解锁 “高考数学学科素养”专题系列——11 基本代数函数运算的根基一
元二次函数、幂函数
一元二次函数是一类简单而又基本的函数类型,具有丰富的内涵和外延,它可沟通函数、方程、不等式、
数列和曲线等知识之间的联系,因此它是高考试题的基本工具.一元二次函数的图像、单调性、综合运应其
对称、单调、奇偶和有界、最值等性质和其灵活的形式变化,可解决分析函数中的许多问题;一元二次函数
是三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的主帅作用，也是研究包含二次曲线
在内的许多内容的工具.完善幂数的处理方案，构建函数模型
解锁一：基本初等代数函数
1.正比例函数
形如
,其图象是过原点的直线.
2.反比例函数
形如
,其图象是实轴长为
的等轴双曲线.
主要作用：研究倒数问题、处理方式的解题方向.
3.一次函数
形如
，其图象是直线. 一次函数解析式
直线方程的斜截式
说明：关注系数的几何意义.
4.一次分式函数
形如
，其图象是反比例函数
的图象平移
所得.其
对称中心为
.
注意一次分式函数条件:
;解题策略：化归反比例.
探点.一次分式函数
的对称中心为
，则
.
探究:由题意知
,解得
.
5.一元二次函数
形如
，其图象是顶点为
，焦点为
的，
(
0)
y
kx k
(
0)
k
y
k
x
2 2 k
(
0)
y
kx
b k
{
}
{
}
(
)
ax
b
y
ad
bc
cx
d
2
bc
ad
a
c
y
d
c
x
c
(
,
)
d a
c c
a
(
,
)
d a
c c
ad
bc
2
(2
)
1
a
x
a
y
x
( 1,1)
a
2
2
2
1
1
2
a
a
a
1
a
2
(
0)
y
ax
bx
c a
2
4
(
,
)
2
4
b
ac
b
a
a
(
,
2
b
a
2
4
1)
4
ac
b
a
准线方程为
的抛物线.它被
轴解得的弦长
.
说明:
(1)注意一元二次函数与一元二次型的区别!二次型的特征为:①二次项系数可以为零;②定义域不为全
体实数；
探点1.函数
的
①定义域为
,则实数
的取值范围为 ；
②值域为
,则实数
的取值范围为 .
③在
单调递减，则
的取值范围
.e
探究:
①
恒成立，若
，
.若
，则
，解得
，综上实数
的取值范围为
；
②
取得区间
的所有值，若
，则
，不符合题意；设
，
则
，解得
或
，综上实数
的取值范围为
或
.
探点2.若关于
的方程
在
有解，则实数
的取值范围为
探究:已知命题可变为求关于
为自变量的二次型函数
的值域，所以
，解得
，故实数
的取值范围为
.
(2)一元二次函数解析式的表示形式有三种：
①一般式，
；
②顶点式，
（其中
为顶点坐标）；
③零点式,
为方程
的两个实根）.
说明:
❶一般式反应参数的意义；
零点式反应分解因式的理念（判定符号问题主要有三个切入点：配方、因式分解、构造函数求最
值）；
顶点式体现配方思想.
❷在具体具体时要灵活、恰当选择,才能达到多元变少元，简化解题的目的.
2
4
1
4
ac
b
y
a
x
1
2
l
x
x
a
2
lg(
1)
y
ax
ax
R
a
R
a
(2,
)
a
2
1
0
ax
ax
0
a
x
R
0
a
0
0
a
4
0
a
a
{ | 4
0}
a
a
2
1
u
ax
ax
(0,
)
0
a
1,
0
u
y
0
a
0
0
a
4
a
0
a
a
{ |
a
4
a
0}
a
x
2
2
sin
cos
1
0
x
x
a
a
(0,
)
2
a
cos x
2
2
cos
cos
a
a
x
x
2
1
4
a
0
a
0
1
a
a
{ | 0
1}
x
a
2
( )
(
0)
f x
ax
bx
c a
2
0
0
( )
(
)
f x
a x
x
y
0
0
(
,
)
x
y
1
2
1
2
( )
(
)(
)(
0,
,
f x
a x
x
x
x
a
x x
( )
0
f x
探点1.在区间
上的函数
与
在同一点取得相同的最小值，则
在
上的最大值为
.
