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第1讲 转化与化归思想在三角函数中的应用
转化与化归思想: 就是把待解决或难解决的问题通过数学方法、数学模型、数学思维、数学运算，使
之转化为一类已解决或易解决的问题，最终使原问题获解。使用化归与转化思想的原则是: 化难为易、化
异为同、化生为熟、化繁为简、化未知为已知。
在三角函数学习中，从三角函数的概念建立、推理证明、计算化简到实际问题的解决，始终贯穿着转
化与化归思想的运用。如利用三角函数定义可以实现边与角的转化，利用三角函数之间互余关系实现对
“正余弦”进行转化，利用同角关系及“1”的妙用可以实现弦切互化。在有关三角函数的最小正周期、
三角函数求值、三角函数的图象及性质、三角函数的值域、三角函数的伸缩平移变换及三角恒等变换的问
题中，经常涉及到代换思想、类比思想和转化思想等来解决问题，这些均体现了转化与化归思想在三角函
数中的重要性及其重要应用。
在学习和使用转化与化归思想时，一定要明确转化目标，转化方向，有了转化目标和方向后，接下来
的重点思想是如何向我们的目标和方向进行转化。而本文会重点就转化与化归思想在三角函数中的 5类应
用展开详细讲解。
【应用一】转化与化归思想在三角函数求最小正周期中的应用
2π
我们在学习三角函数图象及性质及三角恒等变换时，会直接用公式
T=
求 （
|ω| y=Asin(ωx+ϕ)+h
y=Acos(ωx+ϕ)+h）的周期，但有时也会遇到这样一类题，给定的函数解析式包含正弦和余弦，或为
高次式，此时则无法用周期公式直接求解；需要对函数解析式进行函数名的统一或降次化简，从而转化为
y=Asin(ωx+ϕ)+h（y=Acos(ωx+ϕ)+h）的形式，即可求解，变换过程的实质就是“化归”思想。
例如下面这道例题：
【例1】（四川成都·成都七中校考一模）函数 的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
在我们熟悉的求解最小正周期的问题中，经常遇见给定的函数解析式是可以直接用周期公式求解的，
而本题无法直接通过周期公式求解，那该怎么转化呢？这就需要我们利用相关公式把函数解析式化解为一个函数名，要么是正弦、要么是余弦，首先我们要把 转化为 ，则
即可计算求解
【答案】A
【分析】根据二倍角公式和正弦的和角公式得 ，进而求解最小正周期即可.
【详解】解：由题意可知：
，
所以，函数的最小正周期为： .
故选：A
【思维提升】
通过本题我们不难发现，对于给定的解析式无法直接用周期公式求解时，我们都可以用转化与化归思想，
对函数解析式进行化简来统一函数名，进而用周期公式求解，通过学习本题达到学习一道题会一类题的效
果。未来我们也可以用同样的方法来研究复杂型的三角函数周期问题
【变式1.1】（全国·校联考模拟预测）函数 的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数 的周期等于 ，
可求得 的最小正周期.，得出结论．【详解】解:函数
，
其最小正周期为 ．
故选:C
【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，属于基础题．
【变式1.2】（湖北武汉·校联考一模）函数 的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由正弦函数的和差公式，结合周期公式，可得答案.
【详解】
∴最小正周期 .
故选：C.
【变式1.3】（2021·全国·统考高考真题）函数 的最小正周期和最大值分别是（ ）
A． 和 B． 和2 C． 和 D． 和2
【答案】C【分析】利用辅助角公式化简 ，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.
【详解】由题， ，所以 的最小正周期
为 ，最大值为 .
