第3讲函数与方程思想在导数部分的应用（解析版）_数学_二轮复习_2024年_2024高考数学二轮复习讲义数形结合题型应用全国通用_导数_数学思想第3讲：函数与方程思想在导数中的应用

第 3 讲 函数与方程思想在导数部分的应用
函数的思想就是运用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数。
运用函数的图像性质去分析问题，转化问题，测试问题，获得解决。函数思想是对函数概念本质认识，用
于指导解题就是善于利用函数知识。或函数观点观察分析解决问题。
方程思想是高中数学重要的思想方法之一，方程的思想是建立方程（组）、或构造方程来分析数学变
量问的等量关系，通过解方程（组），或运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决。孰练运用
方程思想解决数学问题是高中阶段重要的数学能力之一，也是历年高考的重点。
函数与方程思想，简单的说，就是学会用函数和变量来思考，学会转化已知与未知的关系。对函数和
方程思想的考察，主要是考察。能不能用函数和方程思想指导解题？一般情况下，凡是涉及到未知数，未
知数问题都可以都可能用到函数与方程的思想。
函数与方程思想方法的考察一直是高考的重点内容之一。在高考数学上，与函数有关的试题所占的比
例实际上在20%左右，且试题中既有灵活多样的客观性试题，又有。一定能力要求的主观性试题。函数与
方程思想最重要的一种，是最重要的一种数学思想，高考所占的比重比较大，综合知识多，题型多。应用
技巧多。
【应用一】函数与方程思想在研究直线的斜率的应用
利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：
(1)函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．
(2)切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．
(3)曲线y＝f(x)“在”点P(x ，y)处的切线与“过”点P(x ，y)的切线的区别：曲线y＝f(x)在点
0 0 0 0
P(x ，y)处的切线是指点P为切点，若切线斜率存在，切线斜率为k＝f′(x)，是唯一的一条切线；曲线
0 0 0
y＝f(x)过点P(x，y)的切线，是指切线经过点P，点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可
0 0
能有多条．
【例1.1】（2023·重庆·统考三模）已知直线y＝ax－a与曲线 相切，则实数a＝（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【详解】由 且x不为0，得
设切点为 ，则 ，即 ，所以 ，可得 .
故选：C
【思维提升】利用导数的几何意义求参数的基本方法
利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，
进而求出参数的值或取值范围．
【变式1.1】【2022年新高考2卷】曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为____________，
____________．
1 1
【答案】 y= x y=− x
e e
【解析】
【分析】
分x>0和x<0两种情况，当x>0时设切点为(x ,lnx )，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而
0 0
表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出x ，即可求出切线方程，当x<0时同理可得；
0
【详解】
解： 因为y=ln|x|，
1 1
当x>0时y=lnx，设切点为(x ,lnx )，由y'= ，所以y'| = ，所以切线方程为
0 0 x x=x 0 x
0
1
y−lnx = (x−x )，
0 x 0
0
1 1 1
又切线过坐标原点，所以−lnx = (−x )，解得x =e，所以切线方程为y−1= (x−e)，即y= x；
0 x 0 0 e e
0
1 1
当x<0时y=ln(−x)，设切点为(x ,ln(−x ))，由y'= ，所以y'| = ，所以切线方程为
1 1 x x=x 1 x
1
1
y−ln(−x )= (x−x )，
1 x 1
1
1 1
又切线过坐标原点，所以−ln(−x )= (−x )，解得x =−e，所以切线方程为y−1= (x+e)，即
1 x 1 1 −e
1
1
y=− x；
e
1 1
故答案为：y= x；y=− x
e e【变式1.2】【2020年新课标3卷理科】若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为
（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y= x+1 D．y= x+
【答案】D
【解析】
【分析】
根据导数的几何意义设出直线 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案.
【详解】
设直线 在曲线 上的切点为 ，则 ，
函数 的导数为 ，则直线 的斜率 ，
设直线 的方程为 ，即 ，
由于直线 与圆 相切，则 ，
两边平方并整理得 ，解得 ， （舍），
则直线 的方程为 ，即 .
故选：D.
【变式1.3】【2019年新课标3卷理科】已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得 ，将点的坐标代入直线方程，求得 ．
【详解】详解：
，
将 代入 得 ，故选D．
【应用二】函数与方程思想在转化为方程根的关系
函数与方程（不等式）思想贯穿于高中数学的各个模块，求值问题涉及到方程，求范围的问题就离不
开不等式，在导数部分中涉及到切点坐标，交点坐标等问题往往都是转化为方程的跟的问题。
【例2】（2023·江苏泰州·统考一模）若过点 可以作曲线 的两条切线，切点分别为
，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设切点 ，根据导数的几何意义求得切线方程，再根据切线过点 ，结合韦达
定理可得 的关系，进而可得 的关系，再利用导数即可得出答案.