探究:
时取等号，因为
，所以
，所以
的最小值点为
，又
与
在同一点取得相同的最小值，所以
，所以
在
上的最大值为
.
探点2.已知二次函数
满足
，且
的最大值是
，则函数
的
单调减区间为 .
探究1(一般式):设
，则
，解得
，所
以
，所以函数
的单调减区间为
.
探究2 (顶点式):由
知函数
的图象的对称轴方程为
，由
最大
值为
，所以
，且
，由
解得
，所以
，
所以函数
的单调减区间为
.
探究3 （零点式）：由
知
是方程
的两根，可设
，又
最大值为
，所以
且
，解得
，所
以
，所以函数
的单调减区间为
.
探究4( 零点式): 由二次函数
满足
知
的对称轴方程为
1
[ ,2]
2
2
( )
f x
x
px
q
2
1
( )
2
g x
x
x
( )
f x
1
[ ,2]
2
2
2
2
1
1
1
( )
2
3
g x
x
x
x
x
x
x
x
0
x
1
x
1
[ ,2]
2
( )
g x
(1,3)
( )
f x
( )
g x
2
( )
(
1)
3
f x
x
( )
f x
1
[ ,2]
2
4
( )
f x
(2)
( 1)
1
f
f
( )
f x
8
lg
( )
y
f x
2
( )
(
0)
f x
ax
bx
c a
2
4
2
1
1
4
8
4
a
b
c
a
b
c
ac
b
a
4,
4,
7
a
b
c
2
( )
4
4
7
f x
x
x
lg
( )
y
f x
1 1
2 2
[ ,
)
2
2
(2)
( 1)
f
f
( )
f x
2 1
1
2
2
x
( )
f x
8
0
a
2
1
( )
(
)
8
2
f x
a x
( 1)
1
f
4
a
2
1
( )
4(
)
8
2
f x
x
lg
( )
y
f x
1 1
2 2
[ ,
)
2
2
(2) 1
( 1) 1
0
f
f
2, 1
( ) 1
0
f x
( ) 1
(
f x
a x
2)(
1)
x
( )
f x
8
0
a
2
4 ( 2
1)
8
4
a
a
a
a
4
a
2
( )
4
4
7
f x
x
x
lg
( )
y
f x
1 1
2 2
[ ,
)
2
2
( )
f x
(2)
( 1)
1
f
f
( )
f x
，所以可设
，由题意知
，消去
得所以
函数
的单调减区间为
.
探点3.已知
，方程
的两根为
，且
.
(1)当
时，求证:
；
(2)
对称轴方程为
，求证：
.
探究:
(1)( 零点式). 设方程
，则由
知
，且
，所以
；
(2)由(1)知
，所以
，因为
，所以函数
的对称轴方程为
.即
.
题思:
①将“方程
的两根为
”变式为 “不等式
的解为
”，结论
不变.
②二次函数与一元二次方程和一元二次不等式构成一个组合体,在解题时要会灵活转化.
探点1.
,且
是
的两个零点，则
的大小关
系为
分析:二次函数问题，利用 “三个二”之间的关系灵活转移.
探究1：
的图象是函数
的图象向下平移
个单位使得，
所以
得图象如图所示，所以
的大小关系为
.
探究2.令
，则
.令
，则
-2O
2
O
2
( 1)
1
2
2
x
1
( )
[
(1
)](
)(
)
2
f x
a x
t
x
t t
0
1
( )
8
2
( 1)
1
a
f
f
a
lg
( )
y
f x
1 1
2 2
[ ,
)
2
2
2
( )
(
0)
f x
ax
bx
c a
( )
f x
x
1
2
,
x x
1
2
1
0
x
x
a
1
0
x
x
1
( )
x
f x
x
( )
f x
0
x
x
1
0
2
x
x
1
2
( )
(
)(
)
f x
x
a x
x
x
x
1
2
1
0
x
x
a
( )
0
f x
x
1
1
( )
(
)(
f x
x
a x
x
x
2
1)
0
x
a
1
( )
x
f x
x
1
2
( )
(
)(
)
f x
a x
x
x
x
x
2
1
2
1
2
1
( )
(
)
f x
ax
a x
x
x
ax x
a
1
2
1
0
x
x
a
( )
f x
2
1
1
0
1
2
2
2
x
x
x
a
x
x
1
0
2
x
x
( )
f x
x
1
2
,
x x
( )
0
f x
x
1
2
x
x
x
x
或
( )
(
)(
)
2(
)
f x
x
a x
b
a
b
,
(
)
( )
f x
, , ,
a b
( )
f x
(
)(
)
y
x
a x
b
2
( )
f x
, , ,
a b
a
b
( )=0
f x
(
)(
)
2
x
a x
b
(
)(
),
y
x
a x
b
2
y
是函数
的图象与
的图象的交点的横坐标.由图象可知
.