故选：C．【应用二】转化与化归思想在三角函数给值求值及拼凑角中的应用
我们在学习三角函数诱导公式及三角恒等变换时，常见的给值求值会比较好化简，常见的拼凑角可以
转化成特殊角处理，但有时也会遇到这样一类题，给定的角为非特殊角，需要多次拼凑才能实现特殊转化，
需结合诱导公式和恒等变换可解，这样把角通过拼凑来整体转化，其实质就是“化归”思想。例如下面这
道例题：
【例2】（2019·全国·高考真题）tan255°=
A．－2－ B．－2+ C．2－ D．2+
在我们求角的三角函数值时，遇到的角如为特殊角，则通过特殊角的三角函数值直接求值即可；而本
255° 255°
题的 为非特殊角，则解题的关键在于如何把非特殊角通过拼凑转化为特殊角，即 可表示为
180° +75° 75°
，先用诱导公式进行第一步转化，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步对 进行拼凑
45° +30°
为 ，应用两角和的正切公式计算求解．
【答案】D
【详解】 =
【思维提升】
通过本题我们不难发现，对于给定非特殊角求值问题，我们都可以用转化与化归思想，对待求角进行
拼凑转化，结合诱导公式及三角恒等变换公式来作为解题突破口，从而通过学习一道题会一类题的效果。
未来我们也可以用同样的方法来研究三角函数给值求值问题。
【变式2.1】（2017·江苏·高考真题）若 ,则 .
【答案】【详解】
故答案为 .
【变式2.2】（2023春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期末）已知角 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用同角三角函数的关系求出 ，而 ，则利用两角差的
余弦公式化简即可
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以
，
故选：B【变式2.3】（2023·重庆巴南·统考一模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式、余弦的倍角公式可得答案.
【详解】因为 ，所以
.
故选：A.【应用三】转化与化归思想在三角函数伸缩平移变换中的应用
我们在学习三角函数伸缩平移变换及三角恒等变换综合时，会遇到这样一类题，为异名三角函数的伸
缩平移变换。这类题型解题关键在于用诱导公式及三角恒等变换公式来统一函数名，通常用
( π) ( π)
sinx=cos x− cosx=sin x+
2 进行正弦化余弦，用 2 进行余弦化正弦，进而求解，其实质就是“化
归”思想。例如下面这道例题：
【例3】（2022·四川南充·四川省南充高级中学校考模拟预测）若要得到函数 的图象，
只需将函数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
我们在学习三角函数的伸缩平移变换中，经常遇到同名三角函数的相关变换，而本题为异名三角函数
的伸缩平移变换，平移前是余弦型函数，平移后是正弦型函数，我们要做的变换首先是把异名三角函数变
为同名三角函数，我们不妨把题干简化成： ，
我们可以对平移前 进行变换， ，
从而转化为 的变换；
我们同样也对平移后 进行变换，
，从而转化为
的变换，进而求解变换过程
【答案】D【详解】因为 ，
故将已知转化为要得到函数 的图象，
又 ，
所以将 的图象向右平移 个单位长度即可得到 的图象.
故选：D
【思维提升】
通过本题我们不难发现，对于异名三角函数的伸缩平移变换,往往可以利用诱导公式,将其转化为形如同名
三角函数的形式，进而结合三角函数伸缩平移变换规则可求解，通过学习本题达到学习一道题会一类题的
效果。未来我们也可以用同样的方法来研究复杂型的三角函数伸缩平移变换或变换后的图象与性质等综合
问题。
【变式3.1】（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知曲线 ，
则下面结论正确的是（ ）
A．把C 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得
1
到曲线C
2
B．把C 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，
1
得到曲线C
2
C．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度C
1 2
D．把C 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得到
1
曲线C
2
【答案】C
【分析】结合选项按照先伸缩，再平移的过程，结合诱导公式，即可判断选项.【详解】曲线 ，
把 上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，可得 的图象；
再把得到的曲线向左平移 个单位长度，可以得到曲线 的图象.
故选：C.
【变式3.2】（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）为了得到函数 的图象，只需
将函数 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】B
【分析】根据三角函数的图像变换求解.
【详解】因为 ，
所以 ，
故为了得到 的图象，只需将 的图象向右平移 个单位长度.
