焦点总在实轴上：当焦点在x 轴上时，双曲线的焦点坐标为c,0


，-c,0


；当
焦点在y 轴上时，双曲线的焦点坐标为0,c


，0,-c


；
4. 在两种标准方程中，可以根据系数的正负来判定焦点在哪一个坐标轴上.
通关二、双曲线的几何性质
标准方程
x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0)
y2
a2 - x2
b2 = 1(a > 0,b > 0)
图形
标准方程
x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0)
y2
a2 - x2
b2 = 1(a > 0,b > 0)
几何性质
范围
x


≥a ，y ∈R
y


≥a ，x ∈R
·340·
对称性
对称轴：x 轴，y 轴；对称中心：原点.
焦点
F1 -c,0


，F2 c,0


F1 0,-c


，F2 0,c


顶点
A1 -a,0


，A2 a,0


A1 0,-a


，A2 0,a


轴
线段A1A2 ，B1B2 分别是双曲线的实轴和虚轴；
实轴长为2a ，虚轴长为2b
焦距
F1F2


= 2c
离心率
e = c
a =
1+ b2
a2 ∈1，+∞


渐近线
y =± b
a x
y =± a
b x
a，b，c 的关系
a2= c2- b2
通关三、求双曲线的方程的两种方法
1. 定义法
根据双曲线定义，确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有：
(1)c2= a2+ b2；
(2) 双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.
注意：求轨迹方程时，满足条件：PF1


- PF2


= 2a 0<2a< F1F2




为双曲线的一支，应注
意条件合理取舍.
2. 待定系数法
(1) 一般步骤
①判断：根据已知条件，确定双曲线的焦点是在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴
都有可能；
②设：根据①中的判断结果，设出所需的未知数或者标准方程；
③列：根据题意，列出关于，，的方程或方程组；
④解：求解得到方程.
(2) 常见设法
①与双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1 共渐近线的双曲线可设为x2
a2 - y2
b2 = λ λ≠0


；
·341·
②若双曲线的渐近线方程为y =± b
a x，则可设为x2
a2 - y2
b2 = λ λ≠0


；
③若双曲线过两个已知点，则可设为x2
m + y2
n = 1(mn < 0)；
④与双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1 共焦点的双曲线方程可设为
x2
a2-λ -
y2
b2+λ = 1 -b2<λ<a2


；
⑤与椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 有共同焦点的双曲线方程可设为
x2
a2-λ +
y2
b2+λ = 1 b2<λ<a2


.
结论一、双曲线定义的理解
1. 设双曲线上的点M 到两焦点F1，F2的距离之差的绝对值为2a，则有0 < 2a < F1F2


，这
一条件不能忽略.
①若2a = F1F2


，则点M 的轨迹是分别以为端点的两条射线；
②若2a > F1F2


，则点M 的轨迹不存在；
③若2a = 0，则点M 的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
2. 若将双曲线的定义中“差的绝对值等于常数”中的“绝对值”去掉，则点的集合是双曲线
的一支，具体是左支还是右支可借助图形来确定.
321
到两定点F1 -3,0


，F2 3,0


的距离之差的绝对值等于6 的点M 的轨迹是(
)
A. 椭圆
B. 线段
C. 双曲线
D. 两条射线
【答案】D
【解析】到两个定点的距离之差的绝对值小于两个定点间距离的点的轨迹是双曲线，等于
两个定点间距离时，双曲线退化成两条射线，分别以两个定点为射线的两个端点.
F1A


- F2A




= F1F2


= 6 时，这三点共线，且点A 在F1 ，F2之外. 也可通过求轨迹方程的办法
求出，此时要注意自变量的取值范围.
321
已知点M -2,0


，N 2,0


，动点P 满足条件PM


- PN


= 2 2 ，则动点P 的
轨迹方程为
.
【答案】x2
2 - y2
2 = 1 x>0


【解析】由PM


- PN


= 2 2 < MN


= 4，结合双曲线定义可知动点P 的轨迹为以M，
N 为焦点的双曲线右支，双曲线中2a = 2 2 ，2c = 4 ，所以a =
2 ，c = 2 ，所以b =
2 ，
轨迹方程为x2
2 - y2
2 = 1 x>0


.
·342·
结论二、双曲线上点的性质
若P 为双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1 上一点，F1，F2为双曲线的左、右焦点，则PF1


- PF2




= 2a .
322
若双曲线E：x2
9 - y2
16 = 1 的左右焦点分别为F1，F2，点P 在双曲线E 上，且PF1


= 3，则PF2


等于
(
)
A. 11
B. 9
C. 5
D. 3
【答案】B
【解析】由双曲线定义得PF1


- PF2




= 2a = 6 ，即3- PF2




= 6 ，解得PF2


= 9 ，故选
B.
322
P 是双曲线的右支上一点，M ，N 分别是圆和上的点，则的最大值为
(
)
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
【答案】D
【解析】由题意得双曲线x2
9 - y2
16 = 1 的焦点分别为F1 -5,0


，F2 5,0


，且这两点刚好
为两圆的圆心. 由题意可得，当且仅当P 与M，F1三点共线，以及P 与N，F2三点共线时所求
的值最大，此时PM


- PN


=
PF1+2




-
PF2


-1


= 6 + 3 = 9 . 故选D.
结论三、焦点三角形周长拓展
过双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1 上一个焦点作弦AB(交到同一支上)，与另一个焦点F 构造三角
形FAB，则△FAB 的周长等于4a + 2 AB


.
323
如图，已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，过F1 的直线与左支交于A，B 两点，
若AB


= 5，且实轴长为8，则△ABF2的周长为
.
【答案】26
【解析】由双曲线的定义知，F2A


- F1A


= 2a ，F2B


- F1B


= 2a，两式相加得F2A


+
·343·
F2B


- F1A


- F1B


= 4a.
又AB


= 5 = F1A


+ F1B


，2a = 8 ，故F2A


+ F2B


= 4a + F1A


+ F1B


= 16 + 5 = 21，
故△ABF2的周长为21 + 5 = 26 .
323
设F1，F2 为双曲线
x2
sinθ2 - y2
b2 = 1 0<θ≤π
2 ,b>0


的两个焦点，过F1 的直线交
双曲线的同支于A，B 两点，如果AB


= m，则△AF2B 的周长的最大值是
(
)
A. 4 - m
B. 4
C. 4 + m
D. 4 + 2m
【答案】D
【解析】由双曲线的定义有AF2


- AF1


= 2sinθ ，BF2


- BF1


= 2sinθ，于是△AF2B 的
周长为AF2


+ BF2


+ m = 2sinθ + AF1


+ 2sinθ + BF1


= 4sinθ + 2m ，最大值当θ = π
2 时
取得，最大值为4 + 2m. 故选D.
结论四、双曲线的标准方程
对于方程x2
m + y2
n = 1，
(1) 表示双曲线的充要条件为mn < 0；
(2) 表示焦点在x 轴上的双曲线的充要条件为m > 0，n < 0；
(3) 表示焦点在y 轴上的双曲线的充要条件为m < 0，n > 0.
324
如果方程
x2
m+2 +
y2
m+1 = 1 表示双曲线，则m 的取值范围是
(
)
A. 2,+∞


B. -2,-1


C. -∞,-1


D. 1,2


【答案】B
【解析】由题意知，2+m


1+m


< 0，解得-2 < m <-1 ，故m 的取值范围是-2,-1


.
故选B.
324
若方程
x2
5-m +
y2
m2-2m-3 = 1 表示焦点在y 轴上的双曲线，求实数m 的取值
范围.
【答案】5,+∞


【解析】由双曲线的焦点在y 轴上可知，m 需满足5-m>0,
m2-2m-3>0

，解得m > 5. 故实数
m 的取值范围为5,+∞


.
结论五、求双曲线的渐近线
求双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 或y2
a2 - x2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的渐近线方程的方法是
令右边的常数等于0，即令x2
a2 - y2
b2 = 0 得y =± b
a x，或令y2
a2 - x2
b2 = 0 得y =± a
b x.
·344·
325
双曲线x2- y2
4 = 1 的渐近线方程为
(
)
A. y =± 1
2 x
B. y =±2x
C. y =±
3
2 x
D. y =±
5
2 x
【答案】B
【解析】令x2- y2
4 = 0，得y =±2x，所以渐近线方程为y =±2x. 故选B.
325
双曲线y2
4 - x2
9 = 1 的渐近线方程是
A. y =± 3
2 x
B. y =± 2
3 x
C. y =± 9
4 x
D. y =± 4
9 x
【答案】B
【解析】渐近线方程为y2
4 - x2
9 = 0，即y =± 2
3 x. 故选B.
结论六、双曲线方程的设法
1. 与双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 有相同渐近线的双曲线方程为x2
a2 - y2
b2 = λ(λ ≠0)
2. 渐近线为y =± n
m x 的双曲线方程为x2
m2 - y2
n2 = λ(λ ≠0)
3. 与双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 有共同焦点的双曲线方程为
x2
a2-λ -
y2
b2+λ = 1(
-b2< λ < a2)
4. 与椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 有共同焦点的双曲线方程为
x2
a2-λ +
y2
b2+λ = 1(b2< λ
< a2)
326
(1) 与双曲线x2
16 - y2
9 = 1 有相同的渐近线，且过点A 2 3,-3


的双曲线方程是
.
(2) 与双曲线x2
16 - y2
20 = 1 有相同焦点，且经过点-5,2


的双曲线的标准方程是
.
(3) 与椭圆x2
49 + y2
36 = 1 有公共焦点，且经过点3 2,2


的双曲线的标准方程是
.
【答案】(1) 4y2
9 - x2
4 = 1(2) x2
20 - y2
16 = 1(3) x2
9 - y2
4 = 1
【解析】(1) 与双曲线x2
16 - y2
9 = 1 有相同的渐近线方程的双曲线方程为x2
16 - y2
9 =
λ λ≠0


，将点A 2 3,-3


代入，得：λ =
2 3


2
16
-
-3


2
9
=- 1
4 . 所以所求双曲线的方程为
x2
16 - y2
9 =- 1
4 ，即4y2
9 - x2
4 = 1.
·345·
(2) 设所求双曲线方程为
x2
16-λ -
y2
20+λ = 1 -20<λ<16


. 因为双曲线过点-5,2


，所
以
25
16-λ -
4
20+λ = 1，解得λ =-4 或λ =-29(舍去)，所以所求双曲线的方程为x2
20 - y2
16 =
1.
(3) 设所求双曲线方程为
x2
49-λ +
y2
36-λ = 1 36<λ<49


. 因为双曲线过点3 2,2


，所
以
18
49-λ +
4
36-λ = 1，解得λ = 40 或λ = 23(舍去)，所以所求双曲线的方程为x2
9 - y2
4 = 1.
326
已知双曲线过点4, 3


，且渐近线方程为y =± 1
2 x，则该双曲线的标准方程为
.
【答案】x2
4 - y2= 1
【解析】设双曲线方程为x2
4 - y2= λ λ≠0


，将点4, 3


代入得λ = 1，所以双曲线方程
为x2
4 - y2= 1.
结论七、点到线距离定值
双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b.
327
双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 焦点到渐近线的距离为
2 ，则b 等于
(
)
A. 1
B.
2
C. 2
D. 2 2
【答案】B
【解析】焦点(c,0) 到bx - ay = 0 的距离为
bc
a2+b2 = b，故b =
2，故选B.
327
已知双曲线C: x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，
则此双曲线的离心率为
(
)
A.
2
B.
3
C.
5
D.
5
2
【答案】C
【解析】由题意可设双曲线C 的右焦点为F(c,0)，渐近线的方程为y =± b
a x，可得d =
ab


a2+b2 = b = 2a，可得c =
a2+b2 =
5a，可得离心率e = c
a =
5. 故选C.
结论八、比值为定值
双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的焦点到渐近线的距离与顶点到渐近线的距离之比等
于双曲线的离心率.
·346·
328
已知双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的焦点F 到渐近线距离与顶点A 到渐近线
距离之比为3:1，则双曲线C 的渐近线方程为
(
)
A. y =±2 2x
B. y =± 2x
C. y =±
2
2 x
D. y =±
2
4 x
【答案】A
【解析】如图所示，双曲线顶点为A，焦点为F，过A,F 作渐近线的垂线，垂足为B,C，所以
△OAB 与△OFC 相似(O 为坐标原点). 又由题意知CF
AB = 3
1 ，所以OF
OA = c
a = 3，即c = 3a，
又因为c2= b2+ a2，所以b2= 8a2，即b
a = 2 2. 所以渐近线方程为：y =±2 2x，故选A.
328
设双曲线C: x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的两条渐近线互相垂直，顶点到一条渐近
线的距离为1，则双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为
(
)
A. 2
B.
2
C. 2 2
D. 4
【答案】B
【解析】因为双曲线C: x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的两条渐近线互相垂直，所以渐近线方
程为y =±x，所以a = b，因为顶点到一条渐近线的距离为1，所以
2
2 a = 1，所以a = b =
2，
所以双曲线C 的方程为x2
2 - y2
2 = 1，焦点坐标为(-2,0),(2,0)，所以双曲线的一个焦点到一
条渐近线的距离d = 2
2 =
2，故选B.
结论九、等轴双曲线
已知双曲线方程为x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0)，当a = b 时，称为等轴双曲线.
(1) 方程形式为x2- y2= λ(λ ≠0)；
(2) 渐近线方程为y =±x，它们互相垂直；
(3) 离心率e =
2.
329
关于渐近线方程为x ± y = 0 的双曲线有下述四个结论：①实轴长与虚轴长相等，
②离心率是
2 ，③过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长与实轴长相等，④
顶点到渐近线与焦点到渐近线的距离比值为
2. 其中所有正确结论的编号是
(
)
A. ①②
B. ①③
C. ①②③
D. ②③④
【答案】C
【解析】①因为渐进线的斜率为± b
a =±1 或± a
b =±1，所以①正确；②离心率e =
1+ b2
a2 =
2，所以②正确；③设双曲线的方程为x2 - y2 = a2，将x = c 代入双曲线方程可得
y2 = c2 - a2 = b2，过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长为2b = 2a，与实轴长相
·347·
等，同理，当焦点在y 轴上时此结论也成立，所以③正确；④因为顶点到渐近线的距离小于焦
点到渐近线的距离，所以④不正确. 故选C.
329
已知双曲线C: x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的两条渐近线互相垂直，焦距为6 2 ，则
该双曲线的实轴长为
(
)
A. 3
B. 6
C. 9
D. 12
【答案】B
【解析】因为两条渐进线互相垂直，故可得- b
a


2 =-1，又因为焦距为6 2，故可得2c =
6 2，结合a2+ b2= c2，解得a = 3，b = 3，c = 3 2，故实轴长2a = 6. 故选B.
结论十、离心率与渐近线斜率关系
在双曲线方程为x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 中，e = c
a =
a2+b2
a
=
1+ b2
a2 =
1+k2，
所以双曲线的渐近线方程y =± b
a x 可以表示为y =± e2-1x.
330
设双曲线C : x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的一条渐近线方程为C 的离心率为
.
【答案】3
【解析】双曲线的渐近线方程为y =± e2-1x，所以
e2-1 =
2，e2= 3，e =
3.
330
在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x2
a2 - y2
5 = 1(a > 0) 的一条渐近线方程为y
=
5
2 x，则该双曲线的离心率是
.
【答案】3
2
【解析】双曲线的渐近线方程为y =± e2-1x，所以
e2-1 =
5
2 ，e2= 9
4 ，e = 3
2 .
结论十一、过定点直线与双曲线相交问题
1. 若直线恒过的定点落在双曲线两支之内，当直线与双曲线只有一个交点时，该直线的
斜率为k =± b
a ；如图(a) 所示，l1，l2分别与渐近线平行，显然此时与双曲线只有一个交点；
2. 若直线恒过的定点落在双曲线两支之内，当直线与双曲线的左右两支都有交点时，该
直线的斜率满足k ∈- b
a , b
a


；如图(b) 所示，l1，l2 分别与渐近线平行，如果直线与双曲线的
左右两支都有交点，则动直线只需按箭头方向旋转即可；
3. 若直线恒过的定点落在双曲线两支之内，当直线与双曲线的单支有两个交点时，该直
线的斜率满足k ∈-∞,- b
a


∪
b
a ,+∞


. 如图(c) 所示，l1，l2 分别与渐近线平行，如果直线
与双曲线的单支有两个交点，则动直线只需按箭头方向旋转即可.
·348·
(a) (b) (c)
331
斜率为2 的直线l 过双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的右焦点，且与双曲线的左、
右两支分别相交，则双曲线的离心率的取值范围是
.
【答案】( 5, +∞)
【解析】直线l 与双曲线的两支分别相交，满足- b
a < 2 < b
a (其中± b
a 为双曲线的两条渐
近线的斜率)，即b
a =
c2-a2
a2
=
e2-1 > 2，解得e >
5. 所以双曲线的离心率的取值范围
是( 5, +∞).
331
已知双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的右焦点为F，若过点F 且倾斜角为60° 的
直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
(
)
A. 1,2


B. 1,2


C. 2,+∞


D. 2,+∞


【答案】C
【解析】如图，l1 与l2 分别为与双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1 的渐近线平行的两条直线，直线l 为过
点F 且倾斜角为60° 的直线，要使与双曲线的右支有且只有一个交点，则应使b
a ≥tan60° =
3，所以e =
1+
b
a


2 ≥2. 故选C.
结论十二、双曲线的通径
过焦点做实轴的垂线与双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1 a>0,b>0


垂的交点为A，B，则AB 即为
双曲线的通径，AB = 2b2
a .
332
已知F 已为双曲线C ：x2
a2 - y2
b2 = 1 a>0,b>0


的右焦点，A 为C 的右顶点，B
为C 上的点，且BF 垂直于x 轴. 若AB 的斜率为3，则C 的离心率为
.
【答案】2
【解析】由题意可得BF


AF


= 3，而BF


= b2
a ，AF


= c - a，即
b2
a
c-a = 3，变形得c2 - a2 =
3ac - 3a2，化简可得e2- 3e + 2 = 0，解得e = 2 或e = 1(舍去).
·349·
332
已知双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1 a>0,b>0


的离心率为2，过双曲线的右焦点垂直于x
轴的直线被双曲线截得的弦长为m，则m
a =
.
【答案】6
【解析】双曲线的焦距为2c，则c
a = 2，即c = 2a，则b =
3 a，由题意知m，故m = 2b3
a ，
所以m
a = 2b2
a2 = 6.
结论十三、焦点三角形的面积
若点P x0,y0


在x2
a2 - y2
b2 = 1 a>0,b>0


在上，设∠F1PF2 = θ，则△F1PF2 的面积S△F1PF2
= c y0


= 1
2 PF1


PF2


∙sinθ =
b2
tan θ
2
.
333
设双曲线C：x2
a2 - y2
b2 = 1 a>0,b>0


的左右焦点分别为F1，F2, 离心率为
5.
P 是C 上的一点，且F1P ⊥F2P. 若△F1PF2的面积为4，则a =
(
)
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
【答案】A
【解析】因为F1P ⊥F2P，所以∠F1PF2 = 90°，S△F1PF2 =
b2
tan ∠F1PF2
2
= b2 = 4. 因为e2 = c2
a2
= a2+b2
a2
= 1 + b2
a2 = 5，所以4
a2 = 4，a2= 1，即a = 1. 故选A.
333
设F1，F2 是双曲线C ：x2 - y2
3 = 1 的两个焦点，O 为坐标原点，点P 是C 上且
OP


= 2，则△F1PF2的面积为
(
)
A. 7
2
B. 3
C. 5
2
D. 2
【答案】B
【解析】由已知，不妨设F1 -2,0


，F2 2,0


，则a = 1，c = 2. 因为OP


= 2 = 1
2 F1F2


，所以
点P 在以F1F2 为直径的圆上，即△F1PF2 是以点P 为直角顶点的直角三角形，S△F1PF2 =
b2
tan ∠F1PF2
2
= b2= 3，故选B.
结论十四、焦半径最值
·350·
F 为双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1 a>0,b>0


