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培优点 05 极化恒等式、奔驰定理与等和线定理（3 大考点+强化训
练）
平面向量基本定理及数量积是高考考查的重点，很多时候需要用基底代换，运算量大且复杂，用向量极化
恒等式、奔驰定理、等和(高)线求解，能简化向量代换，减少运算量，使题目更加清晰简单．
知识导图
考点分类讲解
考点一：向量极化恒等式
极化恒等式：a·b＝2－2.
变式：(1)a·b＝－，
a·b＝－.
(2)如图，在△ABC中，设M为BC的中点，则AB·AC＝AM2－CB2＝AM2－MB2.
规律方法 利用向量的极化恒等式可以对数量积进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形
为载体，含有线段中点的向量问题．
【例1】(2023·郑州模拟)如图所示，△ABC是边长为8的等边三角形，点P为AC边上的一个动点，长度
为6的线段EF的中点为B，则PE·PF的取值范围是________．【变式】．（2022·北京·高考真题）在 中， ．P为 所在平面内的动点，
且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点二:平面向量“奔驰定理”
定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S ·PA＋S ·PB＋S ·PC＝0.
△PBC △PAC △PAB
易错提醒 利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P为△ABC内一
点；定理中等式左边三个向量的系数之比对应三个三角形的面积之比．
【例2】（2022·安徽·三模）平面上有 及其内一点O，构成如图所示图形，若将 ， ，
的面积分别记作 ， ， ，则有关系式 ．因图形和奔驰车的 很相
似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足
，则O为 的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【变式1】(2023·重庆模拟)△ABC内一点O满足关系式S ·OA＋S ·OB＋S ·OC＝0，即称为经典
△OBC △OAC △OAB
的“奔驰定理”，若△ABC的三边为a，b，c，现有a·OA＋b·OB＋c·OC＝0，则O为△ABC的( )
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
【 变 式 2 】 (2023· 安 阳 模 拟 ) 如 图 ， 已 知 O是 △ABC的 垂 心 ， 且 OA ＋ 2OB ＋ 3OC ＝ 0 ， 则
tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB等于( )A．1∶2∶3 B．1∶2∶4
C．2∶3∶4 D．2∶3∶6
考点三:等和(高)线定理
等和(高)线
平面内一组基底OA，OB及任一向量OP′，OP′＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行
于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和
(高)线．
(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1；
(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0,1)；
(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；
(4)当等和线过O点时，k＝0；
(5)若两等和线关于O点对称，则定值k，k互为相反数；
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(6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比．
规律方法 要注意等和(高)线定理的形式，解题时一般要先找到k＝1时的等和(高)线，利用比例求其他的
等和(高)线．
【例3】．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆 ， 为圆 上任一点，若
，则 的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【变式3】已知 是 内一点，且 ，点 在 内（不含边界），若，则 的取值范围是
A． B． C． D．
强化训练
一、单选题
1．如图， 是圆O的直径，P是圆弧 上的点，M、N是直径 上关于O对称的两点，且
，则 （ ）
A．13 B．7 C．5 D．3
2．已知 是边长为2的等边三角形， 为平面 内一点，则 的最小值是
A． B． C． D．
3．设向量 满足 ， ，则 =
A．1 B．2 C．3 D．5
4．已知圆 的半径为 ，点 满足 ， ， 分别是 上两个动点，且 ，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．在 中，点 是线段 上任意一点，点 满足 ，若存在实数 和 ，使得
，则 （ ）
A． B． C． D．6．在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，且满足 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．1
7．在 中，点 满足 ，当 点在线段 （不包含端点）上移动时，若 ，
则 的取值范围是
A． B． C． D．
8．在 中，点 是线段 上的点，且满足 ，过点 的直线分别交直线 、 于点 、
，且 ， ，其中 且 ，若 的最小值为3，则正数 的值为( )
A．2 B．3 C． D．
9．如图，在直角梯形 中， ， ∥ ， ， ，图中圆弧所在圆的
圆心为点C，半径为 ，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若 ，其中 ，则
的取值范围是（ ）A． B． C． D．
10．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若 = + ，
则 + 的最大值为
A．3 B．2 C． D．2
11．奔驰定理：已知 是 内的一点， ， ， 的面积分别为 ， ， ，则
.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与
“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.设 为三角形 内一点，且满足：
，则 （ ）
A． B． C． D．
12．已知 是 内的一点，若 的面积分别记为 ，则
.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的 很相似，故形象地称其为“奔驰定
理”.如图，已知 是 的垂心，且 ，则 （ ）A． B． C． D．
13．已知点P是 所在平面内一点，若 ，则 与 的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
14．已知点P为ABC内一点， ，则△APB，△APC，△BPC的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
15．如图. 为 内任意一点，角 的对边分别为 ，总有优美等式
成立，因该图形酯似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理.则以下命题是真命
题的有（ ）
A．若 是 的重心，则有
B．若 成立，则 是 的内心
C．若 ，则
D．若 是 的外心， ， ，则
16．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”
（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知 是 内的一点，， ， 的面积分别为 ， ， ，则 .若 是锐角 内
的一点， ， ， 是 的三个内角，且点 满足 .则（ ）
A． 为 的外心
B．
C．
D．
17．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，
（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是 ABC内一点，
△
BOC， AOC， AOB的面积分别为 ， ， ，且 ．设O是锐角 ABC
△ △ △ △
内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的 ABC三个内角，以下命题正确的有（ ）
△
A．若 ，则
B．若 ， ， ，则
C．若O为 ABC的内心， ，则
△D．若O为 ABC的垂心， ，则
△
18．在平行四边形 中， ， ，点 是 的三边上的任意一点，设
， 则下列结论正确的是（ ）
A． ，
B．当点 为 中点时，
C． 的最大值为
D．满足 的点 有且只有一个
三、填空题
19．在扇形 中， ， 为弧 上的一动点，若 ，则 的取值范围是
．
20．在 中，点 是线段 上的点，且满足 ，过点 的直线分别交直线 于点 ，
且 ， ，其中 且 ，若 的最小值为 .
21．如图，平面内有三个向量 、 、 ,其中与 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 ,且
， ，若 ,则 的值为 .22．（22-23高三上·江苏南通·期中）如图，已知M，N是 边BC上的两个三等分点，若 ，
，则 = ．
23．已知线段 是圆 上的一条动弦，且 ，设点 为坐标原点，则
的最大值为 ；如果直线 与 相交于点 ，则
的最小值为 .
24．在锐角三角形ABC中，已知 ，则 的取值范围是 ．
25．四边形 中，点 分别是 的中点， ， ， ，点 满足 ，
则 的最大值为 .
26．点 为 内一点， ，则 的面积之比是 .
