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解锁 “高考数学学科素养”专题系列——7 研究大小首选函数单调性
函数的单调性是用代数方法研究函数图象局部变化趋势的，它的探究过程体现了“数形结合”和“从特
殊到一般”的思想，反映函数的局部特征．
解锁一：函数单调性的本质属性
1.单调函数的定义
设函数
的定义域为I，如果对于定义域I 内某个区间
内的任意两个自变量的值
，
，当
时，都有
，那么就说函数
在区间
上是增函数.
叫做
的单调增区
间.;
如果对于区间
内的任意两个自变量的值
，
，当
时，都有
，那么就说函数
在区间
上是减函数.
叫做
的单调减区间.;
2.解锁定义:
(1)如果函数
在区间
上是增函数或减函数，那么就说函数
在这一区间上具有（严格
的）单调性，区间
叫
的单调区间；
(2)单调区间的两个防范：
①单调区间只能用区间表示，不能用不等式或花括号、特殊记号等表示；
②多个单调区间不能用
号连接，而用“，”；
如：函数
的单调区间为
，而不是
，也不是
.
(3)单调区间的要求：
①单调区间是最大的，它与“在------区间上单调不是同一概念”.
探点.函数
，在
上单调递增，则
的取值范围为
；
探究: 设
，则
，解得
，故
的取值范围为
;
变式:
是函数
的单调增区间，则
的取值范围为
.
探究：设
，则由单调区间的定义知
，解得
，故
的取值范围为
.
单调性的逆向问题一般用导数！
②初等手段端点有意义要写成闭区间；导数问题要写成开区间；若已知开区间上的单调函数时，端
点可能有意义也可能无意义.
(4)单调函数是对定义域
内的某一区间而言的，因此一个函数是单调函数的必要条件是
，此时
函数
就叫做增函数或减函数，即单调函数；
(5)
，
，因此肯定单调性要推理证明，否定单调性举特例.但对
时,要
分
三种情况均有
(
)时，才
能得到
在
上单调递增（或递减）；
(6)单调函数可以是增函数也可以是减函数，解题时可用特征检验一下而确定；
(7)求单调区间必须论述函数的单调性之后才能回答单调区间；
(8)单调性是对区间而言的,常见的易错点：
①“在
上单调递增”是错的，要改成“在
上单调递增”；
②
满足
，或
不能说明
是增函数.
因为没有说明
的定义域是一个区间.如
不是单调函数.
(9)单调性是全称命题，肯定要严密证明、否定要举反例；
如:
不是单调函数.
探究:因为
，而
，由单调函数定义知，函数
不是单调函数.
(10)单调函数的类型：①已知解析式；②未知解析式.
探点1.证明函数
在
上单调递增.
探
究
1
（
定
义
法
）
，
设
，
则
探究2(分类讨论定义)：若
，由不等式的性质知
，所以
；若
，则
，所以
，又
是奇函数，所以
，所
以
若
，由上可知
，即
.综上，对任意的
且
，
总有
，由增函数定义知函数
在
上单调递增.
探点2.已知
且
，试比较
的大小.
探究1(商值比较法): 因为
，所以
，因为
，所以
.
探究2(图象法): 由对数函数的性质知，函数
在
上陡峭，在
平缓，而当
时
与
关于点
对称，所以
.
探点3.已知
，求函数
的零点个数.
分析：判定图象的大致走向,研究函数的极值的符号以及端点函数值的符号.
探
点
1
（
合
成
、
定
义
法
）
:
设
，
，
则
，
所
以
，
所
以
所以
，所以
单调递增.又
，所以函数
只有一个零点.
悟惑:说明一个函数仅有一个零点的常用方法为:
①单调性法;
②定义法：寻找一个
，使
，并论述其它函数值均不为零；
③零点存在定理(二分法)：寻找
，说明
，且
图象在
上连续.
探点2（导数法）:函数定义域为
，
，所以
单调递增.一下同上.
(11)函数
是增函数的等价条件：
①
是一个区间,
且
,
；
O
②
是一个区间，当
时，
且
,
；
③
是一个区间，函数图象上任意两点的斜率为正；
④
是一个区间，
对
恒成立，且
的零点是离散的.
说明:将上述“
”改为“
”，“
”改为“
”后得出减函数对应的等价条件.
(12)单调函数的图象，在升、降过程中可以间断，也有凸、凹（左慢右快）之分.
探点1.已知奇函数
在
内单调递增，且
则
零点的个数有为 .
探究:
个或个或
个或
个.
探点2.若
是定义在
上的减函数，则实数
的取值范围是
探究：因为
在
上的减函数，所以
，解得
，故选
.
探点3.已知函数
，则当实数
为 时，不等式
成立？
探究: 由图象可知
在定义域
上单调递减，要使
成立，只需
成立，即
，亦即
，故当
时不等式
成立.