的右焦点，若P 是双曲线右支上的动点，则PF


≥
c - a；若P 是双曲线左支上的动点，则PF


≥c + a.
334
若椭圆或双曲线上存在一点P 到两个焦点的距离之比为2:1，则称此椭圆或双曲
线上存在“Γ 点”的是
(
)
A. x2
16 + y2
15 = 1
B. x2
25 + y2
24 = 1
C. x2- y2
15 = 1
D. x2- y2= 1
【答案】D
【解析】在椭圆中，PF1


PF2


= 2 > 1，PF1


+ PF2


= 2a，PF1


= 2 PF2


，即PF2


= 2a
3 ，又
PF2


≥c - a，故2a
3 ≥a - c ⇒c ≥a
3 ⇒e ≥1
3 ，又0 < e < 1，故1
3 ≤e < 1. 在双曲线中，
PF1


PF2


= 2 > 1，PF2


= 2a，PF2


≥c - a，故2a ≥c - a ⇒3a ≥c ⇒e ≤3，又e > 1，所以1 < e
≤3.A 选项：x2
16 + y2
15 = 1，e = 1
4 ∉
1
3 ,1


，错误；B 选项：x2
25 + y2
24 = 1，e = 1
5 ∉
1
3 ,1


，错
误；C 选项：x2 - y2
15 = 1，e = 4 ∉1,3


，错误；D 选项：x2 - y2 = 1，e =
2 ∈1,3


，正确. 综
上，故选D.
334
已知双曲线C ：x2
a2 - y2
b2 = 1 a>0,b>0


的左右焦点分别为F1 -c,0


，F2 c,0


,
若双曲线上存在一点P 使得sin∠PF1F2
sin∠PF2F1 = a
c ，则双曲线的离心率的取值范围是
.
【答案】D
【解析】在△PF1F2 中，由正弦定理可得
PF2


sin∠PF1F2 =
PF1


sin∠PF2F1 ，则由已知得
a
PF2


=
c
PF1


，即PF1


= c
a PF2


，由双曲线的定义可知PF1


- PF2




= 2a，则c
a PF2


- PF2




= 2a，
即PF2


= 2a2
c-a ，由双曲线的几何性质可知PF2


> c - a，则2a2
c-a > c - a，即c2 - 2ac - a2
< 0，所以e2 - 2e - 1 < 0，解得- 2 + 1 < e <
2 + 1，又e ∈1,+∞


，故双曲线的离心率e
∈1, 2+1


.
结论十五、双曲线中的线段和差最值
设双曲线方程为x2
a2 - y2
b2 = 1 a>0,b>0


，F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点，Q x0,y0


为平面上一定点，M 为双曲线右支上任意一点.
1. 若定点Q x0,y0


与双曲线右焦点F2 在双曲线右支的同侧，则MQ


+ MF2


的最小值
是QF1


- 2a，最大值不存在；
2. 若定点Q x0,y0


与双曲线右焦点F2 在双曲线右支的异侧，则MQ


+ MF2


的最小值
是QF2


，最大值不存在.
·351·
335
已知F 是双曲线x2
4 - y2
12 = 1 的左焦点，A 1,4


，P 是双曲线右支上的动点，则
PF


+ PA


的最小值为
.
【答案】9
【解析】设双曲线的右焦点为F1，PF


= PF1


+ 4，PF1


+ PF




min = AF1


= 5，则PF


+
PA


的最小值为9.
335
已知F2 是双曲线C: x2
4 - y2
12 = 1 的右顶点，动点A 在双曲线左支上，点B 为圆E:
x2+ (y + 2)2= 1 上的一点，则AB


+ AF2


的最小值为
(
)
A. 9
B. 8
C. 5 3
D. 6 3
【答案】A
【解析】设双曲线C 的左焦点为F1，则AF2


= AF1


+ 2a = AF1


+ 6，所以AB


+ AF2


=
AB


+ AF1


+ 6 =
AB


+ AF1


+ BE


+ 5 ≥F1E


+ 5 =
12+4 + 5 = 9，故选A
结论十六、黄金双曲线
双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1 a>0,b>0


中，若a，b，c 成等比数列，即b2 = ac ⇔∠F1B2A2 = 90°,
离心率e =
5+1
2
.
336
已知双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1 a>0,b>0


.
(1) 若实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则该双曲线的离心率为
.
(2) 若实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则该双曲线的离心率为
.
【答案】(1) 5
3 (2)
5+1
2
【解析】(1) 由题设可知2b = a + c，且c2= a2+ b2，故c2- a2=
a+c
2


2，得c - a = a+c
4
，
即3c = 5a，所以e = c
a = 5
3 .
(2) 由题设可知b2= ac，且c2= a2+ b2，故c2- a2= ac，即c2- ac - a2= 0，由e = c
a 可得
e2- e - 1 = 0，解得e =
5+1
2
或e = 1-
5
2
(舍去)，所以e =
5+1
2
.
336
设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB 与该双曲线的一
条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是
(
)
A.
2
B.
3
C.
3+1
2
D.
5+1
2
【答案】D
【解析】设双曲线的方程为x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0)，不妨设一个焦点为F(c,0)，虚轴的
一个端点为B(0,b)，则kFB =- b
c . 又渐近线的斜率为± b
a ，所以由题意得- b
c ⋅b
a =-1(- b
a
不符合，舍去)，则b2= ac，又双曲线中c2- a2= b2，故c2- a2= ac，即c2- ac - a2= 0，由e =
·352·
c
a 可得e2- e - 1 = 0，解得e =
5+1
2
或e = 1-
5
2
(舍去)，故选D.
结论十七、双曲线焦点弦弦长
已知双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1 a>0,b>0


中，经过其焦点F 的直线交双曲线于A，B 两点，直
线AB 的倾斜角为θ，双曲线的离心率为e，则焦点弦长AB


=
2b2
a
1-e2cos2θ


.
337
过双曲线x2 - y2
4 = 1 的右焦点为F 做一条斜率为
3 的直线与双曲线交于A，B
两点，则AB


为
.
【答案】32
【解析】由题知k =
3，所以cosθ = 1
2 ，e =
5，由焦点弦长公式AB


=
2b2
a
1-e2cos2θ


得，
AB


=
2⋅4
1
1-( 5)2 1
2


2


= 32
337
过双曲线x2
5 - y2
4 = 1 的右焦点F 作一条斜率为2 的直线与双曲线交于A，B 两
点，O 渐为坐标原点，则△OAB 的面积为
.
【答案】15
2
【解析】由题意知k = 2 ，所以cosθ =
1
5 ，e =
3
5 ，由焦点弦长公式AB


=
2b2
a
1-e2cosθ2


得AB


=
2∙4
5
1-
3
5


2∙
1
5


2


= 5 5
2
，O 到AB 的距离d =
6
5 ，S△OAB = 1
2 ×
d × AB


= 15
2 .
结论十八、离心率的定义表示
双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 中，e = c
a = 2c
2a =
F1F2


PF1


- PF2




.
338
如图，已知ABCDEF 为正六边形，若以C,F 为焦点的双曲线恰好经过A,B,D,E
四点，则该双曲线的离心率为
.
【答案】3 + 1
【解析】设正六边形边长为1，则以FC 为x 轴，中垂线为y 轴建立直角坐标系，则F(-1,
0)，C(1,0)，故c = 1. 因为FC = 2，BC = 1，所以BF =
3，即BF - BC =
3 - 1 = 2a，故a =
3-1
2
. 所以e = c
a =
1
3-1
2
=
2
3-1 =
3 + 1.
·353·
338
过双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的左焦点F(-c,0) (c > 0)，作圆x2 + y2 = a2
4
的切线，切点为E，延长FE 交双曲线右支于点P，若OP

= 2OE

- OF

，则双曲线的离心率是
.
【答案】10
2
【解析】由OP

= 2OE

- OF

得OE

= 1
2 (OF

+ OP

), 可知E 为PF 的中点, 令右焦点为
F,
则O 为FF的中点,PF= 2OE = a. 因为E 为切点, 所以OE ⊥PF,PF⊥PF,PF -
PF= 2a,
PF = 3a. 又PF 2+ PF '2= FF '2, 则10a2= 4c2,e =
10
2
.
结论十九、离心率求值的正弦表示
F1,F2为双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1 a>0,b>0


的左右焦点,P 是双曲线上的动点, 若∠PF1F2=
α,∠PF2F1= β, 则双曲线的离心率为e =
sin α+β


sinα-sinβ

.
339
双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的左、右焦点分别是F1,F2, 过F1 作倾斜角为30°
的直线交双曲线右支于P 点, 若PF2垂直于x 轴, 则双曲线的离心率为
(
)
A.
6
B.
3
C.
2
D.
3
3
【答案】B
【解析】解法一设PF2

= t, PF1

= 2t, 则F1F2

=
3t, 即2a = t,2c =
3t,e = 2c
2a =
3.
故选B
解法二e = sin 90°+30°


sin90°-sin30° =
3 故选B.
339
已知F1,F2是双曲线E: x2
a2 - y2
b2 = 1 的左、右焦点, 点M 在E 上, MF1与x 轴垂直,
sin∠MF2F1= 1
3 , 则E 的离心率为
(
)
A.
2
B. 3
2
C.
3
D. 2
【答案】A
【解析】解法一设MF1= 1, 则MF2= 3,F1F2= 2c = 2 2,2a = MF2- MF1= 2,e =
2. 故选
A.
解法二e = sin 90°+∠MF2F1


sin90°-sin∠MF2F1 = cos∠MF2F1
1- 1
3
=
2 2
3
2
3
=
2. 故选A.
结论二十、离心率的焦半径比值表示
·354·
若在双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 上存在一点P, 使PF1

= λ PF2

(λ > 1), 则1 < e ≤
λ+1
λ-1 .
340
双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的两个焦点分别为F1,F2若P 为其上一点, 且
PF1

= 2 PF2

, 则双曲线的离心率的取值范围是
(
)
A. (1,3)
B. (1,3]
C. (3, +∞)
D. [3, +∞)
【答案】B
【解析】解法一由双曲线的定义知,||PF1| -|PF2|| = 2a PF1

= 2 PF2

, 即
PF1

= 4a, PF2

= 2a. 又PF1

+ PF2

≥F1F2

= 2c, 故6a ≥2c, 即e ≤3. 又e > 1, 故1 <
e ≤3. 故选B
解法二利用PF1


PF2

的单调性, PF1


PF2

= PF2

+2a
PF2


= 1 +
2a
PF2

, 随着∣PF2| 的增加，
PF1


PF2

减小, 也就是说, 当点P 右移时, PF1


PF2

值减小, 故要在双曲线上找到一点P, 使得
PF1


PF2

= 2, 而当点P 在双曲线的右顶点上时, PF1


PF2

≥2, 得a+c
c-a ≥2, 即3a ≥c, 则1 < e
≤3 故选B
解法三由题知λ = 2, 结合1 < e ≤λ+1
λ-1 , 所以1 < e ≤3, 故离心率的取值范围为(1,3] 故
选B.
340
已知双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的左、右焦点分别为F1,F2, 点P 在双曲线
的右支上, 且PF1

= 4 PF2

, 则此双曲线的离心率e 的最大值为
.
【解析】解法一由定义知PF1

- PF2

= 2a 又已知PF1

= 4 PF2

, 解得PF1

= 8
3 a, PF2


= 2
3 a. 在△PF1F2中, 由余弦定理得cos∠F1PF2=
64
9 a2+ 4
9 a2-4c2
2⋅8
3 a⋅2
3 a
= 17
8 - 9
8 e2. 要求e 的最
大值, 即求cos∠F1PF2的最小值. 当P 为实轴的右端点时,cos∠F1PF2=-1, 解得e = 5
3 , 即e
的最大值为5
3 .
解法二由定义知PF1

- PF2

= 2a, 又已知PF1

= 4 PF2

, 解得PF1

= 8
3 a, PF2


= 2
3 a, PF2

min = c - a, 从而只要2
3 a ≥c - a, 就能得到P 点存在, 解得e ≤5
3 , 等号可
以取到, 即e 的最大值为5
3
解法三由题知λ = 4, 结合1 < e ≤λ+1
λ-1 , 所以1 < e ≤5
3 , 故离心率的取值范围为
1, 5
3


.
结论二十一、双曲线焦半径比例模型
·355·
1. 已知双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0), 经过其焦点F 的直线交双曲线于A,B 两
点, 直线AB 的倾斜角为θ,AF

= λFB

, 双由线的离心率e 满足:|ecosθ| = λ-1
λ+1

或e =
1+k2 λ-1
λ+1

(其中k = tanθ);
2. 已知双曲线y2
a2 - x2
b2 = 1(a > 0,b > 0), 经过其焦点F 的直线交双曲线于A,B 两
点, 直线AB 的倾斜角为θ,AF

= λFB

, 双曲线的离心率e 满足:|esinθ| = λ-1
λ+1

或
e =
1+ 1
k2
λ-1
λ+1

(其中k = tanθ)
341
已知双曲线C: x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的右焦点为F, 过F 且斜率为
3 的直线
交C 于A,B 两点, 若AF

= 4FB

, 则C 的离心率为
(
)
A. 6
5
B. 7
5
C. 5
8
D. 9
5
【答案】A
【解析】由题知λ = 4, 带入结论e =
1+k2 λ-1
λ+1

得e =
1+( 3)2 4-1
4+1

= 6
5 故选A.
341
已知双曲线C: x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 的离心率为
3 , 过右焦点F 且斜率为
k(k > 0) 的直线与C 相交于A,B 两点. 若AF

= 3FB

, 则k =
(
)
A. 3B 10C
11D2 3
【答案】C
【解析】由题知λ = 3, 带入结论e =
1+k2 λ-1
λ+1

得√3 = √(1 + k^2)|(3 - 1)/(3 + 1)|, 解
得k =±√11, 因为k > 0, 所以k = √11, 故选C.
结论二十二、斜率乘积定值模型(一)
直线l 与双由线x2
a2 - y2
b2 = 1 a>0,b>0


相交于A,B 两点, 若M x0,y0


为AB 的中点,
则
kAB ⋅kOM = b2
a2 ,kAB = b2x0
a2y0
.
342
已知双曲线E 的中心为原点,F(3,0) 是E 的焦点, 过F 的直线l 与E 相交于A,B
两点, 且AB 的中点为N(-12, -15), 则E 的方程为
(
)
A. x2
3 - y2
6 = 1
B. x2
4 - y2
5 = 1
C. x2
6 - y2
3 = 1
D. x2
5 - y2
4 = 1
【答案】B
·356·
【解析】解法一设双曲线方程为x2
a2 - y2
b2 = 1,A x1,y1


,B x2,y2


, 代人双曲线方程两式相减
可得
x1-x2


x1+x2


a2
=
y1-y2


y1+y2


b2
, 从而x1+x2
a2
= y1-y2
x1-x2 × y1+y2
b2
, 即
2×xN
a2
= kAB × 2yN
b2 , 即-24
a2
= -30
b2 , 整理可得5a2= 4b2, 又a2+ b2= 9, 两式联立可得
a2= 4,b2= 5. 双曲线方程为x2
4 - y2
5 = 1. 故选B.
解法二由kAB ⋅kOM = b2
a2 可得-15
-12 × 0- -15


3- -12


= b2
a2 , 即5a2= 4b2,c = 3. 故选B
342
已知直线x - 2y + 1 = 0 与双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1 a>0,b>0


交于A,B 两点, 且线
段AB 的中点M 的横坐标为1, 则该双曲线的离心率为
(
)
A. 2B
6
2 C.
5
2 D. 3
【答案】B
【解析】解法一因为直线x - 2y + 1 = 0 与双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1 a>0,b>0


交于A,B 两
点, 且线段AB 的中点M 的横坐标为1, 所以kOM = 1. 设A x1,y1


,B x2,y2


, 则有x1+ x2= 2,
y1+ y2= 2, y1-y2
x1-x2 = 1
2 , y1+y2
x1+x2 = kOM = 1,
x2
1
a2 - y2
1
b2 =1
x2
2
a2 - y2
2
b2 =1
,两式相减可化为1
a2 - 1
b2 .





y1-y2
x1-x2 ⋅y1+y2
x1+x2 = 0, 可得b2
a2 = 1
2 , 所以a =
2b,c =
3b, 双曲线的离心率为c
a =
3
2
=
6
2 . 故选B.
解法二由题知M(1,1), 由kAB ⋅kOM = b2
a2 得1
1 ⋅1
2 = b2
a2 , 可得b2
a2 = 1
2 , 所以a =
2b,
c =
3b, 双曲线的离心率为c
a =
3
2 =
6
2 . 故选B
结论二十三、斜率乘积定值模型(二)
经过原点的直线l 与双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 相交于M,N 两点,P 是双曲线上的
动点, 直线PM,PN 的斜率都存在, 则kPM ⋅kPN 为定值b2
a2 = e2- 1
343
过原点的直线与双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 交于M,N 两点,P 是双曲线上
异于M,N 的一点, 若直线MP 与直线NP 的斜率都存在且乘积为5
4 , 则双曲线的离心率
为
.
【答案】3
2
【解析】解法一由双曲线的对称性, 可设P x0,y0


,M x1,y1


, 则N -x1,-y1


, 由kPM ⋅kPN
= 5
4 , 得y0-y1
x0-x1 ⋅y0+y1
x0+x1 = 5
4 , 即y2
0- y2
1 = 5
4 x2
0-x2
1


, 即5
4 x2
0- y2
0= 5
4 x2
1 - y2
1 又
·357·
因为P x0,y0


,M x1,y1


均在双曲线上, 所以x2
0
a2 - y2
0
b2 = 1, x2
1
a2 - y2
1
b2 = 1, 所以b2
a2 = 5
4 . 所
以
双曲线的离心率e = c
a =
1+ b2
a2 = 3
2 .
解法二kPM ⋅kPN = b2
a2 = e2- 1 = 5
4 , 所以e = 3
2
343
P x0,y0


x0≠±a


是双曲线E: x2
a2 - y2
b2 = 1(a > 0,b > 0) 上一点,M ,N 分别是双
曲线E 的左、右顶点, 直线PM,PN 的斜率之积为1
5 , 则双曲线的离心率为
.
【答案】30
5
【解析】解法一点P x0,y0


x0≠±a


在双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1 上, 有x2
0
a2 - y2
0
b2 = 1. 由题意
又有
y0
x0-a ⋅
y0
x0+a = 1
5 , 可得a2= 5b2,c2= a2+ b2= 6b2, 则e = c
a =
30
5
解法二kPM ⋅kPN = b2
a2 = e2- 1 = 1
5 , 所以e =
30
5
.
·358·
第52 讲
抛物线的定义和性质
通关一、抛物线性质
通关二、扡物线焦点弦性质
已知AB 是抛物线y2= 2px(p > 0) 的焦点弦,F 为抛物线的焦点,AC,BD 垂直于抛物线
的准线于C,D 两点, 如图, 记直线AB 的倾斜角为θ,A x1,y1


,B x2,y2


, 则有以下结论:
(1)x1⋅x2= p2
4 ;y1⋅y2=-p2
(2)|AB| = x1+ x2+ p =
2p
sin2θ ;
·359·
(3)S△AOB =
p2
2sinθ ;
(4)
1
|AF| +
1
|BF| = 2
p ;
(5) 以AF(BF) 为直径的圆与y 轴相切;
(6) 以AB 为直径的圆与抛物线准线相切;
(7)A,O,D(B,O,C) 三点共线.
【证明】(1) 因为y2= 2px(p > 0) 的焦点F
p
2 ,0


, 设直线方程为y = k x- p
2


(k ≠0)
由y=k x- p
2


y2=2px

，消去x 得ky2- 2py - kp2= 0(1)
y1⋅y2=-p2,x1⋅x2= p2
4
当k 不存在时, 直线方程为x = p
2 , 这时y1= p,y2=-p, 则y1⋅y2=-p2,x1⋅x2= p2
4 .
因此, 总有y1⋅y2=-p2,x1⋅x2= p2
4 成立.
(2) 由抛物线定义,|AF| 等于点A 到准线x =- p
2 的距离, 所以|AF| = x1+ p
2 .
同理,|BF| = x2+ p
2 .
所以|AB| = |AF| +|BF| = x1+ x2+ p (2)
又因为y = k x- p
2