【详解】设切点 ，
则切线方程为 ，
又切线过 ，则 ，
有两个不相等实根 ，
其中 或 ，令 或 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递增，在 上递减，
， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 ，
即 .
故选：D.
【思维提升】与切点坐标、交点坐标等问题往往转化为方程根的问题，特别是范围问题要结合韦达定理转
化为函数的问题，
【变式2.1】【2022年新高考1卷】若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是
________________．
【答案】(−∞,−4)∪(0,+∞)
【解析】
【分析】
设出切点横坐标x ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于x 的方程，根据此方
0 0
程应有两个不同的实数根，求得a的取值范围.
【详解】
∵y=(x+a)ex，∴y'=(x+1+a)ex，
设切点为(x ,y ),则y =(x +a)ex 0,切线斜率k=(x +1+a)ex 0,
0 0 0 0 0
切线方程为：y−(x +a)ex 0=(x +1+a)ex 0(x−x ),
0 0 0
∵切线过原点，∴−(x +a)ex 0=(x +1+a)ex 0(−x ),
0 0 0
整理得：x2+ax −a=0,
0 0∵切线有两条，∴∆=a2+4a>0,解得a<−4或a>0,
∴a的取值范围是(−∞,−4)∪(0,+∞),
故答案为：(−∞,−4)∪(0,+∞)
【变式2.2】（2022·广东揭阳·高三期末）已知函数 ，过点 可作两条直线与函数
相切，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 的最大值为2 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，利用导数的几何意义、韦达定理，结合特殊值法即可求解.
【详解】
设切点为 ，又 ，则切线的斜率
又 ，即有 ，整理得 ，
由于过点 可作两条直线与函数 相切
所以关于 的方程 有两个不同的正根，设为 ，则
，得 ，
，故B正确，A错误，
对于C，取 ，则 ，所以 的最大值不可能为2，故C错误，
对于D，取 ，则 ，故D错误.故选：B.
【变式2.3】（2022·湖北省鄂州高中高三期末）若不同两点 、 均在函数 的图象上，且点 、
关于原点对称，则称 是函数 的一个“匹配点对”（点对 与 视为同一个“匹配
点对”）.已知 恰有两个“匹配点对”，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
函数 的图象关于原点对称的图象所对应的函数为 ，再将问题转化为函数
与函数 有两个交点，再数形结合可得答案.
【详解】
函数 的图象关于原点对称的图象所对应的函数为 ，
的图象上恰好有两个“匹配点对”等价于函数 与函数 有两个交点，
即方程 有两个不等式的正实数根，
即 有两个不等式的正实数根，
即转化为函数 图象与函数 图象有2个交点.
，
当 时， ， 单调递增.当 时， ， 单调递减.且 时， ， 时，
所以
所以 图象与函数 图象有2个交点.
则 ，解得 .
故选：B
【应用三】函数与方程思想在构造函数比较大小
比较大小是高考试题中经常考查的题型，此类题型主要体现的思想方法就是构造函数，转化为函
数与方程的思想，研究函数的单调性，通过研究函数的单调性得出它们的大小关系。
【例3】（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知 ， ， （其中 为自然
常数），则 、 、 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将 变形，得 ， ， ，构造函数 ，利用导数得 在
上为减函数，在 上为增函数，根据单调性可得 ， ，再根据
可得答案.【详解】 ， ， ，
设 ，则 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上为减函数，在 上为增函数，
因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
综上所述： .
故选：D.
【思维提升】遇到关于指数、对数、幂函数的比较大小最常见的方法就是根据函数的单调性比较大小。但
是涉及到综合性的比较大小，往往通过构造函数进行比较大小。如何构造函数就要求我们观察所给试的形
式，或者把他们化简具有共同特征的形式，然后根据形式构造函数。最终通过求导研究函数的单调性，比
较大小。
【变式3.1】（2023·江苏南京·校考一模）已知 是自然对数的底数，设
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先设 ，利用导数判断函数的单调性，比较 的大小，设利用导数判断 ，
放缩 ，再设函数 ，利用导数判断单调性，得 ，再比较 的大小，即可
得到结果.【详解】设 ， ，
当 时， ，函数单调递增，当 时， ，函数单调递减，
， 时， ，即 ，
设 ， ， 时， ，函数单调递减， 时， ，函数单调递增，所以
当 时，函数取得最小值， ，即 恒成立，
即 ，
令 ， ， 时， ， 单调递减， 时， ，
单调递增， 时，函数取得最小值 ，即 ，
得： ，那么 ，
即 ，即 ，
综上可知 .
故选：A.