故选:B.
【变式3.3】（2022·新疆克拉玛依·统考三模）为了得到函数 的图象，可以将函数
的图象（ ）
A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位C．向右平移 个单位 D．向左平移 个单位
【答案】B
【分析】先通过诱导公式将 化为 ，设平移了 个单位，从而得到方程，
求出 ，得到答案.
【详解】 ，
设平移了 个单位，得到 ，
则 ，解得： ，
即向右平移了 个单位.
故选：B【应用四】转化与化归思想在弦切互化中的应用
我们在学习同角三角函数基本关系及三角恒等变换时，会遇到这样一类题，已知正切求关于正弦或余
弦代数式的值，会有如下几类情况，已知的代数式是一次分式齐次式、n次分式齐次式或n次整式齐次式，
asinx±bcosx asinnx±bcosnx
代数形式为：
psinx±qcosx
、
psinnx±qcosnx
或
asinnx±bcosnx
，而此时能否做到统一三角函数
名，把待求的正弦或余弦，用已知的正切来表示就显得至关重要，这也是解题的核心思想，而在统一函数
名用正切来表示的方法就是弦切互化。“弦切互化”的应用中，通常指的是把三角函数中的弦化成切，有
时结合具体试题也可以把切化成弦，从而来统一函数名求解。
asinx±bcosx atanx±b
对于
psinx±qcosx
中，分子分母同时除以cosx，可得
ptanx±q
，即可求解，
asinnx±bcosnx atannx±b
对于
psinnx±qcosnx
中，分子分母同时除以
cosnx
，可得
ptannx±q
，即可求解，
asinnx±bcosnx
asinnx±bcosnx=
对于
asinnx±bcosnx
中，即
1
，
我们需要巧妙使用平方关系“
sin2x+cos2x=1
”来等价替换，
asin2x±bcos2x asin2x±bcos2x atan2x±b
asin2x±bcos2x=
= =
若
n=2
，则
1 sin2x+cos2x tan2x±1
，即可求解
若
n≠2
则需进行齐次转化，像这样把函数名称化为统一，有利于解题的过程，其实质就是“转化与化
归”思想。例如下面这道例题：
【例4】（2021·全国·统考高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
在我们熟悉的弦化切过程中，我们通常看到的分式上下次数是一致的，这时候只需要在分母上下同时
除以 的若干次方即可，而在本题中，很显然分式上下的次数不一致，那么我们该如何将它转化为一
致呢？这就需要我们借助 来调节式子的次数，把1换成 ，其实相当于把一个“零次式”转化为了一个“二次式”，从而起到了调节次数的作用
本题中，我们把分子中的 换为 ，结合 ，分子将变成一个三次式，
而分母还是一个一次式，这时候我们需要对分母进行齐次构造，可以借助分母乘以 结果不
变，把分母调整成三次式，整个式子变为
就将我们的题目转化为了一道我们熟悉的题目，从而使用我们的弦化切方法进行求解
【答案】C
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【思维提升】
通过本题我们不难发现，对于已知正切值，要求关于弦的齐次及非齐次类的化简求值类型题，我们都
asinx±bcosx asinnx±bcosnx
可以用转化与化归思想及弦切互化的方法来作为解题突破口，对于psinx±qcosx、psinnx±qcosnx
cosnx asinnx±bcosnx
这类齐次直接除以 的化简求值，对于 这类齐次式，可借助加分母
来构建齐次化简求值，对于加完分母1仍然不齐次问题，可再次借助题干隐藏条件或
来调节式子的次数使之齐次。在后续学习中遇到已知正切，来求上述问题时，可利用转化
与化归思想来求解。
【变式4.1】（2023秋·天津红桥·高一天津市瑞景中学校考期末）已知 ，则 （ ）A．4 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件，利用齐次式即可求出结果.
【详解】因为 ，所以 ，
故选：C.