, 所以x = 1
k y + p
2 ,
所以x1+ x2= 1
k y1+y2


+ p.
由方程(1) 知y1+ y2= 2p
k , 所以x1+ x2= 2p
k2 + p (3),
将(3) 代入(2) 得|AB| = 2p
k2 + 2p = 2p 1+ 1
k2


= 2p 1+
1
tan2θ


=
2p
sin2θ .
当k 不存在时,θ = π
2 ,|AB| = 2p =
2p
sin2θ .
(3) 如图,S△AOB = S△AOF + S△BOF = 1
2 |OF| ⋅|AF| ⋅sin(π - θ) + 1
2 |OF| ⋅|BF| ⋅sinθ =
·360·
1
2 |OF| ⋅sinθ ⋅(|AF| +|BF|) = 1
2 ⋅|OF| ⋅|AB| ⋅sinθ = 1
2 ⋅p
2 ⋅
2p
sin2θ ⋅sinθ =
p2
2sinθ
(4)
1
|AF| +
1
|BF| =
1
x1+ p
2
+
1
x2+ p
2
=
x1+x2+p
x1x2+ p
2 x1+x2


+ p2
4
,
又因为x1⋅x2= p2
4 , 代人上式得
1
|AF| +
1
|BF| = 2
p .
(5) 设AF 的中点为E xE,yE


, 则xE =
x1+ p
2
2
= x1
2 + p
4 ,|AF| = x1+ p
2 , 故点E 到y 轴
的距离dE-y = 1
2 |AF|, 故以AF 为直径的圆与y 轴相切.
(6) 设AB 的中点为M x0,y0


, 分别过A,M,B 作准线的垂线, 垂足为C,N,D, 则|MN| =
1
2 (|AC| +|BD|) = 1
2 (|AF| +|BF|) = 1
2 |AB|. 所以以AB 为直径的圆与准线相切.
(7) 由题意知,A x1,y1


,D - p
2 ,y2


, 因为OD


= - p
2 ,y2


,OA


= x1,y2


=
y2
1
2p ,y1


, 结合
y1y2=-p2, 有OD


= - p
2 ,- p2
y1


=- p2
y1
y2
1
2p ,y1


=- p2
y2
1
OA


, 所以OD


⎳OA


又OD


与OA


都
经过同一点O, 所以A,O,D 三点共线
结论一、标准方程
对于拋物线y2= 2px(p > 0), 焦点坐标F
p
2 ,0


, 准线方程x =- p
2 ;
对于拋物线y2=-2px(p > 0), 焦点坐标F - p
2 ,0


, 准线方程x = p
2 ;
对于抛物线x2= 2py(p > 0), 焦点坐标F 0, p
2


, 准线方程y =- p
2 ;
对于抛物线x2=-2py(p > 0), 焦点坐标F 0,- p
2


, 准线方程y = p
2 .
344
抛物线y = ax2(a > 0) 的焦点坐标为
(
)
A. (a,0)
B.
1
2a ,0


C. 0, 1
4a


D. 0, 1
8a


【答案】C
【解析】y = ax2(a > 0) 变形为x2 = 1
a y, 所以2p = 1
a , 所以p
2 = 1
4a , 焦点为0, 1
4a


故选
C
344
拋物线y = 4x2的焦点坐标为
(
)
A. (0,1)
B. (1,0)
C. 0, 1
16


D.
1
16 ,0


·361·
【答案】C
【解析】拋物线方程变形为x2= 1
4 y, 所以2p = 1
4 , 所以p
2 = 1
16 , 焦点坐标为0, 1
16


故
选C.
结论二、抛物线焦半径
抛物线上任意一点P x0,y0


到焦点F 的距离称为焦半径. 有以下结论(p > 0):
(1) 对于拋物线y2= 2px,|PF| = p
2 + x0;
(2) 对于拋物线y2=-2px,|PF| = p
2 - x0;
(3) 对于抛物线x2= 2py,|PF| = p
2 + y0;
(4) 对于拋物线x2=-2py,|PF| = p
2 - y0
345
若抛物线y2= 4x 上的点M 到焦点的距离为10, 则M 点到y 轴的距离是
(
)
A. 6
B. 8
C. 9
D. 10
【答案】C
【解析】拋物线y2= 4x 的焦点为F(1,0), 准线为x =-1, 由M 到焦点的距离为10, 可知M
到准线的距离也为10, 故M 到y 轴的距离是9 故选C
345
如果P1,P2, ⋯,P10 是抛物线C:y2 = 4x 上的点, 它们的横坐标依次为x1,x2, ⋅⋅,x10,
F 是抛物线C 的焦点, 若x1+ x2+⋯+x10 = 10, 则P1F

+ P2F

+⋯+ P10F

=
.
【答案】20
【解析】由抛物线方程y2= 4x, 可得p = 2 根据抛物线的定义, 可知PiF

= xt+ p
2 = xi
+1, 所以P1F

+ P2F

+⋯+ P10F

= x1+ p
2 + x2+ p
2 +⋯+x10 + p
2 = 10 + 5p = 20
结论三、抛物线定义
拋物线y2= 2px(p > 0) 上点M 到焦点F 的距离等于其到准线的距离
346
P 是抛物线y2 = 2px(p > 0) 上的点,F 是抛物线的焦点, 则以|PF| 为直径的圆与
y 轴位置关系为
(
)
A. 相交
B. 相离
C. 相切
D. 不确定
【答案】C
【解析】利用拋物线的定义, 数形结合, 如图所示,
·362·
过P 作PA 垂直于准线于A, 交y 轴于B, 设PF 的中点为C, 则C 到y 轴的距离为|CH|
= 1
2 (|OF| +|BP|) = 1
2 (|AB| +|BP|) = 1
2 |AP| = 1
2 |PF|, 即以|PF| 为直径的圆C 与y 轴相
切故选C
346
过抛物线y2 = 2px(p > 0) 的焦点F 作一直线l 与抛物线交于P,Q 两点, 作PP1,
QQ1 垂直于抛物线的准线, 垂足分别是P1,Q1, 已知线段PF,QF 的长度分别是a,b, 那么
P1Q1

=
.
【答案】2 ab
【解析】作PP1的垂线, 垂足为H. 于是P1Q1

= QH

=
|PQ|2-|PH|2 =
(a+b)2-(a-b)2
= 2 ab
结论四、p 的几何意义
已知拋物线y2= 2px(p > 0), 焦点到顶点的距离为p
2 , 焦点到准线的距离为p.
347
抛物线y2= 2px(p > 0) 上的动点Q 到其焦点的距离的最小值为1, 则p = (
)
A. 1
2
B. 1
C. 2
D. 4
【答案】C
【解析】抛物线y2= 2px(p > 0) 上的动点Q 到其焦点的距离的最小值即其到准线的距离
的最小值, 很明显满足最小值的点为拋物线的顶点, 据此可知p
2 = 1, 所以p = 2 故选C.
·363·
347
已知F 是抛物线C:y2 = 8x 的焦点,M 是C 上一点,FM 的延长线交y 轴于点N .
若M 为FN 的中点, 则|FN| =
.
【答案】6
【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F ，作MB
⊥l 于点B，NA ⊥l 于点A. 由抛物线的【解析】式可得准线方程为x =-2，则AN


= 2，
FF


= 4，在直角梯形ANFF 中，中位线BM


= AN


+ FF


2
= 3. 由抛物线的定义有：
MF


= MB


= 3. 结合题意，MN


= MF


= 3，故FN


= FM


+ NM


= 3 + 3 = 6.
结论五、抛物线的通径
已知AB 是过抛物线y2 = 2px p>0


的焦点的弦，设直线AB 的倾斜角为θ，当AB ⊥x
轴(θ = 90°) 时，称弦AB 为通径. 通径是过焦点的所有弦中最短的，其长度为2p.
348
抛物线x2=-4y 与过焦点且垂直于对称轴的直线交于A,B 两点，则
(
)
A. AB


= 8,S△AOB = 4
B. AB


= 8,S△AOB = 2
C. AB


= 4,S△AOB = 2
D. AB


= 4,S△AOB = 4
【答案】C
【解析】抛物线x2 =-4y 的焦点为0,-1


，对称轴为y 轴，故点A,B 的纵坐标为-1，代入
得其横坐标分别为2, -2，故AB


= 4,S△AOB = 1
2 × 4 × -1


= 2. 故选C.
348
已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A,B 两点，
AB


= 12，P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为
(
)
A. 18
B. 24
C. 36
D. 48
【答案】C
【解析】设抛物线的方程为y2 = 2px，易知AB


= 2p = 12，即p = 6. 因为点P 在准线上，
所以P 到AB 的距离为p = 6，所以△ABP 的面积为36. 故选C.
结论六、抛物线最值
1. 将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最
短”，使问题得解；
2. 将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连
线中，垂线段最短”解决.
349
已知点P 是抛物线y2 = 4x 上的动点，抛物线的焦点为F ，点A 4,1


，则PA


+
PF


的最小值是
(
)
A. 7
2
B. 4
C. 9
2
D. 5
【答案】D
【解析】过点P 作抛物线准线x =-1 的垂线，垂足为M，交y 轴于点N，结合抛物线的定义
·364·
则有PF


= PM


= PN


+ 1，PA


+ PF


= PA


+ PN


+ 1，当P,A,N 三点共线时，即
N 0,1


，P 1
4 ,1


，此时PA


+ PF


有最小值，即PA


+ PF


= PA


+ PN


+ 1 = 5. 故选D.
349
已知P 是抛物线y2 = 4x 上的一个动点，则点P 到直线l1:3x - 4y + 12 = 0 和l2:x
+ 2 = 0 的距离之和的最小值是
(
)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】D
【解析】设抛物线的焦点为F，因为抛物线y2 = 4x 的准线是x =-1，所以P 到x + 2 = 0
的距离等于PF


+ 1. 过点F 作直线l1:3x - 4y + 12 = 0 的垂线，当点P 为垂线与抛物线的交
点时，点P 到直线l1:3x - 4y + 12 = 0 与x =-1 的距离之和最小，点P 到直线l1:3x - 4y + 12
= 0 的距离和到直线x =-1 的距离之和的最小值就是F 1,0


到直线l1:3x - 4y + 12 = 0 的距
离，所以P 到直线l1:3x - 4y + 12 = 0 和l2:x + 2 = 0 的距离之和的最小值是3-0+12


9+16
+ 1
= 15
5 + 1 = 4. 故选D.
结论七、定点弦横纵坐标乘积为定值
已知直线l 过定点M m,0


，与抛物线y2 = 2px p>0


交于A,B 两点，若A x1,y1


，
B x2,y2


，则x1⋅x2= m2，y1⋅y2=-2pm，当m = p
2 时，x1⋅x2= p2
4 ，y1⋅y2=-p2.
350
如图，抛物线C1:y2 = 2px，圆C2: x- p
2


2 + y2 = p2
4 ，其中p > 0，直线l 经过C1 的
焦点，依次交C1,C2于A,B,C,D 四点，则AB

⋅CD

的值为
(
)
A. p2
B. p2
2
C. p2
3
D. p2
4
【答案】D
·365·
【解析】设直线l 斜率存在，设为k k≠0


，则直线l 的方程为y = k x- p
2


. 设A x1,y1


，
D x2,y2


，则FA



= x1 + p
2 ，FD



= x2 + p
2 ，FC



= p
2 ，FB



= p
2 . 所以AB



= FA



- FB



= x1，CD



= FD



- FC



= x2. 所以AB

⋅CD

= AB



⋅CD



= x1x2. 把直线l 的方程代入抛物
线方程，有k x- p
2






2 = 2px，化简得k2x2 - k2px - 2px + p2
4 k2 = 0，所以x1x2 = p2
4 ，即AB

⋅
CD

= p2
4 . 当l 垂直于x 轴时，x1= x2= p
2 ，同样得AB

⋅CD

= p2
4 . 故选D.
350
过抛物线C:y2 = 2px p>0


的焦点F 的直线l 与抛物线交于M,N 两点，若MF


= 4FN

，则直线l 的斜率为
(
)
A. ± 3
2
B. ± 2
3
C. ± 3
4
D. ± 4
3
【答案】D
【解析】不妨设M x1,y1


x1>0,y1>0


，N x2,y2


，因为MF


= 4FN

，所以y1 =-4y2，又
y1y2 =-p2，所以y2 =- p
2 ，x2 = p
8 ，所以kMN =
- p
2 -0
p
8 - p
2
= 4
3 . 根据对称可得直线l 的斜率为
± 4
3 . 故选D.
结论八、焦半径的倾斜角表示
1. 已知AB 是过抛物线y2 = 2px p>0


的焦点的弦，F 为抛物线的焦点，A 在x 轴下方，
则AF


=
p
1+cosθ ，BF


=
p
1-cosθ (θ 为直线AB 的倾斜角)；
2. 已知AB 是过抛物线x2 = 2py p>0


的焦点的弦，F 为抛物线的焦点，A 在y 轴左侧，
则AF


=
p
1+sinθ ，BF


=
p
1-sinθ (θ 为直线AB 的倾斜角).
351
若M 是抛物线y2 = 4x 上一点，且在x 轴上方，F 是抛物线的焦点，直线FM 的倾
斜角为60°，则FM


=
.
【答案】4
【解析】解法一直线FM 的方程为y =
3 x-1


，代入抛物线方程并整理得3x2 - 10x + 3
= 0，解得x1 = 1
3 ，x2 = 3，又因为M 在x 轴上方，所以点M 的横坐标为3，所以FM


= 3 + 1
= 4.
解法二FM


=
p
1-cosα =
2
1-cos60° = 4.
351
过抛物线x2 = 2py p>0


的焦点F 作倾斜角为30° 的直线，与抛物线分别交于A,
B 两点(A 在y 轴左侧)，则AF


FB


=
.
【答案】1
3
【解析】解法一过A,B 作AA,BB垂直于抛物线的准线于A,B，记直线AB 交准线于
·366·
点P. 设AF


= m，BF


= n，则PA


= 2 AA


= 2 AF


= 2m，所以PB


BB


= 2m+m+n
n
= 2，
所以m
n = 1
3 .
解法二AF


=
p
1+sinα =
p
1+sin30° = 2
3 p，BF


=
p
1-sinα =
p
1-sin30° = 2p. 所以
AF


FB


=
2
3 p
2p = 1
3 .
结论九、抛物线焦半径比例模型
1. 已知抛物线y2 = 2px p>0


，经过其焦点F 的直线交抛物线于A,B 两点，直线AB 的
倾斜角为θ，AF

= λFB


，满足：cosθ


= λ-1
λ+1


或1 =
1+k2 λ-1
λ+1


(其中k = tanθ) ；
2. 已知抛物线x2 = 2py p>0


，经过其焦点F 的直线交抛物线于A,B 两点，直线AB 的
倾斜角为θ，AF

= λFB


，满足：sinθ


= λ-1
λ+1


或1 =
1+ 1
k2
λ-1
λ+1


(其中k = tanθ) .
352
已知F 是抛物线C:y2 = 4x 的焦点，过F 且斜率为1 的直线交C 于A,B 两点，设
FA


> FB


，则FA


与FB


的比值等于
.
【答案】3 + 2 2
【解析】焦点弦所在直线的倾斜角为45°，FA


> FB


，设FA


FB


= λ，由结论cosθ


>
λ-1
λ+1


可得cos45° = λ-1
λ+1 ，所以λ = 3 + 2 2
352
过抛物线x2 = 2py p>0


的焦点F 作倾斜角为30° 的直线，与抛物线分别交于
A,B 两点(A 在y 轴左侧)，AF


FB


=
.
【答案】1
3
【解析】根据抛物线的对称性知AF


< FB


，设FA


FB


= λ ，由结论sinθ


= λ-1
λ+1


可得
sin30° = 1-λ
λ+1 ，所以λ = 1
3 . 即AF


FB


= 1
3 ·
结论十、焦点弦长的倾斜角表示
1. 已知AB 是过抛物线y2 = 2px p>0


的焦点的弦，F 为抛物线的焦点，则AB


= x1 +
x2+ p =
2p
sin2θ (θ 为直线AB 的倾斜角)；
2. 已知AB 是过抛物线x2 = 2py p>0


的焦点的弦，F 为抛物线的焦点，则AB


= y1 +
y2+ p =
2p
cos2θ (θ 为直线AB 的倾斜角).
353
斜率为
3 的直线过抛物线C：y2 = 4x 的焦点，且与C 交于A,B 两点，则AB


=
·367·
.
【答案】16
3
【解析】因为抛物线的方程为C：y2 = 4x，所以抛物线的焦点F 的坐标为1,0


，又因为直
线AB 过焦点F 且斜率为
3 ，所以直线AB 的方程为y =
3 x-1


. 代入抛物线方程消去
y 并化简得3x2- 10x + 3 = 0.
解法一解得x1= 1
3 ,x2= 3. 所以AB


=
1+k2 x1-x2


=
1+3 × 3- 1
3


= 16
3 .
解法二△= 100 - 36 = 64 > 0. 设A x1,y1


，B x2,y2


，则x1 + x2 = 10
3 . 过A,B 分别作准
线x =-1 的垂线，设垂足分别为C,D，如图所示AB


= AF


+ BF


= AC


+ BD


= x1 + 1
+ x2+ 1 = 16
3 .
解法三由题意知k = tanθ =
3，所以sinθ =
3
2 ，所以AB


=
2p
sin2θ =
4
3
2


2 = 16
3 .
353
过抛物线y2 = 2px p>0


的焦点F 作倾斜角为45° 的直线交抛物线于A,B 两点，
若线段AB 的长为8，则p =
.
【答案】2
【解析】解法一由题意可知，过焦点的直线方程为y = x - p
2 ，代入抛物线方程有x2 -
3px + p2
4 = 0，又AB


=
1+12 ⋅
3p


2-4⋅p2
4 = 8，所以p = 2.
解法二AB


=
2p
sin2θ =
2p
sin245° = 4p. 由已知得4p = 8，故p = 2.
结论十一、焦点三角形面积
已知AB 是过抛物线y2 = 2px p>0


的焦点的弦，F 为抛物线的焦点，则S△AOB =
p2
2sinθ
(θ 为直线AB 的倾斜角).
354
设F 为抛物线C:y2 = 3x 的焦点，过F 且倾斜角为30° 的直线交C 于A,B 两点，O
为坐标原点，则△OAB 的面积为
(
)
A. 3 3
4
B. 9 3
8
C. 63
32
D. 9
4
【答案】D
【解析】因为p = 3
2 ，θ = 30°，由焦点三角形面积公式，S =
p2
2sinθ =
3
2


2
2× 1
2
= 9
4 . 选D.
354
过抛物线y2 = 4x 的焦点F 的直线交抛物线于A,B 两点(A 在第一象限)，O 为坐
标原点，若△OAB 的面积为2 2 ，则AF


BF


= 的值为
(
)
A. 3 + 2 2
B. 3 ± 2 2
C. 3 - 2 2
D.
2 ± 1
【答案】B
·368·
【解析】解法一由题意知，F 1,0


，设A x1,y1


y1>0


，B x2,y2


y2<0


，直线AB 的方程
为x = ty + 1，则S △AOB = 1
2 OF


⋅y2-y1


= 1
2 y2-y1


= 2 2 ，解得y2-y1


= 4 2 . 由
x=ty+1
y2=4x

，y2 - 4ty - 4 = 0，得y2-y1


2 = y2+y1


2 - 4y1y2 = 16t2 + 16，而y2-y1


2 = 32，即
16t2 + 16 = 32，得t =±1. 当t = 1 时，由y2 - 4y - 4 = 0，得y1 = 2 + 2 2，y2 = 2 - 2 2，此时
AF


BF


=
y1
-y2 = 2+2 2
2 2-2 = 3 + 2 2 . 同理当t =-1 时，AF


BF


=
y1
-y2 = 2 2-2
2+2 2 = 3 - 2 2 .
综上，AF


BF


= 3 ± 2 2. 故选B.
解法二由题知p = 2，S△AOB =
p2
2sinθ = 2 2，所以sinθ =
2
2 ，即θ = π
4 或θ = 3π
4 . 因为
AF