【变式3.2】（2023·河北唐山·统考三模）已知 且 ， ， ， 是自然对数的
底数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】首先证明常用不等式： ，
设 ， ，则 ，所以 在 上单调递减，所以当
时， ，即 ；
设 ， ，则 ，所以 在 上单调递增，所以当时， ，即 .
所以，当 时， .
故当 时， .
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，即 ，
∵ ，
令 ，
∴ ， 单调递增，∴ ，
则 ，即 ，
综上， .
故选：B.
【变式3.3】（2023·安徽黄山·统考三模）已知定义域为 的函数 ，其导函数为 ，且满足
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】 ，则 ，
因为 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，
故 在 上单调递减，
所以 ， ，故A不正确；
所以 ，即 ，即 ，故B不正确；，即 ，即 ，故C正确；
，即 ，即 ，故D不正确；
故选：C.
【应用四】函数与方程思想在导数中研究零点与极值点的问题
1、函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点
x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝
f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点
x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝
f(x)的极大值．
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
2、利用导数研究函数零点个数(或方程根的个数)问题的一般思路：
(1) 可转化为用导数研究其函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题；
(2) 涉及两函数的交点：利用数形结合思想方法，通过图象可清楚地数出交点的个数(即零点，根的
个数)或者确定参数的取值范围．
【例4】（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知函数 有三个不同的零
点 ，且 ，则 的值为（ ）
A．3 B．4 C．9 D．16
【答案】C
【解析】
【分析】
利用换元法转换 ，结合导数以及一元二次方程根与系数的关系来求得正确答案.
【详解】，
， 有三个不同的零点 .
令 ， 在 递增，在 上递减，
. 时， .
令 ，
必有两个根 ，
，且 ，
有一解 ， 有两解 ，且 ，
故
.
故选：C
【思维提升】已知函数有零点求参数的取值范围常用的方法：
(1) 分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数的取值范围．通用解法为从
f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，最后根据题设条件构建关于参数的不
等式，确定参数的取值范围；
(2) 分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数的取值范围．通用解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参
数的各小范围并在一起，即为所求参数的取值范围．
【变式4.1】（2022·江苏海门·高三期末）已知函数 有三个零点，则实数 的取值范围是（
）
A．(0， ) B．[0， ) C．[0， ] D．(0， )
【答案】A
【解析】
【分析】
对 分离参数，构造函数 ，利用导数研究其单调性和最值，即可求得参数 的取值范围.
【详解】
有三个零点，即方程 有三个根，
不妨令 ,则 ，
故 在 单调递减，在 单调递增，在 单调递减，
，且当 时， 恒成立.
当 趋近于负无穷时， 趋近于正无穷； 趋近于正无穷时， 趋近于 ，
故当 时，满足题意.
故选：A
【变式4.2】（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）若函数 只有一个极值点，
则 的取值范围是___________.
【答案】 或
【分析】对 求导，利用导数与函数极值的关系，分类讨论3是否为极值点，结合 的图像性质即
可求得 的取值范围.【详解】因为 ，
所以 ，
因为 只有一个极值点，
所以若3是极值点，
因为 ，所以当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，
则 ，所以 ；
当 趋向于0时， 趋向于1， 趋向于0，则 趋向于正无穷，
当 趋向正无穷时， 趋向正无穷的速率远远大于 趋向正无穷的速率，则 趋向于正无穷，
若3不是极值点，则3是 即 的一个根，且存在另一个根 ，此时 ；
当 时， ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
所以 在 单调递减，在 单调递增，满足题意，
综上： 或【变式4.3】（2022年河北承德市高三月考模拟试卷） 函数 在 上有
且仅有一个极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为 ，所以 ，
函数 在 上有且仅有一个极值点，
在 上只有一个变号零点.令 ，得 .
设 在 单调递减，在 上单调递增， ，
又 ，得当 ， 在 上只有一个变号零点.
经检验， 不合题意，
故选：B.
1、（2022年江苏苏州八校联盟高三月考模拟试卷）设 ，（e是自然对数的底
数），则（ ）
A. B.
C. D.【答案】C
【解析】
【详解】记 ，则 ，所以 在 上单调递减，所以
，所以在 上 ，所以 .
又 单调递增，所以
所以 ，即 .
而由二项式定理得： .
对于a、c，由 ， .
记 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 .所以 ，所以 .
综上所述： .
故选：C
2、（2022年江苏泰州市高三月考模拟试卷）已知函数 ，其中实数 ，
则下列结论错误的是（ ）
A. 必有两个极值点
B. 有且仅有3个零点时， 的范围是
C. 当 时，点 是曲线 的对称中心D. 当 时，过点 可以作曲线 的3条切线
【答案】B
【解析】
【详解】对于A， ，
令 ，解得： 或 ，
因为 ，所以令 ，得 或 ，
令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值，在 处取得极小值,
所以A正确；
对于B，要使 有且仅有3个零点，
只需 即 ，所以 ，
所以 的范围是 ，故B不正确；
对于C，当 时， ，
，
，所以点 是曲线 的对称中心，所以C正确；
对于D， ，设切点为 ，
所以在 点处的切线方程为： ，
又因为切线过点 ，所以 ，解得： ，令 ，
所以过点 可以作曲线 的切线条数转化为 与 图象的交点个数.