【变式4.2】（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）已知 ，则
.
【答案】
【分析】利用同角三角函数的关系化简 为齐次式，再代入 ，可得答案.
【详解】因为 ，
所以 、 .
故答案为：
【变式4.3】（2019·江苏·高考真题）已知 ，则 的值是 .
【答案】 .
【分析】由题意首先求得 的值，然后利用两角和差正余弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式
求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.
【详解】由 ，
得 ，
解得 ，或 .，
当 时，上式
当 时，上式=
综上，
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转
化与化归思想解题.【应用五】转化与化归思想在三角函数最值中的应用
我们在学习三角函数图象与性质及三角恒等变换综合时，经常遇到具体的正弦型或余弦型函数的值域
和最值问题，可结合性质直接求解，但有时也会遇到这样一类题，给出几个不同函数名的三角函数，要求
给定函数的最值或值域。这类题型解题关键在于用诱导公式及三角恒等变换公式来做函数名和角度的统一，
进而用三角函数的图象和性质求解，其实质就是“化归”思想。例如下面这道例题：
【例5】（2019·全国·高考真题）函数 的最小值为 ．
y=sinx y=cosx y=Asin(ωx+ϕ)+h
在我们学习三角函数的图象与性质时，我们对于 （ ）或 （
y=Acos(ωx+ϕ)+h f(x)=asin2x+bsinx+c(a≠0)
）的最值可以快速求解，对于 （
f(x)=acos2x+bcosx+c(a≠0)
）的最值可以结合二次函数换元求解。而本题函数名包含正弦和余弦，
且角度为倍角关系，直接用性质无法求解，需要对利用诱导公式及三角恒等变换公式对原函数进行变形转
化为相的同三角函数名和相同的角。首先把 转化成 ，则 ，第一
步转化为了相同的三角函数名；其次把 转化成 ，则
，第二步转化为了相同的角，进而换元，结合二次函数的图
象与性质即可求解最值。
【答案】 .
【详解】 ，
， 当 时， ，
故函数 的最小值为 ．
【思维提升】
通过本题我们不难发现，对于三角函数的最值问题,往往可以利用诱导公式及三角恒等变换公式,将其进行同三角函数名和同角变形，转化为形如 （ ）或
（ ）等形式，进而结合三角函数图象与性质可求解最值，可通过学习
一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的方法来研究三角函数的最值或值域等综合问题。
【变式5.1】（2016·全国·高考真题）函数 的最大值为
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【详解】试题分析：因为 ，而 ，所以当 时，
取得最大值5，选B.
【考点】 正弦函数的性质、二次函数的性质
【名师点睛】求解本题易出现的错误是认为当 时，函数 取得最大值.
【变式5.2】（2017·全国·高考真题）函数f(x)= sin(x+ )+cos(x− )的最大值为
A． B．1 C． D．
【答案】A
【详解】由诱导公式可得 ，
则 ,
函数 的最大值为 .
所以选A.
【名师点睛】三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为
的形式，再借助三角函数的图像研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．
【变式5.3】（2017·全国·高考真题）函数 （ ）的最大值是 ．【答案】1
【详解】化简三角函数的解析式，
可得
，
由 ，可得 ，
当 时，函数 取得最大值1．巩固练习
1．（2023秋·云南红河·高一统考期末）已知 ，则 =（ ）
A．-7 B． C． D．5
【答案】C
【分析】利用弦切互化计算即可.
【详解】因为 ，所以 .
故选：C．
2．（2023秋·高一单元测试）已知 ，则 等于（ ）
A．4 B．6 C．2 D．
【答案】A
【分析】利用弦化切即可求得所求代数式的值.
【详解】因为 ，则 ，
原式 .
故选：A.
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式和二倍角公式可求 的值.
【详解】
，故选：B.
4．（2023·全国·统考高考真题）已知 ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出 ，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为 ，而 ，因此 ，
则 ，
所以 .
