文档文本内容
第 4 讲 数形结合思想在函数（导数部分）中的应用
数学结合是数学解题中常用的思想方法。运用数学结合的方法，许多问题迎刃而解，且解法简洁。所
谓数形结合，就是依据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问。问题的一种重要思
想方法，数形结合思想，通过以形助数，以数解形，使困难问题简洁化、抽象问题详细化。能够变抽象思
维为形象思维，有助于数学问题的本质，它是数学的规律性和敏捷性的有机结合。
我们在解决函数问题的过程中，经常会遇到这样的一种困境：做题时总是感觉看到的式子比较抽象，
不容易理解，想来想去总是没有头绪。此时便需要我们将其具象化，而具体化最好的途径便是借助图象。
【应用一】利用数形结合，解决函数不等关系的问题
在做题的过程中，我们经常会遇到比大小问题，遇到这类题，我们的想法往往是先算出所有数的大小，
然后放在一起比较，但有的时候，题目中出现的数字我们难以计算，这种情况下我们一般借助于函数的图
像，若函数的解析式不是基本函数可以运用求导的方法，做出函数的图像。
【例1.1】（2023·广东佛山·统考一模）（多选题）若正实数 ， 满足 ，则下列不等式中
可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，则 ，
令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，
由 ，可得 ，
令 ，则 ，所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，则 ，即 当且仅当 时取等号，即 当且仅当 时取等号，
又 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
当 时 或 ，
结合 与 的图象也可得到
所以 或 .
故选：AC
【思维提升】借助于函数的图像比较大小，最主要的是做出函数的图像，有些情况下要对函数进行适当的
变形，变成常见的函数，或者比较容易进行求导做出函数的图像。然后借助于函数的图像进行比较大小或
者不等关系。
【变式1.1】（2022•江苏二模）已知实数 ， ，且 ， 为自然对数的底数，
则
A． B． C． D．
【答案】
【详解】实数 ， ，且 ，变形为 ，
令 ， ，
则 ， 函数 在 上单调递增，
，即 ．①令 ， ；
令 ， ，
时， ，
，当 时， ，即 ．
②令 ， （a） ；
令 ， ，
时， ，
，
当 （a） 时， ，即 ．
综上，可得 ．
故选：
【变式1.2】【2021年新高考1卷】若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果；
解法二：画出曲线 的图象，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以作出两条切线.
【详解】
在曲线 上任取一点 ，对函数 求导得 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
由题意可知，点 在直线 上，可得 ，
令 ，则 .
当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以， ，
由题意可知，直线 与曲线 的图象有两个交点，则 ，
当 时， ，当 时， ，作出函数 的图象如下图所示：由图可知，当 时，直线 与曲线 的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线 的图象如图所示，根据直观即可判定点 在曲线下方和 轴上方时才可以
作出两条切线.由此可知 .
故选：D.
【点睛】
解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，
解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
【应用二】利用数形结合，研究函数的零点问题
函数零点问题是我们在做题过程中常见的问题，但是往往在解决函数零点问题时会发现，函数解析式
总是十分复杂，所以为了研究较复杂函数的零点问题，我们一般会通过函数的单调性、极值、图象的变化
趋势等求解；根据题目要求画出函数图象，通过数形结合思想分析问题。【例2】（（2022·湖北·模拟预测）已知函数 ，若函数 有5个零点，
则实数k的取值范围为______．
【答案】
【分析】
先分析函数 的奇偶性，再转化为 有两个不同的正实数解，令 ，求出函数的最
小值即得解.
【详解】
解：因为 ，所以 ，
所以函数 为偶函数，又 ，
所以 在 上有两个零点，
即 有两个不同的正实数解，即 ，
令 ，则 ，
； .
故 在 上递减， 上递增，
故 ．画出图像如图所示
从而 .
故答案为： ．【思维提升】函数的零点问题，就是指两个函数的交点问题，在解决这类问题要构造恰当的函数，以便更
好的做出函数的图像，能从图像中更直接的解决问题。
【变式2.1】（2022·河北衡水中学一模）已知函数 ， ，当实数 的取
值范围为________时， 的零点最多.
【答案】
【分析】
作出函数 的图象，由 得 ，设 ，分 ， ， 分别讨论
与 的交点个数，当 时，求得 与 相切时切线的斜率， 与
相切时切线的斜率，由此可求得实数 的取值范围.