,
令 ，解得： 或 ，
因为 ，所以令 ，得 或 ，
令 ，得 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
，如下图所示，
当 时， 与 图象有3个交点，即过点 可以作曲线 的3条切线，故正
确，
故选：B
3、（2022年广东华美实验高三月考模拟试卷）（多选题） 若直线 与曲线
相切，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】【详解】由 得 ，
设直线 与曲线 相切于点 ，
则 且 ，消去 得 ，
所以A正确，B错误；
取等号，C错误；
，设 ，由 得 ，
所以函数在 上递增，在 上递减，
所以 ，即 ，D正确，
故选：AD.
4、（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）（多选题）已知 , ，下列说法
正确的是（ ）
A．存在 使得 是奇函数
B．任意 ､ 的图象是中心对称图形
C．若 为 的两个极值点，则
D．若 在 上单调，则
【答案】ABD
【分析】对于A，当 时, 为奇函数，从而即可判断；
对于B，设函数的对称中心为 ,根据 ，求出对称中心即可判断；对于C，求导，由题意和韦达定理可得 ，，再由重要不等式得 ，即可判断；
对于D，由题意可得 恒成立，由 ，求解即可.
【详解】解：对于A，当 时, 为奇函数，故正确；
对于B，设函数的对称中心为 ,则有 ，
又因为
，
，
所以 ，解得 ，
所以 的对称中心为 ，故正确；
对于C，因为 ，
又因为 为 的两个极值点，
所以 ， ，所以C错误；
对于D，若 单调，则有 恒成立，
所以 ，
解得 ，选项D正确.
故选：ABD.
x2 1
  ,x0
f x 2 x
5、（2022·湖南娄底·高三期末）（多选题）已知函数 ln1x,x0 ，若关于x的方程

2f2x f xt 0
有3个不同的实数根，则t的取值可以为（ ）．3 2 4 3
A． B． C． D．3
【答案】AB
【解析】
【分析】
f x f xm
先借助导数方法求出函数 的单调区间和最值，进而作出图象，然后设 ，问题转化为讨论方
2m2mt 0
程 根的个数，最后求得答案.
【详解】
x(,0] f xln1x
当 时， ，单调递减，
x2 1 1 x31
当 x0 时， f x 2  x ， fxx x2  x2 ，当 x1,时， fx0 ， f x单调递增，当
3
x0,1时， fx0， f x单调递减，所以在x1时， f x取得最小值， f 1
2
，画出 f x的图象，
f xm 2m2mt 0 2f2x f xt 0 f x
令 ，则方程为 ，要想方程 有3个不同的实数根，结合 的
2m2mt 0 m m
图象可知需要满足： 有两个不同的实数根 1， 2，
3 3 3
满足： m 1  2 且 0m 2  2 或满足： m 1  2 且m 2 <0.
(3) 2 3
令g(m)=2m2−m+t，则2× − +t=3+t=0，即t=−3，当2m2−m−3=0时，另外一个根为−1，
2 2
3
不符合 m 1  2 且0≤m 2 <1；3
m  { g(0)=t<0
1 2
当 且m
2
<0时，必须
g
(3)
=3+t<0
，所以t<−3.
2
综上，t<−3．
故选：AB．
【点睛】
f xm f x
本题的破解点在于设 ，这样问题可以转化为一元二次方程根的分布问题，结合函数 的图象
解决问题.
6、（2023·湖南邵阳·统考三模）已知函数 有两个极值点 ， ，且 ，则实数m
的取值范围是__________.
【答案】
【详解】由 有两个不同实根 ，
且 ，
设 ，
当 时， ，当 时， ，
在 单调递减，在 单调递增，所以 ，
显然当 时， ，当 时， ，
图象如下：
所以有 ，则有 ，
当 时，即. ，
时， ，
故答案为：7、（2023·河北唐山·统考三模）已知曲线 与 有公共切线，则实数 的取值范围为
__________.
【答案】
【详解】设公切线与曲线 和 的切点分别为 ， ，其中 ，
对于 有 ，则 上的切线方程为 ，即 ，
对于 有 ，则 上的切线方程为 ，即 ，
所以 ，有 ，即 ，
令 ， ，
令 ，得 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 ，故 ，即 .
∴正实数 的取值范围是 .
故答案为： .