探究3.
是方程
的两个实根,
是方程
的两个实根，且
，
,若
的二次项系数为，
，则
的大小关系为 .
探究4 ：符号问题，分解因式或平方或求导. 由题意知
，所以
，由题意
知
.在上式中取
得
，
解得
；再取
得
，解得
或
,综上所述
.
悟惑:
①解题遇到“二次函数出现连乘积的式子”就要考虑零点式；若已知一元二次方程的两根就要想到
二次函数的零点式.
探点. 二次函数
满足
，且被
轴截得弦长为
，与
的开口大小相同，则
的焦点坐标为
探究:由
知函数
的对称轴方程为
，又函数
被
轴截得弦长为
，
所以可设
，所以焦点坐标为
或
.
②遇到因式之积比较数的大小常用解一元二次不等式法.
③遇到纵坐标相等，研究横坐标之和问题要想到对称轴问题.
探点. 已知
是一元二次函数
的图象上两点，则
探究：因为
是一元二次函数
的图象上两点，，所以
，所以
，所以
.
(3)一元二次函数的解析式有三种形式，解题时要灵活选择.
主要作用：
①
二次连乘积;②平方问题;③二次型的出题题型;④抛物线的相关问题;⑤系数
的
几何意义.
探点.若
满足
，且
，则
的大小关系为
O
d
c
b
a
y
x
,
(
)(
)
y
x
a x
b
2
y
a
b
1
2
,
x x
( )
0
f x
x
3
4
,
x x
( ( ))
0
f f x
x
1
2
x
x
3
4
x
x
( )
f x
1
1
2
2
0
x
x
1
2
3
4
,
,
,
x x
x x
1
2
( )
(
)(
)
f x
x
x
x
x
x
( ( ))
( ( )
f f x
x
f x
1
2
1
2
2
1
)( ( )
)
( )
(
)(
)[(
1)(
1) 1]
x
f x
x
f x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3
4
2
(
)(
)
(
1
x
x
x
x
x
x
1
)(
1) 1
x
x
1
x
x
1
3
1
4
1
2
(
)(
)
2
0
x
x
x
x
x
x
3
1
4
x
x
x
2
x
x
2
(x
3
2
4
2
1
)(
)
2
0
x
x
x
x
x
2
3
x
x
2
4
x
x
3
1
4
2
x
x
x
x
2
( )
f x
ax
bx
c
(
)
(2
)
f
x
f
x
x
2
2
2
3
1
y
x
x
( )
f x
(
)
(2
)
f
x
f
x
( )
y
f x
1
x
( )
f x
x
2
( )
(
2)
2
f x
ax x
a
15
(1,
)
8
15
(1,
)
8
,a b
(
)(
)
2,(
)(
)
2(
)
a
c a
d
b
c b
d
c
d
a
b
, , ,
a b c d
探究:由题意知
是关于
的方程
的两个根，而
是函数
的两个零点.因为
，
，有图可知
的大小关系为
.
解锁二：二次函数应注意的几个问题
1.二次函数的性质:略
说明:
①单调区间与在区间单调的包含关系；
探点.函数
在
上单调递增，则①实数
的取值为 ；②单调增区间为
，则实数
的取值范围为
探
究: ①
,解得
；②
②
的奇偶性:若
时是偶函数；
时是奇函数.但二次函数总也不能是奇函
数.
③对称性的一般表示
；一般地，若二次函数满足
，则其对称轴方
程为
，且
.