=
p
1-cosθ ，BF


=
p
1+cosθ ，所以AF


BF


=
p
1-cosθ
p
1+cosθ
= 1+cosθ
1-cosθ ，分别把θ = π
4 和θ =
3π
4 代入得AF


BF


= 3 ± 2 2. 故选B.
结论十二、焦点弦与准线构造梯形面积
已知AB 是过抛物线y2 = 2px p>0


的焦点的弦，过A,B 分别作准线l 的垂线，垂足分
别为M,N ，则四边形AMNB 的面积为2p2
sin3θ (θ 为直线AB 的倾斜角).
355
已知过抛物线C:y2 = 4x 的焦点F 且倾斜角为60° 的直线交抛物线于A,B 两点，
过A,B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为M,N ，则四边AMNB 的面积为
(
)
A. 8 3
3
B. 64 3
3
C. 128 3
9
D. 64 3
9
【答案】D
【解析】解法一抛物线焦点F 1,0


，准线x =-1，直线y =
3 x-1


，代入抛物线方程，解
得x1 = 1
3 ，x2 = 3，所以AB


=
1+k2 x1-x2


= 16
3 . 由抛物线的几何意义可知，AM


+
NB


= AB


= 16
3 ，h = 8 3
3
，所以S = 1
2 × 16
3 × 8 3
3
= 64 3
9
. 故选D.
解法二由题知p = 2，sinθ =
3
2 ，根据面积公式，S = 2p2
sin3θ =
2⋅22
3
2


3 = 64 3
9
. 故选D.
355
已知过抛物线C:y2 = 4x 的焦点F 的直线交抛物线于A,B 两点，过A,B 分别作准
线l 的垂线，垂足分别为M,N ，若AB


= 8，则四边AMNB 的面积为
.
【答案】16 2
【解析】根据抛物线焦点弦长公式，AB


=
2p
sin2θ =
4
sin2θ = 8，所以sinθ =
2
2 ，带人梯
形AMNB 面积公式，S = 2p2
sin3θ =
2⋅22
3
2


3 = 16 2.
·369·
结论十三、焦半径倒数之和为定值
已知AB 是过抛物线y2 = 2px p>0


的焦点的弦，F 为抛物线的焦点，则
1
AF


+
1
BF


= 2
p .
356
过抛物线C:y2 = 4x 的焦点F 作一直线交抛物线于P,Q 两点，若线段PF 与QF
的长分别是p,q，则1
p + 1
q =
.
【答案】1
【解析】解法一设点P y1
2
4 ,y1


，Q y2
2
4 ,y2


，当y1


≠y2


时，由P,F,Q 三点共线得
y1-y2
y1
2
4 - y1
2
4
=
y1
y1
2
4 -1
，y1y2 =-4 又p = y1
2
4 + 1，q = y2
2
4 + 1，于是p-1


q-1


= y1
2
4 ⋅y2
2
4 = 1 ，从而易得
1
p + 1
q = 1，当y1


= y2


时，只可能PQ 与x 轴垂直，此时也容易验证p = q = 2，1
p + 1
q = 1.
解法二由结论得
1
PF


+
1
QF


= 2
p = 1，所以1
p + 1
q = 1.
356
已知以F 为焦点的抛物线C:y2 = 4x 上的两点A,B 满足AF

= 3FB

，则弦AB 的
中点到准线的距离为
.
【答案】8
3
【解析】解法一过点A,B 分别作AA，BB垂直于准线，垂足分别为A,B. 过点B 作BC
垂直于AA于C，交x 轴于点D，记准线与x 轴交点为F . 设BF


= m，由抛物线的定义知
AA


= 3m，BB


= m. 在△ABC 中，DF ∥AC，BF


: FA


= 1:3，故DF


= 1
4 AC


= m
2 ，于
是FF


= m + m
2 = 3
2 m = p = 2，解得m = 4
3 ，AB 的中点到准线的距离= m+3m
2
= 2m
= 8
3 .
解法二如图，延长AB，交抛物线的准线于P，作A,B,F 在准线上的投影A,B,F ，于是
AA


BB


= AF


BF


= 3. 设AA


= 3m，BB


= m，则弦AB 中点到准线的距离为2m，AB


=
AF


+ BF


= AA


+ BB


= 4m，而PA


PB


= AA


BB


= 3，PA


- PB


= AB


= 4m，所以
PA


= 6m，PB


= 2m. 因此FF


AA


= PF


PA


= 2m+m
6m
= 1
2 ，而FF


= p = 2，所以AA


=
·370·
2 FF


= 4，从而m = 4
3 ，于是2m = 8
3 为所求.
解法三由结论
1
AF


+
1
BF


= 2
p = 1 得
1
AF


+
1
BF


=1
AF


=3 BF



，所以
AF


=4
BF


= 4
3

. 所以AB


= AF


+ BF


= 16
3 ，AB 的中点到准线的距离= 1
2 AB


= 8
3 .
结论十四、抛物线的中点弦问题
1. 直线l 与抛物线y2 = 2px p>0


相交于A,B 两点，若M x0,y0


为AB 的中点，则kAB ⋅
y0= p，kAB = p
y0 ；
2. 直线l 与抛物线x2 = 2py p>0


相交于A,B 两点，若M x0,y0


为AB 的中点，则kAB ⋅
p = x0，kAB = x0
p .
357
已知抛物线y2= 4x，以1,1


为中点作抛物线的弦，则这条弦所在直线的方程为
(
)
A. x - 2y + 1 = 0
B. 2x - y - 1 = 0
C. 2x + y - 3 = 0
D. x + 2y - 3 = 0
【答案】B
【解析】解法一由题意可知直线的斜率一定存在. 设斜率为k，直线与抛物线的交点分别为
A x1,y1


，B x2,y2


，所以y1
2 = 4x1，y2
2 = 4x2，所以k = y1-y2
x1-x2 =
4
y1+y2 = 4
2 = 2. 所以直线的
方程为2x - y - 1 = 0. 故选B.
解法二y2= 4x，代入结论kAB ⋅1 = 2 可得kAB = 2，所以2x - y - 1 = 0. 故选B.
357
已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F 1,0


，直线l 与抛物线C 相交于A,B
两点. 若AB 的中点为2,2


，则直线l 的方程为
.
【答案】y = x
【解析】解法一抛物线的方程为y2 = 4x，A x1,y1


，B x2,y2


，则有x1 ≠x2，y1
2=4x1
y2
2=4x2

，两式
相减得y1
2 - y2
2 = 4 x1-x2


，所以y1-y2
x1-x2 =
4
y1+y2 = 1，所以直线l 的方程为y - 2 = x - 2，即
y = x.
解法二y2= 4x，代入结论kAB ⋅y0= p 可得2 ⋅k = 2，k = 1，直线方程为y = x.
结论十五、垂直过定点问题
1. 直线l 与抛物线y2= 2px(p > 0) 相交于A，B 两点，若OA ⊥OB，则l 过定点(2p,0)；
2. 直线l 与抛物线x2= 2py(p > 0) 相交于A，B 两点，若OA ⊥OB，则l 过定点(0,2p).
358
抛物线y2 = 2px(p > 0) 的弦PQ 的端点与顶点O 的连线成直角时，证明直线PQ
过定点(2p,0)；反之，抛物线y2= 2px(p > 0) 的弦PQ 过定点(2p,0) 时，证明OP ⊥OQ.
·371·
【解析】证明：直线OP 的方程是y = kx(k ≠0)，由y=kx
y2=2px

得
xP= 2p
k2
yP= 2p
k

. 因为OP ⊥OQ，
所以直线OQ 的方程为y =- 1
k x，同理有
xQ=2pk2
yQ=-2pk

. 直线PQ 的斜率是yQ-yP
xQ-xP =
yQ-yP
y2
Q
2p - y2
P
2p
=
2p
yQ+yP =
k
1-k2 ，故直线PQ 的方程是y - 2p
k =
k
1-k2 x- 2p
k2


，化简得y =
k
1-k2 (x - 2p)，故直线PQ 过定点(2p,0).
反之，可设P x1,y1


，Q x2,y2


，直线PQ 为my = x - 2p，联立my=x-2p
y2=2px

，消去x 得y2
- 2pmy - 4p2 = 0. 于是y1y2 =-4p2，x1x2 = y2
1
2p ⋅y2
2
2p = 16p4
4p2 = 4p2，kOP ⋅k0Q = y1
x1 ⋅y2
x2 =
-4p2
4p2 =-1，故OP ⊥OQ.
358
直线y = x + b 交抛物线y = 1
2 x2 于A，B 两点，O 为抛物线的顶点，OA ⊥OB，
则b 的值为
.
【答案】2
【解析】将直线y = x + b 代入y = 1
2 x2，消去y 得x2 - 2x - 2b = 0，由△= 4 + 8b > 0，得
b >- 1
2 ．设A x1,y1


，B x2,y2


，则x1 + x2 = 2，x1x2 =-2b，OA ⊥OB ⇔kOA ⋅kOB =-1(由线
形状知，直线OA ，OB 的斜率一定存在) ，所以y1y2
x1x2 =- 1 =
x1+b


x2+b


x1x2
=
x1x2+b x1+x2


+b2
x1x2
= -2b+2b+b2
-2b
⇒b = 2，满足b >- 1
2 ，故符合题意.
·372·
第53 讲
直线与圆锥曲线
通关一、直线与曲线联立
1. 直线与椭圆联立
y=kx+m
x2
a2 + y2
b2 =1
⇒
1
a2 + k2
b2


x2+ 2km
b2
x+ m2
b2 -1=0

.
x1+ x2=
- 2km
b2
1
a2 + k2
b2
；x1x2=
m2
b2 -1
1
a2 + k2
b2
；
△=
2km
b2


2- 4
1
a2 + k2
b2


m2
b2 -1


= 4
1
a2 + k2
b2 - m2
a2b2


；
x1-x2


=
2
1
a2 + k2
b2 - m2
a2b2
1
a2 + k2
b2
=
△
A


A= 1
a2 + k2
b2


；
y1+ y2= kx1+m


+ kx2+m


= k x1+x2


+ 2m =
- 2k2m
b2
+2m
1
a2 + k2
b2


1
a2 + k2
b2
=
2m
a2
1
a2 + k2
b2
；
y1y2= kx1+m


kx2+m


= k2x1x2+ km x1+x2


+ m2
=
k2 m2
b2 -1


+km - 2km
b2


+m2
1
a2 + k2
b2


1
a2 + k2
b2
=
m2
a2 -k2
1
a2 + k2
b2
；
y1-y2


=
kx1+m


- kx2+m




= k x1-x2


=
2k
1
a2 + k2
b2 - m2
a2b2
1
a2 + k2
b2
.
2. 直线与抛物线联立
y=kx+m
y2=2px

，消去y 得k2x2+ 2(km - p)x + m2= 0.
x1+ x2=- 2(km-p)
k2
；x1x2= m2
k2 ；△= (2km - 2p)2- 4k2m2= 4p(p - 2km).
·373·
通关二、中点问题与点差法
对于椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1，设弦的两端点以及中点的坐标分别为A x1,y1


、B x2,y2


、
M x0,y0


，那么
x2
1
a2 + y2
1
b2 =1
x2
2
a2 + y2
2
b2 =1





. 两式相减，得x2
1-x2
2
a2
+ y2
1-y2
2
b2
= 0，即
x1+x2


x1-x2


a2
+
y1+y2


y1-y2


b2
= 0. 当x1 ≠x2，两边同除x1 - x2，得2x0
a2 + 2y0
b2 ⋅y1-y2
x1-x2 = 0. 于是我们得到
弦的中点坐标与弦所在直线的斜率kAB 的关系式：2x0
a2 + 2y0
b2 ⋅kAB = 0，kOM ⋅kAB =- b2
a2 .
通关三、切点弦问题
假设椭圆E：x2
a2 + y2
b2 = 1 在两点M x1,y1


，N x2,y2


处的切线分别为l1，l2，若l1，l2 相交
于点P x0,y0


，那么l1：x1x
a2 + y1y
b2 = 1，l2：x2x
a2 + y2y
b2 = 1.
点P 同时位于直线l1和直线l2上，于是
x1x0
a2 + y1y0
b2 =1
x2x0
a2 + y2y0
b2 =1





.
所以直线MN 的方程为x0x
a2 + y0y
b2 = 1. 这就意味着当定点P x0,y0


位于椭圆外时，它对
应的“切线方程”实际上是该点对应的切点弦方程.
下面给出点P x0,y0


对于几种标准圆锥曲线的切点弦方程：圆E：x2 + y2 = r2 的点弦方
程为x0x + y0y = r2；椭圆E：x2
a2 + y2
b2 = 1 的切点弦方程为x0x
a2 + y0y
b2 = 1；双曲线E：x2
a2 -
y2
b2 = 1 的切点弦方程为x0x
a2 - y0y
b2 = 1；抛物线E：y2= 2px 的切点弦方程为y0y = p x+x0


.
·374·
结论一、直线与椭圆交点问题
y=kx+b
x2
a2 + y2
b2 =1
⇒△=4
1
a2 + k2
b2 - m2
a2b2



(1)b2+ a2k2- m2> 0，直线与椭圆有两个交点；
(2)b2+ a2k2- m2= 0，直线与椭圆有一个交点(相切)；
(3)b2+ a2k2- m2< 0，直线与椭圆无交点.
359
若直线y = kx + 1 与椭圆x2
5 + y2
m = 1 恒有公共点，求实数m 的取值范围.
【解析】解法一：由
y=kx+1
x2
5 + y2
m =1

可得5k2+m


x2 + 10kx + 5 - 5m = 0，所以△= 20m(m
+ 5k2- 1) ≥0，即m ≥-5k2+ 1，因为-5k2+ 1 ≤1，所以m ≥1 且m ≠5.
解法二：直线恒过一定点(0,1). 当m < 5 时，椭圆焦点在x 轴上，短半轴长b =
m ，要使
直线与椭圆恒有交点，则
m ≥1，即1 ≤m < 5. 当m > 5 时，椭圆焦点在y 轴上，长半轴长a
=
m，要使直线与椭圆恒有交点，则m > 5. 综上，m ≥1 且m ≠5.
解法三：直线恒过一定点(0,1). 要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点(0,1) 在椭圆内
部，02
5 + 12
m ≤1，即m ≥1. 所以m ≥1 且m ≠5.
359
已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A(2,3)，且点F(2,0) 为其右焦点.
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 是否存在平行于OA 的直线l，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离
等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.
【解析】(1) 依题意，可设椭圆C 的方程为x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0)，且可知左焦点为F (
-2,0)，从而有c=2
2a= AF


+ AF


=3+5=8

，解得c=2
a=4

. 又a2 = b2 + c2，所以b2 = 12. 故椭圆
·375·
C 的方程为x2
16 + y2
12 = 1.
(2) 假设存在符合题意的直线l，其方程为y = 3
2 x + t. 由
y= 3
2 x+t
x2
16 + y2
12 =1





得3x2 + 3tx + t2
- 12 = 0.
因为直线l 与椭圆有公共点，所以有△= (3t)2 - 4 × 3 t2-12


≥0，解得-4 3 ≤t ≤
4 3 . 另一方面，由直线OA 与l 的距离等于4 可得
t

9
4 +1
= 4，从而t =±2 13 . 由于
±2 13 ∉-4 3,4 3


，所以符合题意的直线l 不存在.
结论二、切线问题
1. 当点P x0,y0


在圆x2+ y2= r2上时，过该点P x0,y0


的切线方程为x0x + y0y = r2；
2. 当点P x0,y0


在椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1 上时，过该点P x0,y0


的切线方程为x0x
a2 + y0y
b2 =
1；
3. 当点P x0,y0


在双曲线x2
a2 - y2
b2 = 1 上时，过该点P x0,y0


的切线方程为x0x
a2 - y0y
b2
= 1；
4. 当点P x0,y0


在抛物线y2= 2px 上时，过该点P x0,y0


的切线方程为y0y = p x+x0


.
360
已知一条直线l 与椭圆x2
4 + y2
3 = 1 相切于点P 1, 3
2


，求切线的l 方程.
【解析】设过点P 1, 3
2


的直线l 的方程为y - 3
2 = k(x - 1)，将其与椭圆的标准方程x2
4 +
y2
3 = 1 联立，消去参数y 可得方程3+4k2


x2 + 12k-8k2


x + 4k2 - 12k - 3 = 0. 因为该直线
与椭圆相切，所以其判别式△= 12k-8k2


2- 4 3+4k2


4k2-12k-3


= 0 ⇒k =- 1
2 . 所以该
直线方程为y - 3
2 =- 1
2 (x - 1)，即y =- 1
2 x + 2.
360
已知椭圆x2
16 + y2
9 = 1，l1，l2 是过点(0,m) 且相互垂直的两条直线，问实数m 为
何值时，直线l1，l2都与椭圆相切.
【解析】设l1：y = kx + m，则l2：y =- 1
k x + m，l1与椭圆x2
16 + y2
9 = 1 联立
x2
16 + y2
9 =1
y=kx+m

得x2
16 + (kx+m)2
9
= 1，△= (16km)2- 9+16k2


16m2-144


= 0，即k2= m2-9
16
. 同理，l2
与椭圆相切，1
k2 = m2-9
16
，于是m2-9
16
=
16
m2-9 ，即m2- 9 = 16，所以m


= 5，即m =±5.
结论三、弦长问题
·376·
设椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1 与直线l:y = kx + m 相交于A x1,y1


，B x2,y2


两点，则弦长AB


为：1+k2 ⋅x1-x2


=
1+k2 ⋅
x1+x2


-4x1x2 =
1+k2
4
1
a2 + k2
b2 - m2
a2b2


1
a2 + k2
b2
=
1+k2
△
A


.
361
已知椭圆C：x2
4 + y2= 1.
(1) 若斜率为1 的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B 两点，求弦AB 的长.
(2) 若直线为y = 2x + m，当m 为何值时，直线l 被椭圆C 所截得的弦长20
17 ？
【解析】(1) 设A x1,y1


，B x2,y2


，由椭圆方程得a2= 4，b2= 1，c2= 3，所以右焦点F( 3,
0)，所以直线方程为y = x -
3，代入x2+ 4y2= 4 中整理得5x2- 8 3x + 8 = 0，所以△= 64
× 3 - 20 × 8 = 32，所以AB


=
1+k2
△
A


=
2 ×
32
5
= 8
5 .
(2) 由方程组
y=2x+m
x2
4 +y2=1

消去y 得17x2+ 16mx + 4m2- 4 = 0，△= (16m)2- 4 × 17 ×
4m2-4


= 16 17-m2


. 当△> 0，即- 17 < m <
17 时，方程组有两个解，直线与椭圆相
交，所以AB


=
1+k2
△
A


=
5 × 4 17-m2
17
= 20
17 ，解得m =±2 3，即当m =±2 3 时，
直线l 被椭圆C 所截得的弦长为20
17 .
361
已知椭圆C：x2
4 + y2 = 1，O 为坐标原点，A 为椭圆的右顶点，点P(异于点A) 为
椭圆C 上一个动点，过O 作线段AP 的垂线l 交椭圆C 于点E，D，求DE


AP


的取值范围.
【解析】显然直线AP 的斜率存在，可设直线AP：y = k(x - 2).
(1) 当k ≠0 时，直线DE：y =- 1
k x. 联立直线AP 与椭圆方程
γ=k(x-2)
x2
4 +y2=1