【详解】
解：作出函数 的图象如图：
由 得 ，设 ，
当 时， 与 有2个交点；
当 时， 与 有2个交点；.当 时，设 与 相切，切点为 ，则 ，所以切线的斜率为 ，
其切线方程为： ，
又因切线恒过点 ，所以 ，解得 ，所以切线的斜率为 ，当 时，设
与 相切，切点为 ，则 ，所以切线的斜率为 ，
其切线方程为： ，
又因切线恒过点 ，所以 ，解得 ，所以切线的斜率为 ，
所以当 时， 与 有1个交点；
当 时， 与 有2个交点；
当 时， 与 有3个交点；
当 时， 与 有4个交点；
所以实数 的取值范围为 时， 的零点最多，
故答案为： .
【变式2.2】（2022•玄武区模拟）已知函数 为自然对数的底数）在 上有两个
零点，则 的范围是A． B． C． D．
【答案】
【详解】由 得 ，
当 时，方程不成立，即 ，
则 ，
设 ， 且 ，
则 ，
且 ， 由 得 ，
当 时， ，函数为增函数，
当 且 时， ，函数为减函数，
则当 时函数取得极小值，极小值为 （1） ，
当 时， ，且单调递减，作出函数 的图象如图：
要使 有两个不同的根，
则 即可，
即实数 的取值范围是 ，
方法2：由 得 ，
设 ， ，，当 时， ，则 为增函数，
设 与 ，相切时的切点为 ，切线斜率 ，
则切线方程为 ，
当切线过 ， 时， ，
即 ，即 ，得 或 （舍 ，则切线斜率 ，
要使 与 在 上有两个不同的交点，则 ，
即实数 的取值范围是
故选： ．【 变 式 2.3 】 （ 2022 年 徐 州 市 高 三 月 考 试 卷 ） 设 ， 若 函 数
有且只有三个零点，则实数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】令 ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，
又因为对于任意 ，在 总存在 ，使得 ，
在 上由于 的增长速率比 的增长速率要快得多，所以总存在 ，使得
，
所以 在 与 上都趋于无穷大；
令 ，则 开口向下，对称轴为 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递增，故 ，
.因为函数 有且只有三个零点，
而 已经有唯一零点 ，所以 必须有两个零点，则 ，即 ，解得
或 ，
当 时， ，则 ，
即 在 处取不到零点，故 至多只有两个零点，不满足题意，
当 时， ，则 ，所以
在 处取得零点，
结合图像又知 与 必有两个交点，故 在 与 必有两个零点，
所以 有且只有三个零点，满足题意；
综上： ，即 .
故选：C.
【应用三】利用数形结合，研究函数的极值点问题
函数的极值问题，既是重点题型又是难点题型，遇到此类题，我们一般的想法是进行求导，实际上，
对于已知的基本初等函数求极值的问题，也可以直接做出基本初等函数的图象，结合函数图象使问题得到
解决。
【例3】（【2022年全国乙卷】已知x=x 和x=x 分别是函数f(x)=2ax−ex2（a>0且a≠1）的极小值点
1 2
和极大值点．若x <x ，则a的取值范围是____________．
1 2
(1 )
【答案】 ,1
e
【解析】
解：f'(x)=2lna⋅ax−2ex，
因为x ,x 分别是函数f (x)=2ax−ex2的极小值点和极大值点，
1 2
所以函数f (x)在(−∞,x )和(x ,+∞)上递减，在(x ,x )上递增，
1 2 1 2所以当x∈(−∞,x )∪(x ,+∞)时，f'(x)<0，当x∈(x ,x )时，f'(x)>0，
1 2 1 2
若a>1时，当x<0时，2lna⋅ax>0,2ex<0，则此时f'(x)>0，与前面矛盾，
故a>1不符合题意，
若0<a<1时，则方程2lna⋅ax−2ex=0的两个根为x ,x ，
1 2
即方程lna⋅ax=ex的两个根为x ,x ，
1 2
即函数y=lna⋅ax与函数y=ex的图象有两个不同的交点，
∵0<a<1,∴函数y=ax的图象是单调递减的指数函数，
又∵lna<0,∴y=lna⋅ax的图象由指数函数y=ax向下关于x轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横
坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的|lna|倍得到，如图所示：
设过原点且与函数y=g(x)的图象相切的直线的切点为(x ,lna⋅ax 0)，
0
则切线的斜率为g' (x )=ln2a⋅ax 0，
0
故切线方程为y−lna⋅ax 0=ln2a⋅ax 0(x−x )，
0
1
则有−lna⋅ax 0=−x ln2a⋅ax 0，解得x = ，
0 0 lna
1
则切线的斜率为 ln2a⋅alna=eln2a ，
因为函数y=lna⋅ax与函数y=ex的图象有两个不同的交点，
1
所以eln2a<e，解得 <a<e，
e1
又0<a<1，所以 <a<1，
e
(1 )
综上所述，a的范围为 ,1 .