探点.函数
为偶函数，且
时，
，则
时，
的解析式为
探究：因为
为偶函数，所以
，即
；当
时，
，此时，
，即
，故选 B
④一元二次函数在闭区间上一定有最大值和最小值，且最值只能在端点或区间内的对称轴取到；在
开区间内最多有一个最值，且最值只能在区间内的对称轴处取到.
探点.已知函数
在闭区间
上有最大值
，最小值
，则
的取值范围是
探究：选
2.在二次函数的图象是抛物线
,a b
x
(
)(
)
0
x
c x
d
,c d
( )
(
)(
)
f x
x
c x
d
c
d
a
b
, , ,
a b c d
a
c
d
b
2
lg(4
)
y
ax
x
[ 1,1]
a
[ 1,1]
a
2
1
2( 1)
4
( 1)
( 1)
0
a
a
3
2
a
2
1
2( 1)
4
( 1)
( 1)
0
a
a
a
2
y
ax
bx
c
0
b
0
a
c
( )
(
)
b
f x
f
x
a
1
2
(
)
(
)
f x
f x
1
2
2
x
x
x
1
2
(
)
(
)(
(0))
b
f x
x
f
f
c
a
(
1)
f x
1
x
2
( )
1
f x
x
1
x
( )
f x
.A
2
( )
4
4
f x
x
x
.
B
2
( )
4
5
f x
x
x
.
C
2
( )
4
5
f x
x
x
.
D
2
( )
5
5
f x
x
x
(
1)
f x
(
1)
(
1)
f
x
f x
( )
(2
)
f x
f
x
1
x
2
1
x
2
(2
)
(2
)
1
f
x
x
2
( )
4
5
f x
x
x
2
2
3
y
x
x
[0,
]
m
3
2
m
.A {
|
1}
m m
.
B {
| 0
2}
m
m
.
C {
|1
2}
m
m
.
D {
|
2}
m m
C
探点.对于函数
，若存在实数
，使
成立，则称
为
的不动点.
(I)当
时，求
的不动点；
(Ⅱ)若对于任何实数
，函数
恒有两相异的不动点，求实数
的取值范围；
（III）在（Ⅱ）的条件下，若
的图象上
、
两点的横坐标是函数
的不动点，且直
线
是线段
的垂直平分线，求实数
的取值范围.
探究:
(I) 当
时，
设
为其不动点，即
则
，解得
的不动点是
或
.
(Ⅱ)由
得：
. 由已知，此方程有相异二实根，
恒成立，即
即
对任意
恒成立.所以
即
，解得
故实数
的取值范围为
(III)设
，直线
是线段
的垂直平分线，所以
，记
的中点
由（2）知
因为
所以
化
简得：
时，等号成立）.即
，
实数
的取值范围为
3.系数的几何意义：
的符号决定抛物线的开口方向，
的大小决定抛物线的开口大小；
是抛物
线在
轴的截距，
依赖于
是函数图象在
轴上的截距，且
.
4.可转化为一元二次型的常见函数:
①
（
设
，
换
元
为
二
次
型
）
，
一
般
地
2
( )
(
0)
f x
ax
b x
m
c a
；②
（设
，换元为二次
型）；
)
0
(
2
)1
(
)
(
2
a
b
x
b
ax
x
f
0x
0
0)
(
x
x
f
0x
)
(x
f
2,
2
a
b
)
(x
f
b
)
(x
f
a
)
(x
f
y
A
B
)
(x
f
1
2
1
2
a
kx
y
AB
b
2
( )
(
1)
2(
0),
f x
ax
b
x
b
a
2,
2
a
b
.4
2
)
(
2
x
x
x
f
x
.
4
2
2
x
x
x
1
2
1,
2.
( )
x
x
f x
即
2
2
x
x
f
)
(
0
2
2
b
bx
ax
0
x
.0
)
2
(
4
2
b
a
b
0
8
4
2
a
ab
b
R
b
0
b
2
16
32
0
a
a
0
2
a
a
{ | 0
2}
a
a
)
,
(
),
,
(
2
2
1
1
x
x
B
x
x
A
1
2
1
2
a
kx
y
AB
1
k
AB
).