，化简得(4k2
+ 1)x2- 16k2x + 16k2- 4 = 0，所以AP


=
1+k2 ⋅
-16k2


2-4 16k2-4


4k2+1


4k2+1
=
4 1+k2
4k2+1
①. 联立直线DE 与椭圆方程，有1+ 4
k2


x2- 4 = 0，所以DE


=
1+ 1
k2 ⋅
4
1+ 4
k2
= 4 1+k2
k2+4
②. 于是由①，②得DE


AP


= 4k2+1
k2+4
. 设t =
k2+4，t > 2，则DE


AP


=
4t2-15
t
= 4t - 15
t ∈
1
2 ,+∞


.
(2) 当k = 0 时，AP


= 4，DE


= 2，所以DE


AP


= 1
2 .
综上，DE


AP


的取值范围是
1
2 ,+∞


.
结论四、中点问题
·377·
1. 已知椭圆x2
a2 + y2
b2 = 1 内一点M x0,y0


，则以M x0,y0


为中点的弦所在的直线方程
为x0x
a2 + y0y
b2 = x0
2
a2 + y0
2
b2 ；
2. 已知抛物线y2 = 2px 内一点M x0,y0


，则以M x0,y0


为中点的弦所在的直线方程为
y0y - p x0+x


= y2
0- 2px0.
362
已知椭圆mx2 + ny2 = 1(m > 0,n > 0) 与直线x + y - 1 = 0 相交于A，B 两点，C
是AB 的中点，若AB = 2 2 ，OC 的斜率为
2
2 ，求椭圆的方程.
【解析】解法一：设A x1,y1


，B x2,y2


，代入椭圆方程得mx2
1 + ny2
1 = 1，mx2
2+ ny2
2= 1，相
减得m x1+x2


x1-x2


+ n y1+y2


y1-y2


= 0. 因为kAB = y1-y2
x1-x2 =-1，y1+y2
x1+x2 = kOC =
2
2 ，所以n =
2m. 由mx2+ny2=1
x+y-1=0

得(m + n)x2- 2nx + n - 1 = 0，所以x1+ x2=
2n
m+n ，x1x2= n-1
m+n . 又AB


=
1+k2
AB x2-x1


= 2 2，所以
2n
m+n


2- 4 ⋅n-1
m+n = 4. 将
n =
2m 代入，解得m = 1
3 ，所n =
2
3 . 故椭圆方程为x2
3 +
2y2
3
= 1.
解法二：由mx2+ny2=1
x+y-1=0

得(m + n)x2 - 2nx + n - 1 = 0. 设A x1,y1


，B x2,y2


，则x1 +
x2 =
2n
m+n ，x1x2 = n-1
m+n . 所以AB


=
1+k2


x1-x2


2 =
2 ⋅
4n2-4(m+n)(n-1)
(m+n)2
=
2 2，所以
m+n-mn
m+n
= 1 ①. 设C x0,y0


，则x0 = x1+x2
2
=
n
m+n ，y0 = 1 - x0 =
m
m+n ，
所以kOC = y0
x0 = m
n =
2
2 . 代入①得m = 1
3 ，n =
2
3 . 故椭圆方程为x2
3 +
2y2
3
= 1.
362
已知抛物线y2 = 4x 的焦点为F，设A，B 为抛物线上两点，且AB 不与x 轴垂直，
若线段AB 的垂直平分线过点M(4,0)，求证：线段AB 中点的横坐标为定值.
【解析】设线段AB 中点的坐标为N x0,y0


，A x1,y1


，B x2,y2


，因为AB 不垂直于x 轴，
MN 不可能平行于x 轴，故直线MN 的斜率为
y0
x0-4 ，直线AB 的斜率为4-x0
y0
.
证法一：直线AB 的方程为y - y0 = 4-x0
y0
x-x0


，联立方程y-y0= 4-x0
y0
x-x0


y2=4x

，消
去x 得1- x0
4


y2 - y0y + y2
0 + x0 x0-4


= 0，所y1 + y2 =
4y0
4-x0 . 因为N 为AB 中点，所以
y1+y2
2
= y0，即
2y0
4-x0 = y0，所以x0= 2，即线段AB 中点的横坐标为定值2.
证法二：点A，B 在抛物线上，故y2
1=4x1
y2
2=4x2

，两式相减得y1-y2


y1+y2


= 4 x1-x2


. 故
有kAB = y1-y2
x1-x2 =
4
y1+y2 ，即4-x0
y0
= 4
2y0 ，解得x0= 2，即线段AB 中点的横坐标为定值2.
结论五、垂直问题
·378·
1. 斜率角度
OA ⊥OB ⇔kOA⋅kOB =-1.
2. 向量角度
OA ⊥OB ⇔OA


⋅OB

= 0 ⇔x1x2+ y1y2= 0.
363
已知椭圆C：x2
a2 + y2
b2 = 1(a > b > 0) 的离心率为
6
3 ，椭圆C 上任意一点到椭圆
两个焦点的距离之和为6.
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 设直线l：y = kx - 2 与椭圆C 交于A，B 两点，点P(0,1)，且PA


= PB


，求直线l 的
方程.
【解析】(1) 由已知2a = 6，c
a =
6
3 ，解得a = 3，c =
6 ，所以b2 = a2 - c2 = 3，所以椭圆
C 的方程为x2
9 + y2
3 = 1.
(2) 由
x2
9 + y2
3 =1
y=kx-2

得1+3k2


x2 - 12kx + 3 = 0. 直线与椭圆有两个不同的交点，所以
△= 144k2 - 12 1+3k2


> 0，解得k2 > 1
9 . 设A x1,y2


，B x2,y2


，则x1 + x2 =
12k
1+3k2 ，x1x2 =
3
1+3k2 ，y 1 + y 2 = k x1+x2


- 4 = k ⋅
12k
1+3k2 - 4 =-
4
1+3k2 ，所以，A，B 中点坐标为
E
6k
1+3k2 ,-
2
1+3k2


. 因为PA


= PB


，所以PE ⊥AB，kPE ⋅kAB =-1，所以
-
2
1+3k2 -1
6k
1+3k2
⋅
k =-1，解得k =±1，经检验，符合题意，所以直线l 的方程为x - y - 2 = 0 或x + y + 2 = 0.
363
在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：x2 = 4y，斜率为2 的直线l 与抛物线C 交
于A，B 两点. 若AB 的垂直平分线分别交y 轴和抛物线正M ，N 两点(M ，N 位于直线l 两
侧)，当四边形AMBN 为菱形时，求直线l 的方程.
【解析】设直线l 的方程为y = 2x + m，A x1,y1


，B x2,y2


，联立x2=4y
y=2x+m

，消y 得x2
- 8x - 4m = 0，△= 64 + 16m > 0，所以m >-4. 所以x1 + x2 = 8，x1x2 =-4m，x1+x2
2
= 4，
y1+y2
2
= 8 + m，即AB 的中点为Q(4,8 + m). 故AB 的垂直平分线方程为y - (8 + m) =- 1
2
(x - 4). 令x = 0 得M(0,m + 10). 因为四边形AMBN 为菱形，所以M，N 关于Q(4,8 + m) 对
称，所以N 点坐标为(8,m + 6)，且N 在抛物线上，有64 = 4 × (m + 6)，解得m = 10，所以直
线l 的方程为y = 2x + 10.
·379·
第54 讲
排列组合
通关一、分类与分步计数原理
1、分类加法计数原理的概念
完成一件事可以有n 类方案，各类方案相互独立，在第一类方案中m1 种不同方法，在第
二类方案中m2 种不同方法⋯在第n 类方案中mn 种不同方法，那么完成这个件事共有N =
m1+ m2+⋯+mn种方法.
2、分步乘法计数原理的概念
完成一件事需要经过n 个步骤，缺一不可，做第一步有m1 种方法，做第二步有m2 种方
法⋯做第n 步有mn种方法，那么，完成这个件事共有N = m1× m2×⋯× mn种方法.
3、两个计数原理的联系与区别
原理
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
联系
两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言
区别一
每类方法都能独立完成这件事，它是
独立的、一次的，且每次得到的是最后
结果，只需一种方法就可完成这件事.
每一步得到的只是中间结果，任何一步
都不能独立完成这件事，只有各个步骤
都完成了才能完成这件事.
区别二
各类方法之间是互斥的、并列的、独立
的.
各步之间是相互依存，并且既不能重复
也不能遗漏.
通关二、排列与排列数
1. 排列与排列数：一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n) 个元素，按一定顺序排成一
列，叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，所有不同排列的个数，叫作从n 个不
同元素中取出m 个元素的排列数，用符号Am
n 表示.
2. 排列数公式：Am
n = n(n - 1) (n - 2) (n - 3) ⋯(n - m + 1) =
n!
(n-m)! (n、m ϵ N ∗且m
≤n).n 个不同元素全部取出的一个排列，叫作n 个的一个全排列. 这个公式中m = n，即有
An
n= n! = n n-1


n-2


n-3


⋯2 × 1. 规定：0! = 1.
通关三、组合与组合数
1. 组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n) 个元素合成一组，叫作从n
·380·
个不同元素中取出m 个元素的一个组合，所有不同组合的个数，叫作从n 个不同元素中取出
m 个元素的组合数，用符号Cm
n 表示.
2. 组合数公式：C m
n = Am
n
Am
m
= n(n-1)(n-2)(n-3)⋯(n-m+1)
m!
=
n!
m!(n-m)! (n、m ϵ
N ∗且m ≤n).n 个不同元素全部取出的一个排列，叫作n 个的一个全排列. 这个公式中m =
n，规定：C0
n = 1.
3. 组合数性质：
(1)Cm
n = Cn-m
n
(n、m ϵ N ∗且m ≤n)；
(2)Cm
n+1= Cm
n + Cm-1
n
(n、m ϵ N ∗且m ≤n)；
结论一、加法与乘法原理
1、分类加法计数原理：做一件事，完成有n 类办法，在第一类办法中由m1 种不同方法，在
第二类办法中由m2 种不同方法，⋯，在第n 类办法中由mn 种不同方法，那么，完成这个件事
共有N = m1+ m2+⋯+mn种不同方法. 又称加法原理.
2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有m1 种不
同方法，做第二个步骤有m2 种不同方法，⋯，做第n 个步骤有mn 种不同方法，那么，完成这
个件事共有N = m1× m2×⋯× mn种不同的方法. 又称乘法原理.
364
一个口袋里有5 封信，另一个口袋里有4 封信，各封信内容均不相同.
(1) 从两个口袋里任取一封信，有多少种不同取法？
(2) 从两个口袋里各取一封信，有多少种不同取法？
(3) 把这两个口袋里的9 封信，分别投入4 个邮筒，有多少种不同放法？
【答案】( 1)9 (2)20 (3)49
【解析】(1) 任取一封信，不论从哪个口袋里取，都能单独完成这事件，因此是两类办法，利
用分类加法计数原理，共有5 + 4 = 9 种取法.
(2) 各取一封信，不论从哪个口袋中取，都不能算完成了这事件，因此应分两个步骤完成，
由分步乘法计数原理，共有5 × 4 = 20 种取法.
(3) 若以邮筒装信的可能性考虑，第一个邮筒有10 种可能性，即可能装入0，1，2，⋯，9 封
信等不同情况. 但再考虑第二个邮筒时，装信的情况要受到第一个邮筒装信情况的影响，非常
麻烦；若以每封信投入邮筒的可能性考虑，第一封信投入邮筒有4 种可能，第二封信仍有4 种
可能⋯⋯第九封信还有4 种可能. 由分类加法计数原理可知，共有49种不同的放法.
364
现有3 名老师，8 名男生和5 名女生共16 人，有一项活动需派人参加.
(1) 若只需1 人参加，有多少种不同选法？
(2) 若需老师、男生、女生各1 人参加，有多少种不同选法？
(3) 若需要1 名老师和1 名学生参加，有多少种不同选法？
【答案】( 1)16 (2)120 (3)39
·381·
【解析】(1) 由3 类选人的方法：3 名老师中选1 人，由3 种方法；8 名男生中选1 人，由8
种方法；5 名女生中选1 人，由5 种方法；由分类加法计数原理，共有3 + 8 + 5 = 16 种选法.
(2) 分3 步选人：第一步选老师，有3 种方法；第二步选男生，有8 种方法；第三步选女生，
有5 种方法；由分步乘法计数原理，共有3 × 8 × 5 = 120 种选法.
(3) 选1 名老师和1 名学生，由分步乘法计数原理，共有3 × 13 = 39 种选法.
结论二、排列
把从n 个不同元素中任意取出m(m ≤n) 个元素的排列，看成从n 个不同球中选出m 个
球，放入排好的m 个盒子中，每个盒子里放一个球，我们用乘法原理排列这些球，如图：
盒子
1
2
3
⋯
n
放法数
n
n - 1
n - 2
⋯
n - (m - 1)
第1 步：从全体n 个球中选出一个放入第1 个盒子，有n 种选法；
第2 步：从全体n - 1 个球中选出一个放入第2 个盒子，有n - 1 种选法；
第3 步：从全体n - 2 个球中选出一个放入第3 个盒子，有n - 2 种选法；
⋯⋯
第m 步：从全体n - (m - 1) 个球中选出一个放入第m 个盒子，有n - (m - 1) 种选法.
根据乘法原理，一共有n(n - 1) (n - 2) ⋯n-(m-1)


种放法.
365
用0，1，2，3，4，5 这六个数：
(1) 可以组成多少个数字允许重复的六位数？
(2) 可以组成多少个数字不允许重复的六位数？
(3) 可以组成多少个数字允许重复的五位数？
(4) 可以组成多少个数字不允许重复的五位数？
【答案】( 1)38880 (2)600 (3)6480 (4)600
【解析】(1) 先选首位数字，由于0 不能作首位数字，因此有5 种选法；由于数字允许重复，
故其他位置的数字都有6 种选法. 因此所求六位数共有5 × 65= 38880 个.
(2) 先选首位数字，由于0 不能作首位数字，因此有5 种选法；由于数字不允许重复，故其
他位置的数字全排就可以了. 因此所求六位数共有5A5
5= 600 个.
(3) 先选首位数字，由于0 不能作首位数字，因此有5 种选法；由于数字允许重复，故其他
位置的数字都有6 种选法. 因此所求六位数共有5 × 64= 6480 个.
(2) 先选首位数字，由于0 不能作首位数字，因此有5 种选法；由于数字不允许重复，故其
他位置的数字从剩余的5 个数字中选出4 个全排就可以了. 因此所求六位数共有5A4
5 = 600
个.
365
用1，2，3，4，5 这五个数：
·382·
(1) 可以组成多少个数字允许重复的五位数？
(2) 可以组成多少个数字不允许重复的五位数？
(3) 可以组成多少个数字不允许重复的三位数？
【答案】( 1)3125 (2)120 (3)60
【解析】(1) 由于数字允许重复，故每个位置的数字都有5 种选法. 因此所求五位数共有
55= 3125 个.
(2) 由于数字不允许重复，故每个位置的数字全排就可以了. 因此所求五位数共有A5
5 =
120 个.
(3) 由于数字不允许重复，故每个位置的数字从5 个数字中选出3 个全排就可以了. 因此
所求三位数共有A3
5= 60 个.
结论三、组合
组合于排列都是从n 个不同元素中取出m(m ≤n) 个元素中的计数问题，它们的差别
是：排列考虑元素的顺序，组合不考虑元素的顺序.
考虑C m
n 于Am
n 的关系：把“从n 个不同元素中取出m(m ≤n) 个元素进行排列”这事件，
分两步进行：
第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素，一共有种Cm
n 取法；
第二步：把取出m 个元素进行排列，一共有种Am
m 排法.
根据乘法原理，我们得到“从n 个不同元素中取出m(m ≤n) 个元素进行排列”一共有
Cm
n Am
m 种排法, 即Am
n = Cm
n Am
m，由此我们可以得出：
Cm
n = Am
n
Am
m
= n(n-1)(n-2)(n-3)⋯(n-m+1)
m!
，
因为Am
n =
n!
(n-m)! ，所以组合数公式还可以写成：Cm
n =
n!
m!(n-m)! .
366
现有10 名教师，其中男教师6 名，女教师4 名去参加支教.
(1) 现要从中选2 名教师去参加，有多少种不同的选法？
(2) 现要从中选出男、女教师各2 名去参加，有多少种不同的选法？
【答案】( 1)45 (2)90
【解析】(1) 从10 名教师中选2 名去参加支教的选法数，就是从10 个不同元数中取出2 个
元素的组合数，即C2
10 = 45 种.
(2) 从6 名男教师中选2 名的选法有C2
6 种，从4 名女教师中选2 名的选法有C2
4 种，根据分
步乘法计数原理，因此共有不同的选法C2
6C2
4 = 90 种.
366
甲、乙、丙3 位同学选修课程，从4 门课程中，甲选2 门，乙、丙各选修3 门，则不同
选修方案共有
种.
【答案】96
·383·
【解析】甲选2 门有C2
4 = 6 种选法，乙、丙各有C3
4 = 4 种选法，由分步乘法计数原理可知，
共有6 × 4 × 4 = 96 种选法.
结论四、特殊元素、特殊位置优先法
元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其它元素；
位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其它位置.
367
2010 广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者选派四人分
别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其
余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有
(
)
A. 36 种
B. 12 种
C. 18 种
D. 48 种
【答案】A
【解析】解法一从后两项工作出发，采用位置分析法：A2
3A2
3= 36. 故选A.
解法二分两类：若小张或小赵入选，则有选法C1
2C1
2A3
3= 24；若小张、小赵都入选，则有选
法A2
2A2
3= 12，共有36 种. 故选A.
367
6 个队员站成一排，甲不能站在排头，也不能站在排尾，共有
种不同站法.
【答案】480
【解析】要计算甲不在排头和排尾的排法有以下三种方法：
解法一：要使甲不能站在排头和排尾，可以先甲在中间4 个位置中任选1 个位置，有A1
4
种站法；然后对其余5 人在另外5 个位置上作全排列有A5
5 种站法. 根据分步计数原理，共有
A1
4A5
5= 480 种.
解法二：由于甲不站在排头和排尾，这两个位置只能在其余5 个人中选2 个人站，有A2
5
种站法；对于中间4 个位置，4 个人有A4
4 种站法. 根据分步计数原理，共有排法A2
5A4
4 = 480
种.
解法三：若对甲没有限制条件，共有A5
5 种排法，这里面包含下面三种情况：①甲在排头；
②甲在排尾；③甲不在排头，也不在排尾. 甲在排头A5
5 种站法，甲在排尾A5
5 种站法，这都不符
合题设条件，从总数中减去这两种情况的排列数即得到所求的的排法数，共有排法A6
6 - 2A5
5
= 480 种.
结论五、直接与间接法
“至多”
“最多”的问题：解这类问题必须十分重视“至多”
“最多”这两个关键词的含义谨防
重复与漏解，用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间
接法处理.
368
在某种信息传输过程中，用4 个数字的一个排列(数字允许重复) 表示一个信息，
不同排列表示不同信息，若所有数字只有0 和1 则与信息0110 至多有两个对应位置上的
数字相同的信息个数为
(
)
A. 10
B. 11
C. 12
D. 15
【答案】B
·384·
【解析】当与信息0110 对应位置上的数字各不相同时，这样的信息个数只有1 个；当与信
息0110 对应位置上的数字只有1 个相同时，这样的信息个数只有4 个；当与信息0110 对应位
置上的数字只有2 个相同时，只需从四个位置中选出两个位置使相应的数字相同，有C2
4 种方
法，剩下的两个位置上的数字对应不相同，只有1 种可能，故此时共有C2
4 个不同的信息. 根据
分类原理知共有：1 + 4 + C2
4 = 11 个不同信息. 故选B.
368
某校要求每位学生从7 门课程中选修4 门，其中甲、乙两门课程不能都选，则不同
的选课方案有
种.(以数字作答)
【答案】25
【解析】从7 门课程中选修4 门所有的选法数为C 4
7，甲、乙两门课程都选的选法数为
C2
2C2
5，故甲、乙两门课程不能都选的选法数有C4
7 - C2
2C2
5 = 35 - 10 = 25.
结论六、捆绑与插空法
1. 捆绑法：解决“相邻”问题用“捆绑法”，就是将n 个不同的元素排成一排，其中k 个元素
排在相邻位置上，求不同的排法种数的步骤：①先将这k 个元素“捆绑”在一起，看成一个整
体；②把这个整体当作一个元素与其他元素一起排列，其排列方法有An-k+1
n-k+1 种排法；③然后
“松绑”，即将“捆绑”在一起的元素内部进行排列，其排列方法有Ak
k 种；④根据分步乘法计数
原理，符合条件的排法有An-k+1
n-k+1Ak
k种.
2. 插空法：解决不相邻问题的方法为“插空法”，即将n 个不同的元素排成一排，其中k 个
元素互不相邻(k ≤n - k + 1). 求不同的排法种数的步骤：①先将不作不相邻要求的元素共n
- k 个排成一排，其排列方法有An-k
n-k 种；②然后将要求两两不相邻的k 个元素插入n - k + 1
个空隙中，相当于从n - k + 1 个空隙中选出k 个，分别分配给两两不相邻的k 个元素，其排列
方法有：Ak
n-k+1种；③根据分步乘法计数原理，符合条件的排法有An-k
n-kAk
n-k+1种.
369
求不同的排法种数.
(1)6 男2 女排成一排，2 女相邻；
(2)6 男2 女排成一排，2 女不能相邻；
(3)4 男4 女排成一排，同性别者相邻；
(4)4 男4 女排成一排，同性别者不能相邻；
【解析】(1) 是“相邻”问题，用捆绑法解决：A2
2A7
7= 10080.
(2) 是“不相邻”问题，可以用插空法直接求解.6 男先排，再在7 个空位中排2 女，即用插空
法解决：A6
6A2
7= 30240.
(3) 是“相邻”问题，应先捆绑排位：A4
4A4
4A2
2= 1152.
(4) 是“不相邻”问题，可以用插空法直接求解：A4
4A4
4A1
2= 1152.
369
3 位男同学与2 位女同学排成一列，其中女同学相邻的不同排法共有
(
)
A. 48 种
B. 36 种
C. 24 种
D. 18 种
【答案】A
【解析】3 位男同学与2 位女同学排成一列，其中女同学相邻，由捆绑法得不同排法共有
A4
4A2
2= 48 种. 故选A.
·385·
结论七、分组与分配
分组问题(分成几堆，无序) 有等分、不等分、部分等分之别. 一般地，平均分成n 堆(组)
必须除以An
n；如果有m 堆(组) 元素个数相同，必须除以Am
m.
370
按以下要求将9 个不同零件进行分组，各有几种分组方法？
(1) 平均分成3 份，每份3 个；
(2) 分成3 份，一份2 个、一份3 个、一份4 个；
(2) 分成3 份，一份5 个、另两份各2 个.
【答案】(1)280 (12)1260 (3)378
【解析】(1) (平均分组) 从9 个零件中取3 个作为第1 组，从剩下6 个零件中取3 个作为第
2 组，剩下3 个为第3 组，由于题目要求仅仅分组，无组别之分，即将9 个零件分为第3 堆，所
以共有C3
9C3
6C3
3
A3
3
= 280 种分组方法.
(2) (不平均分组) 可以分成3 个步骤：先在9 个零件中任取2 个作为第一堆，有C2
9 种取法；
再从剩下7 个零件中任取3 个作为一堆，有C 2
9 种取法；然后从剩下的4 个零件取4 个作为一
堆，有C4
4 种取法. 所共有分法C2
9C3
7C4
4 = 12860 种.
(3) (部分平均分组) 第一步，从9 个零件中取5 个，有C 5
9 种方法；第二步，从剩下4 个零件
中取2 个，有C2
4 种方法；第三步，从剩下2 个零件中取2 个，有C2
2 种方法；由分步计数原理知，
共有C5
9C2
4C2
2 种方法，但是其中每堆都是2 个的两堆是不计算顺序的，故得分法数有C5
9C2
4C2
2
A2
2
= 378 种.
370
4 名同学到3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去一个小区，每个小区
至少安排1 名同学，则不同的安排方法共有
种.
【答案】36
【解析】先把4 名同学分3 组，其中1 组有两人，共有C2
4C1
2
A2
2
种方法，现在可看成是3 组同
学分配到3 个小区，共有C2
4C1
2
A2
2
A3
3= 36 种方法.
·386·
第55 讲
二项式定理
通关一、二项式(a + b)n(n ∈N ∗) 展开式
(a + b)n = C0
nan + C1
nan-1b + C2
nan-2b2 +⋯+Cr
nan-rbr. 从恒等式中我们可以发现这样几个
特点：
(1) (a + b)n完全展开后的项数位：n + 1；
(2) 展开式按照a 的指数进行降幂排列，对于展开式中的每一项，a、b 的指数呈此消彼长
的特点，a 与b 的指数之和为n；
(3) 在二项式展开式中由于按a 的指数进行降幂排列，所以规定“+”左边的项视为a，左
边的项视为b，比如(x + 1)n 与(1 + x)n 虽然相等，但展开式却不同，前者按x 的指数降幂排
列，后者按1 的指数降幂排列，如果(a - b)n则视为a+(-b)