e
【思维提升】本题由x ,x 分别是函数f (x)=2ax−ex2的极小值点和极大值点，可得
1 2
x∈(−∞,x )∪(x ,+∞)时，f'(x)<0，x∈(x ,x )时，f'(x)>0，再分a>1和0<a<1两种情况讨论，
1 2 1 2
方程2lna⋅ax−2ex=0的两个根为x ,x ，即函数y=lna⋅ax与函数y=ex的图象有两个不同的交点，构造
1 2
函数g(x)=lna⋅ax，利用指数函数的图象和图象变换得到g(x)的图象，利用导数的几何意义求得过原点
的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.
因此，对于函数的极值问题借助于构造两个函数研究交点问题。
【变式3.1】（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）若函数 只有一个极值点，
则 的取值范围是___________.
【答案】 或
【分析】对 求导，利用导数与函数极值的关系，分类讨论3是否为极值点，结合 的图像性质即
可求得 的取值范围.
【详解】因为 ，
所以 ，
因为 只有一个极值点，
所以若3是极值点，
因为 ，所以当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，故 ，则 ，所以 ；
当 趋向于0时， 趋向于1， 趋向于0，则 趋向于正无穷，
当 趋向正无穷时， 趋向正无穷的速率远远大于 趋向正无穷的速率，则 趋向于正无穷，
若3不是极值点，则3是 即 的一个根，且存在另一个根 ，此时 ；
当 时， ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
所以 在 单调递减，在 单调递增，满足题意，
综上： 或
【变式3.2】已知函数 有且只有一个极值点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】易知函数 的导数 ，令 ，得 ，即
．设 ，则 ，当 时， 或 ，所以函数 在区间 和 上单调递减，在区间 上单
调 递 增 ． 因 为 函 数 有 且 只 有 一 个 极 值 点 ， 所 以 直 线 与 函 数
的图象有一个交点，作出 的图象如图所示．由图得 或 ．
当 时， 恒成立，所以 无极值，所以
【变式3.3】（2022年福州高级中学高三月考模拟试卷） （多选题）若函数 有两
个极值点 ，且 ，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. 的取值范围是
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【详解】 ， 有两个极值点 ， 且 ，
∴ ， 有两个零点 ， ，且在 ， 各自两边 异号，
∴ 与 有两个交点 ， ，
记 ，则 ，易知： 时 ， 时 ，∴ 在 上递增，在 上递减，即 在 上递增，在 上递减．
∴ 有最大值 ，且 时 ； 时 ，又
， ，
由上 的图象如下，
∴当且仅当 时 与 有两个交点，才符合条件，且 ，故A正确，B不正确．
又 ，
∴ ，故 C正确．
令 ，则 ，
∴ ，则 ， ，
∴要证 ，只需证 ，只需证
，令 ，则 ，
∴ 在 上单调递减，即 时 ，不等式 得证，故D正确．
故选：ACD
巩固练习
1、（2022•苏州模拟）已知 为常数，函数 有两个极值点，其中一个极值点 满足
，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】
【详解】 ，由函数 有两个极值点，
则等价于 有两个解，即 与 有两个交点，
所以 ．
直线 过点
由 在点 处的切线为 ，显然直线 过点 ，
当 时，直线 与曲线 交于不同两点（如下图），且 ，
，令 ，则 ，
所以 单调递增， ，即 ，
故选： ．
2、（2022·山东省淄博实验中学高三期末）已知函数 有三个不同的零点
，且 ，则 的值为（ ）
A．3 B．4 C．9 D．16
【答案】C
【解析】
【分析】
利用换元法转换 ，结合导数以及一元二次方程根与系数的关系来求得正确答案.
【详解】
，
， 有三个不同的零点 .
令 ， 在 递增，在 上递减，
. 时， .
令 ，
必有两个根 ，
，且 ，
有一解 ， 有两解 ，且 ，故
.
故选：C
3、（2022年江苏泰州市高三月考模拟试卷）已知函数 ，其中实数 ，
则下列结论错误的是（ ）
A. 必有两个极值点
B. 有且仅有3个零点时， 的范围是
C. 当 时，点 是曲线 的对称中心
D. 当 时，过点 可以作曲线 的3条切线
【答案】B
【解析】
【详解】对于A， ，
令 ，解得： 或 ，
因为 ，所以令 ，得 或 ，
令 ，得 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值，在 处取得极小值,
所以A正确；
对于B，要使 有且仅有3个零点，
只需 即 ，所以 ，
所以 的范围是 ，故B不正确；
对于C，当 时， ，
，
，所以点 是曲线 的对称中心，所以C正确；
对于D， ，设切点为 ，
所以在 点处的切线方程为： ，
又因为切线过点 ，所以 ，
解得： ，令 ，
所以过点 可以作曲线 的切线条数转化为 与 图象的交点个数.