,
(
0
0 x
x
M
,
2
0
a
b
x
2
1
,
2
1
M
y
kx
a
在
上
2
1
.
2
2
2
1
b
b
a
a
a
2
2
(
4
2
1
2
2
1
1
2
1
1
2
2
a
a
a
a
a
a
a
b
当
0
.
4
2
b
b
2
{ |
0}
4
b
b
a
1
a
c
y
b
1
2
, ;
,
a c x x
x
1
2
2
2
x
x
b
a
2
( )
(
0)
f x
ax
b x
c a
x
t
2
( )
( )
( )
(
0)
f x
a
x
b
x
c a
( )
x
t
③
（讨论去绝对值，化为分段二次函数.函数的奇偶性由
的值确定）
（约分化为二次型）.
探点.若
，则
的最小值为
.
探究1 （讨论法）：
，设
，则
，且
.若
，则
，若
，则
.
探究2(几何法）:
表示点
与点
两个间距离，
点轨迹为双曲线
在第
一
限部分，点
在直线
上.
5.一元二次函数的局部运算
探点.函数
，函数
的两个零点为
，则
的
取值范围为
探究：利用图象可知
，所以所求为
.
解锁三：一元二次方程根的分布
1.研究一元二次方程根的分布的方法：
(1)分解因式求根法：
探点.在
有两个零点，则实数
取值范围为
探究1（分解因式求根法）：令
，则
，由题意知
，解得
,故实数
取值范围的取值范围是
.
(2)图象法： “三看、三列”
2.图象法的常见类型:
设
是实系数一元二次方程
的两实根,且
.
①一元二次方程根的基本分布——零分布
( )
f x
x x
m
c
,
m c
2
(
)(
)
( )
x
m ax
bx
c
f x
x
m
(
0)
a
2
2
( )
(
)
(
) (
,
0)
x
x
f x
e
a
e
a
a
R a
( )
f x
2
2
( )
(
)
2 (
)
2
2
x
x
x
x
f x
e
e
a e
e
a
x
x
t
e
e
2
2
( )
(
)
f x
t
a
a
2
t
2
a
2
min
(2)
2
4
2
y
g
a
a
2
a
2
min
( )
2
y
g a
a
( )
f x
(
,
)
x
x
P e e
( , )
Q a a
P
1
y
x
Q
y
x
1,0
1
( )
1
2
,
1
2
x
x
x
f x
x
( )
( )
g x
f x
k
,
(
)
n m n
m
(
1)
n n
1
1
2
n
3
{ |
2}
4
t
t
(0,1)
a
( )
0
f x
,
1 2
x
a x
a
0
1
0
1 2
1
1 2
a
a
a
a
1
1
0
,
2
3
a
a
a
1
1
{ | 0
,
}
2
3
a
a
a
1
2
,
x x
2
( )
0(
0)
f x
ax
bx
c
a
2
1
x
x
所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系.比如二次方程有一正根，有一负根，
其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧.
结论1:
，
或
结论2:
，
或
结论3:
或
结论4:①
，
且
或
；②
，
且
或
.、
3.一元二次方程的非零分布——
分布
设一元二次方程
（
）的两实根为
，
，且
。
为常数。则一元二
次方程根的
分布（即
，
相对于
的位置）有以下若干结论.
（Ⅰ）
为一个值
结论1:
结论2:
。
结论3:
.
（Ⅱ）
为两个值
结论4:有且仅有
（或
）
0
1
x
0
2
x
2
1
2
1
2
4
0
0
0
b
ac
b
x
x
a
c
x x
a
2
4
0
0
2
(0)
0
b
ac
b
a
af
0
1
x
0
2
x
2
1
2
1
2
4
0
0
0
b
ac
b
x
x
a
c
x x
a
2
4
0
0
2
(0)
0
b
ac
b
a
af
2
1
0
x
x
1
2
0
0
x x
(0)
0
af
0
1
x
0
2
x
0
c
0
a
b
0
0
2
(0)
0
b
a
af
0
1
x
0
2
x
0
c
0
a
b
0
0
2
(0)
0
b
a
af
k
0
2
c
bx
ax
0
a
1x
2x
2
1
x
x
k
k
1x
2x
k
k
2
1
x
x
k
2
4
0
( )
0
2
b
ac
af k
b
k
a
k
x
x
2
1
k
a
b
k
af
ac
b
2
0
)
(
0
4
2
2
1
x
k
x
0
)
(
k
af
k
1
1
x
k
2x
2
k
0
)
(
)
(
2
1
k
f
k
f
结论5:
结论6:
或
（Ⅲ）
为三个值
结论7：
结论
结论8:
说明:注意隐形的根的分布问题
探点1.若方程
有两个不相同的实根，则
的取值为 .