n进行展开；
(4) 二项式展开式的通项公式Tr+1= Cr
nan-rbr(注意是第r + 1 项)
通关二、二项式系数与系数
1. 二项式系数：项前面的C 0
n,C 1
n, ⋯C n
n 称为二项式系数, 二项式系数的和为2n，即C 0
n +
C1
n +⋯+Cn
n = 2n，奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即C0
n + C2
n +⋯=
C1
n+ C3
n +⋯= 2n-1
每个因式都必须出项，并且只能出一项，将每个因式所出的项乘在一起便成为展开式中
的某项，对于a+b


n 可看作是n 个a+b


相乘，对于an-rbr 意味着在这n 个a+b


中，有
n-r


个式子出a，剩下r 个式子出b，那么这种出法一共有Cr
n 种，所以二项式展开式的每一
项都可看作是一个组合问题，而二项式系数便是这个组合问题的结果。
2. 系数: 是指该项经过化简后项前面的数字因数
注：(1) 在二项式定理中要注意区分二项式系数与系数. 二项式系数是展开式通项公式
中的Cr
n，对于确定的一个二项式, 二项式系数只由r 决定。而系数是指展开并化简后最后项
前面的因数，其构成一方面是二项式系数, 同时还有项本身的系数.
(2) 二项式系数与系数的概念不同, 但在某些情况下可以相等: 当二项式中每. 项的系数
均为1 时(排除项本身系数的干扰)，则展开后二项式系数与系数相同.
结论一、展开式特定项系数
二项式展开式的通项Tr+1 = Cr
nan-rbr 中含有a,b,n,r,Tr+1 五个元素，只要知道其中的四个
·387·
元素，就可以求第五个元素，这类问题一般是利用二项式定理把问题归纳为解方程(或方程
组) 的问题, 这里必须注意n 是正整数，r 是非负整数，且r ≤n.
(1) 第m 项：此时r + 1 = m，直接代入通项.
(2) 常数项：即项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0 建立方程.
(3) 有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.
371
x2+ 2
x


5的展开式中x4的系数为
(
)
A. 10
B. 20
C. 40
D. 80
【答案】C
【解析】由二项式定理得
x2+ 2
x


5 的展开式的通项为TTr+1 = C r
5 x2


5-r 2x-1


r =
2rC r
5x10-3r，令10 - 3r = 4，解得r = 2，所以x2+ 2
x


5 的展开式中x4 的系数为22C 2
5 = 40. 故选
C.
371
在
x-2


5的展开式中，x2的系数为
(
)
A. - 5
B. 5
C. - 10
D. 10
【答案】C
【解析】
x-2


5 展开式的通项为Tr+1 = Cr
5
x


5-r -2


r = -2


rCr
5x
5-r
2 ，令5-r
2
= 2，可
得r = 1，则x2的系数为-2


1c1
5=-10，故选C.
结论二、二项式系数性质
性质
内容
对称性
与首末等距离的两个二项式系数相等，即Ck
n = Cn-k
n
增减性
当k < n+1
2
时，二项式系数逐渐增大；当k > n+1
2
二时，二项式系
数逐渐增小
最大值
当n 是偶数时，中间一项(第n
2 + 1 项) 的二项式系数最大，最大值为
C
n
2
n ；当n 是奇数时，中间两项(第n-1
2
+ 1 项和第n+1
2
+ 1 项) 的二
项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为C
n-1
2
n
或C
n+1
2
n
372
设m 为正整数，x+y


2m 展开式的二项式系数的最大值为a，x+y


2m+1 展开式的
二项式系数的最大值为b，若13a = 7b，则m =
(
)
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
【答案】B
【解析】因为m 为正整数，x+y


2m 展开式的二项式系数的最大值a = C m
2m，同理，
x+y


2m+1 展开式的二项式系数的最大值b = C m
2m+1 = C m+1
2m+1，再由13a = 7b，可得13C m
2m =
·388·
7Cm
2m+1，即13 ×
2m


!
m!⋅m! = 7 ×
2m+1


!
m!⋅m+1


!
即13 = 7 × 2m+1
m+1 ，即13 m+1


= 7 2m+1


，解得m = 6，故选B.
372
在
x
2 - 1
3 x


n
的展开式中，只有第5 项的二项式系数最大，则展开式中常数项是
(
)
A. - 7
B. - 28
C. 7
D. 28
【答案】C
【解析】依题意可得n
2 + 1 = 5，所以n = 8.T(r+1) = Cr
8 x
2


(8-r) -x
- 1
3




r
= Cr
8
1
2


(8-r)(-1)
rx
8- 4
3r


，令8 - 4
3 r = 0，得r = 6，常数项为C6
8 x
2


2⋅
1
3 x


6
= 7. 故选C.
结论三、(a + b)n与(a - b)n的联系
(a + b)n展开式通项:Tr+1= Cr
nan-rbr.
(a - b)n展开式通项:T'
r+1= Cr
nan-r(-b)r = (-1)rCr
nan-rbr.
两者对应项的构成是相同的，对应项的系数相等或互为相反数，其绝对值相等，所以在考
虑(a - b)n系数的绝对值问题时，可将其转化为求(a + b)n系数的问题.
373
若(2 - 3x)5 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5，则a0


+ a1


+ a2


+ a3


+ a4


+ a5


等于
(
)
A. 55
B. - 1
C. 25
D. - 25
【答案】A
【解析】虽然展开式(2 - 3x)5 的系数有正有负，但(2 - 3x)5 与(2 + 3x)5 对应系数的绝对值
相同，且(2 + 3x)5 展开式的系数均为正数，所以只需计算(2 + 3x)5 展开式的系数和即可，令
x = 1，可得系数和为55，所以a0


+ a1


+ a2


+ a3


+ a4


+ a5


= 55. 故选A.
373
若(1 - 2x)5 = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + a4x4 + a5x5，则a0


- a1


+ a2


- a3


+ a4


- a5


=
(
)
A. 243
B. 27
C. 1
D. - 1
【答案】D
【解析】由二项式定理知二项式展开式的通项系数a0,a2,a4 为正a1,a3,a5，为负，所以令x
= 1，则a0


- a1


+ a2


- a3


+ a4


- a5


= a0+ a1+ a2+ a3+ a4+ a5= (1 - 2)5=-1. 故选D.
结论四、赋值问题
1. 对形如(ax + b)n，(ax2 + bx + c)m(a,b ∈R) 的式子求其展开式的各项系数之和，常用
赋值法，只需令x = 1 即可；对形如(ax + by)n a,b∈R


的式子求其展开式各项系数之和，只
需令x = y = 1 即可；同理求系数之差时，只需根据题目要求令x = 1，y =-1 或x =-1，y = 1
·389·
即可.
2. 若f x


= a0 + a1x + a2x2 +⋯+anxn, 则f(x) 展开式中各项系数之和为f(1)，偶次项系
数之和为a 0 + a 2 + a 4 +⋯= f 1


+ f -1


2
，奇次项系数之和为a 1 + a 3 + a 5 +⋯=
f 1


- f -1


2
. 令x = 0，可得a0= f 0


.
374
a+x


(1 + x)4的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =
【答案】3
【解析】设f(x) = (a + x) (1 + x)4 = a0 + a1x + a2x2 +⋯+a5x5，令x = 1，则a0 + a1 + a2 +⋯
+a5 = f 1


= 16 a+1


①, 令x =-1，则a0 - a1 + a2 -⋯-a5 = f -1


= 0 ②. 由①- ②得
2 a1+a3+a5


= 16 a+1


，所以2 × 32 = 16 a+1


，所以a = 3.
374
设(2x +
2)4= a0+ a1x + a2x2+ a3x3+ a4x4，则(a0+ a2+ a4)2- (a1+ a3)2的值为
(
)
A. 16
B. - 16
C. 1
D. - 1
【答案】A
【解析】(a0+ a2+ a4)2- (a1+ a3)2= (a0+ a1+ a2+ a3+ a4) (a0- a1+ a2- a3+ a4). 根据
已知条件，令x = 1，可得a0+ a1+ a2+ a3+ a4= (2 +
2)4，令x =-1，可得a0- a1+ a2- a3+
a4= (2 -
2)4，所以(a0+ a2+ a4)2- (a1+ a3)2= (2 +
2)4(2 -
2)4= 16. 故选A.
·390·
第56 讲
统计
通过一、抽样方法
1. 简单随机抽样：从元素个数为N 的总体中不放回地抽取容量为n(n ≤N) 的样本，如果
每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫作简单随机抽样.
简单随机抽样必须具备以下特点：
（1）简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N 是有限的；
（2）简单随机样本数n 小于等于样本总体的个数N；
（3）简单随机样本是从总体中逐个抽取的；
（4）简单随机抽样是一种不放回的抽样；
（5）简单随机抽样的每个个体呗抽取的可能性均为n
N .
2. 系统抽样：将总体分成均衡的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一
个个体，得到所需要的样本的抽样方法。系统抽样适用于大规模的抽样调查，由于抽样间隔
相等，又被称为等距抽样。
(1) 当总体容量N 较大时，采用系统抽样.
(2) 将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，分段的间隔要求相等。因此，系统抽
样又称等距抽样，分段的间隔一般为k = n
N .
(3) 预先制定的规则指的是在第一段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号
的基础上加上分段间隔的整数倍即为抽样编号.
3. 分层抽样：当总体由明显差别的几部分组成时，要反映总体情况，常采用分层抽样，使
总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的部分，每一部分叫作层，在各层中按层在
总体中所占比例进行简单随机抽样，这种抽样方法叫作分层抽样.
(1)
样本容量n
总体的个数N = 该层抽取的个体数
该层的个体数
；
(2) 总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比。
通关二、频率分布直方图与茎叶图
1. 画出频率分布直方图的步骤
·391·
(1) 计算极差: 找出数据的最大值与最小值，计算它们的差;
(2) 决定组距与组教; 取组距，用极差
组距决定组数;
(3) 决定分点: 决定起点，进行分组;
(4) 列频率分布表: 对落入各小组的数据累计，算出各小组的频数，除以样本容量，得到各
小组的频率;
(5) 绘制频率分布直方围: 以教据的值为横坐标，以频率
组距的值为纵坐标绘制直方图.
小长方形的面积= 组距× 频率
组距= 频率.
2. 频率分布折线图和总体密度曲线
(1) 频率分布折线图: 连结频率分布直方图中各小长方形上端的中点，即得频率分布折线
图.
(2) 总体密度曲线: 随着样本容量的增加，图时所分组数增加，组距减小，相应的频率分布
折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线.
3. 制作茎叶图的步骤
(1) 将数据分为“茎”
“叶”两部分;
(2) 将最大茎与最小茎之间的数宇按大小顺序排成一列，并画上竖线作为分隔线;
(3) 将各个数据的“叶”在分界线的一侧对应茎处按一定次序同行列出.
通关三、独立性检验
1. 独立性检验的有关概念
②分类变量: 可以利用不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量.
②2 × 2 列联表: 假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为|x1，x2| 和| y1，
y2|，其样本频数列联表称为2 × 2 列联表，如下表所示:
y1
y2
总计
x1
a
b
a + b
x2
c
d
c + d
总计
a + c
b + d
a + b + c + d
·392·
2.K 2 统计量: 为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，我们构造一个随机变量，
K 2=
n ad-bc


2
a+b


c+d


a+c


b+d


(其中n = a + b + c + d 为样本容量) .
3. 两个分类变量A 和B 是否有关系的判断方法
①当K 2 ≤2.706 时，没有充分的证据判定变量A，B 有关联，可以认为变量A，B 没有关
联；
③当K 2> 2.706 时，有90% 的把握判定变量A，B 有关联；
④当K 2> 3.841 时，有95% 的把握判定变量A，B 有关联；
⑤当K 2> 6.635 时，有99% 的把握判定变量A，B 有关联；
⑥当K 2> 10.828 时，有99.9% 的把握判定变量A，B 有关联；
通关四、回归分析
1.n 个观测值的n 个点大致分布在一条直线的附近，若所求的直线方程为y= bx + a，其
中b=
n
i=1
xi-x


yi-y



n
i=1
xi-x


2

=
n
i=1
xiyi-nx⋅y

n
i=1
x2
i -nx2

a=y-bx







.
2. 我们将这个方程叫作回归直线方程，b，a叫作回归系数，相应的直线叫作回归直线.
要点诠释:
其中x= 1
n
n
i=1
xi
，y= 1
n
n
i=1
yi
，x,y


称为样本点的中心.
结论一、抽样方法中的计算问题的求法
1. 系统抽样中的计算问题: 系统抽样中被抽取的两个样本编号的间距相等，据此，若有n
个总体，希望抽取m 个体，确定抽样间距时，若n
m 为整数，则抽样间距为n
m ；否则，一般先剔
除几个个体，使得n
m 为整数，抽样间距一般为不大于n
m 的最大整数.
2. 分层抽样中的计算问题：分层抽样满足“ 每层中抽取的个体数量
本层的总个体数量
= 样本容量
总体数量”即“ n1
N1
= n2
N2 =⋯= n
N 或n1:n2: ⋯:n = N1:N2: ⋯N”，据此在已知每层间的个体数量或数量比、样本
容量、总体数量中的两个时，就可以求出第三个.
·393·
375
交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员) 对某新法规的知晓情况，对甲、
乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查. 假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有
驾驶员96 人. 若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这
四个社区驾驶员的总人数N 为
(
)
A. 101
B. 808
C. 1212
D. 2012
【答案】B
【解析】因为甲社区有驾驶员96 人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12，所以每个个体被
拍到的概率为品18，样本容量为12 + 21 + 25 + 43 = 101，所以这四个社区驾驶员的总人数N
为101
1
8
= 808. 故选B.
375
某学校为了解1000 名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，⋯，1000，从这些
新生中用系统抽样方法等距抽取100 名学生进行体质测验. 若46 号学生被抽到，则下面4 名
学生中被抽到的是
(
)
A. 8 号学生
B. 200 号学生
C. 616 号学生
D. 815 号学生
【答案】C
【解析】因为要从1000 名学生中抽取一个容量为100 的样本，所以系统抽样的分段间隔
为1000
100 = 10. 因为46 号学生被抽到，则根据系统拍样的性质可知，第一组随机抽取一个号码
为6，以后每个号码都比前一个号码增加10，所有号码数是以6 为首项，以10 为公差的等差数
列，设其数列为an