变式：已知
，若不等式
成立，则实数
的取值范围为 .
探究: 由二次函数的性质知，
在
单调递减，又
，所以
解得
或
，故实数
的取值范围为
或
.
悟惑:研究大小问题，不管已知解析式、还是未知解析式，不管一个解析式、还是分段函数都要首选
函数的单调性；研究大小的常用方法：单调性法；中间媒介；比较法；运算法.
3.函数单调性的本质属性
(1)区间性:单调性是针对函数定义域内的某个区间而言的，不是函数在整个定义域上的全局性；
(2)任意性:判定单调性必须考察区间内任意两个自变量的函数值关系，不能仅凭特殊点的值来推定；
(3)整体性:它反映的是函数在区间上的“整体趋势”，而非局部波动；
(4)几何直观:在图象上，单调递增函数的图象呈持续上升趋势，单调递减函数的图象呈持续下降趋势；
(5)一致性:函数单调性的本质，是通过自变量与函数值变化方向的一致性，来刻画函数在局部区间上
的稳定变化趋势.
若
表示不超过
的整数部分，则
的取值范
围为
解锁二：已知解析式判定函数单调性的常用方法有：
第一步：设
且
；
第二步：比较
与
的大小；
(1)已知解析式运算法:
①差值法.
其步骤是：作差——变形——判定符号
差值法的关键是变形！变形到何时为止呢？答案是“易判定符号”，策略是：分解因式，造出：
或基本函数
在“
”处的函数值之差“
”的几个同号因式之积；平方，即
配出几个完全平方之和或其它的几个同号之和或构造函数求最值.如设
，则
；
②商值法.
其步骤是:作商——变形——与比较大小
商值法的对象是正数，主要指，幂数与可换底的对数.关键是变形！答案是变为某个易于比较大小
的函数值.
如指数函数值（指数与
比较，底数与比较）、对数函数值（真数与底比较，底数与比较）.
说明：已知解析式：先化简后代入运算(代数式，差值运算；幂数式，商值运算),最后出现“
或
基本函数在
处的函数值之差或之商式”才可论证各部式的符号或与1 的大小;
(2)未知解析式：先由已知函数性质推出
的大小后利用函数的奇偶性或已知等式得出
的大小.对象一般为定义域关于原点对称的函数；
第三步：回答问题. “由函数单调性的定义知 ---函数在---上是---函数.”
如1：函数
的取值范围为
.；
探究:
在
单调递增，所以
，故函数
的取值范围
为
如2：函数
的取值范围为
.
探究：
, 因为
，所以
，所以
，即
，故函数
的取值范围为
.
解锁三：证明与判断函数的单调性不同
(1)证明单调性只能用定义或导数，用导数时需论述
（或
）.但求单调区间只需令
（或
）
(2)单调性是局部概念，是对区间而言的，因此不是区间就不能谈论单调性.
如:“在
上单调递增”是错的，要改成“在
上单调递增”.
再如:
满足
，也不能说明
是增函数.因为没有说明
的定义域是一个
区间.
(3)判定单调性可灵活选择以上方法之一.
探点1.已知函数
，则函数
的减区间为
探究1（复合法）：设
，则
，所以
或
，故减区间为
，
.
探究2（导数法）：由
得
，设
，
则
，令
，解得
或
，故减区间为
，
.
探点2.函数
)
(x
f
的定义域为R ，
2
)1
(
f
，对任意
R
x
，
2
)
(
x
f
，则
4
2
)
(
x
x
f
的解集为
A．
B．
C．
D．
探究:研究导数就是研究导数的符号，为此构造函数
，故选择B.
解锁四：单调性的逆向问题
探点.已知函数
，若对任意的
且
，都有
，则实数
的取值范围是
探究:
等价于
，所以函数
单调递增，所以
对
恒成立，即
对
恒成立，所以
，故选
.
悟惑:
(1)逆向题的解法有三：其一，解的意义；其二，数形结合；其三，正向求解;
(2)单调性的逆向题利用导数法可回避讨论；
(3)单调性定义的作用：①证明函数的单调性；②判定函数的单调性；③求函数的单调区间；④已知
函数单调性求参数的取值范围.
解锁五：单调函数的性质:
(1)定义域一定是一个区间；
(2)消法则：
；
探点.已知函数
,则使得
成立的
的取值范围是
或
或
探究:消法则.利用函数式或利用单调性.选择单调性，无！可考虑函数的奇偶性.本题函数是偶函数，
所以已知不等式可变为
，且在
单调递增，所以已知不等式可变为
，
平方解得
或
，故选
.
悟惑:解不等式首选单调性，用单调性常结合函数的奇偶性.