探究1 （根的分布）：令
= 转化为关于
的一元二次方程有两个不同的正实根. 可解得
.
探究2（分离):
探点2.已知二次函数
)
0
,
,
(
1
)
(
2
a
R
b
a
bx
ax
x
f
设方程
x
x
f
)
(
的两个实数根为
.
①如果
4
2
2
1
x
x
，设函数
)
(x
f
的对称轴为
0x
x
，求证：
1
0
x
；
②如果
2
1
x
，
2
1
2
x
x
，求b 的取值范围.
探点1:设
1
)1
(
)
(
)
(
2
x
b
ax
x
x
f
x
g
，则
0
)
(
x
g
的二根为
1x 和
2x .
①
由
0
a
及
4
2
2
1
x
x
，
可
得
0
)
4
(
0
)
2
(
g
g
，
即
0
3
4
16
0
1
2
4
b
a
b
a
，
即
,0
4
3
2
2
4
,0
4
3
2
3
3
a
a
b
a
a
b
两式相加得
1
2
a
b
，所以，
1
0
x
；
②由
a
a
b
x
x
4
)
1
(
)
(
2
2
2
1
, 可得
1
)1
(
1
2
2
b
a
又
0
1
2
1
a
x
x
，所以
2
1, x
x
同号.
2
2
1
1
k
x
x
k
2
1
2
1
2
4
0
2
( )
0
(
)
0
b
ac
b
k
k
a
af k
af k
1
1
2
2
x
k
k
x
1
2
( )
0
(
)
0
af k
af k
1
2
( ) (
)
0
f k
f k
k
1
2
m
x
n
x
p
1
1
2
3
2
4
k
x
k
k
x
k
1
2
3
4
( )
0
(
)
0
(
)
0
(
)
0
af k
af k
af k
af k
4
(
3) 2
0
x
x
m
m
m
2x t
t
0
4
2 3
m
4
3 2
4
(
)
5(
2
1
1)
2
1
x
x
x
x
m
t
t
t
等价于
1
)1
(
1
2
2
0
2
2
1
b
a
x
x
或
1
)1
(
1
2
0
2
2
1
2
b
a
x
x
,即
或
解之得
4
1
b
或
4
7
b
,故b 的取值范围为
4
1
b
或
4
7
b
探究2：求值域.
说明：隐形根的分布的常见类型：①非二次方程根的个数问题；②已知根的不等关系;两个相似的二
次等式.
探点3.已知
，且
,
，则实数
的取值范围为
.
探究:由已知知
是方程
即
，亦即
的两个不等
实根.而方程
的两实根为
，所以
，即
，故实数
的
取值范围为
.(分解求根)
探点4.对于实数
和
，定义运算“﹡”：
， 设
，
且
关于
的方程为
恰有三个互不相等的实数根
，则
的取值范围是_______
探究：由新定义得
，所以可以画出草图，若方程
有三个根，则
，且当
时方程可化为
，易知
；当
时方程可化为
，可解得
，所以
，
又
易
知
当
时
有
最
小
值
，
所
以
2
(2)
0
(0)
0
2
1
(
1)
1
g
g
a
b
2
( 2)
0
(0)
0
2
1
(
1)
1
g
g
a
b
{ |
b
}
2
( )
1
f x
x
mx
( )
2
1
f a
a
( )
2
1,
f b
b
a
b
m
,a b
，即
.
.（数形结合法）
解锁四：幂函数的定义
函数
x
y
(
)
R
叫做幂函数，其中x 是自变量，是常数.