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关
系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，
使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，
由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
5．（全国·高考真题）为得到函数 的图像，只需将函数 的图像（ ）
A．向左平移 个长度单位 B．向右平移 个长度单位
C．向左平移 个长度单位 D．向右平移 个长度单位
【答案】A
【分析】设出向左平移 个长度，利用诱导公式将余弦函数变为正弦函数，列出方程，求出答案.
【详解】 ，将函数 向左平移 个长度单位，得到 ，
故 ，解得 ，
即向左平移 个长度单位.
故选：A
6．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）函数 （ ， ）的部分图象
如图所示，为了得到 的图象，只需将 的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
【答案】D
【分析】由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得 的解析式，再利用函数 的图象
变换规律，得出结论．
【详解】解：根据函数 （其中 ， 的图象，
可得 ， ，
再根据五点法作图，可得 ， ， ．
故把 图象向右平移 个单位长度，可得到 的图
象，
故选：D．7．（甘肃·统考三模）函数 的最小正周期为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】试题分析： ，所以所求函数
的最小正周期为 ，选 .
考点：二倍角的三角函数公式，三角函数的性质.
8．（2023·湖南·校联考模拟预测）函数 的最小正周期和最小值分别是（ ）
A． 和 B． 和 C． 和 D． 和
【答案】C
【分析】先把三角函数化简为 （ ）形式，最小正周期 ，再根据三角函数有界
性求最小值即可.
【详解】 ，则 的最小正周期 ，
当 ，即 时， 取到最小值为 .
故选：C.
【点睛】本题考查三角函数，考查数学运算的核心素养.
9．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知 ，则 .
【答案】 /
【分析】利用两角差的正切公式求出 ，在根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.
【详解】因为 ，解得 ，所以
.
故答案为：
10．（全国·高考真题）已知函数 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】方法一：由 ，确定出函数的单调区间，减区间，从而确定出函数的
最小值点，代入求得函数的最小值.
【详解】［方法一］： 【通性通法】导数法
．
令 ，得 ，即 在区间 内单调递增；
令 ，得 ，即 在区间 内单调递减．
则 ．
故答案为： .
［方法二］： 三元基本不等式的应用
因为 ，
所以．
当且仅当 ，即 时，取等号．
根据 可知， 是奇函数，于是 ，此时
．
故答案为： .
［方法三］： 升幂公式＋多元基本不等式
，
，
当且仅当 ，即 时， ．
根据 可知， 是奇函数，于是 ．
故答案为： .
［方法四］： 化同角＋多元基本不等式+放缩
，当且仅当 时等号成立．
故答案为： .
［方法五］：万能公式＋换元+导数求最值
设 ，则 可化为 ，
当 时， ；当 时， ，对分母求导后易知，
当 时， 有最小值 ．
故答案为： .
［方法六］： 配方法
，
当且仅当 即 时， 取最小值 ．
故答案为： .
［方法七］：【最优解】周期性应用＋导数法
因为 ，所以 ，
即函数 的一个周期为 ，因此 时， 的最小值即为函数的最小值．
当 时， ，
当 时， 因为，令 ，解得 或 ，由 ， ， ，
所以 的最小值为 ．
故答案为： .
【整体点评】方法一：直接利用导数判断函数的单调性，得出极值点，从而求出最小值，是求最值的通性
通法；
方法二：通过对函数平方，创造三元基本不等式的使用条件，从而解出；
方法三：基本原理同方法三，通过化同角利用多元基本不等式求解，难度较高；
方法四：通过化同角以及化同名函数，放缩，再结合多元基本不等式求解，难度较高；
方法五：通过万能公式化简换元，再利用导数求出最值，该法也较为常规；
方法六：通过配方，将函数转化成平方和的形式，构思巧妙；
方法七：利用函数的周期性，缩小函数的研究范围，再利用闭区间上的最值求法解出，解法常规，是该题
的最优解．