，则an = 6 + 10 n-1


= 10n - 4. 当n = 62 时，a62 = 616，即在第62 组抽
到的是616 号学生. 故选C.
结论二、频率分布直方图的理解
376
某高校调查了200 名学生每周的自习时间(单位：时)，制成了如图所示的频率分
布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20,22.5)，
[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]. 根据直方图，这200 名学生中每周的自习时间不少于
22.5 小时的人数是
(
)
A. 56
B. 60
C. 120
D. 140
【答案】D
【解析】自习时间不少于22.5 小时的频率为:(0.16 + 0.08 + 0.04) × 2.5 = 0.7，故自习时间
不少于22.5 小时的频数为:0.7 × 200 = 140 故选D
376
某电子商务公司对10000 名网络购物者2019 年度的消费情况进行统计，发现消
费金额(单位: 万元) 都在区间[0.3，0.9] 内其频率分布直方图如图所示.
·394·
(1) 直方图中的a =
.
(2) 在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9] 内的购物者的人数为
.
【答案】(1)3 (2)6000
【解析】(1) 由题意，根据直方图的性质得(1.5 + 2.5 + a + 2.0 + 0.8 + 0.2) × 0.1 = 1 解得
a = 3.
（2）由直方图得(3 + 2.0 + 0.8 + 0.2) × 0.1 × 10000 = 6000.
结论三、茎叶图
1. 茎叶图是统计中用来表示数据的一种图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生
长出来的数.
2. 对于样本数据较少，但较为集中的一组数据: 若数据是两位整数，则将十位数字作茎，
个位数字作叶；若数据是三位整数，则将百位、十位数字作茎，个位数字作叶，样本数据为小数
时做类似处理.
3. 茎叶图通常用来记录两值教的数据，它可以用来分析单组数据，也可以对两组数据进
行比较，通过茎叶图可以确定数据的中位数，数据大致集中在哪个茎，是否关于该茎对称，是
否分布均匀等.
377
从甲乙两个城市分别随机抽取16 台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据
用茎叶图表示(如图所示)，设甲乙两组数据的平均数分别为
x
甲，x
乙，中位数分别为
m甲，m乙，则
(
)
甲乙
8 6 5 0
8 8 4 0 0 1 0 2 8
7 5 2 2 0 2 3 3 7
8 0 0 3 1 2 4 4 8
3 1 4 2 3 8
A. x
甲< x
乙，m甲> m乙
B. x
甲< x
乙，m甲< m乙
C. x
甲> x
乙, m甲> m乙
D. x
甲> x
乙，m甲< m乙
【答案】B
【解析】甲的平均数
x
甲= 5+6+8+10+10+14+18+18+22+25+27+30+30+38+41+43
16
= 345
16 ，
乙的平均数
·395·
x
乙= 10+12+18+20+22+23+23+27+31+32+34+34+38+42+43+48
16
= 457
16 ，
所以x
甲< x
乙. 甲的中位数为20, 乙的中位数为29, 所以m甲< m乙，故选B.
377
如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5 名工人某日的产量数据(单位：件)．若
这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为
(
)
A. 3，5
B. 5，5
C. 3，7
D. 5，7
【答案】A
【解析】由已知中甲组数据的中位数为65，故乙组数据的中位数也为65，即y = 5，
则乙组数据的平均数为：66，故x = 3，故选A．
结论四、用样本的数字特征估计总体的数字特征
1. 平均数、中位数、众数
数字特征
样本数据
平均数
样本数据的算术平均数
中位数
将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个
数据(或最中间两个数据的平均数)
众数
出现次数最多的数据
2. 样本方差与标准差
3. 平均数、方差的有关性质
378
如图所示，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为XA

、
XB

，样本标准差分别为SA，SB，则
(
)
·396·
A. XA

> XB

，SA> SB
B. XA

< XB

，SA> SB
C. XA

> XB

，SA< SB
D. XA

< XB

，SA< SB
【答案】B
【解析】∵样本A 的数据均不大于10，而样本B 的数据均不小于10，
显然XA

< XB

，由图可知A 中数据波动程度较大，B 中数据较稳定，
∴sA> sB．故选：B．
378
为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量(单
位：kg) 分别是x1，x2，⋯，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度
的是
(
)
A. x1，x2，⋯，xn的平均数
B. x1，x2，⋯，xn的标准差
C. x1，x2，⋯，xn的最大值
D. x1，x2，⋯，xn的中位数
【答案】B
【解析】在A 中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项
指标，故不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；
在B 中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故可以用来评估这种农作物亩产量稳定
程度；
在C 中，最大值是一组数据最大的量，故不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度；
在D 中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的“中等水平”，
故不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度．故选：B．
结论五、独立性检验
1. 独立性检验原理只能解决两个对象，且每个对象有两类属性的问题，所以对于一个实
际问题，我们首先要确定能否用独立性检验的思想加以解决；
2. 如果确实属于这类问题, 要科学地抽取样本, 样本容量要适当, 不可太小, 根据数据列
出2 × 2 列联表；
3. 提出假设H0: 所研究的两类对象(X, Y) 无关；
4. 根据公式计算K 2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 的值；
5. 比较观测值k 与临界值表中相应的检验水平, 根据小概率原理肯定或者否定假设, 即
判断X, Y 是否相关.
379
某商场为提高服务质量，随机调查了50 名男顾客和50 名女顾客，每位顾客对该商
场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意
不满意
男顾客
40
10
女顾客
30
20
·397·
(1) 分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
(2) 能否有95% 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：K 2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ．
P(K 2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
【解析】(1) 由题中数据可知，男顾客对该商场服务满意的概率P = 40
50 = 4
5 ，
女顾客对该商场服务满意的概率P = 30
50 = 3
5 ；
(2) 由题意可知，K 2= 100(40×20-30×10)2
70×30×50×50
= 100
21 ≈4.762 > 3.841，
故有95% 的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．
379
某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新
的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40 名工人，将他们随机分成两组，每组20
人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务
的工作时间(单位：min) 绘制了如下茎叶图：
(1) 根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；
(2) 求40 名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过
m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：
超过m
不超过m
第一种生产方式
第二种生产方式
(3) 根据(2) 中的列联表，能否有99% 的把握认为两种生产方式的效率有差异？
附：K 2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ，
P(K 2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
【解析】(1) 根据茎叶图中的数据知，第一种生产方式的工作时间主要集中在72~92 之
间，
第二种生产方式的工作时间主要集中在65~85 之间，所以第二种生产方式的工作时间
较少些，效率更高；
(2) 这40 名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，排在中间的两个数据
是79 和81，计算它们的中位数为m = 79+81
2
= 80；
·398·
由此填写列联表如下；
超过m
不超过m
总计
第一种生产方式
15
5
20
第二种生产方式
5
15
20
总计
20
20
40
(3) 根据(2) 中的列联表，计算
K 2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) = 40×(15×15-5×5)2
20×20×20×20
= 10 > 6.635，
∴能有99% 的把握认为两种生产方式的效率有差异．
结论六、回归直线方程
要点诠释：
线性回归直线一定经过样本点的中心(x,y)，据此性质可以解决有关的计算问题、判断结
论的正确性。
380
为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5 户家庭，
得到如下统计数据表：
收入x(万元)
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y(万元)
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程y= bx + a，其中b= 0.76,a= y- bx，据此估计，该社区一户
收入为15 万元家庭年支出为
(
)
A. 11.4 万元
B. 11.8 万元
C. 12.0 万元
D. 12.2 万元
【答案】B
【解析】由题意可得x= 1
5 (8.2 + 8.6 + 10.0 + 11.3 + 11.9) = 10，
y= 1
5 (6.2 + 7.5 + 8.0 + 8.5 + 9.8) = 8，代入回归方程可得a= 8 - 0.76 × 10 = 0.4，
所以回归方程为y= 0.76x + 0.4，
把x = 15 代入方程可得y= 0.76 × 15 + 0.4 = 11.8，故选B．
380
为了研究某班学生的脚长x(单位：厘米) 和身高y(单位：厘米) 的关系，从该班随
机抽取10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直
·399·
线方程为y= bx + a，已知
10
i=1
xi

= 225，
10
i=1
yi

= 1600，b= 4，该班某学生的脚长为24 厘米，据
此估计其身高为( ) 厘米。
A. 160
B. 163
C. 166
D. 170
【解析】由线性回归方程为y= 4x + a，
则x= 1
10
10
i=1
xi

= 22.5，y= 1
10
10
i=1
yi

= 160，
则数据的样本中心点(22.5,160)，
由回归直线方程样本中心点，则a= y- 4x= 160 - 4 × 22.5 = 70，
所以回归直线方程为y= 4x + 70，
当x = 24 时，y= 4 × 24 + 70 = 166，则估计其身高为166，故选C．
·400·
第57 讲
事件的概率与概型
通关一、随机事件及其概率
1. 事件的相关概念
(1) 必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件．
(2) 不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件.
(3) 随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件．
2. 频率与概率
(1) 事件的频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试
验中事件A 出现的次数nA 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例fn(A) = nA
n 为事件
A 出现的频率。
(2) 概率的统计定义：在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A 发生的频
率fn(A) = nA
n 会在某个常数附近摆动，则把这个常数记作P(A), 称为事件A 的概率，简称为
A 的概率。
要点诠释：
(1) 频数是一个整数，其取值范围为0 ≤nA ≤n,nA ∈N, 因此随机事件A 发生的频率fn
(A) = nA
n 的可能取值介于0 与1 之间，即0 ≤fn(A) ≤1.
(2) 必然事件M 的概率为1, 即P(M) = 1；不可能事件N 的概率为0, 即P(N) = 0；随机
事件A 的概率满足0 ≤P(A) ≤1.
通关二、概率的几个基本性质
1. 任何事件的概率都在0 ∼1 之间，即0 ≤P(A) ≤1. 必然事件的概率为1, 不可能事件的
概率为0.
2. 当事件A 与事件B 互斥时，P(AUB) = P(A) + P(B).
3. 对立事件的概率之和为1, 即若事件A 与事件B 对立，则P(A) + P(B) = 1.
4. 当事件A 与事件B 互相独立时，P(AB) = P(A)P(B).
·401·
结论一、独立事件的概率与性
事件A,B 相互独立
概率计算公式
A,B 同时发生
P(AB) = P(A)P(B)
A,B 同时不发生
P(A
B
)=P(A
)P(B
)=[1-P(A)]⋅[1-P(B)]
=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)
A,B 至少有一个不发生
P = 1 - P(AB) = 1 - P(A)P(B)
A,B 至少有一个发生
P = 1 - P(A
B

) = 1 - P(A

)P(B

) = P(A) +P(B) - P(A)P
(B)
A,B 恰有一个发生
P = P(AB

+ A

B) = P(A)P(B

) + P(A

)P(B)
= P(A) + P(B) - 2P(A)P(B)
381
已知A,B,C 为三个独立事件，若事件A 发生的概率是1
2 ，事件B 发生的概率是
2
3 ，
事件C 发生的概率是3
4 , 求下列事件的概率：
(1) 事件A,B,C 至少发生一个；
(2) 事件A,B,C 只发生一个；
(3) 事件A,B,C 只发生两个；
(4) 事件A,B,C 至多发生两个．
【解析】(1) 记“事件A,B,C 至少发生一个”为A1, 其对立事件为A1

:“事件A,B,C 一个也
不发生”，从而P(A1) = 1 - P(A1

) = 1 - P(A

⋅B

⋅C

) = 1 - 1
2 × 1
3 × 1
4 = 23
24 . 所以事件A,B,
C 至少发生一个的概率为23
24 .
(2) 记“事件A，B，C 只发生一个”为A2，则事件A2，包括三种情况∶第一种是只发生事件
A，事件B，C 不发生(即事件A ∙B

∙C 发生); 第二种是只发生事件B，事件A，C 不发生(即事
件A

∙B ∙C

发生); 第三种是只发生事件C，事件A，B 不发生(即事件A

∙B

∙C 发生); 而这三
种情况是不可能同时发生的，即事件A ∙B

∙C，A

∙B ∙C

，A

∙B

∙C 彼此互斥. 根据互斥事件的
概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为P(A2) = P(A ∙B

∙C) + P(A

∙
B ∙C

) + P(A

∙B

∙C) =
1
24 + 2
24 + 3
24 = 1
4 所以A，B，C 只发生一个的概率为1
4
(3) 记“事件A，B，C 只发生两个”为A3，则事件A3，包括三种彼此互斥的情况∶A ∙B ∙C

;
A ∙B

∙C;A

∙B ∙C 由互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率
为P(A3) = P(A ∙B ∙C

) + P(A ∙B

∙C) + P(A

∙B ∙C) = 2
24 + 3
24 + 6
24 = 11
24 所以事件A，
B，C 只发生两个的概率为11
24
(4) 记“事件A，B，C 至多发生两个”为A4，则包括彼此互斥的三种情况∶事件A，B，C 一
个也不发生，即A

1; 事件A，B，C 只发生一个，即A2; 事件A，B，C 只发生两个，即A3 故P
·402·
(A4) = P(A1

) + P(A2)
P(A3) = 1
24 + 6
24 + 11
24 = 18
24 = 3
4 所以事件A，B，C 至多发生两个的概率为3
4
381
甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为1
3 和1
4 , 求：
(1) 两个人都译出密码的概率；
(2) 两个人都译不出密码的概率；
(3) 恰有1 个人译出密码的概率；
(4) 至多1 个人译出密码的概率；
(5) 至少1 个人译出密码的概率．
【解析】记“甲独立地译出密码”为事件A,“乙独立地译出密码”为事件B,A,B 为相互独
立事件，且P(A) = 1
3 ,P(B) = 1
4 .
(1) 两个人都译出密码的概率为：P(AB) = P(A)·P(B) = 1
3 × 1
4 = 1
12 .
(2) 两个人都译不出密码的概率为：
P(A

⋅B

) = P(A

) ⋅P(B

) = [1 - P(A)] ⋅[1 - P(B)] = 1- 1
3


× 1- 1
4


= 1
2
(3) 恰有1 个人译出密码可以分为两类：甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个
事件为互斥事件，所以恰有1 个人译出密码的概率为：
P = P(AB

+ A

B) = P(A)P(B

) + P(A

)P(B) = 1
3 × 1- 1
4


+ 1- 1
3


× 1
4 = 5
12 .
(4)“至多1 个人译出密码”的对立事件为“有两个人译出密码”，所以至多1 个人译出
密码的概率为：1 - P(AB) = 1 - P(A)P(B) = 1 - 1
3 × 1
4 = 11
12 .
(5)“至少1 个人译出密码”的对立事件为“两人未译出密码”，所以至少1 个人译出密
码的概率为：1 - P(A

⋅B

) = 1 - P(A

)P(B

) = 1 - 2
3 × 3
4 = 1
2 .
结论二、条件概率
1. 条件概率：事件B 在事件A 已经发生的情况下，发生的概率称为B 在A 条件下的条件
概率，记为B|A.
2. 利用定义计算，先分别计算概率P(AB) 和P(A), 然后代入公式P(B|A) = P(AB)
P(A) .
3. 利用缩小样本空间法计算(局限在古典概型内)，即将原来的样本空间Ω 缩小为已知的
事件A, 原来的事件B 缩小为AB, 利用古典概型计算概率：P(B|A) = P(AB)
P(A) .
要点诠释：
P(AB),P(B|A),P(A|B),P(A),P(B) 之间关系的应用，
即P(B|A) = P(AB)
P(A) , P(A|B) = P(AB)
P(B) ,
·403·
P(AB) = P(A|B)·P(B) = P(B|A)·P(A).
382
在100 件产品中有95 件合格品，5 件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任
取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为
【答案】4
99
【解析】设事件A 为“第一次取到不合格品”，事件B 为“第二次取到不合格品”，
P(B|A) = 4
99 ．
382
甲罐中有5 个红球，2 个白球和3 个黑球，乙罐中有4 个红球，3 个白球和3 个黑
球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2 和A3 表示由甲罐取出的球是红球，白
球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下
列结论中正确的是
(写出所有正确结论的编号)．
①P(B) = 2
5 ；
②P(B|A1) = 5
11 ；
③事件B 与事件A1相互独立；
④A1，A2，A3是两两互斥的事件；
⑤P(B) 的值不能确定，因为它与A1，A2，A3中究竟哪一个发生有关．
【答案】②④
【解析】易见A1，A2，A3 是两两互斥的事件，④正确；P(A1) = 5
10 = 1
2 ，P(A2) = 2
10 =
1
5 ，P(A3) = 3
10 ；P(B|A1) = P(BA1)
P(A1) =
1
2 × 5
11
1
2
= 5
11 ，由此知，②正确；
P(B|A2) = 4
11 ，P(B|A3) = 4
11 ；而P(B)
= P(A1B) + P(A2B) + P(A3B) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B|A3) = 1
2
× 5
11 + 1
5 × 4
11 + 3
10 × 4
11 = 9
22 ．
由此知①③⑤不正确。综上：正确的结论为：②④
结论三、古典概型
1. 古典概型的概率公式P(A) = A包含的基本事件的个数
基本事件的总数
2. 从集合的观点看古典概型：从集合的观点来看，如果把一次试验中出现的n 个等可能
结果组成一个集合I, 其中每个结果都是I 的元素。包含m 个结果的一个事件就对应于I 的
某个有m 个元素的子集A(每个基本事件都对应于集合I 的某个m 元子集)，所以该事件的概
率是子集A 的元素个数(记为card(A)) 与集合I 的元素个数(card(I)) 的比值：P(A) =
card(A)
card(I) = m
n .
383
从分别写有1，2，3，4，5 的5 张卡片中随机抽取1 张，放回后再随机抽取1 张，则
·404·
抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为
(
)
A. 1
10
B. 1
5
C. 3
10
D. 2
5
【答案】D
【解析】从分别写有1，2，3，4，5 的5 张卡片中随机抽取1 张，放回后再随机抽取1 张，
基本事件总数n = 5 × 5 = 25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基
本事件有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共有m = 10 个
基本事件，所以抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为P = 10
25 = 2
5 ．
故选D．
383
生物实验室有5 只兔子，其中只有3 只测量过某项指标．若从这5 只兔子中随机
取出3 只，则恰有2 只测量过该指标的概率为
(
)
A. 2
3
B. 3
5
C. 2
5
D. 1
5
【答案】B
【解析】由题意，根据组合的概念，可知：从这5 只兔子中随机取出3 只的所有情况数为
C3
5，恰有2 只测量过该指标的所有情况数为C2
3C1
2．∴p = C2
3C1
2
C3
5
= 3
5 ．故选B．
结论四、几何概型
1. 与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；
2. 与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将
两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即
可借助平面区域解决问题；
3. 与角度有关的几何概型，如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用角度表示，则
其概率的计算公式为P(A) =
构成事件A的区域角度
试验的全部结果构成的区域角度.
4. 与体积有关的几何概型，如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则
其概率的计算公式为P(A) =
构成事件A的区域体积
试验的全部结果构成的区域体积.
384
ABCD 为长方形，AB = 2，BC = 1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取
一点，取到的点到O 的距离大于1 的概率为
(
)
A. π
4
B. 1 - π
4
C. π
8
D. 1 - π
8
【答案】B
【解析】如图所示，已知长方形面积为2，以O 为圆心，1 为半径作圆，在矩形内部的部分
(半圆) 面积为π
2 ，因此取到的点到O 的距离大于1 的概率P =
2- π
2
2
= 1 - π
4 . 故选B．
·405·
384
如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色
部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部
分的概率是
(
)
A. 1
4
B. π
8
C. 1
2
D. π
4
【答案】B
【解析】根据图像的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为1，则正方形的边
长为2，则黑色部分的面积S = π
2 ，则此点取自黑色部分的概率P =
π
2
4 = π
8 . 故选B.
结论五、随机模拟
利用随机模拟试验可以近似计算不规则图形A 的面积，解题的依据是根据随机模拟估
计概率P
A


=
随机取的点落在A中的频数
随机取点的总次数
P ( A ) ，然后根据P
A


=
构成事件A的区域面积
随机取点的全部结果构成的区域面积列等式求A 的面积. 为了方便解题，我们常常设计出
一个规则的图形(面积为定值) 来表示随机取点的全部结果构成的区域.
385
如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300 颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆
为96 颗，以此试验数据为依据可以估计椭圆的面积为
(
)
A. 7. 68
B. 8. 68
C. 16. 32
D. 17. 32
【答案】C
【解析】由随机模拟的思想方法可得黄豆落在椭圆内的概率为300-96
300
= 0.68. 由几何概
型的概率计算公式可得p = S椭圆
S矩形= 0.68，而S矩形= 6 × 4 = 24，则S椭圆= 0. 68 × 24 = 16. 32.
故选C.
·406·
385
从区间[0，1] 随机抽取2n 个数x1,x2, ⋯,xn,y1,y2 ⋯yn. 构成n 个数对x1,y1


,
x2,y2


, ⋯, xn,yn


，其中两数的平方和小于1 的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的
圆周率π 的近似值为
(
)
A. 4n
m
B. 2n
m
C. 4m
n
D. 2m
n
【答案】C
【解析】由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为1
4 π ⋅12，从区间[0，1] 随机抽
取2n 个数x1,x2, ⋯,xn,y1,y2 ⋯yn，构成n 个数对x1,y1


, x2,y2


, ⋯, xn,yn


，对应的区域的
面积为12. 所以m
n =
1
4 π⋅12
12
，π = 4m
n ，故选C.
·407·
第58 讲
随机变量分布列、期望与方差
通关一、离散型随机变量分布列
1. 离散型随机变量的分布列的表示
一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1,x 2, ⋯,x n，X 取每一个值
xi 1,2,⋯,n