说明：
①幂函数
x
y
中主要掌握
1
1,2,3,
, 1
2
时的函数图象与性质，即
,
y
x
1
2
3
1
2
,
,
,
y
x
y
x
y
x
y
x
的图象与性质;
②幂函数与一元一次函数、一元二次函数、一元三次函数、反比例函数、整式函数、分式函数、无
理函数均有联系，且分别是它们的特例;
③除了以上五个基本的幂函数外，其它幂函数也要了解.
探点1.已知函数
2
2
1
( )
(
1)
1
m
m
f x
m
m
x
m
，则m 为何值时，
( )
f x 是(1)幂函数；(2)幂函数，
且是(0,
)
上的增函数；(3)正比例函数；(4)反比例函数；(5)一元二次函数.
探究:
(1)要使，只需
2
1=1
1
0
m
m
m
，即
1
m ，故当
1
m 时，
( )
f x 是幂函数.
(2)要使，只需
2
1=1
1
0
m
m
m
,且
2
1
0
m
m
，即
1
m ，故当
1
m 时，
( )
f x 是幂函数，
且是(0,
)
上的增函数.
(3)要使，只需
2
2
1
0
1
0
1
1
m
m
m
m
m
，即
1
m ，故当
1
m 时，
( )
f x 是正比例函数.
(4)要使，只需
2
2
1
0
1
0
1
1
m
m
m
m
m
，即m
，所以无论m 取何实数值，
( )
f x 都不是正比例函数.
(5)要使，只需
2
2
1
0
1
2
m
m
m
m
，即
1
5
2
m
，故当
1
5
2
m
时，
( )
f x 是一元二次函数.
探点2.函数
1
3
y
x
的图象是( )
探究:图象在第一象限上凸单调递增，排除
,
,
A C D 又当时，故选B .
解锁五：幂函数的性质：
1.幂函数的图象一定经过第一象限而不经过第四象限，第二、三象限由函数的奇偶性确定；
2.幂函数的图象恒过
点；
3．
，幂函数在
单调递增且过原点.若
，则幂函数在
单调递减与坐标轴无
公共点.若
，则幂函数与坐标轴也无公共点；
4.若
，则当
时，幂函数图象上凸，且图象在
上在
的上方，在
上在
的下方.当
时，幂函数图象下凸，且图象在
上在
的下方，在
上在
的
上方；
5.相对位置:若
，则指数大图象靠近坐标轴，当
，则指数大图象靠近
轴，指数小图象靠
近
轴，且坐标轴为渐近线.
说明:灵活运用性质解题
探点.已知幂函数
为偶函数，且在
单调递减，讨论
的奇偶性.
探究.因为
在
单调递减，所以
，解得
，又
，所以
，又
是偶函数，所以
，从而
，
.若
，则
是
奇函数；若
，则
是偶函数；若
，则
是非奇非偶函数.
题思:变式，
图象与坐标轴无公共点，则
，可得
.
探点.幂函数
图象过
点，且
①
，则
的取值范围是 ；
②
在
上单调递减，则
的取值范围是
探究: 由
图象过
点得，
.
①由
得
，解得
或
，故
的取值范围是
或
；
②
，故
的取值范围是
.
(1,1)
0
[0,
)
0
(0,
)
0
0
0
1
(0,1)
y
x
(1,
)
y
x
1
(0,1)
y
x
(1,
)
y
x
0
0
y
x
2 2
3
( )
(
)
m
m
f x
x
m
Z
(0,
)
( )
( )
g x
a
f x
( )
b
xf x
( )
f x
(0,
)
2
2
3
0
m
m
1
3
m
m
Z
0,1,2
m
( )
f x
1
m
4
( )
f x
x
2
3
( )
b
g x
ax
x
0
a
( )
g x
0
b
( )
g x
2
2
0
a
b
( )
g x
( )
f x
2
2
3
0
m
m
1,1,3
m
( )
f x
(8,2)
2
3
( )
f a
a
a
3
2
( (3
))
x
y
f
a
(
,0)
a
( )
f x
(8,2)
1
3
( )
f x
x
2
3
( )
f a
a
1
2
3
3
a
a
0
a
1
a
a
{ |
0
a a
1}
a
0
1
x
x
a
a
a
{ |
1}
a a