(3)取法则：
，常用于:求函数值,即函数值的运算.如：“取倒数”、
“取导数”“利用单调比较大小或解不等式”等.
探点1.若
，则
与
的大小关系为
探究：利用函数
是单调递减函数，因为
，所以
，即
.
探点2.不等式
的解集为
探究：利用函数
的单调性.
同解于
，即
，
，解得
，故所求不等式的解集为
.
探点3. 比较
与
的大小关系为
探究1:(取对数
消去幂指数中的根号):
,而
,
,所以
.
探究2(乘方放缩):两边同时
次方得
.
探究3(利用指数函数图象的相对位置关系):利用指数爆炸，水平变化值小于铅
直变化值，所以
.
(4)一个相似代数式的不等式（两个量的不等式
）恒成
立；
如:对
总有
成立，则
应满足的条件为
探究:函数
在
，所以
.
(5)单调递增函数的图象上升，单调递减函数的图象下降，但图象可间断(若在
上单调性相
同，则可得最大单调区间
)、上凸函数满足
或
（解答题不能
直接用）；
(6)单调函数的最值如果存在，一定在端点处取到；
(7)奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反；
(8)互为反函数同增同减（如：指、对数函数）；
悟惑:不等问题可分为两类：其一，不等式；其二，函数，又分为单调性问题或最值问题.
解锁六：函数单调性对函数作定性分析
求函数的值域、最值、求函数解析式的参数范围、图象特征.
1.函数单调性的应用:
(1)比较大小（同类函数值大小）；
(2)求函数的极值与最值或值域（注意函数的连续性）；
(3)解不等式（消法则）：常见类型：其一，已知型；其二，未知型；
(4)解方程；
(5)证明方程至多有一个实根;
(6)证明单调函数不等式
(7)研究函数运算:了解单调性有助于判断复合函数的单调性(“同增异减”原则)，以及分析函数经过
加、减、倒数等运算后的单调性变化.
说明:以上应用都是对应问题解法的首选方法.
探点1.已知
，且
，则
的符号为
探究:同类函数值问题，先利用函数的单调性，后利用不等式的性质.因为
，所以
单调递减，所以
，所以
，即
，同理
，
，相加得
.所以
为负号.
悟惑:用单调性时要回变形和综合运用.
探点2:已知定义在
上的函数
满足①
；②
；③
，则满足
的
的取值范围为
探究:不等式问题，利用函数单调性,目标:
.由
知
，所以
.又
知
,所以
是奇函数.所以
.因为
,所以
.从而已知不等式变为
.在
中，取
，并设
，
则
，因为
，所以
所以
在
上
单调递增，所以
，解得
，故
的取值范围为
.
变式1: 定义在
上的函数
满足①
，②当
时，
，③
，则满足
的
的取值范围为
探究:利用函数的单调性.由
得
.设
，则
，因为
当
时，
，所以
，所以
，所以
在
上单调递增，再由
知
，解得
，故
的
取值范围为
.
变式2:将变式1 中的条件②变为当
时，
，③变为
，其它不变.
探究：因为当
时,
，
，所以
，所以
所以
在
上单调递减，
，，因为
，所以
，所以
，所以
，所以
，解得
或
，故
的
取值范围为
或
.
探点3.已知
，若对任意
，不等式
恒成立，
则实数
的取值范围为
.
探究:由区间的条件知
,解得
.由
知
单调递增,且
,所以已知不等式变为
,由
单调递增得
,即
对
恒成立，所以
，又
，解得
2.单调性研究对象
只要涉及自变量与函数值的转化问题就归属于函数的单调性问题.
悟惑2.若方程
的两个实根为
，则
探究:不妨设
，则
，即
，所以
，所以
，
故选
.
说明:
(1)两个函数的方程根的属性问题，一般规律是：一个函数起定性，另一个函数起运算作用；
(2)一个单调函数变形运用；两个单调函数一个函数起定性，另一个函数起运算作用；多个函数整体
运用单调性.
3.不减函数与不增函数：
当
时，都有
（或
），则称函数
在区间
内单调不减（不
增）.
就是单调不减（不增）函数.不增或不减函数的图象在某一段上可能会出现水平线段.代数相等
存在两边夹思想.
探点.已知函数
的定义域为
，且同时满足：(1)对任意
，总有
；(2)
(3)若
且
，则有
.
(I)求
的值；
(II)求
的最小值；
(III)设数列
的前
项和为
，且满足
.求证
.
探点:利用两边夹，列方程求量.
(I)令
，由(3),则
，所以
.由对任意
，总有
,
所以
(II)
任
意
且
，
则
,
所
以
，
所
以
，所以
(III)因为
，所以
，因为
所以
，
所
以
，
所
以
，所以
，
即
.所以
，故
，
即原式成立.
悟惑:本题是集团比较大小问题.