的概率P(X = xn) = Pi,i = 1,2 ⋯,n，则下表称为随机变量X 的概率分布列，简
称为x 的分布列.
X
x1
x2
⋯
xi
⋯
xn
P
P1
P2
⋯
Pi
⋯
Pn
为了简单起见，也可以用等式P(X = xn) = Pi ,i = 1,2 ⋯,n，表示X 的分布列.
2. 离散型随机变量的分布列的性质
根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：
(1)Pi ≥0，i = 1,2, ⋯,n；
(2)P1+ P2+⋯+Pi +⋯+Pn= 1；
(3)P(xi ≤x ≤xj) = Pi + Pi+1+⋯+Pj(i < j 且i,j ∈N *).
通关二、离散型随机变量的均值与方差
1. 期望与方差的表示
一般地，若离散型随水变量X 的概率分布列为：
X
x1
x2
⋯
xi
⋯
xn
P
P1
P2
⋯
Pi
⋯
Pn
则称E(X) = x1P1 + x2P2 +⋯+xiPi +⋯+xnPn 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映
了高散型随机变量取值的平均水平；称D(X) =
n
i=1
xi-E X




2

Pi 为随机变量X 的方差，它刻
画了随机变量X 与其均值E(X) 的均偏离程度，其算术平方根
D X


为随机变量x 的标准
·408·
差.
2. 均值的性质
若y = aX + b，其中a，b 是常数，X 是随机变量，则均值的性质：
(1)E(k) = k(k 为常效)；
(2)E(aX + b) = aB(X) + b；
(3)E(X1+ X2) = E(X1) + E(X2)；
(4) 若X1,X2相互独立，则E(X1⋅X2) = E(X1)·E(X2).
3. 方差的性质
(1)D(k) = 0(k 为常数)；
(2)D(aX + b) = a2D(X)；
(3)D(X) = E(X2) - [E(X)]2.
通关三、正态分布曲缆及特点
我们把函数φ(x) =
1
2πσ e
- (x-μ)2
2σ2 ,x ∈(-∞, +∞) (其中μ 是样本均值，σ 是样本标准差)
的图像称为正态分布密度曲线，简称正态曲线.
(1) 曲线位手x 轴上方，与x 轴不相交；
(2) 曲线是单峰的，它关于直线x = μ 对称；
(3) 曲线在x = μ 处达到峰使(最大值)
1
2πσ
(4) 曲线与x 轴之间的面积为1；
(5) 当σ 一定时，曲线的位置由μ 确定，曲线随着μ 的变化而沿x 轴平移；
(6) 当μ 一定时，曲线的形状由σ 确定；σ 越小，曲线越“瘦”，表示总体的分布越集中；σ 越
大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.
·409·
结论一、求解离散型随机变量X 的分布到的步骤
1. 理解X 的意义，写出X 可能取的全部值；
2. 求X 取每个值的概率；
3. 写出X 的分布列；
4. 根据分布列的性质对结果进行检验.
386
甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人
获胜或每人都投球3 次时投篮结束. 设甲每次投篮投中的概率为1
3 ，乙每次投篮投中的
概率为1
2 ，且各次投篮互不影响，
(1) 求甲获胜的概率；
(2) 求投篮结束时甲的投球次数ξ 的分布列.
【解析】设Ak,Bk 分别表示“甲、乙在第k 次投篮投中”，则
P Ak


= 1
3 ,P Bk


= 1
2 , k=1,2,3


.
(1) 记“甲获胜”为事件C，由互斥事件与相互独立事件的概率计算公式知
P(C) = P(A1) + P(A1

B1

A2) + P(A1

B1

A2

B2

A3) = P(A1) + P(A1

)P(B1

)P(A2) + P(A1

)P
(B1

)P(A2

) P(B2

)P(A3) = 1
3 + 2
3 × 1
2 × 1
3 +
2
3


2×
1
2


2× 1
3 = 1
3 + 1
9 + 1
27 = 13
27 .
(2)ξ 的所有可能取值为1，2，3 且P(ξ = 1) = P(A1) + P(A1

B1) = 1
3 + 2
3 × 1
2 = 2
3 ；P(ξ
= 2) = P(A1

B1

A 2) + P(A1

B1

A2

B 2) = 2
3 × 1
2 × 1
3 +
2
3


2 ×
1
2


2 = 2
9 P(ξ = 3) = P
(A1B1A2B2) =
2
3


2×
1
2


2= 1
9 ,
综上ξ 的分布列为：
ξ
1
2
3
P
2
3
2
9
1
9
386
在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4 轮考核，每轮设有一个问题，能正确回
答者进入下一轮考核，否则被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分
别为2，4，2，且各轮问题能否正确回答互不影响.
(1) 求该选手进人第三轮才被淘汰的概率；
(2) 求该选手至多进人第三轮考核的概率；
(3) 该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X，求随机变量X 的分布列.
【解析】设事件Ai(i = 1，2，3，4) 表示“该选手能正确回答第i 轮问题”，由已知P(A1) =
5
6 ,P(A2) = 4
5 ,P(A3) = 3
4 ,P(A4) = 1
3
(1) 设事件B 表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则P(B) = P(A1A2A3

) = P(A1)P(A2)P
(A3

) = 5
6 × 4
5 × 1- 3
4


= 1
6
(2) 设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”，则
·410·
P(C) = P(A1

+ A1A2

+ A1A2A3

) = P(A1

) + P(A1A2

) + P(A1A2A3

) = 1
6 + 5
6 × 1
5 + 5
6
× 4
5 × 1- 3
4


= 1
2
(3)x 的可能取值为1，2，3，4.
P(X = 1) = P(A1

) = 1
6 ;P(X = 2) = P(A 1A2

) = 5
6 × 1- 4
5


= 1
6 ;P(X = 3) = P
(A1A2A3

= 5
6 × 4
5 × 1- 3
4


= 1
6 ;P(X = 4) = P(A1A2A3) = 5
6 × 5
4 × 3
4 = 1
2 所以，x 的分
布列为：
X
1
2
3
4
P
1
6
1
6
1
6
1
2
结论二、期望与方差的一般计算步骤
1. 理解X 的意义，写出X 的所有可能取的值；
2. 求X 取各个值的概率，写出分布列；
3. 根据分布列，正确运用期望与方差的定义或公式进行计算.
387
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，售价每瓶6
元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2 元的价格当天全部处理完. 根据往年销售经验，每
天需求量与当天最高气温(单位：℃) 有关. 如果最高气温不低于25，需求量为500 瓶；
如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300 瓶；如果最高气温低于20，需求量为200
瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的
频数分布表：
最高气温
[10，15)
[15，20)
[20，25)
[25，30)
[30，35)
[35，40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率，
(1) 求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶) 的分布列；
(2) 设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货
量n(单位：瓶) 为多少时，Y 的数学期望达到最大值？
【解析】(1) 由题意知X 的可能取值为200，300，500，P(X = 200) = 2+16
90
= 0.2
P(X = 300) = 36
90 = 0.4,P(X = 500) = 25+7+4
90
= 0.4
所以X 的分布列为：
X
200
300
500
P
0. 2
0. 4
0. 4
(2) 由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500 瓶，至少为200 瓶，所以只需考虑200 ≤n
≤500.
当300 ≤n ≤500 时，若最高气温不低于25，则Y = 6n - 4n = 2n；
若最高气温位于区间[20，25)，则Y = 6 × 300 + 2(n - 300) - 4n = 1200 - 2n；
·411·
若最高气温低于20，则Y = 6 × 200 + 2(n - 200) - 4n = 800 - 2n；
所以F(Y) = 2n × 0. 4 + (1200 - 2n) × 0. 4 + (800 - 2n) × 0. 2 = 640 - 0. 4n.
当200 ≤n ≤300 时，若最高气温不低于20，则Y = 6n - 4n = 2n；
若最高气温低于20，则Y = 6 × 200 + 2(m - 200) - 4n = 800 - 2n；
所以E(Y) = 2n × (0. 4 + 0. 4) + (800 - 2m) × 0. 2 = 160 + 1. 2n.
综上，当n = 300 时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520 元
387
为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育
部门主办了全国大学生智能汽车竞赛，竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照
抽签的方式决定出场顺序，通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛.
(1) 求决赛中甲乙两支队伍恰好排在前两位的概率；
(2) 若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X，求X 的分布列和数学期望.
【解析】(1) 设事件A 为“甲乙排在前两位”，则P(A) = n(A)
n(Q) = A2
2⋅A3
3
A5
5
= 1
10 .
(2)X 的可能取值为0,1,2,3，则P(X = 0) = 4⋅A2
2⋅A3
3
A5
5
= 2
5 ;P(X = 1) = 3⋅A2
2⋅A3
3
A5
5
= 3
10 ,
P(X = 2) = 2⋅A2
2⋅A3
3
A5
5
= 1
5 ;P(X = 3) = 1⋅A3
2⋅B3
3
A5
= 1
10 .
所以x 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
2
5
3
10
1
5
1
10
结论三、二项分布
一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X，在每次试验中事件A 发生
的概率为p，则事件A 恰好发生次的概率为P(X = k) = C k
npk(1 - p)n-k，k = 0，1，2 ⋯，n，则
称随机变量X 服从二项分布，记作x~B(n，p).
X
0
1
⋯
n
P
C0
np0(1 - p)n
C1
np1(1 - p)n-1
⋯
Cn
npn(1 - p)0
要点诠释：
E(X) = np，D(X) = np(1 - p).
388
为保护水资源，宣传节约用水，某校4. 名志愿者准备去附近的甲、乙、两三个公园
进行宣传活动，每名志愿者都可以从三个公园中随机选择一个，且每人的选择相互独立.
(1) 求4 人恰好选择了同一个公园的概率；
(2) 设选择甲公园的志愿者的人数为X，试求X 的分布列及期望.
【解析】(1) 设“4 人恰好选择了同一个公园”为事件A. 每名志愿者都有3 种选择，4 名志
愿者的选择共有3' 种等可能的情况，事件A 所包含的等可能事件的个数为3，所以P(A) =
·412·
3
34 = 1
27 , 故4 人恰好选择了同一个公园的概率为1
27
(2) 设“一名志愿者选择甲公园”为事件C，则P(C) = 1
3 . 4 人中选择甲公园的人数X 可
看作4 次独立重复试验中事件C 发生的次数. 因此，随机变量X 服从二项分布X 可取的值
为0，1，2，3，4. P(X = i) = Ci
4 1
3


i 2
3


4-1，i = 0，1，2，3，4.
X 的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
16
81
32
81
24
81
8
81
1
81
X 的期望为E(X) = np = 4 × 1
3 = 4
3
388
一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，
如图所示. 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.
(1) 求在未来连续3 天里，有连续2 天的日销售量都不低于100 个且另1 天的日销售量低
于50 个的概率；
(2) 用X 表示在未来3 天里日销售量不低于100 个的天数，求随机变量x 的分布列、期望
E(X) 及方差D(X).
【解析】(1) 设A1表示事件“日销售量不低于100 个”，A2表示事件“日销售量低于50
个”，B 表示事件“在未来连续3 天里，有连续2 天的日销售量都不低于100 个且另1 天的日销
售量低于50 个”，因此P(A1) = (0.006 + 0.004 + 0.002) × 50 = 0.6，P(A2) = 0.003 × 50 =
0.15，P(B) = 0.6 × 0.6 × 0.15 × 2 = 0.108.
(2)X 的可能取值为0，1，2，3，相应的概率为：P(X = 0) = C0
3(1 - 0.6)3= 0.064；
P(X = 1) = C1
3(0.6)1(1 - 0.6)2= 0.288；P(X = 2) = C2
3(0.6)2(1 - 0.6)1= 0.432；P(X =
3) = C3
3(0.6)3= 0.216.
随机变量X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
因为X~B(3，0. 6)，所以期望E(X) = np = 3 × 0.6 = 1.8，方D(X) = p(1 - p) = 3 × 0.6
× (1 - 0.6) = 0.72.
结论四、超几何分布
·413·
一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有x 件次品，则P(X = k) ==
Ck
MCn-k
N-M
Cn
N
,k = 0,1,2, ⋯,m, 其中m = min{M,n}, 且n ≤N,M ≤N,n,M,N ∈N *.
要点诠释：
E(X) = nM
N ,D(X) = nM(N-M)(N-n)
N 2(N-1)
389
某小组共10 人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3 的人数
分别为3，3，4. 现从这10 人中随机选出2 人作为该组代表参加座谈会.
(1) 设A 为事件“选出的2 人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；
(2) 设X 为选出的2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学
期望.
【解析】(1) 由已知得P = C1
3⋅C1
4+C2
3
C2
10
= 1
3 , 所以事件A 发生的概率为1
3 .
(2) 随机变量X 的所有可能取值为0，1，2.
P(X = 0) = C2
3 +C2
3 +C2
4
C2
10
= 4
15 ;P(X = 1) = C1
3C1
3+C1
3C1
4
C2
10
= 7
15 ;P(X = 2) = C1
3C1
4
C2
10
= 4
15
所以，随机变量x 的分布列为：
X
0
1
2
P
4
15
7
15
4
15
随机变量X 的数学期望E(X) = 0 × 4
15 + 1 × 7
15 + 2 × 4
15 = 1.
389
为了提高我市的教育教学水平，市教育局打算从红塔区某学校推荐的10 名教师
中任选3 人去参加支教活动. 这10 名教师中，语文教师3 人，数学教师4 人，英语教师3 人.
(1) 求选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率；
(2) 求选出的3 人中，语文教师人数X 的分布列和数学期望.
【解析】设事件Ai 为“3 人中有i 名语文教师”，Bj 为“3 人中有j 名数学教师”，事件A 为
“语文教师人数多于数学教师人数”，所以P(A) = P(A1B0) + P(A ₂ B0) + P(A2B1) + P(A3) =
C1
3C2
3
C3
10
+ C2
3C1
3
C3
10
+ C2
3C1
4
C3
10
+ C3
3
C3
10
= 9+9+12+1
120
= 31
120 .
(2) 语文教师人数X 可取的值为0，1，2，3，依题意可得x~H(10，3，3)，所以P(X = 0) =
C3
1
C3
10
= 35
120 ,P(X = 1) = C1
3C2
7
C3
10
= 63
120 ,P(X = 2) = C2
3C1
7
C3
10
= 21
120 , P(X = 3) = C3
3
C3
10
=
1
120 .
所以X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
35
120
63
120
21
120
1
120
所以E(X) = 0 × 35
120 + 1 × 63
120 + 2 × 21
120 + 3 ×
1
120 = 9
10 .
结论五、利用期望与方差进行决策
·414·
若我们希望实际的平均水平较理想时，一般先求随机变量ξ1,ξ2 的期望，若E(ξ1) = E(ξ2)
时，则用D(ξ1),D(ξ2) 来比较这两个随机变量的偏离程度. 若E(ξ1) 与E(ξ2) 比较接近，且期望
较大者的方差校小，显然该变量更好；若E(ξ1) 与E(ξ2) 比较接近且方差相差不大时，应根据
不同选择给出不同的结论，是选择较理想的平均水平还是选择较稳定.
390
改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变. 近年来，移动支付已成为主要支
付方式之一为了解某校学生上个月A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中
随机抽取了100 人，发现样本中，A，B 两种支付方式都不使用的有5 人，样本中仅使用
A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下；
支付方式
支付金额(元)
(0，1000]
(1000，2000]
大于2000
仅使用A
|18 人
9 人
3 人
仅使用B
10 人
14 人
1 人
(1) 从全校学生中随机抽取1 人，估计该学生上个月A，B 两种支付方式都使用的概率；
(2) 从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1 人，以X 表示这2 人中上个月支
付金额大于1000 元的人数，求X 的分布列和数学期望；
(3) 已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化. 现从样本仅使用A 的学生中，随
机抽查3 人，发现他们本月的支付金额都大于2000 元. 根据抽查结果，能否认为样本仅使用
A 的学生中本月支付金额大于2000 元的人数有变化？说明理由.
【解析】(1) 由题意得：从全校所有学生中随机抽取的100 人中，A，B 两种支付方式都不使
用的有5 人，仅使用A 的有30 人，仅使用B 的有25 人，所以A，B 两种支付方式都使用的人
数有：100 - 5 - 30 - 25 = 40. 从全校学生中随机抽取1 人，估计该学生上个月A，B 两种支
付方式都使用的概率p = 40
100 = 0.4.
(2) 从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1 人，以X 表示这2 人中上个月支付
金额大于1000 元的人数，则X 的可能取值为0，1，2. 样本仅使用A 的学生有30 人，其中支
付金额在(0，1000] 的有l8 人，超过1000 元的有12 人，样本仅使用B 的学生有25 人，其中支
付金额在(0. 1000] 的有10 人，超过1000 元的有15 人.
所以P(X = 0) = 18
30 × 10
25 = 180
750 = 6
25 ;
P(X = 1) = 18
30 × 15
25 + 12
30 = 390
75 = 13
25 ;
P(X = 2) = 12
30 × 15
25 = 180
750 = 6
25 .
所以x 的分布列为：
X
0
1
2
P
6
25
13
25
6
25
数学期望E(X) = 0 × 6
25 + 1 × 13
25 + 2 × 6
25 = 1.
(3) 不能认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000 元的人数有变化，理由如下：
样本中仅使用A 的学生有30 人，其中27 人月支付金额不大于2000 元，有3 人月支付金额大
于2000 元，随机抽查3 人，发现他们本月的支付金额都大于2000 元的概率为p = C3
3
C3
30
=
·415·
1
4060 , 虽然概率较小，但发生的可能性为
1
4060 , 故不能认为样本仅使用A 的学生中本月支
付金额大于2000 元的人数有变化.
390
2022 北京冬奥会和冬残奥会吉祥物冰墩墩、雪容融亮相上海展览中心．为了庆
祝吉祥物在上海的亮相，某商场举办了一场赢取吉祥物挂件的“定点投篮”活动，方案如下：
方案一：共投9 次，每次投中得1 分，否则得0 分，累计所得分数记为Y；
方案二：共进行三轮投篮，每轮最多投三次，直到投中两球为止得3 分，否则得0 分，三轮
累计所得分数记为X．
累计所得分数越多，所获得奖品越多．现在甲准备参加这个“定点投篮”活动，已知甲每
次投篮的命中率为p(0 < p < 1)，每次投篮互不影响．
(1) 若p = 1
2 ，甲选择方案二，求第一轮投篮结束时，甲得3 分的概率；
(2) 以最终累计得分的期望值为决策依据，甲在方案一，方案二之中选其一，应选择哪个
方案？
【答案】(1) 1
2 ；(2) 答案见解析.
【解析】(1) 根据给定条件，将甲得3 分的事件分拆成两个互斥事件的和，再利用互斥事
件的概率公式计算即可.
(2) 求出甲选方案一，方案二得分的期望，再比较大小作答.
(1)p = 1
2 ，甲选择方案二，甲得3 分的事件是3 次投篮，前两球投进与最后一次才投进第
2 球的事件和，所以P X=3


=
1
2


2+ 2 1
2


2 1
2


= 1
2 ，所以第一轮投篮结束时，甲得3 分的
概率为1
2 .
(2) 选方案一，则Y ∼B(9,p)，选方案一得分的数学期望为EY = 9p，选方案二，每一轮得
分只有0 和3，能得3 分的概率为p0= 2p2(1 - p) + p2= 3p2- 2p3，进行三轮投篮，得3 分的次
数ξ 为随机变量，则ξ ∼B(3,p0)，Eξ = 3p0，进行三轮总得分X = 3ξ，则选择方案二得分的期
望为EX = 3Eξ = 9p0= 9(3p2- 2p3)，显然EY - EX = 9p - 9(3p2- 2p3) = 9p(p - 1) (2p -
1)，当p = 1
2 ，EY - EX = 0，两种方案期望相同，所以选方案一，二都可以；     当1
2 < p <
1，EY < EX，方案二期望大，所以甲应该选方案二；     当0 < p < 1
2 ，EY > EX，方案一期
望大，所以甲应该选方案一．
·416·