,
令 ，解得： 或 ，
因为 ，所以令 ，得 或 ，
令 ，得 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减，
，如下图所示，
当 时， 与 图象有3个交点，即过点 可以作曲线 的3条切线，故正
确，
故选：B
4、（2022年福州八中高三月考模拟试卷）（多选题） 已知函数 和 ，有相同的
极小值，若存在 ， 使得 成立，则（ ）
A. B.
C. 当 时，
的
D. 当 时，若 所有根记为 ， ， ， ，且 ，则
【答案】ACD
【解析】
【详解】 ， ， ，在
上单调递减， 上单调递增，
在 处取得极小值 ，而 ，
且 ，
在 上单调递减， 上单调递增，
在 处取得极小值 ，依据题意， 和 有相同的极小值，
故 ，解得 ，故A正确；
作出函数图象如下图所示，若 ，则 与 、 相交时， 或者 ，故
B错误.
由图像可知，当 时， ，所以 ，C正确；
若 的所有根记为 ， ，且 时，
则有 ， ，可得 ，
即 ，又
，同理可得 ， ，则 ，故D正确.故选：ACD.
5、（2023·广东揭阳·校考模拟预测）（多选题）已知a为常数，函数 有两个极值点 ，
（ ），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】 ， ，令 ，则 ，
令 ，则 ，
在 上单调递增，在 上单调递减．
作出 ， 的大致图象，
当 时， 有两个根 ， ，且 ，故A正确；
当 时， ，故B错误；
又函数 在区间 上递减，在区间 上递增，在区间 上递减，
， ，故CD正确；
故选：ACD6、（2023·云南红河·统考一模）（多选题）已知函数 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．函数 有两个极值点
B．若关于x的方程 恰有1个解，则
C．函数 的图象与直线 有且仅有一个交点
D．若 ，且 ，则 无最值
【答案】AC
【分析】对函数 的解析式进行化简并画出函数图象，由图可知函数 有两个极值点，即A正确；
利用函数与方程的思想可得 恰有1个解时 或 ，可知B错误；易知 和 是函
数 的两条切线，分类讨论参数 并通过构造函数证明即可得出 的图象与直线
有且仅有一个交点，故C正确；分别解出 的表达式，代入 并构造函数利用导数研究
其单调性可得 有最小值，即D错误.
【详解】由函数 可得 ，
函数 的图象如下图所示：对于A，由图可知， 和 是函数 的两个极值点，故A正确；
对于B，若函数 恰有1个零点，即函数 与 的图象仅有一个交点，可得 或 ，
故B不正确；
对于C，因为函数 在点 处的切线为 ，
函数 在 处的切线为 ，如图中虚线所示，
易知当 ，即 时， 的图象与直线 恰有一个交点；
当 ，即 时，令 ，得 ，
令 ，则 ， ，
由二次函数的图象及零点存在定理可知，方程 有且只有一个实数根；
当 ，即 时，令 ，设 ，
则 （仅当 时取等号），
即函数 在 上单调递增，由于 ，
，
所以函数 有且仅有一个实数根；故C正确．
对于D，由 ，
则 ， ， ，则 ，设 ，则 ，
设 ，显然 在 上单调递增，
且 ， ，所以存在 ，使 ，
且当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，所以 存在最小
值 ，故D不正确；
故选：AC
7、（2023·湖南邵阳·统考三模）已知函数 有两个极值点 ， ，且 ，则实数m
的取值范围是__________.
【答案】
【详解】由 有两个不同实根 ，
且 ，
设 ，
当 时， ，当 时， ，
在 单调递减，在 单调递增，所以 ，
显然当 时， ，当 时， ，
图象如下：
所以有 ，则有 ，
当 时，即. ，
时， ，故答案为：
8、（2022年福建德化高三月考模拟试卷）已知函数 ，若方程 有两个不相等
的实数根，则实数 的取值范围是______________．
【答案】
【解析】
【详解】因为函数 ，
则 ，
令 ，解得： ；令 ，解得： 或 ，
所以函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时，函数 取最小值 ，
当 时，函数 取极大值 时函数值为正，
作出函数 的草图，如图，要使方程 有两个不相等的实数根，则有 或 ，
故答案为：
